Асимптотическое распределение точек квазирешеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Красильщиков, Василий Вячеславович

• Красильщиков, Василий Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Красильщиков, Василий Вячеславович

Введение

1 Сильное вложение решеток

§1 Основные определения и свойства. Общий случай произвольного Р.

§2 Случай /?= 1 -а.

§3 Случай Р = (2а).

§4 Случай Р = (За).

2 Слабое вложение решеток

§1 Общий случай. Основные определения и свойства.

§2 Частные случаи.

3 Описание и оценки остаточного члена проблемы распределения дробных долей

§1 Основные определения кусочно-линейных функций.

§2 Свойства функции г(а,п, Д)

§3 Поведение г (а, п, Д), как функции от а.

4 Спектр и распределение квазирешеток по произвольному модулю

§1 Основные определения и теоремы равномерного распределения по произвольному модулю.

§2 Некоторые свойства спектра.

§3 Описание функции распределения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое распределение точек квазирешеток»

Диссертация посвящена изучению основных теоретико-числовых характеристик одномерных квазипериодических разбиений и их приложений к теории чисел.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Изучено вложение решеток (арифметических прогрессий) в одномерные квазипериодические разбиения. Получено полное описание сильно и слабо вкладывающихся решеток.

2. Вычислены основные характеристики сильно и слабо вкладывающихся решеток для некоторых иррациональностей.

3. Получены точные значения и алгоритм вычисления максимума и минимума остаточного члена проблемы Гекке-Кестена распределения дробных долей {па}. Оценена сложность этого алгоритма. Остаточный член изучен как функция аргумента а.

4. Изучен теоретико-числовой спектр квазирешеток в случае некоторых иррациональностей.

5. Вычислены значения функции распределения квазирешеток по произвольному модулю.

Существует несколько способов построения квазипериодических разбиений [33], [60], [1], в том числе разработанные Н. де Брейном [38]. Эти подходы основаны на сечении периодических разбиений п - мерного пространства плоскостями меньшей размерности - метод проекции (cut and project method) [48]. Эти разбиения можно также определить с помощью пересечения луча у = ах с иррациональным углом наклона а и целочисленной решетки Z2 [42]. В результате получают бесконечное слово из нулей и единиц — последовательность Штурма — по правилу: 0, если луч у = ах пересекает вертикальную линию целочисленной решетки; 1, если ЛУЧ у — ах пересекает горизонтальную линию целочисленной решетки. Если поставить в соответствие нулю из этого слова интервал длины 1\, а единице — I2, то получим одномерное квазипериодическое разбиение луча на интервалы двух типов. Данная конструкция эквивалентна следующей [42]. Определим последовательность {а;п} по следующему правилу: 1) =0,2) переход от хп-\ к хп осуществляется по формуле: где (•) — дробная доля, а — некоторая иррациональность. Последовательность {хп} порождает на положительном действительном луче одномерное квазипериодическое разбиение. Саму же последовательность {жп} будем называть квазирешеткой.

Таким образом одномерное квазипериодическое разбиение можно определить с помощью кодирующей последовательности. Понятие кодирующей последовательности отображения было введено G.Rauzy в работах [54] —[58]. Обозначим Т — отображение в себя единичного полуинтервала 1° — [0; 1), Р = {/о, • • •, Ik-1} — разбиение полуинтервала 1° на к интервалов, х — точка из 1°. Кодирующая последовательность {sn} отображения Т определяется равенством sn = i, если Тп(х) G Ii. В частности, если отображение Т — поворот окружности: Т : х —» х + a (mod 1), то обычно выбирают /о = [0; 1 — а) и 1г = [1 — а; 1). Представители xn-i + а, если (па) G [0; 1 — а), xn-i + 1 — а, если (па) G [1 — а; 1). французской теоретико-числовой школы Rauzy, Ferenczi, Arnoux, Berthe и др. в работах [54], [34], [35], [36] показали, что многие свойства иррационального поворота окружности можно описать пользуясь терминами его кодирующей последовательности.

Отметим характеристическое свойство кодирующих последовательностей {sn} в случае иррационального поворота окружности [35],[42].

Последовательность {sn} является кодирующей последовательностью некоторого иррационального поворота окружности тогда и только тогда, когда для любого т G N число различных подслое длины т последовательности Ю равно т+1.

