Методы анализа разностных схем сквозного счёта тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Ковыркина, Оляна Александровна

• Ковыркина, Оляна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ковыркина, Оляна Александровна

Введение

1 Экспериментальное исследование точности разностных схем на нестационарных ударных волнах

1.1 Постановка задачи.

1.2 Методы определения порядком слабой сходимости и относительных погрешностей.

1.3 Задача с одной прерывной волной.

1.4 Задача с двумя прерывными волнами.

2 Методы построения асимтотических разложений на сильном разрыве

2.1 Разностная задача распада разрыва.

2.2 Постановка задачи для линейного уравнения переноса.

2.3 Построение асимптотического разложения разностного решения но методу I.

2.4 Построение асимптотического разложения разностного решения по методу II.

3 Примеры построения асимптотических разложений для конкретных разностных схем

3.1 Разностная схема направленных разностей.

3.2 Схема Лакса.

3.3 Схема с линейной искусственной вязкостью (метод I)

3.4 Схема с линейной искусственной вязкостью (метод II и его сравнение с методом I)

3.5 Построение асимптотического разложения на основе определяющего коэффициента схемной дисперсии.

3.6 Разностная схема с искусственными вязкостью и дисперсией.

3.7 Симметричные компактные разностные схемы с искусственными вязкостями второго и четвёртого порядка дивергентное™.

4 Теоретическое исследование точности разностных схем сквозного счёта

4.1 Основные определения

4.2 ^-условия Гюгонио на фронте нестационарной ударной волны.

4.3 Разностная аппроксимация е-условий Гюгонио

4.4 Достаточное условие аппроксимации ^-условий Гюгонио с повышенным порядком.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы анализа разностных схем сквозного счёта»

Настоящая диссертация посвящена разработке методов анализа разностных схем сквозного счёта: исследованию точности разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных воли п построению асимптотических разложении разностных решений па сильных разрывах па основе пеклассических дифференциальных приближении разностных схем.

Актуальность. В настоящее время для исследования сложных процессов, допускающих математическое описание или математическое моделирование широко используется вычислительный эксперимент |1, 3, 5, 10, 11, 28, 29, 49, 51, 52, 5G, 58]. Одним из главных этапов вычислительного эксперимента является построение приближённого (численного) метода решения задачи, которое в случае использования конечпо-разпостпых методов сводится к выбору разностной схемы, аппроксимирующей соответствующую систему дифференциальных уравнений. Основная трудность этого заключается в том, что для каждой такой системы можно написать бесконечно много различных, аппроксимирующих её разностных схем. Поэтому актуальной является проблема разработки новых методов анализа разностных схем п оценки их реальной точности при расчёте сложных физических задач с ударными волнами.

Для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законов сохранения |13, 28, 49, 74, 76] (в частности законов сохранения газовой динамики |49, 52] и гидравлики [44, 53]) широко применяются явные двухслойные по времени монотонные разностные схемы повышенной точности (типа TVD (TVNI), TVB, ENO, WENO) [26-28, 64, 69-71, 73, 79, 80, 84-86, 92, 95]. Однако в большинстве работ, посвящёп-пых построению таких схем (см., например, |6, 12, 26, 27, 47, 48, 54, 59, 60, 67, 71, 81, 83, 87, 88, 90, 91, 94]), под точностью схемы понимается порядок её тейлоровского разложения па гладких решениях, что, как показано в [31, 37] пс гарантирует аналогичного повышения повышения точности при передачи условий Гюгонио через размазанные фронты ударных волн. Несмотря па это, долгое время было распространено ошибочное мнение о том, что указанные схемы сохраняют повышенный порядок сходимости во всех гладких частях рассчитываемых обобщенных решений. В работах [9, 38, 42, 61, 62, 65] было показано, что в общем случае эти схемы имеют не более чем первый порядок сходимости в областях влияния нестационарных .ударпых волн (т. с. ударных воли, распространяющихся с переменной скоростью) и тем самым по существу схемами повышенной точности не являются.

В [31, 37, 42] введено понятие слабой аппроксимации законов сохранения раз-постными схемами сквозного счёта, которое, в отличие от классического понятия аппроксимации, сохраняет смысл па их разрывных решениях. Получены достаточные условия слабой аппроксимации, в том числе и с повышенным порядком, н показано [42|, что явные двухслойные по времени консервативные разностные схемы имеют не более чем первый порядок такой аппроксимации. В [42] построен пример компактной разностной схемы третьего порядка как классической, так и слабой аппроксимации, которая сохраняет повышенный порядок слабой сходимости в областях влияния нестационарных ударных волн. При этом недостаточно изученным остаётся одни из наиболее важных вопросов о точности, с которой разностные схемы повышенного порядка аппроксимации па гладких решениях передают условия Гюгопно на нестационарных ударных волнах. Численному и теоретическому изучению этой проблемы посвящены две главы диссертации.

