Асимптотическое интегрирование одного класса сингулярно возмущенных линейных краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бобохонов, Кулихон

• Бобохонов, Кулихон
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бобохонов, Кулихон

Введение.

Глава 1. Равномерная ограниченность и существование решений сингулярно возмущенной краевой задачи

§ 1. Подпространства Е(А),Е0 (А),Е+ (А).

§ 2. Равномерная ограниченность решений.

§ 3. Существование решения.

§ 4. Функция Грина краевой задачи.

Глава 2. Асимптотическое интегрирование

§ 5. Линейная краевая задача с диагнолизуемой обратимой матрицей.

§ 6. Линейная краевая задача с диагнолизуемой необратимой матрицей.

§ 7. Асимптотика функции Грина : случай диагонализуемой обратимой матрицы.

§ 8. Асимптотика функции Грина: случай диагонализуемой необратимой матрицы.

§ 9. Построения асимптотики функции Грина сингулярно возмущенного скалярного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое интегрирование одного класса сингулярно возмущенных линейных краевых задач»

Диссертационная работа посвящена исследованию задачи об асимптотическом интегрировании одного класса сингулярно возмущённых линейных краевых задач вида

Иг

Ь £(А)х=е=—А{!)х = к(!)9 0<(<\,хеСп, £>0, т

2)Р0*(0) = л0, /^хО) =

Исследование сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений начинается с работ Лиувилля [39], Хорна [60], Прандтла [54], Шлезингера [61], Биркгофа [2],. Эти работы положили начало появлению теории сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие теории сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений связано с фундаментальными работами А. Н. Тихонова [59], В. Вазова [9], М. Лайтхилла [38], Н. Н. Боголюбова [1], Ю. А. Митропольского [48, 49],

A.Б. Васильевой [12-14], М. И. Вишика и Люстерника [15-18], В. Ф. Бутузова [5-7], М. И. Иманалиева [26-28], С. А. Ломова [40-45], В. П. Маслова [46, 47]. В настоящее время разработаны различные методы асимптотического интегрирования линейных и нелинейных сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений.

Общие вопросы теории сингулярно возмущенных задач и обзор современного состояния этой теории приведены в статье [45], где излагается метод регуляризации Ломова, развитый на основе уточнения понятия асимптотического ряда и являющийся основой теории асимптотического интегрирования широкого класса сингулярно возмущенных задач. Метод регуляризации Ломова является одним из вариантов развития метода Вишика-Люстерника, «объединенный с двумя новыми идеями: 1)с идеей перехода в пространство большого числа переменных, позволяющей описать аргументы существенно особых сингулярностей; 2)с идеей использования спектральной теории переменных операторов, позволяющей точно описать сингулярную зависимость решения от малого параметра» [45].

В дальнейшем метод регуляризации Ломова применительно к различным сингулярно возмущённым задачам развит в работах С. А. Ломова [40-45],

B. И. Прохоренко [55], В. Ф. Сафонова [56, 57], А. Г. Елисеева [21-25], М. А. Валиева [10, 11], М. П. Мягковой [53], А. А. Коняева [32, 33], В. А. Стрижкова [58], А. А. Бободжанова [3, 4], В. И. Качалова [31]. Наиболее полное изложение метода приведено в монографии Ломова С. А. [43].

В настоящей диссертационной работе исследованы условия, обеспечивающие возможность применения метода регуляризации Ломова для асимптотического интегрирования краевых задач вида (1 )-(2) и нахождения асимптотики функции Грина этих задач.

Вопросы нахождения асимптотики решений сингулярно возмущённых краевых задач исследованы в работах С. А. Ломова [40-45], Н. А. Ивановой [29], А. А. Кбняева [32 ,33]. В монографии С. А. Ломова [43] рассматривая систему (1) ¿'краевыми условиями вида:

3) ?х(0)+(}х(1)=хо ■ . в условиях так называемого стабильного спектра матрицы-функции А(Ч) путём замены переменных и выделения основных диагональных слагаемых в преобразованной системе находится асимптотика функции Грина данной краевой задачи в следующем виде: где х, е) =

ГГиАГ2] чг22ЛГ 2|

ГиАГи \Г21ЛГп г]2 аг22л Г22 ^22 у

0<Х<5<1

0 < 5 < л: < 1 ехр

Л(/;.у ,е) = ехр

- (а0</г о с з

Л0 = ¿¿^¡Л, .,Лк 0\£')}

Г{!,е) =

Г„М ГхЖ,е)

А&) В22(<);

5М(/) - блок размера к х к Я22(/) - блок размера(п-к)*{п-к) Но, задача нахождения асимптотического ряда функции Грина краевой задачи непосредственным применением метода регуляризации Ломова не была изучена. По этому в середине 80-х годов профессором С. А. Ломовым автору было предложено исследовать условия, обеспечивающие возможность применения метода регуляризации Ломова для нахождения асимптотики функции Грина какого - нибудь класса краевых задач.