Последовательности {sn}, удовлетворяющие этому свойству, называются последовательностями Штурма, введенными G. Hedlund и М. Morse в 1940 году.

В случае, когда а = т-1, где г = 1+2V^ — золотое сечение, кодирующая последовательность является последовательностью Фибоначчи, открытой М.Морсом [49].

Известно несколько способов определения последовательности Фибоначчи [42].

1. Как единственное слово, начинающееся с нуля и являющееся неподвижной точкой подстановки

0->01,1->0. (1)

2. Как слово, начинающееся с символов 01 и удовлетворящее рекуррентному соотношению wn+2 = wn+\Wn, где wn — первые Fn символов последовательности Фибоначчи и Fn — n-ое число Фибоначчи, определяемое рекуррентным соотношением Fn+2 = Fn+1 + Fn и начальными условиями Fq = F\ = 1.

3. n-ый символ последовательности Фибоначчи есть коэффициент при Fo в разложении п в фибоначчиеву систему счисления.

Последовательность Фибоначчи имеет многочисленные приложения к теории чисел, фрактальной геометрии, теории формальных языков, теории сложности вычислений, квазикристаллам [42].

В последние годы были найдены применения общих последовательностей Штурма к анализу сигналов, теории автоматов и диофантовым приближениям [42].

В работах [38],[39] N. de Brujin ввел разбиения Фибоначчи Tilm{r~l), которые являются геометрическим обобщением последовательности Фибоначчи.

В работе [60] В.Г. Журавлев ввел понятие В -оператора и на его основе предложил альтернативный подход к определению разбиений Фибоначчи. В своих работах [3] — [5] на основе этого подхода им были вычислены основные инварианты разбиения Тг/т(т-1) и получены многочисленные приложения к изучению отображения х —» х + г (mod 1).

В.Г. Журавлевым была сформулирована задача получения аналогичных результатов для других иррациональностей. В работах [21] - [24] Н.Н. Мануйлов обобщил результаты В.Г. Журавлева на случай а — тд, где разложение тд в цепную дробь имеет вид тд = [0; (д)] (в круглых скобках записан период разложения в цепную дробь). А.В. Шутов в работах [25] — [30] получил обобщение результатов В.Г. Журавлева в случае произвольного иррационального а.

В диссертации рассмотривается более общий случай таких разбиений. Последовательность {xffl} определяется по правилу: 1) x^fl =0,2) переход от ! к осуществляется по формуле: I 4-1 + если (па) <Е [0;/?), Хп — \ hi если {па) € [/?; 1), где (•) — дробная доля, а — некоторая иррациональность, ~ произвольные действительные числа.

Последовательность {х^} порождает на положительном действительном луче разбиение Til, состоящее из интервалов двух типов. На рисунке 1 изображен пример такого разбиения для случая, когда к>12н—н 0

Рис. 1. Разбиение Til^a, Zi, , h > I2

В главе 1 диссертации изучается вопрос о сильном вложении решеток в разбиения Til^a, U). Пусть решетка — арифметическая прогрессия вида L = {ho+nhb}, где п — 0,1,2,---- Будем говорить, что решетка

L сильно вкладывается в разбиение TilOQ(a, 12), если каждый интервал разбиения содержит единственную точку решетки L.

Параграф §1 посвящен изучению основных свойств и характеристик сильно вкладывающихся в разбиения Til^a^li,^) решеток для случая произвольного /3, определяющего последовательность {ж^} . В теореме 1.1 доказано, что если решетка L = {/г0 + пКь} сильно вкладывается в разбиение Til^a, 12), то hL = h(3 + l2(l-l3). (2)

Из этого следует, что решетка, которая сильно вкладывается в разбиение Тг1оо(а, /1, 12), единственна с точностью до параллельного переноса.

Пусть функция N(a, n, I) определяет количество точек последовательности (га), попадающих в интервал I:

N(a, п, I) = #{г : 0 < г < п, (га) € /}.

Остаток r(a, n, I) определяется по формуле: г(а, п, /) = iV(a, n, I) — п\1\.

