Асимптотическое по времени поведение решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гасников, Александр Владимирович

• Гасников, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гасников, Александр Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Сходимость в норме 1,(КХ) решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью к бегущей волне.

§ 1 Модель Лайтхилла - Уизема.

§ 2 Модель Полтеровича - Хенкина с выбытием мощностей.

§ 3 Свойства решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью.

§ 4 Сходимость в норме Ц (M.J решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью к константе и к бегущей волне.

ГЛАВА 2. Сходимость на фазовой плоскости решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью к системе волн.

§ 1 Обобщение теоремы Mejai - Volpert'a. Экстремальный смысл системы волн.

§ 2 Принцип сравнения на фазовой плоскости.

§ 3 Оценка сверху производной по пространственной переменной решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью.

§ 4 Оценка снизу производной по пространственной переменной решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью.

§ 5 Оценка скорости сходимости на фазовой плоскости решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью к системе волн.25 г

ГЛАВА 3. Сходимость в норме C(Rj решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью к системе волн.

§ 1 Теорема о равномерной сходимости к системе волн.

§ 2 Схема доказательства.

§ 3 Исследование равномерной сходимости к системе волн на участках, соответствующих асимптотическому поведению "бегущая волна".

§ 4 Исследование равномерной сходимости к системе волн на участках, соответствующих асимптотическому поведению "волна разрежения".

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое по времени поведение решения начальной задачи Коши для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью»

Во второй половине 40-ых годов XX века в СССР и США интенсивно занимались исследованием процессов возникающих при взрыве бомбы. В частности, большое внимание было уделено изучению начально-краевых задач для уравнения типа закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью (здесь и везде в дальнейшем х - скалярная переменная, у - скалярная функция) I5/(у) J2y(y) dt дх дх2 где у'(у) >0; f{y), у {у) - достаточно гладкие функции. В последующие полвека было обнаружено, что начальная задача Коши (далее з.К.) для уравнения (1) возникает также в макроскопической теории транспортных потоков [1], при моделировании конвекционного течения жидкости в пористой среде [2], при изучении устойчивых монотонных разностных аппроксимаций квазилинейных уравнений типа закона сохранения [3], в математической экономике при моделировании научно-технического прогресса (модель Полтеровича - Хенкина) [4]-[8].

В конце 50-ых годов И.М. Гельфанд поставил задачу (см. стр. 119 работы [9]): найти асимптотику при t -> да решения y{t, х) уравнения (1) при следующих начальных условиях типа Римана: у, х<х - у0(х), х<х<х+, (2)

Л' где х < х+, у <у+ и у0 (х) - ограниченная измеримая функция при х е [х, х+].

Интерес к этой задачи был вызван, в первую очередь, качественными вопросами газовой динамики. Также решение задачи Гельфанда даёт ответы на следующие вопросы: как распространяется информация о заторе в транспортном потоке, описываемом моделью Лайтхилла - Уизема; как объяснить наличие нескольких укладов в экономике отрасли, описываемой моделью Полтеровича - Хенкина и её обобщениями.

В 1960 году A.M. Ильин и О.А. Олейник [10] исследовали случай сходимости решения з.К. (1), (2) к бегущей волне (решению уравнения (1) вида y{x-ct}) или волне разрежения решению уравнения (1) с вида g(x/t)). Спустя 30 лет H.F. Weinberger [11] изучал асимптотику вида системы бегущих волн и волн разрежения. Ему удалось показать сходимость решения з.К. (1), (2) к этой системе волн на участках, соответствующих асимптотическому поведению "волна разрежения". Спустя ещё почти 10 лет В.М. Полтерович и Г.М. Хенкин [8] выдвинули гипотезу, согласно которой при определённых условиях асимптотика имеет вид чередующейся системы бегущих волн и волн разрежения, при этом следует допускать зависимость сдвигов фаз бегущих волн от времени. В 2004 году Г.М. Хенкин и А.А. Шананин [12] доказали справедливость этой гипотезы в важном частном случае, когда асимптотика имеет вид бегущей волны - волны разрежения - бегущей волны (см. также [13]). В 2007 году Г.М. Хенкин [14] полностью доказал сформулированную ранее гипотезу. Заметим, что в гипотезе рассматривалась конкретная вязкость. При этом на функцию потока / (у) налагались условия, которые исключают возможность наличия в системе волн двух и более бегущих волн, идущих подряд. Также на вторую производную функции потока налагались дополнительные требования в окрестностях точек, соответствующих переходу с бегущей волны на волну разрежения и наоборот.

