Асимптотические спектральные методы исследования сингулярно возмущенных задач на полуоси для линейных и квазилинейных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Воркне Асмамау Зегейе

• Воркне Асмамау Зегейе
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Воркне Асмамау Зегейе

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. Асимптотический анализ сингулярно возмущённых начальных задач на полуоси для линейных и слабо нелинейных неавтономных систем ОДУ с периодической матрицей

1.1. Введение

1.2. Анализ сингулярно возмущенной задачи Коши для систем при наличии предельного оператора простой структуры

1.3. Изучение сингулярно возмущенной задачи Коши для систем при наличии

предельного оператора полупростой структуры

Глава II. Спектральный асимптотический метод исследования сингулярно возмущенных задач на полуоси для систем ОДУ с полиномиальной матрицей

2.1. Введение

2.2. Исследование сингулярно возмущённых задач для систем при наличии предельного оператора простой структуры

2.3. Анализ сингулярно возмущённых задач для систем при наличии

предельного оператора полупростой структуры

Глава III. Исследование устойчивости решений сингулярно возмущённых линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с нормальной и почти нормальной матрицей

3.1. Введение

3.2. Анализ сингулярно возмущённых неавтономных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с нормальной или «почти нормальной» матрицей

3.3. Исследование сингулярно возмущённых неавтономных систем нелинейными нормальными матрицами

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические спектральные методы исследования сингулярно возмущенных задач на полуоси для линейных и квазилинейных систем»

Введение

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию сингулярно возмущенных задач на полуоси для линейных и слабо нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими, полиномиальными и нормальными определяющими матрицами.

Сингулярно возмущенные задачи первоначально возникли в физике и технике. Еще в 19 веке в работах Лапласа, Максвелла и Кирхгофа изучались конкретные сингулярные задачи. В дальнейшем выяснилось, что все области естествознания и техники богаты такими задачами.

Современная теория сингулярно возмущенных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений основана на работах Боголюбова H.H. и Митропольского Ю. А., Вазова В., Эрдейи А., Тихонова А.Н., Васильевой А.Б. и Бутузова В. Ф., Моисеева H.H., Мищенко Е.Ф. и Розова Н.Х., Нефедова H.H., Федорюка М.В., Шкиля Н.И. и многих других математиков.

Существенный вклад в теорию сингулярных возмущений внесли работы научной школы Ломова С. А. и его учеников Сафонова В.Ф., Качалова В.И., Елисеева А.Г., Бободжанова A.A. и других, создавших метод регуляризации для исследования различных классов сингулярно возмущенных задач.

Для уравнений с частными производными систематическое изучение сингулярно возмущенных задач началось с работ Левинсона Н., Олейник O.A., Ладыженской O.A., Вишика М.И. и Люстерника Л.А. и активно продолжается по настоящее время (см., например,[4,21,45]).

При решении прикладных задач важную роль играет не только создание адекватных математических моделей в виде систем ОДУ, достаточно хорошо отражающих основные параметры исходной задачи или процесса, но и разработка эффективных аналитических и асимптотических методов их

исследования. В данной работе отдано предпочтение аналитическим, спектральным и асимптотическим методам, так как они позволяют исследовать математические модели в более широком (по сравнению с численными методами) диапазоне исходных параметров, а также прогнозировать различные свойства изучаемого обьекта.

В диссертации исследованы вопросы асимптотического представления и устойчивости решений сингулярно возмущенных задач на полуоси для систем ОДУ с периодическими, полиномиальными матрицами, а также с матрицами, являющимися суммами нормальных матриц. Предложенные в работе методы являются развитием метода расщепления [8,30,55] и метода регуляризации Ломова С. А. [36,37,50,51], а также метода унитарных преобразований [31] (при изучении сингулярно возмущенных систем с нормальными или «почти нормальными» матрицами).

При решении сингулярно возмущенных начальных линейных и слабо нелинейных задач на полуоси возникают дополнительные трудности, связанные с описанием пограничного слоя в окрестности начальной точки t = t0 и с обоснованием нетривиальных условий устойчивости решений исследуемых задач, включая критические случаи.

Как известно, вопросам теории устойчивости посвящено очень большое количество работ, в первую очередь Ляпунова A.M. и Пуанкаре А., а также Четаева Н.Г., Малкина И.Г., Красовского H.H., Меркина Д.Р., Хапаева М.М., Розо М. и многих других математиков, создавших фундамент теории устойчивости.

Цель работы. Основной целью диссертации является развитие

спектральных и асимптотических методов исследования сингулярно

возмущенных задач для линейных и слабо нелинейных систем ОДУ на

полуоси с периодическими, полиномиальными и нормальными матрицами. В

частности, ставятся задачи построения асимптотических представлений

5

решений и получение условий устойчивости для указанных систем при наличии определяющих матриц различной структуры.

Методы исследования. В данной работе использованы методы теории сингулярных возмущений, в первую очередь уточненные варианты метода расщепления для анализа сингулярно возмущенных задач с периодическими и полиномиальными матрицами. Системы с нормальными или «почти нормальными» матрицами исследуются с помощью метода унитарных преобразований. Научная новизна.