Пусть Д = [0;/?) и Д = [/?; 1), тогда г(а,та, Д) = iV(a,n, Д) — та/?, г(а, п, Д) = N(a,n, Д) — п(1 — /?), где /3 — доля интервалов длины Zi, а 1 — /? — доля интервалов длины /2 во всем разбиении TiZ^a, Zi, Д).

В предложении 1.4 получено необходимое условие сильного вложения решеток, в котором описаны допустимые границы нулевого члена прогрессии (решетки) /г0. В теореме 1.4 доказано необходимое и достаточное условие сильного вложения решеток. Пусть rf = supn (na)e/l r(a,n, Ji),rf = inf^^)^ r(a, n, Д), г? = supn;(na)e/2 r(a, та, Д), rj = infnj(„a)6/2 r(a, n, Д).

Определим функции

Zi, если h > h, Z2, если Z2 > Zi и

Im.in

Zi, если Zi < Z2, Z2, если l2 < h

Теорема 1.4. Решетка L сильно вкладывается в разбиение ТИоо(а, Zi, Z2) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия.

1. При Zi > I2:

1) г+ - гГ < j—; х А ■*■ tniax 1тгп

2) r J - r J < -^-; hnax 'mm rf — rvT < т—Ц— , если r7 > Го ;

7 А ^ tmax — lmin 7 1 z rt — г-1 < т—Ц— , ес./ш Го > гЛ . л 1 'max brain л х

2. При h > h -1) г+ - гГ < г

J. л. Ir

Imax lmin

2) г+ - г2- <-ь

Imax — пгп 7

3) rt — гГ < т—Ц— , если rt < rt;

J * 1 Imax — lmm ' 1 z ' rt — r«7 < —— , если rt < rt. х л imaa; *min ^

Данная теорема позволяет получить необходимые и достаточные условия сильной вложимости решетки L в разбиение TU^a^li,^) при любых частных значениях /3 G aL + Z, если известны оценки для г(а, п, 1г).

В теоремах 1.5, 1.10 и 1.11 доказан ряд достаточных условий сильного вложения решеток.

На основе результатов Э. Гекке [45], X. Кестена [46] и А. Островского [51], связанных с оценкой остаточного члена проблемы распределения дробных долей г(а,п, Д), в теореме 1.2 доказано, что если [3 £ olL 4- Z, то при любых Zi и U не существует сильно вкладывающейся решетки.

В главе 2 диссертации изучается вопрос о слабом вложении решеток. Будем говорить, что решетка L слабо вкладывается в разбиение Til0Q(a, li, /2), если 1) каждый длинный интервал разбиения содержит единственную точку решетки L; 2) короткие интервалы разбиения не содержат точек решетки L.

В параграфе §1 получены основные свойства и характеристики слабо вкладывающихся в разбиения Til^a, Zx, h) решеток для случая произвольного (3. В теореме 2.1 доказано, что если решетка L слабо вкладывается в разбиение Тй^а,^,^), то hi представимо в виде hP + h( 1-Р) hL А

1, если х > у, где Д = [h > l2}j3+[l2 > h](l~P), причем [a; > у]

О, если х < у.

В теореме 2.2 описаны допустимые границы нулевого члена прогрессии (решетки) ho . Доказано необходимое и достаточное условие слабого вложения решеток.

Теорема 2.3. Решетка L слабо вкладывается в разбиение Tilooictihih) тогда и только тогда, когда

777 П.СГ. sup r(a, п, Ii) — inf r(a, п, I\) < АЛ, где А =

1г

Данная теорема позволяет получить необходимые и достаточные условия слабой вложимости решетки L в разбиение Til^ia^liJ^) при любых частных значениях (3, если известны оценки для остатка г (а, п, Ii). В теоремах 2.4, 2.5 и 2.6 доказан ряд достаточных условий слабого вложения решеток.

Параграфы §2 — §4 главы 1 и параграф §2 главы 2 диссертации посвящены описанию свойств соответственно сильно и слабо вкладывающихся решеток для частных случаев разбиений ТИоо(а, 1,2): классических разбиений Фибоначчи, разбиений, порождаемых четно-фибоначчевыми числами, случаев, когда (3 = 1 — а, (3 = (2а), (3 = (За).

В главе 3 диссертации получены точные значения и алгоритм вычисления максимума и минимума остаточного члена г(а, п, Д) проблемы Гекке-Кестена распределения дробных долей {па} . Оценена сложность этого алгоритма. Остаточный член изучен как функция аргумента а.

