Алгебраические методы представления динамических систем в пространстве состояний: точная и приближенная реализации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор технических наук Пушков, Сергей Григорьевич

• Пушков, Сергей Григорьевич
• доктор технических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор технических наук Пушков, Сергей Григорьевич

Введение

Список обозначений

Глава 1. Конечномерные линейные динамические системы

1.1 Описание систем на теоретико-множественном уровне

1.2 Линейные динамические системы

1.3 Линейные системы над коммутативными кольцами

1.4 Моделирование и эквивалентность систем

1.5 О способах представления линейных динамических систем 39 Выводы

Глава 2. Моделирование. Реализация. Идентификация

2.1 Методология моделирования

2.2 Общая теория реализации

2.3 Алгебраическая теория реализации 48 (i* 2.4 Системы с шумом и несогласованность между моделью и измерениями

2.5 Приближенное моделирование и идентификация систем

2.6 О соотношении между задачами реализации и идентификации 62 Выводы с*

Глава 3. Методы реализации систем над полями

3.1 Теория реализации систем над полями

3.2 Алгоритм вычисления конечномерной реализации Б.Л. Хо

3.3 Алгоритмы реализации, основанные на псевдообращении ганке-левых матриц

Выводы

Глава 4. Теория реализации линейных систем над коммутативными кольцами

4.1 Критерии реализуемости

4.2 Методы построения реализаций

4.3 Минимальность, достижимость и наблюдаемость

4.4 Проективные системы 121 Выводы

Глава 5. Приближенная реализация

5.1 Постановка и общая характеристика задачи приближенной реализации

5.2 Оценивание параметров линейных динамических систем

5.3 Оценивание размерности линейной динамической системы

5.4 Некоторые теоретические и практические вопросы решения задач приближенной реализации

5.5 Алгоритмы вычисления приближенной реализации

5.6 Численная иллюстрация алгоритмов и методов 152 Выводы

Глава 6. Моделирование пространства состояний динамических 162 систем

6.1 Общая характеристика методологии теоретико-системного моделирования

6.2 Точность, адекватность и работоспособность моделей

6.3 Моделирование пространства состояний асимптотически устойчивых динамических систем

6.4 Численные эксперименты 183 Выводы

Глава 7. Распространение теории реализации на другие классы 187 систем

7.1 Реализация систем с непрерывным временем

7.2 Некоторые распространения и обобщения

7.3 Интервальные динамические системы

7.4 Нечеткие системы 222 Выводы

Глава 8. Некоторые применения ф 8.1 Вычисление аппроксимаций Паде

8.2 Моделирование временного ряда системой с пространством состояний

8.3 Автоматизация анализа и расшифровки электрокардиограмм

8.4 Применение к анализу природных (экологических) систем 265 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраические методы представления динамических систем в пространстве состояний: точная и приближенная реализации»

Изучение процессов и явлений на основании данных наблюдения за поведением объекта делает необходимым представление существенных аспектов его процесса функционирования в удобной для исследований форме. Сама форма представления модели объекта зависит от ее назначения и областей потенциального применения. Среди таких областей можно выделить интерпретацию прошлого и прогнозирование будущего поведения объекта, а также решение задач управления.

Для целей исследования динамики различных процессов и управления ими наиболее удобными оказываются модели, основанные на наблюдении входных и выходных сигналов объекта и представлении его поведения в пространстве состояний. Центральным понятием при таком подходе является понятие динамической системы. При этом нужно учитывать, что модели, полученные на основе наблюдений, очень часто являются неточными моделями, в них, как правило, присутствует возмущающий фактор.

Модели, заданные в пространстве состояний, являются естественной формой представления для динамических систем теории управления, в особенности теории автоматического управления (П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз [32], Г. Ро-зенброк [270], X. Квакернаак, Р. Сиван [48], М.Уонэм [136], В. Стрейц [130], Ф.Л. Черноусько [145] и другие). Однако метод пространства состояний оказывается применимым и во многих других случаях.

Так, например, при разработке автоматизированных систем анализа электрокардиограмм (ЭКГ) приходится решать ряд проблем, связанных с фильтрацией ЭКГ-сигнала, представлением существенной информации, выбором системы информативных признаков и их распознаванием [9, 50, 55, 117, 146, 292]. Высокоэффективными методами фильтрации ЭКГ-сигнала являются методы, основанные на анализе временного ряда ЭКГ-сигнала [221, 278]. Дальнейшее развитие этих методов приводит к представлению процесса фильтрации в виде линейной динамической системы с пространством состояний. Кроме того, представление в пространстве состояний является естественным при подходах к анализу электрокардиограмм, основанных на алгоритмах обучения машины [120], разработке эквивалентного генератора сердца и диагностического автомата.

Другим примером являются природные (экологические) системы, которые относятся к сложным системам [34], математические модели экологических систем, как правило, являются неточными моделями. При исследовании экологических систем с помощью их моделирования проведение специальных натурных экспериментов очень часто бывает затруднено или даже неуместно. Поэтому для построения моделей таких систем приходится использовать данные мониторинга природной среды. Представление эволюции экосистемы в пространстве состояний позволяет с единых позиций подойти к решению сразу нескольких задач, а именно к задачам имитации поведения экосистемы, прогнозирования ее поведения, а также к проблеме управления экосистемой.

Аналогичные примеры можно в большом количестве приводить и из других предметных областей.

Важной проблемой системного анализа и моделирования является проблема исследования адекватности модели изучаемому объекту или явлению. Традиционный подход к проверке степени адекватности моделей реальным явлениям построен на проведении контрольных экспериментов и использовании критериев, основанных на сравнении временных рядов, наблюдаемых на объекте и полученных с использованием модели. К экспериментальным данным, на основании которых была построена модель, предъявляется требование их воспроизводимости.

Данные контроля медико-биологических, экологических и многих технических систем очень часто оказываются невоспроизводимыми или трудновоспроизводимыми. Обеспечение требований адекватности моделей изучаемым объектам или явлениям делает актуальными теоретическое объектам или явлениям делает актуальными теоретическое обоснование использования методов их построения и формулировку соответствующих критериев реализуемости.

Кроме того, следует иметь в виду, что во многих приложениях несогласованность между моделью и экспериментальными данными возникает не только по причине случайности или шума измерения, а благодаря сознательному использованию модели, структура которой не позволяет охватить сложность наблюдаемого явления. Поэтому становится актуальной проблема разработки таких методов построения приближенных моделей, для которых несогласованность между моделью и экспериментальными данными может иметь не только статистическую, но и иную интерпретацию.

Следует заметить, что понятие состояния физической системы или физического процесса (как и любых реальных процессов и систем) не поддается общему определению, а сам термин «состояние» является явно перегруженным. Тем не менее во всякой научной теории, имеющей дело с математическими моделями, понятию состояния можно дать четкое определение в математических терминах. Основополагающей идеей при таких определениях является то, что состояние объекта вместе с информацией о входном сигнале объекта полностью определяют его дальнейшее поведение. Таким образом, переменная состояния является естественной характеристикой любой динамической системы. Ряд конкретных способов определения состояния для различных типов систем теории управления можно найти в [129].

Состояние системы удобно представлять точкой некоторого пространства — пространства состояний. При этом следует понимать некоторую условность термина «пространство», поскольку этот термин подразумевает некоторые хорошо известные математические структуры (векторное пространство, метрическое пространство, банахово пространство, вероятностное пространство и т.п.). Скорее можно вести речь о множестве или объекте состояний, которое в ряде конкретных теорий может быть наделено некоторой структурой, в том числе и пространственной структурой.

Эффективным методом исследования линейных систем управления являются алгебраические методы. Алгебраические методы для исследования различных проблем теории управления использовались и развивались Р. Калманом [44, 235-236], Л. Заде [39], Р. Броккетом [171], А. Танненбаумом [289], Ю.И. Параевым [81], А.И. Кухтенко [58], Е.М. Смагиной [124], Е.А. Перепел-киным [82], В.Н. Буковым [12-14], И.В. Гайшуном [26, 27], Б.Т. Поляком [8384] и многими другими.

