Асимптотическое поведение неустойчивых решений стохастических дифференциальных уравнений со случайным коэффициентом сноса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Диало, Мамаду Альфа

• Диало, Мамаду Альфа
• кандидат физико-математических наук
• 0

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Диало, Мамаду Альфа

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДШФЕЕЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОЭФФИЦИЕНТОМ

СНОСА ВИДА (И*) + Ш).

§ I, Асимптотическое поведение % (£) в случае, когда 1У[ 10 является винеровским процессом

§ 2. Поведение решений (А) в случае»когда М является диффузионным процессом

§ 3. Примеры.

Глава 2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 'РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИШФЕ1ЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОЭФФИЦИЕНТОМ

СНОСА ВИДА СЦХ)(^1Ц(Л))

§ I. Асимптотическое поведение (.-Ь) в случае, когда является диффузионным процессом.

§ 2. Асимптотическое поведение

К и) в случае неотрицательного коэффициента сноса

§ 3. Асимптотическое поведение |

§ 4. Асимптотическое поведение в случае эргодичности решения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое поведение неустойчивых решений стохастических дифференциальных уравнений со случайным коэффициентом сноса»

Предельные теоремы дяя случайных функций являются одной из основных частей теории вероятностей и математической статистики. В настоящее время с увеличением интереса к теории случайных процессов важную роль играет решение задачи о поведении процесса при t-^л. Одним из наиболее эффективных приемов исследования в современной теории случайных процессов являются стохастический интегралы и основанные на них стохастические дифференциальные уравнения.

Теория стохастических дифференциальных уравнений была создана в конце 40-х годов Ито К. [бэ], [70][7ll и Гихманом И.И. [8],[э] независимо друг от друга, на основе идей Берштейна [23 и Винера [84], [85].

Основные результаты исследования стохастических дифференциальных уравнений изложены в ряде монографий [l3], [l4], [l7] , [l8], [20], [22], [41], [48], [49] и работ [б], [71, [37], [44~1 , [45]. [50], [51].

Основными элементами теории стохастических дифференциальных уравнений являются вопросы о существовании и единственности слабых и сильных решений в конечномерном эвклидовом пространстве [19], [54],

58], [83], [88], а также в банаховом и гильбертовом пространствах

59], [бб] , [68]; о единственности по траекториям [56], [72], [73] , [?б], [8l]j о продолжении и сравнении решений [72], [78], [87].

Процесс исследования этих вопросов закономерно привел к применению мартингальных подходов, ставших действительным средством изучения стохастических дифференциальных уравнений [б], [зо], [бз], [75] • Не менее важным методом является изучение стохастических дифференциа г льных уравнений с помощью обыкновенных уравнений в частных производных [i], [4] , [ю], [2l], [5l], [60], [во], которые встречаются во многих разделах теоретической физики, задачах автоматического управ

-k ления, радиотехники и механики [46], [55], [57], [61], [62], [74], [79], [89] • Существуют и другие методы исследования, но спектр их применения значительно уже: методы Метивье и Рунге Кутта, используемые только для численного построения решений стохастических дифференциальных уравнений [67], [82] »

Вопросы об асимптотическом поведении решения стохастического дифференциального уравнения, имеющие в настоящее время важное значение, возникли при доказательстве теорем об ограниченности и нео«» граниченности решений уравнений данного вида [12] • В связи с этими предложениями появился интерес к задачам об устойчивости [42], [53], [64], эргодичности [12], [52] и о точном росте решений стохастических дифференциальных уравнений [65] •

Последовательная разработка вопроса об асимптотическом цри 00 поведении неустойчивых решений одномерных стохастических дифференциальных уравнений оусуществлена Кулиничем Г.Л* во второй половине 60-х годов [23], [24], [25], [27] , [28] . В дальнейшем им были разработаны вопросы об асимптотическом поведении распределений функционалов от диффузионного процесса [29], [31], [33] , об асимптотическом поведении модуля решения стохастического дифференциального уравнения в одномерном [Зб] и в многомерном пространствах [32], [35] , [38] , а также для уравнений со случайными коэффициентами [34] • Однако условия в терминах коэффициентов уравнения данного вида предопределяют, в конечном счете, исчезновение случайности в коэффициентах для предельного процесса при соответствующей нормировке.

