Булевы линейные стационарные динамические системы и математическое моделирование булевых потоков в сети тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Васильев, Олег Олегович

• Васильев, Олег Олегович
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Васильев, Олег Олегович

Введение

Глава 1. Литературный обзор.

Глава 2. Линейные стационарные системы как модели булевых потоков на ориентированном графе.

2.1. Основные определения.

2.2. Теоретико-графовая интерпретация линейных систем и свойства управляемости.

2.3. Элементы глобальной теории булевых линейных стационарных систем. Теорема о реформировании.

2.4. Задача об эквивалентности систем.

2.5. Области управляемости п элементы теории реализации.

2.6. Булевы линейные стационарные управляемые системы как модель управления запасами.

Глава 3. Описание программного обеспечения для моделирования систем и вычислительные эксперименты.

3.1. Описание программного обеспечения для моделирования систем

3.2. Программная реализация операций над булевыми матрицами

3.3. Программная реализация операций над системами.

3.4. Программная реализация моделирования систем

3.5. Вычислительные эксперименты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Булевы линейные стационарные динамические системы и математическое моделирование булевых потоков в сети»

Актуальность работы. Теория линейных стационарных систем с самого момента своего создания использовалась для моделирования различных объектов, поскольку свойством линейности хотя бы в первом приближении обладает множество реальных систем различной природы.

В частности, теория линейных стационарных систем с дискретным или непрерывным временем применялась для моделирования технических систем самого разного рода и управления ими. Однако большая часть соответствующих работ была посвящена системам с непрерывным множеством состояний, изменяющимся во времени, так называемым временно-ориентированным системам. Или же, напротив, системам с возможно дискретным множеством состояний, но изменяющим свое состояние лишь с наступлением определенного события, то есть событийно-ориентированным системам. В данной работе впервые рассматриваются временно-ориентированные системы с дискретным множеством возможных состояний специального типа, а именно, таким, что его можно отождествить с состояниями вершин ориентированного графа. Это открывает новые возможности для применения теории линейных систем в ряде технических, экономических и биологических задач.

Целью диссертационной работы является разработка нового подхода к моделированию и исследованию булевых потоков на ориентированном графе - теории булевых линейных стационарных управляемых систем с дискретным временем, исследование свойств этой модели, а также создание программного обеспечения, позволяющего моделировать объекты данного типа.

Для достижения поставленной цели была развита теория булевых линейных стационарных систем с дискретным временем, доказана двойственность между булевыми системами и булевыми потоками на ориентированном графе, созданы алгоритмы и программы моделирования булевых систем, проведены вычислительные эксперименты.

Основные задачи работы.

1. Развитие теории булевых линейных стационарных управляемых систем с дискретным временем. В частности, поиск критериев управляемости, наблюдаемости, достижимости систем.

2. Построение теории двойственности между булевыми системами и булевыми потоками на ориентированном графе.

3. Создание эффективного алгоритма решения задачи об эквивалентности булевых систем.

4. Создание программного обеспечения для моделирования булевых систем.

5. Проведение вычислительных экспериментов с целью изучения поведения различных классов булевых систем.

Методы исследования. В работе применены следующие основные методы:

1. математическое доказательство полученных результатов с использованием аппарата комбинаторики, общей теории систем, теории графов, теории булевых матриц;

2. имитационное моделирование различных классов булевых линейных стационарных систем, посредством разработанного автором для этих целей программного обеспечения.

Основными защищаемыми положениями являются:

1. Математическая модель булевых потоков на ориентированных графах - булевы линейные стационарные управляемые системы с дискретным временем.

2. Критерии полной управляемости, наблюдаемости, достижимости, идентифицируемости системы. Двойственность Калмана для булевых систем.

3. Ориентированный граф модулей как параметризация множества тотально наблюдаемых, тотально достижимых систем. Его источники как произведения тотально управляемых, тотально наблюдаемых систем с одним входом и одним выходом. Слабая связность графа модулей.

4. Алгоритм определения эквивалентности систем.

5. Результаты численного моделирования различных классов случайных систем. Совпадение результатов численного моделирования с теоретическими.

Научная новизна. Основные результаты, представленные в работе, являются новыми, получены лично соискателем и состоят в следующем:

1. Получена новая математическая модель булевых потоков на ориентированных графах - булевы линейные стационарные управляемые системы с дискретным временем. Получен результат о соответствии между динамикой булевых потоков и динамикой линейных стационарных систем.