Задача представления информации об объекте тесно связана с проблемой реализации динамических систем. Как замечено в [161], на современном этапе развития теории управления центральную роль играют три понятия: достижимость, наблюдаемость и реализация. Наиболее изящно взаимосвязь этих понятий проявилась в калмановском подходе к линейным системам, основанном на теории модулей [44]. Проблема реализации является одной из основных задач не только теории управления, но и математической теории систем. Решение этой задачи, которое приходится осуществлять на самых ранних этапах работы над исследуемым объектом, позволяет представить в пространстве состояний известное соотношение между входными и выходными сигналами объекта.

Фундаментальные исследования проблемы реализации в теории систем связано с именами М. Месаровича, Р. Калмана, С. Эйленберга, Э. Зонтага, Дж. К. Виллемса и др.

Основное внимание в данной работе будет уделяться линейным стационарным динамическим системам с дискретным временем. В алгебраическом подходе к теории линейных систем, который восходит к работам Р. Калмана [44, 227, 235, 237], множества входных сигналов, состояний и выходных сигналов системы представляются модулями над некоторым кольцом R. При этом задача реализации эквивалентна построению тройки R -линейных отображений (F,G,H). Этот подход развивался далее С. Эйленбергом [191], Й. Рушало [241],

Р. Калманом [238, 239], П. Фурманом [207-211], М. Хазенвинкелем [226], Э. Зонтагом, Б. Вайменом [272-274, 280, 283, 284], Р. Айсингом и М. Хаутусом [ 194] и другими.

В случае систем над полями теория реализации наиболее развита (Р. Кал-ман [44, 237-239], Б.Л. Хо [227], П. Зейгер [308], Дж. Риссанен [267], Л. Силь-верман [277], Н.И. Осетинский [75-78], П. Фурман [207-211] и другие). Дальнейшее развитие методологии реализации идет по пути обобщения теории реализации для систем над полями на случай систем над кольцами [69] (Й Рушало и Б. Ваймен [272-274], С. Эйленберг [191], Э. Камен [242], Э. Зонтаг [280, 283] Г. Конте и А. Пердон [183-184], Э. Эмре [195], П. Каргонекер [246-247], Р. Ай-синг и М. Хаутус [194] и другие), и другими алгебраическими системами (Дж. Гоген [216], Б.Д.О Андерсон, М. Арбиб, Э. Мейнс [159, 161], Б. де Шаттер, В. Блондель, Б. де Мур [187-189] и другие), а также по пути разработки эффективных вычислительных процедур для систем над числовыми полями [133] (Л. де Джонг [186], Дж. К. Виллемс [299-302], О. Босгра [168-169], М. ван Ба-рель и А Бултхил [295], И. Гоберг, М. Кашоик, Л. Лерер [217-218], М. Рави и Дж. Розенталь [265-266] и другие).

Указанный выше подход касается решения задачи вычисления точной реализации, т.е. распространяется только на те случаи, когда наблюдаемые входные и выходные сигналы системы заданы точно. Для систем, которые подвержены воздействиям различных искажающих факторов либо функционирующих в условиях неопределенности, этот подход не может давать удовлетворительных результатов. В этих случаях чаще всего используются классические методы идентификации, применимость которых возможна только после того, как уже решена проблема выбора формы представления. Работы [133, 299-301] предлагают методологию, обобщающую теорию реализации и идентификации, развивает вопросы точного и приближенного моделирования временных рядов. Для изучения неточно определенных систем используются также другие подходы, такие как интервальный анализ (Н.А. Хлебалин и Ю.И. Шокин [140],

А.Б. Куржанский, С.П. Шарый [149], Е.М. Смагина [125], С.П. Соколова [43], Д.В. Сперанский [10], А.В. Лакеев и другие), нечеткие множества и нечеткая логика (JI. Заде [40, 306-307], А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун[1], Дж. Клир [248-250], С.Н. Васильев [19-20], Б.Н. Петров и другие).

Анализ сложившегося к настоящему моменту положения в области теории реализации и идентификации динамических систем показал, что существующие методы либо применимы для очень узкого класса систем, либо соответствующие алгоритмы слабоструктурированы и поэтому оставляют открытым вопрос их численной реализации. Несмотря на обилие различных подходов и методов, можно констатировать, что имеется необходимость в разработке методологии, которая бы решала задачу реализации динамических систем с единых позиций, как для детерминированных систем, так и для систем с искажениями и неопределенностями. Кроме того, к настоящему времени недостаточно исследованы вопросы использования теоретико-системных моделей для решения задачи прогнозирования будущего поведения системы.

Настоящая работа посвящена исследованию проблемы построения моделей с пространством состояний на основе данных о поведении вход-выход (импульсной характеристике, отображении вход-выход и т.п.) динамических систем.

Целью представляемой исследовательской работы является

1) развитие общей методологии реализации (представления в пространстве состояний) динамических систем, применимой как для детерминированных систем, так и для широкого класса неточно и нечетко определенных систем;

2) получение эффективных методов и алгоритмов реализации в пространстве состояний для класса линейных стационарных динамических систем с дискретным временем;

3) для неточно заданных отображений вход-выход разработка теории и методов приближенной реализации;

4) распространение теории и методов реализации на класс динамических систем с интервальной неопределенностью; постановка задач реализации, получение критериев реализуемости, разработка методов вычисления реализаций.

Методы исследования. В качестве методической основы для разработки и исследования моделей и методов, предложенных в данной работе, выбран алгебраический подход к теории систем. Для получения результатов используются методы линейной и абстрактной алгебры, матричного анализа, теории нечетких множеств, интервального анализа. При разработке методов и алгоритмов решения задач приближенной реализации применяются методы математического программирования. Для построения теоретико-системных моделей используются методы системного анализа.

Научная новизна результатов, полученных в настоящей работе, состоит в следующем:

1) Для линейных стационарных динамических систем с дискретным временем сформулированы и доказаны утверждения, которые представляют методы вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения. Получены модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации. Разработаны численные методы решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме Б.Л. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации.

2) Установлены свойства проективных систем, связанные с проективностью задающих их модулей. Доказана теорема об отображении вход-выход для системы с проективным конечно-порожденным модулем состояний, являющейся обобщением теоремы Эйленберга.

3) Сформулирована задача приближенной реализации как обобщение задачи точной реализации на случай систем с «шумом». Получены методы решения задач приближенной реализации, основанные на минимизации функции несогласованности для оценивания параметров системы и специальной критериальной функции для оценивания размерности системы. Разработаны численные методы и алгоритмы вычисления приближенной реализации.

4) Для интервальных линейных стационарных динамических систем проанализированы возможные формулировки задачи реализации и пути ее решения. Сформулирован и доказан критерий алгебраической реализуемости импульсной последовательности интервальных матриц. Получен метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных систем.

5) Введено понятие общей нечеткой системы относительно t-нормы. Для данного класса систем сформулированы и доказаны теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции. Проанализировано свойство нечеткой линейности нечетких отношений и исследованы свойства нечетких линейных систем.

6) На основе разработанных методов и алгоритмов точной и приближенной реализации развита методика представления в пространстве состояний данных контроля линейных динамических систем. На совокупности тестовых примеров и реальных экспериментальных данных показаны алгоритмическая эффективность методов и их применимость для решения прикладных задач.

Практическая значимость результатов работы состоит в том, что разработанные методы представления динамических систем в пространстве состояний можно использовать при решении практических задач моделирования, прогнозирования и управления технических, медико-биологических, экологических и других систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции «Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов» (Барнаул, 1997); на краевых конференциях по математике «Математики Алтайского края» (Барнаул, 1998, 1999, 2000, 2001, 2003); на научной сессии Алтайского отделения МАНЭБ «Устойчивое развитие конверсируемых регионов Сибири» (Бийск-Барнаул, 1999); на городских научно-практических конференциях (Бийск, 1999, 2000); на семинаре «Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления» (Новосибирск, 2001); на Международной научно-технической конференции «Измерения, контроль, информатизация» (Барнаул, 2002, 2003); на IV Всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2002); на Международном совещании по интервальной математике и методам распространения ограничений (Новосибирск, 2003); на Второй Международной научно-технической конференции «Технологическая системотехника» (Тула, 2003); на научно-техническом семинаре факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета (Томск, 2004).

