Билинейные обобщения перестановочных соотношений в квантовой теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Грачев, Дмитрий Дмитриевич

• Грачев, Дмитрий Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Грачев, Дмитрий Дмитриевич

Введение.

Глава I. Обобщенные алгебры операторов рождения-уничтожения в квантовой теории.

§1. Место постулата о перестановочных соотношениях в общей схеме построения квантовой теории.

§2. О классификации обобщенных перестановочных соотношений.

§3. Паракоммутационные соотношения в квантовой теории поля.2.

§4. У - коммутационные соотношения в квантовой теории поля.

§5. Применение JU. - коммутационных соотношений в некоторых задачах квантовой теории.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Билинейные обобщения перестановочных соотношений в квантовой теории поля»

Формализм квантовой теории поля, детально разработанный и последовательно изложенный в ряде работ (ом., например, [i - ю]) в настоящее время весьма успешно используется в самых различных областях физики и является основой при описании явлений микромира. Следует, однако, отметить, что квантовая теория поля постоянно развивается и совершенствуется, что связано с необходимостью введения•новых типов полей и их взаимодействий, открытием или теоретическим предсказанием новых частиц и т.п. При этом может частично изменяться совокупность постулатов и принципов, на которых базируется теория.

Наиболее важными и присущими любой модификации теории принципами являются принципы релятивистской ковариантности и причинности, не являющиеся, вообще говоря, специфически квантовыми. При этом математически однозначно формулируется лишь первый из вышеупомянутых двух принципов. Что же касается, например, принципа причинности в квантовой теории поля, то здесь возможны различные варианты его формулировки [i - 4, ioj

Говоря о специфически квантовых принципах, заметим, что тип квантования и алгебра операторов физических величин той или иной рассматриваемой системы задаются совокупностью перестановочных соотношений между операторами, образующими полный неприводимый набор [2] , функциональная связь которых со всеми операторами физических величин определяется принципом соответствия между классической и квантовой теориями. Здесь также физрхчески допустимыми являются различные варианты формулировки как принципа соответствия, так и перестановочных соотношений, задающих алгебру операторов квантовой теории [4, 9, 13-25, 36,93] .

Важно отметить, что совокупность постулатов (математически корректно сформулированных и обеспечивающих выполнение физических принципов, являющихся отражением экспериментальных наблюдений) на которой строится теория [i - ю] , не являются системой независимых утверждений относительно исходных объектов теории и их свойств.

Подтверждением сказанного выше о взаимной связи постулатов квантовой теории поля может служить то известное обстоятельство, что в теории, содержащей в качестве полного неприводимого набора лишь локально коммутативные [I -9] операторы полей, реализующих конечномерные неприводимые представления релятивистской группы, имеет место теорема Паули о связи трансформационных свойств операторов полей с их алгебраическими свойствами (теорема о связи спина со статистикой) [I - з] , устанавливающая перестановочные соотношения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна для полей с полуцелым и целым спином соответственно.

Б настоящее время создан ряд моделей систем взаимодействующих полей, основанных на тех или иных группах симметрии, и которые позволяют рассматривать различные типы взаимодействий единым образом в рамках данной модели [4, 8 - 10, 88, 90] . Указанные модели (электрослабого взаимодействия, хромодинамика и т.п.) предсказывают существование новых частиц (кварки, глюоны, промежуточные бозоны, тахионы и т.п.) обладающих, возможно, необычными свойствами. В частности, статистика для таких частиц может в принципе не совпадать со статистикой Ферми-Дирака или Бозе-Эйн-штейна. Поэтому приобрели актуальность исследования проблем, связанных с допустимыми обобщениями перестановочных соотношений в квантовой теории поля [13 - 25, 37 - 67, 92, ТОО] , то есть, в конечном счете, обобщениями самой схемы квантования.

Следует отметить, что в исследовании и применении иных, не стандартных алгебр операторов теории поля необходимо различать два аспекта.

Первый состоит в том, что те или иные типы алгебр, порождаемые различными перестановочными соотношениями, формально можно применять в теории, поскольку применение их не противоречит основным физическим требованиям, которые обычно к ней предъявляются i - io] , однако такое применение не приводит к каким-либо новым физическим следствиям, и поэтому представляет лишь общетеоретический интерес [2] .

Второй случай - когда применение нестандартных перестановочных соотношений не только формально допустимо, но и приводит к каким-либо физически нетривиальным следствиям. Однако априорно неясно, какое из допустимых обобщений алгебры полевых операторов будет физически существенно, поэтому в настоящий момент ситуация такова, что интерес вызывает всякая попытка обобщения стандартных перестановочных соотношений.

