Асимптотические свойства систем линейных стохастических дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Рудомино-Дусятская, Ирина Анатольевна

• Рудомино-Дусятская, Ирина Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рудомино-Дусятская, Ирина Анатольевна

ВВЕДЕНИЕ.•.

НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФАКТЫ.II

ГЛАВА I. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ.

§ I, Общие определения, ••-••••••••••••••

§ 2. Частичная устойчивость в среднем квадратическом.

§ 3, Относительная устойчивость в среднем квадрати ческом.

§ 4« Общий анализ поведения в среднем квадратическом решений систем стохастических уравнений.

§ 5, Устойчивость решения стохастического дифференциального уравнения второго порядка.

§ 6. Обобщения. • • • •

ГЛАВА П. УСТОЙЧИВОСТЬ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ I РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 7. Общие вопросы устойчивости с вероятностью I систем линейных стохастических дифференциальных уравнений.

§ 8, Асимптотическое поведение решения уравнения колебаний второго порядка. •••••••••••••

СПИСОК 0СН0Ш0Й ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические свойства систем линейных стохастических дифференциальных уравнений»

Теория стохастических дифференциальных уравнении была основана в работах Гихмана И.И. [4,5,б] и Ито К. [l2,I3,I4] и в дальнейшем развивалась многими авторами (см., например, список литературы в [il] ).

Теория стохастических дифференциальных уравнений содержала в частности и результаты аналогичные тем, которые имеются и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений: условия существования и единственности решения, характер зависимости решения от начальных данных или параметров, входящих в коэффициенты уравнений , исследование асимптотического поведения решения. Сущеетво-вали также задачи, присущие только этой теории: вывод уравнения Колмогорова для вероятности перехода, исследование эргодических свойств, изучение вопросов абсолютной непрерывности мер, соответ-т ствующих решениям уравнений с различными коэффициентами [l5,I7, 18,19,28,32,33] .

Во многих задачах, рассматриваемых в радиотехнике, в теории колебаний, в теории управляемых систем возникает необходимость учитывать случайные возмущения:, воздействующие на систему (например, флуктуационные токи, возникающие в радиотехнических системах в силу дискретности носителей тска и участии их в тепловом броуновском движении). Если невозмущенная система описывается некоторым (многомерным) дифференциальным уравнением, то возмущенные системы естественно описывать с пшощью стохастических дифференциальных уравнений. Одним из вашейших вопросов, который представляет интерес в прикладных исследованиях, является вопрос об устойчивости системы. Большой ряд работ посвящен вопросам устойчивости систем, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Вопросы устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и общих марковских процессов, частными случаями которых являются решения стохастических дифференциальных уравнений, изучались в работах [i,2,7,8,9,22,26,27,32,33] . Особый интерес для практических приложений имеют линейные системы, Устой

33] , Невель-8]. чивость линейных систем изучали Засьминский Р.З. сон М.Б. [24,25] , Турчин В.Н. [29,30] , Беме 0.

Исследованию устойчивости линейных систем стохастических дифференциальных уравнений посвящена настоящая диссертация.

Б работе рассматривается линейная система стохастических дифференциальных уравнений следующего вида dxt = Axtdt + Bxtdw(t) , (o.D где к и В постоянные матрицы размерности П *fl , W(t) - одномерный винеровский процесс. Исследуются условия, пр. которых решение этой системы Xt(x) с начальным условием Х0(Х)-Х (в зависимости от X ) является устойчивым в среднем квадрати-ческом (ср.кв.) и с вероятностью I.

В § I приводится определение устойчивости в ср.кв.системы (0.1) и получен критерий такой устойчивости.

Теорема I.I. Для того, чтобы система (0.1) была устойчивой в ср.кв.необходимо и достаточно, чтобы существовала такая симметричная матрица С>о , что

Q(C)=АС+СА*+ ВСВ*^ о.

В § 2 рассматривается случай, коэда решение системы (0.1) является устойчивым в ср.кв.цри некоторых начальных условиях. Доказывается, что множество таких начальных условий образует инвариантное для системы подпространство. Системы, для которых такое подпространство существует, называются частично устойчивыми в ср.кв.