Положения, выносимые на защиту:

1) Модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения вход-выход линейной стационарной динамической системы с дискретным временем.

2) Численные методы решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме Б.Л. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации.

3) Теорема об отображении вход-выход для системы с проективным конечно-порожденным модулем состояний (обобщение теоремы Эйленберга).

4) Развитие теории, методов и алгоритмов решения задач приближенной реализации.

5) Методика формирования теоретико-системных математических моделей на основе представления динамических систем в пространстве состояний.

6) Методы моделирования временных рядов системой с пространством состояний, основанные на вычислении конечномерных реализаций.

7) Формализация задач реализации для линейных динамических систем с интервальной неопределенностью. Критерий алгебраической реализуемости для интервальных систем.

8) Метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных интервальных динамических систем.

9) Развитие общей теории нечетких систем. Теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции для общей нечеткой системы.

10) Формализация понятия нечеткой линейности и получение свойств нечетких линейных систем.

Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав и заключения. Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цель, задачи, объект и методы исследования, научная новизна и практическая значимость работы, указаны положения, выносимые на защиту, дана общая характеристика работы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Пушков, Сергей Григорьевич

Основные результаты настоящей работы состоят в следующем:

1) Проведен теоретико-системный анализ проблемы представления динамических систем в пространстве состояний. Исследованы теоретические и методологические аспекты этой проблемы на различных уровнях общности.

2) На основе алгебраического подхода к проблеме исследованы задачи как точного, так и приближенного моделирования процессов и явлений на основе представления систем в пространстве состояний. Сформулирована задача приближенной реализации как обобщение задачи точной реализации на случай систем с "шумом".

3) Изучены свойства блочных ганкелевых матриц поведения вход-выход линейной стационарной динамической системы. Сформулированы и доказаны утверждения, которые дают методы вычисления конечномерной реализации, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы поведения системы. Разработаны модификации алгоритмов вычисления конечномерной реализации заданного отображения вход-выход.

4) Разработаны и протестированы численные методы и программное обеспечение для решения задач точной реализации, базирующиеся на алгоритме Б.Л. Хо и модифицированных алгоритмах конечномерной реализации.

5) Исследованы свойства реализаций над коммутативными кольцами. Введено понятие проективной системы. Установлены свойства проективных систем, связанные с проективностью задающих их модулей. Доказана теорема об отображении вход-выход для системы с проективным конечно-порожденным модулем состояний.

6) Разработаны методы решения задач приближенной реализации для систем с «шумом». Приведены алгоритмы вычисления приближенной реализации, методы и алгоритмы оценивания размерности и параметров системы.

7) Предложен и обоснован подход к автоматизированному моделированию с использованием методики формирования теоретико-системных математических моделей на основе представления динамических систем в пространстве состояний.

8) Для асимптотически устойчивых динамических систем с дискретным временем разработан метод построения матриц импульсной характеристики на основании данных наблюдения за входными и выходными сигналами системы.

9) Поставлена и исследована проблема реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем. Проанализированы возможные формулировки этой проблемы и пути ее решения. Сформулирован и доказан достаточный критерий алгебраической реализуемости импульсной последовательности интервальных матриц. Предложен и обоснован метод нахождения алгебраических реализаций для полностью неотрицательных и полностью неположительных систем.

10) Введены понятия общей нечеткой системы относительно t-нормы, ее объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции. Установлены соотношения между различными условиями согласованности этих понятий. Сформулированы и доказаны теоремы существования объекта глобальных состояний, нечеткой глобальной реакции и нечеткого отношения глобальной реакции для общей нечеткой системы.

11) Введено в рассмотрение и проанализировано свойство линейности нечетких отношений. Введено понятие нечеткой линейной системы и исследованы свойства такой системы и ее отношения глобальной реакции.

12) Разработаны методы моделирования временных рядов системой с пространством состояний, основанные на вычисления конечномерных реализаций. Практическая применимость указанных методов проиллюстрирована на примерах решения задач фильтрации электрокардиографических сигналов, анализа и прогноза содержания загрязняющих веществ в системах водоотведения промышленных стоков.

Изложенные в работе результаты важны не только в концептуальном и теоретическом аспектах, но и в практическом. Предложенные в работе методы и алгоритмы могут представлять интерес для различных областей применения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщая результаты теоретического анализа проблемы и экспериментальной проверки методов и алгоритмов представления динамических систем в пространстве состояний, можно сделать вывод об актуальности и значимости проведенного исследования и дальнейших перспективах изучения проблемы.

В первой главе исследования определены основные теоретико-системные понятия, введен в рассмотрение основной объект исследования - линейная стационарная динамическая система с дискретным временем. Во второй главе проанализированы проблемы моделирования динамических систем, взаимосвязи между задачами моделирования, реализации и идентификации. В третьей главе разработаны методы и алгоритмы реализации для систем над полями. В четвертой главе представлены результаты по теории и методам реализации для систем над коммутативными кольцами. Методы и алгоритмы приближенной реализации, разработанные для систем с «шумом» содержатся в пятой главе. В шестой главе предложен подход к построению моделей с пространством состояний непосредственно на основе данных вход-выход, приведены методы оценки качества моделей. В седьмой главе проанализированы вопросы распространения теории реализации на различные классы динамических систем, представлены методы реализации систем с интервальной неопределенностью, исследован вопрос существования объекта глобальных состояний для нечетких систем. В восьмой главе описаны подходы к использованию теории и методов представления систем в пространстве состояний для различных областей применения.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Пушков, Сергей Григорьевич, 2004 год

1. Аверкин A.H., Батыршин И.З., Блишун А.Ф. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. — М.: Наука, 1986.

2. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп / Под ред. М. Арбиба. -М.: Статистика, 1975.

3. Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса и А. Фрелиха. — М.: Мир, 1969.

4. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. -М.: Мир, 1982.

5. Ащепков JI.T., Давыдов Д.В. Стабилизация наблюдаемой линейной системы управления с постоянными интервальными коэффициентами // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2002. — №2. —1. С. 11-17.

6. Бейкер Дж. (мл.), Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. — М.: Мир, 1986.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

8. Бир С. Кибернетика и управление производством. М.: Физматгиз, tf 1963.

9. Биргер И.А. Определение диагностической ценности признаков // Кибернетика. 1968. - №3. - С. 80-85.

10. Богомолов А.С., Сперанский Д.В. Об одной разновидности задачи стабилизации линейной дискретной системы // Автоматика и телемеханика. 2002. - №9. - С. 111-124.

11. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. -М.: Мир, 1974.-Вып. 1-2.м

12. Буков В.Н., Косьянчук В.В., Рябченко В.Н. Вложение систем. Неконструктивное моделирование // Автоматика и телемеханика. — 2001. — №12.-С. 3-10.

13. Буков В.Н., Рябченко В.Н. Обобщение утверждений о реализуемости компенсатора на входе системы // Автоматика и телемеханика. — 2003. -№4. -С. 30-43.

14. Буков В.Н, Рябченко В.Н., Зубов Н.Е. Вложение и оптимизация линейных систем // Автоматика и телемеханика. 2002. — №5. — С. 12-23.

15. Бутковский А.Г. Что такое управление с точки зрения аксиомы выбора Цермело // Автоматика и телемеханика. 2000. - №7. — С. 182-185.

16. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.

17. Ван дер Шафт А. К теории реализации нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями высшего порядка // Теория систем. Математические методы и моделирование: Сборник переводных статей. М.: Мир, 1989. - С. 193-237.

18. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979.

