Расчёт характеристик критического поведения и нарушения скейлинга в скалярных моделях квантовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Письменский Артем Леонидович

• Письменский Артем Леонидович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Письменский Артем Леонидович

1.3 Вычисление асимптотик

1.3.1 Асимптотика инвариантного заряда

1.3.2 Асимптотика пропагатора

1.4 Теория ф3

1.5 0(Ы)-симметричная теория ф4

1.6 Теория ф6

1.7 Обсуждение результатов

2 Трехпетлевый расчёт критического индекса Фишера п теории ф3 методом конформного бутстрапа

2.1 Введение

2.2 Метод конформного бутстрапа для теории ф3

2.3 3-петлевой расчёт критического индекса теории ф3

3 Расчёт 4-петлевой поправки к критическому индексу Фи-

шера п теории ф3 методом конформного бутстрапа

3.1 Проведение расчёта

3.2 Результат

Основные результаты и выводы

А Приложения к Главе

А.1 Выражения для инвариантного заряда и пропагатора в терминах коэффициентов разложения в ряд теории возмущений Ье£а-функции, аномальной размерности поля и оператора собственной массы

A.2 Рекуррентные соотношения для диаграмм 71 и

В Приложения к Главе

B.1 Метод расчёта диаграмм Оп

В.2 Диаграммы с конечными вкладами при ё =

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчёт характеристик критического поведения и нарушения скейлинга в скалярных моделях квантовой теории поля»

Введение

Актуальность темы. В настоящее время квантово-полевые методы активно используются в теории критического поведения как статических, так и динамических систем [1,2]. Как показывает эксперимент, критические явления характерны для многих систем жидкость-пар и ферромагнетиков [2]. Для них существует критическая температура, при которой пропадает различие между жидкостью и газом, а ферромагнетик становится парамагнетиком. Впервые существование критической точки обнаружил Эндрюс в экспериментах с углекислым газом [3]. Чуть позже Ван-дер-Ваальсом [4] и Пьером Вейссом [5] были предложены уравнения состояния реального газа и ферромагнетика, которые используются и в настоящее время для описания систем газов, жидкостей, жидкость-пар в окрестности фазового перехода.

Наиболее важным достижением физики критических явлений явилось открытие универсальности, которая проявляется в том, что различные системы вблизи критической точки обладают одинаковыми количественными характеристиками. Её первое теоретическое объяснение было предложено в 1937 году Л. Д. Ландау [6].

Исследования квантовополевых моделей показывают, что для большинства систем вблизи критической точки наблюдается масштабная инвариантность (скейлинг), которая проявляется, в частности, в том, что парная корреляционная функция Грина (пропагатор) является степенной

функцией координат. Одной из важнейших задач квантовой теории поля является расчёт показателя этой степени (критического индекса). В некоторых исключительных случаях скейлинг может нарушаться, что приводит к появлению дополнительных логарифмов у степенной асимптотики пропагатора. Проблема нарушения скейлинга не может быть решена по теории возмущений, так как каждый следующий член ряда оказывается более значимым, чем предыдущий. Хоть интерес к подобного рода проблемам возник давно [7], он не утратил актуальность и по настоящее время.

Большое значение для создания современной теории критического поведения имели исследования модели Изинга [8], и, в частности, полученные в 1941-1942 годах для её двумерной версии точные аналитические результаты: найденное Крамерсом и Ванье значение критической температуры для квадратной решетки [9] и результат расчёта Онзагера статсуммы в нулевом внешнем поле [10]. Они показали, что теория Ландау не является точной и требуется её модификация. В качестве её современной версии можно рассматривать предложенный Вильсоном ренормгрупповой подход [1,2], который позволил использовать для количественного описания критических явлений мощный математический аппарат квантовой теории поля.

На протяжении последних десятилетий наблюдается все возрастающий интерес к вычислениям ренормгрупповых характеристик квантовопо-левых моделей [11-13]. Он обусловлен не только увеличивающейся точностью экспериментальных данных в области физики критических явлений, но и необходимостью проверки новых теоретических подходов и разработки новых методов, касающихся нетеоретиковозмущенческих проблем. Ренормгрупповой анализ Стандартной модели оказался необходимым, в

частности, при исследовании свойств бозона Хиггса, открытого на Большом Адронном Коллайдере в 2012 году. В последнее время также значительно возрос интерес к исследованию конформной теории поля, которая используется как при изучении критических явлений, так и в теории точно интегрируемых моделей [14-24]. Хотя для ренормгрупповых расчетов в настоящее время уже используются компьютерные программы [25,26], тем не менее активно разрабатываются и аналитические методы, которые по-прежнему не утратили своей актуальности. Приведённые в диссертации результаты могут внести существенный вклад в дальнейшее развитие эффективных аналитических подходов, как для исследования критических явлений, так и для нетеоретиковозмущенческих расчётов в квантовой теории поля.

Степень разработанности темы исследования. Для теоретических исследований критических явлений было разработано несколько методов. Большие успехи при расчетах критических индексов были достигнуты с помощью уравнений ренормгруппы [1], [2]. Преимущество этого подхода в том, что он дает возможность проводить частичные суммирования бесконечного числа членов ряда теории возмущения.

Группа ренормировочных преобразований в квантовой теории поля впервые была рассмотрена в 1953 году Штюкельбергом и Петерманом [27]. В 1954 году Гелл-Манн и Лоу [28] провели расчёты ведущих вкладов ультрафиолетовой асимптотики функции Грина в квантовой электродинамике. Как показали Боголюбов и Ширков [29,30], эти расчёты были фактически основаны на использовании группы ренормировочных преобразований. В их работах была разработана существенная часть формализма метода ре-

нормгруппы, который в усовершенствованном в работах Вильсона виде [1] используется и в настоящее время.

