Исследование асимптотического поведения многокомпонентных систем с помощью методов спектрального анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, доктор физико-математических наук Жижина, Елена Анатольевна

• Жижина, Елена Анатольевна
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Жижина, Елена Анатольевна

Введение

1. Основные результаты.

2. Решетчатые спиновые модели поля в высокотемпературной области.

2.1. Корпускулярная структура, возникающая в спиновых решетчатых моделях.

2.1.1. Основные конструкции.

2.1.2. Инвариантное подпространство Oii.

2.1.3. Разложение подпространства

2.2. Асимптотика убывания корреляций в решетчатых моделях поля.

2.2.1. Спектральные свойства операторов Т и Ux на подпространстве 'Ki.

2.2.2. Вычисление асимптотики убывания корреляций нечетных мономов.

2.2.3. Спектральные свойства операторов Т и Ux на подпространстве IK2.

2.2.4. Вычисление асимптотики убывания корреляций четных мономов.

3. Спектральный анализ стохастических динамик.

3.1. Спектральный анализ одномерной стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием.

3.1.1. Полное спектральное разложение одномерной стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием.

3.1.2. Асимптотическое поведение автокорреляционной функции. Случай ограниченного взаимодействия, имеющего изолированный максимум.

3.1.3. Общий случай положительного ограниченного взаимодействия.

3.1.4. Асимптотическое поведение автокорреляционной функции. Случай неограниченного взаимодействия.

3.2. Спектральный анализ стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах.

3.2.1. Асимптотика убывания корреляций в случае одновременного сдвига по времени и по пространству.

3.2.2. Конструкция двучастичного инвариантного подпространства.

3.2.3. Спектральный анализ генератора на двучастич-ном инвариантном подпространстве.

3.3. Эволюция квазичастиц различных видов на примере стохастической модели Блуме-Капел (the Blume-Capel model) при высоких температурах.

3.3.1. Основные построения для модели Блуме-Капел.

3.3.2. Построение инвариантного подпространства !Hi С 0iodd.

3.3.3. Инвариантное подпространство Л2 С J{evenQ{ 1}.

3.3.4. Спектральный анализ оператора L на подпространствах и %2.

3.3.5. Генератор L на инвариантных подпространствах ftX с %оМ и с eleven.

4. Применение методов теории гиббсовских случайных полей к задачам обработки изображений.

4.1. Байесовский подход в задачах восстановления изображений.

4.2. Алгоритмы на основе стохастических динамик.

4.3. Сходимость аппроксимационных схем.

4.4. Эргодические свойства аппроксимационных схем.

4.5. Результаты вычислений.

5. Предельные теоремы и предельный диффузионный процесс для неоднородного случайного блуждания на решетке.

5.1. Локальная предельная теорема для неоднородного случайного блуждания на решетке.

5.2. Предельный диффузионный процесс для неоднородного случайного блуждания на одномерной решетке.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование асимптотического поведения многокомпонентных систем с помощью методов спектрального анализа»

Актуальность темы. Системы, состоящие из большого числа взаимодействующих компонент, являются основным классом моделей, с помощью которых удается изучить поведение больших (бесконечных) физических или информационных систем. Такие системы проявляют коллективное поведение, в котором детали изменения каждой компоненты становятся несущественными. Вместо этого основной характеристикой такой системы является вероятностное описание доли компонент, которые обладают некоторым определенным свойством. Общая структура таких многокомпонентных моделей требовала новой концепции, которая была разработана на рубеже 19-20 веков JL Больцманом и затем Дж.У. Гиббсом. Возникла новая наука, которую назвали статистической механикой. Первоначально статистическая механика была предназначена для решения физических проблем, однако разработанные новые методы и подходы оказались настолько универсальными, что стали применяться к различным ситуациям, далеко выходящим за рамки физических задач. Основы математической статистической механики были заложены в 40-50х годах JI. Ван Ховом, JI. Онзагером, Н.Н. Боголюбовым и Б.И. Хаце-том, Т. Ли и К. Янгом, и позднее в 60-70е годы были развиты Р. Л. Добрушиным, О. Лэнфордом, Д. Рюэллем, Г. Галлавотти, Р. Гриф-фитсом, Ж. Жинибром, Д. Робинсоном, Ф. Спитцером, Ж. Лебо-вицем, С. Миракль-Солем, Ф. А. Березиным, Р. А. Минлосом, Я. Г. Синаем, когда на математическом уровне строгости были введены понятия гиббсовского случайного поля (ДЛР-состояния), построены предельные гиббсовские распределения, исследованы корреляционные функции непрерывных и решетчатых систем, построена теория фазовых переходов, введены неравновесные модели и изучена их связь с гиббсовскими состояниями.