В методе регуляризации Ломова разработан общий подход для нахождения асимптотики решений широкого класса сингулярно возмущённых задач. Возможность применения данного метода обусловлена решением следующих трёх взаимосвязанных задач:

1) выбор основных сингулярностей, участвующих в уточнённом асимптотическом ряде ;

2) однозначная разрешимость итерационных задач;

3) оценка остаточного члена.

Решение этих задач применительно к системе (1) с начальным и условиями к сингулярно возмущённым задачам некоторых типов при определённых условиях позволяет найти асимптотику решения в виде асимптотического ряда. Имеющиеся способы решения трёх выше указанных задач относительно краевой задачи (1)-(2) непосредственно не применимы. Основная трудность связана согласованием краевых условий (2) с выбором основных сингулярностей и дальнейшим обеспечением однозначной разрешимости итерационных задач, а также и ограниченности приближённых решений при 8-»0. В связи с этим представляет интерес находить условия существования решений краевой задачи (1)-(2) при малых в и их ограниченность при е—»0.

Вопросы разрешимости краевых задач для систем (1) с краевыми условиями вида (3) исследованы в работах A.A. Коняева [32, 33]. Им исследованы так же асимптотика решений данной краевой задачи непосредственно не применяя метод регуляризации Ломова, а используя методику нахождения асимптотики функции Грина, изложенную в монографии [43].

В работе Н. А. Ивановой [29], используя понятия функции типа пограничного слоя, введёное М. И. Вишиком и Л:А. Люстерником находится асимптотика функции Грина краевой задачи j^esak+s(x)yik+s)(x)+j^aJ(x)yiJ\x) = 0, хх <х<х2, j=l 7=0 y(i\x]) = 0, 0<i<k„ о, 0<у<*2, №+*,=/+*).

Представляет интерес находить асимптотику функции Грина краевой задачи (1 )-(2) методом регуляризации Ломова.

В вопросах разрешимости и ограниченности (при малых г) решений краевой задачи (1)-(2) имеет важное значение наличие одной из оценок

4) d\y\\<\\LJA)y\\^PQy(0)\ + \PM\)\; ■

5) d\\y\\ < -\Le(A)y\ + \РоУ(0)\ + \P,y(\)[ где ||-норма вектора, |||-норма в пространстве c([0,l],c") v е C'([ö,l]),C".

Оценки (4), (5), иногда называемые коэрцитивными оценками, не встречаются в теории сингулярно возмущенных задач. Исследование наличия таких оценок актуально тем, что:

1) процесс получения этих оценок идейно близок с идеями предельного перехода в сингулярно возмущённых задачах;

2) позволяют исследовать разрешимость краевой задачи и легко оценивать остаточный член асимптотического ряда.

Коэрцитивные оценки для определённых классов дифференциальных операторов и различных функциональных пространствах исследованы в работах Э.М. Мухамадиева [50-52], и их учеников. В настоящей работе применительно к оператору LE(A) в основном применяется и развивается методика получения оценок вида (4), . изложенная в работах Э.М. Мухаммадиева, где исследуются ограниченные и полуограниченные решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными ограниченными коэффициентами.

Перейдем к краткому изложению основных результатов диссертации. Первая глава диссертации посвящена исследованию условий равномерной по £ ограниченности решений краевой задачи (1)-(2) и выяснению условий существования решения и функции Грина этой задачи.

В перЕом параграфе введены под пространства Е(А),Е0(А),Е+(А) являющиеся прямой суммой корневых подпространств матрицы А соответствующие собственным значениям с отрицательной, нулевой и положительной вещественной частью. Изучены некоторые свойства линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений связанные с подпространствами Е(А),Е+(А). Результаты этого параграфа являются общеизвестными и применяются в последующих параграфах.