В настоящее время проблемы, связанные с такими обобщениями, исследуются достаточно интенсивно.

Так, например, в работах [12 - 14] 0ыли предприняты попытки использовать в квантовой теории поля перестановочные соотношения, отличные от упомянутых выше перестановочных соотношений Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, и названные паракоммутационныш. Затем парастатистики, ими порождаемые, достаточно подробно исследовались в работах [l5-23] и [з?-67] .

Было установлено, что в теории поля, квантованной на основе паракоммутационных соотношений какого-либо типа, естественно возникает новый параметр, принимающий целочисленные и большие нуля значения и называемый порядком парастатистики. В этом смысле обычные ферми- и бозе-статистики являются частными случаями па-раферми- и парабозе-статистик с порядком, равным единице.

Следует отметить, что в рамках аксиоматического подхода в теории поля было предложено обобщенное понятие статистики [62] , включающее в себя и все возможные ее пара-обобщения.

Общетеоретические вопросы, связанные с совместностью основных физических принципов с паракоммутационныш соотношениями были рассмотрены уже в работах [12-23] . Была показана допустимость применения их в квантовой теории поля.

К некоторой модификации пара-статистики следует отнести и так называемую модулярную статистику [29] .

Другими примерами обобщенных перестановочных соотношений (пока еще недостаточно исследованными) являются суперстатистика [92] , jU. - коммутационные соотношения, предложенные в работе [36] , а также f - коммутационные соотношения [юо] .

Относительно последних необходимо заметить, что применение их в квантовой теории поля требует переформулировки принципа причинности, однако в ряде случаев позволяет устранить из теории расходимости, не прибегая к перенормировкам.

В целом же ситуация такова, что за исключением пара-коммутационных, jf - коммутационных, а также ряда примеров "аномального" [2] применения обычных перестановочных соотношений, вопрос о возможности применения обобщенных перестановочных соотношении в квантовой теории поля почти не исследовался. Некоторые из предложенных обобщенных коммутационных соотношении исследовались лишь на алгебраическую совместность.

Таким образом, в настоящее время невыясненными являются как ряд общетеоретических аспектов,так, в большинстве случаев, и физически существенные, допускающие экспериментальную проверку следствия применения в квантовой теории поля обобщенных перестановочных соотношений.

Наиболее целесообразно на данном этапе представляется изучение прежде всего билинейных обобщенных перестановочных соотношений, поскольку именно такие обобщения обеспечивают возможность прямого предельного перехода к стандартным случаям, то есть к перестановочным соотношениям Ферш-Дкрака и Бозе-Эйнштейна. Данное обстоятельство важно как для проверки получающихся результатов путем сравнения их со стандартными, так и с точки зрения общего принципа преемственности физических теорий.

Поэтому основной целью исследований, включенных в настоящую дне с ертацию, являе тся:

1. Установить совокупность допустимых обобщенных билинейных перестановочных соотношений, совместных с основными положениями квантовой теории поля: принципом соответствия с классической теорией, ковариантностью, унитарностью, микропрпчинностью.

2. Выявить возможности и физически существенные следствия применения допустимых обобщенных билинейных перестановочных соотношений при квантовании конкретных моделей систем взаимодействующих полей.

Дервая глава диссертации является в основном обзорной. Здесь проводится обсуждение роли и места постулата о перестановочных соотношениях в общей схеме построения квантовой теории. Дается возможная классификация известных в настоящее время перестановочных соотношений на основе понятий билинейности, пропорциональности и бинарности. Данная глава содержит в себе информацию о проведенных к настоящему времени исследованиях различных обобщений алгебры операторов квантовой теории, краткий анализ достигнутых здесь результатов и тлеющихся трудностей. На этой основе делается вывод о принципиальной допустимости применения, в квантовой теории поля различных обобщенных перестановочных соотношений и необходимость дальнейших исследований с целью выявления физически существенных следствий такого применения. Указывается, что на данном этапе наиболее целесообразным представляется изучение билинейных обобщенных перестановочных соотношений .

Во второй главе дается общее определение билинейных обобщенных перестановочных соотношений, сформулированное в терминах операторов рождения и уничтожении, и выявляются условия их взаимной алгебраической совместности.

Устанавливается, что наиболее общая запись билинейных перестановочных соотношений содержит в себе три типа параметров, что позволяет вьщелить среди всей совокупности билинейных перестановочных соотношений три существенно различающихся между собой класса: Ф - , М - , fl - перестановочные соотношения.

В заключительных параграфах данной главы приводятся примеры конкретной математической реализации операторов, удовлетворяющих перестановочным соотношениям из указанных выше классов.

В третьей главе рассматривается общая схема квантования полевых систем на основе предложенных во второй главе билиней

-IIных обобщенных перестановочных соотношений.