Математический аппарат статистической механики включает в себя разнообразные методы из различных областей математики: теории вероятностей и теории случайных процессов, функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. Данная работа посвящена результатам, полученным главным образом при помощи техники функционального анализа, и в частности, операторных методов. Основы такого функционального подхода к анализу многокомпонентных систем были заложены в 70-80х годов в par ботах Р.А. Минлоса, Я.Г. Синая, В.А. Малышева и их учеников [29, 23, 24, 27, 56, 25, 26]. Дело в том, что изучение систем с близкодействующим взаимодействием между ее компонентами можно свести к изучению соответствующих марковских процессов с локальным взаимодействием и их переходных операторов. Все модели, рассмотренные в данной работе, характеризуются локальным взаимодействием, и изучение поведения этих моделей во многом сводится к исследованию спектральных свойств операторов, описывающих их эволюцию: трансфер-матриц гиббсовских случайных полей, генераторов стохастических динамик, стохастических операторов марковских цепей. Эти операторы действуют в специально построенных бесконечномерных пространствах и имеют специфическую, так называемую многочастичную или "корпускулярную"структуру. Это означает, что гильбертово пространство, в котором действуют эти операторы, может быть разложено в прямую ортогональную сумму подпространств, инвариантных относительно соответствующего оператора, и при этом ограничение оператора на каждое из этих подпространств, или по крайней мере, на несколько первых подпространств, будет иметь вид оператора, описывающего систему ровно п взаимодействующих между собой "частиц". Мы будем называть такие операторы n-частичными операторами. "Частицы"этой конструкции можно интерпретировать как квазичастицы, т.е. "коллек-тивные"элементарные возбуждения исходной системы.

Помимо общей структуры спектра, важна также более детальная информация о спектральных характеристиках, таких как величина спектральной щели, интегральная плотность состояний, внутренняя структура спектра, наличие дискретного спектра и т.д. Эта информация позволяет найти оценки, а во многих случаях даже асимптотики, убывания корреляций (для равновесных моделей), или убывания временных корреляционных функций (для стохастических моделей). Свойство быстрого убывания корреляций эквивалентно так называемому свойству перемешивания. Это означает, что поведение системы в объемах, далеких друг от друга, (статистически) почти независимо. Для стохастических динамик асимптотика убывания временных (автокорреляционных) функций определяет скорость сходимости к равновесному состоянию, что особенно важно для приложений. Таким образом, спектральный анализ многочастичных операторов, описывающих поведение многокомпонентных систем, и в особенности, информация о старших ветвях спектра позволяет получить детальное и очень точное описание асимптотических характеристик этих сложных многокомпонентных систем, что и будет продемонстрировано в данной работе.

Отдельная глава работы посвящена приложению методов теории гиббсовских полей и соответствующих решетчатых стохастических моделей к задачам обработки изображений. Идея такого подхода, когда изображение моделируется с помощью некоторого гиббсовского распределения, а решение задачи глобальной оптимизации строится с помощью стохастической динамики, была предложена в 80х годах и восходит к работам С. Гемана, Д. Гемана и К. Хванга [47,48]. При этом подходе изображение рассматривается как конфигурация случайного гиббсовского поля, определенного на двумерной решетке, со значениями спинов ("пикселей") на некотором конечном или компактном подмножестве вещественной прямой. В качестве восстановленного (или результирующего) изображения принимается конфигурация, на которой достигается минимум полной энергии системы. Сложность задачи заключается в том, что энергия является функцией огромного числа переменных и имеет очень много локальных минимумов. Поэтому детерминистские алгоритмы, такие как, например, метод градиентного спуска, в такой ситуации бесполезен, так как приводит систему к ближайшему локальному минимуму. В отличие от детерминистских, стохастические алгоритмы, базирующиеся на эргодических свойствах стохастических динамик, позволяют построить конфигурацию, глобально минимизирующую энергию, но при этом требуют выполнения достаточно большого числа итераций.

