Численное исследование естественной конвекции с учетом теплового излучения границ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Русакова, Ольга Леонидовна

• Русакова, Ольга Леонидовна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Русакова, Ольга Леонидовна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЧИСЛЕННАЯ МЕТОДИКА

1.1. Постановка задачи

1.2. Дискретная реализация граничных условий, учитывающих тепловое излучение

1.3. Вычисление направляющих косинусов

1.4. Оптимизация Томовской процедуры для вычисления вихря скорости на жёсткой стенке

1.5. Оптимизация процедуры Полежаева-Грязнова для вычисления вихря скорости на жёсткой границе.»© -помощью пара болических сплайнов

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

ГРАНИЦ НА ЕСТЕСТВЕННУЮ КОНВЕКЦИЮ В ЗАМКНУТОЙ

ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

2.1. Влияние теплового излучения границ области на естественную конвекцию при подогреве снизу

2.2. Бифуркационные режимы свободной конвекции при

наличии теплового излучения и наклона полости

2.3. Влияние теплового излучения границ области на естественную конвекцию при подогреве сбоку

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ СО

СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ТЕРМОКАПИЛЛЯРНУЮ

КОНВЕКЦИЮ

3.1. Исследование течения в каверне с жёсткими изотермическими

.26

„35

границами

3.2. Исследование нарушения симметричности течения

3.3. Исследование течения в каверне при наличие перепада температур между боковыми стенками

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование естественной конвекции с учетом теплового излучения границ»

ВВЕДЕНИЕ

1. В настоящее время численное моделирование стало одним из основных инструментов исследования сложных научно-технических задач наряду с модельными и натурными экспериментальными исследованиями. Развитие методов вычислительной математики в совокупности с появлением мощных ЭВМ привело к качественно новому методу исследования научно-технических задач, для которых существуют математические модели. Использование вычислительного эксперимента позволило существенно расширить исследования в таких областях современной науки как гидродинамика и теплообмен.

Особенностью задач тепло- и массообмена являются существенное различие и сложность математического описания так называемых "элементарных" процессов теплопереноса, к которым относятся теплопроводность, конвекция и излучение. Каждый из этих процессов определяется системами дифференциальных уравнений в частных производных или ин-тегро-дифференциальных уравнений. Эти процессы имеют пространственно-временной характер, включают эффекты, связанные с наличием малых параметров и нелинейности. В реальных условиях упомянутые элементарные процессы часто протекают в совокупности, причём практические задачи отличаются разнообразием геометрии, граничных условий и широким диапазоном определяющих параметров. В силу этого проведение аналитических исследований методами классической математики возможно для сравнительно небольшого класса задач. Проведение вычислительных экспериментов позволяет из многих параметров, характеризующих задачу, выбрать наиболее важные и на основе этого разработать более простые математические модели, допускающие их теоретический анализ. Разумное использование вычислительного эксперимента, теоретического анализа и фи-

зического эксперимента позволило существенно продвинуть исследования в такой сложной области как теоретическая гидродинамика. Подробное изложение методов гидродинамики, вычислительной гидродинамики и теплообмена и соответствующий обзор литературы приведены в [1 -18].

Для исследования конвективного теплообмена часто используется система уравнений в приближении Обербека - Буссинеска [19]. В безразмерном виде эти уравнения содержат два параметра — числа Грасгофа (в) и Прандтля (Рг). Во многих ситуациях определяющим параметром служит их произведение — число Рэлея (Да = вхРг).

Решение уравнений конвекции существенным образом зависит от условий подогрева. При специальных условиях подогрева жидкость может находиться в состоянии механического равновесия, т.е. оставаться неподвижной. Равновесие возможно в том случае, когда температура оказывается линейной функцией вертикальной координаты. Анализ устойчивости показывает, что при нагреве сверху равновесие однородной жидкости всегда устойчиво, а при подогреве снизу — устойчиво лишь при достаточно малых значениях числа Рэлея [8]. В большинстве ситуаций условия равновесия не выполняются и при сколь угодно малых значениях числа Рэлея развивается конвекция.

Начало изучению устойчивости равновесия при подогреве снизу положено экспериментами Бенара [20,21] и теоретической работой Рэлея [22]. Позднее многие исследователи только обобщали задачу Рэлея о плоском горизонтальном слое. Начало систематическому экспериментальному изучению конвективной устойчивости в полостях и каналах разной формы положено работами Г.А. Остроумова [23 - 25]. Подробное изложение современного состояния проблемы конвективной устойчивости равновесия имеется в работах [8,28].

В случае замкнутых полостей линейная теория даёт спектр чисел Рэлея Rai [8,26,27], при превышении которых возникают условия для нарастания соответствующих критических возмущений. Наибольший интерес представляет наименьшее критическое число Рэлея Rai, при превышений которого развивается надкритическое конвективное течение конечной амплитуды.

Эволюция конечных возмущений и структура надкритического режима конвекции не могут быть определены на основе линейной теории, так как для этого необходимо решить систему нелинейных уравнений. Исследование нелинейных надкритических режимов осуществляется на основе двух подходов — аналитического и численного.

Аналитический подход обычно использует метод малого параметра. Применимость этого метода ограничена областью малой надкритичности. В работе [30] с помощью этого метода показано, что в случае замкнутой области при отсутствии осложняющих факторов в критической точке Rai от равновесия ответвляются два стационарных решения. Вблизи критической точки они по форме близки к первому критическому движению. Амплитуда этих движений увеличивается с ростом числа Рэлея по корневому закону ~ д/Ra - Ra7 [30, 31]. Такая зависимость для амплитуды

движения соответствует "мягкому" характеру конвективной неустойчивости равновесия.

Наибольшее число работ аналитического направления посвящено изучению конечно-амплитудной конвекции в горизонтальном слое. Подробные обзоры результатов исследований содержатся в [8,32]. В работах этого направления изучаются не только стационарные движения конечной амплитуды, но и их устойчивость.

Большое количество работ, посвящено численному исследованию задач нелинейной теории конвективной устойчивости. Рассмотрим кратко их обзор.

В работах Дюрфорфа [33] и Фромма [34] метод сеток применён для решения нелинейных уравнений плоского конвективного движения в подогреваемом снизу слое жидкости. В [33] расчёт проведён только для одного числа Рэлея. В [35] найдены числа Нуссельта для пяти значений числа Рэлея, критическое число Рэлея не определялось.

Подробно исследованы надкритические режимы конвекции в замкнутой полости в работе Гершуни Г.З., Жуховиццкого Е.М. и Тарунина Е.Л. [35]. Численное исследование [35] показало, что в критической точке Rai от равновесия ответвляются два стационарных движения. Эти движения отличаются лишь направлением циркуляции. Интегральные характеристики этих движений совпадают, что обусловлено симметрией области относительно вертикали. В случае асимметричной полости ситуация меняется. В работе Гершуни Г.З., Жуховицкого Е.М. и Шварцблата Д.Л. [36] приведены расчёты, выполненные для асимметричной полости треугольного сечения. В этом случае движения, ответвляющиеся от равновесия, существенно отличаются друг от друга по форме и по характеристикам.