Рассмортим величины

N(a, а, п, I) = : 0 < i < п, (га + а) <Е /}, г (а, о, n, I) = N(a, а, п, /) — п|/|.

Величина r(a,a,n, I) называется остаточным членом в проблеме равномерного распределения дробных долей (па).

Известно, что в общем случае остаточный член улучшить нельзя. В работе [45] Э. Гекке поставил задачу нахождения интервалов I, для которых остаточный член r(a, а, п, I) принимает наименьшее значение. Им было введено понятие интервала ограниченного остатка, то есть интервала I, для которого sup jr(а, а, n, I) | < оо. ne N

Сам Э. Гекке на основе полученной им точной формулы для остаточного члена доказал, что при |/| € aZ + Z справедливо неравенство г(а, а, п, /)| < (3) где h(I) — единственное целое число, которое удовлетворяет условию |/| — h(I)a € Z. Другое доказательство оценки (3) было получено А. Островским [51] на основе введенной им системы счисления. Особенность оценки Э.Гекке (3) состоит в том, что она не учитывает структуру полуинтервала и арифметику иррационального а. Вследствие чего, константа в оценке Гекке стремится к бесконечности |/г(/)| —> оо при бесконечном уменьшении длины полуинтервала |/| —> 0.

В работе [46] H.Kesten доказал, что интервал I является интервалом ограниченного остатка тогда и только тогда, когда |/| £ aZ + Z. Впоследствии в работах [43],[50],[52] были получены и другие доказательства этого результата.

Рассмотрим величину r(a,h)= sup sup |r(a, а,п,/)|.

I:\I\€aZ+Z,\h(I)\=h a,n

Тогда оценка (3) перепишется в следующем виде r(a, К) < h. (4)

Кестен предположил, что данная оценка может быть существенно улучшена. Н.Н. Мануйлов в работе [24] улучшил оценку (4) в случае, когда а = тд — квадратичные числа Пизо, являющиеся корнями уравнений х2 — дх — 1 = 0. Особенность оценок Н.Н. Мануйлова состоит в том, что границы для остатка не стремятся к бесконечности при уменьшении длины интервала. Различные примеры подобных улучшений при некоторых а и h приводятся в работах [5], [26].

А.В. Шутовым в работе [32] получены точные по порядку оценки r(a, h) для всех а и h.

В диссертации в основу исследования функции r(a,n, Ii) были положены понятие и свойства кусочно-линейных на отрезке [0; 1] функций. Определенная на отрезке [0; 1] функция f(x) называется кусочно-линейной, если отрезок [0; 1] разбивается на конечное число интервалов, на каждом из которых функция f(x) линейна. Точка называется точкой нелинейности кусочно-линейной функции f(x), определенной на отрезке [0; 1], если либо функция в точке Xq терпит разрыв 1-го рода, то есть lim f(x) ф lim f(x), либо производная f'(x) в точке xq не является непрерывной.

В параграфе §1 приводятся некоторые свойства функций кусочно-линейных на отрезке [0; 1].

В параграфе §2 кусочно-линейная на отрезке [0; 1] функция r(a, п, Д) рассматривается как функция от (па). В предложениях 3.4 и 3.5 получены явные формулы для вычисления значений функций N(a,n, Д) и г (a, n,Ii) в случае, когда Д — J+ (та)). На их основе получены явные формулы для supn г(а, п, Д) и infn г(а, п, Д).

Введем следующее обозначение:

Функция (х) — непрерывна слева, а функция (х)* — непрерывна справа в точках xq £ Z. Функция Ст(а,х) — непрерывна слева, а функция C^(a, х) — непрерывна справа в точках Xi = ((г — 1)о; + £).

В теореме 3.1 получена точная формула для вычисления наибольшего значения функции г(ск, п, Д).

Теорема 3.1. Имеет место следующее равенство: supr(a, п, Д) = (та) + max С^(а, ((j — 1)а + 6)) — Ст(а, 0). n j=l,.,m

В теореме 3.2 получен аналогичный результат для вычисления наименьшего значения функции г(а, п, Д).