При построении разностных схем сквозного счёта, предназначенных для сквозного расчёта разрывных решений гиперболических систем законов сохранения [28, 49, 7G], основной интерес представляет поведение разностного решения па фронте ударной волны. В работах |15, 1G, 18-20] описание поведения разностного решения па фронте изолированной ударной волны было получено при помощи первых дифференциальных приближений соответствующих разностных схем. Основы классического метода дифференциальных приближений изложены в [5G, 58]. В дальнейшем этот метод получил широкое распространение и развитие [4, 14-20, 55, 57, 63, 68, 72, 78, 89, 93, 94].

В работах [15, 16, 18-20] приближение разностного решения па фронтах ударных воли было получено в результате построения точного решения первого дифференциального приближения схемы. Построить же асимптотическое разложение разностного решения па фронте ударной волны па основе классических дифференциальных приближений по шагам схемы невозможно, поскольку в нулевом приближении получается разрывная функция.

В связи с этим в [32] для разностных схем первого порядка с линейной искусственной вязкостью был предложен способ построения асимптотических разложении их разностных решении па фронте бегущей ударной волны, в котором в качестве параметра разложения выбиралась величппа обратная коэффициенту линейной искусственном вязкости. В [35] этот способ был применен для разностной схемы, аппроксимирующей нелинейное уравнение переноса, в [33, 46] — для схем, аппроксимирующих уравнения «мелкой воды», в [32, 34] — для схем, аппроксимирующих уравнения газовой динамики. В [36] этот способ был обобщен па случай разностных схем с квадратичной искусственной вязкостью, в которых в качестве параметра асимптотического разложения в окрестности фронта ударной волны выбиралась величина обратная корню из коэффициента квадратичной вязкости.

В работах [32 36, 46] асимптотическое разложение строилось для автомодельного разностного решения и = Переход к автомодельной переменной применялся также в работах |16-18, 20] при построении -точного решения первого дифференциального приближения разностных схем в окрестности фронта ударной волны. Основное преимущество, связанное с переходом к автомодельной переменной при получении асимптотического разложения, заключается в том [32, 33, 35|, что в этом случае построение разложения сводится к интегрированию последовательности обыкновенных дифференциальных уравнении первого порядка. В то же время основной недостаток такого подхода заключается в том, что автомодельное разностное решение и его асимптотические разложения определяются граничными условиями с точностью до параллельного переноса по оси и поэтому для их сравнения с разностным решением приходилось делать эвристическое предположение о совпадении центров размазанных фронтов [16, 18-20, 32-36, 46]. В данном случае такое предположение неизбежно, поскольку автомодельное решение пе описывает начальный этап формирования разностного фронта ударной волны из разрывных начальных данных. Для описания этого этапа необходимо построить асимптотическое разложение самого решения, что удобно сделать па примере линейного уравнения переноса для которого, из-за отсутствия сходящегося поля характеристик, не происходи т выход разностного решения па автомодельный режим, в силу чего этап формирования схемного фронта ударной волны «продолжается неограниченно долго». Поэтому две главы диссертации посвящены разработке методов пеклассических дифферепциальпых приближений, позволяющих строить асимптотические разложения разностных решений задачи Копш с разрывными начальными данными, существенно зависящие от двух независимых переменных t и х.

Целью диссертационной работы является теоретическое и экспериментальное исследование точпостп разностных схем при сквозном расчёте нестационарных ударных волн п разработка методов построения асимптотических разложений разностных решений на сильных разрывах на основе пеклассических дифференциальных приближений разностных схем.

Научная новизна:

1. Путём численного эксперимента показано, что разностные схемы повышенной точности, имеющие достаточно гладкие функции численных потоков (и отличие от своих TVD модификаций) сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных волн.

2. Разработан метод, позволяющий па основе предложенных в работе пеклассических дифференциальных приближений разностных схем строить асимптотические разложения пх решений в окрестностях сильных разрывов. На основе этого метода получены обоснование и границы применимости классического первого дифференциального приближения при описании поведения разностных решений па ударных волнах.

3. Получены достаточные условия, при которых явные двухслойные но времени разностные схемы сквозного счёта сохраняют повышенную точность при аппроксимации е-условий Гюгонио па нестационарных ударных волнах.