Предлагаемые в диссертации подходы представляют собой существенное развитие и обобщение методов расщепления и унитарных преобразований. Основные результаты состоят в следующем.

1. Разработан асимптотический спектральный метод исследования устойчивости решений сингулярно возмущенных неавтономных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ с периодическими или полиномиальными матрицами при наличии предельных матриц различной структуры.

2. Предложен алгоритм построения квазирегулярной асимптотики решений сингулярно возмущенных линейных систем ОДУ с периодическими или полиномиальными матрицами, при этом выделен пограничный слой в замкнутой аналитической форме.

3. Получены конструктивные условия устойчивости или асимптотической устойчивости решений сингулярно возмущенных неавтономных линейных и слабо нелинейных систем ОДУ (равномерных по параметру), матрицы которых могут быть представленыв виде суммы (линейных или нелинейных) нормальных матриц.

4. Для сингулярно возмущенных задач последнего класса показана

возможность точного представления нормы решения и возникновения

б

счетного числа пограничных слоев различной (экспоненциальной или «радикальной») структуры при соответствующих ограничениях на спектр определяющей матрицы.

Теоретическая и практическая ценность диссертации состоит в том, что разработанные диссертантом эффективные методы и конструктивные алгоритмы позволили решить ряд актуальных задач в теории сингулярных возмущений и являются основой для анализа некоторых прикладных математических моделей.

Достоверность полученных результатов подтверждена обоснованной и корректной постановкой исследованных в диссертации теоретических и прикладных задач, сводящихся к изучению сингулярно возмущенных линейных и слабо нелинейных неавтономных систем ОДУ на полуоси с периодическими и полиномиальными матрицами, а также для систем, матрицы которых могут быть представлены в виде суммы нормальных (в частности, нелинейных) матриц.

Для доказательства полученных в работе теорем, асимптотических представлений и условий устойчивости были использованы строгие математические методы, как известные, так и являющие развитием метода расщепления и метода унитарных преобразований.

Апробация работы. Результаты исследований, представленных в диссертации, были доложены на следующих семинарах:

• семинар "Теория сингулярных возмущений" кафедры высшей математики МЭИ под руководством проф. Сафонова В.Ф. и проф. Бободжанова A.A.

• семинар "Теория сингулярных возмущений" кафедры математики физфака МГУ под руководством проф. Бутузова В.Ф. и проф. Нефёдова H.H.

• семинар "Дифференциальные уравнения" кафедры математического моделирования МЭИ под руководством проф. Амосова A.A. и проф. Дубинского Ю.А.

• семинар "Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения" кафедры прикладной математики РУДН под руководством проф. Скубачевского A.JI.

Результаты работы были доложены на следующих научных конференциях:

• всероссийская конференция с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем», Москва, Российский университет дружбы народов, апрель 2012.

• международная конференция «Интеграционные процессы в естественнонаучном и математическом образовании», Москва, Российский университет дружбы народов, февраль 2013.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 3 работы в изданиях, входящих в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ.

Объем и структура диссертации. Работа изложена на 78 страницах и состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 65 наименований.

Краткое содержание диссертации. Во введении приведен краткий, но достаточно содержательный обзор научных работ, посвящённых наиболее важным вопросам теории сингулярных возмущений, асимптотическим методам, некоторым разделам теории устойчивости, связанным с развитием спектрального метода.

В первой главе предложен спектральный метод исследования сингулярно возмущенных начальных задач на полуоси для линейных неавтономных систем ОДУ с периодической матрицей вида

ex = A(t,e)x + h(t,s) , x(0,£)=x0 (0.1.1)

и аналогичных слабо нелинейных систем вида

ex = A(t, е)х + sfipc, t) , х(0, е) = Xq (0.1.2)

(x,f е Е\ /(0,t) = 0, t> 0).

В отличие от [9-11,36-39] предложен метод исследования поведения решения указанных систем (0.1.1) и (0.1.2) на всей полуоси с описанием структуры экспоненциального пограничного слоя в окрестности точки t = 0. При этом в данной работе предполагается, что выполнено

Условие А. Слабо нелинейная система (0.1.2) разрешима на полуоси t > 0 для достаточно малых начальных значений ||лг0|| <r¡ и её решение x(t,E) равномерно ограничено, т.е. \\x(t, £)|| < R0 V(t,£) G {t > 0} X (0, £0L ¿o > 0 — достаточно мало, R0 —постоянная, не зависящая от £ Е (0, £0]-Здесь и всюду далее ||л:|| — евклидова нормы вектор xGl",

Для всех встречающихся в работе слабо нелинейных систем будем предполагать выполненным условие А, не детализируя его по отношению к виду нелинейности. Для сингулярно возмущенных задач типа (0.1.2) при £ +0, рассматриваемых на полуоси, это требование является обычным, хотя и довольно жёстким. Вопрос о том, когда оно выполняется, заслуживает отдельного рассмотрения и не является предметом нашего исследования.

Для произвольной квадратной матрицы А = {o/fc}" введём специальные обозначения А = сИад{ац,. . .,ann}, А = А — А.