Уравнения ренормгруппы оказались очень эффективны для расчётов ультрафиолетовых и инфракрасных асимптотик функций Грина. Эта задача становится нетривиальной в том случае, когда вклады в асимптотику в члены ряда теории возмущения не компенсируются малостью константы взаимодействия и требуется учёт вкладов во всех её порядках, т.е. проведение частичного суммирования ряда теории возмущения. Использование метода ренормгруппы даёт возможность решить такие задачи.

Кроме ренормгруппового подхода, для исследования асимптотик масштабно и конформно инвариантных теорий поля существуют альтернативные подходы — методы уравнения самосогласования и конформного бутстрапа [31]. Их преимущество заключается в сокращении количества диаграмм Фейнмана, которые необходимо учесть для получения результата. Для расчётов критических индексов уравнения конформного бутстрапа впервые были использованы в работе Г. Мака при вычислении главного приближения аномальной размерности поля в теории взаимодействия ф3 и показано, что результат совпадает с ренормгрупповым [31]. Уравнения самосогласования были эффективно использованы в работах А. Н. Васильева, Ю. М. Письмака, Ю. Р. Хонконена [32,33] для расчёта 1/п-разложения критических индексов. Они были получены из скелетных уравнений Дай-сона для пропогаторов отбрасыванием в них затравочных вкладов [34]. Так были найдены коэффициенты п2 и и2 1/п-разложений индексов п и V соответственно в 0(Ы)-симметричной теории ф4 произвольной размерности.

Расчёт коэффициента п3 для этой модели был проведён А. Н. Ва-

сильевым, Ю. М. Письмаком и Ю. Р. Хонконеном в работе [35] методом конформного бутстрапа. Для этого введением вспомогательного скалярного поля ф, модель ф4-взаимодействия была представлена в виде теории двух полей со взаимодействием Юкавы ф2ф. Используемые в работе [35] уравнение конформного бутстрапа были получены из скелетных уравнений для тройных вершин и пропагаторов в этой модели отбрасыванием затравочных вкладов. Метод уравнения самосогласования был использован для расчёта индекса, определяющего инфракрасную асимптотику глюон-ного пропагатора поля Янга - Миллса [36]. Методы ренормгруппы успешно применяются для расчёта не только статического, но и динамического критического поведения [2,13].

Для нахождения асимптотических характеристик квантовополевых моделей в рамках ренормгруппового подхода, метода уравнения самосогласования и конформного бутстрапа необходимо проведение расчётов Фейн-мановских диаграмм с требуемой точностью. Для этого было разработано много различных методов [33,37-43]. Среди них многочисленное применение нашли результат, полученный для двухпетлевой диаграммы в работе К. Г. Четыркина и Ф. В. Ткачёва [38] и метод «уникальности» и интегрирования по частям [33,39]. Многие методы расчёта интегралов Фейнмана подробно изложены в книге В. А. Смирнова [44].

Хотя к настоящему времени уже имеются существенные достижения в области теории критических явлений и исследования нетеоретиковозму-щенческих эффектов квантовой теории поля, тем не менее многие проблемы еще недостаточно изучены. Результаты приведённые в диссертации могут оказаться важными для дальнейших исследований в этих направле-

ниях.

Целью диссертационной работы является исследования асимптотического поведения парных корреляционных функций Грина скалярных моделей квантовой теории поля в критической точке.

С помощью уравнения ренормгруппы проводятся расчеты инфракрасных асимптотик пропагатора скалярных теорий в логарифмической размерности при фиксированной константе связи, находятся логарифмические поправки к уже известным ведущим приближениям. Особое внимание уделяется 0(Ы)-симметричной теории ф4, и, в частности, обсуждаются полученные для этой модели результаты с точки зрения гипотезы ее тривиальности в критической точке. Методом конформного бутстрапа проводятся расчеты трех- и четырех-петлевого приближения аномальной размерности поля в рамках е-разложение для теории ф3- взаимодействия.

Научная новизна. Основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми и опубликованы в рецензируемых международных научных журналах.

(1) С помощью метода ренормгруппы были найдены поправки к известному главному приближению пропагатора в скалярных моделях квантовой теории поля со взаимодействием ф3, ф4, ф6 в логарифмических размерностях. Показано, что они выражаются через логарифм и логарифм логарифма импульса. Часть из них универсальные и не зависят от константы связи. Имеются также зависящие от нее неуниверсальные поправки. Показано, что существует масштабное преобразование, в результате которого вся зависимость полученного асимптотического приближения переходит в переопределение величины импульса пропагатора. Результаты

опубликованы в статье [45]. Согласно полученному приближению, 0(Ы)-симметричная теория ф4 при конечном числе компонент N является негауссовой, её пропагатор отличается логарифмическими поправками от про-пагатора вида 1/р2 свободной теории, а связные функции Грина порядка п > 2 нелокальны. С этой точки зрения, модель не является тривиальной, и лишь в пределе N ^ то теория становится гауссовой с пропагатором свободного безмассового поля.