В численном эксперименте, описанном в работе [35], авторам удалось получить движение, возникающее и во второй критической точке. Использование искусственного приёма стабилизации этого движения, позволило Тарунину Е.Л. [37] изучить его в широком интервале чисел Рэлея. Было показано, что вблизи Ra2 для амплитуды двухвихревого течения также справедлив корневой закон. Впервые было показано, что зависимость амплитуды течения, рождающегося в Rai, не претерпевает изломов вблизи Ra2 вопреки ожиданиям [38].

В [35] удалось получить основное стационарное течение, возникающее в области параметров от Rai, до Ra„ « 13 • Raj .При Ra > Ra, переходный

процесс приводил к режиму регулярных колебаний. Позднее колебания при подогреве снизу в горизонтальном цилиндре круглого сечения подробно исследовал Чернатынский В.И. [39]. Им было обнаружено понижение критического числа Рэлея Ra,,, и начало колебаний при увеличении числа

Прандгля от 1 до 5. В бесконечном горизонтальном слое жидкости анализ Буссэ [40] также обнаруживает неустойчивость конвективных валов при надкритичности большей 13,2. В лабораторных экспериментах надкритические движения колебательного типа были обнаружены, например, в работах [41 - 43]. Качественное объяснение механизма колебаний получено на различных динамических моделях, таких как модель конвективной петли [44], использующая приближение гидравлического подхода, и модель, в которой учитывается небольшое число взаимодействующих мод [45 - 48].

Во многих работах надкритические течения изучались численно при различных осложняющих факторах. Рассматривались, например, случаи неоднородной вязкости [49], внутренних источников тепла [50 - 52], неньютоновских сред [53,54], модуляции параметров [55 - 58], пористой среды [59 - 61], наличия магнитного поля [62], просачивания [63] и другие.

Существование критического числа Рэлея при подогреве снизу предполагает соблюдение условий конвективного равновесия. В лабораторных экспериментах такие условия, как правило, нарушены. Поэтому возникает необходимость исследования влияния различного рода нарушений равновесия на режим конвекции вблизи критического числа Рэлея. Слабые нарушения равновесия обычно приводят к снятию вырождений в критической точке и дают интересные примеры для теории бифуркаций [64 - 66]. Начало исследований влияния нарушений условий конвективного равновесия в

замкнутых объёмах положено работой Шлиомиса М.И. и Чернатынского В.И. [67]. В ней методом малого параметра и методом сеток изучен случай малого наклона полости, подогреваемой снизу. Малый наклон приводит к ситуации слабого подогрева сбоку и увеличению амплитуды течения вблизи Rai с таким же направлением вращения. Течение с обратным направлением вращения имело меньшую амплитуду, выход на эту "неблагоприятную" ветвь происходил при специальных условиях (жёсткая неустойчивость).

Влияние слабого наклона позднее рассматривалось в работах [54, 60, 69 - 71]. В лабораторных опытах Зимина В.Д. и Кетова А.И. с воздухом [70] "неправильные" устойчивые движения наблюдались при отклонениях кубической полости от вертикали до 4°. Перестройка трёхмерной структуры течения в канале квадратного сечения наблюдалась в численных экспериментах Озоре, Ямамото и Черчилля [71], переход к двумерной структуре течения обнаружен при угле 3,2° (Рг=10, Ra=4000).

В работе Тарунина Е.Л. [68] изучено влияние гидродинамического возмущения (медленное движение одной из границ полости квадратного сечения). В работе показано, что характер ветвления при малой скорости движения границы хорошо описывается кубическим уравнением; найдены аналитические зависимости параметров ветвления от числа Рейнольдса. Несмотря на некоторые отличия, оказалось, что эффекты, наблюдаемые в [68], качественно похожи на ситуацию слабого наклона полости [69]. Это обстоятельство объясняется близостью структуры "возмущений" к структуре первого критического движения.

Проявление нарушений условий равновесия в двухслойных системах несмешивающихся жидкостей изучено экспериментально [72] и численно [73]. В этом случае при достижении критического числа Рэлея для одного

слоя во втором (более устойчивом) слое индуцируется медленное течение, вызванное взаимодействием слоев. При этом возникновение конвекции во втором слое напоминает ситуацию, изученную в [68].

Во всех перечисленных выше работах рассматривалось нарушение условий равновесия, создающее течение, подобное структуре первого критического движения. Ситуация существенно меняется, когда нарушение равновесия вызывает течение, соответствующее более высокой критической моде. В работе Тарунина E.JI. [74] использовалось распределение температуры, создающее слабое двухвихревое течение. В области Rai наблюдался переход к основному (одновихревому) течению; переход происходил жёстко и сопровождался гистерезисом. Выясненный в [74] характер ветвления объяснил перестройку течения, которую наблюдал в численных экспериментах Симуни Л.М. [75].

Аналитическое рассмотрение конечно-амплитудных движений при наличии температурной зависимости вязкости [76] побудило изучить конвекцию в замкнутой полости квадратного сечения при наличии зависимости вязкости от температуры. В [49] показано, что неоднородность вязкости приводит к понижению устойчивости. Как и в случае однородной вязкости, ветви одновихревых течений равноправны, и подкритических движений нет. Во второй критической точке имеет место иная ситуация: два двухвих-ревых движения с восходящим и нисходящим потоками в центре области неравноправны. Это приводит к появлению жёсткого возбуждения. Глубина подкритической области сравнительно невелика, но важный фактор существования подкритических движений фиксируется в численном эксперименте достаточно чётко.

Подкритические области были обнаружены и в численных экспериментах с внутренним тепловыделением [50,51]. Из результатов работ [49 -51] следует, что в случае неоднородности вязкости или внутренних ис-

точников тепла для реализации жёсткого возбуждения и подкритических движений требуется неравноправность ветвей, возникающих в критической точке. Существование подкритических движений может быть вызвано и тепловым взаимодействием на боковых границах полости [77]. В указанной работе решения построены методом разложений для конечного слоя со свободными горизонтальными границами и твёрдыми боковыми. Показано, что амплитуда течения описывается кубическими уравнениями.

Впервые конвективная устойчивость равновесия проводящей среды в магнитном поле была исследована Томпсоном [78] и Чандрасекаром [79, 80]. Позднее в работах Гершуни Г.З., Жуховицкого Е.М., Шлиомиса М.И. и других [81 - 85] была построена общая теория спектров возмущений и решены конкретные задачи. Линейная теория предсказывает повышение устойчивости и появление при определённых условиях неустойчивости колебательного типа. Исследования линейной теории в области монотонной неустойчивости подтверждены экспериментами Накагавы [86].

Рассмотренные выше режимы конвекции возникают в результате неустойчивости стационарного равновесия. Метод сеток позволяет исследовать и нелинейные режимы, приходящие на смену нестационарному равновесному состоянию. В работах Бурдэ Г.И. [55 - 58] рассматривались два вида периодических изменений параметров равновесия — модуляция силы тяжести и периодическое изменение температуры горизонтальных границ. Наиболее сложными задачами с нестационарными условиями равновесия являются задачи с апериодическим изменением параметров, определяющих решение задачи. Примером такой ситуации может служить задача о "включении" [87]. Эта задача в [87] решалась для прямоугольной области с различным отношением длины к высоте. Температура нижней границы возрастала со временем по линейному закону, температура верхней границы была постоянной. Было обнаружено "взрывное" возникновение конвек-

ции. Время развития конвекции и её форма существенно зависят от вида начального возмущения. Возникающие в области неустойчивости режимы течения до этой работы не исследовались. Определения границ устойчивости методами линейной теории для этой задачи затруднительно.