Краткое содержание работы. Диссертация объёмом 89 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, 25 иллюстраций и списка литературы из 95 наименований.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Ковыркина, Оляна Александровна

Заключение

1. Для явных двухслойных по времени разностных схем получены достаточные условия, при которых они с повышенным (к-м) порядком аппроксимируют £-ус-ловия Гюгонио на нестационарных ударных волнах. На примерах разностных схем Лакса-Вепдроффа, МакКормака и Русанова (имеющих гладкие функции численных потоков) показано, что (в отличие от TVD схемы Хартепа, функции численных потоков которой являются лишь Липшиц-непрерывными) такие схемы сохраняют повышенный порядок слабой сходимости при сквозном расчёте нестационарных ударных воли и, как следствие, сохраняют повышенную точность в областях их влияния. Методом численного эксперимента показана более высокая точность компактной схемы, обладающей повышенным порядком слабой аппроксимации, по сравнению с явными двухслойными по времени разностными схемами, имеющими лишь первый порядок слабой аппроксимации.

2. Введено понятие пеклассических дифференциальных приближений и па их основе разработан метод построения асимптотических разложений разностных решений на сильном разрыве, в основе которого лежит понятие определяющего коэффициента асимптотического разложения. Определяющий коэффициент выбирается как максимальный но модулю коэффициент при одной из пространственных производных в дифференциально-разностном представлении разностной схемы (метод I) или в П-форме дифференциального представления разностной схемы (метод II). Построены асимптотические разложения разностного решения для явных двухслойных по времени схем с искусственной вязкостью и дисперсией, а также для симметричной компактной схемы с искусственными вязкостями второго и четвертого порядка дивергентпости. Построенные асимптотические разложения хорошо согласуются с разностными решениями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ковыркина, Оляна Александровна, 2009 год

1. Андерсен Д., Таипехилл ДжПлетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир. 1990. Т. 1, 2.

2. Атавин А.А., Гладышев М.Т., Шугрин С.М. О разрывных течениях в открытых руслах // Динамика сплошной среды АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1975. Вып. 22. С. 37-64.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1973. 631 с.

4. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод «крупных частиц» для задач газовой динамики // Числ. методы механики силотнн. среды. Новосибирск. 1970. Т. 1. N° 3. С. 3-23.

5. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. — Новосибирск: Наука. 1993. 368 с.

6. Ворожцов Е.В., Яненко Н.Н. Методы локализации особенностей при численном решении задач газодинамики. — Новосибирск: Наука. 1985. 224 с.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука. 1988. 512 с.

8. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Мат. сборник. 1959. Т. 47. № 3. С. 271-306.

9. Годунов С.К. Воспоминания о разностных схемах. — Новосибирск. Научная книга. 1997. 40 с.10| Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М.: Наука. 1973. 400 с.

10. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я. Крайко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука. 400 с.

11. Голъдин В.Я., Калитин Н.Н., Шитова Т.В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений // Ж. вычисл. матсм. и матем. физ. 1965. Т. 5. N2 5. С. 938-944.

12. Гельфаид И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи мат. паук 1959. Т. 14. № 2. С. 87-158.

13. Давыдов Ю.М. Дифференциальные приближения и представления разностных схем. М.: МФТИ. 1981. 130 с.

14. Иванов М.Я., Корецкии В.В., Курочкииа, Н.Я. Исследование свойств разностных схем сквозного счёта второго порядка аппроксимации // Числ. методы механики сплошн. среды. Новосибирск. 1980. Т. 11. № 2. С. 41-63.

15. Иванов М.Я., Корецкий В.В., Курочкина Н.Я. Исследование свойств разностных схем сквозного счёта повышенного порядка аппроксимации // Числ. методы механики сплошн. среды. Новосибирск. 1980. Т. 11. № 4. С. 88-103.

16. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Об аппроксимации разрывных решений при использовании разностных схем сквозного счета // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т. 18. № 3. С. 780-783.

17. Ковыркина О.А., Остапенко В.В. Неклассическпе дифференциальные приближения разностных схем // Проблемы теоретической и прикладной математики. Изд-во Института математики и механики УрО РАН. 2004. С. 86-90.

18. Ковыркина О.А., Остапенко В.В. Построение асимптотики разностного решения па основе пеклассических дифференциальных приближений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 1. С. 88-109.

19. Ковыркина О.А., Остапенко В. В. Асимптотическое разложение разностного решения в окрестности сильного разрыва // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7. Вып. 4. С. 49-73.

20. Ковыркина О.А. О численном моделировании течений с прерывными волнами // Вычисл. мех. сплоти, сред. 2008. Т. 1. ДО 1. С. 48-56.