2. Исследованы свойства булевых линейных стационарных систем с дискретным временем. Получены критерии полной управляемости, наблюдаемости, достижимости системы. Показано наличие двойственности Калмана между управляемыми и наблюдаемыми системами. Изучено строение областей управляемости системы. Получен ряд результатов о реализации систем и свойствах областей достижимости.

3. Проведено исследование глобальной структуры множества линейных систем. Введен ориентированный граф модулей, параметризующий множества эквивалентных линейных систем. Описаны его источники и доказана его слабая связность в случае тотально наблюдаемых, тотально достижимых систем.

4. Построен алгоритм определения эквивалентности систем.

5. При помощи разработанного автором программного обеспечения проведено численное моделирование различных классов случайных систем и получены экспериментальные результаты об изменении доли систем, обладающих различными свойствами управляемости, с ростом вектора размерностей.

6. На основе разработанного аппарата предложена модель управления запасами на предприятии, описывающая возникновение и распространение дефицита на складах предприятия в результате срыва поставок или поломки в цехах.

Достоверность результатов исследования обеспечивается приведенными полными доказательствами полученных результатов, а также совпадением теоретически полученных результатов с вычислительным экспериментом.

Практическая значимость Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для дальнейших исследований в области булевых потоков на графах, в области теории линейных управляемых систем. Также полученные результаты и созданное программное обеспечение могут быть использованы для моделирования технических, экономических и биологических систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 61-й Межвузовской студенческой научной конференции «Нефть и газ 2007» (Москва, РГУ нефти и газа, 2007 г.), 3-й Международной конференции «Системный анализ и информационные технологии-2009», на семинарах Института высшей нервной деятельности и нейрофизиологии РАН, Центрального экономико-математического института РАН.

Публикации.Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для защиты кандидатских и докторских диссертаций [154-157, 1G6, 167], одна статья в коллективном сборнике [165], 1 статья в сборниках трудов конференций[153] и тезисы 1 доклада[152].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Работа изложена на 118 страницах основного текста и 21 странице приложения, включает в себя 10 рисунков и одну таблицу. Библиография включает 170 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Васильев, Олег Олегович

Опишем основные результаты данной диссертационной работы.

В параграфе 2.1, следуя классической монографии Р.Калмана, П.Фалба, М.А. Арбиба [89], вводится общее определение (стационарной) динамической системы по Калмаиу, а также общие определения свойств управляемости, что необходимо, поскольку формулировка свойств управляемости и ряда других свойств динамической системы в случае булевых систем значительно отличается от принятой в классической теории вещественных или комплексных линейных стационарных систем. Затем вводятся стандартные определения основных алгебраических структур, участвующих в дальнейших рассмотрениях: структуры коммутативного полукольца, то есть множества с двумя ассоциативными, коммутативными бинарными операциями (+,•)> обладающими, соответственно, нулем и единицей, а также свойством дистрибутивности операции умножения относительно +; структуры полумодуля М над полукольцом Б- множества, снабженного операциями сложения и умножения на элементы полукольца; морфизма полумодулей над 5 как отображения между полумодулями, сохраняющего сложение и умножение на элемент 51. Вводится также основное алгебраическое определение работы: булева полукольца В. Булевым полукольцом В называется двухэлементное множество {0,1} с логической операцией ИЛИ в качестве сложения, обозначаемой нами +, и логической операцией И в качестве умножения, обозначаемой нами Конеч-нопорожденным свободным полумодулем ранга п над В называется множество упорядоченных наборов булевых значений длины п с операцией ИЛИ в качестве сложения и с действием элементов В умножением в полукольце. Сложение и умножение в рассматриваемом случае задаются таблицей 3.1.

То есть сложение и умножение производятся обычным образом за исключением тождества 1 + 1 = 1. Это значит, что булево полукольцо обла

0 1

0 0 1

1 1 1

• 0 1

0 0 0

1 0 1

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Васильев, Олег Олегович, 2011 год

1. Adamek J., Trnkova V. Automata and Algebras in Categories. Kluwer, 1990.

2. Aho A.V., Hopcroft J.E., Ullman J.D. The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley, 1974.

3. Anderson B., Arbib M.A., E.G. Manes. Foundations of system theory: fini-tary and infinitary conditions. Springer-Verlag, 1976. Vol. 115 of Lecture Notes in Econ. And Math. Syst.