Во втором параграфе изучаются условия существования положительных d ,£0, для которых, при s е (0,s0) и любой вектор-функции y{t) е С1 ([ОД]; С") имеет место неравенство

4) d\\y\\ < \\LJA)y\\ + \Роу(0)\ + \Р,у(\)\ или неравенство

5) d\\y\\ < — \Le(Â)y\ + \PQy(fij[ + \P;Х1)|, где 11-евклидовая норма в С" , ||.||-норма пространства C([0,l]/C"). Наличие неравенства (4) означает равномерную по G ограниченность решений краевой задачи (1) - (2). А неравенство (5) показывает, что решения краевой задачи (1)-(2) относительно £ при £—> 0 имеют порядок не выше £ \ Неравенства (4), (5) являются первым шагом к нахождению асимптотики решений краевых задач вида (1)-(2). Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1. Для того чтобы неравенство (4) выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы матрица-функция A(t) и матрицы Р0, Р] удовлетворяли следующим условиям:

6) V/ е [од] a(A(t)) rsiR = 0,

7) Е(л(о))п КегР0 = (О), Е+ (4l))n KerPt = {о}, где cr(A(tJ) -спектр оператора A(t).

Теорема 2.2. Пусть матрица A(t) непрерывно дифференцируема и имеет п взаимно различных собственных значений X,(/),.,Л;|(/), которые также непрерывно дифференцируемы. Пусть соответствующие соответственные векторы b](t),.,bn(t) непрерывно дифференцируемы и выполнены условия:

1) Р0ЬЛ(0), i=lp -базис ЬРпС

2) Р}Ь;(1), j = p + \,n -базис ЬР{С",

3) Re А (/) < 0, i = lp, KeX(t)> 0, г = р + 1,п

4) либо а) < Ь*, Ъ't >= 0, i = \,p, j = p + l,n либо б) < b',b* >= 0, i = \,р, j = р + \,п либо в) Re Я, (г) < -а0 < 0 i = \,p, ie[0,l] . либо г) Re Х/ (/) > Д > 0 j = р + 1,п, t е [0,1] 5) для любого j = р + \,п, либо ReA (0)> 0, либо Р0Ь1(0)=0 для любого i-\,p, либо ReX, (о) < 0, либо Pibi (l) = О Тогда ч существует числа d > 0, £0 > 0 такие, что для любой С1 ([0,1], С) при е е (О,^) имеет место оценка о

Существенная роль этих теорем состоит в том, что

1) утверждают наличие так называемых коэрцитивных оценок для^' рассматриваемого класса сингулярно возмущенных дифференциальных операторов

2) являются первым этапом к исследованию условий существования решения и функции Грина краевой задачи (1)-(2);

3) позволяют легко оценить остаточный член асимптотики решения краевой задачи (1)-(2), построенный методом регуляризации Ломова.

Теоремы 2.1, 2.2 доказываются методом, часто используемым в исследованиях [50,51, 52]. Доказательство теоремы в какой-то мере связано с задачей предельного перехода в сингулярно возмущенном дифференциальном уравнении.

В третьем параграфе изучены условия существования единственного решения краевой задачи (1)-(2) при малых положительных значениях £. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия

8) n iR = 0> v> е [0» 1]

9) KerP0 п £ (Л(0)) = {0}, KerP, п £ (/i(l)) = {0} ;

10) х0еР0Са,

11) . Р0Е(А(0))=Р0С\ РЛШ)=Ф

Тогда задача {3.1)- (3.2.) имеет единственное решение. Теорема 3.2. Пусть

12) х0еР0С", ххеРхС* и выполнены условия теоремы 2.2. Тогда существует единственное решение задачи (1)- (2) при £g(0,£0).

Условия теорем 3.1, 3.2 обеспечивают существование единственной функции Грина краевой задачи (1)-(2) при достаточно малых положительных £. Это доказывается в теоремах 4.1, 4.2, составляющих основное содержание четвертого параграфа.

Результаты первой главы являются основополагающими при исследовании условий, обеспечивающих возможность применения метода регуляризации Ломова для нахождения асимптотики решения и функции Грина краевой задачи ( 1 )-(2).

Вторая глава диссертации посвящена исследованию асимптотики решения и функции Грина краевой задачи (1)-(2) и состоит из §§ 5-9.

В пятом параграфе изучается асимптотическое интегрирование краевой задачи (1)-(2) методом регуляризации Ломова в случае, когда выполнены условия (6), (7) и условия

13) РйЕ (А(0)) = Р0С", Р,£+ (41)) = P{Ç", х0 е Р0С", х, е РХС",

14) ( матрица-функция A(t) и вектор-функция h(t) бесконечно ( дифференцируемы на отрезке [0,l];

15) ( при каждом t [ОД] собственные значения Я|{t),.,À (/) ( матрицы A (t) различные и

ЯеЯу(/)<0,у = \,р, Re4(i)>0,/ = р + \,пгде р не зависит от t.