В последние годы наметилась тенденция другого подхода к решению задачи Гельфан-да. Этот подход восходит к пионерской работе А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского, Н.С. Пискунова 1937 года [15], в которой изучалась сходимость решения начальной з.К. для уравнения теплопроводности с нелинейным источником к одной бегущей волне. Результаты этой работы в 1977 году были распространены Р.С. Fife'oM и J.B. McLeod'oM [16] на систему волн, состоящую для этого уравнения только из бегущих волн (см. также [17]). В 1999 году М. Mejai и Vit. Volpert'oM [18] подход работы [15] был адаптирован к исследованию задачи Гельфанда. В 2006 году S. Engelberg и S. Schochet [19] с помощью "адаптированного" подхода исследовали случай сходимости решения начальной з.К. для уравнения (1) к бегущей волне. Возникла задача, подобная той, которую решили Р.С. Fife и J.B. McLeod [16] для уравнения теплопроводности с нелинейным источником: с помощью "адаптированного" подхода исследовать сходимость решения начальной з.К. для уравнения (1) к системе волн. Актуальность решения этой задачи обусловлена, как минимум, двумя обстоятельствами. Во-первых, новый подход может дать новые результаты в решении задачи Гельфанда. В частности ответить на вопрос, как взаимодействуют две и более бегущие волны, идущие подряд. Во-вторых, появляется возможность единообразно посмотреть на задачи исследования асимптотического поведения решений начальных з.К. для уравнения теплопроводности с нелинейным источником и для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью. Таким образом, появляется гипотеза о достаточной универсальности подхода работы [15].

Основной целью диссертационной работы является распространение результатов Р.С. Fife'a и J.B. McLeod'a [16], касающихся сходимости решения начальной з.К. для уравнения теплопроводности с нелинейным источником к системе волн, на закон сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью.

В диссертации предложен новый подход к исследованию задачи Гельфанда, который не требует тонкого анализа поведения решения на участках, соответствующих переходам с одной волны на другую. Опишем вкратце, в чём состоит этот подход.

Действительная ось, отвечающая пространственной переменной, разбивается (в зависимости от времени) на три типа участков, соответствующих предполагаемому поведению решения на больших временах: 1) бегущая волна; 2) волна разрежения; 3) переход с одной бегущей волны на другую, переход с бегущей волны на волну разрежения, переход с волны разрежения на бегущую волну и окрестности точек х = ±<ю.

При доказательстве равномерной по координате сходимости по времени решения начальной з.К. для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью на участках, соответствующих бегущим волнам, используется конструкция, предложенная S. Engelberg'ом и S. Schochet'oM [19], базирующаяся на результатах М. Mejai и Vit. Volpert'a [18].

Для доказательства равномерной по координате сходимости по времени решения начальной з.К. для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью на участках, соответствующих волнам разрежения, уточняются результаты H.F. Weinberger'а [11].

Сходимость на оставшихся участках выводится из уже установленных сходимостей.

С помощью этого подхода доказана сходимость решения к системе волн в норме C(Mj при более общих условиях на функцию потока и на начальную функцию, чем в работах [12] - [14], правда, с менее точными оценками. В частности в диссертации исследовано взаимодействие двух и более бегущих волн, идущих подряд. Было обнаружено, что, в отличие от закона сохранения (см. С.Н. Кружков, Н.С. Петросян [20]), у закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью расстояние между центрами соседних бегущих волн неограниченно возрастает.