Теорема 1.1 Пусть для сингулярно возмущенной задачи Коши (0.1.2),

где матричный ряд A(t, е) = So^fcCO^ из Г-периодичеких достаточно

гладких матричных функций Ak(t) сходится абсолютно и равномерно по

9

некоторой норме при достаточно малых s > 0 и спектр (Я0у (t)j1

Г-периодической матрицы Л0 (t) простой структуры удовлетворяет неравенствам

%(t) = A0/(t)-A0fc(O*0, |АоуСО|*0 ),к = Ui, t > 0).

Тогда существует невырожденная при достаточно малых г > 0 Г-периодическая замена

х = S0(t)Hw(t,s)z, So~1(t)Ao(f)So(t)=A0(t') = diag{À01 (t),..., Л0п (t)},

Hm(t,e) = E + Zïnk (t)£k,

приводящая систему (0.1.2) к эквивалентной системе

sz = Q (t, e)z + sg (z, t, s) , z(0,s) = z0 , (0.1.3)

где Q(t,s) = A(N)(t,E) + sN+1G(N+1)(t,£) , Aw(t,s) = Ak(t)sk ,

g(z,t,£) = «("¿(t.^W/^oWH^a^z.i).

Замечание

Диагональные матрицы Л ¿(t) и бездиагональные матрицы Нк (t) (к = 1, N) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма, а оценка ||G(^+i)(t, е)|| < С проверяется прямым вычислением.

Одним из основных результатов в первой главе является следующая теорема.

Теорема 1.2 Если в условиях теоремы 1.1 спектр (A, (t, £)}"

вспомогательной матрицы

Aw(t,£) =£о Afe(t)£fc = diagfait.s),. . .,An(t,£)}

удовлетворяет неравенствам

ReÀj (t, е) < -а0 + £<p(t) , a(t) = <p(s)ds < 0

(ao>0, j = Vfi , t > 0) 10

и для векторной функции f(xl £) имеет место оценка

||/(*,011<С|М11+а (С,а> 0, ||х|| < Я , Л0 < Я , > 0) то при выполнении условия А тривиальное решение сингулярно возмущенной задачи (0.1.3) и эквивалентной ей задачи (0.1.2) при всех достаточно малых положительных £ (0 < £ < £0) асимптотически устойчиво.

В следующем утверждении для сингулярно возмущенной линейной системы ОДУ с периодической матрицей построена квазирегулярная асимптотика решения в замкнутой аналитической форме.

Теорема 1.3 Пусть для сингулярно возмущенной линейной задачи Коши (0.1.1), где матричный ряд = ^Ак(^£к и векторный ряд

Ь(Ь,£) =^\Ьк{Ь)£к из Г-периодических достаточно гладких функций и Ьк(Ь) сходятся абсолютно и равномерно по некоторой норме при

достаточно малых £>0 и спектр (Я0у (О)" матрицы Л0(О удовлетворяет

условиям

^(О = ¿оу(0 "¿о/с0, |Л0;(О|*0, ДеЛ;-а,£)<-ст0

0' * к, у, к = 1/п, I > 0). Тогда асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Коши (0.1.1) представима в квазирегулярной форме

х(р, £) = ¿0 С0Н(Ю (р, £) ехр (1 /0С Л(Л0 (5, 20 + (С, £~) + О (£^+1)

где частичная сумма и^Сс, £) = Ео щЮ£к асимптотического представления частного решения системы (0.1.3). Замечание

Матричные функции и определяются однозначно

методами теоремы 1.1.

Кроме того, в первой главе исследованы случаи, когда предельная матрица Л0(£) имеет полупростую структуру или когда она эквивалентна «блочно-треугольной» матрице.

Во второй главе разработан спектральный метод анализа линейной и слабо нелинейной системы ОДУ с полиномиальной матрицей, предложен метод построения квазирегулярной асимптотики их решения и сформулированы достаточные условия устойчивости или асимптотический устойчивости.

Теорема 2.1 Пусть для сингулярно возмущенной задачи Коши для слабо нелинейной системы ОДУ с полиномиальной матрицей вида

ех = 0* + £/(*, 0 , х(Ь0) = х0 (0.2.1)

(х,/6 1", £ > £0 > 1, т > 0), где матричный ряд = АкЬ~к сходятся абсолютно и равномерно по

некоторой норме при £ > £0 > 1 и спектр {^о;}" матрицы А0 простой структуры удовлетворяет неравенствам е^ = Я0; — Лок 0 (у Ф к, у, /с = 1;п). Тогда существует невырожденная при достаточно малых £ > 0 полиномиальная замена

х = 50Я(л0 (*:,£> ,

= ло = сИад{Л01,. . .,Л0п} , Я(лг)(с,£) = Е + ЯНк(£)Ь~к приводящая исходную систему к виду

£2 = гт0, (£, £)г + ££(г, £, Е) , £) = г0 , (0.2.2)

где

= Н('ЙС^£)5о1(0/(5оСОН(Дг)(^£)2,01 ||С(^+т+1)(£,£)|] < С.

Замечание

Диагональные матрицы Afc(f) и бездиагональные матрицы Нк (£) (к = 1, N) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма, а оценка £)|| ^ С проверяется прямым

вычислением.