Показано, что операторы рождения-уничтожения, им удовлетворяющие, имеют обычный физический смысл операторов рождения-уничтожения частиц (античастиц) поля, обладающих определенным 4-им-пульсом, зарядом, поляризацией и т.п.

Коммутаторы (антикоммутаторы) полевых функций в рассматриваемом случае, вообще говоря, не являются с-числами. Кроме того, коммутаторы (антикоммутаторы) полевых функций не обращаются в нуль в пространственно-подобных точках, то есть, в получаемой теории не имеет место локальная коммутативность для операторов поля. Тем не менее средние значения коммутаторов (антикоммутаторов) операторов поля в любом состоянии с фиксированным числом частиц пропорциональны соответствующим перестановочным функциям, как это имеет место и в стандартной схеме квантования.

Более того, доказано, что несмотря на локальную некоммутативность операторов поля, лагранжиан взаимодействия может быть локально коммутативной комбинацией функций поля. Это достигается наложением дополнительных условий на параметры билинейных обобщений.

Далее обсуждается метод построения операторов динамических величин системы взаимодействующих полей и утверждается, что зависимость этих величин от лагранжиана взаимодействия совпадает с имеющей место в обычной теории, отличие же от результатов общепринятой квантовой теории поля проявляется лишь при вычислении средних значений и матричных элементов.

В четвертой главе на основании полученных в предыдущих главах результатов проводится квантование конкретных моделей систем взаимодействующих полей, в частности, взаимодействия безмассового векторного и спинорного полей, электрослабого взаимодействия.

Проведены расчеты амплитуд вероятности и сечений рассеяния некоторых процессов в случае использования предложенных билинейных обобщенных перестановочных соотношений. Показано, что во всех полученных конечных выражениях существует возможность предельного перехода к соответствующим стандартным выражениям.

При рассмотрении модели взаимодействующих безмассового векторного и спинорного массивного полей выявлена возможность путем специального задания параметров билинейных обобщенных перестановочных соотношений обеспечить равенство нулю вероятности перехода из физически реализуемого состояния в нереализуемое (то есть содержащее безмассовые частицы с не-поперечной поляризацией) и обратно.

На примере применения одного из предложенных билинейных обобщений перестановочных соотношений в модели электрослабого взаимодействия показана возможность использования подобного обобщения в широком классе моделей, основанных на неабелевых калибровочных группах. Б рамках модели Вайнберга-Салама получено соотношение для массы промежуточных заряженных бозонов, констант теории электрослабого взаимодействия и параметров обобщенных перестановочных соотношений.

В Заключении резюмируются и обсуждаются основные результаты, полученные в данной диссертации.

Указывается, что применение рассмотренных в работе билинейных обобщенных перестановочных соотношений в квантовой теории поля оказывается возможным при сохранении основных ее постулатов и приводит к физически существенным результатам.

Результаты глав 2-4 носят оригинальный характер и опубликованы в IL работах [102 - 112] . Работы автора [l02 - 105] , связанные с jU. - квантованием [iOl], включены в первую обзорную главу (см. §5).

По материалам диссертации были сделаны доклады: на конференциях молодых ученых УДН им. П.Лумумбы (1980,1981,1982 г.г.), на научных конференциях УДН им. П.Лумумбы (1980, 1981,1982 г.г.) на 1-м (Киев, 1981 г.) и П-м (Киев, 1982 г.) Всесоюзных рабочих совещаниях "Гравитация и объединение фундаментальных полей", на Сессии Отделения ядерной физики АН СССР (Москва, 1982 г.).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Грачев, Дмитрий Дмитриевич

§ 5* Основные выводы.

В данной главе мы рассмотрели методы расчета и провели конкретные вычисления амплптуд вероятности и сечений рассеяния некоторых процессов в случае использования для квантования различных полевых моделей билинейных обобщенных перестановочных соотношений, совместных с постулатами I.1-1,5 квантовой теории взаимодействующих полей.

Анализ отдельных результатов и соответствующие конкрктные выводы содержатся в конце каждого параграфа данной главы. Ниже мы сформулируем лишь наиболее существенные, на наш взгляд, результаты:

1. Использование Ф - и М - перестановочных соотношений нарушает локальную коммутативность функций поля (но не лагранжиана взаимодействия), в силу чего известная теорема Вика для

Т - произведений и стандартная диаграммная техника не могут быть использованы для вычисления матричных элементов. Тем не менее указанные вычисления могут быть доведены до конечных аналитических формул типа (4.5), (4.14), (4.24).