Основная идея стохастических алгоритмов заключается в том, чтобы построить некоторую марковскую цепь и соответствующую ей случайную последовательность конфигураций, сходящуюся за большое число шагов к искомой конфигурации, на которой достигается глобальный минимум энергии. Построение этой марковской (нестационарной) цепи происходит в два этапа. Сначала выбирается некоторая равновесная динамика со стационарным температурным гибб-совским распределением, например, глауберова динамика, Метрополис-динамика, или диффузионная динамика. С помощью этой динамики далее строится нестационарный марковский процесс (марковская цепь), соответствующий некоторой процедуре понижения температуры до нуля. Этот алгоритм, который носит название аннилинга, или медленного охлаждения, был введен в работах С. Киркпатри-ка, К. Гелатта, М. Вечи [53] и Б. Хаека [51]. Их эвристические рассуждения были основаны на формальной аналогии с физическими процессами, когда очень медленное охлаждение приводит реальные физические системы в устойчивые низкоэнергетические состояния. В дальнейшем процедура аннилинга была изучена на математическом уровне, см., например, [47, 49, 43, 72]. Основная идея аннилинга заключается в том, что скорость уменьшения температуры должна быть очень медленной, чтобы дать возможность системе выйти из многочисленных локальных минимумов.

В настоящее время эти идеи и конструкции получили широкое применение в задачах обработки изображений благодаря тем блестящим практическим результатам, которые получаются в результате численных вычислений на основе этой методики.

Цель работы. В работе рассматриваются следующие системы:

- гиббсовские поля статистической физики,

- марковские процессы с локальным взаимодействием, в том числе, стохастические динамики,

- спиновые системы в теории обработки изображений,

- неоднородные случайные блуждания.

Основной целью работы является изучение асимптотических характеристик этих систем (асимптотика убывания корреляций локальных функционалов от поля, асимптотика убывания автокорреляционных функций, асимптотика убывания корреляций при одновременном сдвиге по времени и по пространству), и лежащий в основе этого исследования спектральный анализ соответствующих операторов. Для анализа стохастических систем со случайным взаимодействием разработаны новые специальные методы, позволяющие изучить асимптотическое поведение усредненной автокорреляционной функции. Особое место в работе уделяется разработке и обоснованию новых алгоритмов для задач обработки изображений, которые основываются на эргодических свойствах диффузионных динамик и апроксимационной технике.

Методика исследования. В наших исследованиях мы существенно используем методы функционального анализа, и в частности, преобразование Фурье, спектральное разложение для самосопряженного оператора, спектральный анализ стохастических операторов соответствующих марковских процессов и исследование их резольвент в комплексной плоскости, метод перевала для вычисления асимптотики корреляционных функций.

При исследовании поведения классических решетчатых систем в высокотемпературном режиме используется подход, который базируется на так называемом "московском методе "изучения гиббсов-ских полей с локальным взаимодействием. Основная идея этого подхода заключается во введении некоторой марковской цепи со сложным пространством состояний, ассоциированной с гиббсовским полем, и последующим спектральным анализом стохастического оператора этой марковской цепи, который называется трансфер матрицей гиббсовского поля. Если взаимодействие достаточно мало, то удается построить старшие инвариантные подпространства трансфер матрицы, изучить структуру соответствующих ветвей спектра, и далее по этой информации найти асимптотику корреляций значений поля в далеко отстоящих друг от друга точках. При использовании этого метода мы существенно опираемся на технику кластерных разложений и принцип сжимающих отображений.

Главным методом исследования стохастических систем остается детальный спектральный анализ генераторов стохастических динамик, которые имеют многочастичную структуру, аналогичную структуре трансфер матриц гиббсовских полей. Для изучения трансляционно-инвариантных моделей используется некоторая модификация схемы, применяемой при анализе трансфер матриц, которая также основывается на технике кластерных разложений и принципе сжимающих отображений. Для изучения стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием разработаны новые методы, основанные на построении старшего инвариантного подпространства генератора с последующим применением методов спектрального анализа случайных операторов, и в особенности, случайных матриц Якоби с зависимыми элементами. Здесь особое значение имеет техника ос-цилляционной теоремы, применяемая для вычисления интегральной плотности состояний генератора на краю спектра.

Разработка новых алгоритмов для задач обработки изображений основывается на общей теории стохастических динамик (марковских процессов на пространстве состояний системы) и их генераторов. При этом информация о спектральных свойствах генераторов играет решающую роль при изучении эргодических свойств стохастических процессов. Существенно используются также методы аппрок-симационной техники, базирующиеся на формуле Троттера-Куртца.