Важным отличием предложенного в диссертации подхода от подхода работ [12] - [14] является способ определения сдвигов фаз бегущих волн. В 2004 году Г.М. Хенкиным и А.А. Шананиным [12] было предложено определять сдвиги фаз из открытых ими "локализованных законов сохранения". В диссертационной работе для случая, когда асимптотика имеет вид системы волн, показано, что сдвиги фаз можно определять аналогично тому, как это было сделано в работе[15].

Опишем структуру диссертационной работы.

В главе 1 рассматривается ряд примеров, в которых возникает начальная з.К. для закона сохранения с нелинейной дивергентной вязкостью. Приводятся необходимые в дальнейшем свойства решения начальной з.К. для уравнения (1). Исследуется сходимость в норме L, (R,) решения начальной з.К. для уравнения (1) к бегущей волне.

В параграфе 1 уравнением (1) описывается макроскопическая модель однополосного транспортного движения, в которой транспортный поток рассматривается как поток одномерной сжимаемой жидкости (модель Лайтхилла - Уизема), а его дифференциально-разностным аналогом описывается микроскопическая модель Ньюэлла. Проводится сопоставление этих моделей, которое позволяет определить в (1) зависимость вязкости от функции потока. 1

В параграфе 2 приводится модель Полтеровича - Хенкина с учётом выбытия мощностей, описывающая эволюцию функции распределения предприятий в отрасли производства по уровням эффективности. Отмечается связь между задачей исследования поведения функ-, ции распределения предприятий на больших временах и задачей Гельфанда.

В параграфе 3 собраны вместе необходимые в дальнейшем свойства решения начальной з.К. для уравнения (1). Приводится теорема о корректной постановке з.К.

В параграфе 4 исследуется сходимость в норме Ц (1^) решения начальной з.К. для уравнения (1) к бегущей волне и к константе.

В главе 2 исследуется поведение на больших временах производной решения начальной з.К. для уравнения (1) по пространственной переменной, как многозначной функции самого решения и времени. Доказывается сходимость на фазовой плоскости решения начальной з.К. для уравнения (1) к системе волн.

В параграфе 1 формулируется теорема о сходимости к системе волн на фазовой плоскости, обсуждается экстремальный смысл системы волн.

В параграфе 2 приводится утверждение о структуре множества нулей линейного параболического уравнения с переменными коэффициентами. На основе этого утверждения выводится принцип сравнения на фазовой плоскости, на котором базируется всё последующее изложение в этой главе.

В параграфе 3 с помощью принципа сравнения на фазовой плоскости оценивается сверху производная решения начальной з.К. для уравнения (1) по пространственной переменной.

В параграфе 4 с помощью принципа сравнения на фазовой плоскости оценивается снизу производная решения начальной з.К. для уравнения (1) по пространственной переменной. Завершается доказательство теоремы, сформулированной в параграфе 1.

В параграфе 5 при дополнительных предположениях относительно начальной функции и функции потока оценивается скорость сходимости в теореме параграфа 1.

В главе 3 доказывается сходимость в норме C(MJt) решения начальной з.К. для уравнения (1) к системе волн. Доказательство базируется на теореме параграфа 1 главы 2 и на принципе сравнения.

В параграфе 1 формулируется теорема о сходимости к системе волн в норме C(RX).

В параграфе 2 приводится схема доказательства теоремы параграфа 1. При предположениях, что уже доказана равномерная сходимость на участках, соответствующих асимптотическому поведению "бегущая волна" и "волна разрежения", устанавливается равномерная сходимость на оставшихся участках.

В параграфе 3 с помощью теоремы параграфа 1 главы 2 устанавливается равномерная сходимость на участках, соответствующих асимптотическому поведению "бегущая волна".

В параграфе 4 с помощью принципа сравнения устанавливается равномерная сходимость решения на участках, соответствующих асимптотическому поведению "волна разрежения".

В приложении 1 оценивается скорость равномерной сходимости решения к системе волн на участках, соответствующих асимптотическому поведению "бегущая волна".