Лемма 1.1» Для того, чтобы некоторое подпространство было инвариантным для системы (0.1) необходимо и достаточно, чтобы оно было инвариантным для матриц А и В .

Получены два критерия частичной устойчивости в ср.кв.системы (0.1).

Теорема 1.2. Для того, чтобы систеш (0.1) была частично устойчивой в ср.кв.необходимо и достаточно, чтобы существовало подпространство , инвариантное для матриц Л и О и такое, что система (0.1), рассматриваемая на L , устойчива в ср.кв.

Теореш 1.4. Для того, чтобы система (0.1) была частично устойчивой в ср.кв.необходимо и достаточно, чтобы существовала такая симметричная матрица что

0(C) * -оСС для некоторого сС>0 •

Если расстояние решения систеш (0.1) Xt(X) до некоторого подпространства стремится к нулю в ср.кв.при для любого X € R , то систеш называется относительно устойчивой в ср. кв. Подпространство минимальной размерности, относительно которого систеш устойчива в ср.кв.является инвариантным подпространством для нее.

В § 3 получен щжтерий относительной устойчивости в ср.кв. системы.

Теореш 1.6. Для того, чтобы систеш (0.1) была устойчивой в ср.кв.относительно некоторого подпространства необходимо и достаточно, чтобы существовала такая симметричная матрица С^-0 ( С ^ О ), что

8(С)=А*С+СА+В*СВ±-оСС для некоторого оС>0 .

В § 4 вводится понятие неприводимой систеш. Это такая система, для которой не существует нетривиальных инвариантных подпространств. Для неприводимой системы устойчивость в ср.кв.вытекает из того, что есть устойчивость хотя бы при одном начальном условии, отличном от нуля.

Теореш 1.7. Если ) инвариантное подщространство для систеш (0.1) в R максимальной размерности, М -его ортогональное дополнение, Рм - оператор проектирования на Д/ , то система dZt -PMAPJtdt+P„BPJtdw({) (о.2) неприводиш в

М .

Те op em 1.8. Если выполняются условия предыдущей теоремы, то для того, чтобы система (0.1) была устойчивой в ср.кв.необходимо и достаточно, чтобы а) система (0.1) была устойчивой в ср.кв.в L б) система (0.2) была устойчивой в ср.кв.в М .

Данная теорема имеет важным следствием возможность свести изучение устойчивости в ср.кв.системы (0.1) к исследованию ее на некоторых подпространствах, где она неприводима.

Пусть Lf /,2 - • • С~~ Lm-i ^ Lm - цепочка инвариантных подпространств для систеш (0.1) таких, что ,

Lk - инвариантное подпространство максимальной размерности в Lkh {Lk^L кн ) К—1, /77- / ,L л - инвариантное подпространство, в котором система (ОЛ) неприводима. Пусть

Мl ~ Ll &Li-i L = 2,m , a Pi - оператор проектирования на подпространство Mi (1~2упт)л Система dlt = Pi 4 Pi Zt dt +PlBPl Itdw(t) (o.3) неприводима в подпространстве ML (L -2}Гп).

Дяя устойчивости в ср.кв.системы (0.1) в инвариантном подпространстве Lk ( К-1,П7 ) необходимо и достаточно, чтобы система (0.1) была устойчива в ср.кв.в Li и чтобы система (0.3) была устойчива в ср.кв.в Mi для всех 1—2,К.

Для устойчивости в ср.кв.системы (0.1) относительно инвариантного подпространства Lk ( К-1,ГП ) необходимо и достаточно, чтобы система (0.3) была устойчивой в ср.кв.в Mi для всех L— К+1,171.