Содержание работы. В первой главе вводятся модели, которые изучаются в диссертации, и формулируются все основные результаты. Вторая глава посвящена исследованию свойств классических спиновых решетчатых систем. Найдена асимптотика убывания корреляций локальных функционалов от поля для ферромагнитной модели Изинга при высоких температурах в любой размерности. При этом по-отдельности изучается случай четных и нечетных функционалов.

Рассмотрена также более общая модель решетчатого спинового поля с произвольным конечным или компактным спиновым пространством. Показано, что для этих моделей характерна более сложная иерархическая структура спектра трансфер матрицы и соответствующих инвариантных подпространств, что доказывает существование квазичастиц различного вида.

Во третьей главе диссертации рассматривается несколько стохастических моделей:

- стохастическая модель плоских ротаторов при высоких температурах;

- обобщенная стохастическая модель Изинга со спином, принимающим три значения: -1, 0, 1;

- одномерная стохастическая модель Изинга со случайным взаимодействием.

В стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах найдена асимптотическая формула для убывания корреляций в случае одновременного сдвига по времени и по пространству. Для этой модели исследован также спектр генератора на двучастич-ном инвариантном подпространстве.

Для обобщенной стохастической модели Изинга при высоких температурах построены два одночастичных инвариантных подпространства генератора, описывающих состояния квазичастиц различных видов и сравниваются эргодические свойства этих квазичастиц.

В диссертации представлены результаты цикла работ, посвященных изучению одномерной стохастической модели Изинга со случайным взаимодействием. Описано точное местоположение спектра генератора с вероятностью 1. Доказано, что в этой модели существует полное спектральное разложение генератора для любой фиксированной реализации случайного взаимодействия. В результате весь спектр генератора описывается через спектр генератора на одно-частичном инвариантном подпространстве, где генератор унитарно эквивалентен случайной якобиевой матрице. Используя эту связь с теорией случайных операторов, в зависимости от вида распределения случайного взаимодействия удалось либо установить асимптотику, либо получить точные двусторонние оценки на усредненную автокорреляционную функцию. Показано, что усредненная автокорреляционная функция модели со случайным парным взаимодействием убывает быстрее, чем временная корреляционная функция трансляционно-инвариантной модели, за счет дополнительного убывающего субэкспоненциального множителя. Тем самым, на теоретическом уровне строгости доказано, что присутствие случайности может существенно улучшить эргодические свойства стохастических динамик.

Четвертая глава посвящена приложению методов теории гибб-совских случайных полей к задачам обработки изображений. В работе предложен, обоснован и изучен алгоритм для обработки изображений, который основывается на эргодических свойствах диффузионных динамик (соответствующих классическим стохастическим моделям с непрерывным спиновым пространством) с последующим применением аппроксимационной техники. В результате мы получаем некоторые стохастические итерационные алгоритмы, которые представляют собой аппроксимацию (по времени) диффузионной динамики и для которых доказана сходимость к диффузионному процессу. Отметим, что характерной особенностью предложенных алгоритмов является тот факт, что в качестве начального изображения для итерационной схемы можно использовать произвольную конфигурацию.

В работе представлены также результаты численных вычислений, проделанных Кс. Декомбом (ИНРИА) для задач восстановления изображений, в которых были использованы предложенные нами алгоритмы. Эти вычисления показали, что подходы с использованием Метрополис-алгоритма, применяемого ранее, и новых диффузионных алгоритмов дают очень близкие результаты при выполнении большого числа итераций. С другой стороны, схема, использующая диффузионный алгоритм, показывает быструю сходимость уже на первой стадии вычислений (примерно после 300-500 итераций).

В пятой главе изучается асимптотическое поведение неоднородного случайного блуждания частицы по решетке, у которого переходные вероятности отличаются от переходных вероятностей однородного симметричного блуждания лишь в конечной окрестности начала координат. Доказано, что в размерности два и три имеет место локальная предельная теорема, а в одномерном случае найдена поправка к гауссовскому члену, которая имеет тот же порядок, что и главный член. Для одномерного случайного блуждания построен предельный диффузионный процесс на прямой, который оказывается не винеровским процессом, а принадлежит классу обобщенных диффузионных процессов (так называемый процесс с эластичным экраном в нуле, обобщающий понятие процесса с поглощающим или отражающим экраном в нуле).

Теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В диссертации разработаны новые подходы, которые в сочетании с известными методами исследований, позволили получить новые результаты и доказать утверждения, существующие ранее в виде гипотез. Результаты и методы работы могут быть использованы в статистической физике, в теории вероятностей, и кроме того, имеют приложение для практических задач обработки информации.

