Адиабатическое приближение и квазиклассические асимптотики для математических моделей наноструктур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Тудоровский, Тимур Яковлевич

• Тудоровский, Тимур Яковлевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тудоровский, Тимур Яковлевич

Введение

Общая характеристика работы.

Основные результаты.

Динамика носителя заряда и спина в квантовых трубках.

Разрушение локального описания в квазиодномерных волноводах ф Обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена.

Благодарности.

1 Эффективная динамика носителя заряда в нанотрубках

1.1 Эффективные уравнения и гамильтонианы на подзонах размерного квантования.

1.2 Эффекты, связанные со спином.

2 Адиабатическое приближение и его разрушение в квазиодномерных волноводах переменной толщины 36 2.1 Прямой волновод с "неровными" стенками.

2.1.1 Адиабатическое приближение.

2.1.2 Квазиклассические асимптотики.

2.1.3 Сверхвозбужденные продольные состояния. 2.2 Торический волновод с "неровными" стенками в сильном магнитном поле

2.2.1 Адиабатическое приближение.

2.2.2 Квазиклассические асимптотики.

2.2.3 Сверхвозбужденные продольные состояния.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адиабатическое приближение и квазиклассические асимптотики для математических моделей наноструктур»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Прогресс в нанотехнологии позволил создавать тонкие протяженные квазиодномерные и квазидвумерные структуры сложной геометрии - панотрубки и папопленки. Среди наноструктур наибольший интерес в настоящее время представляют углеродные нанотрубки [23, 31, 35, 9, 49]. Значительный технологический прогресс также достигнут в производстве наноструктур из полупроводниковых материалов [30].

Характерные поперечные размеры наноструктур - диаметр трубки и толщина пленки - d ~ 1 -г- Юнм (10-т-100 А) - сопоставимы с дебройлевской длиной волны электрона Л = 2к/kp ~ 1 нм с энергией порядка энергии Ферми £р ~ 1 эВ. Это обстоятельство приводит к эффекту "размерного квантования" в низкоразмерных системах: область локализации волновой функции по поперечным направлениям ~ А и энергия, отвечающая движению вдоль этих направлений квантуется. Характерный продольный размер L наноструктур обычно существенно больше d (например, L ~ 100 нм, см. [30]).

Слабость электрон-фононного взаимодействия в наноструктурах приводит к упругому баллистическому транспорту электрона на большие расстояния [31]. Таким образом, наноструктуры можно рассматривать в качестве квантовых волноводов или квантовых проводов, которые предполагается использовать при создании нового поколения наноэлектроники. Специфика квантовых волноводов заключается в том, что электрон обладает спином. Спиновая степень свободы, по-видимому, может существенно влиять на динамику электрона. В свою очередь, можно воздействовать на спин посредством геометрии структуры и внешнего магнитного поля. Последнее обстоятельство предполагается использовать в спинтронике - будущей основе приборов для квантовых вычислений. Здесь спиновая степень свободы является носителем информации [56].

Математические модели низкоразмерных структур. В рассматриваемой нами модели (приближение эффективной массы) указанные структуры представляют собой "сплошные" области типа тонкого изогнутого цилиндра с "закрученной границей" и тонкой искривленной пленки. Вне этих областей волновая функция Ф(г, t) квантовой частицы "экспоненциально" быстро убывает (модель "мягких стенок"), либо равна нулю (модель "жестких стенок"). Как и в [17, 55], мы полагаем, что квантовые состояния электрона Ф(г, t) (стационарные и нестационарные) в трехмерных наноструктурах, помещенных во внешнее электромагнитное поле, описывается нестационарным уравнением Шредингера г'ЛФ( = Ш (1) с гамильтонианом Рашбы [45]:

- Р2 eh

Н = 1Ы+ Uint(r) + Uext(r't] ~ Н) + Hs°- (2)

Ч

Здесь г - радиус-вектор точки в трехмерном пространстве, Р = — ihSJ — (е/с) A(r, t),h- постоянная Планка, е - заряд электрона, т - эффективная масса квазичастицы, i>int(r) - потенциал конфайнмента, ограничивающий движение частицы областью, занятой наноструктурой, (yext, А) - потенциалы внешних полей, Н(£) = rot А(г, t) - однородное магнитное поле, <т = {о\, сгг, <тз} - матрицы Паули, so = a(<r,[Vt;int,P])

- оператор взаимодействия спина электрона с электрическим полем кристалла. Постоянная а зависит от типа рассматриваемого кристалла [20]. При fjnt(r) = 0 и условии равенства волновой функции нулю на границах трубок и пленок, получаются модели "пустых структур". Жирными буквами обозначены векторы и векторные операторы с компонентами в декартовой системе координат.

В Главах 1,3 рассматривается случай достаточно слабого магнитного поля, когда ларморова частота и>я = е|Н|/(гас) ~ h/(mdL) и магнитная длина 1ц ~ y/dL, в Главе 2 — случай сильного магнитного поля иц ~ /l/(T7icZ2), Ih ~ d.