(2) На основе использования уравнений конформного бутстрапа в теории скалярного поля со взаимодействием ф3 проведены расчеты трех- и четырех-петлевых приближений аномальной размерности поля в рамках е-разложения [46], [47]. При этом были разработаны новые методы расчета Фейнмановских диаграмм. Продемонстрировано преимущество используемого подхода, в котором по сравнению с ренормгрупповым требуется вычисление меньшего количества диаграмм.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации предлагаются новые методы исследования критических режимов в кван-товополевых системах. Продемонстрирована эффективность метода конформного бутстрапа для практических расчетов е-разложения критических индексов на примере модели скалярного поля со взаимодействием ф3. Разработан ренормгрупповой метод расчетов характеристик нарушения скейлинга в критической точке в моделях квантовой теории поля в логарифмической размерности, с помощью которого были найдены поправки к асимптотике пропагаторов для скалярных полей. Результаты могут найти применение в других физических теориях, в том числе в квантовой электродинамике, квантовой хромодинамике и Стандартной модели. Они могут

послужить основой предсказания и исследования новых физических явлений в теории фундаментальных взаимодействий и статистической физике.

Методология и методы исследования. Представленные в диссертации результаты исследований основаны на использовании математического аппарата квантовой теории поля. В настоящее время он является наиболее эффективным для описания поведения систем вблизи критической точки. Для расчетов асимптотики парной корреляционной функции (пропагатора) моделей квантовой теории поля в логарифмической размерности применялся метод уравнений ренормгруппы. Для вычисления критического индекса п в рамках е-разложения теории ф3 использовался метод конформного бутстрапа, при этом применялись уже известные и разработаны новые методы вычисления Фейнмановских диаграмм.

Достоверность результатов обусловлена чёткой постановкой задач, применением точных математических методов для их решения, а также сравнением результатов исследований, представленных в диссертации, с полученными ранее другими авторами.

Основные положения, выносимые на защиту:

(1) В схеме минимальных вычитаний в логарифмической размерности пространства для квантовополевых теорий со взаимодействием ф3, ф4, ф6 получено выражение для оператора собственной энергии вплоть до че-тырёхпетлевого приближения.

(2) В логарифмической размерности пространства с помощью уравнения ренормгруппы проведён расчёт поправок к главному приближению асимптотик больших и малых расстояний пропагаторов теорий ф3, ф4, ф6. Показано, что во всех случаях они выражаются через логарифм и лога-

рифм логарифма импульса. Согласно полученным результатам, в четырехмерном пространстве O(N)-симметричная теория ф4 при конечном N не является гауссовой, и ее пропагатор только в главном приближении — чистая степень, к которой имеются логарифмические поправки. В пределе N ^ то все поправки исчезают и теория становится гауссовой.

(3) С помощью метода конформного бутстрапа, в рамках е-разложения, получено аналитическое выражение для трёх- и четырёхпет-левого приближения критического индекса Фишера п теории со взаимодействием ф3. Результат для 4-петлевой поправки хорошо согласуется с её численным значением, полученным другими авторами, использовавшими метод ренормгруппы. Проведены также расчеты ренорминвариантной комбинации амплитуд с четырехпетлевой точностью.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуж-

дались на следующих научных конференциях:

1. Международная студенческая конференция «Science and Progress —

2010» (Санкт-Петербург, Россия, 2010 г.).

http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html

2. Международная студенческая конференция «Science and Progress —

2011» (Санкт-Петербург, Россия, 2011 г.).

http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html

3. Международная студенческая конференция «Science and Progress —

2012» (Санкт-Петербург, Россия, 2012 г.).

http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html

4. Международная студенческая конференция «Science and Progress —

2013» (Санкт-Петербург, Россия, 2013 г.).

http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html

5. Международная конференция «Quarks — 2014» (Суздаль, Россия, 2014 г.).

http://quarks.inr.ac.ru/

6. Международная конференция «In Search of Fundamental Symmetries», посвящённая 90-летию со дня рождения Новожилова Ю. В. (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.).

http://hep.phys.spbu.ru/conf/novozhilov90/

7. 5-я международная конференция «Models in Quantum Field Theory», посвящённая 75-летию со дня рождения Васильева А. Н. (Санкт-Петербург, Россия, 2015 г.).

http://hep.phys.spbu.ru/conf/mqft2015/

Публикации. Содержание диссертации полностью отражено в 3 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus, а также в тезисах докладов 5 международных конференций:

1. А.Л. Письменский, тезисы международной студенческой конференции «Наука и Прогресс — 2010».

2. А.Л. Письменский, тезисы международной студенческой конференции «Наука и Прогресс — 2011».

3. А.Л. Письменский, тезисы международной студенческой конференции «Наука и Прогресс — 2012».

4. А.Л. Письменский, тезисы международной студенческой конференции «Наука и Прогресс — 2013».

5. A.L. Pismenskii, proceedings of 18th International Seminar on High Energy Physics «Quarks — 2014».

6. A.L. Pismensky and Yu.M. Pis'mak, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 48 (2015) 325401.

7. А.Л. Письменский, Теоретическая и математическая физика, 185 (2015), 179-185.

8. A.L. Pismensky, Journal of Modern Physics A, Vol. 30, No. 24 (2015) 1550138.

Личный вклад автора.

Все основные результаты получены соискателем лично, либо при совместной работе в неразделимом соавторстве. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 62 наименования. Объём работы - 122 страницы.

Первая глава посвящена исследованию асимптотик пропагаторов скалярных безмассовых моделей ф3, ф4 и ф6 в логарифмической размерности пространства методом уравнения ренормгруппы. Вычисляются поправки

к уже известным главным приближениям. Расчёты основываются на полученных ранее другими авторами выражениях для в-функции и аномальной размерности поля. Проводится вычисление оператора собственной массы с требуемой точностью. Особое внимание уделяется О^)-симметричной теории ф4, и, в частности, обсуждаются полученные для этой модели результаты с точки зрения гипотезы её тривиальности в критической точке.