Аналог теоремы 1.2 имеет место для слабо нелинейной системы ОДУ с полиномиальной матрицей. Это показано в следующей теореме.

Теорема 2.2 Если в условиях теоремы 2.1 спектр

вспомогательной матрицы tmA(m+i)(£,£) (A(?n+1)(t,е) = ^q1"1"1 (e)t-fc) удовлетворяет неравенствам

ReXj (t, e) < -0q <0 (oq > 0 , j = l~n, t > t0 > 1) и для функции f(pc, t) имеет место оценка

||/(х,0||<ОД1+« (С,а> 0, ||х||</г, R0<R, t>t0>l), то при выполнении условия А тривиальное решение сингулярно возмущенной задачи (0.2.1) при всех достаточно малых £ (0 < s < £0) асимптотически устойчиво.

В следующей теореме построена квазирегулярная асимптотика решения указанной линейной сингулярно возмущенной задачи Коши.

Теорема 2.3 Если для линейной сингулярно возмущенной задачи Коши ex = tmA(t)x + h(t), x(t0,£)=x0 (x,f 6 Ш1, т > 0), (0.2.3) где матричный ряд A(t) = JIq Akt~k и векторный ряд h{t)=Y^hkt~k сходятся абсолютно и равномерно по некоторой норме при достаточно

больших t > t0 > 1 и спектр (Я0у }" матрицы А0 удовлетворяет неравенствам

<7jk = A0j — Аок Ф 0, ReA0j- < —а0 <0 (/' Ф к, j, к = 1 ,п), то асимптотика

решения сингулярно возмущенной задачи Коши (0.2.3) представима в квазирегулярной форме

х(£,е) = 50ехр (^¡^пЛ^^е^го + чу^С^е) + 0(ем+1).

где частичная сумма е) = Хо ^к (*0£к асимптотического

представления частного решения системы (0.2.3).

Замечание

Матричные функции е) и определяются однозначно

методами теоремы 2.1.

В третьей главе предложен метод исследования устойчивости класса сингулярно возмущенных систем, матрица которых может быть представлена в виде суммы нормальных (в частности, нелинейных) матриц.

Данный метод, являющийся обобщением метода унитарных преобразований, позволяет с новой точки зрения исследовать устойчивость решений в случае нестабильного спектра предельного оператора, включая и критические случая (когда спектр касается мнимой оси). Это позволило получить точные оценки норм решений рассматриваемых систем.

Предложенный метод позволил также сформулировать условия для возникновения нового типа пограничного слоя — «радикального» погранслоя, а также счетного числа дополнительных пограничных слоев.

В третьей главе, следующий результат является основным.

Теорема 3.1 Если для сингулярно возмущенной неавтономной задачи Коши

ех = АЮх, л:(0,е) = х0 (хЕШп, £>0) (0.3.1)

с непрерывной, ограниченной и нормальной (при £ > 0) матрицей Л(£) в

случае, когда её спектр (Ял(01 удовлетворяет неравенствам

ReXAj{t) < (p(t), a(t) = fj (p(s)ds < 0 (J = 1 ,n, t > 0), то для нормы решения задачи (0.3.1) имеет оценка \\x(t, £)|| < ||я:0|| expiait)/е) (или точное равенство

||x(t,£)|| = \\х0\\ expiait)/е) при ReAAj(t) = (pit)). Это отражает наличие в решении экспоненциального пограничного слоя в окрестности точки t = 0. Полученные оценки гарантируют устойчивость тривиального решения сингулярно возмущенной задачи (0.3.1) при a(t) < 0 (t > 0) или асимптотическую устойчивость при a(t) —оо (t -> +оо).

Замечание

Условие a(t) = (p(s)ds < 0 позволяет сделать вывод о возможности появления счетного числа пограничных слоев в точках tk, где a(tk) = 0.

Обобщение классической теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению дается в теореме 3.2.

Теорема 3.2 Если для сингулярно возмущенной слабо нелинейной неавтономной задачи вида

sx = A(t, е)х + £f(x, t) , х(0, s) = х0 (0.3.2)

с непрерывной, ограниченной и нормальной матрицей A(t, г) (при (t,s) 6

{t > 0} X (0, £g], £0 > 0 — достаточно мало) её спектр |ÀAj (t, £)|

удовлетворяет неравенствам

ReÀAj (t, s) < —<70 + £(p(t) , a(t) = J^ (p (s)ds < 0

((T0 > 0 , j = l~n , t > 0 ) и для функции f{x, t) справедлива оценка

\\fix,t)\\<C\\x\\1+a {С,а> 0, М<Я, R0<R, t > 0) то при выполнении условия А тривиальное решение задачи (0.3.2) при всех достаточно малых £ (0 < £ < £0) асимптотически устойчиво.

Другие проблемы возникают при изучении сингулярно возмущенных задач, матрица которых является нелинейной нормальной матрицей или суммой нелинейных нормальных матриц.