Целью нашего исследования является изучение асимптотического при öo поведения решения одномерного стохастического дифференциального уравнения со случайным коэффициентом сноса при сохранении в цределе случайности в коэффициентах.

Настоящая диссертационная работа состоит из введения и двух

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Диало, Мамаду Альфа, 0 год

1. Белопольская Я.И., Наголькина З.И. Об одном классе стохастических уравнений с частными производными. - Теория вероятн. и ее прим., 1982, 27, вып.З, с.551-559«

2. БерштейН С.Н. Principes desequations différentielles so-chastiquesr Труды физ.мат. института АН СССР, 5, 1934, с.95-124.

3. Веретенников А.Ю. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и ее прим», 1979, 24, вып.2, с.348-360.

4. Веретенников А.Ю. Параболические уравнения и стохастические уравнения Ито с коэффициентами разрывными по времени. -Мат.заметки., 1982, № 4, с.547-557.

5. Веретенников А.Ю. 0 стохастических уравнениях с вырождающейся по части переменных диффузией. Из-во АН СССР Сер.Мат., 1983, 47, № I, с.189-196.

6. Гальчук Л.И. 0 существовании и единственности решения для стохастических уравнений по полумартингалам. Теория вероят. и ее прим., 1978, 23, вып. 4, с.782-795.

7. Гирсанов И.В. и Фрейдлин М.И. Стохастические уравнения Ито и некоторые их обобщения. Труды У1 Всесоюзн.Совещания по теории вероятн. и мат.статистике, Вильнюс, 1962, с.133-173.

8. Гихман И.И. 0 некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями. Укр.Maт.Журнал, 1950, 2, 3, с.45-69.

9. Гихман И.И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. Укр.Мат.Журнал, 1950, 2, 4, с.37-63.

10. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения с частными производными. Качеств.методы исслед.нелинейн.дифферен. уравн. и нелинейн.колебаний. Киев, 1981, с.25-59.-MO

11. Гихман И.Й., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965, 654 с.

12. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев; Наукова думка, 1968, 354 с.

13. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. -т.Ш, М.¡Наука, 1975, 496 с.

14. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982, 610 с.

15. Диалло М.А. 0 предельном поведении решения стохастического дифференциального уравнения. Теория вероятн.и мат.стат. К., 1985, вып.34.

16. Диалло М.А. 0 предельном поведении решения стохастического дифференциального уравнения со случайным коэффициентом сноса. Киев, 1985 г. (Рукопись деп.в УкрНИИНТИ, 31.07. В5г.,№1бЗа),2>7с,

17. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: Мир, 1956, 605 с.

18. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: физ.мат.гиз., 1963, 859 с.

19. Исакова Т.И. 0 существовании решения стохастического дифференциального уравнения с нерегулярными коэффициентами. -Докл.АН УССР, 1982, № II, с.10-13.

20. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории.-М.: Мир, 1968, 394 с.

21. Клепцина М.Л., Веретенников А.Ю. Об одном классе стохастических уравнений с частными производными. Теория вероятн. и ее прим., 1984, № I, с.154-158.

22. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. -М.: Наука, 1977, 400 с.

23. Кулинич Г.Л. Предельное поведение решения стохастичесА Л 9кого диффузионного уравнения. Укр.Мат.Дурнал, 1967, 19, 2, с.119-125.

24. Кулинич Г.Л. О предельном поведении распределения решения стохастического диффузионного уравнения. Теория вероятн.и ее прим., 1967, 12, вып.З, с.548-551.

25. Кулинич Г.Л. Асимптотическая нормальность распределения решения стохастического диффузионного уравнения. Укр.Мат.Журнал, 1968, 20, 3, с.396-400.

26. Кулинич Г.Л. Предельные распределения решения стохастического диффузионного уравнения. Теория вероятн.и ее прим., 1968, 13, вып.З, с.502-506.

27. Кулинич Г.Л. Об асимптотическом поведении распределения решения стохастического одномерного диффузионного уравнения. -Теория вероятн.и мат.стат., 1971, вып.4, с.95-102.