В качестве одной из причин, влияющих на нарушение равновесия, можно рассматривать тепловое излучение границ полости. Анализ литературы показал, что многие авторы решают конкретные задачи с учётом теплового излучения границ и излучающей среды [6, 7, 88]. Для изучения теплообмена в этом случае разработаны и усовершенствованы методы решения интегро-дифференциальных уравнений, методы вычисления угловых коэффициентов для областей сложной формы. Практически никто не изучал подробно вопросов связанных с влиянием теплового излучения границ на характер бифуркаций решений задачи естественной конвекции в замкнутых полостях. Предлагаемая работа и посвящена в основном изучению влияния теплового излучения границ на естественную конвекцию в замкнутой полости вблизи порога устойчивости конвективного равновесия при подогреве снизу. Кроме того, исследовано влияние теплового излучения на интенсивность конвекции и структуру течения при отсутствии равновесия.

2. В последнее время термином "естественная конвекция" обозначают и другие — негравитационные разновидности конвекции, причиной которых являются градиенты сил поверхностного натяжения на границе раздела газ — жидкость или жидкость — жидкость (термокапиллярная конвекция). В условиях нормальной силы тяжести эти течения слабо проявляются на фоне более интенсивной гравитационной конвекции, однако в реакторах плёночного типа, применяемых в химической технологии, а а также в сосудах для хранения жидкостей и многих других технологических аппаратах

конвекция этого типа может оказывать заметное влияние на процессы тепло- и массообмена.

В последнее время получило дальнейшее развитие научное направление — гидромеханика и тепломассообмен в невесомости, основной целью которого является изучение и практическое использование особенностей конвективного переноса в космосе. В условиях невесомости капиллярная конвекция становится одним из основных механизмов, приводящих к перемешиванию жидкости. В [96] даётся обзор работ, посвящённых этой тематике.

В аналитических подходах главенствующее место занимает исследование устойчивости термокапиллярных течений как при подогреве снизу, так и в случае заданного градиента температуры вдоль свободной поверхности в бесконечных слоях жидкости. Отмечается, что для термокапиллярной конвекции свойственна ранняя потеря устойчивости: критическое

2

число Марангони Мп «10 лежит значительно ниже диапазона, характер-

4 6

ного для прикладных задач (Мп = 10 ч-10 ). В предлагаемой работе рассматриваются задачи термокапиллярной конвекции, для которых температурный градиент на свободной границе получен как следствие учёта теплового излучения.

3. В изучаемых ситуациях перенос тепла осуществляется не только теплопроводностью и конвекцией, но и излучением. Роль излучения особенно значительна при высоких температурах. Тепловое излучение может распространяться на значительные расстояния. Поток излучения в общем случае определяется интегральными соотношениями.

При расчётах теплообмена с учётом излучения границ важную роль играет геометрия системы, которая учитывается введением угловых коэффициентов. Угловой коэффициент определяет долю диффузно распре-

делённой энергии излучения, которая передаётся с одной поверхности системы на другую.

Рассмотрим произвольную поверхность / площадью А,. Поток излучения, покидающий поверхность г, равномерно распределяется над этой поверхностью. Пусть в этом пространстве над поверхностью /' располагается другая поверхность у площадью А,-. Угловой коэффициент ф ау-а/ определяет ту часть энергии излучения, которая попадает с поверхности г на поверхность

Выполняются следующие равенства [5]

А,- Ф а ¡-Ад = Ауф а/'-а/ ; (1)

Л' ¿Ф Ал-йАд = ¿Ау ф (1а/-а? ; (2)

¿А/ ёф с1аг-с1а/ = ¿А/ (1ф с1л/-с1а/ • (3)

Условия (1) - (3) справедливы, если

1) потоки излучения, покидающие участвующие в обмене поверхности, являются диффузными;

2) при конечных поверхностях величины потоков излучения не изменяются вдоль соответствующих поверхностей.

При этих условиях угловые коэффициенты зависят только от геометрической ориентации участвующих поверхностей.

Из закона сохранения энергии следует: энергия излучения, исходящая с любой поверхности I в замкнутой системе, обязательно распределяется по остальным поверхностям системы таким образом, что суммарное количество падающей на поверхность энергии равняется энергии, исходящей от поверхности /'. Таким образом

N

2 Ф А/-А/ = 1 • 7=1

Идеальная поверхность называется абсолютно чёрной, если она поглощает всё падающее на неё излучение и испускает максимум излучения, количество которого пропорционально четвёртой степени температуры этой поверхности (Т4).

Рассмотрим замкнутую систему из N изотермических поверхностей с площадями Аь Аг,..., Ан (см. рис.1). Каждая поверхность имеет соответствующую температуру Ть Т2,...,Т^. Для любой поверхности г поверхностная плотность потока результирующего излучения может быть определена как разность между плотностями потоков собственного излучения г-ой поверхности и поглощённой ею части потока падающего излучения

Рис. 1

О, А,

8гсТг 4 - а,Н,

(5)

Здесь Н, — поверхностная плотность потока падающего излучения; е, — степень черноты г-ой поверхности; а, — поглощательная способность г-ой поверхности; а = 5,67x10"12 Вт/(см2хК4) — постоянная Стефана-Больцмана. Для абсолютно чёрной поверхности б = а =1 [5]. Рассмотрим излучение с поверхности ) на поверхность I Предполагается, что поверхность ] - абсолютно чёрная. Поэтому она излучает энергию равную оТ/АЭто количество энергии равномерно распределяется во всех

направлениях. На 1-ую поверхность попадает сгТ/Ау ф дм» энергии, а на единицу площади поверхности г попадёт

стТ/~ Фа,-.А/ (6)

Согласно (1) перепишем (6)

д А

аТ/ —ф А/-А/ = аТ/ —ф а»-^' = суТ/ф л/'-а/ (7) А, А.

Отсюда, поверхностная плотность потока падающего излучения на поверхность I равна

2 аТу4ф Лг-А; (8)

;=1

Тогда (5) примет вид

аТ/ф лг-А/- (9)

В соответствии с законом сохранения энергии поток излучения с поверхности \ равен сумме потоков излучения от поверхности г на все поверхности замкнутой системы, т.е.

СГТ;4 =2 0Т{ 4ф Лг-А/ (Ю)

М

Подставляя (10) в (9), получим

д<-]Г а (Т4 - Т/) ф Лг-А/ (11)

А

/=1

Если рассматривается замкнутая система неизотермических поверхностей, то на поверхностях выделяют бесконечно малые элементы с1Аг и с!А; соответственно. Местоположение площадок <1Аг и (1А, определяется соответственно радиусами-векторами г, и гу, проведёнными из любого выбранного центра координат.

Проведя рассуждения аналогичные выводу формул (1)-(11), получим формулу для определения суммарного потока излучения падающего на с!А,

Щг,)= t I т/(г;) а Ф

у=1

(14;ч1А/

Введём функцию К(г,х) =-'—-

ёА,

(12)

которая является конечной и за-

висит только от положения и ориентации элементов ¿А, и ¿А/.

С учётом выше сказанного локальное значение плотности потока результирующего излучения элемента ¿А, поверхности г определяется по формуле

Ф (г*) = от Т,4(гг) - £ I а Т/(г,) К(гг,г,) а Ау.