В случае, когда 5 = 0, то есть при Д = [0, (та)), для функций, определенных следующим образом: г= sup r(a, п, Ji), rjf = inf r(o;,n, Д), n,{na)eh n, (па) Eli m

Определим функции: m r2 = sup r(a, n, ii), r2 = inf r(a,n,Ii) n,(na)El-2 " n,(na)<Zl2 получены точные значения.

Предложение 3.12. Имеют место следующие равенства: ri=.n ^ гп , u ст(<*> tia)) ~ 0), j=0,.,m-l:Oa)e[0;(ma)J

Г1 = ■ п W г , х, О'а» - Ст{а, 0), j=0,.,m:Oa)€[0;(ma)J r2 = . п max С^(а, (ja)) - Cm(a, 0), = ■ n Р/Ч г/ ч „ ^(q;, (ja)) - Cm(or, 0).

Точные формулы, полученные в теоремах 3.1, 3.2 и предложении 3.12 позволяют решить вопрос о сильной и слабой вложимости решеток в разбиения ТИоо(а, h, 12) при любых (3 = (та), на основе необходимых и достаточных условий, полученных в теоремах 1.4, 2.3.

В предложениях 3.11 и 3.13 доказано, что существует алгоритм вычисления значений функций sup„ r(a, п, I\), infnr(a,n, Ii), rf , , r2 и r2 за О (га) операций.

В параграфе §3 r(a, n, It) рассматривается как функция от а, получены оценки количества точек нелинейности функций supn r(a, n, It) и infn г (a, п, Ii), как функций от аргумента а, где 1\ — [£; 5 + (та)).

В главе 4 диссертации исследуется теоретико-числовой спектр и распределение последовательности {х^} в случае, когда (3 = 1—а (обозначим эту последовательность как {хп}), по произвольному модулю h такому, что i(l - а) + l2a 2 2 / п h = ^ + к , гдс1,ке%, к +Z ^0.

Пусть задана последовательность действительных чисел {хп} , где п — 0,1, 2,Определим подмножество Е: i? = [a, 6) С / С [0,1). Введем функцию N(E,n, {хп}), определяющую число точек последовательности {(жп)} , попадающих в интервал Е :

N(E,n, {хп}) = }}{0 < г < п : (Xi) £ Е}.

Последовательность {жп} называется равномерно распределенной по модулю 1 (сокращенно p.p. мод 1), если для любой пары а, Ъ действительных чисел, для которых 0 < а < b < 1, имеем п—>оо ТЬ

Исследование последовательностей, равномерно распределенных по модулю 1, начал Г. Вейль в работах [2],[61]. Им было сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие равномерной распределенности числовой последовательности по модулю 1 — критерий Вейля. Н.М. Коробовым [11], А.А. Карацубой, Г.И. Архиповым и В.Н. Чубариковым [7]-[9], а также в книгах [10], [40] были получены многочисленные общие результаты о распределении последовательностей по модулю 1.

В параграфе §1 главы 4 приведены основные понятия и свойства равномерного распределения последовательности по произвольному модулю h, полученные на основе классических результатов Г. Вейля для равномерного распределения по модулю 1. Обозначим через Eh интервал [f, f), если Е = [а, Ъ). Очевидно, что l-E^I = ^. Обозначим целую часть по модулю h, как [x]h = /i[f ] - Определим символ (x)h , как единственное число у, удовлетворяющее двум условиям: 1) 0 < у < h ,2) у = x(mod h). Другими словами (x)h — х — [.x]h . Введем функцию Nh{Eh,n, {жп}):

Nh(Eh,n, {жп}) = #{0 < г < п : (xi)h € Eh}.

Последовательность {жп} равномерно распределена по модулю h, если для любой пары действительных чисел а и Ъ, удовлетворяющих условию 0 < а < b < h, имеем

JVfc([g, Ь),п, fa}) b- а \Е\ lim -= —-— = —. п—>оо п II Г1

В параграфе §3 рассматривается последовательность {жп} по модулю h вида h = 5 гДе Ink — произвольные целые числа, удовлетворяющие условию к2 + I2 ф 0. Для описания неравномерности распределения последовательности по такому модулю вводится функция распределения v{e) при ho > 0: u(e) = + niinje, (/&о}ь})} и при Ло < 0: v{s) = ^(Мле + тах^е- (Л - (|Ло|>Л)}), где h0 = ^gfc -В теоремах 4.7 и 4.8 дается описание распределения последовательности {жп} по модулю h с помощью данной функции.