В приложении 2 оценивается скорость равномерной сходимости решения к системе волн на участках, соответствующих асимптотическому поведению " волна разрежения".

В приложении 3 при дополнительных предположениях на начальную функцию и функцию потока оценивается скорость равномерной сходимости решения к системе волн. Уточняются оценки сдвигов фаз бегущих волн.

В приложении 4 изучается поведение на больших временах функции распределения предприятий по уровням эффективности в отрасли, описываемой моделью Полтеровича -Хенкина с учётом выбытия мощностей. Доказывается теорема о сходимости функции распределения к волне разрежения.

Результаты, приведённые в диссертации, были опубликованы в работах [21] - [28].

Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору Александру Алексеевичу Шананину за постановку задач и постоянное внимание к работе. Также хотелось бы поблагодарить Н.С. Петросян, Е.Ю. Панова, О.С. Розанову и D. Serre'a за ряд ценных замечаний, касающихся, соответственно, введения и п.З теоремы 4, теоремы 1, главы 2 и леммы 6, теоремы 1 и § 4 главы 1. Ценным для автора было обсуждение вопросов близких к теме диссертации с В.З. Беленьким, А.Г. Куликовским, В.М. Полтеровичем, В.В. Пухначёвым, И.В. Рублёвым, Р.С. Свирщевским, С.П. Тарасовым, Г.М. Хенкиным. Пользуясь случаем, хочу также поблагодарить А. Жукову, М. Рыкову, Д. Савенкова, Ю. Усанова за предоставление результатов численных экспериментов по модели Полтеровича - Хенкина и её обобщениям, а И. Виноградова за помощь в написании § 1 главы 1.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 05-01-00942а, 06-01-00752а), по программе государственной поддержки ведущих научных школ (код проекта НШ - 5379.2006.1), при поддержке аналитической ведомственной целевой программы РНП.2.2.1.1.2467.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гасников, Александр Владимирович, 2007 год

1. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

2. Peletier L.A. The porous media equation, Proc. Cong. On Bifurcation Theory; Application of Nonlinear Analysis in the Physical Science, 1979.

3. Harten A., Hyman J.M., Lax P.D. On finite-difference approximations and entropy conditions for shocks // Comm. Pure Appl. Math., 1976. V. 29. P. 297-322.

4. Полтерович B.M., Хенкин Г.М. Математический анализ экономических моделей Эволюционная модель взаимодействия процессов создания и заимствования технологий // Экономика и мат. методы, 1988. Т. 24. № 6. С. 1071-1083.

5. Henkin G.M., Polterovich V.M. Shumpetrian dynamics as non-linear wave theory // J. Math. Econom., 1991. V. 20. P. 551-590.

6. Гельман Л.М., Левин М.И., Полтерович B.M., Спивак В.А. Моделирование динамики распределения предприятий отрасли по уровням эффективности (на примере черной металлургии) // Экономика и мат. методы, 1993. Т. 29. № 3. С. 460-469.

7. Henkin G.M., Polterovich V.M. A difference-differential analogue of the Burgers equation: Stability of the two-wave behavior // J. Nonlinear Sci., 1994. V. 4. P. 497 517.

8. Henkin G.M., Polterovich V.M. A difference-differential analogue of the Burgers equation and some models of economic development // Discrete and continuous dynamic systems, 1999. V. 5. №4. P. 697-728.

9. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // УМН, 1959. Т. 14. №2(86). С. 87-158.

10. Ильин A.M., Олеиник О.А. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для некоторых квазилинейных уравнений при больших значениях времени // Матем. сб., 1960. Т. 51(93). №2. С. 191-216.

11. Weinberger H.F. Long-time behavior for regularized scalar conservation law in absence of genuine nonlinearity // Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Non Lineaire, V. 7.1990. P. 407-425.

12. Henkin G.M., Shananin A.A. Asymptotic behavior of solutions of the Cauchy problem for Burgers type equations // J. Math. Pures Appl., 2004. V. 83. P. 1457-1500.

13. Henkin G.M., Shananin A.A., Tumanov A.E. Estimates for solution of Burgers type equations and some applications // J. Math. Pures Appl., 2005. V. 84. P. 717-752.