Теорема 3.3 Если для сингулярно возмущённой задачи

ех = А(х, Ь)х, дг(0, е) = л:0 (0.3.3)

с непрерывной, ограниченной и нормальной в области П = {||я;|| < Я, £ > 0}

матрицей А(х, £) ее спектр (х, £)| удовлетворяет неравенствам

ЯеХА) {х, 0 < —С||х||^ (С, /3> 0, ; = 1~п~, I > 0), и задача (0.3.3) разрешима на полуоси при Ь > 0 для всех достаточно малых 11*01| < 8, то для евклидовой нормы решения при /? > 0 справедлива оценка

и при ЯеЛА (х, С) = —С||л:||^ имеем точное равенство

а при (3 = 0 справедлива

||*(£,£)|| < ||*оНехр ^0 (С->+«),

или имеем точное равенство £)|| = НхоНехр

при ЯеА] (х, Ь) = — С0 , гарантирующие при всех достаточно малых £ (0 < £ < £0) асимптотическую устойчивость решения и наличие экспоненциального погранслоя (при р = 0), или так называемого «радикального» погранслоя (при /? > 0) в окрестности точки Ь = 0.

Глава I

Асимптотический анализ сингулярно возмущённых начальных задач на полуоси для линейных и слабо нелинейных неавтономных систем ОДУ

с периодической матрицей

1.1 Введение

Анализ сингулярно возмущённых начальных задач на полуоси для линейных систем ОДУ с периодической матрицей вида

£± = А{г,£)х +к{г,Е) , я:(0, е) = лг0 (1-1.1)

или аналогичных слабо нелинейных систем вида

ах = А{Ь,е)х + г[(х,г) , х(0,£)=л:о 0-1-2)

(х,/£Еп, /(0,0 = 0, С>£0) является нетривиальной задачей.

В отличие от [9-11,36-39] предложен асимптотический метод исследования поведения решения указанных систем (1.1.1) и (1.1.2) на всей полуоси с описанием структуры экспоненциального пограничного слоя в окрестности точки £ = 0.

В работе приведены достаточные условия асимптотической устойчивости (и устойчивости) тривиального решения указанных сингулярно возмущённых линейных и слабо нелинейных задач с Г-периодической матрицей, что является развитием или уточнением известных ранее результатов.

Для слабо нелинейных сингулярно возмущённых неавтономных систем указанного класса доказанные в диссертации теоремы можно считать обобщением известной теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближеннию и метода расщепления [30] на более широкий класс сингулярно возмущённых неавтономных систем.

Так как материал диссертации посвящены изучению сингулярно возмущенных задач на полуоси, то желательно привести основные определения теории устойчивости.

Определение Решение х = (pit) начальной задачи

х = fix, О , x(t0) = х0 о,/ 6 Е") , где функция f{x, t) G С (ft) , ft = {||x|| < a , t > t0} называется устойчивым по Ляпунову, если для любого £ > 0 существует 8(г) > 0 такое, что

1) все решения х = x(t) и х = (pit), удовлетворяющие условию

iix(t0)-p(t0)ii <ад,

определены при t > tQ и при этом ||x(t) — <p(t)ll < £ (t > £0).

2) при дополнительном условии Нт^+00 ||<p(t) — ^(011 = 0 решение х = (pit) называется асимптотически устойчивым.

1.2 Анализ сингулярно возмущенной задачи Коши для систем при наличии предельного оператора простой структуры

Предложен конструктивный алгоритм приведения класса сингулярно возмущённых начальных задач для неавтономных систем ОДУ с Г-периодической матрицей к более простым системам с почти диагональной Г-периодической матрицей, что существенно облегчает анализ поведения решения таких систем на полуоси, позволяя сформулировать и доказать достаточно конструктивные условия асимптотической устойчивости (или устойчивости) их решения.

Перед изложением основных результатов первой главы сформулируем вспомогательное утверждение.

Лемма 1.1 Для квадрата евклидовой нормы решения системы

x = Ait)x (1.1.3)

справедливо дифференциальное равенство = 2Ие(х*А(1)х).

Доказательство леммы 1.1

С учётом соотношения для сопряжённой к (1.1.3) системы х* = х*А*(£) и равенства ||х||2 = х*х получим дифференциальное уравнение для квадрата нормы системы (1.1.3)

й||х||2 й(х*х) йх* * их „ , * .

= ——- = -—х + х — = х А (Ь)х + х А(Ь)х =

л аь <и си к у 4 у

= (х*А(р)х)* + (х*А(г)х) = 2 Ие(х*А(р)хХ что и завершает доказательство леммы 1.1.