Во второй главе рассматривается применение метода конформного бутстрапа для расчёта критического индекса безмассовой модели ф3. Воспроизводится уже известное 3-петлевое приближение, полученное ренорм-групповым методом. Продемонстрировано преимущество метода конформного бутстрапа, в котором для получения того же результата требуется вычисление меньшего количества диаграмм.

В третьей главе в рамках ^-разложения проводится методом конформного бутстрапа аналитический расчет 4-петлевой поправки к критическому индексу Фишера п теории ф3. Результат для 4-петлевой поправки хорошо согласуется с её численным значением, полученным другими авторами, использовавшими метод ренормгруппы. В этой главе проводится также расчеты ренорминвариантной комбинации амплитуды с четырехпет-левой точностью.

В заключении проводится обсуждение представленных в диссертации результатов исследования.

В приложениях представлены технические детали расчётов, не приведенные в основном тексте диссертации.

1. Расчёт асимптотик пропагаторов в логарифмических размерностях с помощью уравнения

ренормгруппы

1.1. Введение

Как известно, в точках фазовых переходов второго рода возникают обычно критические явления, характерной особенностью которых является масштабная инвариантность (скейлинг). Она проявляется в том, что асимптотики корреляционных функций на больших расстояниях описываются обобщенно однородными функциями. В частности, парная корреляционная функция (пропагатор) для трансляционно-инвариантной системы представляет собой степенную функцию, и для нее задачей теории критических явлений является расчет показателя степени (критического индекса). Для этого разработаны различные методы [1,2]. Из них наиболее эффективными являются метод ренормгруппы, позволяющий найти аппроксимации для критических индексов на основе использования начальных отрезков ряда теории возмущений, и метод уравнений самосогласования, в рамках которого удалось получить наиболее точные приближения для 1/п-разложения критических индексов в 0(п)-симметричной ф4-теории [32,33,35].

Интересной проблемой является возможность нарушения скейлинга в критической точке в некоторых исключительных случаях. Анализ этого

эффекта в логарифмической размерности пространства проводится в этой главе в рамках метода уравнения ренормгруппы.

1.2. Общее решение уравнения ренормгруппы

Уравнение ренормгруппы [1,2] имеет вид:

( д д \

+ в^ д~д + 27 ^ ) = 0' (1.1)

где используются следующие обозначения: д — масштабный параметр, имеющий размерность массы, в(д) — бета-функция, 7(д) — аномальная размерность поля, д — константа связи (или её функция), р — импульс, О — пропагатор.

В уравнении (1.1) стоит производная по масштабному параметру. Но нас интересует зависимость пропагатора от импульса. Используя уравнение, связывающее производную по масштабному параметру д с производной по импульсу р

( д д \

(Ддд + Рдр + 2 ) О(д,Р, д) = 0 (1.2)

и комбинируя уравнения (1.1) и (1.2), мы исключаем -Ц- и получаем: ( д д \

[~р— + в (д) дд + 27 (д) - 2 ) О(д,р, д) = 0. (1.3)

Удобно ввести безразмерные величины: й = - (безразмерный импульс), Ф = д2О (безразмерный пропагатор). Тогда уравнение (1.3) переписывается следующим образом:

( д д \

+ в(д)^ + 27(д) - у ф(й, д) = 0. (1.4)

Общее решение уравнения (1.4) имеет вид [2]:

( \

" 7(ж)

2

¿ж

(1.5)

Ф(в,д) = ^(д(в,д))в 2 ехр в(ж)

v * )

где д(в, д) — инвариантный заряд, который задаётся неявно уравнениями:

д

С ¿ж

д(1,д)= 1Пй = -—-. (1.6)

в (ж)' д

С точки зрения математики в качестве ^(д) годится любая дифференцируемая функция, но нас интересует не произвольное решение уравнения, а только пропагаторное: подставляя в = 1 в (1.5) и учитывая, что д(1, д) = д, мы получаем: ^(д) = Ф(1,д), и решение уравнения (1.4) записывается в ви-

де:

/ д(в,д) \

2 ( ^М ¿ж

ф(в,д) = ф(1,д(в,д))в 2 ехР - J в(ж)

v д у

Поэтому оказывается, что бета-функции и аномальной размерности не до-

(1.7)

статочно, чтобы найти асимптотику пропагатора, нужно знать ещё Ф(1,д) (пропагатор как функция константы связи при в =1). Эту функцию можно найти из уравнения Дайсона-Швингера:

Б -1 (-,д) = А - Чр)-£(р,д),

-1/

(1.8)

где А(-) — затравочный пропагатор, Е(-, д) — оператор собственной массы (сумма 1-неприводимых диаграмм). В схеме минимальных вычитаний

(МБ):

А(-) = -2. -2

Введём обозначение: 3 = д 2Уравнение (1.8) переписывается как

Ф 1(в,д) = в2 - 3(в,д),

и для функции Ф(1,д) получаем следующее выражение:

ф(1,д) = 1

1 - 5(1,д)'

Формула (1.7) переписывается в виде:

/ ^^ / ч \

" . (1.9)

Ф(в^ = --^еХР

2 1 ^М ^

I У в (х) ,

V * !

Таким образом, для нахождения асимптотики пропагатора нужно знать в(д), 7(д) и 5(1, д). Чтобы найти 5(1, д), потребуется вычислить диаграммы Фейнмана.

Удобно ввести функции р(д) и а(д), удовлетворяющие дифференциальным уравнениям:

вм ж (1Л0)

Из формул (1.6) и (1.10) следует, что

1п 5 = р(д) - р(д), ехр ^2 ^ ^^ = е"2а(д)е2а(д).