В § 5 рассмотрено линейное стохастическое дифференциальное уравнение второго порядка (0.4)

Это уравнение будет приводимым, если

A=oCde-fiy6-f=0. (0.5)

Показано, что если выполняется условие (0.5) и д >0 , (о.б) то уравнение (0,4) будет частично устойчивым в ср.кв. Подпространство начальных условий, для которых уравнение (0.4) будет устойчивым в ср.кв., образует прямую L » порожденную вектором Q =(бК) • Если выполняется условие (0.5) и ds[2fi - №)*] < о , (0.7) то уравнение (0.4) будет устойчивым в ср.кв.относительно подпространства l . Если выполняются условия (0.5), (0.6), (0.7), то уравнение (0.4) будет устойчивым в ср.кв.

Если же А , то есть уравнение (0.4) неприводимо, то оно будет устойчивым в ср.кв.тогда и только тогда, когда выполняется неравенство e-2f-g>0 или система неравенств e<f<o fs-ge>o при некотором К>0 , где

Б частности, при фиксированных коэффициентах и ){-0 уравнение (0.4) будет устойчивым в ср.кв.для тех 6 , для которых д'< max l^L [(4оС-/) к - 2{к (оСк-1)р - (оСк+ 1)s];2/sj.

Б § 6 рассматриваемые в предыдущих параграфах методы переносятся на систему стохастических дифференциальных уравнений следующего вида dxi-Axtdt+dYtx1: , (0.8) где А - постоянная матрица, a Vt - матричный однородный цро-цесс с независимыми щмращениями, являющийся квадратически интегрируемым мартингалом. Для системы (0.8) справедливы теоремы I.I-1.8, только

Q(C)=AC+CA*+MKCK*, д(С)=СА*А'С + М№ .

Во второй главе изучаются условия устойчивости с вероятностью I решений системы (0.1) в предположении, что она неприводи-ма. В § 7 устанавливается, что у решения неприводимой системы существует плотность вероятности перехода (относительно меры Лебега). Рассматривается марковский процесс на сфере - Xt//Xj, Он является диффузионным, удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению где а(х) =[А - (Вх,х) В - (Ах, х)-£ (Вх, Bx)+^(Bx,xf]x, 6(х) = Вх~(Вх,х)х.

Процесс ^ тоже имеет плотность вероятности перехода относительно меры Лебега на единичной сфере. Как феллеровский процесс на компакте он имеет стационарные распределения, которые также будут иметь плотность вероятности перехода. Пусть /Ji(dy) - некоторое эргодическое распределение. Для \хь\ справедливо представление

IxJ=lxJexp[jR(b)dt + f(Bft, It) dw(t)}, о о где

R(x)=(Ax, x) +^(Bx, Bx) - (Bx, x)2.

Теорема 2.4» Для того, чтобы систеш (0.1) была устойчива с вероятностью I необходимо и достаточно, чтобы существовало такое эргодическое распределение Ji(dy) процесса , что jR(y)TUdy) < 0 .

В § 8 рассматриваются возмущенные случайным образом колебания второго порядка Xf-fioc't-oCXt~0 следующего вида dx't=(oCxt ^fix't)dt++8x't)cLw(t) и исследуется асимптотическое поведение цроцесса \Pt , для которого

Специально рассмотрен случай Jb~/f 0 ,of=-/ (гармонические колебания в случайной среде).

Теорема 2.5. Пусть Xt решение стохастического уравнения dx't-6 x'td Wi-td^cLt = О

Оно устойчиво с вероятностью I при любых 3Ф0 и любых начальных условиях.

НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФАКШ

1. Вероятностное пространство £ QjtFj РJ - это тройка, состоящая из некоторого множества 9 , называемого пространством элементарных событий, в -алгебры f подмножеств Ф , называемых событиями, и нормированной меры Р на , называемой вероятностью. Обычно вероятностное пространство будем предполагать фиксированным. И все случайные процессы будут заданы на этом пространстве.

2. Совокупность б -алгебр » являющихся частями Т , называется потоком (О -алгебр), если монотонно зависит от i , то есть при -алгебра трактуется как множество событий, которые могут наблюдаться до момента t включительно. Процесс называется согласованным с потоком % » если -измерим. Будем считать, что фиксирован некоторый потек ^ на вероятностном пространствejQt7fPj и рассматривать только согласованные процессы.