Теорема 1.2 Пусть для сингулярно возмущенной задачи Коши

ех = А(1;,£)х +£f(x>t) , д:(0, £~) = х0 (1.1.4)

(ж,/ 6 Еп , /(ОД) = 0, е > 0), где матричный ряд А{Ь, е) = 2.оАк(р')ек из Г-периодических достаточно гладких матричных функций Лд.(£) сходится абсолютно и равномерно по

некоторой норме при достаточно малых £ > 0 и спектр {Л0;- (О)"

Г-периодической матрицы А0 (£) простой структуры удовлетворяет неравенствам

а]к (О = Хщ (0 - Лок (0*0, | Д0; (01 * 0 (/' к, ],к = 1~п, t>0) Тогда существует невырожденная при достаточно малых £ > 0 Г-периодическая замена

х = Бй{Ь)Щю{1,£)г, (1.1.5)

Бо^ШоЮБоаО = Л0(О = (Иад{Л01(О.....А0п(О},

приводящая систему (1.1.4) к эквивалентной системе

19

ег = (}(р,£)г + £д О, *:,£), г(0,£)=г0, (1.1.6)

где (}{Ь,е) = А{Ю^,£) + £м+1С(л,+1) (*:,£) , Л(Ю(С,е) = Ео д(г,г,е) = Я^ (*;,£) 50-1 СО/(50(ОЯ(Ю£) , ||С(Лм-1)(Х ^ С . Замечание

Диагональные Ак СО и бездиагональные матрицы ЯкСО (^ = 1, /V) однозначно определяются с помощью итерационного алгоритма изложенного ниже, а оценка £)|| < С проверяется прямым вычислением.

Доказательство теоремы 1.2.

После невырожденной Г-периодической замены х = 50 (ОУ система (1.1.4) принимает вид

£у = В(Ь£)у + £к(у,(,£), у(0,£)=у0, В(1, £) = А0 СО + ^ Вк &)£>к, а невырожденное при достаточно малых £ > 0 Г-периодическое преобразование у = £)г приводит к нужному результату (1.1.6), если

матрицы В(1:,£), и ()(£,£) удовлетворяют дифференциальному

матричному уровнению

£Я(Л0 (*:,£) = В(£,£)Я(Ю(£,£) - Я(Ю (£, £)(?(£,£). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях б, получим однотипные по существу алгебраические матричные уравнения вида

Л0 (0я* СО - нк соло (с) = л* со - Рк СО С* = Ш,

где

р1СО = в1СО,

Рк СО = вксо + ф СОЯк-у СО - нкч СОЛ СО) + я^со (к =

что даёт возможность для однозначного определения всех диагональных Л/с (О и бездиагональных матриц Нк СО с помощью простого алгоритма

Л* СО = Рк СО- СО = (0}, Рк СО = со},

20

hijk (О = -PiJk (t)(Ttj "HO , Ck = 1, N), a оценка ||G(W+1)(t, £)|| < С проверяется прямым вычислением. При этом структура пограничного слоя в окрестности точка t = 0 определяется матрицей

Ф0(*:,г) = ехрЩ--1 /дЛ(ю (s,s)ds).

Теорема 1.3 Если в условиях теоремы 1.2 спектр {A;(t, £)}" вспомогательной матрицы

Л(л)(£,£) = £0 Ак (t)Ek = diag^it.E),. . .,An(t,£)} удовлетворяет неравенствам

ReÀj (t, s) < -ст0 + s(p{t) , a(t) = /J <p(5)ds <0 (1 ■ 1.7)

(ffo > 0 , 7 = I~n, t > 0) и для векторной функции f(pc, t) имеет место оценка

||/0а)11<С|И|1+а (С,а > 0, ||*|| < Л, R0<R, t> 0) то при выполнении условия А тривиальное решение сингулярно возмущённой задачи (1.1.6) и эквивалентной ей задачи (1.1.4) при всех достаточно малых s (0 < е < £0) асимптотически устойчиво.

Доказательство теоремы 1.3.

Так как выполнено условие А, то задача (1.1.4) разрешима на полуоси t > 0 для достаточно малых отклонений ||лг011 < V , а значит таким же свойством обладает и задача (1.1.6), причем её решение z(t, £) удовлетворяет неравенству1 ||z(t, £)|| < R0 V(t,£) G {t > 0} х (0,£0], £0 > 0 — достаточно мало, R0 — постоянная, не зависящая от е G (0, £0]. С учетом леммы 1.1

'Здесь и всюду далее, если это не вызывает недоразумений, ограничивающую константу будем обозначать одной и той же буквой Я0.

21

запишем дифференциальное равенство для квадрата евклидовой нормы решения сингулярно возмущённой задачи (1.1.6)

< 2(Дф*Л(л0(С,£)г) + £м+1Яе(2*С{ы+1)(Х, Ф) + £Пе{г*д{г,г, £))) <

< 2((—сг0 + £<р(0) + Сг£"+1)||г||2 + ЕС2|И|2+«) <

< 2(С—сг0 + £<К0) + сгем+1 + £С2ВД1М12 < 2(-а1 + £(р(0)1И2

(О < О! < сг0 , 0 < £ < £х < £0) /

что приводит к оценке нормы решения сингулярно возмущённой задачи (1.1.6)

< Ы ехрС-а^/Е + а(0) О (С ^ +оо), откуда следует асимптотическая устойчивость тривиального решения задачи (1.1.6) и эквивалентной ей задачи (1.1.4).