21. Куликовский А.Г., Погорелое П.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.: Физматлиг. 2001. 608 с.

22. Марчук Г.PI. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1989. 608 с.

23. Остапенко В.В. Об эквивалентных определениях понятия консервативности для конечно-разностных схем j j Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. № 8. С. 1114-1128.

24. Остапенко В.В. Об аппроксимации законов сохранения разностными схемами сквозного счета // Ж. вычисл. матем. и матем. фнз. 1990. Т. 30. № 9. С. 14051417.

25. Остапенко В.В. Разложение разностного решения на фронте ударной волны // Докл. АН СССР. 1991. Т. 320. ДО 2. С. 275 -279.

26. Остапенко В.В. О разложении разностного решения на фронте бегущей ударной волны // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 31. Х- 2. С. 296-310.

27. Остапенко В. В. Разложение разностного решения схемы «крест» уравнений газовой динамики на фронте ударной волны // Моделирование в механике. 1992. Т. 6 (23). ДО 2. С. 108-116.

28. Остапенко В.В. Асимптотическое разложение разностного решения па фронте ударной волны // Матем. моделир. 1993. Т. 5. N° 2. С. 94-103.

29. Остапенко В.В. Разложение разностного решения на фронте ударной волны (случай квадратичной вязкости) // Динамика сплошной среды. 1994. Вып. 106. С. 121-135.

30. Остапенко В.В. О повышении порядка слабой аппроксимации законов сохранения на разрывных решениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 10. С. 146-157.

31. Остапенко В.В. О сходимости разностных схем за фронтом нестационарной ударной волны // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. N° 10. С. 12011212.

32. Остапенко В.В. О слабой сходимости па разрывных решениях TVD схемы Хар-тена второго порядка аппроксимации. // Вычислительные технологии. Новосибирск. 1997. Т. 2. № 5. С. 57-65.

33. Остапенко В.В. О конечпо-разностпой аппроксимации условий Гюгонио на фронте ударной волны, распространяющейся с переменной скоростью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 8. С. 1355-1367.

34. Остапенко В.В. О монотонности разностных схем // Сиб. матем. жури. 1998. Т. 39. № 5. С.1111-1126.

35. Остапенко В.В. О построении разностных схем повышенной точности для сквозного расчета нестационарных ударных волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 12. С. 1857-1874.

36. Остапенко В.В. Симметричные компактные схемы с искусственными вязкостя-ми повышенного порядка дивергентпости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 7. С. 1018-1037.

37. Остапенко В.В. Гиперболические системы законов сохранения и их приложение к теории мелкой воды. Новосибирск. Изд-во НГУ. 2004. 180 с.

38. Остапенко В.В., Тюшева О.А. Асимптотическое ра зложение разностного решения на фронте ударной волны для линейного уравнения переноса // Динамика сплошной среды. Изд-во Института гидродинамики СО РАН. Вып. 118. 2001. С. 58-64.

39. Павлов А.А. О разложении разностного решения па фропче стационарного гидравлического прыжка // Вычисл. методы прикладной гидродинамики. 1993. Вып. 106. С. 185-191.

40. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука. 1978. 687 с.

41. Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счёта разрывных решений // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180. № 6. С. 1303-1305.

42. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука. 1983. 616 с.

43. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука. 1980. 352 с.

44. Стокер Дж.Дж. Волны па воде. — М.: Изд-во иностр. лит. 1959. 618 с.

45. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. — М.: Наука. 1990. 232 с.

46. IJfonuH Ю.П. Необходимое и достаточное условие инвариантности разностных схем в терминах первого дифференциального приближения // Числ. методы механики сплошн. среды. Новосибирск. 1974. Т. 5. № 5. С. 120-122.

47. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения (применение к газовой динамике). — Новосибирск: Наука. 1985. 365 с.

48. Лгога М., Roe P. L. On postshock oscillations due to shock capturing schemes in unsteady flows j I J. Comput. Phys. 1997. V. 130. P. 25-40.

49. Boris J. P., Book D. L., Hain K. Flnx-corrected transport. II. Generalizations of the method // J. Comput. Phys. 1975. V 18. N. 3. P. 248-283.

50. Carpenter M.H., Casper J. The accuracy of shock capturing in two spatial dimensions // AIAA Paper 97-2107. 1997. P. 488 498.

51. Casper J., Carpenter M.H. Computational consideration for the simulation of shock induced sound // SIAM J. Sci. Comput. 1998. V. 19. № 1. P. 813-828.