2. Результаты квантовой теории поля, построенной на обобщенных билинейных перестановочных соотношениях, в общем случае зависят от параметров обобщения. Однако во всех конечных выражениях существует возможность предельного перехода по параметрам к соответствующим стандартным выражениям.

3. В случае модели взашодейс твующих безмассового векторного и спинорного массивного полей обобщенные перестановочные соотношения позволяют обеспечить нулевые вероятности перехода из физически реализуемого состояния в физически нереализуемое (то есть содержащее продольные, или временные "фотоны").

-1234. Применение матричного обобщения билинейных перестановочных соотношений в модели электрослабого взаимодействия указывает на принципиальную возможность использования подобных перестановочных соотношений в широком классе моделей, основанных на неабеле-вых калибровочных группах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обзор работ, посвященных обобщенным алгебрам в формализме квантовой теории поля, и исследования, составившие оригинальные главы настоящей диссертации, позволяют сформулировать следующие утверждения:

1. Развитие современной физики приводит к открытию или теоретическому предсказанию существования частиц (кварки, глюоны, промежуточные бозоны, тахионы и т.п.), обладающих, возможно, новыми (экзотическими) свойствами. Статистика таких частиц, по мнению ряда исследователей, может не совпадать с известными статистиками Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, что требует введения новых алгебр и соответствующего видоизменения формализма квантовой теории поля.

2. Все известные к настоящему времени новые алгебры и типы квантования, основанные на новых (обобщенных) перестановочных соотношениях между операторами рождения-уничтожения, могут быть классифицированы на основе понятий билинейности, пропорциональности и бинарности.

3. Работы, посвященные обобщенным перестановочным соотношениям, содержат, в основном, исследования вопросов алгебраической совместности и интерпретационной непротиворечивости. Вопрос о применении обобщенных перестановочных соотношений в формализме квантовой теории поля и в особенности конкретные следствия такого применения практически не изучались. Некоторое исключение составляют лишь паракоммутационные (небилинейные, пропорциональные, небинарные) и f - коммутационные (билинейные, пропорциональные, бинарные) соотношения.

4. На данном этапе наиболее целесообразным представляется изучение билинейных обобщенных перестановочных соотношений, поскольку они обеспечивают возможность прямого предельного (и допредельного) перехода к стандартным случаям, то есть к перестановочным соотношениям Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна. Данное обстоятельство важно как для проверки получающихся результатов путем сравнения их со стандартными, так и с точки зрения общего принципа преемственности физических теорий.

5. Общее определение билинейных обобщенных перестановочных соотношений позволяет провести их классификацию на основе анализа алгебраической структуры, определяемой тремя типами параметров. Соответственно, среди всей совокупности билинейных обобщенных перестановочных соотношений можно выделить три существенно между собой различающихся класса: jU Ф -, М - перестановочные соотношения. Все три указанных класса допускают конкретную математическую реализацию.

6. JU - перестановочные соотношения (билинейные, непропорциональные, бинарные) не могут быть использованы в формализме квантовой теории поля, так как противоречат основным положениям даже квантовой теории свободных полей (нарушается аддитивность энергии-импульса системы невзаимодействующих частиц).

7. ф - перестановочные соотношения (билинейные, пропорциональные, бинарные) в принципе могут быть использованы в формализме квантовой теории поля. Однако, при выполненных требованиях релятивистской инвариантности и микропричинности в их современной формулировке, не вносят принципиальных изменений в конечные результаты теории по сравнению со стандартными перестановочными соотношениями Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.

8. Структура М - перестановочных соотношений (билинейные, пропорциональные, небинарные) позволяет ввести понятие вовлеченности набора операторов одного поля в квантовой теории взаимодействующих полей в М - квантование относительно набора операторов другого поля. При этом: а) Полей, самововлеченных в М - квантование, не существует. б) Если одно поле вовлечено в матричное квантование ( М -квантование) относительно какого-либо другого, то само оно может квантоваться только по Бозе-Эйнштейну, либо Ферми-Дираку.

9. М - перестановочные соотношения могут быть использованы в формализме квантовой теории взаимодействующих полей при сохранении основных общепринятых в настоящее время принципов теории (в частности, принципов соответствия с классической теорией, релятивистской ковариантности, микропричинности). Выполнение этих принципов накладывает определенные ограничения на параметры М - перестановочных соотношений, не сводя их при этом к стандартным перестановочным соотношениям Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.