28. Кулинич Г.Л. Асимптотическое поведение неустойчивого решения стохастического одномерного диффузионного уравнения. -Теория вероятн.и мат.стат., 1971, вып.5, с.81-87.

29. Кулинич Г.Л. Об асимптотическом поведении распределений функционалов типа от диффузионных процессов. Теория вероятн.и мат.стат., 1973, вып.8, с.99-103.

30. Кулинич Г.Л. 0 существовании и единственности решения стохастического дифференциального уравнения с дифференциалом по мартингалу. Теория вероятн.и ее прим., 1974, 19, вып.1, с.169-173.

31. Кулинич Г.Л. Предельные распределения для функционалов интегрального типа от неустойчивых диффузионных процессов. Теория вероятн.и мат.стат., 1974, II, с.81-85.

32. Кулинич Г.Л. Асимптотическое поведение неустойчивых ре-тшений систем стохастических дифференциальных уравнений. Труды школы семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 25-30 ноября 1974 г., о.169-201,

33. Кулинич Г.Л. Предельные теоремы для одномерных стохастических дифференциальных уравнений при нерегулярной зависимости коэффициентов от параметра. Теория вероятн.и мат. стат., 1976, 15, с.99-113.

34. Кулинич Г.Л. 0 предельном поведении решений стохастических дифференциальных уравнений диффузионного типа со случайными коэффициентами. В кн.предельные теоремы для случайных процессов АН УССР, 1977, с.137-151.

35. Кулинич Г.Л. 0 предельном поведении неустойчивых решений стохастических дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Теория вероятн.и ее прим., 1978, 23, вып.1, с.224-226.

36. Кулинич Г.Л. 0 сходимости решения одномерного стохастического дифференциального уравнения к бесселовскому диффузионному процессу. В кн. Аналитические методы в теории вероятн. Сб.научных трудов. Институт математики АН УССР, 1981, с.106-113.

37. Кулинич Г.Л. 0 необходимых и достаточных уравнениях сходимости решений одномерных стохастических диффузионных уравнений при нерегулярной зависимости коэффициентов от параметра. Теория вероятн.и ее прим., 1982, 27, вып.4, с.795-802.

38. Кулинич Г.Л., Петров И.Б. 0 предельном поведении модуля части компонент системы стохастических диффузионных уравнений Ито. Теория вероят.и мат.стат., Киев, 1983, вып.28, с.70-78.

39. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974, 696 с.

40. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Мир, 1962, 685 с.

41. Маккин Г. Стохастические интегралы. М.: Мир, 1972, 181 с.

42. Мацкявичюс В. Устойчивость решений симметрических стохастических дифференциальных уравнений. Лит.мат.сб., 1982, 22, 3, с.128-134.

43. Новиков A.A. Мартингальные неравенства. Труды школы семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 25-30 ноября, 1974 г.) Вильнюс, 1975, с.89-126.

44. Писанец С.И. Предельные теоремы для процессов диффузионного типа в . Теория вероятн.и ее прим., 1981, 26, вып.З, с.597-606.

45. Портенко Н.И. Стохастические дифференциальные уравненияс обобщенным вектором переноса. Теория вероятн.и ее прим., 1979, 24, вып.2, с.332-347.

46. Пугачев B.C. Условно оптимальная фильтрация и экстраполяция непрерывных процессов. Автомат.и телемех., 1984, № 2,с.82-89.

47. Скороход A.B. Исследования по теории случайных процес-сов.-Киев: Из-во Киевского университета, 1961, 215 с.

48. Скороход A.B., Слободенюк Н.П. Предельные теоремы для случайных блужданий. Киев: Наукова думка, 1968, с.

49. Скороход A.B. Стохастические уравнения для сложных систем. М.; Наука, 1983, 190 с.

50. Тараскин А.Ф. Об асимптотической нормальности векторных асимптотических интегралов и оценках параметров переноса многомерного диффузионного процесса. Теория вероятн.и мат.стат. К.: 1970, вып.2, с.205-220.

51. Турчин В.Н. Об асимптотическом распределении систем линейных стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн.и мат.стат. К., 1982, вып.27, с.139-146.

52. Цирельсон Б.С. Один пример стохастического дифференциального уравнения не имеющего сильного решения. Теория вероят. и ее прим., 1975, 20, вып.2, с.427-430.