Теорема 1.4. Пусть сингулярно возмущённая линейная задача Коши

ех = А (С, Е)Х, л:(0, £) = х0 , (1.1.8)

где матричный ряд А(Ь, е) = Ак(Ь)£к и векторный ряд /(£,£) = А (Х)Ек из Г-периодических достаточно гладких функции Ак (£) и /к (О сходятся абсолютно и равномерно по некоторой норме при достаточно малых

£> 0 и спектр {Лоу СО}" матрицы Л0(О удовлетворяет условиям

а]к (0 = Л0;- (О - Аок (1)Ф О, \Л0]- (0| Ф 0 , (£, Е) <-а0 < О

),к=Хп, £>0),

тогда асимптотика решения задачи (1.1.8) может быть представлена в квазирегулярной форме

x(t,E) = S0Ct)Hw(t,E) exp (¿fi Am(s,E)ds)z0 + wm(t,s) + 0(en+1),

(1.1.9)

где матричные функции A(aq(î, е) и s) определяются однозначно

методами теоремы 1.2.

Доказательство теоремы 1.4

После замены х = у + w^) (t, s) (где w^ (t, г) = (t) £k — аналог

частного решения системы (1.1.8)) с учетом невырожденности матрицы Л0(£) система (1.1.8) преобразуется к почти однородной сингулярно возмущённой начальной задаче вида

£у = A(t, е)у + sN+1b(t, £) , у(0, s) = у0. Далее с помощью невырожденной при достаточно малых £ > 0 замены у — S0(t)H(w)(t,£)z получим (методами теоремы 1.2) систему с почти диагональной матрицей

£z = Q(t,£)z + £N+1g(t,£), z(0,£)=z0 , (1.1.10)

где Q(t, é) = Л(iV)(t, е) + £N+1G{N+V){t, £) , Am(t, £) = Zg Ак (t)sk. Представим решение задачи (1.1.10) в виде

z(t,£) = zm{t,£) + EN+1p(t,E) , (1.1.11)

где £zm = Л(ЛГ) (t, e)zw , z(A0 (t, e) = z0 (s) exp fi Л(Л0 (s, £)ds) =

= го(£)ехр(^^Л0(5)^)^а£)->0 (t oo) , Q(t, e) = Yo Qk (t)£k

и докажем ограниченность векторной функции p(t,£), для которой справедлива сингулярно возмущённая задача Коши

Ер = Q(t,£)p + h(t,E) , р(0,е) = р0. (1.1.12)

С учетом леммы 1.1 запишем дифференциальное неравенство для квадрата евклидовой нормы решения сингулярно возмущённой задачи (1.1.12)

= 2йе(р*Л0(Ор) + 2£/ге(р*%+1)(с,£)р) + 2Яе(р*Л(г,£)) <

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Воркне Асмамау Зегейе, 2015 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Барашков A.C. Регулярное разложение решений сингулярно возмущенных уравнений //Изв. Вуз. Математика, 1984, №9, с.6-9.

2. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.,ИЛ., 1954.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М., Наука, 1972, 232с.

4. Белолипецкий A.A., Тер-Крикоров А. М. Об одной сингулярно возмущенной смешанной задаче для линейного параболического уравнения с нелинейными краевыми условиями // Вычисл. матем. и матем физ., 2014, том 54, № 1, с. 80-88.

5. Бободжанов A.A., Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование задачи Коши со счетно кратным спектром // Матем. заметки, 1984, т. 35, вып.1, с.63-82.

6. Бобочко В. Н., Ломов С.А. Внутренний погранслой в линейной задаче // Труды МЭИ, 1980, вып. 499, с.57-60.

7. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Наука, 1974, 504с.

8. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнени. М., Мир, 1968, 464с.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярных возмущений уравнений. М., Наука, 1973, 272с.

10. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М., Изд-во МГУ, 1978, 108с.

П.Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М., Высшая школа, 1990, 208с.

12. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук, 1957, т. 12, №5, с. 3-122.

13. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1974, 336с.

14. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М., Наука, 1973, 304с.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., Наука, 1988, 548с.

16. Дезин А.А О некоторых системах уравнений, содержащих малый параметр //матем. сборник, 1980, т. 111,№3,с. 323-333.

17. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., Наука, Изд-во МГУ, 1998, 480с.

18. Елисеев А. Г. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных уравнений в случае кратного спектра предельного оператора //Изв. АН СССР, 1984, т. 48, №5, с.999-1048, №6, с.1171-1196.

19. Елисеев А.Г., Ломов С.А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора // Матем. сборник, 1986, т. 131, №4, с. 544-557.

20. Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущенийв случае негладкого спектра предельного оператора // матем. сборник, 1995, т. 186, №7,с. 25-40.

21. Заборский A.B., Нестеров A.B. Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущённого дифференциально-операторного уравнения в критическом случае // Матем. моделирование, 2014, том 26, номер 4, с. 65-79.

22. Ильин A.M. Согласование асмптотических разложений решений краевых задач. М., Наука, 1989, 336с.

23. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976.

24. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М„ Наука, 1976,576с.

25. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., Мир, 1972, 740с.

26. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., ИЛ., 1958, 476с.

27. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М., Мир, 1972, 276с.

28. Коняев Ю. А. Последовательный анализ периодических систем с малым параметром при производной при наличии чисто мнимых (в том числе и тождественно кратных) точек спектра предельного оператора // Дифференц. уравнения, 1985, т. 21., №6, с. 1085-1089.