4. Ansell H.S. On certain two-variable generalisations of circuit theory with applications to networks of transmission lines and lumped reactances // IEEE Trans. Circuit Theory. 1964. Vol. 11. Pp. 214-223.

5. Antoulas A.C., Bishop R.H. Continued-fraction decomposition of linear systems in the state space // Systems & Control Letters. 1987. Vol. 9. Pp. 43-53.

6. Arbib M.A. A common framework for automata theory and control theory // SIAM J. of Control. 1965. Vol. 3. Pp. 206-222.

7. Arbib M.A., Manes E.G. Foundations of system theory: decomposable systems // Automatica. 1974. Vol. 10. Pp. 285-302.

8. Arbib M.A., Zeiger H.P. On the relevance of abstract algebra to control theory // Automatica. 1969. Vol. 5. Pp. 589-606.

9. Baccelli F., Cohen G., Olsder G., Quadrat J.-P. Synchronization and linearity: an algebra for discrete event systems. London, New-York: Wiley, 1992.

10. Bosgra O.H. On parametrizations for the minimal partial realization problem // Systems & Control Letters. 1983. Vol. 3. Pp. 181-187.

11. Brewer J.W., Bunce J.W., van Vleck F.S. Linear systems over commutative rings. NewYork: Marcel Dekker, 1986.

12. Brockett R. Some geometric questions in the theory of linear systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1976. Vol. 21. Pp. 449-464.

13. Brockett R. Some geometric questions in the theory of linear systems: Tech. Rep. 24: Nagoya University, 1977.

14. Brockett R. The geometry of the set of controllable systems // Proc. Conference on Decision and Control IEEE, New York. 1978.

15. Brockett R., Willsky A.S. Some geometric questions in the theory of linear systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1972. Vol. 17. Pp. 483-490.

16. Byrnes C.I. The moduli space for linear dynamical systems // Geometric Control Theory. Brookline, MA: Math. Sci. Pres, 1977. Pp. 229-286.

17. Byrnes C.I. On the control of certain deterministic,infinite-dimensional systems by algebro-geometric techniques // Amer. J. Math. 1978. Vol. 100. Pp. 1333-1381.

18. Byrnes C.I., Falb P.L. Applications of algebraic geometry in system theory // Amer. J. Math. 1979. Vol. 101. Pp. 337-363.

19. Byrnes C.I., Helmke U. The geometry of the set of controllable systems // Proc. 25th IEEE Conference on Decision and Contr., Athens. Vol. 21. 1986. Pp. 1944-1949.

20. Byrnes C.I., Hurt N.E. On the moduli of linear dynamical systems // Adv. in Math. Studies in Anal. 1979. Vol. 4. Pp. 83-122.

21. Byrnes C. I., Lindquist A. The stability and instability of partial realizations // Systems and Control Letters. 1982. Vol. 2. Pp. 99-105.

22. Cardetti F., Mittenhuber D. Local controllability for linear control systems on Lie groups // Journal of Dynamical and Control Systems. 2005. Vol. 11. Pp. 353-373.

23. Cassandras C.G. Discrete-Event Systems // Handbook of Networked and Embedded Control Systems. Boston: Birkhauser, 2005. Pp. 71-90.

24. Cassandras C.G., Lafortune S. Introduction to Discrete Event Systems. Dordrecht: Kluwer, 1999.

25. Cohen G. Dioids and discrete-event systems // 11th International Conference on Analysis and Optimization of Systems Discrete Event Systems. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1994. Vol. 199 of Lect. Notes in Contr. and Inform Sci. Pp. 223-236.

26. Cohen G., Gaubert S., Quadrat J.-P. Max-plus algebra and system theory: where we are and where to go now // Annual Reviews in Control. 1999. Vol. 23. Pp. 207-219.

27. Cohen G., Moller P., Quadrat J. P., Viot M. Linear system theory for discrete event systems // The 23rd IEEE Conference on Decision and Control. IEEE, 1984. Pp. 539-544.

28. Cohen G., Moller P., Quadrat J. P., Viot M. Algebraic tools for the performance evaluation of discrete-event systems // Proc. of the IEEE. 1989. Vol. 77. Pp. 39-58.