10. Операторы полей, построенных на операторах рождения-уничтожения, удовлетворяющих М - перестановочным соотношениям, в общем случае локально некоммутативны. Более того, в рассматриваемой схеме квантования коммутаторы (антикоммутаторы) не являются с-числами. Однако при этом: а) Средние значения коммутаторов (антикоммутаторов) полевых функций в состояниях с фиксированным числом частиц совпадают с

- 127соответствующими перестановочными функциями стандартной квантовой теории поля. б) При упомянутых выше в п.9 ограничениях на параметры М -перестановочных соотношений' лагранжианы систем взаимодействующих полей, построенные на локально некоммутативных полевых функциях, локально коммутативны, что обеспечивает микропричинность матрицы рассеяния.

11. 3 силу специфических алгебраических свойств полевых операторов, указанных в п.10, при М - квантовании не выполняется теорема Вика в ее обычной формулировке и, следовательно, стандартная диаграммная техника вычисления матричных элементов матрицы рассеяния оказывается неприменимой. Тем не менее необходимые вычисления могут быть доведены до конечных аналитических формул.

12. Использование М - перестановочных соотношений в конкретных моделях систем взаимодействующих полей приводит к физически существенным вклада:,! в конкретные результаты теории. При этом, в частности: а) В модели взаимодействующих безмассового действительного векторного и спинорного полей обеспечивается равенство нулю вероятности перехода из физически реализуемого состояния (не содержащего безмассовых частиц с не-поперечной поляризацией) в нереализуемое, и обратно. б) В модели электрослабого взаимодействия устанавливается связь массы промежуточных заряженных бозонов с константами теории и параметрами М - перестановочных соотношений. в) Во всех конечных (и промежуточных) результатах конкретных вычислений существует возможность предельного перехода по параметрам М - перестановочных соотношений к соответствующим результатам стандартной квантовой теории поля, что может рас

-128сматриваться, как некоторый критерий достоверности вычислений.

Все вышеизложенное показывает, что билинейные обобщенные перестановочные соотношения, по крайней мере при определенных ограничениях, не сводящих их к стандартным перестановочным соотношениям Бозе-Зйнштешт и Ферми-Дирака, могут быть попользованы в квантовой теории взаимодействующих полей без нарушения ее основных общетеоретических принципов. При этом параметры билинейных обобщенных перестановочных соотношений могут вносить существенный вклад в конкретные результаты теории, что в конечном итоге монет привести к возможности экспериментальной проверки целесообразности испожьзования подобных типов квантования.

Заметим еще, что пршлененпе М - перестановочных соотношений в модели электрослабого взаимодействия указывает на прпн-циппаллную возможность использования подобных обобщений в более широком классе моделей, основанных на неабелевых калибровочных группах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Грачев, Дмитрий Дмитриевич, 1984 год

1.Н.,Логунов А.А.,Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода к квантовой теории поля.М.,Наука,1969,424 с.

2. Стритер Р.,Вайтман A. PGT, спин и статистика и все такое. М.,Наука,1966, 252 с.

3. Боголюбов Н.Н.,Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.,Наука, 1976, 480 с.

4. Боголюбов Н.Н.,Ширков Д.В. Квантовые поля.М.,Наука,1980,320 с.

5. Бъеркен Д.Д.,Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория, т. II. М., Мир, 1978, 407 с.

6. Андраде э Силва Ж., Лошак 32. Поля, частицы, кванты. М.,Наука, 1972, 189 с.

7. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика.М,, Наука, 1969, 623 с.

8. Тейлор Дж. Калибровочные теории слабых взашлодействий. М., Мир, 1978, 206 с.

9. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М., Нарта, 1977, 239 с.

10. Ефимов Г.В. Нелокальные взаимодействия квантовых полей. М., Наука, 1977, 367.

11. Зайцев Г.А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики. М., Наука, 1974, 191 с.

12. Волков Д.В. 0 квантования полей с полу целым спином. ЖЭТФ, 1959, 36, 5, 1560-1566.

13. Волков Д.В. £ -матрииа в обобщенном методе квантования. ЖЭТФ, I960, 38, 2, 518-523.

14. Говорков Л.Б. Замечание о пара- и супер-статистиках.

15. В сб. .-"Физика высоких энергий и элементарных частиц". Киев, Накова дуглка, 1967, 770-777.

16. Говорков Л.Б. Овозможности параполевого представления внутренних степеней свободы типа изоспина и странности. ЖЭТФ, 1968, 54, 6, 1785-1798.

17. Messiah. A. M.L., Gteeftie^j ОМ S^tnmein^zatioyi postulate, and iJtg znJotWtoeibtai foundation. pkys. Rev.} ,1B, 248 -2G?.

18. Gieeniuf O.W. сшсЛ ututang spin- Ьи^фтЖшы \м cl ралариал А пиоЫл! of Joowvtts msoiS. Ptys. Rw. о, MM, J1, ЯО, S9i 602.