Используя обозначение в1 = ер(д)в, можно записать:

Р® = 1п въ

таким образом, инвариантный заряд д зависит не по отдельности от в и д, а только от комбинации ер(д)в:

д = р-1(1п вl),

где р-1(ж) — обратная функция к р(ж): р-1(р(ж)) = ж. Выражение (1.9)

принимает вид:

Ф(в1,д) = е2р(д)е"2а(д) -"2- 1 е2а(*(в1)). (1.11)

в2 1 — 5(1,д(в1))

А для пропагатора Б получается:

Б(д,-,д) = 1 е-2а(д)+2р(д)Ф(в1), в1 = ер(д) 1-1, (1.12)

д2 д

где

11

Ф("0 = "2 -й]-уТе2а(р-1(1п(1.13)

1 - з(1,р-1(1п в1))

Мы видим, что пропагатор представляется в виде произведения амплитуды, зависящей от масштабного параметра д и константы связи д, и функции Ф, зависящей только от в1. Наша цель — найти асимптотику пропагато-ра при больших значениях | 1п в1 | и фиксированной константе связи д. Для нахождения р(д) и а(д) мы используем уже известные приближения для в(д) и 7(д), а функцию 3(1, д) вычисляем, используя технику диаграмм Фейнмана и методы, описанные в [32,33,37-42].

1.3. Вычисление асимптотик

Наша задача — вычислить асимптотику пропагатора при малых или больших импульсах. По уравнению ренормгруппы мы можем извлечь только одну из двух асимптотик — либо инфракрасную (ИК), либо ультрафиолетовую (УФ). Рассмотрим подробнее уравнение (1.6):

г ¿ж

д(1,д) = g, 1п" =

в (ж)' д

Нижний предел интеграла фиксирован. Чтобы 11п стремился к бесконечности, нужно, чтобы интеграл расходился на верхнем пределе. Для этого нужно выбрать точку д, близкую к д* — нулю в-функции: в(д*) = 0. Имеем: д(в,д) ^ д* при 1п в ^ Во всех моделях, которые мы исследуем, ряд теории возмущений для в-функции в логарифмической размерности

начинается с квадратичного члена: в(д) = Ь2д2 + ... Одним из нулей бета-функции всегда будет точка д* = 0 (гауссов нуль). Вообще говоря, у в -функции могут быть и другие нули, но поскольку мы знаем её только по теории возмущений, то найти другие нули — задача очень трудная. Поэтому мы выберем д* = 0, то есть для нахождения асимптотики будем

устремлять инвариантный заряд д к нулю. Из уравнения (1.6) следует:

д

[ ^ 11 1

1П 5 = - = -— + — + ... = -— + ...

] Ь2Х2 +... Ь2д &2д 02д

д

Тип асимптотики определяется знаком Ь2д. Так как д(1,д) = д, и д ^ 0 только в пределе 11п ^ то, то инвариантный заряд д всегда остается того же знака, что и константа связи д. Поэтому тип асимптотики определяется знаками Ь2 и д: если (Ь2д) > 0, то мы извлекаем ИК-асимптотику, если (Ь2д) < 0, то УФ.

Вычислим поправки к главному приближению пропагатора. Чем больше членов разложения функций в(д), 7(д) и 2(1, д) известно, тем больше поправок мы можем найти. Допустим, мы знаем следующее приближение:

в (д) = М2 + Ьзд3 + М4 + 0(д5),

7 (д) = схд + С2д2 + сз д3 + 0(д4), (1.14)

2(1, д) = ахд + «2д2 + 0(д3).

Мы полагаем, что Ь2 = 0, остальные коэффициенты могут быть равны нулю.

1.3.1. Асимптотика инвариантного заряда

Рассмотрим подробнее уравнение (1.6): g g

. f dx 1/1 1 7

ln s = ч = — —Г-г-г-dx =

J ß(x) b2j X2 1 + b3x + b4x2 + ...

g g 2 2

g „

1 f 1 / -3 -2 - -2-4 2 \ , = T" 1 - 73x + 3 ?2x2 + ... dx =

-2 J x2 \ -2 -2 /

g

1 1 -3, . . b3, . . -3 — -2-4 -3 — -2-4

= + ^ — 13 In |g| + 73 In |g| + 3-^g — "3L—3-^g +

-2g -2g -2 -2 -3 -2 = p(g) — p(g)

Таким образом, для функции p(g) можно записать следующее выражение:

P(g) = — i — -3 'n|g' + Cp + g + °(«2)'

где Cp — произвольная константа. Удобно выбрать Cp = — j| ln |b2|, тогда

P(g) = — i — -3 ln |-2g| + ^g + O(g2),

таким образом, функция p(g) однозначно задаётся условиями:

p/(g) = Щ'

P(g) = — big — I ln |-2g| + O(g).

Из уравнения ln s = p(g) — p(g) нужно выразить g через s и g.

ln s = — -1g — -3 ln |-2g| — p(g) + -3l-3-2-15 + ... (115)

Обозначим: v = — j^s. Уравнение (1.15) переписывается:

1 1 \h~\ ( A i -2 — -2-4 — ,

—v = — -2g — -fln |-2g| — + g +...

Домножим его на (—vg):

- V -3 |7 / ч _ -2 — -2-4 _2 / 4

g = + -2 vgln |-2g| + p(g)vg —-3—vg +... (1.16)

Будем решать (1.16) итерациями. В главном приближении имеем:

V

д = - + ... ¡2

Подставим это в (1.16) и в следующем порядке получим:

- v , ¡3 ц , , , р(д) 2 ,

д = ¡I + ¡Г 1п |v| + 1^ +...