29. Csaszar A. Generalized topology, generalized continuity // Acta Math. Hun-gar. 2002. Vol. 96. Pp. 351-357.

30. Csaszar A. Separation axioms for generalized topologies // Acta Math. Hun-gar. 2004. Vol. 104. Pp. 63-69.

31. Cuninghame-Green R.A. Minimax Algebra. Lecture notes in Economics and Mathematical Systems. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1979.

32. De Schutter B. Minimal state-space realization in linear system theory: An overview // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. Vol. 121. Pp. 331-354.

33. Delchamps D.F. Global structure of families of multivariable linear systems with an application to identification // Math. Syst. Theory. 1985. Vol. 18. Pp. 329-380.

34. Deo N., Davis J.M., Lord R.E. A new algorithm for digraph isomorphism // BIT Numerical Mathematics. 1977. Vol. 17. Pp. 16-30.

35. Eilenberg S. Automata, languages and machines. New York: Acad. Press, 1974.

36. Fliess M., Mounier H. Controllability and observability of linear delay systems: an algebraic approach // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 1998. Vol. 3. Pp. 301-314.

37. Fornasini E., Valcher M.E. Multidimensional systems with finite support behaviors:Signal structure, generation, and detection // SIAM J. Control Optim. 1998. Vol. 13. Pp. 760-779.

38. Forney G.D. Convolutional codes I: Algebraic Structure // IEEE Trans.Inform. Theory. 1970. Vol. 16. Pp. 720 738.

39. Forney G.D. Minimal bases of rational vector spaces, with applications to multivariate linear systems // SIAM J. of Control. 1975. Vol. 13. Pp. 493-520.

40. Fuhrmann P.A. Algebraic system theory: An analyst's point of view // J. Franklin Inst. 1976. Vol. 301. Pp. 521-540.

41. Gaubert P., Max Plus. Methods and applications of (max, +) linear algebra // 14th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1994. Vol. 1200 of Lect. Notesin Comp. Sci. Pp. 261-282.

42. Gluesing-Luerssen H., Schneider G. State space realizations and monomial equivalence for convolutional codes // Linear Algebra and its Applications. 2007. Vol. 425. Pp. 518-533.

43. Gohberg I., Kaashoek M.A., Lerer L. On minimality in the partial realization problem // Systems & Control Letters. 1987. Vol. 9. Pp. 97-104.

44. Golan J.S. Semirings and Their Applications. Dordrecht: Kluwer, 1999.

45. Gragg W.B., Lindquist A. On the partial realization problem // Linear Algebra and its Applications. 1983. Vol. 50. Pp. 277-319.

46. Hazewinke 1 M., Kalman R.E. On invariants, canonical forms and moduli for linear, constant, finite dimensional dynamical systems // Proceedings of the

47. Conference on Mathematical Systems Theory. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1976. Vol. 131 of Lect. Notes Econ. and Math. Syst. Pp. 48-60.

48. Hazewinkel M. Moduli and canonical forms for linear dynamical systems, II: The topological case // Math. Syst. Theory. 1977. Vol. 10. Pp. 363-385.

49. Hazewinkel M. Moduli and canonical forms for linear dynamical systems, III: The algebraic geometric case // Proc. of NASA-AMS Conf. on Geom. Contr. Theory. Brookline: Math. Sci. Press, 1977. Pp. 291-336.

50. Hazewinkel M. On the (internal) symmetry groups of linear dynamical systems // Groups, systems and many-body physics. Wiesbaden: Vieweg, 1979. Pp. 362-404.

51. Hazewinkel M. (Fine) moduli (spaces) for linear systems: What are they and what are they good for // Geometrical Methods for the Theory of Linear Systems. Dordrecht et. al.: D.Reidel Publishing, 1980. Pp. 362-404.

52. Hazewinkel M. On families of linear dynamical systems: degeneration phenomena // Pap. AMS NASA — NATO Summer Semin., Harvard Univ.,June, 1979. Providence: AMS, 1980. Pp. 362-404.

53. Hazewinkel M. A partial survey of the uses of algebraic geometry in systems and control theory // Sym. math. 1981. Vol. 24. Pp. 245-292.

54. Hazewinkel M., Martin C. Special structure, decentralizations and symmetry for linear systems // Mathematical Theory of Networks and Systems. Berlin,

55. Heidelberg, New York: Springer, 1976. Vol. 58 of Lect. Notes Contr. and Inf. Sci. Pp. 437-440.

56. Hazewinkel M., Martin C. Representations of the symmetric group, the specialization order, systems and Grassmann manifold // Enseign. Math. 1983. Vol. 29. Pp. 53-87.