19. O- № , fyUssiak A-M.b TCtjk-оъск>I &/+v<'t ofрала-&osE сьпЫ роига ^ktnu fteJlctg. J. Май. P/r^S.,00.SO</.

20. CUaoi бге&г&лч O.W., Си C£. of1. Ueoy. FhyS. ,

21. Говорков А.Б. 0 примере применения парастатистики для пар нуклонов в ядерных оболочках. ТМФ, 1971, 7, 2, 230-240.

22. Лматуни А.Ц. 0 применимости парастатистик к элементарным частицам. ЖЭТФ, 1964, 47, 3, 925-929.

23. Говорков Л.Б. Унитарное квантование. ТМФ, 1979, 41, 3, 318329.- 131 24 gunivig fossii&bj of Jadex.pasit<-<dq. Phgs. tow., 13d 9 153 f 5, ШЗ- 1105.25 \CtO&k°wski W- £<x<xnif>£eg of f'M? ^fW stodisticb. Hitovo Chin., f$72л AW, 3, €<tS-65o.

24. Guvdin R.F. Sose cj,ua*di>zaiion of а тшг spin-if zc^u-cutcon. IvdL. J. ткеог. Phys., f$7St ff , W- v/6.

25. Voudya A-N. Хсьлол, tncuivfo'th'icUten cozffic* -eh.U. X №cdk. Ptys., /976,1?, 6, 885- 887.

26. ScAanfstein H. Crfjetfza of ccutso&fy. P/iy?. Яе</.г /S7S,

27. Нсипщел. С. I. TuJun, R.H. (2 cf fyuasi-tizcdion. -fo-с ъеЛаХс isirtec faMf. X PJj^s. MX, jZ%? 9 132?-/333.

28. Bat/Sia H.L. Uytwi<pu<uiAizfrtion oftkr ryuotti-nass vzdoi -spi not field. Ръодч. Tkw:. Ptys.,ч, Юб-щч.

29. Фис M., Coon 0.0. VtUfox* 9ращ of аиа&Ъс {wviion.*, ouxcipuuAa&xtel cobvuxd: X Mcdb. Php.,35 $>OM&Ain M. OftesicUoz$ of oucdi^-ctKyviL-ia^i&^z и, arvvooUl of si^o+igly понЛйъгал ухаиХим fuld iki&ui. ftuo-vo cAt»r.f 1945, гч , зу ws'-t/zg-132

30. KunyskkAH- V. Dronedеллщ yuouvtcfyue'S eU, ca&oUi'o+v c('ctnn<Ai£&tiC>n'. CLnsi. &onc/. JZo^ug olz9£0}Л, Z, 1H-126.

31. W.G., Kn&h-ocy A-Cf. 0+l -ttu statist i'cg const stent ■ujitly h*w <j,ue,rtLuyv% Quanks? Theoz. phys., 1Ш, iZ , 2, m~fSi.

32. Згеипс/ P.&-0. Quonk pwiasiodfstccs сше! gau^nj.

33. Phys. Reu-., 1976, jib, 8, P322-23Z9.39 $ukui I., friwuta K. Co£o<ud null ftbp сшо/ рала fen»*1.*. 1 Th/Ус. Ptys., №6, JSf /,

34. Pahv T.7). PcuiastcU('?ti'cS omcf tAt aJ^i^wu'ca^ rfidMdS usut ituu*. Int. 3. Thm. PUys. , W4, <0, V, m~ 231.4! О^уххуЫ п?., Окуилк К., KCLM{ucIU $vi>yu-£osesiryu-lcvu ty. ръодг. Ткьоъ. Phys., /W, JT6 , /W- /369.

35. ОАушк к, Ka»ufuck 9A* co^M/t'o^ panafah-u' fiM -Uieo^. £>cst. fietes PhfS. , 19 39 , iD?43 Paiev Т.Ъ. aspects qfstarfistt'c}. P<maf&z,h*t' siarfi'sft'c}. £2-/c?2S<?f1. ЪиЬпа , У976 , JOp.

36. Paiei/.T. Vacuum- -Utzfe o^tA*иф'гЦшЛскАt o^ ~6ht petxet- ^esirru Inst. hi. Рошсагеms, t -f} г/9-бО.

37. P&&M Т.®. A cawra/ /l-rfa&r&cs. 7)о/си. волг. i979, 32,, 2, ?59-f61.

38. Палев Ч.Д. Пример применения парастатистикн ненелого порядка. В сб.:"Высокие энергии и элементарные частиш, Варна, 1974". Дубна, 1974 (1975) , 331-335.50 6tee*t И. Я. GeiezaZ'rtof siahyti'c} сига/ с^иолк ryvocUg. CUt?£ia£. 9. Ptyf., 29% g Ш- т.