В теореме 5.1, составляющей основной результат пятого параграфа, доказано, что при этих условиях методом регуляризации Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1)-(2), в виде

JU

16) <Pi(t,£\-~>PH(t,£)\ где j t t pj (t, s)=~ Jàj (s)ds, j = 1, p, 0

J ' p, (t, s) = — Г Я, (s^s, l = p +1, n. с J J l

При оценке остаточного члена асимптотики используется неравенство (4). Далее, доказана следующая теорема

Теорема 5.2. Пусть выполнены условия

1) матрица-функция A(t) и вектор-функция h(t) бесконечно дифференцируемы;

2) существует п взаимно различных (при каждом t ) собственных значений ., матрицы A(t);

3) Vf €[0,1], /^ГЯ

4) ReЛ,(t)< 0, г = \,р; ReA >0, j = p + \,n.

А также предположим, что соответствующие собственные функции матрицы A{t) бесконечно дифференцируемые и удовлетворяют условиям:

5) векторы Р0^(0), / = 1, р образуют базис в Р0С" векторы Pfb^l), j = р + \,п образуют базис в Р{С",

6) либо а) Р0Ь/ (О) =0, j = р + 1,п; либо б) ReA(/)> 0, j = p + \,n, te[0,1]/

7) либо a) Ppt(l) = 0, i = 1,р ; либо б) Re Ài (t)< 0, i = 1, p, te [0,1] /

8) Vi = hp, <^,b](t)>=0, J = p+l,n, /€[0,1] ut

- db (t) —

Vj = p + \,n, <—b,(t)>= 0, / = 1, p, t e [0,1]. dt

Тогда методом регуляризации Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1)-(2) имеющий вид к=о где (p (t,£)--'\Xis)ds, j = \,p, '

В шестом параграфе доказана теорема 6.1, в которой утверждается, что если выполнены условия теоремы 3.2, /1,(/) = 0, то методом регуляризации

Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1 )-(2), имеющий вид

О7)

Оказывается, как в случае задачи Коши [43], наличие слагаемого с множителем £ ' в ряде (17) обусловлено необратимостью матрицы А{{) т.е. существованием нулевого собственного значения 4(0 = 0). Оценка остаточного члена проводится с помощью неравенства (5). А таю*'~ имеет место у

Теорема 6.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.2, а вместо условия 3) выполняется условие

Зу) 4(0 = 0, 4(0*0, V/e[0,l], / = 7~п

Тогда методом регуляризации Ломова можно построить асимптотический ряд решения краевой задачи (1)-(2) имеющий вид оо •

2 ('> 4 • • • > <Р'„ €)\ к=-1 где р, £) = - /Л у = 2, р, £ " р1 (/, £•) = - - {4 I - р + 1, п. >

В седьмом параграфе методом регуляризации Ломова с,троится асимптотика функции Грина краевой задачи (1)-(2). Доказана теорема 7.1 утверждающая о том, что если выполнены условия теоремы 5.1, то методом регуляризации Ломова можно построить асимптотику функции Грина краевой задачи (1)-(2) в виде

00

2 £кгк (г, я, д>х {г, е\., <р2п {и 5, е )), к=-1

I '

I / X 1

I I рп+/г,8,е) = - 4у = 1,р, £

2 |

Рп+1(1,з>£) = —1 = Р + 1п.

На основе теорем 5.2, 7.1 вводится селующая теорема.

18) где

Теорема 7.2. Пусть выполнены условия 1) -8') теоремы 5.2, но условия 6), 7) выполняются в следующем варианте 6) Р0ф)=О, j = p + l,n f) PfiXl)=0, i = l,p

Тогда, методом регуляризации Ломова можно построить асимптотику функцию Грина краевой задачи (1)-(2) вида оо Фх {t> s,e\.9 (p2n (t, s,£))) с оценкой остаточного члена N sup\G(t, S, £) - 2£kzk (t, S, <p} (/, S, £),.,ф2п (t, s, £))| < Dn+]£N+> , 0<j,i<li k=-1 !

При построении асимптотики функции Грина самым важным и существенным является подходящий выбор основных сингулярностей рг у = 1,2л. Выбор этих сингулярностей был предложен автору С.А.