57. Hazewinkel M., Martin C. Symmetric linear systems: An application of algebraic systems theory // Int. J. Contr. 1983. Vol. 37. Pp. 1371-1384.

58. Heidegott B., Olsder G.J., van der Woude J. Max Plus at Work: Modeling and Analysis of Synchronized Systems: A Course on Max-Plus Algebra and Its Applications. Princeton: Princeton University Press, 2005.

59. Helmke U. Linear dynamical systems and instantons in Yang-Mills theory // IMA J. Math. Contr. and Inform. 1986. Vol. 3. Pp. 151-166.

60. Helmke U. Topology of the moduli space for reachable linear dynamical systems: The complex case // Math. Syst. Theory. 1986. Vol. 19. Pp. 155-187.

61. Helmke U. The cohomology of moduli spaces of linear dynamical systems: Dr. Sci. dissertation / Regensburg Univ. 1990.

62. Helmke U. Waring's problem for binary forms // Journal of Pure and Applied Algebra. 1992. Vol. 80. Pp. 29-45.

63. Hermann R., Martin C. Application of algebraic geometry to systems theory: Part I // IEEE Trans. Automat. Contr. 1977. Vol. 22. Pp. 19-25.

64. Hermann R., Martin C. Application of algebraic geometry to systems theory: Part II: The McMillan degree and Kronecker indices of transfer functions as topological and holomorphic invariants // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1978. Vol. 16. Pp. 743-755.

65. Hermida-Alonso H.A., Perez M.P., Sanches-Giralda T. Feedback invariants for linear dynamical systems over a principal ideal domain // Linear Alg. and its Appl. 1995. Vol. 218. Pp. 29-45.

66. Hermida-Alonso H.A, Perez M.P., Sanches-Giralda T. Brunovsky's canonical form for linear dynamical systems over commutative rings // Linear Alg. and its Appl. 1996. Vol. 233. Pp. 131-147.

67. Hinrichsen D., D. Pratzel-Wolters. A canonical form for static linear output feedback // Mathematical Theory of Networks and Systems. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1976. Vol. 58 of Lect. Notes Contr. and Inf. Sci. Pp. 441-462.

68. Hinrichsen D., Pratzel-Wolters D. Generalized Hermite matrices and complete invariants of strict system equivalence // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1983. Vol. 21. Pp. 298-305.

69. Hinrichsen D., Pratzel-Wolters D. State and input transformations for reachable systems — a polynomial approach // Contemp. Math. 1985. Vol. 47. Pp. 217-239.

70. Hinrichsen D., Pratzel-Wolters D. A wild quiver in linear systems theory // Linear Algebra and Appl. 1987. Vol. 91. Pp. 143-175.

71. Hinrichsen D., Prätzel-Wolters D. A Jordan canonical form for reachable linear systems // Linear Algebra and Appl. 1989. Vol. 122/123/124. Pp. 489-524.

72. Ho B.L., Kaiman R.E. Effective construction of linear state-variable models from input/output functions // Regelungstechnik. 1966. Vol. 14. Pp. 545-548.

73. Kaiman R.E. Contributions to the theory of optimal control // Bol.Soc.Mat.Mexicana. 1960. Vol. 5. Pp. 102-119.

74. Kaiman R.E. Contributions to the theory of optimal control // Proc Nat. Acad, of Sei.(USA). 1960. Vol. 48. Pp. 596-600.

75. Kaiman R.E. On the general theory of control systems // Proc 1st IFAC Congress. London: Butterworths, 1960. Pp. 481-492.

76. Kaiman R.E. Irreducible realizations and the degree of a rational matrix // SIAM J. of Control. 1963. Vol. 13. Pp. 520-544.

77. Kaiman R.E. Mathematical description of linear dynamical systems // SIAM J. of Control. 1963. Vol. 1. Pp. 152-192.

78. Kaiman R.E. Algebraic structure of linear dynamical systems. I. The module of S // Proc.Nat.Acad.Sci(USA). 1965. Vol. 54. Pp. 1503-1598.

79. Kaiman R.E. On structural properties of linear, constant, multivariable systems // Third Congress of IFAC. London: Butterworths, 1966. P. paper 6A.

80. Kaiman R.E. Algebraic aspects of the theory of dynamical systems // Differential Equations and Dynamical Systems. Maryland Heights: Academic Press, 1967. Pp. 133-146.