19. Васильев С.Н. От классических задач регулирования к интеллектному управлению. I // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2001. №1. - С. 5-22.

20. Васильев С.Н. От классических задач регулирования к интеллектному управлению. II // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2001.- №2.-С. 5-21.

21. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1988.

22. Веников В.А., Суханов О.А. Кибернетические модели электрических систем.-М.: Энергоиздат, 1982.

23. Виллемс Я. К. От временного ряда к линейной системе // Теория систем. Математические методы и моделирование: Сборник переводных статей.-М.: Мир, 1989.-С. 8-191.

24. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

25. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979.

26. Гайшун И.В. Двухпараметрические дискретные системы над кольцом вычетов и их свойства // Автоматика и телемеханика. 2002. — №11.— С. 24-31.

27. Гайшун И.В. Стабилизируемость линейных систем над кольцами // Автоматика и телемеханика. 2002. - №3. - С. 27-35.

28. Гайшун И.В., Горячкин В.В. Минимальная реализация вполне разрешимых линейных дифференциальных систем наблюдения // Автоматика и телемеханика. 2003. - №3. — С. 52-60.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. - М.: Наука, 1988.

30. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979.

31. Гукасов В.Г., Пинскер И.Ш., Цукерман Б.М. Описание электрокардиограмм в автоматизированном комплексе // Моделирование и автоматический анализ электрокардиограмм / Под ред. И.Ш. Пинскер. — М.: Наука, 1973.-С. 143-150.

32. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. -М.: Наука, 1970.

33. Дёмин Н.С., Лузина Л.И. Оптимизация систем фильтрации стохастических сигналов. Томск: Изд-во ТГУ, 1991.

34. Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии. -М.: Мир, 1981.

35. Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.

36. Домбровский В.В. Понижение порядка систем оценивания и управления. -Томск: Изд-во ТГУ, 1994.

37. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М: Статистика, 1973.

38. Елкин В.И. Реализация, инвариантность и автономность нелинейных управляемых динамических систем // Автоматика и телемеханика. -1981. -№7. С. 36-44.

39. Заде JL, Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.

40. Заде JI.A. Понятие приближенной переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

41. Заславский Б.Г. Динамика Численности управляемых популяций // Автоматика и телемеханика. 1982. - №2. - С. 71-80.

42. Заславский Б.Г. Об управлении неотрицательными воздействиями динамической численности популяций и сообщества // Доклады АН СССР. 1983. - Т. 289, № 11. - С. 44-46.

43. Ивлев Р.С., Соколова С.П. Построение векторного управления многомерным интервально заданным объектом // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4, №4. - С. 3-13.

44. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971.

45. Канторович JI.B. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений // Сибирский математический журнал. 1962-Т. 3,№5.-С. 701-709.

46. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.

47. Кашьяп P.JL, Рао А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. М.: Наука, 1983.

48. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. -М.: Мир, 1977.

49. Ковальков Ю.А., Дмитриев О.Н. Эффективные технологии маркетинга. — М.: Машиностроение, 1994.

50. Колмогоров А.Н. Три подхода к определению понятия "количества информации" // Проблемы передачи информации. 1965. — Т. 1. — С. 1-7.

51. Кривошапко С.Ю., Пушков С.Г. Вычисление конечномерных реализаций для интервальных динамических систем: метод граничных реализаций // Материалы шестой краевой конференции по математике «МАК-2003». Барнаул: Изд-во АГУ, 2003. - С. 59-60.

52. Крылов В.В. Модели дискретных систем с бесконечномерным пространством состояний // Автоматика и телемеханика. 1979. - №5. — С. 82-88.

53. Кузин JI.T. Основы кибернетики. М.: Энергия, Т. 1. - 1973; Т. 2. -1979.

54. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967.

55. Куржанский А.Б. Задача идентификации теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. - 1991. - №4. - С. 3-26.

56. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.

57. Кухтенко А.И., Никитенко О.В., Удилов В.В. Алгебраические инварианты и теория управления конечномерными стационарными объектами // Автоматика. 1982. - №6. - С. 53-64.

58. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.

59. Ланкастер П. Теория матриц. -М.: Наука, 1982.

60. Левин В.И. Интервальная непрерывная логика и ее применения в задачах управления // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2002.-№1.- С. 138-145.

61. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

62. Литвинов А.П. О ганкелевых и других матрицах, порождаемых рациональными дробями // Известия вузов. Математика. 1980. — №6. -С. 36-43.

63. Ломадзе В.Г. Об обобщенных автономных динамических системах // Сообщения АН ГССР. 1987. - Т. 126.-С. 261-264.

64. Луазо Ж.Ж., Марченко В.М. Реализация в шкалах систем с запаздыванием // Доклады РАН. 2002. - Т. 383, №3. - С. 305-308.

65. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

66. Люблинский Р.Н., Оскорбин Н.М. Методы декомпозиции при оптимальном управлении непрерывными производствами. — Томск: Изд-во ТГУ, 1979.

67. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

68. Математические методы в теории систем: сборник переводных статей / Под ред. Ю.И. Журавлева. М.: Мир, 1979.

69. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: Математические основы. -М.: Мир, 1978.

70. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. — М.: Наука, 1981.

71. Морозов Е.К. Математическое моделирование в научном познании. — М: Мысль, 1969.

72. Общая алгебра / Под ред. Л.А. Скорнякова, Т. 1. М.: Наука, 1990.

73. Орлов В.Н. Руководство по электрокардиографии. М.: Медицина, 1983.

74. Осетинский Н.И. К теории реализации линейных стационарных систем над полем. I // Программирование. 1975. - №3. — С. 75-85.

75. М 76. Осетинский Н.И. К теории реализации линейных стационарных систем над полем. II // Программирование. 1975. - №4. — С. 58-68.

76. Осетинский Н.И. К теории реализации линейных стационарных систем над полем. III // Программирование. 1976. — №1. - С. 70-76.

77. Осетинский Н.И. О проблеме реализации для систем с последствием // Теория систем и методы их моделирования. М.: ВНИИ системных исследований, 1980. - С. 23-29.

78. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов и методов в современной теории систем // Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир, 1989. - С. 328-379.

79. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов по современной теории систем // Математические методы в теории систем. — М.: Мир, 1979.-С. 271-327.

80. Параев Ю.И. Алгебраические методы в теории линейных системуправления. Томск: Изд-во ТГУ, 1980.

81. Параев Ю.И., Перепелкин Е.А. Линейные матричные уравнения в задачах анализа и синтеза многосвязных динамических систем. — Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2000.

82. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. I. Анализ // Автоматика и телемеханика. — 2002. — №8. — С. 37-53.

83. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. II. Синтез // Автоматика и телемеханика. 2002. -№11.-С. 56-75.

84. Прангишвили И.В., Гинсберг К.С. Системные закономерности и теория идентификации // Идентификация систем и проблемы управления: Материалы международной конференции "SICPRO'2000". — Москва, 2000 // Вестник РФФИ. 2001. -№3. - С. 44-57.

85. Пушков С.Г. Алгоритм вычисления приближенной реализации //

86. Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2000. - Т. 4, №3. - С. 133-144.

87. Пушков С.Г. Интервальные динамические системы: Проблема минимальной реализации и пути ее решения // Измерения, контроль, информатизация: Сборник докладов международной научно-технической конференции. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2002. -С.19-23.

88. Пушков С.Г. К вопросу построения общей теории нечетких систем // Третья краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: Изд-во АГУ, 2000. С. 58-59.

89. Пушков С.Г. К общей теории нечетких систем: глобальные состояния, условия согласованности и линейность // Вестник Томского государственного университета. 2002. - №1П(Н). - С. 169-174.

90. Пушков С.Г. Комплекс программного обеспечения для решения задач точной и приближенной реализации // Материалы IV Юбилейной научно-практической конференции, посвященной 290-летию г. Бийска. Барнаул: Изд-во АГТУ, 2000. - С. 197-201.