Теорема 4.7. Пусть hQ > 0. Тогда \ I ho «Лок + 1), если е £ [0; <Ло>Л),

Ь>[£) = < 0 ^(£[ho]h + (hQ>h)> если £ е l(h0)h] К). Теорема 4.8. Пусть ho < 0. Тогда ф = J если (l^o|)Л),

1 щ(£([1/го1к + 1) - Л + (М>Л), если ee[h- (|Ло|)Л; h).

Данные теоремы показывают, что интервал [0; h) разбивается точкой (1/ioD/j на два подинтервала, на каждом из которых рассматриваемое распределение равномерно. В частном случае, когда \ho\ — /г, рассматриваемое распределение равномерно на всем интервале [0; К). В случае, когда ho > 0 и hQ < h точки квазирешетки {хп} распределены равномерно и сосредоточены лишь на интервале [0; h0); когда h0 < 0 и \ho\ < h точки квазирешетки {жп} распределены равномерно и сосредоточены только на интервале [h — \ho\',h).

В предложениях 4.18 и 4.19 дано интегральное представление функции распределения и{е).

В параграфе §2 главы 4 вводится понятие множества Spec — теоретико-числового спектра квазирешетки {а;п}. Получены некоторые свойства множеств Spec и Spec*. Определим последовательность {уп} соотношениями

Отметим, что уп = (xn)h .

Рассмотрим множество Y(h) такое, что Y(h) = {уп} , где черта обозначает замыкание множества. Очевидно, что Y{h) С [0; К). Обозначим множество Ye(h) = [0, е). Будем говорить, что h € Spec, если выполняется условие Y(h) ф [0; h). В предложении 4.8 доказано, что если h € Spec, то и mh £ Spec при любом целом т.

Будем говорить, что h G Spec*, если последовательность {гсп} не является равномерно распределенной по модулю /г. Очевидно, что Spec С Spec* . В следствии 4.2 показано, что почти все действительные h g Spec*.

В.Г. Журавлевым в работе [6] был изучен дифракционный спектр четно-фибопаччевых чисел. В диссертации был рассмотрен дифракционный спектр более широкого класса последовательностей. Дифракционным спектром DiffSpec последовательности будем называть максимальное подмножество X из множества действительных чисел R, для которого выполняется условие для всех Л G X

У-1 = о,

Уп + h)h, если (па) G [0; 1 - а), (Уп + k)h, если (па) G [1 - а; 1).

3=1

Используя методы, примененные В.Г. Журавлевым в работе [6], в теореме 4.6 получено описание всех действительных чисел h из множеств Spec и Spec*.

Теорема 4.6. Если h G Spec*, то h можно представить в виде Zi(l — а)+12а h = т—п--Г~>

I - к)а + к где т,1,к — произвольные целые числа, удовлетворяющие условию к2+ 12^0.

В параграфе §4 на основе свойств функции распределения г/(е) последовательности {хп} по произвольному модулю h, исследованных в параграфе §3, в теоремах 4.9 и 4.10 получены достаточные условия попадания действительного числа h во множества Spec и Spec*. Теорема 4.9. Если выполняется условие

А = \kl - l2k\ < Zi(l - а) + 12а, где 1,к — произвольные целые числа такие, что k2 + I2 ф О, то при любом целом т, отличном от нуля, действительное число h( 1 - а) + 12а h — га—-—-—

I - к)а + к принадлежит множеству Spec.

Теорема 4.10. Если выполняется условие

А = |hi - 12к\ ф h(l ~ а) + 12а, где 1,к — произвольные целые числа такие, что k2 + I2 07 то при любом целом га, отличном от нуля, действительное число Zi (1 — а) 4- 12а h = га—-—--—

I - к)а + к принадлежит множеству Spec*.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12]-[20], в том числе 1 работа — в журнале из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Результаты диссертации докладывались на XVII Международной летней школе-семинаре "Волга -17'05" по современным проблемам теоретической и математической физики (Петровские чтения) (Казань, 2005 г.), XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2006 г.), XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2006 г.), Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию проф. В.Е. Воскресенского (Самара, 2007 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ (2006-2007 гг., секция "Алгебра и теория чисел"), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре по теории чисел ВГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Г.Журавлева.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Журавлеву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и многочисленные ценные советы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Красильщиков, Василий Вячеславович, 2008 год

1. Арнольд В.И. Замечания о квазикристаллической симметрии // Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. - М.: Наука, 1989. - С. 291-300.