у«1 А,

(13)

Рассмотрим детально теплообмен излучением между двумя бесконечно малыми элементами поверхностей (1 А, и <1 АДрис. 2).

ал

Рис.2

Проведём к этим поверхностям нормали. Обозначим п; и ^ — единичные вектора нормалей к й А и (1 А; соответственно, & и — углы, образованные единичными векторами п, и П| с линией, соединяющей центры площадок, г — расстояние между площадками.

Обозначим через В, — плотность потока эффективного излучения элементарной площадки (1 А/. Этот поток излучения равномерно распределяется в полупространстве над элементом <1Аг и его интенсивность

= ^ (14)

к

Лучистая энергия, покидающая с1А, в направлении элемента с1А;, равна I, (1А, соБрг <1ю, где do) - телесный угол, под которым видна площадка <1Ау из центра площадки ¿А,. В соответствии с определением телесного угла можно записать

с1 А, совД

-(15)

г2

Учитывая (14) и (15), получим

В, соэД со$в, с1А, (1А, I,- с!Аг совр, а® = ' ' V—1—" (16)

яг

Лучистая энергия, покидающая площадку с1Аг во всех направлениях в полусферическом телесном угле над этой площадкой, равна ВДА/. Отношение правой части формулы (16) к величине В, с1Аг определяет часть энергии, излучаемой элементарной площадкой с1А„ которая попадает на площадку <1Ау. Эта величина по своему физическому смыслу и представляет угловой коэффициент (1 ф <ш-аА/. Тогда

собр. с05р ёа.

(1 ф <Ш-<1А/ = ---^---(17)

ЯГ

Из формулы (17) получаем выражение для определения функции К(гьг;)

СОБР. совр.

К(г„гу) = --(18)

яг

Таким образом выписаны все формулы, с помощью которых можно учесть в граничных условиях тепловое излучение.

4. Содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложения.

Первая глава посвящена постановке задачи и описанию численной методики исследования. Глава состоит из 5 параграфов.

В первом параграфе приводится постановка задачи и выводятся граничные условия для температуры, учитывающие излучение. Обсуждается выбор безразмерных параметров.

Во втором параграфе проводится дискретизация граничных условий для температуры, записанных в терминах параболических сплайнов. Для решения задачи также использовалась сплайн-схема, позволяющая повысить порядок аппроксимации и устойчивость вычислительной процедуры.

Система решалась раздельным вариантом двухполевого метода. Уравнения движения и энергии решались методом продольно-поперечной прогонки с использованием параболических сплайнов, а уравнение Пуассона решалось методом продольно-поперечной прогонки с использованием ку-

бических сплайнов. Подробное описание сплайн-схемы приведено в приложении.

В третьем параграфе описывается вычисление величин К(г®,г/к)), входящих в граничные условия для температуры (13).

В четвёртом параграфе описывается оптимизация процедуры типа Тома для вычисления вихря скорости на жёсткой стенке. Как известно, одна из проблем раздельного варианта двухполевого метода состоит в условной устойчивости соответствующих неявных схем. Известно так же, что граница условной устойчивости конечно-разностных схем зависит от способа аппроксимации вихря на твёрдой границе. В работе получено однопарамет-рическое семейство формул, с легко определяемыми свойствами. Теоретически и вычислительным экспериментом показано, что существует область значений определяющего параметра, в которой предлагаемые формулы имеют устойчивость сравнимую с известной процедурой Полежаева-Грязнова, не уступая ей по точности.

В пятом параграфе проведено обобщение процедуры Полежаева-Грязнова для сплайн-схем. Показано, что в этом случае устойчивость процедуры вычисления вихря скорости на жёсткой границе увеличивается примерно в 7 раз.

Вторая глава посвящена исследованию влияния теплообмена границ излучением в задачах естественной гравитационной конвекции. Глава состоит из трёх параграфов.

В первом параграфе исследуется влияние теплового излучения границ в задаче о подогреве снизу прозрачного газа, находящегося в полости квадратного сечения, Получена полная бифуркационная картина. По результатам вычислительного эксперимента методом наименьших квадратов получены аналитические зависимости для некоторых интегральных характеристик.

В параграфе два исследовано совместное влияние теплового излучения и наклона полости на бифуркационные режимы свободной конвекции. Показано, что специальным подбором угла наклона возможно "затянуть" появление развитого течения одновихревой структуры, сохраняя устойчивость течения двухвихревой структуры с равноинтенсивными вихрями.

В третьем параграфе исследовано влияние теплового излучения границ в задаче о подогреве сбоку на значения чисел Нуссельта на вертикальных границах. Учёт излучения сразу же меняет линейный характер изотерм, соответствующий "твёрдотельной" ситуации (Иа^О) и приводит к дисбалансу в числах Нуссельта.

В третьей главе рассмотрены две задачи термокапиллярной конвекции, для которых температурный градиент на свободной границе получен как следствие учёта теплового излучения. Глава состоит из трёх параграфов.

В первом параграфе рассматривается задача с тремя изотермическими жёсткими границами, поддерживаемыми с одинаковой температурой. Показано при каких условиях можно заменить граничное условие для температуры на свободной границе, учитывающее теплообмен излучением, на

ае(х,1) „

условие заданного теплопотока-= -1. В этой задаче тепловой поду

ток со свободной границы является единственным механизмом, вызывающим движение. Исследована картина бифуркаций в широком диапазоне изменения удлинения области (от 1 до 10).

Во втором параграфе описаны результаты исследования устойчивости симметричного двухвихревого течения для полости квадратного сечения (/=1). По результатам вычислительных экспериментов определено критическое число Марангони, при котором течение теряет симметрию, как функция сеточного параметра.

В третьем параграфе рассматриваются результаты исследований задачи, в которой совместно действуют два температурных градиента (градиент температур между вертикальными границами области и градиент между температурой окружающей среды и температурой свободной поверхности, которая обменивается с окружающей средой излучением). Выявлена область параметров, где отмечено существенное влияние теплопо-тока со свободной границы, сказывающемся на усложнении структуры течения и появлении дополнительного вихря. Основные результаты работы сформулированы в Заключении.

Объём диссертации — 137 стр., рисунков — 48, таблиц — 4.

В работе принята двойная нумерация параграфов, где первый номер — номер главы, через точку указывается номер параграфа в главе. Нумерация формул, рисунков и таблиц — сквозная в рамках данного параграфа. При обращении к формуле из другого параграфа используется тройная индексация, где первые два числа — номер главы и номер параграфа внутри главы соответственно, а третье число — порядковый номер формулы внутри параграфа.

Основные результаты диссертации опубликованы в [98-107]. Материалы диссертации докладывались на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В.Я. Шкадова, январь, 1992; на VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике, Москва, август 1991 г.; на 9 Зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, январь - февраль 1991 г.; на 10 Зимней школе по механике сплошных сред, январь 1995 г.; на конференции "Вычислительные технологии", Новосибирск, ноябрь 1993 г., на Пермском городском гидродинамическом семинаре.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЧИСЛЕННАЯ МЕТОДИКА

1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим область, ограниченную параллелепипедом бесконечной длины с вертикальными поверхностями — 82, 83 и горизонтальными поверхностями — Бо, 81 (см. рис.1).