91. Пушков С.Г. Конечномерные реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы // Известияа, РАН. Теория и системы управления. 2002. — №3. - С. 5-11.

92. Пушков С.Г. Линейные системы с проективным модулем состояний // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2001. — №1. — С. 165-170.

93. Пушков С.Г. Методы вычисления конечномерной реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкеле-вой матрицы // Четвертая краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: Изд-во АГУ, 2001. С. 73-74.

94. Пушков С.Г. Модели точного и приближенного представления данных контроля линейных динамических систем: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. -Барнаул, 1998.

95. Пушков С.Г. Модели точного и приближенного представления данных контроля линейных динамических систем: Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Барнаул, 1998.

96. Пушков С.Г. Моделирование пространства состояний асимптотически устойчивых динамических систем // Известия Алтайского государственного университета. 1999.- №1.-С. 40-43.

97. Пушков С.Г. Нечеткие линейные системы // Известия Алтайского государственного университета. 2002. - №1. - С. 36-40.

98. Пушков С.Г. О вычислении конечномерной реализации // Кибернетика и системный анализ. 1991. - №6. - С. 107-112.

99. Пушков С.Г. О моделировании временного ряда системой с пространством состояний // Известия Алтайского государственного университета. 2001. - №1. С.34-38.

100. Пушков С.Г. О представлении данных контроля линейных динамических систем // Измерения, контроль и автоматизация производственных процессов: Сборник докладов четвертой международной конференции. Том 2. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1997. - С. 69-71.

101. Пушков С.Г. Об алгоритме конечномерной реализации // Автоматика и телемеханика. 1991. -№10. - С. 56-63.

102. Пушков С.Г. Об общей теории нечетких систем: глобальные состояния и нечеткая глобальная реакция нечеткой системы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. - №5. - С. 105-109.

103. Пушков С.Г. Об одном подходе к описанию наблюдаемого процесса линейной динамической системой // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. - № 1. - С. 39-44.

104. Пушков С.Г. Оценивание параметров приближенной реализации: случай квадратичной функции несогласованности // Известия Алтайского государственного университета. 2000. - №1. - С. 30-33.

105. Пушков С.Г. Представление динамических систем в пространстве состояний: точная и приближенная реализация. Монография. — Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2003.

106. Пушков С.Г. Проблема конечномерной реализации для интервальных динамических систем // Известия Алтайского государственного университета. 2003. -№1. - С. 15-19.

107. Пушков С.Г. Прогнозирование валютных курсов на основе вычисления конечномерных реализаций // Вторая краевая конференция по математике: Материалы конференции. Барнаул: Изд-во АГУ, 1999. -С. 74.

108. Пушков С.Г., Кривошапко С.Ю. О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Вычислительные технологии. 2004. - Т.9, №1. - С. 75-85.

109. Ракитов А.И. Философские проблемы науки. Системный подход. -М.: Мысль, 1977.

110. Распознавание образов и медицинская диагностика / Под ред. Ю.И. Неймарка. М.: Наука, 1972.

111. Родионов A.M. О некоторых дискретных моделях межвидового взаимодействия // Автоматика и телемеханика. 2000. — №12. — С. 122-129.

112. Рубан А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем. — Томск: Изд-во ТГУ, 1981.

113. Савченко JT.A. Автоматическое распознавание электрокардиограмм с использованием алгоритмов обучения машины // Автоматика и телемеханика. 1967.-№11.-С. 145-148.

114. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. -М.: Наука, 1978.

115. Сейдж Э.П., Мелса Дж. Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974.

116. Сиротин А.Н. Управляемость линейных дискретных систем, определенных над коммутативными кольцами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. - №6. - С. 26-31.

117. Смагина Е.М. Вопросы анализа многомерных объектов с использованием понятия нуля системы. Томск: Изд-во ТГУ, 1990.

118. Смагина Е.М., Моисеев А.Н. Слежение за полиномиальным сигналом в интервальной динамической системе // Вычислительные технологии. 1998. - Т. 3, № 1. - С. 67-74.

119. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981.

120. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. М.: Высшая школа, 1985.

121. Современные методы идентификации систем / Под ред. П.Эйкхоффа. -М.: Мир, 1983.

122. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А.Красовского. -М.: Наука, 1987.

123. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985.

124. Теория систем в приложении к проблемам окружающей среды / Под ред. С. Ринальди. Киев: Вища школа, 1981.

125. Теория систем с переменной структурой / Под ред. С.В. Емельянова. -М.: Наука, 1970.

126. Теория систем. Математические методы и моделирование: сборник переводных статей. -М.: Мир, 1989.

127. Тихонов А.Н. О математических методах автоматизации обработки наблюдений // Проблемы вычислительной математики. М.: Изд-во МГУ, 1980.-С. 3-7.

128. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. М.: Наука, 1980.

129. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. М.: Мир, 1977.

130. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974.

131. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973.

132. Хлебалин Н.А., Шокин Ю.И. Интервальный вариант метода модального управления // Доклады Академии Наук. 1991. - Т. 316, №4. — С. 846-850.

133. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

134. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984.

135. Цыпкин Я.З. Оптимальные критерии качества в задачах идентификации // Автоматика и телемеханика. 1982. - №11. - С. 5-24.

136. Цыпкин Я.З., Позняк А .С., Тихонов С.Н. Оптимальные методы адаптивной идентификации // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1990. - Т. 29. - С. 3-44.

137. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем.-М.: Наука, 1988.

138. Чирейкин Л.В., Шурыгин Д.Я., Лабутин В.К. Автоматический анализ электрокардиограмм. Л: Медицина, 1977.

139. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации. -М.: Наука, 1983.

140. Шарый С.П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем // Вычислительные технологии. — 1998. — Т. 3, №2. С. 67-114.

141. Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью // Известия РАН. Теория и системы управления. 1997. - №3. - С. 51-61.

142. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Новосибирск, 2000.

143. Шашихин В.Н. Оптимизация интервальных систем // Автоматика и телемеханика. -2000. -№1. С. 94-103.

144. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.

145. Эльстер К.-Х., Рейнгардт Р., Шобле М., Донат Г. Введение в нелинейное программирование. -М.: Наука, 1985.

146. Эшби У.Р. Введение в кибернетику. М.: ИЛ, 1959.

147. Яглом М.М. Математические структуры и математическое моделирование. -М.: Советское радио, 1980.

148. Abu Osman М.Т. On the direct product of fuzzy subgroups // Fuzzy Sets and Systems. 1984. - V. 12, № 1. - P. 87-91.

149. Akaike H. Fitting Autoregressions for Prediction // Ann. Inst. Statist. Math. 1969. - V. 21. - P. 243-247.

150. Anderson B.D.O. Positive system realizations // Open Problems in Mathematical Systems Theory / By ed.: Blondel V.D., Sontag E.D., Vidyasagar V., Willems J.C. London: Springer. - 1999. - Ch. 2.

151. Anderson B.D.O., Arbib M.A., Manes E.G. Foundations of system theory: finitary and infinitary conditions // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. V. 115. - Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1976.

152. Antoulas A.C. On the structure of matrix power series and the realization problem in linear systems // Modelling, Identification and Robust Control / Ed. by Byrnes СЛ., Lindquist A. North-Holland, Amsterdam, 1986. -P. 487-488.

153. Arbib M.A., Manes E.G. Foundations of system theory: decomposable systems // Automatica. 1974. - V. 10. - P. 285-302.

154. Bacelli F., Cohen G., Olsder G.J., Quadrat J.P. Synchronization and Linearity. New York: Willey, 1992.

155. Ball J., Gohberg I., Rodman L. Realization and interpolation of rational matrix functions // Topics in Interpolation Theory of Rational Matrix Valued Functions / Ed. by Gohberg I. Birchauser, 1988. - P. 1-72.

156. Batur C. A modified algorithm for the last squares identification // Trans. ASME J. Dyn. Syst., Meas. and Contr. 1983. - V. 105, №1. - P. 50-52.