2. Вейль Г. О равномерном распределении чисел по модулю 1 // Вейль Г. Избранные труды. М.: Наука, 1984. — С. 58 - 93.

3. Журавлев В.Г. Одномерные квазирешетки Фибоначчи и их приложения к диофантовым уравнениям и алгоритму Евклида // Алгебра и анализ. 2007. — Т. 19. - №3. - С. 154-185.

4. Журавлев В.Г. Одномерные разбиения Фибоначчи // Известия РАН, сер. матем. 2007. - Т. 71. — №2. — С. 287-321.

5. Журавлев В.Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распределение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20. №3. — С. 18-46.

6. Карацуба А.А. Дробные доли специального вида функций // Известия РАН, сер.мат. 1995. - Т. 59. - С. 61-88.

7. Карацуба А.А. О дробных долях быстрорастущих функций // Известия РАН, сер.мат. 2001. — Т. 65. - С. 89-110.

8. Карацуба А.А., Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Распределение дробных долей многочленов от нескольких переменных // Математические заметки. 1979. — Т. 25. — С. 3-14.

9. Кейперс JL, Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.

10. Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989.

11. Красильщиков В.В. Одномерные квазипериодические разбиения: вложение решеток // Сборник трудов молодых ученых ВГПУ. — Владимир: Нерль, 2006. — Вып. 6 — С. 89.

12. Красильщиков В.В., Шутов А.В. О распределении некоторой последовательности по переменному модулю // Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". — Москва: Изд-во МГУ, 2006. — Т. IV. — С. 85-86.

13. Красильщиков В.В. Об одном классе прогрессий, вкладывающихся в одномерные квазипериодические разбиения // Чебышевский сборник.- 2006 — Т. 7. — Вып. 1. С. 239-245.

14. Красильщиков В.В., Шутов А.В. Некоторые вопросы вложения решеток в одномерные квазипериодические разбиения // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия. — 2007. — №7. — С. 84-91.

15. Мануйлов Н.Н. Перенормировки на одномерном торе // Записки научных семинаров ПОМП. — 2004. — Т. 314. — С. 142-154.

16. Мануйлов Н.Н. Рекуррентные самоподобные разбиения // Чебышев-ский сборник. 2001. — Т. 4. — Вып. 2. — С. 87-91.

17. Мануйлов Н.Н. Самоподобие некоторых последовательностей точек на окружности // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2003. — Т. 302. С. 81-95.

18. Мануйлов Н.Н. Число попаданий точек последовательности {птд} в полуинтервал // Чебышевский сборник. — 2004. — Т. 5. Вып. 3. — С. 72-81.

19. Шутов А.В. Обобщенные разбиения Фибоначчи и их приложения к теории чисел // Диссертация па соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Владимир: ВГПУ, 2005.

20. Шутов А.В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. 2004. - Т. 5. — Вып. 3. — С. 112-121.

21. Шутов А.В. Перенормировки вращений окружности // Чебышевский сборник. — 2004. Т. 5. - Вып. 4. - С. 125-143.

22. Шутов А.В. Производные поворотов окружности и подобие орбит // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2004. — Т. 314. — С. 272-284.

23. Шутов А.В. О распределении дробных долей II // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвузовский сборник научных трудов. — Саратов: Из-во Саратовского университета, 2005. — Вып. 3. — С. 146-158.

24. Шутов А.В. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. — 2006. — Т. 7. — Вып. 3. — С. 110-128.

25. Шутов А.В. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей па на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия. — 2007. — №7. — С. 168-175.

26. Агпоих P., Berthe V., Ei Н., Ito S. Tilings, quasicrystals, discrete planes, generalized substitutions and multidiinencional continued fractions // Discrete models: combinatirics, computation and geometry. — Paris, 2001. P. 59-78.

27. Arnoux P., Rauzy G. Representation geometrique de suites de complexite 2n+ 1 // Bull.Soc.Math.France. 1991. — V. 119 — P. 199-215.