81. Kaiman R.E. Lectures on controllability and observability. Roma: Editzioni Cremonese, 1969.

82. Kaiman R.E. On minimal partial realizations of an input/output map // Aspects of Network and System Theory. Austin: Rinehart and Winston, 1971. Pp. 385-487.

83. Kaiman R.E. Algebraic geometric description of the class of linear systems of constant dimension // 8th Annual Princeton Conf. on Inform. Sei. and Systems. Princeton: Princeton University, 1974. Pp. 17-31.

84. Kaiman R.E. On partial realizations, transfer functions, and canonical forms // Acta Polytechnica Scandinavica. 1979. Vol. 31. Pp. 9-32.

85. Kaiman R.E., Falb P.L., Arbib M.A. Topics in Mathematical Systems Theory. New York: McGraw-Hill, 1969.

86. Kaiman R.E., Ho Y.C., Narendra K. -Controllability of linear dynamical systems // Contr to Diff. Equations. 1963. Vol. 1. Pp. 189-213.

87. Kim K.H. Boolean Matrix Theory and Applications. New York: Marcel Dekker, 1982.

88. Krishnaprasad P.S., Martin C. On families of systems and deformations // Int. J. Contr. 1983. Vol. 38. Pp. 1055-1079.

89. Lomadze V.G. Finite dimensional time invariant linear dynamical systems. Algebraic theory // Acta Appl. Math. 1990. Vol. 19. Pp. 149-201.

90. Luce R.D. A note on Boolean matrix theory // Acta Appl. Math. 1952. Vol. 3. Pp. 382-388.

91. Manthey W., Helmke U. Connectivity properties of spaces of partial realizations // Systems k Control Letters. 2001. Vol. 43. Pp. 225-238.

92. Manthey W., Helmke U., Hinrichsen D. Topological aspects of the partial realization problem // Mathematics of Control, Signals and Systems. 1992. Vol. 5. Pp. 117-149.

93. Manthey W., Helmke U., Hinrichsen D. Generalized partial realizations // Operators, Systems, and Linear Algebra: three decades of algebraic systems theory Stuttgart: B. G. Teubner, 1997. Pp. 138-156.

94. Manthey W., Hinrichsen D., Helmke U. On Fischer-Frobenius transformations and the structure of rectangular block Hankel matrices // Linear and Multilinear Algebra. 1996. Vol. 41. Pp. 255-288.

95. Massey J.L., Sain M.K. Codes, automata and continous systems: Explicit interconnections // IEEE Trans. Automat. Contr. 1967. Vol. 12. Pp. 644-650.

96. Mayne D.Q. A canonical model for identification of multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1972. Vol. 17. Pp. 728-729.

97. Newcomb R.W. On the realizations of modular transfer functions: Tech. Rep. 58: Cornell University, 1966.

98. Osetinskii N.I. Methods of invariant analysis for linear control systems // Journ of Math.Sci. . 1998. Vol. 88. Pp. 587-657.

99. Pommaret J.-F., Quadrat A. Algebraic analysis of linear multidimensional control systems. // IMA J. Control and Optimization. 1999. Vol. 16. Pp. 275-297.

100. Pommaret J.-F., Quadrat A. Localization and parametrization of linear multidimensional control systems // Systems & Control Letters. 1999. Vol. 37. Pp. 247-260.

101. Popov V.M. Invariant description of linear time invariant controllable systems // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1972. Vol. 10. Pp. 252-264.

102. Postlethwaite I., MacFarlane A.G.J. A complex variable approach to the analysis of linear multivariable feedback systems // Lect. Notes Contr. and Inf. Sci. 1979. Vol. 12. Pp. 1-177.

103. Postlethwaite I., MacFarlane A.G.J., Edmunds J.M. Principal gains and principal phases in the analysis of linear multivariable feedback systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1981. Vol. 26. Pp. 32-46.

104. Procesi C. The invariant theory of nxn-matrices // Adv. Math. 1976. Vol. 19. Pp. 306-381.

105. Quadrat J-P., Plus Max. Max-plus algebra and applications to system theory and optimal control // Int.Cong, of Mathematicians 1994. Zurich. Basel: Birkhauser, 1994. Pp. 1507-1511.

106. Richter-Gebert J., Sturmfels B., Theobald T. First Steps in Tropical Geometry // Contemporary Math. 2005. Vol. 377. Pp. 389-318.