Теперь подставим это выражение в (1.16), и в третьем порядке по V будет:

д = й + ¡3V21п1 V I + ^¿д2V2 + |V31п21 V I + (| + 21Р(д)) V31п | V | +

¡3- ¡2¡4 , ь^, . р(д)2А,3

. ¡3- Ь2Ь4 . ¡3 , >. . р(д)2\ 3 ,

+ 1--«Г" + ь3 р(д) + ^г]v +...

или

_ V

д = тг ¡2

Ь ¡2 / ¡2 Ь \

1 + ¡1V 1п IVI + р(д> + ¡4V21п2 IVI + ( ¡3 + 2¡2р(дЛ V2 1п |VI +

2 и2 \и2 и2

(1.17)

Ч - ¡г1+Ь3 р(д)+р(д)^ V2+...

Мы видим, что некоторые члены не содержат р(д) — они универсальны (не зависят от константы связи д), а некоторые содержат. Обозначим коэффициенты разложения ^пт:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Письменский Артем Леонидович, 2016 год

Литература

1. Wilson, K.G. The renormalization group and the ^-expansion / K. G. Wilson, J. Kogut — Amsterdam, 1974.

2. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике / А. Н. Васильев — СПб.: ПИЯФ, 1998.

3. Andrews T /T. Andrews // Phil. Trans. Roy. Soc. — 1869 — Vol. 159 — P. 575.

4. Van der Waals J. D. / J. D. Van der Waals // Ph. D. Thesis, University of Leiden, 1873.

5. Weiss P. / P. Weiss // Journ. de Phys. — 1907 — Vol. 6 (4) — P. 661.

6. Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов. I. / Л. Д. Ландау // ЖЭТФ — 1937 — Vol. 7 — P. 19 ; Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов. II. / Л. Д. Ландау // ЖЭТФ — 1937 — Vol. 7 — P. 627; Ландау Л. Д. Рассеяние рентгеновых лучей кристаллами вблизи точки Кюри. / Л. Д. Ландау // ЖЭТФ — 1937 — Vol. 7 — P. 1232.

7. Okabe Y. Logarithmic Corrections to a Simple Power Law at d = 4 in 1/n Expansion / Y. Okabe Progress of Theor Phys — 1978 — Vol. 59 — Pp. 386-392.

8. Brush S. G. History of the Lenz-Ising Model / S. G. Brush // Rev. Mod. Phys. — 1967 — Vol. 39 — P. 883.

9. Kramers H. A. Statistics of the two-dimensional ferromagnet / H. A. Kramers, G. H. Wannier // Phys. Rev. — 1941 — Vol. 60 — Pp. 252-276.

10. Shedlorsky T. Ising Models / T. Shedlorsky, E. Montroll // J. Math. Phys.

— 1963 — Vol. 4 — P. 145.

11. Налимов М.Ю. Голдстоуновские сингулярности в 4—^-разложении теории Ф4 / М. Ю. Налимов // ТМФ — 1989 — Vol. 80 — P. 212.

12. Аджемян Л. Ц. Ренормгрупповой подход в теории турбулентности: размерности составных операторов / Л. Ц. Аджемян, А. Н. Васильев, Ю. М. Письмак // ТМФ — 1983 — Vol. 57 — P. 268.

13. Антонов Н.В. Критическая динамика как теория поля / Н.В. Антонов, А. Н. Васильев А.Н. // ТМФ — 1984 — Vol. 60 — P. 59.

14. Klebanov I. Solving quantum field theories via curved spacetimes / Igor R. Klebanov and Juan M. Maldacena // Physics Today — 2009 — Vol. 62(1)

— P. 28 — doi: 10.1063/1.3074260.

15. Beccaria M. Higher spins in AdSsatone/oop : vacuumenergy, boundarycon/orma/anoma/iesandAdS/CFT/M.Beccaria, A.A. 1410.3273v 3[hep — th].

16. Mack G. D-independent representation of Conformal Field Theories in D dimensions via transformation to auxiliary Dual Resonance Models. Scalar amplitudes / Gerhard Mack // arXiv:0907.2407v1 [hep-th].

17. Mack G. D-dimensional Conformal Field Theories with anomalous dimensions as Dual Resonance Models / Gerhard Mack // Bulg. J. Phys. — 2009 — Vol. 36 Pp. 214-226; см. также arXiv:0909.1024 [hep-th].

18. Quella T. Superspace conformal field theory / Thomas Quella and Volker Schomerus // J. Phys. A: Math. Theor. — 2013 — Vol. 46 — P. 494010; см. также arXiv:1307.7724v2 [hep-th].

19. Hogervorst M. Unitarity violation at the Wilson-Fisher fixed point in 4-epsilon dimensions / Matthijs Hogervorst, Slava Rychkov, Balt C. van Rees // arXiv:1512.00013v1 [hep-th].

20. Wilson K. G. Critical Exponents in 3.99 Dimensions / K. G. Wilson and M. E. Fisher // Phys.Rev.Lett. — 1972 — Vol. 28 — Pp. 240-243.

21. Hogervorst M. Truncated conformal space approach in d dimensions: A cheap alternative to lattice field theory? / M. Hogervorst, S. Rychkov, and B. C. van Rees // Phys. Rev. D — 2015 — Vol. 91 — P. 025005; см. также arXiv:1409.1581 [hep-th].