14. Henkin G.M. Asymptotic structure for solutions of the Cauchy problem for Burgers type equations // J. fixed point theory appl., (in print).

15. Колмогоров A.H., Петровский И.Г., Пискунов H.C. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ. Математика и механика, 1937. № 6. Т. 1. С. 1-26.

16. Fife Р. С., McLeod J.B. The approach of solutions of nonlinear diffusion equations to travelling front solutions // Arch. Rational Mech. Anal., 1977. V. 65. P. 335-361.

17. Volpert A.I., Volpert Vit.A., Volpert Vl.A. Traveling waves solutions of parabolic system // Translations of Mathematical Monographs, 2000. V. 140. P. 1-455.

18. Mejai M., Volpert Vit. Convergence to systems of waves for viscous scalar conservation laws // Asymptotic Analysis, 1999. V. 20. P. 351-366.

19. Engelberg S., Schochet S. Nonintegrable perturbation of scalar viscous shock profiles // Asymptotic Analysis, 2006. V. 48. P. 121-140.

20. Кружков C.H., Петросян H.C. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для нелинейных уравнений первого порядка // УМН, 1987. Т. 42. № 5(257). С. 3-40.

21. Гасников А. В. Асимптотическое по времени стремление решений уравнений типа законов сохранения с искусственной вязкостью к ударной волне или волне разрежения. Труды XLVII конференции МФТИ. Москва Долгопрудный, 2004. Ч. 7. С. 168-170.

22. Гасников А.В. Законы сохранения. Асимптотические свойства решений. Приложение к модели Полтеровича-Хенкина. Труды I международной конференции САИТ-2005. УРСС, 2005. Т. 1.С. 80-86.

23. Гасников А.В. Сравнение определений обобщенного решения квазилинейного уравнения. Труды XLVIII конференции МФТИ. Москва Долгопрудный, 2005. Ч. 7. С. 102104.

24. Гасников А.В. Сравнение определений обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. М.: ВЦ РАН, 2006. С. 1-75.

25. Гасников А.В. Асимптотическое по времени поведение решения квазилинейного уравнения параболического типа//ЖВМ и МФ, 2006. Т.46. № 12. С. 2237-2255.

26. Гасников А.В. О гипотезах Гельфанда и Полтеровича Хенкина. Труды II Всероссийской научной конференции "ЭКОМОД 2007", посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Моисеева. Киров, 9-15 июля 2007. С. 79.

27. Lighthill M.J., Whitham G.B. On kinematic waves: II. Theory of traffic flow on long crowded roads // Proc. Roy. Soc. A., 1955. V. 229. P. 281-345.

28. Richards P.I. Shock waves on the highway // Oper. Res., 1956. V. 4. P. 42-51.

29. ИносэХ, Хамада Т. Управление дорожным движением. М.: Транспорт, 1983.

30. Семенов В.В. Математическое моделирование динамики транспортных потоков // Нелинейный мир, № 5-6, Ч. 1.2005.

31. Newell G.F. Nonlinear effects in the dynamic of car-following // Oper. Res., 1961. V. 9. P. 209-229.

32. Kerner B.S. Three-phase traffic theory and highway capacity: Preprint, November 2002.

33. Олейник O.A., Вентцель Т.Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа// Матем. сб., 1957. Т. 41(83). № 1. С. 105-128.

34. Олейник О.А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // УМН, 1957. Т. 12. №3(75). С. 3-73.

35. Бернштейн С.Н. Ограничение модулей последовательных производных решений уравнений параболического типа // ДАН СССР, 1938. Т. 18. № 7. С. 385-388.

36. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

37. Кружков С.Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Труды Московского математического общества, 1967. Т. 16. С. 329-346.

38. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

39. Hoff D., Smoller J. Solutions in the large for certain nonlinear parapolic systems // Ann. Inst. H. Poincare, Anal. Non Lineaire, 1985. V. 2. P. 213-235.

40. Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Матем. сб., 1970. Т. 81(123). № 2. С. 228-255.