52. Daly B.J. The stability properties of coupled pair of nonlinear partial differential equations 11 Math. Comput. 1963. V. 17. N. 2. P. 346-360.

53. Delis A., Skeels C.P. TVD schemes for open channal flow // Int. Л. Numer. Methods in Fluids. 1998. V. 26. P. 791-809.

54. Engquist В., Sjogreen B. The convergence rate of finite difference schemes in the presence of shocks // SIAM Л. Numer. Anal. 1998. V. 35. P. 2464-2485.

55. Friedrichs K.O., Lax P.D. Systems of conservation equation with convex extension 11 Proc. Nat. Acad. Sci: USA. 1971. V. 68. № 8. P. 1686-1688.

56. Gottardi G., Venutelli M. Central schemes for open channal flow // Int. Л. Numer. Methods in Fluids. 2003. V. 41. P. 841-861.

57. Harlow F.H., Amsden А.А. К numerical fluid dynamics calculation method for all flow speeds // Л. Comput. Phys. 1971. V. 8. N. 2. P. 197-213.

58. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // Л. Corrip. Phys. 1983. V. 49. P. 357-393.

59. Harien A. ENO schemes with subcell resolution // J. Comput. Phys. 1989. V. 83. N. 1. P. 148-184.

60. Iiarten A., Osher S. Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes j j SIAM J. Numcr. Anal. 1987. V. 24. JV? 2. P. 279-309.

61. Ilirt C.W. Heuristic stability theory for finite-difference equations // J. Comput. Phys. 1968. V. 2. N. 4. P. 339-355.

62. Jiang G.-S., Wu C.-C. A high-order WENO finite difference scheme for equations of ideal magnetohydrodynamics // J. Comput. Phys. 1999. V. 150. N. 2. P. 561-594.

63. Kroener D. Numerical schemes for conservation laws. — Wiley, Teubner, Leipzig, Germany. 1997.

64. Lax P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Comm. Pure Appl. Math. 1954. V. 7. № 1. P. 159-193.

65. Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. Philadelphia: SIAM. 1972.

66. Lax P., Wendrojf В. Systems of conservation laws // Comm. Pure and Appl. Math. 1960. V. 13. P. 217-237.

67. Lerat A., Peyrat R. Noncentered schemes and shock propagation problems // Computer and Fluids. 1974. V. 2. N. 1. P. 35-52.

68. LeVcque R.J. Numerical Methods for Conservation Laws. — Basel, Boston: Birkhauser Verlag. 1992.

69. Liu X.-D., Osher S., Chan T. Weighted essentially non-oscillatory schemes // J. Comput. Phys. 1994. V. 115. N. 1. P. 200-212.

70. Lm X.-D., Tadmor E. Third order nonoscillatory central scheme for hyperbolic conservation laws // Numer. Math. 1998. N. 79. P. 397 425.

71. MacCormack R. W. The effect of viscosity in hypervelosity impact cratering // AIAA Paper 69-354. 1969.

72. Osher S. Riemann solvers, the entropy condition, and difference approximations // SIAM J. Numer. Anal. V. 21. N. 2. P. 217-235.

73. Shu C.-W. TVB uniformly high-order schemes for conservation laws // 1987. Math. Comput. V. 49. N. 179. P. 105-121.

74. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. I // J. Comput. Phys. 1988. V. 11. N. 2. P. 439-471.

75. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. II // J. Comput. Phys. 1989. V. 83. N. 1. P. 32-78.

76. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws // SIAM J. Numer. Anal. 1984. V. 21. P. 995-1011.

77. Tadmor E. Convenient total variation diminishing conditions for nonlinear difference schemes // SIAM J. Numer. Anal. 1988. V. 25. N. 5. P. 1002-1014.

78. Vila J.P. An analisys of a class of second-order accurate Godunov-type schemes // SIAM J. Numer. Anal. 1989. V. 26. N. 4. P.830-853.

79. Wang J., Ni H., He Y. Finite-difference TVD schemes for computation of dambreak problems // J. Hydr. Engrg. ASCE. 2000. V. 126. P. 253-262.

80. Warming R. F., Hyett B. J. The modified equation approach to the stability of finite-difference methods // J. Comput. Phys. 1974. V. 14. N. 2. P. 159-179.

81. Warming R., Kutler P., Lomax H. Second and thirdorder noncentered difference schemes for nonlinear hyperbolic equations 11 AIAA J. 1973. V. 11. N. 2. P. 189195.

82. Yee H. C. Construction of explicit and implicit symmetric TVD schemes and their applications // J. Comput. Phys. 1987. V. 68. N. 1. P. 151-179.