3. Согласованный процесс w(t) называется винеровским, если он непрерывен и

М {[w(t) - w(s)]/%}=0; Ml[w(i)-w(sf/?s} =t-s при S<^ . Это однородный процесс с независимыми приращениями, для которого W(t) имеет нормальное распределение со средним О и дисперсией Ь •

Согласованный процесс называется мартингалом, если

Ml§tl<°° и при s<i

Процесс oCt называется характеристикой мартингала , если - oCt мартингал.

Теорема Леви. Непрерывный мартингал с характеристикой t является винеровским процессом.

4. Для всякого измеримого согласованного процесса f(S) , для которого J~2(s) f локально интегрируемо, определен стохастический интеграл Jf(s) d w(s) так, что выполняются следуюо щие свойства; а) интеграл является аддитивной и однородной функцией f ; б) если для всех t>o

J [ Ш-f(s)f ds ~ О О по вероятности, то t

Jf„ (s) dw(s) — f/(s) dw(s) по вероятности; t в) если J Mf (s)Us<oo для всех t , то

Mfffs) cLw(s) = 0, о t 2 * M(fffs)d w(s)) = JMf'fs) ds.

О о t

Интеграл J / (S) dw(s) является непрерывным мартингалом с о t характ ерис тикой J J- к fs) ds ; о t г) Jf(S)ctw(S) непрерывен с вероятностью I; о д) справедлива следующая формула Ито; если Ci(s) и 6(S) такие функции, что определены интегралы t ± f a(s)ds и /-6(s)dw(s) , и о t y(t) = Jafsj ds + J6(s) d w(s) , о ° то душ всякой дважды непрерывно дифференциру емой функции

- Л/Гm)a(s) * jrft(sprs)]ds и

-b t. f/'Ы 6(s) dw(s)

5. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение dxt = a(t, xt)di + 6(t, xt) dw(i), (o.9) где Ct(t,CC.) и 6(t,X) неслучайные измеримые функции. Согласованный процесс Х± называется решением этого уравнения с начальным условием Х0 , если существуют интегралы ь i fa(s,xs)ds и f6(s,xs)dw(s), о о t и xt-x0~Ja(s,xs)cls + ffi(s,xs)dw(s) . о о

Теорема (о существовании и единственности решения). Пусть измеримые коэффициенты Cl(t,x) и 6(t,X) удовлетворяют условиям:

Cl(tf0) и 6 ft, 0) локально ограничены; б) существует локально ограниченная функция к(t) такая, что при

S<t la(s,х)-а($,у)1-*-16($,x)-6(s,K(t)jx-y! для всех X, у • Тогда существует и притом единственное решение уравнения (0.9) при заданном начальном условии.

Обозначим через (t) решение уравнения (0.9) с начальным условием . Тогда в условиях теоремы ^(t) непрерывно по X в среднем квадратическом.

6. Однородный марковский процесс ^(i) в Rп с вероят -ностью перехода P(t, называется феллеровским, если для всякой ограниченной непрерывной функции }(х) ff(y)P(t,X,Cly) является непрерывной функцией X •

Теорема. Пусть d(t,x) = CL(x) и 6(t,Xj = 6fx) , тогда решение уравнения (0.9) является однородным марковским процессом с вероятностью перехода

P(t,x,A) = P{b(t)eA}.

Этот процесс является феллеровским.

7. Пусть однородный марковский процесс, заданный на компактном множестве К^ R , с вероятное тью перехода Р(tfX,A), Мера Ti(dx) называется стационарной для процесса ^ , если fP(t,x,A)Ti(dz) -Jl(A) для всех i и А .

Теорема. Если цроцесс ^t является феллеровским, то у него существует стационарное распределение.

Стационарное распределение fifdoc) называется эргодическим, если для всякой ограниченной измеримой функции f(x) ит {fmds -/mm) для почти всех по мере Jl(dx) начальных условий .

Теорема. Всякое стационарное распределение является смесью эргодических.