Н

1\ "So

S2 S3

....--'"Si

->

О

X

Рис.1

Для описания естественной конвекции используются уравнения в приближении Буссинеска

— + (v V) v = - — Vp + v Av - g р Т dtp

div v = О

дТ

(1)

dt

+ (у V) Т = х • AT

Граничные условия для вектора скорости обычно— условия прилипа-

ния

у|г=0

(2)

Специфика решаемой задачи состоит в постановке граничных условий, учитывающих излучение границ. В качестве примера рассмотрим постановку граничных условий для задачи о подогреве снизу с теплоизолированными вертикальными границами

Т(8о) = То, Т(80 = ТЬ Т,>Т0 (3)

— фг) =-(Бз) = 0 — поток вовне. (4 )

д п

Рассмотрим подробнее граничное условие на поверхности Бг с учётом того, что внутренние поверхности являются излучающими. Для определения внутреннего теплового потока воспользуемся моделью "абсолютно чёрной" поверхности. Полагая, что степень черноты и поглощательная способность всех поверхностей Бк, к = 0,1,2,3 равны между собой, можно записать локальное значение плотности результирующего излучения элементарной площадки б/10 е 8к в виде

я(8/к)) = е с [Т4(з/к)) - 2 | К(г|, г,(к)) Т4(8])(1 (5 )

\ = 0

где а — постоянная Стефана - Больцмана, 8 — степень черноты.

Учитывая равенство внутренних и внешних тепловых потоков и условия (3 ) и (4 ), получим для элементарной площадки

х __ а8{т4(8Х2) >— То4 Г КОПгРУБо -

¿0

- Т!41 ко^ЧгРда -1 к(/3),г/2> )Т4(3(3)) аэз} = о (6)

в, вз

Аналогично можно выписать граничное условие для элементарной площадки на поверхности Бз.

Используя в качестве характерного линейного размера высоту Н и безразмерной температуры в = (Т - Т0)/(Т1 - Т0), обезразмерим граничное условие (6). Учитывая, что Т = Т0 + (Т1 - То) в , получим

1 Т1 ~То /РГ , тшп 4-.4

X—------ае {[1о + (Т1 — Ъ)в(Ъ,у,г)] —

11 и х

+оо Ъ -оо Ь

— То4 J dzj К(г(0),г/2))(к —Ti4J dzj K(r(1),rP)dx-

-00 O +00 O

-00 1

- j dzj К(г(3),г/2) )[T0 + (T, - T0) 0(L,y,z)]4 dy} = O (7)

+00 o

T T -T

Введём безразмерные величины — = rj0, —-- = rj0 — 1 = r|i.

T0 T0

Rd = asHTo3 IX,L= L/H.

Тогда условие (7 ) примет вид

д х

+оо L -оо L

- j dzj K(r(V2))d*-VJ dzj K(r(1),r¡(2))dx —

-00 О +oo О

-00 1

— j dzj K(r(3W2) )[1 + Л1 e(L,y,z)]4dy}=0 (8)

+00 о

В дальнейшем будем предполагать, что решение поставленной задачи не зависит от координаты г. Тогда после обезразмеривания системы (1) и граничных условий (2) - (3 ) и перехода к функции тока \|/ и вихрю скорости Ф, система примет вид

Зф 5\|/ Эф 5ц/ дф 50

-+-----= Аф + О —

сН ду дх дх ду дх

Ду|/ + ф=0 (9)

ае аVI/ ае а^ ае 1

dt ду дх дх ду Рг

де,

дц/ д\|/

где vx = -—, vy= - —, ф = (rotV)z, ду дх

д vi/

4f\r=0,^-\r=0 (10)

оп

0 |s0=0 , 0 |si=l (11)

В систему входят два безразмерных параметра — число Грасгофа G и число Прандтля Pr = v/% . В целом с учётом граничных условий (8) решение задачи зависит от четырёх безразмерных параметров: G, Pr, Rd и г|0.

1.2 . ДИСКРЕТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ, УЧИТЫВАЮЩИХ ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

На поверхности УЪ введём разностную сетку, разбив отрезок [0,1] на Иу равных отрезков. Тогда ум - у, = Ъу, где 11у= 1/Ыу (см. рис.1).

Y Y'

Рис.1

Проинтегрируем уравнение (1.1.8) по поверхности [у,, у1+]] х (- оо,+ оо). По теореме о средних получим (координата 2 в записи функций опущена)

5 0(0, У ) +оо +00

Л1 -—^-Ьу \ с1г — ка {[1 + е(0, ун1/2)]4Ц| (Ь —

^ Х -00 —00

+оо +00 у(+1 Х,

— | (к I ёг | <1у| К(г{0),г/2))сЬс —

-00 -00 О

4 +00 +00 ум Ь

—| ск | ёг | йу | К(г(1),г/2))сЬ:— (1)

—00 —00 УI О

N,,-1 +00 +оо Ум Уь+1

Чхвц^т)}" \ | & / с!у } К(Р\т?№ }=0

к-0 -со -да у. ук

+00

Уравнение (1) сократим на величину 1гу | с!г и введём обозначения

—оо

°м/2 - 1т Т «ь 1 1 ке^л0^

йу -00 Л О

«М/2 - Г- Т «Ь 1 <!у /

Йу -оо у, О

= ^ Т <Ь 1 * Т ^'Л®^-

У Л Л

Окончательно получим

Ч1 ае(0>е>у_»^2-м {[1 +П1е(о,ужй)]4- а<Ю-

N„-1

д х

1 [1+ л10(ДУк+1/2)]4}= о (2) к=0

Справедливо балансовое соотношение

Иу-1

(0,2) (1,2) ^ (3,2) = 1 (3)

1+1/2 1+1/2 1+1/2,к+1/2 1 к=0 '

Рассмотрим подробнее разностную постановку граничных условий (2) для уравнения энергии, используя аппроксимацию сплайнами (см. приложение).

Условие (2) можно переписать в виде

4 (0 2) 4 (1 2) ^ + 1/2,0 -К(1«1 + 111е1+1/2,0) -"¡ + 1/2 -%аг + 1/2 -

N -1

- Е (1 + я,вк+1/ )Ч^к+1/2)} = 0 (4)

к=0 ' Х+1

е9(°>У,+ш> ГДе 1 + 1/2,0 ~ дх

п~н 1

Обозначим в (4) выражение в фигурных скобках через Г(9 ,+1/2 0). Тогда, опуская нижний индекс, запишем разложение в ряд Тейлора в окрестности 9П функции £(0П+1)

деп+1) = г(еп) + (еп+1 -е^^^ + ор11"1 -о11)2)- (5)

69

п 1

Учитывая выражение для £(0 ,+1/2 0 ), получим аппроксимацию

^-4(1 + 4,6)4. (6)

00 1

С учётом (5) и (6) формулу (4) можно переписать так

тП + 1 п,гг/пП, Л/ЛП + 1 Г, П ч ^ )т Л

V1+1/2,0 ) + (01 + 1/2.о -01 + 1/25О)-^"] = 0'

или

та+1 г, л )пп+1 т) 1 г $ г г\ ® \ лп ^(0 гп\

г| I. , ;л „ - Яо-0. , .„ п = 11а[1 (0 ) - 0.,,.. п-] (7)

Ч 1 + 1/2,0 1 + 1/2,0 4 ' 1 + 1/2,0 00

где

Ш-' В = "Кё^е > - е1+1/2 —^—^•

В дальнейшем для удобства записи индекс \ опустим. Тогда (8) можно переписать так

л1С1-А0Г'=-в «

Учитывая формулу (5) из приложения, перепишем (9) в виде

Таким образом, мы привели граничное условие (2) к виду (9) из приложения, тем самым замкнув систему разностных уравнений.