22. O'Dwyer J. Epsilon Expansion for Multicritical Fixed Points and Exact Renormalisation Group Equations / J. O'Dwyer and H. Osborn // Annals Phys. — 2008 — Vol. 323 — Pp. 1859-1898; см. также arXiv:0708.2697v2 [hep-th].

23. Jack I. Constraints on RG Flow for Four Dimensional Quantum Field Theories / I. Jack, H. Osborn // Nuclear Physics — 2014 — Vol. 883 — Pp. 425-500; см. также arXiv:1312.0428v4 [hep-th].

24. Osborn H. Structures on the Conformal Manifold in Six Dimensional Theories / Hugh Osborn, Andreas Stergiou // JHEP - 2015 - Vol. 04 - P. 157; см. также arXiv:1501.01308v3 [hep-th].

25. Bednyakov A. V. Higgs self-coupling beta-function in the Standard Model at three loops / A.V. Bednyakov, A.F. Pikelner, V.N. Velizhanin // Nucl.Phys. B

- 2013 - Vol. 875 - Pp. 552-565.

26. Marboe C. Six-loop anomalous dimension of twist-two operators in planar N=4 SYM theory / Christian Marboe, Vitaly Velizhanin, Dmytro Volin // JHEP -2015 - Vol. 1507 - P. 084.

27. Stueckelberg E La normalization des constantes dans la theorie des quanta /

E. Stueckelberg, A. Petermann // Helv.Phys.Acta - 1953 - Vol. 26 - P. 499.

28. Gell-Mann M Quantum Electrodynamics at Small Distances / M. Gell-Mann,

F. E. Low // Phys.Rev. - 1954 - Vol. 95 - Pp. 1300-1312.

29. Боголюбов Н. Н. Введение в теорию квантованных полей / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков // Москва 1984

30. Боголюбов Н. Н. Квантовые поля / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков // Москва 1980

31. Mack G. Conformal invariance and short distance behavior in quantum field theory / G. Mack // Strong interaction physics - 1972 - Vol. 17 of Lecture Notes in Physics - P. 300 - Heidelberg: Springer Verlag.

32. Васильев А.Н. Простой метод расчета критических индексов в 1/n-разложении / А. Н. Васильев, Ю.М. Письмак, Ю.Р. Хонконен // ТМФ

- 1981 - Vol. 46 - P. 157.

33. Васильев А.Н. l/n-Разложение: расчет индексов п и v в порядке 1/n2 для произвольной размерности / А. Н. Васильев, Ю.М. Письмак, Ю.Р. Хонконен // ТМФ — 1981 — Vol. 47 — P. 291.

34. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике / А. Н. Васильев — Ленинград, 1976.

35. Васильев А.Н. l/n-Разложение: расчет индекса п в порядке 1/n3 методом конформного бутстрапа / А. Н. Васильев, Ю.М. Письмак, Ю.Р. Хонконен // ТМФ — 1982 — Vol. 50 — P. 195.

36. Васильев А.Н. Об инфракрасной асимптотике глюонного пропагатора / А. Н. Васильев, Ю.М. Письмак, Ю.Р. Хонконен // ТМФ — 1981 — Vol. 48 — P. 284.

37. Kotikov A. V. The Gegenbauer Polynomial Technique: the evaluation of complicated Feynman integrals / A. V. Kotikov // QFTHEP — 2000 — Vol. 04 — Pp. 211-217; см. также arXiv:hep-ph/0102177v1.

38. Chetyrkin K. G. Integration by parts: The algorithm to calculate в-functions in 4 loops/ K. G. Chetyrkin, F.V. Tkachov // Nuclear Physics B — 1981 — Vol. 192 — Pp. 159-204.

39. Казаков Д.И. Вычисление фейнмановских интегралов методом «уникаль-ностей» / Д. И. Казаков // ТМФ — 1984 — Vol. 58 — P. 343; Казаков Д.И. Многопетлевые вычисления: метод уникальностей и функциональные уравнения / Д. И. Казаков // ТМФ — 1985 — Vol. 62 — P. 127.

40. Baikov P. A. Four Loop Massless Propagators: an Algebraic Evaluation of All

Master Integrals / P. A. Baikov, K. G. Chetyrkin // Nucl.Phys.B - 2010 -Vol. 837 - Pp. 186-220; см. также arXiv:hep-ph/1004.1153v2.

41. Chetyrkin K. G. Infrared R-operation and ultraviolet counterterms in the MS-scheme / K. G. Chetyrkin, F. V. Tkachov // Phys. Lett. B - 1982 - Vol. 114 — P. 340; Chetyrkin K. G. R*-Operation corrected / K. G. Chetyrkin, V. A. Smirnov // Phys. Lett. B - 1984 - Vol. 144 - P. 419; Смирнов В. А. Я*-операция в схеме минимальных вычитаний / В. А. Смирнов, К. Г. Четыркин, ТМФ - 1985 - Vol. 63 - P. 208.

42. Huber T. HypExp 2, expanding hypergeometric functions about half-integer parameters / T. Huber, D. Maître // Computer Physics Communications -2008 - Vol. 178 - P. 755-776.

43. Велижанин В. Н. Непланарный вклад в четырехпетлевую универсальную аномальную размерность операторов Вильсона твиста-2 в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса / В. Н. Велижанин // Письма в ЖЭТФ

- 2009 - Vol. 89 - P. 697.

44. Smirnov V. A. Evaluating Feynman integrals / V. A. Smirnov - Berlin, Germany: Springer, 2004; Smirnov V. A. Feynman integral calculus / V. A. Smirnov - Berlin, Germany: Springer, 2006.