157. Billings S., Fakhoury S. Identification of systems containing linear dynamic and static nonlinear elements // Automatica. — 1982. V. 18, №1. — P. 15-26.

158. Bistriz Y. Nested bases of invariants for minimal realization of finite matrix sequences // SIAM J. Control and Optim. 1983. - V. 21. -P. 804-821.

159. Bonivento C., Guidorzi R., Marro G. Irreducible Canonical Realizations from External Data Sequences // Int. J. Control. 1973. - V. 17, №3. -P. 553-563.

160. Bosgra O.H. On parameterizations for the minimal partial realization problem // Systems and Control Letters. 1983. - V. 3. - P. 181 -187.

161. Bosgra O.H. On the structure and parametrization of non-minimal partial realizations // Mathematical theory of networks and systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences. V. 58. - Berlin: Springer-Verlag, 1984.-P. 88-100.

162. Brockett R. The geometry of partial realization problem // Proc. Conference on Decision and Control IEEE. New York, 1978.

163. Brockett R.W. Finite Dimensional Systems. New York: Wiley, 1970.

164. Brockett R.W. Volterra series and geometric control theory // Automatica. 1976. -V. 12. - P. 167-176.

165. Bultheel A., De Moor B. Rational approximation in linear systems and control // // J. Comput. Appl. Math. 2000. - V. 121. - P. 355-378.

166. Bultheel A., Van Barel M. Linear Algebra, Rational Approximation and Orthogonal Polynomials // Studies in Computational Mathematics. Vol. 6. -Amsterdam: Elsevier, 1997.

167. Bultheel A., Van Barel M. Pade techniques for model reduction in linear system theory: a survey // J. Comput. Appl. Math. 1986. - V. 14, №3. -P. 401-438.

168. Byrnes C.I., Crouch P.E. Geometric Methods for the Classification of Linear Feedback System // System and Control Letters. 1985. — V. 6. -P. 239-246.

169. Byrnes C.I., Hurt N.E. On the moduli of linear dynamical systems I I Advances in Mathematics. New York: Academic Press, 1977.

170. Byrnes C.I., Lindquist A. The stability and instability of partial realizations // Systems and Control Letters. 1982. - V. 2. - P. 99-105.

171. Candy J.V., Warren M.E., Bulloc Т.Е. Partial realization of invariant system descriptions // Int. J. Control. 1978. -V. 28, №1. - P. 113-128.

172. Candy J.V., Warren M.E., Bulloc Т.Е. Realization of invariant system descriptions from infinite Marcow sequences II IEEE Trans. Autom. Control. 1978. - V. AC-23, №1. - P. 93-96.

173. Ching W.S., Wyman B.F. Duality and the regulator problem for linear systems over commutative rings // J. Comput. and Syst. Sci. 1977. - V. 14. -P. 360-368.

174. Clancy S.J., Rugh W.J. On the Realization Problem for Stationary, Homogeneous, Discrete-Time Systems // Automatica. 1978. - V. 14. -P. 357-366.

175. Conte G., Perdon A.M. Systems over a principal ideal domain. A polynomial model approach // SIAM J. Contr. and Optim. 1982. - V. 20, №1. -P. 112-124.

176. Conte G., Perdon A.M. Generalized state space realizations for non-proper transfer function // Systems and Control Letters. 1982. — V. 1. — P. 270-276.

177. Cunighame-Green R. Minimax Algebra // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. V. 166. - Berlin: Springer-Verlag, 1979.

178. De Jong L.S. Numerical aspects of recursive realization algorithms // SIAM J. Contr. and Optim. 1978. - V. 16, №4. - P. 646-649.

179. De Schutter B. Minimal state-space realization in linear system theory: an overview // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. -V. 121.-P. 331-354.

180. De Schutter В., Blondel V., de Vries R., De Moor B. On the boolean minimal realization problem in the max-plus algebra // Systems and Conb> trol Letters. 1998. - V. 35, №2. - P. 69-78.

181. De Schutter В., De Moor B. Minimal realization in the max algebra is an extended linear complementarity problem // Systems and Control Letters. 1995. - V. 25, №2.-P. 103-111.

182. Dye B.R. A Note on an Algorithm of J. Rissanen // SIAM J. Contr. and Optim. 1977. - V. 15, №1.-P. 73-78.

183. Eilenberg S., Automata, languages and machines, vol.A. New York: Academic Press, 1974.

184. Eising R. Low order realizations and for 2-D transfer functions // Proc. IEEE. 1979. - V. 67, №4. - P. 866-868.

185. Eising R. Realization and stabilization of 2-D systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1978. - V. AC-23, №5. - P. 793-800.

186. Eising R., Hautus M. Realization algorithms for systems over a principal ideal domain // Math. Systems Theory. 1981. -V. 14, №4. - P. 353-366.

187. Emre E. On necessary and sufficient conditions for regulation of linear systems over rings // SIAM J. Contr. and Optim. 1982. - V. 20, №2. - P. 155-160.

188. Farina L., Benvenuti L. Positive realizations of linear systems // Systems ^ and Control Letters. 1995. - V. 26. - P. 1 -9.

189. Fasol K.H., Jorgl H.P. Principles of model building and identification // Automatica.- 1980.-V. 16, №5.-P. 505-516.

190. Fliess M. Some remark on nonlinear inevitability and dynamic state-feedback // Proc. MTNS-85, Stockholm, 1985 / Ed. By Byrnes C. and Lindquist A. Amsterdam: Elsevier, 1986.

191. Fornasini E., Marchesini G. Computation of Reachable and Observable Realizations of Spatial Filters // Int. J. Contr. 1977. - V. 25, №4. -P. 621-635.

192. Fornasini E., Marchesini G. Doubly-Indexed Dynamical Systems // Math. Syst. Theory. 1978. - V. 12. - P. 59-72.

193. Fornasini E., Marchesini G. Some connections between algebraic properties of pairs of matrices and 2D systems realization // Lect. Notes Contr. and Inf. Sci. 1984. - V. 63. - P. 117-124.

194. Fornasini E., Marchesini G. State-Space Realization Theory of Two-Dimensional Filters // IEEE Trans. Autom. Contr. 1976. - V. AC-21, №4.-P. 484-492.

195. Fornasini E., Rocha P., Zampieri S. State-Space Realization of 2D Finite-Dimensional Behaviors // SIAM J. Contr. and Optim. 1993. - V. 31, №6. -P. 1502-1517.

196. Freedman M.I., Willems J.C. Smooth representation of systems with differentiated inputs // IEEE Trans. Automat. Control. 1978. - V. 23. -P. 16-22.

197. Frobenius G. Uber Relationen zwischen Naherungsbrucken von Potenzrai-hen // J. Fur Reine Angewandte Math. 1946. - V. 30. - Z. 1-17.

198. Fuhrmann P. Algebraic system theory: An analyst's of view // J. Franklin Inst. 1976. - V. 301. - P. 521-540.

199. Fuhrmann P.A. Algebraic methods in system theory // R.E.Kalman Festschrift.-Berlin: Springer-Verlag, 1993.-P. 233-265.

200. Fuhrmann P.A. Duality in polynomial models with some applications to geometric control theory // IEEE Trans. Autom. Control. 1981. - V. AC-26. - P. 284-295.

201. Fuhrmann P.A. Functional models in linear algebra // Linear Algebra and its Applications. 1992. - V. 162-164. - P. 107-151.

202. Fuhrmann P.A. Linear Systems and Operators in Hilbert Space. New York: McGrow-Hill, 1981.

203. Galkowski K. The State-Space Realization an n-Dimensional Transfer Function // Int. Journal of Circuit Theory and Applications. 1981. - V. 9. -P. 189-197.

204. Galkowski K. The State-Space Realizations of Multi-Input Multi-Output n-D Systems Elementary Operations Approach // Int. Journal of Control.i 1997.-V. 66, №1.-P. 119-140.

205. Gaubert S., Butkovic P., Cunighame-Green R. Minimal (max,+) realization of convex sequences // SIAM J. Contr. Optim. 1998. - V. 36, №1. -P. 137-147.