39. Ro-i-iCns Pew of о? on usuyt/exess А? мону оСеуиг? о/ J. PAy?., 19??, /ff S, 99?- /oos.52 оP. P/wto*? ag рсиго/еъ/ъо/1. MM,!?, 2, 119-Ш.

40. APariei/ T. / rufiMGt/ft/'Ubec iciestpsbtAoUc'o^L рало Зоуе . 9. tna-Ui. Phys., /9#0,2£, V, 60S- 6/6.54 aia^uso С.ч Ъ+со^'о <ci/,<uw>rUcxJ<-OH. of ршга-во*: о/cc^cUo^. Пи&ио C&<1. A12 •> 3, 499-512.

41. Gan^ctczzwski P. Plon-^iasstrtatz о/ iA* д+tac s-pie^r. Phys. } /iW АЩ , ^59 jm> Gtee* Ofyzftcu'ea/cckktt'teg fob рало siaAtsi-ccg о/gii/en otdeA .

42. Kajw OW, 1W, A3, 3, SM-Ste.60 Рс^Т.Ъ. Я* Mfatejfof W Jooaq- o/usiaJotsr <х*гс/ iAe/txfr&ccdsonz. Con-g. ^ас/гон Pht/Z. P*oc.t Wien- Ke-ur York, J971, t1. StoU

43. WMSntfeAi оif pcvitte . ttco&vo cAtrrrг, fs^-m.1. ЪоркЖлл Kaaj P., Poi^

44. XP. c^oco^ Olfsvz -vafat ancf /ошгЬ-сй statistic^. КПсМ

45. Ptys., Mi, £3,3, i3S -гзо.

46. Pa fey Т. Xie~suj'vuiaJ?cje$rLcucet£ appioacA to tPu Second yuayiti'iation. Gzk&c. X Pku$ fszg91.98.- 135

47. Oyyvott м. , Кй >yufU сАл. сш.Ы ~tA*рала во^е cUgz^ia. . Кил-vo C&<tvi., f9?6,1. Я, 6, Z2<?-гм.

48. Владимирский В.В. Оуперсимметрня и парастатистика. Ядер, шизика, 1975, 22, 4, 870-881.

49. Палев Ч.Д. Калибровочные преобразования для параполей из алгебры токов. Болт. физ. ж., 1976, 3, I, 3-6.

50. Ga^vtko С. А. P., foCte£ fay* С. Classical sufwi-%\jmmtt*uc ралЛъвц. J. ШсМ. Phys. , 1980,21, 18С1-Ш0.

51. Banks Т., Ноги, (д., ftittSvigvi H. 8>osonizaic0n of Ж Щы) Ткгипр rwoUls. Kucf. Pkys.} 19 8108. 119- 129.

52. CC. Яо^оуьсгго/' JebrrUons tbt^g.oil mansions. PUys. fUpis., !97g, M , г, 261-266.

53. G-an-iocczew?ki P> Boson &vfra<risions of^Ms Jetaftzt-WtyM* ыръеушЛсиб^оп. BuCi. M' Sot. SW, Sci". mcvU7., ctstwH. eA 19?? t 9 71. ЧН- 7/3.

54. CUid/tef' X, Kaotemovo. H.V. OtseAvaf&s1 ocst<J itansfox-vnaAi'on picpesiheX of f&itru'onZ оси а/ p cutqfen ryu'en £

55. KaCnay A- J, ^^ Bose, cfoscuptceng of <fw.n<uoni > a t>y>ocleJ!. Xe#r. Пмллго cAt'w., WW,

56. GanSaczewski P. Remazk on Ка'^пау tfaxru/ of je>iryuong con-sltuc-tec/ ^ъот Int. J7. I'AeO'c. Phys., H, 203-£14.

57. Кявпву A Sf. On juantctrrj f'efc/g co^Ht^eiccf ftorn Bose c^u&niuvn ^'e-fo/? ccnd thzit ир/>&'сос>£соп£ Xvd. J. Tfiect. Phyl.^ 49П, /6, W- </J9.

58. Sf>i*. X Pkys., №о, AK, 4S3-W.

59. Ъг- ftlefVt Vctn dut Jtztj/U &. вгпл^а^'гес/ Sogo^-U^o^ 'ti-Cthsf&'z fyzadc'on. coefficients' fot рола- ^ose siatzz. 1 1380, AJS, i , 1£1-т.83 (jvfvt H. S., UakhA F, 9. W. 9</шв /eWons in 4oson e^foCw-sions. Pkp. WO, 890 , •i-Z , <T-<f.