41. Crandall M.G., Tartar L. Some relations between non-expansive and order preserving mappings // Proc. A.M.S., 1980. V. 78. № 3. P. 385-390.

42. Serre D. Ll stability of shock waves in scalar conservation laws, in: Evolutionary Equations // Handbook of Differential Equations, North-Holland, Amsterdam. 2004. V. 1. P. 473-553.

43. Dafermos C.M. Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005.

44. Protter M.H., Weinberger H.F. Maximum principles in differential equations. New-York: Springer, 1986.

45. Freistiihler Н., Serre D. I1 stability of shock waves in scalar viscous conservation laws // Comm. Pure Appl. Math., 1998. V. 51. P. 291-301.

46. Matano H. Nonincrease of the lap-number of a solution for a one-dimensional semilinear parabolic equation // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. Phys., 1982. V. 29. P. 401-441.

47. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

48. Osher S., Ralston J. Ё stability of traveling waves with application to convective porous media flow // Comm. Pure Appl. Math., 1982. V. 35. P. 737-749.

49. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.

50. Abourjaily C., Benilan P. Symmetrization of quasi-linear parabolic problems // Rev. Un. Mat. Argentina, 1998. V. 41. P. 1-13.

51. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров B.M. Выпуклый анализ и его приложения. М.: УРСС, 2003.

52. Габушин В.Н. Неравенства между производными в метриках Lp при 0<р<со // Изв.АН СССР. Сер. матем., 1976. Т. 40. № 40. С. 869-892.

53. Габушин В.Н. Неравенства для производных решений обыкновенных дифференциальных уравнений в метриках Lp (0<р<со) //Дифференц. уравнения, 1988. Т. 24. № 10. С. 1662-1670.

54. Габушин В.Н. Точные константы в неравенствах между нормами производных функций // Матем. заметки, 1968. Т. 4. № 2. С. 221-232.

55. Sz.-Nagy В. Uber integralungleichungen zwischen einer function und ihrer ableitung // Acta Sci. Math., 1941. V. 10. P. 64-74.

56. Арестов B.B. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи матем. наук, 1996. Т. 51. № 6. С. 89-124.

57. Uchiyama К. The behavior of solutions of some nonlinear diffusion equation for large time // J. Math. Kyoto Univ., 1978. V. 18. P. 453-508.

58. Khaikin B.I., Filonenko A.K., Khudyaev S.I. Flame propagation in the presence of two successive gas-phase reactions // Combust., Expl. and Shock Waves, 1968. V. 4. P. 343-349.

59. Мержанов А.Г., Руманов Э.Н., Хайкин Б.И. Мультизонное горение конденсированных систем // Прикл. мех. и техн. физ., 1972. № 6. С. 99-105.

60. Кузнецов Н.Н. Точность некоторых приближенных методов расчета слабых решений квазилинейного уравнения первого порядка // ЖВМ и МФ, 1976. Т. 16. № 6. С. 14891502.

61. Петросян Н.С. Об асимптотике решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с невыпуклой функцией состояния // УМН, 1983. Т. 38. № 2(230). С. 213-214.

62. DiPerna R.J. Decay and asymptotic behavior of solutions to nonlinear hyperbolic system of conservation laws // Ind. Univ. math, journ., 1975. V. 24. № 11. P. 1047-1071.

63. Dafermors C.M. Characteristics in hyperbolic conservation laws. A study of structure and the asymptotic behavior of solutions. Heriot Watt symposium, V. 1 // Research notes in math., London: Pitman, 1977. V. 17. P. 1-58.

64. Liu T.-P. Admissible solutions of hyperbolic conservation laws // Mem. Amer. Math. Soc., 1981. V. 30. №240. P. 1-78.

65. Cheng K.-S. Asymptotic behavior of solution of a conservation law without convexity condition // J. Diff. Equat., 1981. V. 40. № 3. P. 343-376.

66. Петросян Н.С. Об асимптотических свойствах решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Дифференц. уравн., 1984. Т. 20. № 3. С. 502-508.