206. Gilbert E.G. Controllability and observability in multi-variable control sys-tems// SIAM J. Control. 1963.-V. 1,№2.-P. 128-151.

207. Goguen J.A. Minimal realization of machines in closed categories // Bull. Am. Math. Soc. 1972. - V. 78. - P. 777-783.

208. Gohberg I., Kaashoek M.A., Lerer L. A directional partial realization problem // Systems and Control Letters. 1991. - V. 17. - P. 305-314.

209. Gohberg I., Kaashoek M.A., Lerer L. On minimality in the partial realiza-ц tion problem // Systems and Control Letters. 1987. - V. 9. - P. 94-104.

210. Goldfield S.M., Quandt R.E. Some Tests for Homoscedasticy // J. Am. Statist. Assoc. 1965. - V. 60. - P. 539-547.

211. Gragg W.B., Lindquist A. On the partial realization problem // Linear Algebra and its Applications. 1983. - V. 50. - P. 277-319.

212. Gritzali F., Frangakis G., Papakonstantinou G. DECGAP: An automatic ECG analysis program // Comput. Cardiol., Jerusalem, Sept. 19-22, 1989. -Proc. Meet. Los Alamitos (Calif.), 1990. P. 73-76.

213. Gu G., Aravena J.L., Zhon K. On minimal realization of 2-D systems // IEEE Trans. Circuits and Syst. 1991. - V. 38, №10.-P. 1228-1233.

214. Guillaume P., Huard A. Multivariate Pade approximation // J. Comput.

215. Appl. Math.-2000.-V. 121.-P. 197-219.

216. Hambaba M.L. Order selection for non-stationary AR models by predictive least-squares // Proc. Amer. Contr., Pa, June 21-23, 1989, Vol.2. Green Valley (Ariz.), 1989.-P. 1218-1219.

217. Hammer J. Non-linear systems: stability and rationality // Int. J. Contr. — 1984.-V. 40, №1.-P. 1-35.

218. Hazenwinkel M., Kalman R.E. On invariants, canonical forms and moduli for linear, constant, finite dimensional systems // Mathematical systems theory. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. 1976. — V. 131.-P. 48-60.

219. Ho B.L., Kalman R.E. Effective construction of linear state-variable models for input/output function // Proc. Third Allerton Conf., 1965. -P. 449-459; Regelungstechnik. V. 14, Jahrg. Heft 12. - P. 545-548.

220. Hsu C.S., Desai U.B., Crawley C.A. Realization algorithms and approximation methods of bilinear systems // Proc. 22nd IEEE Conf. Decis. and Contr. San Antonio, Tex., 14-16 Dec., 1983. - V. 2. - P. 783-788.

221. Isidori A. Nonlinear Control Systems: An Introduction // Lecture Notes in ^ Control and Information. V. 72. - Berlin: Springer-Verlag, 1985.

222. Isidori A. Construction of Minimal Bilinear Realization from Nonlinear Input-Output Maps // IEEE Trans. Autom. Contr. 1973. - V. AC-18, №6. -P. 626-631.

223. Ivakhnenko A.G. Polinomial Theory of Complex Systems // IEEE Trans. System, Man and Cybernetics. 1971. - V. SMC-1. - P. 364-378.

224. Jacobi C.G.J. Uber die Darschtellung einer Reihe gegebner Werthe durch eine gebroche rationale Funktion // J. fur Reine Angewandte Math. 1946. -V. 30.-Z. 127-156.

225. Jakubczyk В. Existence and uniqueness of realizations of nonlinear systems // SIAM J. Contr. Optim. 1980. - V. 18. - P. 455-471.

226. Jakubczyk B. Realizations of nonlinear systems: three approaches // Proc. of the Conference on the Algebra and Geometric Methods in Nonlinear Control theory, Paris, 1985 / Ed. by Fliess M. and Hasenwincel M. Dordrecht: Reidel. - 1986.

227. Kalman R.E. Lectures on controllability and observability // CIME Summer Course 1968. Cremonese, Roma, 1969.

228. Kalman R.E. Mathematical description of linear dynamical systems // SIAM J. Contr. 1963. - V. 1. - P. 152-192.

229. Kalman R.E. On minimal partial realizations an input/output map // Aspects of Network and System Theory / Ed. by Kalman R.E., De Claris N. -New York: Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1971. P. 385-407.

230. Kalman R.E. On partial realizations, transfer functions, and canonical forms // Acta Polytechnica Scandinavica. 1979. - V. 31. - P. 9-32.

231. Kalman R.E. Realization theory of linear dynamical systems // Control Theory and Topics in Functional Analysis, Vol.11. Vienna: International Atomic Energy Agency, 1976. - P. 235-236.

232. Kalman R.E. System identification from noisy data 11 Dynamical systems II / ed. by Bednarek A.R. and Cesari L. New York: Academic Press, 1982. -P. 135-166.

233. Kalman R.E., Rouchaleau Y. Realizations theory of linear systems over commutative ring // Automatica, Languages and Program. Amsterdam e.a., 1974.-P. 61-65.

234. Kamen E. On an algebraic theory of systems defined by convolution operators // Math. System Theory. 1975. - V. 9. - P. 57-74.

235. Katsuhisa F., Shospiro H., Hidetaka K. Structural identification and software package for linear multivariable systems // Automatica. — 1981. — V. 17, №5.-P. 755-762.

236. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space // Computing Supplement. 1980. - V. 2. - P. 33-49.

237. Kelmans G.K. Active identification of dynamic systems iface of "coloured" disturbances // Int. J. Syst. Sci. 1982. - V. 13, №11. -P. 1201-1221.

238. Khargonekar P.P. On matrix fraction representation for linear systems over commutative rings // SIAM J. Contr. and Optim. 1982. - V. 20, №2. -P. 172-197.

239. Khargonekar P.P., Sontag E.D. On the relation between stable matrix fraction factorization and regulable realizations of linear systems over rings // IEEE Trans. Autom. Contr. 1982. - V. 27, №3. - P. 627-638.

240. Klir G.J. A principle of uncertainty and information invariance. // Int. J. General Systems. 1990. - V.17.

241. Klir G.J. Facets of systems science. New York: Plenum Press, 1991.

242. Klir G.J., Folger T.A. Fuzzy sets, uncertainty, and information. — N.J.: Prentice Hall, 1988.

243. Koniski K., Inouchi K., Yoshimura Т., Soeda T. Stable identification scheme for linear discrete-time systems // Int. J. Syst. Sci. 1980. - V. 11, №11.-P. 1265-1278.

244. Kuijper M., Schumacher J.M. Realization of autoregressive equations in pencil and descriptor form // SIAM J. Control and Optim. 1990. - V. 28. -P. 1162-1189.

245. Kung S.J. A new identification and model reduction algorithm via regular value decomposition // Proceedings of the 12 Asilomar Conference on Circuits, Systems and Computers. Pacific Grove, CA, 1978. — P. 705-714.

246. Lee E.B., Olbort A.W. On reachability over polynomial rings and a related genericity problem//Int. J. Syst. Sci. 1982. - V. 13, №1.-P. 109-113.

247. Lepschy A., Milo S., Forriano D. A mathematical model for the hydraulic networks of mechanical hosting reclamations // Automatica, 1973. V. 9. -P. 467-479.

248. Marchesini G., Picci G. Result on the Abstract Realization Theory of Multilinear Systems // Theory and Applications of Variable Structure Systems / Ed. by Mohler R.R., Ruberti A. New York: Academic Press, 1974. — P. 109-135.

249. Mayne D.Q. An elementary derivation of Rosenbrock's minimal realization algorithm // IEEE Trans, on Automatic Control. 1973. - V. 18, №3. -P. 306-307.

250. Mitra S.K., Chakrabarti S. A New Realization Method for 2-D Digital Transfer Functions // IEEE Trans. Acoust. Speech. Signal Process. — 1978. V. ASSP-26, №6. - P. 544-550.