60. Wziedmcm XX., Sot fan R. Ъ. Ъуоп у/х'л сиге/ giziisticg. О/ fc-ie/i -ii^td-Ec tktoby ti*te* acting vna^ndec. and zie&but cAafyfeg. Phys. Re.i/.,1. W99j£2), to, pStY-fttf.84

61. V. J'h? Sose -fotyn of tuft cU*te*tstonQ-£ скгонъос^паиъсЗ. Pkjf?. ZeXt. ) 9oB, ty9

62. Зх-ИЛмап 9.Z., ЯогЬ'кг Й.7). (X spin statistic? ■tfuLotewi -fot convfbos-c'teZ, containing e£e<rft<<i bna^/utcc cJictscyeg, Сотм. YYiatU. Phgff., mo, ,161- /96.

63. Новожилов Ю.В. Элементарные частицы. M., Наука, 1974, 287 с.

64. Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц. М., Наука, 1972, 472 с.

65. Дубков С.Л., Дябис И.А. Об обобщении коммутационных соотношений операторов рождения и уничтожения. В сб. ^'Проблемы квантовой физики". I/I., УДН, 1977 , 63-70.

66. Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М., Наука, 1981,304 с.-13891 Cotu,in L, /^'еад К , ^ivcnivig Giactiot <&г a/^eStag ш mafke. matteg cuict (Sosfe

67. Яелм- symwdszg), f?ey<f, mod. Pky£., 19W, jr?, 3, sn-еоз.

68. Яотли P., ftghassi У. Piepbtvi Soston UnCi/., 611- EP-5- 66 , Boston ,

69. Дубков C.I., Курышкин В.В., Лябис И.А. Об уравнения для оператора квазивероятности на алгебре бозе-операторов. В сб.:"Проблемы статистической и квантовой физики". М., УДН, 1980, II3-II6.

70. Ta/m's' Р. Ъ. (X paAaf&i»uon gemio&za&'on. of! ftoincarte' sup-ел symmetry. Ctusiict^. X Phyg. f 1378,31, 6, </69.

71. Дубков C.I., Курышкин B.B., Лябис И.А. Некоторые решения уравнения для оператора квазивероятности. В сб.:"Проблемы статистической и квантовой физики". М.,УДН, 1979, I28-I3I.

72. Дубков C.I. Нестандартные схемы квантования. В сб. ^'Материалы II конференции молодых ученых Ун-та дружбы народов".ГЛ., депонент ВИНИТИ СССР JS 157-80Деп., 1980, 150-154.

73. Курышкин В.Б. Об одном обобщении операторов рождения и уничтожения в квантовой теории ( (U. квантования). М., депонент ВИНИТИ СССР 15 3936-76, 1976, 8 с.

74. Грачев Д.Д., Лябис И.А. Квантовый статистический ансамбль обобщенных гармонических осцилляторов при -квантовании. Б сб.: "Проблемы квантовой физики". М., УДН, 1977, 78-81.

75. Грачев Д.Д. Об уравнении для оператора квазивероятности в случае алгебры, отличной от алгебры Бозе. В сб.: "Проблемы статистической и квантовой физики". М., УДН, 1980, 40-44.

76. Лябис И.А., Грачев Д.Д. Обобщенные перестановочные соотношения операторов рождения и уничтожения и квантование скалярного поля. В сб.: " Проблемы квантовой физики". М., УДН, 1977, 78-81.

77. Грачев Д.Д. Алгебра операторов рождения и уничтожения и уравнение для оператора квазивероятности. В сб.: "Проблемы квантовой и статистической физики? М., УДН, 1981, 36-39.

78. Грачев Д.Д. Об одном обобщении операторов рождения и уничтожения в квантовой теории поля. М., депонент ВИНИТИ СССР к 4992-80Деп., 1980, 19 с.

79. Г07 Грачев Д.Д. Об о,дном следствии применения обобщенных перестановочных соотношений в квантовой теории взаимодействующих полей. Изв. ВУЗов /Физика/, Л 12, 1981, 56-59.

80. Грачев Д.Д. О применении матричных перестановочных соотношений в модели электрослабого взаимодействия. В сб.:"Материалы У конференции молодых ученых Ун-та дружбы народов". М., депонент ШШТИ СССР Г> 3814-82, 1982, I7I-I74.

81. Gz&choi/, Kundu A. Ge-new^zed com. mutate on, xzlodions! ш spigot efectzodytiamicg. I.X Риъе сиге!

82. Appt. Php.t №2, 20, 393 394.

83. Грачев Д.Д. Билинейные обобщения перестановочных соотношений и правила построения операторов динамических переменных в квантовой теории взаимодействующих поле:!. В сб.: "Проблемы квантовой и статистической физики". М., УДН, 1983, 83-86.