28. Berthe V., Ferenczi S., Zamboni L. Interactions between Dynamics, Arithmetics and Combinatorics: the Good, the Bad and the Ugly // Contemporary Math. — 2005. — V. 385. — P. 3-35.

29. Berthe V., Chekova N., Ferenczi S. Covering numbres: arythmetics and dynamics for rotations and interval exchange // J.Anal.Math. — 1989. — V. 79. P. 1-31.

30. Berthe V., Tijeman R. Balance properties of multidimensional words // Theoret.Cornput.Sci. 2002. - V. 273. - P. 197-224.

31. De Brujin N.G. Sequences of zeros and ones generated by special production rules // Kon.Nederl.Acad.Wetensch.Proc. 1982. — Ser.A. — V. 84. - P. 38-52.

32. De Brujin N.G. Updown generation of Beatty sequences // Kon.Nederl.Acad.Wetensch.Proc. — 1989. — Ser.A. V. 92. — P. 385-407.

33. Drmota M., Tichy R.F. Sequences, discrepancies and applications. -Berlin:Springer, 1997.

34. Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arithmetica. — 1992. — V. 61. P. 319-326.

35. Fogg N. Pytheas. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Springer, 2002.

36. Furstenberg H., Keynes M., Shapiro L. Prime flows in topological dynamics // Israel J.Math. 1973. — V. 14. — P. 26-38.

37. Graham R. L., Knuth D. E. and Patashnik O., Concrete Mathematics. Addison-Wesley, Reading, MA, 1990. — P. 307-308 of 2nd edition.

38. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math.Sem.Hamburg Univ. — 1921. — V. 5. — P. 54-76.

39. Kesten H. On a conjecture of Erdos and Sziisz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. 1966. — V. 12. — P. 193-212.

40. Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. — 1987. — V. 61. — P. 267-293.

41. Moody R.V. Model sets: a survey. Quasicrystals to More Complex Systems. Les Houches, 1998. (F. Alex, J.-P. Gazeau, eds.) Centre de Physique des Houches. Springer-Berlin, 2000. — V. 13. — P. 145-166.

42. Morse M., Hedlund C.A. Symbolic Dynamics II: Sturmian trajectories // Amer.J.Math. 1940. - V. 62. — P. 1-42.

43. Oren I. Admissible functions with multiplie discontinioutes // Israel J.Math. 1982. - V. 42. — P. 353-360.

44. Ostrowski A. Math. Miszellen XVI//Notiz zur Theorie der Diophantischen Approximationen und zur Theorie der linearen Diophantischen Approximationen // Jahresber.d.Deutschen Math.Ver. — 1939. V. 39. - P. 34-46.

45. Petersen K. On a series of cosecants related to a problem in ergodic theory // Compositio Math. 1973. - V. 26. — P. 313-317.

46. Pinner C.G. On Sums of Fractional Parts {/га + 7} // J.Number Theory. 1997. - V. 65. - P. 48-73.

47. Rauzy G. Des mots en arithmetique // Avignon Conference on Language Theory and Algorithmic Complexity, Univ. Claude-Bernard, Lyon,1984. — Lyon. 1984. - P. 103-113.

48. Rauzy G. Echenges d'intervales et transformations induites // Acta Arithmetica. 1978. — V. 34. — P. 315-328.

49. Rauzy G. Ensembles a restes bornes // Seminaire de theorie des nombres de Bordeaux 1983/1984. — Bordo, 1984. — Expose 24.

50. Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions // Bull.Soc.Math.France.- 1982. V. 110. - P. 147-148.

51. Rauzy G. Une generalization du developpement en fraction continue // Seminaire Delange-Pisot-Poitou 1976/1977, Theorie des Nombres. — Paris, 1979. Fasc. 1, Exp. no. 15,16.

52. Zeckendorf, E. Representation des nombres naturels par une somme des nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas, Bull. Soc. Roy. Sci. Liege 41. 1972. - P. 179-182

53. Zhuravlev V.G. One-dimensional Fibonacci tilings and derivatives of two-colour rotations of a circle // Max-Plank-Institut fur Mathematik. Preprint Series. 2004. - V. 59. - P. 1-43.

54. Weyl H. Uber die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphanomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo.- 1910. V. 30. - P. 377-407.