45. Pismensky A. L. Scaling violation in massless scalar quantum field models in logarithmic dimensions / A. L. Pismensky and Yu. M. Pis'mak // J. Phys. A

- 2015 - Vol. 48 P. 325401.

46. Письменский А. Л. Расчет критического индекса п для теории методом

конформного бутстрапа / А. Л. Письменский // ТМФ — 2015 — Vol. 185 P. 179-185.

47. Pismensky A. L. Calculation of critical index п of the ^>3-theory in 4-loop approximation by the conformal bootstrap technique / A. L. Pismensky // J of Modern Physics A — 2015 — Vol. 30 — P. 1550138; см. также arXiv: 1511.03211 [hep-th].

48. de Alcantara Bonfim O. F. Critical exponents to order e3 for ф3 models of critical phenomena in 6 — e dimensions / O. F. de Alcantara Bonfim, J. E. Kirkham, A. J. McKane // J. Phys A — 1980 — Vol. 13 — Pp. 247-251.

49. de Alcantara Bonfim O. F. Critical exponents for the percolation problem and the Yang-Lee edge singularity / O. F. de Alcantara Bonfim, J. E. Kirkham, A. J. McKane // J. Phys A — 1981 — Vol. 14 — Pp. 2391-2413.

50. Five-loop renormalization group functions of O(n)-symmetric ^>4-theory and e-expansions of critical exponents up to e5 / H. Kleinert, J. Neu, V. Shulte-Frohlinde, K. G. Chetyrkin, S. A. Larin // Phys. Lett. B — 1991 — Vol. 272 — P. 39-44.

51. Kleinert H. Critical properties of 04-theories / H. Kleinert, V. Schulte-Frohlinde — Freie Universitat Berlin, 2000.

52. Suslov I. M. Renormalization Group Functions of the Theory in the Strong Coupling Limit: Analytical Results / I. M. Suslov // J. of Exp. and Theor. Phys. — 2008 — Vol. 107 — P. 413, см. также arXiv:1010.4081; Suslov I. M. Asymptotic Behavior of the в Function in the Theory: A Scheme Without Complex Parameters / I. M. Suslov // J. of Exp. and Theor. Phys. — 2010 —

Vol. 111 — P. 450, см. также arXiv:1010.4317; Weinberg S.Minimal fields of canonical dimensionality are free / S. Weinberg // Phys. Rew. D — 2012 — Vol. 86 — P. 105015; Fröhlich J. On the triviality ot A^>d theories and the approach to the critical point in d > 4 dimensions / J. Fröhlich // Nucl. Phys. B — 1982

— Vol. 200 [FS4] — Pp. 281-296; Callaway D. Triviality pursuit: can elementary scalar particles exist? / D. Callaway // Phys. Reports — 1988 — Vol. 167 — Pp. 241-320; Freedman B. Monte Carlo Evaluation of the continuum limit of (ф4)4 and (ф4)3 / B. Freedman, P. Smolensky, D. Weingarten // Phys. Let. B

— 1982 — Vol. 113.

53. Fernández R. Random Walks, Critical Phenomena, and Triviality in Quantum Field Theory / R. Fernandez, J. Fröhlich, D. Sokal A // Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH, 1992, ISBN 978-3-662-02868-1.

54. Balian R. Critical Exponents for Transitions with n = —2 Components of the Order Parameter / R. Balian and G. Toulouse // Phys. Rev. Lett. — 1973 — Vol. 30 — P. 544.

55. Adzhemyan L. Ts. Renormalization group and the e-expansion: Representation of the ß-function and anomalous dimensions by nonsingular integrals / L. Ts. Adzhemyan, M. V. Kompaniets // Theor. Mat. Phys. — 2011

— Vol. 169 — Pp. 1450-1459

56. Zinn-Justin J. Phase Transitions and Renormalization Group Oxford / J. Zinn-Justin — University Press Inc., New York, 2007.

57. Bagnuls C. Exact renormalization group equations: an introductory review / C. Bagnuls, C. Bervillier // Phys. Rep. — 2001 — Vol. 348 — P. 91; Berges J.

Non-perturbative renormalization flow in quantum field theory and statistical physics / J. Berges, N. Tetradis, C. Wetterich // Phys. Rep. — 2002 - Vol. 363

— P. 223; Meureice Y. New applications of the renormalization group method in physics: a brief introduction / Y. Meureice, R. Perry, S.-W. Tsai Phil. Trans. R. Soc. A — 2011 — Vol. 369 — P. 2602; Rosten O. J. Fundamentals of the exact renormalization group / O. J. Rosten // Phys. Rep. — 2012 — Vol. 511

— P. 177.

58. Gracey J. A. Four loop renormalization of 03 theory in six dimensions / J.A. Gracey // arXiv: 1506.03357v1 [hep-th].

59. Zhong F. Theory of the Dynamics of First-Order Phase Transitions: Unstable Fixed Points, Exponents, and Dynamical Scaling / F. Zhong and Q. Chen Phys. Rev. Lett. — 2005 — Vol. 95 — P. 175701.

60. Fisher M. Yang-Lee Edge Singularity and 03 Field Theory / M. Fisher Phys. Rev. Lett. — 1978 — P. 1610.

61. Breuer M. / M. Breuer and H.-K. Janssen Z. Phys. B: Cond. Mat. — 1981 — Vol. 41 — P. 55.

62. Bender C. M. Scalar Quantum Field Theory with a Complex Cubic Interaction / C. M. Bender, D. C. Brody and H. F. Jones Phys. Rev. Lett. — 2004 — Vol. 93 — P. 251601.