107. Rissanen J. Recursive identification of linear systems // SIAM J. Control. 1971. Vol. 9. Pp. 420-430.

108. Rissanen J. Realizations of matrix sequences: Tech. Rep. 1032: IBM, 1972.

109. Rosenblatt D. On the graphs and asymptotic forms of finite Boolean relation matrices // Naval Res.Log. Quart. 1957. Vol. 4. P. 151.

110. Rosenbrock H.H. State-space and multivariable theory. New York: John Wiley, 1970.

111. Rosenthal J. Connections between linear systems and convolutional codes // Codes, Systems and graphical models. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2001. Pp. 39-66.

112. Rosenthal J., Schumacher J. M., York E.V. On behaviors and convolutional codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1997. Vol. 42. Pp. 1881-1891.

113. Rosenthal J., Smarandache R. Maximum distance separable convolutional codes // Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 1999. Vol. 10. Pp. 15-32.

114. Rosenthal J., York E.V. BCH convolutional codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1999. Vol. 45. Pp. 1833-1844.

115. Rouchaleau Y. Linear, discrete-time, finite dimensional dynamical systems over some classes of commutative rings: Ph. D. thesis / Stanford University. 1972.

116. Rutten J.J.M.M. Universal coalgebra: a theory of systems // Theoretical Computer Science. 2000. Vol. 249. Pp. 3-80.

117. Sain M.K., Massey J.L. Invertibility of linear time-invaK-iant dynamical systems // IEEE Trans. Automat.Contr. 1969. Vol. 14. Pp. 141-149.

118. Schwarz S. On the semigroup of binary relations on a finite set // Czech. Math. Jour. 1970. Vol. 20. Pp. 632-679.

119. Shamir T. An algebraic approach to the partial realization problem // Linear Algebra and its Applications. 1986. Vol. 73. Pp. 171-196.

120. Shamir T. Partial realization of symmetric matrix rational functions // Linear Algebra and its Applications. 1988. Vol. 105. Pp. 139-161.

121. Silverman L. Representation and realization of time-variable linear systems: Tech. Rep. 94: Columbia University, 1966.

122. Silverman L. Realization of linear dynamical systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. Vol. 16. Pp. 554-567.

123. Sloane N.J.A., S. Plouffe. The Encyclopedia of Integer Sequences. Maryland Heights: Academic Press, 1995.

124. Sontag E.D. On linear systems and noncommutative rings // Math. Systems Theory. 1975. Vol. 9. Pp. 327-344.

125. Sontag E.D. Linear systems over commutative rings: A survey // Ricerche di Automatica. 1976. Vol. 9. Pp. 1-34.

126. Sontag E.D. Linear systems over commutative rings: a (partial) updated survey // Control science and technology for the progress of society, Vol. 1 (Kyoto, 1981). Laxenburg: IFAC, 1982. Pp. 325-330.

127. Stanley R.P. Acyclic orientations of graphs // Discrete Math. 1973. Vol. 5. Pp. 171-178.

128. Tannenbaum A. Invariance and system theory: Algebraic and geometric aspects. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1981.

129. Tannenbaum A. On the stabilizer subgroups of a pair of matrices // Linear Algebra and Appl. 1983. Vol. 50. Pp. 527-544.

130. Tarjan R.E. Depth-first search and linear graph algorithms // SIAM Journal of Computing. 1972. Vol. 1. Pp. 146-160.

131. Tether A.J. Construction of minimal linear state-variable models from finite input-output data // IEEE Transactions on Automatic Control. 1970. Vol. 17. Pp. 427-436.

132. Vainstein F.S., Osetinski i N.I. Prestability and stability of one class of linear dynamic systems. Algebraic-geometric approach // Proceedings of 1994 Symposium on Human Interaction with Complex Systems. 1994. Pp. 1-7.

133. Vainstein F.S., Osetinski i N.I. Some problems of invariant analysis of linear dynamic systems // Proceedings of 1994 Symposium on Human Interaction with Complex Systems. 1994. Pp. 20-29.

134. Vainstein F.S., Osetinskii N.I. On invariant analysis of linear systems // Proceedings of First Industry/Academy Symposium on Research for Future Supersonic and Hypersonic Vehicles. Vol. 1. 1994. Pp. 218-223.