Ломовым. Оценка остаточного члена доказывается как при выводе неравенств (5), используя то, что функция Грина краевой задачи и матрицы-функции удовлетворяют краевым условиям и в точке t = S имеют разрыв.

Результаты седьмого параграфа в восьмом параграфе переносятся на случай, когда выполнены условия теорем 6Л, 6.2. Доказывается, что методом регуляризации Ломова можно построить асимптотику функции Грина краевой задачи (1)-(2), имеющий вид со

19) Xе>kZk{*>s><Р\(''s>e)>■ ■ •'<Рп(t.s>e),<p„+l(t,s,£),.,(p2n(it,s,e)\ k=-1

При выводе асимптотики (19) модифицированы процедуры однозначного построения матриц-функций Z^ и оценке остаточного члена ряда, имеющиеся в доказательстве теорем 7.1, 7.2 предыдущего параграфа.

Доказанные в параграфах 7, 8 теоремы являются основными результатами диссертационной работы.

В девятом параграфе в качестве примера построена асимптотика функции Грина сингулярно возмущённой краевой задачи

20) s2y-a2(t)y = h(t)

21) у(0,£) = у(1,е) = О где a(t) непрерывно и положительно. Приводится алгоритм метода регуляризации Ломова применительно к этой задаче. Доказаны теоремы 9.1, 9.2, которые обосновывают корректность предложенного алгоритма.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9]. Отдельные части диссертации докладывались на международных конференции проходившей в городе Москве (1993), Худжанде (2003) на международных, республиканских и областных конференциях проходивших в городах Душанбе (1998-2000), Курган-Тюбе (1991-1997) Худжанде (19902002), в ряде выступлений на семинарах профессора С.А. Ломова (Москва, МЭИ 1987),профессора В.Ф. Сафонова ( Москва, МЭИ 1987 ), профессора Э.М. Мухамадиева (Худжанд, 1994-2002).

В заключении выражаю искреннюю благодарность своим научным руководителям член корреспонденту АН РТ, профессору Э.М. Мухамадиеву, доктору физико-математических наук А. А. Бободжанову за руководство над работой, за помощь и поддержку, оказанную ими на протяжении многих лет работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бобохонов, Кулихон, 2003 год

1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. -504с.

2. Бободжанов А. А., Ломов А. Асимптотического интегрирование задачи Коши со счетно кратным спектром. Мат. заметки , 1984 , Т. 35 . вып. 1. -С. 63-82

3. Бутузов В.А. Асимптотика решения уравнения и Аи-к (x,y)u=f(x,y) в прямоугольной области \\ Дифференциальные уравнения . 1973 , Т.9 , № 9.-С.1654-1650 .

4. Бутузов В.Ф. Асимптотика решений некоторых модельных задач химической кинетики с учетом диффузии \\ ДАН СССР ,1978,Т.242,№2.- 268-271.

5. Бутузов В.А. Угловой пофанслой в смешанных задачах для гиперболических уравнений.//Матем.сб. 1977.Т. 104.№3 .с.460-485.

6. Валиев М.А.Метод регуляризации сингулярно возмущенных дифференциальных операторных уравнений \\ ДАН СССР,1974,Т.220„№5.-С.1008 - 1012.

7. Валиев М.А., Ломов А. Асимптотическое интефирование сингулярно возмущенных задач в гильбертовом пространстве \\ Диф.уравнения, 1981,Т. 17, №10.-С. 1792-1805.

8. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной \\ УМН, 1963,Т.18,вьш.З ( 111 )- - 3-86.

9. ВасильеваА.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. - М. :Наука ,1973. И.Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях .- М.: Изд. МГУ , 1978.

10. Вишик М.И., Люстерник- Асимптотические решения некоторых краевых задач с осциллирующими фаничными условиями \\ ДАН СССР,1958, Т.120, №1 с. 13-16.

11. Вишик М.И., Люстерник Л.А. О начальном скачке для линейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр \\ ДАН СССР ,1960, Т.132, №6 .-С.1242 - 1245'

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука.-550с.

13. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.:Наука, 1967.

14. Елисеев А.Г., Ломов А. Теория возмущений в банаховом пространстве \\ ДАН СССР, 1982, Т.264, №1 - 34-38.

15. Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных i^ уравнений в случае кратного спектра предельного оператора . 1.2. Изв. АН СССР , Сер математики. 1984 Т.48, №5-С.999-1042.