Практическая ценность. Изучение свойств стохастических динамик легло в основу исследований по разработке алгоритмов для задач восстановления изображений. Сравнение с ранее используемыми алгоритмами и анализ предложенных схем позволяют рассматривать разработанные нами алгоритмы в качестве достойного кандидата для реализации оптимизационной схемы в задачах обработки изображений.

Апробация результатов и публикации. Результаты работы докладывались на научных семинарах в ИППИ РАН под руководством Р.А. Минлоса и М.С. Пинскера (1996-2003), на спецсеминаре по математической физике в МГУ под руководством Р.А. Минлоса (1990-2003), а также обсуждались и докладывались в 1997-2003 годах на многочисленных российских и зарубежных научных семинарах, в том числе на семинарах в ИТЭФ под руководством Ф.С. Джапарова и В.Е. Шестопала, семинарах Технического Университета г. Мюнхена под руководством Г. Шпона, семинарах Университета г. Билифельда под руководством Ю.Г. Кондратьева и М. Рёкнера, семинарах Университета г. Бонна под руководством С. Альбеверио, семинаров Университетов I и III г. Рима (Ла Сапиенца) под руководством Э. Скаччиателли и С. Пелегринноти, семинарах Университета г. Камерино под руководством К. Болдригини, на семинаре Университета г. Цюриха под руководством Э. Больтхаузена, на семинаре Эколь Нормаль, г. Лозанны под руководством Ш. Пфистера, на семинаре Университета г. Ралей (Северная Каролина, США) под руководством Х.Крима. Кроме того, прочитан мини-курс по спектральному анализу решетчатых моделей статистической физике в Университете г. Пекина (2000).

Результаты докладывадись на многочисленных международных конференциях, среди которых отметим конференции в Воронеже

1997), Киеве (1997, 1999), Ереване (1996, 1999, 2001, 2003), Праге

1998), Обервольфахе (2000) и Камерино (2004).

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Жижина, Елена Анатольевна

Заключение

В диссертации проведено детальное исследование операторов, описывающих эволюцию сложных многокомпонентных систем: трансфер-матриц гиббсовских случайных полей, генераторов стохастических динамик, стохастических операторов марковских цепей. Анализ этих операторов позволил получить точное описание асимптотического поведения соответствующих систем. Основными результатами диссертации можно считать следующее:

1) Показано, что для многих как равновесных, так и стохастических моделей классической статистической физики присуща корпускулярная структура, когда можно построить несколько первых инвариантных подпространств трансфер-матрицы или, соответственно, генератора стохастической динамики и детально изучить спектральные свойства этих операторов на инвариантных подпространствах.

2) Разработан метод вычисления асимптотики убывания корреляционных функций, основанный на детальном исследовании соответствующих операторов на старших инвариантных подпространствах, а также на применении волновых операторов. С помощью этого метода найдены асимптотики убывания корреляций для локальных функционалов от поля в равновесных моделях и асимптотика убывания авто-корреляционных функций в стохастических моделях, определяющая скорость сходимости к равновесному состоянию. Выведены аномальные асимптотики в случае малых размерностей решетки d = 2,3) для четных функционалов от поля в модели Изинга, к которым в частности относятся так называемые четырехточечные корреляционные функции.

3) Для анализа стохастических систем со случайным взаимодействием разработаны специальные методы, позволяющие изучить асимптотическое поведение усредненной автокорреляционной функции. Новые подходы основаны на построении старшего инвариантного подпространства генератора стохастической динамики с последующим применением методов спектрального анализа случайных операторов, и в особенности, случайных матриц Якоби. Доказано, что усредненная автокорреляционная функция модели со случайным парным взаимодействием убывает быстрее, чем временная корреляционная функция трансляционно-инвариантной модели, за счет дополнительного убывающего субэкспоненциального множителя. Тем самым, на теоретическом уровне строгости доказано, что присутствие случайности может существенно улучшить эргодические свойства стохастических динамик. Разработанный метод позволяет получить очень тонкие оценки на асимптотическое поведение усредненной автокорреляционной функции также в случае неограниченного взаимодействия, когда отсутствует спектральная щель.