251. Modelling, Identification and Robust Control / Ed. by Byrnes C.I., Lindquist A. North-Holland, Amsterdam, 1986.

252. Muratori S., Rinaldi S. Equilibra, stability and reachability of Leslie system with nonnegative inputs // IEEE Trans. Autom. Contr. 1990. - V. 35, №9.-P. 1065-1068.

253. Newman M. Integral Matrices. New York: Academic Press, 1972.

254. Pazzen E. Some Recent Advance in Time Series Analysis // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. - V. 19. - P. 723-730.

255. Polderman J.W., Willems J.C. Introduction to Mathematical System Theory: A Behavioral Approach / Texts in Applied Mathematics. V. 26. — Springer-Verlag, 1997.

256. Popper K.R. Conjectures and Refutations. London: Happer and Row, 1963.

257. Ravi M.S., Rosenthal J. A general realization theory for high-order linear differential equations // Systems and Control Letters. 1995. — V. 25. — P. 351-360.

258. Ravi M.S., Rosenthal J. A smooth compactifications of the space of transfer functions with fixed McMillan degree // Acta Appl. Math. 1994. -V.34.-P. 329-352.

259. Rissanen J. Recursive identification of linear systems // SIAM J. Contr. — 1971.-V. 9, №3. P. 420-430.

260. Rocha P. Structure and Representation of 2D Systems / PhD thesis. — 1 Groningen, 1990.

261. Rocha P. Willems J.C. A Foundation for the Control Theory of nD Behaviors // 13th International Symposium on the Mathematical Theory of Networks and Systems. Padua, Italy, 1997.

262. Rosenbrock H.H. State Space and Multivariable Theory. London: Nelson and Sons Ltd, 1970.

263. Rosenthal J., Schumacher J.M. Realization by Inspection // IEEE Trans, on Automatic Control, 1997. V. 42, №9. - P. 1257-1263.

264. Rouchaleau Y., Sontag E.D. On the existence of minimal realizations of linear dynamical systems over Noetherian integral domains // J. Comput. and Syst. Sci. 1979. - V. 18, № 1. - p. 65-75.

265. Rouchaleau Y., Wyman B.F. Linear dynamical systems over integral domains //J. Comput and Syst. Sci. 1974. -V. 9, №2. - P. 129-142.

266. Rouchaleau Y., Wyman B.F., Kalman R.E. Algebraic structure of linear dynamical systems. III. Realization theory over a commutative ring. // Proc. Nat. Acad. Sci. (USA). 1972. - V. 69. - P. 3404-3406.

267. Sakata S. On the minimal partial realization of 2D discrete linear shift-iV invariant systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1991. - V. 36, №8.1. P. 984-988.

268. Schumacher J.M. Transformations of linear systems under external equivalence // CWI Report OS-R8604. 1965, April.

269. Silverman L.M. Realization of linear dynamical systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1971.-V. AC-16.-P. 554-567.

270. Slonim M.A., Levi M., Yaron D., Ovsyshceher E.A. Computer filtering of ECG signal based on the prior knowledge principle-general concept // Comput. Cardiol., Jerusalem, Sept. 19-22, 1989. -Proc. Meet. Los Alami-tos (Calif.), 1990. P. 397-400.

271. Smagina Ye.M. New coprime polynomial fraction representation of transfer function matrix // Kybernetika. 2001. - V.37, №6. - P. 725-735.

272. Sontag E.D. Linear systems over commutative rings: A survey. // Ricerche di Automatica. 1976. - V. 7. - P. 1-34.

273. Sontag E.D. On first order equations for multidimensional filters // IEEE Trans. Acoust. Speech. Signal Process. 1978. - V. ASSP-26, №5. -P. 480-482.

274. Sontag E.D. On linear systems and noncommutative rings // Math. System Theory. 1976. - V. 9, №4. - P. 327-344.

275. Sontag E.D. On split realizations of response maps over rings // Inf. and Contr. 1978. - V. 37, №1. - P. 23-33.

276. Sontag E.D. Polynomial response maps // Lect. Notes Contr. Inf. Sci. -1979.-V. 13, VIII.

277. Sontag E.D. Realization theory of discrete-time nonlinear systems, I // IEEE Trans. Circuits and Syst. 1979. - V. CAS-26, №4. - P. 342-356.

278. Sussmann H.F. Minimal realizations and canonical forms for bilinear systems // J. Franklin Inst. 1976. - V. 301, №6. - P. 593-604.

279. Sussmann H.J. Existence and uniqueness of minimal realizations of nonlinear systems // Math. Systems Theory. 1977. - V. 10. - P. 263-284.

280. System Analysis and Simulation in Ecology / by ed. B.C. Patten. N.Y.: Academic Press, vol. 1, 1971; vol. 2, 1973.

281. Tannenbaum A. Invariance and System Theory: Algebraic and Geometric Aspects // Lecture Notes in Mathematics. V. 845. - Berlin: Springer-Verlag, 1981.

282. Tarn T.J., Nonoyama S. Realization of Discrete-Time Internally Bilinear Systems // Proc. IEEE Conf. Dec. Contr. Clearwater Beach, Florida, 1976.-P. 125-133.

283. Tether A.J. Construction of minimal state-variable models from finite input-output data // IEEE Trans, on Automatic Control. 1970. - V. 17, №4. -P. 427-436.

284. Trahanias P., Skordalakis E. Syntactic Pattern Recognition of the ECG // IEEE Trans on Pattern Anal, and Machine Intel. 1990. - V. 42, №7. -P. 648-657.

285. Tsoi A.C. Minimal Realizations of Linear Systems // Int. J. Control. -1976. V. 23, №4. - P. 575-585.

286. Valcher M.E. On the Decomposition of Two-Dimensional Behaviors // Multidimensional Systems and Signal Processing. 2000. - V. 11, №1-2. -P. 49-65.

287. Van Barel M., Bulthell A. A minimal partial realization algorithm for MIMO systems // Report TW79 Katholiece Universiteit Leuven, 1986.

288. Van der Schaft A.J. Observability and controllability for smooth nonlinear systems // SIAM J. Contr. Optim. 1982. - V. 20. - P. 338-354.

289. Van Dooren P.M. The generalized eigenstructure on linear system theory // IEEE Trans, on Automatic Control. 1981. -V. 26, №1. - P. 111-129.

290. Weiss L., Kalman R.E. Contributions to linear system theory // Intern. J. Eng. Sci. 1965. - V. 3. - P. 141-171.

291. Willems J.C. From Time Series to Linear System. I // Automatica. — 1986. -V. 22,№5.-P. 561-580.

292. Willems J.C. From Time Series to Linear System. II // Automatica. 1986. -V. 22,№6.-P. 675-694.

293. Willems J.C. From Time Series to Linear System. Ill // Automatica. — 1986.-V. 23, №1.-P. 87-115.

294. Willems J.C. Input-output and state space representations of finite dimensional linear time-invariant systems // Linear Algebra and its Applications. — 1983. V. 50.-P. 581-608.

295. Willems J.C. Paradigms and Puzzles in the Theory of Dynamical Systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1991. - V. 42, №6. - P. 458-472.

296. Willems J.C. System theoretic models for the analysis of physical systems // Ricerche di Automatica. 1979. - V. 10. - P. 71-106.

297. Wood J. Modules and Behaviors in nD Systems Theory // Multidimensional Systems and Signal Processing. 2000. - V. 11, №1-2. - P. 11-48.

298. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — V. 8. — P. 338-353.

299. Zadeh L.A. Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes // IEEE Trans, on Systems, Man and Cybernetics. — 1973.-V. SMC-3.-P. 28-44.

300. Zeiger H.P. Ho's algorithm, commutative diagrams, and the uniqueness of minimal linear systems // Information and Control. 1967. - V. 11, №4. -P. 71-79.

301. Zeiger H.P., McEwen A.J. Approximate linear realizations of given dimension via Ho's algorithm // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. - V. 19, №2.-P. 153.