16. Елисеев А.Г. 3. \\ Изв. АН СССР , Серия математики, 1984, Т.48 ,№6.-С.1171- 1196.

17. Елисеев А.Г., Ломов А.С. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора \\ Мат.сборник ,1986 Т. 131 (173),№4-С.544-557.

18. Елисеев А.Г., Сафонов В.Ф. Методы асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений. М.:Изд-во МЭИ. 1990.-60с.

19. Иманалиев М.И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегродифференциальных систем.-Фрунзе : Илим , 1972.

20. Иманалиев М.И. Колебание и устойчивость решений сингулярно возмущенных интегродифференциальных систем. -Фрунзе ; Илим .1974.-350 с.

21. Качалов В.И., Ломов А. Глг^дкость решений дифференциальных уравнений по сингулярно входящему параметру \\ ДАН СССР. 1988,Т.299, № 4.

22. Коняев А. А. Прохоренко В. И., Федоров Ю. Анализ сингулярно возмущённых задач на полуоси с неограниченным спектром предельного оператора. Матем. методы и приложения. МГСУ,25-30.01.96.

23. Коняев А. А. Анализ сингулярно возмущённых краевых задач для полуоси. Матем. методы и приложения. МГСУ, 26-31.01.97.

24. Коняев Ю. А. Теория возмущений в прикладных задач. Москва, МЭИ, 1990.

25. Замонов М. 3., Каримов О., Коэрцитивные оценки решение нелинейного оператора Штурма -Лиувилля с матричным сингулярным потенциалом на полуось. В сб. Вестник педаг. университета №5, Душанбе, 1999.

26. Lighthill M.G. А techigul for rendering approximate solutions to phgsiai problems uniformly valid W Phil. Mag., 1949 ,V.7 № 40. - P. 1179 - 1201.

27. Liouville F.Ser le developpement des fonetions on parties en series dont les divers termes sont assuiettes a satisfaire a unt mene equation difflrtntielle du second orde contenant une parametre variabbe W F.Math.Pure Appl ,1837, V.2 - P/ 16-35.

28. Ломов C.A. Метод возмущений для сингулярных задач \\ Изв. АН СССР, Сер. Математики , 1972 , Т.36.- 635-651. 41 . Ломов А Формализм неклассической теории возмущений \\ Дан СССР, 1973, ^ Т.212, Ко 1-С.ЗЗ-36.

29. Ломов А., Стрижков В.А. Обобщение теоремы Тихонова на случай чисто мнимого спекгра\\ ДАН СССР, 1983, Т. 271, Х» 6.- 1317-1320.

30. Ломов А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений М. :Наука , 1981.

31. Ломов А. Аналитические рещения сингулярно возмущенных задач \\ ДАН СССР, 1982 . Т.265 . № 3 - 529 - 532 .

32. Ломов А., Елисеев А. Г. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущениохх задач \\ УМН, Т. 43, вып.2(361), 1988. - С . 3 - 53.

33. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд.-во МГУ, 1965.

34. Мухамадиев Э. М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций \\ ДАН СССР, Т. 196, №1, 1971.-С.47-49.

35. Мухамадиев Э. М. К теории ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений \\Дифференциальные уравнения, Т. 10, №4, 1974. -С.63 5-646.

36. Мухамадиев Э. М. Об ограниченных решения обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами. Дифференциальные уравнения и их применения. Душанбе, 25-26.09.98.

37. Мягкова М. П. Асимптотическое решение краевой задачи \\Труды МЭИ, 1971, вып. 89 - 83-86.

38. Prandtl L.Uber Flussigkeitsbervegung ber sehr kleiner Reibung W Verk. d. Ill, Int. Math. Kongr., Heidellerg, 1904, Teubner. - S . 484 - 494

39. Сафонов В. Ф., Румянцева М. А. Асимптотические решения сенгулярно возмущенных задач с нарушением стабильности спектра на множествах положительной меры \\ Сб. науч. трудов, №141, МЭИ, 1987.

40. Стрижков В. А. Некоторые вопросы разрешимости в целом сингулярно - возмущенных нелинейных задач \\ Мат. заметки, 1985, Т. 37, вып. 6.-С.857-868. h

41. Тихонов A. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра \\ Мат. сб., 1948,1.22(64).- 193-204.

42. Нот J. Uber eine lineare Difierentialgleichhung zweiter Ordnung mit einem willkurlichen Paameter W Math. Ann, 1899, Bd. 52.-S. 340-362.