53. Albevelites S., Blanchard Ph., Moegh Krohn R. A Stochastic model for the orbits о f planets and satellites and interpretation of Titus-Bode law. Expos.math., 1983, 1, N 4,p.365-373.

54. Allinger Deborah. A note on strong non anticipating solutions for stochastic differential equations: When is path-wise uniqueness necessary?. Lect.Wots.math., 1982, 937,p.1-5*

55. Arato M. On parameter estimation in the presense of noise. Теория вер.и ее применен. , 1984, 29, 3,с.99-604.

56. Barao John S., Blankenship Gilmer L., Hoprins William E.Jr. Existence uniqueness and asymptotic behavior of solution to a class ofZakai equuations with unboundrd coefficients. IEEE Trans.Automat.Contr., 1983,28, N 2, p.203-214.

57. Barth Т., Kussmaul A.U. The banach fixed method for Ito stochastic differential equations. Ann.Sci.Univ.ClermontFerrand (ex Ann.Sci.Univ.Clermcnt Maht.), 1981, N 19, p.1-8.

58. Bensoussan A. Systems of partial differential equatios and stochastic control.- Mathematiche. 19B1, 36, N 1, p.13-32.

59. Biler P. Stochastic interpretation of potential scattering in quantum mechanics. Lect.Math.Phys., 1984, 8, N 1,p.1-6.

60. Da Prato G. Stochastic differential equations witn non continuous coefficients in Hilb ert spaces. Rend.Gemin.math. Univ.e polytech.Torino .-j- 1982, 39,fasc.spec.conf.stochasticprobi.mech., Torino May 28-30 1981, p.73-85.

61. Emery M. Equations differentiells stochastiqus: la methode Metivier et Pellaumail. Lect.Nots math., 1980, 784,p.118-124.

62. Gorni Gianluca. Synthiesis of stochastic optimal control for a convex optimization problems in Hilbert spaces. Atti. Accad.naz.lincei Rend.cl.sci.fis.mat e natur, 1983, 74, N 3,p.143-148.

63. Ito K. On stochastic differential equations. Pro Jap.Acad., 1946, 1, 4, p.32-35

64. Ito K. On the stochastic differential equations ina differential! manifold. Nagoya Math.J., 1950, 1, p.35-47.

65. Ito K. On stochastic differential equations. Mem. Am.Math.Soc., 1951, 4, p.1-51.

66. Komatsu Takashi. On the pathwise uniqueness of solution of one dimensional stochastic differential equations of Jump type. Proc.Jap.Acad., 1982 A., 58, N 8, p.353-356.

67. Ze Gall J.P. Applications du temp local aux equations différentielles stochastiqus unidimensionnelles. Lect.Nots., 1983, 986, p.15-31.

68. Nakao S. On the pathwise uniqueness of solutions of one dimensional stochastic differential equations. Osaka J. Math., 1972, 9, p.513-518.

69. Na^ita Kiyomasa. No explosion for stochastic differential equations. J.Math.Soc.Jap., 1982, 34, N 2, p.191-203.

70. Padoux E. Equations aux derivees partielles associees a un problème de filtrage non lineaire. Ann.Sci.Univ.Clermont Ferrand, (ex Ann.Sci.Univ.Clermont Math.), 1981, N 19, p.141-147

71. Perkins Edwin. Local time and pathwise uniqueness for stochastic differential equations. Lect.Nots Math., 1981, 920, p.201-208.

72. Rumelin W. Numeral treatment of stochatic differential equations. SIAM J.Numer.Anal., 1982, 19, N 3, p.604-613-:

73. Watanabe S. a nd Yamada T. On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations. J.Math.Kyoto, 1971, 11, 1, p.155-167.

74. Wiener N. Differential space. JfMath.Phys., 1923, N 2, p.131-174.85« Wiener N. The homogeneous chaos. Amer.J.Math., 1930, 30, p.897-936.

75. Yamada T. and Watanabe S. On the uniqueness of solutions stochastic differential equations. J.Math.Kyoto, 1971, 11, p.155-167.

76. Yamada T., Ogura Y. On the strong comparison theore -mes for solutions of st ochastic differential equation. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw.Geb., 1981, 56, N 1, p.3-39«