29. Коняев Ю. А., Федоров Ю. С. Асимптотический анализ некоторых классов сингулярно возмущенных задач на полуоси // Матем. заметки, 1997, т. 62, вып. 1, с. 111-1IV.

30. Коняев Ю. А. Анализ сингулярно возмущенных задач методом расщепления. // Матем. моделирование, 2001, №12, с.55-57.

31. Коняев Ю. А. Метод унитарных преобразований в теории устойчивости // Изв. Вуз. Математика, 2002, №2, с.41-45.

32. Коняев Ю. А. Асимптотические и аналитические методы решения некоторых классов прикладных модельных задач (Монография). М., Изд-во РУДН, 2005, 160с.

33. Коняев Ю. А. О начальных и многоточенных краевых задачах для неавтономных систем с полиномиальной матрицей и их приложениях // Современная математика. Фундаментальные направления, 2010, т. 35, с.78 - 85

34. Коняев Ю. А., Безяев В. И., Филиппова О. Н. Асимптотический анализ регулярно и сингулярно возмущенных задач и их приложения в биологии //

Современная математика. Фундаментальные направления, 2010, т. 37, с.16-28.

35. Ланкастер П. Теория матриц. М., Наука, 1978, 280с.

36. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., Наука, 1981,400с.

37. Ломов С. А., Бободжанов А. А. Асимптотическое интегрирование задач с кратными точками спектра // Дифференц. уравнения, 1984, т.20, №11, с.2003-2006.

38. Ломов С. А., Елисеев А. Г. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач // Успехи матем. наук, 1988, т. 43, вып. 3(261), с. 3-51.

39. Ломов С. А., Ломов И. С. Основы математической теории пограничного слоя. М., Изв-во МГУ, 2011, 456с.

40. Меркурьев И.В., Подалков В.В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов. М., :Физматлит, 2009.

41. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М., Наука, 1981,400с.

42. Найфе А. Методы возмущений. М., Мир, 1976, 456с.

43. Олейник О. А. О системах уравнений теории пограничного слоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1963, т. 3, №3, с. 489-507.

44. Олейник О. А., Самохин В. Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М., Наука, Физматлит, 1997, 512с.

45. Павлюк Т.В., Нестеров А. В. Об асимптотике решения сингулярно возмущенной гиперболической системы уравнений с несколькими пространственными переменными в критическом случае // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2014, том 54, № 3, с. 450^162.

46. Пугачев В. С. Об асимптотических представлениях интегралов систем линейных дифференциальных уравнений, содержащих пераметр // Изв. АН

СССР. Серия математическая, 1941, т. 5, №1, с. 75-84.

76

47. Раппопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев, Изв-воЛЯ УССР, 1964, 292с.

48. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М., Наука, 1971, 288с.

49. Сафонов В. Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1977, т. 235, №6, с.1274-1276.

50. Сафонов В. Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Изв. АН СССР, Серия Математика, 1979, т. 43, №3, с. 628-653.

51. Сафонов В. Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных задач в критическом случае // Изв. Вуз. Математика, 1994, №5, с.41-48.

52. Территин X. Л. Асимптотические разложения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих пераметр // Матем. Сб., 1957, т. 1. №2, с. 29-59.

53. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983, 352с.

54. Филатов А. Н. О некоторых задачах теории сингулярно возмущенных уравнений //Дифференц уравнения, 1985, т. 21, №10, с. 1726-1730.

55. Шкиль Н. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем ОДУ. Киев, Выща школа, 1989, 288с.

56. Шкиль Н. И. Асимптотические решение системы линейных дифференциальных уравнений в случае кратных корней характеристического уравнения // Изв. Вуз. Математика, 1964, №2, с. 176185.

57. Шкиль Н. И. Асимптотические методы в дифференциальных уравнениях. Киев, Наукова Думка, 1971.

58. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., Наука, 1969, 742с.

59. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1989, 248с.

60. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965,464с.

61.Коняев Ю.А., Федоров Ю.С., Воркне А.З. О критериях устойчивости решения сингулярно возмущенных задач для неавтономных систем ОДУ с периодической матрицей при наличии кратного спектра // Вестник МЭИ, Москва, 2012, № 6, с. 42-46.

62. Коняев Ю.А., Воркне А.З. Об оценке нормы решения сингулярно возмущённых квазилинейных задач на полуоси для систем ОДУ с нелинейной нормальной матрицей // Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика». Москва, 2013, №4, с.3-8.

63. Воркне А. 3. Исследование методом расщепления сингулярно возмущенных начальных задач для неавтономных систем ОДУ II Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика». Москва, 2012, №4, с.25-30.

64. Воркне А. 3. Алгебраический метод анализа сингулярно возмущенных периодических неоднородных систем на полуоси. Москва, Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем // Тезисы док. Всероссийской конференции с международным участием, РУДН, Апрель 2012, с.248-249.

65. Воркне А. 3. Анализ устойчивости сингулярно возмущенных неавтономных квазилинейных систем ОДУ с Г-периодической матрицей. Москва, Интеграционные процессы в естественнонаучном и математическом образовании // Сб. научных трудов участников международной конференции, РУДН, Февраль 2013, с.354-358.