4) Разработан, обоснован и изучен новый алгоритм для задач обработки изображений, который основывается на эргодических свойствах диффузионных динамик с последующим применением аппрок-симационной техники. В результате предложены стохастические итерационные алгоритмы, которые представляют собой аппроксимацию (по времени) диффузионной динамики и для которых доказана эргодичность и сходимость к диффузионному процессу. Характерной особенностью предложенных алгоритмов является тот факт, что в качестве начального изображения для итерационной схемы можно использовать произвольную конфигурацию. С помощью результатов численных вычислений для задач восстановления изображений выполнен анализ и сравнение предложенных алгоритмов с алгоритмами, применяемыми ранее.

5) Получены локальные предельные теоремы, определяющие главный член асимптотики за большое время для неоднородного случайного блуждания частицы по решетке, у которого переходные вероятности отличаются от переходных вероятностей однородного симметричного блуждания лишь в конечной окрестности начала координат. Доказано, что в размерности два и три имеет место локальная предельная теорема, а в одномерном случае найдена поправка к гауссовскому члену, которая имеет тот же порядок, что и главный член. Для одномерного неоднородного случайного блуждания построен предельный диффузионный процесс на прямой, который оказывается не винеровским процессом, а принадлежит классу обобщенных диффузионных процессов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Жижина, Елена Анатольевна, 2005 год

1. П. Биллингслей, Сходимость вероятностных мер, Москва, Наука, 1977.

2. Ватанабэ С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: Наука, 1986.

3. Вентцель А.Д. Об асимптотике наибольшего собственного значения эллиптического дифференциального оператора второго порядка с малым параметром при старших производных // Докл. АН СССР. 1972. V. 202. №1. Р. 19-21.

4. Вентцель А.Д. Формулы для собственных функций и мер, связанных с марковским процессом // Теория вероятностей и ее применения. 1973. V. 18. № 1. Р. 3-29.

5. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

6. Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн, Осцилляционные матрицы и малые осцилляции механических систем, ОГИЗ, Москва-Ленинград, 1941

7. И.И. Гихман, А.В. Скороход, Теория случайных процессов, Москва, Наука, 1971.

8. С. А. Гредескул, JI. А. Пастур, О поведении плотности состояний в одномерных неупорядоченных системах вблизи границ спектра, Теоретич. и математич. физика, 23 (1), 132-139, 1975.

9. Кс. Декомб, Е. А. Жижина, Применение методов теории гибб-совских случайных полей к задачам обработки изображений, Проблемы передачи информации, 40 (3), 2004, стр. 108 125.

10. Добрушин P. JI. Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова. I. // Теория вероятностей и ее применения. 1956. V. 1. № 1. Р. 72-89.

11. Е.А. Жижина, Р.А. Минлос, Асимптотика убывания корреляций для гиббсовских спиновых полей, Теоретич. и математич. физика, том 77(1), 3-12, 1988.

12. Е. А. Жижина, Р.А. Минлос, Локальная предельная теорема для неоднородного случайного блуждания по решетке, Теор. вер. и ее прим. том 39, N 3, 1994, р. 513-529.

13. Е. А. Жижина, Р.А. Минлос, Предельный диффузионный процесс для неодородного случайного блуждания на одномерной решетке, Успехи матем. наук, 52 (2), 314, 1997

14. Е. А. Жижина, Асимптотическая формула для убывания корреляций в стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах, Теоретич. и математич. физика, том 112 (1), стр. 67-80, 1997

15. Жижина, Е. А., Двучастичные подпростраства в стохастической модели плоских ротаторов при высоких температурах, Стохастический и глобальный анализ, Воронеж, 1997, 73-75.

16. Е.А. Жижина, Ю.Г. Кондратьев, Р.А. Минлос, Нижние ветви спектра гамильтонианов бесконечных квантовых систем с компактным пространством "спинов", Труды Московского Математического Общества, 1998, т. 60, стр. 259-302.

17. Е. А. Жижина, Спектральный анализ одномерной стохастической модели Изинга со случайным потенциалом: асимптотика автокорреляционной функции, Труды Московского Мате-матич. Общества, т. 64, стр. 141-158, 2003

18. М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, Москва, Наука, 1985.

19. С.Н. Лакаев, Некоторые спектральные свойства обощенной модели Фридрихса, Труды семинара им. И.Г. Петровского, вып. 2, 210-238, 1981.

20. Лакштанов Е.Л., Минлос Р.А., Спектр двучастичных связанных состояний трансфер-матриц гиббсовских полей. I. Уединенное связанное состояние, Функц. анализ и его приложения, 38(3), 202-214, 2004.