1.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРАВЛЯЮЩИХ КОСИНУСОВ Рассмотрим вычисление величины • этого на поверхности S2

зафиксируем точку Ae[yi,yi+i], а на поверхности Si — произвольную точку В (см. рис.1). Используя формулу (18) из введения, можно записать

cos pj cos р2

K(r(1),r/2)) =

тс г

1,2

Рис. 1

О О

Обозначим Pi = Z ABD и р2= ZCAB. По теореме косинусов ВС = АС + +АВ2 - 2 АС • ABcos р2. По построению ( рис. 1) ВС2 = у2 + z2, АС = х, АВ = ги.

х

Учитывая это, получаем cos Р2

ru

Аналогично о теореме косинусов AD2 = AB2 + BD2 - 2 BD • АВ cos Pi, а по построению (см. рис. 1) AD2 = х2 + z2, BD = у. Отсюда получаем

соб 01

У

1,2

Таким образом

а:

(1,2) 1+1/2 „ъ

1

1 +«> >',Ч1 /-.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Русакова, Ольга Леонидовна

ВЫВОДЫ ПО ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ

Рассмотрены две задачи термокапиллярной конвекции, для которых температурный градиент со свободной границы получен как следствие учета теплового излучения.

1. В задаче с изотермическими границами, где теплопоток со свободной границы являлся единственным механизмом, вызывающим движение, исследована полная картина бифуркаций в широком диапазоне изменения удлинения области ( от 1 до 10). В области квадратного сечения исследована устойчивость симметричного двухвихревого течения: экспериментально определено критическое число Марангони, при котором течение теряет симметрию.

2. В задаче, где совместно действуют два температурных градиента, выявлена область параметров, где отмечено существенное влияние тепло-потока со свободной границы - усложнение структуры течения появлением добавочного вихря.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе проведённой работы автором получены и приведены в диссертации следующие результаты.

1. Поставлена задача естественной конвекции с учётом теплообмена границ излучением. Получено дискретное представление граничных условий для температуры с учётом закона Стефана Больцмана на теплоизолированных (извне) границ.

2. Получено однопараметрическое семейство формул типа Тома для вычисления вихря скорости на твёрдой стенке. Теоретически и расчётами показано, что существует область значений определяющего параметра, в которой предлагаемые формулы имеют устойчивость сравнимую с процедурой Полежаева-Грязнова и не уступают ей по точности.

Проведено обобщение процедуры Полежаева-Грязнова для сплайн-схем, показано, что в этом случае устойчивость процедуры двух полевого метода увеличивается примерно в 7 раз.

3. Впервые исследовано влияние теплообмена границ излучением в задачах естественной гравитационной конвекции при подогреве снизу. Получена полная бифуркационная картина для области квадратного сечения и выведены эмпирические зависимости динамических и тепловых характеристик течения от параметров задачи.

4. Впервые исследовано совместное влияние двух факторов нарушающих равновесие — теплообмена границ излучением и слабого наклона полости. Показано, что специальным подбором угла наклона возможно "затягивание" существования слабо интенсивного "ползущего" течения духвихревой структуры.

5. В задаче о подогреве сбоку изучено влияние параметров излучения на теплообмен в области ползущего течения и в области развитого пограничного слоя.

6. Решены задачи термокапиллярной конвекции, для которых температурный градиент на свободной границе получен как следствие учета теплового излучения. Исследована картина бифуркаций в широком диапазоне изменения удлинения области (от 1 до 10). Для области квадратного сечения исследована устойчивость симметричного двухвихревого течения и определено критическое число Марангони, при котором течение теряет симметрию. В задаче, где совместно действуют два температурных градиента, определена область параметров, где существенно влияние теплопото-ка со свободной границы на усложнение структуры течения и появление добавочного вихря.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Русакова, Ольга Леонидовна, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Седов Л.И. Механика сплошных сред : В 2-х т. - М.: Наука, 1984.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: в 12-ти т. Т.6. Гидродинамика. - М.: Наука, 1987, 736 с.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1987, 840 с.

4. Оцистик М. Сложный теплообмен. - М.: Мир, 976, 616 с.

5. Сперроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. - М.: Энергия, 1971, 294с.

6. Методы теории переноса излучением и их применение. /Под редакцией Ю.А. Суринова - М.: Энергия, 1985, 97 с.

7. Методы теории радиационного и сложного теплообмена и их применение. /Под редакцией Ю.А. Суринова - М.: Энергия, 1989,102 с.

8. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1972, 392 с.

9. Самарский A.A. Теория разностных схем, - М.: Наука,1989, 616 с.

10. Д.Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. Вычислительная гидродинамика и теплообмен: в 2-х т. - М.: Мир, 1990.

И.Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло-и массообмена. - М.: Наука, 1984, 285 с.

12. Патанкар С. Численные методы решения задач теплоомена и динамики жидкости. -М.: Энергоатомиздат, 1984, 152с.

13. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. — М.: Мир, 1988, 544с.

14. Тарунин Е.Л. Двухполевой метод решения задач гидродинамики вязкой жидкости. - Пермь: Перм. ун-т, 1985, 88 с.

15. Тарунин Е.Л. вычислительный экперимент в задачах свободной конвекции. - Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990, 228 с.

16. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980, 616 с.

17. Русаков C.B. Разностные сплайн-схемы для задач тепло-и массопереноса. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990,124 с.

18. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1963,489 с.

19. Boussinesq J. Theorie analytique de la chaleur. - Paris, 1903, Vol.2.

20. Benard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide - Revue generale des Sciences, pure et appliquess. 1900, v.12, p. 1261; 1309.

21. Benar H. Les tour billons cellulaires dans une nappe liquide transportant de la chaleur par convection en regime permanent. - Ann. Chim. Phys., 1901, s.7, v. 23, p. 62-65.

22. Rayleigh, Lord. On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side. - Phill. Mag., 1916, s.6, v. 32, p. 529 - 534.

23. Остроумов Г.А. Естественная конвективная теплопередача в замкнутых вертикальных трубах. - Изв. ЕНИПермск. ун-та, 1947. Т.12, № 4, с. 113-126.

24. Остроумов Г.А. Математическая теория конвективного теплообмена в замкнутых вертикальных скважинах. - Изв. ЕНИ Пермск. ун-та, 1949! Т.12, №9, с. 385-392.

25. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1952, с. 256.

26. Сорокин B.C. Вариационные методы в теории конвекции. - ПММ, 1953, т.7,№ 1, с.39-48.

27. Уховский М.Р., Юдович В.И. Об уравнениях стационарной конвекции. -ПММ, 1963, т. 27, № 2, с. 295-300.

28. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость. - В кн.: Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1978, т. 2, Механика жидкости и газа, с.66-154.

29. Сорокин B.C. О стационарных движениях жидкости, подогреваемой снизу. - ПММ, 1954, т. 18, № 2, с. 197-204.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. - М.: Гостехиздат, 1953, 624 с.

31. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности. - Докл. АН СССР, !944, т.44, №8, с. 339-342.

32. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. - М.: Наука, 1965,4.1,639 с.

33. Deardorff J.W.A. A numerical study of two-dimensional parallel plate convection. - J. Atmosph. Sci., 1964, v. 21, №4, p. 419-438.

34. Fromm J.E. Numarical solution of nonlinear equation for heated fluid laer. -Phys. Fluids, 1965, v.8, № 10, p. 1757-1769.

35. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Тарунин Е.Л. Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, №6, с. 93-99.

36. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шварцблат Д.Л. Надкритические конвективные движения в асимметричной области. - В кн. : Гидродинамика. Пермь: Пермск. пед. ин-т, 1974, вып. 6, с. 89-96.

37. Тарунин Е.Л. О численном исследовании ветвлений при свободной конвекции в замкнутой полости. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, № 5, с. 72-74.

38. Deardorff J.W. Examination of numerically calculated heat fluxes for evidence of a supercritical transition. - Phus. Fluid, v. 11, № 6,1968, p. 1254-1256.

39. Чернатынский В.И. Численное исследование конвекции в горизонтальном цилиндре круглого сечения. - В кн. : Гидродинамика, Пермь: Пермск. пер. инт, 1974. Вып. 7, с. 65-82.

40. Busse F.H. On the stability of two-dimensional convection in a layer heated from below. - J. Mathem. And Phys., 1967, v. 46, № 2 p. 140-150.

41. Зимин В. Д., Кетов А.И. Надкритические конвективные движения в кубической полости. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, № 5, с. 110-150.

42. Зимин В.Д., Кетов А.И. Конвективные колебания в подогреваемой снизу кубической полости. - Уч. зап. Пермск. ун-та, 1975, № 327, Гидродинамика, вып. 6, с. 3-12.

43. Катанова Т.Н., Путин Г.Ф. Надкритические движения в подогреваемом снизу вертикальном слое. - Уч. зап. Пермск. ун-та, 1976, № 152, Гидродинамика, вып. 9, с. 28-36.

44. Митенков Ф.М., Моторов Б.И., Горбунов Л.М., Шемагин А.И. О колебательной неустойчивости при свободной конвекции в объёме. - Тр. Горьков-ского политехи, ин-та, 1975, т.31, № 13, с.34-41.

45. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. О конвективных движениях в ячейке Хеле-Шоу. - Докл. АН СССР, 1977, т. 235, № 3, с. 554-556.

46. Алексеев В.В., Блинков В.М. Конвективное движение жидкости в двумерной прямоугольной вытянутой полости. - Весник МГУ, 1972, № 6 (физика, астроном.), с. 6444-654.

47. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. О взаимодействии волн конесной амплитуды в случае конвективной неустойчивости вращающегося плоского слоя. -Докл. АН СССР, 1974, т. 219, № 2, с. 297-300.

48. Герценштейн С.Я., Шмидт В.М. Нелинейное взаимодействие турбулентности во вращающемся горизонтальном слое. - Изв. АН СССР, МЖГ, 19777, №2, с. 9-15.

49. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин Е.Л. Конвекция подогреваемой снизу жидкости в замкнутой полости при наличии температурной зависимости вязки. - Теплофизика высоких температур, 1973, т. 11, № 3, с. 579-587.

50. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Юрков Ю.С. Конвекция конечной амплитуды в полости с внутренними источниками тепла. - В кн.: Труды IV Всес.

Семинара по числен. Методам мех. Вязкой жидкости. Новосибирск, 1973, с. 38-47.

51.Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Юрков Ю.С. Конечно-амплитудные конвективные движения в прчмоугольных полостях с внутренними источниками тепла. - Уч. зап. Пермск. ун-та, 1974, № 316, Гидродинамика, вып.5, с. 3-23.

52. Юрков Ю.С. Численное исследование конвекции в полости с модулированными внутренними источниками тепла. - Уч. зап. Пермск. ун-та, 1974, № 316, Гидродинамика, вып.5, с.25 -31.

53. Любимова Т.П. О конвективных движениях неньютоновской жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, № 2, с. 181-184.

54. Любимова Т.П. Конвекция неньютоновской жидкости при почти вертикальном подогреве. Уч. зап. Пермск. ун-та, 1975, № 327, Гидродинамика, вып. 6, с. 38-46.

55. Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции, возникающей в модулированном поле внешних сил. - Изв. АН СССР, МЖГ, № 2, с. 196-201.

56. Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции, возникающей при колебаниях температуры на горизонтальных границах. - Изв АН СССР, МЖГ, 1971, № 1, с. 144-150.

57. Бурдэ Г.И. Численное исследование нестационарной ковекции, возника-юощей в условиях модуляции температуры границ. - Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1971, № 4, с. 16-30.

58. Бурдэ Г.И. О конечно-амплитудной конвекции, возникающей в модулированном поле тяжести. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 6 с. 124-134.

59. Власюк М.П., Полежаев В.И. Исследование переноса тепла при естественной конвекции в проницаемых материалах. - В кн.: Тепло-и массоперенос. Минск, 1972, т.1, ч. 1, с. 366-373.

60. Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу. - Ж. Прикл. Мех. И техн. Физ., 1975, № 2, с. 131-137.

61. Брацун Д.А., Любимов Д.В. Динамические свойства тепловой конвекции в пористой среде. Вестник Пермск. ун-та, Физика, вып. 2,1994, с. 53-69.

62. Сорокин Л.Е., Тарунин Е.Л., Шлиомис М.И. Монотонные и колебательные режимы конвекции проводящей среды в магнитном поле. - Магнитная гидродинамика, Рига, 1975, № 4, с. 22-30.

63. Шварцблат Д.Л. Стационарные колебательные движения в плоском горизонтальном слое жидкости с проницаемыми границами. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 5, с. 84-90.

64. Келлер Дж.Б., Антман С. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. - М.: Мир, 1974,256с.

65. Арнольд В.И. Теория катастроф. - М.: Наука, 1990,127с.

66. Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. - М.: Мир, 1977, 208с.

67. Чернатынский В.И., Шлиомис М.И. Конвекция вблизи критических чисел Рэлея при почти вертикальном градиенте тепературы. Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, №1, с. 64-70.

68. Тарунин Е.Л. Ветвление решений уравнений конвекции в замкнутой полости с подвижной границей при подогреве снизу. - В кн. : Современные проблемы тепловой гравитационной конвекции. Минск, 1974, с. 51-58.

69. Никитин А. И., Шарифуллин А.Н. О бифуркациях стационарных режимов тепловой конвекции в замкнутой полости, порождаемых особенностью типа сборки Уитни, - Процессы тепло- и массопереноса вязкой жидкости. Свердловск, 1986, с. 32-39.

70. Зимин В.Д., Кетов А.И. Надкритические конвективные движения в кубической полости. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, № 5, с. 110-114.

71. Ozoe H., Yamamoto К., Churchill S.W. Three-dimensional numerical analysis of natural convection in an inclinedchannel with a square cross section.- AlChe Journal, 1975, v.25, № 4, p. 706-716.

72. Аднлов P.C., Путин Г.Ф., Шайдуров Г.Ф. Конвективная устойчивость двух несмешивающихся жидкостей в горизонтальной щели. - Уч. зап. Пермск. ун-та, 1976, № 362, Гидродинамика, вып. 8, с. 16-20.