135. Vainstein F.S., Osetinskii N.I. Classification of systems under state and output transformations // Journ of Math.Sci. 1998. Vol. 88. Pp. 659-674.

136. Weiner P. Multidimensional Convolutional Codes: Ph. D. thesis / University of Notre Dame. 1998.

137. Willems J.C. From time series to linear system // Automatica. 1986. Vol. 22. Pp. 561-580, 675-694.

138. Wonham W.M. Linear multivariable control: a geometric approach. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979.

139. Youla D.C. The synthesis of linear dynamical systems from prescribed weighting patterns // SIAM J. Appl. Math. 1966. Vol. 14. Pp. 527-549.

140. Youla D.C. The synthesis of networks containing lumped and distributed elements. Part I. // Network and Switching Theory. 1968. Vol. 11. Pp. 73-113.

141. Youla D.C., Tissi P. n-port synthesis via reactance extraction. Part I. 1966.

142. Zeiger H.P. Ho's algorithm, commutatuive diagrams, and the uniqueness of minimal linear systems // Network and Switching Theory. 1967. Vol. 11. Pp. 71-79.

143. Белозеров B.E., Можаев Г.В. О единственности решения задач декомпозиции и агрегирования линейных систем автоматического управления // Теория сложных систем и методы их моделирования. 1982. С. 4-13.

144. Белозеров В.Е., Можаев Г.В. О декомпозиции линейных стационарных систем автоматического управления // Кибернетика и вычислительная техника. 1983. Т. 58. С. 71-78.

145. Белозеров В.Е., Осетинский Н.И. Инварианты и канонические формы одного класса линейных управляемых систем // Теория сложных систем и методы их моделирования. 1984. С. 18-25.

146. Васильев О.О. О двух эластичных категорификациях алгебры Калмана пространства линейных стационарных динамических систем // Труды конференции Нефть и Газ-2007, Москва, 2007. 2007. Р. 9.

147. Васильев 0.0. Линейные управляемые системы над булевым полукольцом: графы модулей и проблема изоморфизма // Труды конференции САИТ-2009, Звенигород, 2009. 2009. Рр. 13,41-50.

148. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Вайнштейн Ф.С. Линейные стационарные системы над булевым полукольцом и их графы модулей // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № И. С. 1456-1462.

149. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Вайнштейн Ф.С. Линейные стационарные системы над булевым полукольцом: геометрические свойства и проблема изоморфизма // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, Я212. С. 1748-1755.

150. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Вайнштейн Ф.С. Некоторые замечания о булевых управляемых системах: области управляемости и теория реализации // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 12. С. 1731-1736.

151. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Ф.С. Вайнштейн. Две эластичные ка-тегорификации алгебры Калмана и категория эвристик минимизации // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 11. С. 1553-1560.

152. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Алгебраическая геометрия 4. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 55 из Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам, направления. С. 137-309.

153. Кривулин Н.К. Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем. СпБ.: СпБГУ, 2009.

154. Маслов В.П., Колокольцов Н.К. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит, 1994.

155. Мельников A.A., Ушаков A.B. Двоичные динамические системы дискретной автоматики. СпБ: ИТМО, 2005.

156. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов по современной теории систем // Математические методы в теории систем / Под ред. Ю. . Журавлев. М.: Мир, 1979. С. 271-327.

157. Осетинский Н.И. О базисе инвариантов линейных управляемых систем // Сб. тр. ВНИИ систем, исслед. 1988. Т. 1. С. 76-81.

158. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов и методов в современной теории линейных систем // Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1989. С. 328-379.

159. Осетинский Н.И., Васильев О.О. О некоторых категориях связанных с базисами алгебр Калмана // Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит, 2008. Т. 6. С. -.

160. Осетинский Н.И., Васильев О.О., Вайнштейн Ф.С. Геометрическая комбинаторика алгебр Калмана // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 42, № 11. С. 1532-1538.

161. Осетинский Н.И., Васильев О.О., Вайнштейн Ф.С. Об одной категории связанной с алгеброй Калмана линейной динамической системы // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 11. С. 1533-1539.

162. Сачков Ю.Н. Теория управления на группах Ли // СМФН. 2008. Т. 27. С. 173-266.

163. Цаленко М.Ш., Шульгейфер Е.Г. Основы теории категорий. М: Наука, 1974.

164. Цаленко М.Ш., Шульгейфер Е.Г. Категории // Алгебра.Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 13 из Итоги науки и техники. С. 51-147.