21. Лакштанов Е.Л., Минлос Р.А., Спектр двучастичных связанных состояний трансфер-матриц гиббсовских полей. II. Поля на двумерной решетке, Функц. анализ и его приложения, принято в печать.

22. Т. Лиггетт, Марковские процессы с локальным взаимодействием, Москва, Мир, 1989

23. В.А. Малышев, Кластерные разложения в решетчатых моделях статистической физики и квантовой теории поля, УМН 35 (2), 3-53, 1980.

24. В. А. Малышев, Р. А. Минлос, Кластерные операторы, Труды семинара им. И.Г. Петровского, Вып.9, 63-80, 1983.

25. В. А. Малышев, Р. А. Минлос, Гиббсовские случайные поля, Москва, Наука, 1985

26. В. А. Малышев, Р. А. Минлос, Линейные операторы в беско-нечночастичных системах, Москва, Физматлит, 1994

27. Ш. С. Маматов, Р. А. Минлос, Связанные состояния двухчастичного кластерного оператора, Теоретич. и математич. физика, 79, 163-179, 1989.

28. С.П. Меркурьев, Л.Д. Фаддеев, Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, Москва, Наука, 1985

29. Р.А. Минлос, Я.Г. Синай, Изучение спектра стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа, Теоретич. и математич. физика, 2, 230-243, 1970.

30. Р.А. Минлос, А. Г. Трищ, Полное спектральной разложение генератора глауберовой динамики одномерной модели Изинга, Успехи математ. наук, 49, N 6, 209-210 (1994)

31. Л. А. Пастур, А. Л. Фиготин, Случайные и почти периодические самосопряженные операторы. Общие спектральные свойства и распределение собственных значений, Москва, Наука, 1991

32. A.M. Поляков, Микроскопическое описание критических явлений, ЖЭТФ 55, 1026-1038, 1968.

33. Н. И. Портенко, Обощенные диффузионные процессы, Киев, Наукова думка, 1982.

34. Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь, Лекции по функциональному анализу, Москва, Мир, 1979.

35. М.В. Федорюк, Метод перевала, Москва, Наука, 1977

36. П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах, НФМИ, 2000.

37. J. Abdullaev and R.A. Minlos, An extension of the Ising model, Advances in Soviet Mathematics, Vol. 20: 1-20 (1994)

38. Albeverio S., Kondratiev Yu. G., Roeckner M. Uniqueness of the Stochastic Dynamics for Continuous Spin Systems on a Lattice, J. Funct. Anal. 1995. V. 133. P. 10-20.

39. S. Albeverio, R.A. Minlos, E. Scacciatelli, E. Zhizhina, Spectral analysis of the disordered stochastic 1-D Ising model, Commun. Math. Phys. 204, 651-668 (1999)

40. J.Bricmont, J.Frohlich, Statistical mechanical methods in particle structure analysis of lattice field theories: Preprint CH-8093 (Zurich, ETH-Honggerberg, 1984).

41. W.J.Camp, M.Fischer, Behavior of two-point correlation functions at high temperatures, Phys.Rev.Lett. 26(2): 73-77, 1971.

42. R. Carmona, J. Lacroix, Spectral theory of random Schrodinger operators, Birkhauser, Berlin, 1990.

43. Chiang T.-S., Hwang C.-R., Sheu S.-J. Diffusion for Global Optimization in Rn// SIAM J. Control and Optimization. 1987. V. 25. Jfs 3. P. 737-753.

44. R. Delyon, B. Simon, B. Souillard, Localization for off-diagonal disorder and for continuous Schrodinger operators, Comm. Math. Phys., 109, 157-165, 1987.

45. Ethier S. N., Kurtz T. G. Markov processes. Characterization and convergence. NY: , 1986.

46. D.E. Evans, J.T. Lewis, The spectrum of the transfer matrix in the C-algebra of the Ising model at high temperatures, Commun.Math.Phys. 92: 309-327, 1984.

47. Geman S., Geman D. Stochastic Relaxation, Gibbs Distribution, and the Bayesian Restoration of Images // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intelligence. 1984. V. 6. Л* 6. P. 721-741.

48. Geman S., Hwang C. Diffusions for Global Optimization // SIAM J. Control and Optimization. 1986. V. 24. № 5. P. 1031-1043.

49. Geman S., Reynolds G. Constrained Restoration and Recovery of Discontinuities // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intelligence. 1992. V. 14. № 3. P. 367-383.

50. G. Gielis, C. Maes, The uniqueness regime of Gibbs fields with unbounded disorder, J. Stat. Phys. 81, 829-835 (1995).