73. Симановский И.Б. Конечно-амплитудная конвекция в двухслойной системе. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1975, № 5, с. 3-10.

74. Тарунин E.JI. Конвекция в замкнутой полости, подогреваемой снизу, при нарушении условий равновесия. - Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, № 2, с. 203207.

75. Симуни JI.M. Численное решение нестационарной задачи о свободной конвекции в замкнутой прямоугольной области с боковыми выемками. - Уч. зап. Пермск. ун-та, 1975, № 327, Гидродинамика, вып. 6, с. 47-51.

76. Joseph D.D. Stability of convection in containers of arbitrary shape. - J. Fluid Mech., 1971, v/ 47, N.2, p.257-282.

77. Hall P., Walton I.C. The smooth transition to a convection regime in a two-dimensional box. - Proc. Roy. Soc., London, 1978, A 358. N.1693, p. 99-221.

78. Tompson W.B. Thermal convection in a magnetic field. - Phil. Mag., 1951, v. 42, N.335, p. 1417-1432.

79. Chandrasekhar S. On the inhibition of convection by a magnetic field.: I. - Phil. Mag., 1952, v. 43(7),N.340, p.501-532.

80. Chandrasekhar S. On the inhibition of convection by a magnetic field.: II. - Phil. Mag., 1954, v. 45, N.370, p. 1177-1191.

81. Жуховицкий E.M. Об устойчивости неравномерно нагретой электропроводящей жидкости в магнитном поле. - Физика металл, и металлов., 1958, т.6, вып. 3, с. 385-394.

82. Сорокин B.C., Сушкин И.В. Устойчивость равновесия подогреваемой снизу проводящей жидкомти в магнитном поле. - ЖЭТФ, 1960, т.38, № 2, с. 612-620.

83. Гешуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О спектре конвективной неустойчивости проводящей среды в магнитном поле. - ЖЭТФ, 962, т. 42, № 4, с. 1122-1125.

84. Шлиомис М.И. Осцилирующие возмущения в проводящей жидкости в магнитном поле. - ПММ, 1963, т. 37, № 3, с. 523-531.

85. Шлиомис М.И. О колебательной конвективной неустойчивости проводящей жидкости в магнитном поле. - ПММ, 1964, т. 28, № 4, с. 678-683.

86. Nakagawa Y. Experiments on the instability of a layer of mercyry heated from below and subject to the simultaneous action of a magnetic field and rotation, II. -Proc. Roy. Soc., 1959, A 249, N.1256, p. 138-144/

87. Вайсман Б.И., Гершуни Г.З., Дементьев O.H., Жуховицкий Е.М., Любимов Д.В., Тарунин Е.Л. Численное решение одной нестационарной задачи теории конвекции. - Уч.. зап. Пермск. ун-та, 1972, № 293. Гидродинамика, вып. 4, с. 51-69.

88. Варапаев В.Н. Конвекция и теплообмен в вертикальном слое с учётом излучения неизотермических стенок .- Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, № 1, с. 2530.

89. Pearson С.Е. A computational method for viscous flow problems // J. Fluid Mech/ -1965, v.21, N. 4, p. 611-622.

90. Полежаев В.И., Грязнов В.Л. Метод граничных условий для уравнений Навье - Стокса в переменных "вихрь, функция тока" // Докл. АН СССР, 1974, № 2, с. 301-304.

91. Тарунин Е.Л. Исследование устойчивости неявных схем в \j/, ср переменных с использованием принципа Бабенко-Гельфанда. // Моделирование в механике, т.5(22), № 2. - Новосибирск: АН СССР СО ВЦ, ИТПМ, с. 133-137.

92. Тарунин Е.Л. Зависимость устойчивости нечвных схем двух полевого метода от способа аппроксимации вихря скорости на твёрдой границы // Динамика вязкой жидкости. Свердловск: УрО АН ССР, 1987, с. 80-85.

93. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн - функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

94. Русаков C.B. Параметрическая разностная сплайн-схема для задач динамики вязкой жидкости. — Докл. Академии Наук, 1993, т.328, №3. С.292-295.

95. Полежаев В.И. Течение и теплопроводность при ламинарной конвекции в вертикальном слое // Тепло - и массоперенос. М.: Энергия, 1968. - Т. 1.

96. Полежаев В.И., Бунэ A.B., Верезуб H.A. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье - Стокса //М.: Наука, 1987. С.270.

97. Birikh R., Briskman V., Chernatinsky V., Schwabe D. Axisymmetical Maran-goni convection in toroidal region // Abstracts Joint Xth European and Vith Russian symposium on physical scienses in microgravity. St. Petersburg, Russia, 15-21 June 1997, p.23

98. C.B. Русаков, О.Л. Русакова, O.M. Тетюева, Итерационная сплайн-схема типа Зейделя для уравнений Навье—Стокса. — В сб.: Неизотермические течения вязкой жидкости . Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985, с. 49 - 55.

99. Ю. В. Полянина, О.Л. Русакова. Решение тестовой задачи свободной конвекции при различных граничных условиях. — В сб. : Актуальные проблемы физико-математических наук в исследованиях молодых учёных. Пермь, изд-во ПТУ, 1986, с.24-25.

100. Е. Л. Тарунин, C.B. Русаков, О.Л. Русакова, И.Г. Семакин, Ю.В. Солохи-на, Л.В. Шестакова. Теплообмен в системе концентрических тел вращения. — В сб. тезисов докладов I республиканской конференции ЛатвССР: Численные методы моделирования технологических процессов. Рига, Латв. гос. ун-т, 1989, с. 112-113.

101. С. В. Русаков, O.JI. Русакова, Е.Л. Тарунин. Свободная конвекция в замкнутой области при подогреве снизу с учётом теплообмена излучением. — В сб. тезисов докладов 9 Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, ин -т механики сплошных сред УрО АН СССР, 1991, с. 153 - 155.

102. C.B. Русаков, О.Л. Русакова, Е.Л. Тарунин. Влияние теплового излучения границ области на конвекцию газа при подогреве снизу // Изв. АН СССР. МЖГ. 1992. № 5. С. 47 - 51.

103. C.B. Русаков, О.Л. Русакова, Е.Л. Тарунин. Улучшенная сплайн-процедура для аппроксимации вихря скорости на жёсткой границы. — Сб. научных трудов: Вычислительные технологии. Новосибирск, 1993, т.2, № 5, с.179- 185.

104. C.B. Русаков, О.Л. Русакова, Е.Л. Тарунин. Связь аппроксимации и устойчивости по граничным условиям в двухполевом методе. // Вестник Пермского университета. Математика. 1994, вып.1, с. 72-80.

105. О.Л. Русакова, Е.Л. Тарунин. Исследование влияния на термокапиллярную конвекцию радиационного теплообмена со свободной поверхности. // В сб. тезисов 10 Зимней школы по механике сплошных сред. Екатеринбург, УрО РАН, 1995, с. 212.

106. О.Л. Русакова, Е.Л. Тарунин. Численное исследование свободной конвекции в замкнутой полости при подогреве снизу ( учёт теплового излучения и слабого наклона). // Вестник Пермского университета. Математика, механика, информатика. 1997, вып.1, с.156 - 164.