51. Hajek B. Cooling schedules for optimal annealing: Preprints Math. Op. Research, 1987.

52. Holley R., Strook D. Diffusions on an Infinite Dimensional Torus, Journal Funct. Anal. 1981. V. 42. P. 29-63.

53. Kirkpatrick S., Gelatt C.D., Vecchi M.P. Optimization by Simulated Annealing, Science. 1983. V. 220. P. 671-680.

54. Kloeden P., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. NY.: Springer-Verlag, 1992

55. Kondratiev Yu., Minlos R., Zhizhina E., One-particle subspace of the Glauber dynamics generator for continuous particle systems, Reviews in Math. Phys. 16 (9), 2004, p. 1-42.

56. V.A. Malyshev, R.A. Minlos, Invariant subspaces of clustering operators. I. Journal of Stat. Phys. 21 (3), 231-242, 1979 // II. Commun. Math. Phys. 82, 211-226, 1981.

57. N. Minami, An extension of Kotani's theorem for random generalized Sturm-Liouville operators, Comm. Math. Phys., 103, 387-402, 1986.

58. R. A. Minlos, Invariant subspaces of Ising stochastic dynamics (for small P), Markov Processes and Related Fields, 2 (2): 263-284,1996).

59. R. A. Minlos and Yu. G. Kondratiev, One-particle subspaces in the stochastic XY model, Journal of Stat. Physics, 87(3/4): 613-6421997).

60. R.A.Minlos, E.A.Zhizhina, Asymptotics of decay of correlations in the ANNNI model at high temperatures, Journal of Stat.Phys. 56(5/6): 957-963, 1989.

61. R.A. Minlos, and E. A. Zhizhina, Asymptotics of decay of correlations for lattice spin fields at high temperatures. I. The Ising model, J. of Stat. Phys., 1996, vol. 84, No 1/2, 85-118.

62. R.A. Minlos, and E. A. Zhizhina, The limiting theorems for a random walk of two particles on the lattice, Potential Analysis, vol. 5, 139-172, 1996, Kluwer Acad. Publ.

63. R.A. Minlos, E. A. Zhizhina, Leading branches of the transfer-matrix spectrum for lattice spin systems (quasi-particles of different species), Journal of Stat. Phys., 108 (5/6), p. 885-904, 2002.

64. L. Onsager, Crystal statistics. I, A two-dimensional model with an order-disorder transition, Phys. Rev. 65: 117-149 (1944).

65. L. A. Pastur, Disordered spherical model, Journal of Stat. Physics, 27 (1): 119-151, (1982).

66. P.J.Paes-Leme, Ornstein-Zernike and analyticity properties for classical lattice spin systems, Annals of Phys. 115: 367-387, 1978.

67. R.S. Schor, M. O'Carroll, Excitations for lattice classical ferromagnetic classical spin systems at high temperature: noneven single-spin distributions, Phys. Rev. E, 61(6): 6156-6164 (2000)

68. R.S. Schor, M. O'Carroll, Transfer matrix spectrum for lattice classical (9(TV) ferromagnetic spin systems at high temperature, Journal of Stat. Phys., 109(1/2): 279-288 (2002)

69. T.D.Schultz, D.Mattis, E.Lieb, Two-dimensional Ising model as a soluble problem of many fermions, Rev. of Mod. Phys. 36, 856-868, 1964.

70. H. Spohn, E. Zhizhina, Long-time behavior for the 1-D stochastic Ising model with unbounded random couplings, Journal of Statistical Physics, Vol. Ill, No 1/2, 419-431, 2003.

71. Winkler G. Image Analysis, Random Fields and Markov Chain Monte Carlo Methods, A Mathematical Introduction. NY.: Springer, 2003.

72. B. Zegarlinski, Strong decay to equilibrium in one-dimensional random spin systems, J. Stat. Phys. 77, 717-732 (1994).

73. E. A. Zhizhina, Two-particle spectrum of the generator for stochastic model of planar rotators at high temperatures, J. of Stat. Physics, 1998, Vol. 91, No 1/2, 343-368.

74. E. Zhizhina, The Lifshitz tail and relaxation to equilibrium in the 1-D disordered Ising model, Journal of Stat. Phys. 98 (3/4) 2000, 701-721.

75. E. Zhizhina, Convergence properties of quasi-particles of various species in the stochastic Blume-Capel model, Markov Processes and Related Fields, Vol. 10 (2), 2004, p. 307-326.