Мы ограничимся рассмотрением квантовой частицы (электрона) в трубках и пленках с медленно (адиабатически) меняющимися геометрическими характеристиками. Их малые сегменты с продольными масштабами порядка толщины d с большой точностью можно считать прямым цилиндром и ровным слоем. Разномасштабность в тонких протяженных наноструктурах удобно характеризовать малым "адиабатическим" параметром ц = d/L < 1.

Из физических соображения ясно, что эффективная динамика электрона в таких структурах должна быть одно- и двумерной, по крайней мере для нижних подзон размерного (поперечного) квантования, и определяться уравнениями с эффективными гамильтонианами Lv на оси трубки или на поверхности пленки для волновой функцией ф11-. ihift = Ьифи. (3)

Здесь v - номер подзоны размерного квантования. Для перехода от (1) к (3) мы используем подход, предложенный в [44]. Общая схема подхода приведена в Главе 4. Использованная процедура является обобщением адиабатического метода, восходящего к работе Борна и Оппенгеймера [б].

В случае, когда внутри волновода существует устойчивая классическая траектория, определяемая из решения гамильтоновых уравнений движения с гамильтонианом р2 г) = ^ + 4nt(г) + t>ext(r, 0. Р = Р - (е/с)А(г, t), с помощью указанного подхода можно описать не только "возбужденные", но и "сверхвозбужденные" состояния. Для таких состояний период поперечных ос-цилляций имеет тот же порядок величины, что и время пролета вдоль всего волновода. Однако "мгновенная поперечная энергия" таких состояний включает существенно нелокальные характеристики классической траектории, совпадающей с осью волновода (показатель Флоке). Переход от локального описания к нелокальному для состояний с высокой продольной энергией исследованы в Главе 2.

Как было отмечено, различные характерные размеры и наличие свободных носителей дают возможность рассматривать наноструктуры в качестве квантовых волноводов или квантовых систем с ограничениями [12, 24, 11, 16, 32, 13, 42, 1, 2, 43]. Близкие задачи, связанные с волноводами, возникают в электродинамике, акустике, теории упругости, физике океана и т.д. Исключение ограничений, приводящее к понижению размерности задачи обычно проводится с помощью адиабатического приближения. Оно эквивалентно асимптотическому разделению колебаний на продольные и поперечные моды. Такое разделение может быть проведено с любой степенью точности по параметру /л. В результате удается "спроектировать" динамику частицы на ось трубки (поверхность пленки), т.е. вывести эффективные уравнения типа (3). Для уравнения Гельмгольца такое разделение было проделано, например, в [57], где выписано уравнение типа (3) для продольной моды, и показано, что подбирая кривизну волновода можно создать резонаторы с одномодовыми связанными состояниями. В кван-товомеханических задачах подобные уравнения были выведены, например, в работах [24, 11, 17, 55, 46, 32, 42, 43]. Заметим, что задачи о волноводах близки задачам физики молекул, при этом роль потенциала конфайнмента играет ку-лоновский потенциал с "замороженными" координатами тяжелых ядер. В математической литературе уравнения, возникающие в разномасштабных задачах, называют уравнениями с операторнозначным символом [58].

Волновые функции продольных состояний гри могут быть 1) делокализо-ваны и существенно меняться на масштабах порядка L, 2) делокализованы и быстро осциллировать - т.е. меняться на масштабах Ац L, 3) асимптотически локализованы на малых участка с масштабами Ац L. Скорость изменения волновой функции мы характеризуем "квазиклассическим" параметром h = Ац/L, где

Ац = h 1

- характерная длина волны для фи. Окончательные формулы для Ф существенно зависят от соотношений между Лц, d и L, что эквивалентно соотношению между параметрами цн h. Близкая классификация была проведена в [50].

В этой работе мы приводим эффективные уравнения "на подзонах размерного квантования" (3), аккуратно выведенные и пригодные для описания всех перечисленных продольных состояний. Класс этих состояний оказывается существенно шире, чем в работах [24,11,17, 55, 32, 42, 43]. Из полученных уравнений следуют появление связанных состояний и ловушек за счет переменной толщины трубки, влияние спина на классическую одномерную динамику в трубках в присутствии магнитного поля, возможность переворота спина в искривленных трубках и т.д [41, 64].

Специфической особенностью рассматриваемых моделей наноструктур является наличие спина у электрона. Поэтому спектр наноструктур описывается уравнением Шредингера с матричным гамильтонианом (2). Подходы к изучению таких уравнений близки использованным в преобразовании Фолди-Ваутхайзена [19] и подстановке Пайерлса. Адиабатическое приближение для весьма общих (матричных) гамильтонианов как реализация квантового осреднения изучалась в работах [5, 50, 28]. В диссертации используется весьма простая операторная схема адиабатического приближения, предложенная в [44]. В качестве иллюстрации эффективности предложенной схемы рассматривается обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена, справедливое как для нерелятивистских, так и для релятивистских энергий электрона. Автор надеется, что использование развитого подхода в матричных задачах нанофизики, таких как андреевское отражение электронов от границы нанотрубка-сверхпроводник, окажется полезным.

Целью работы является редукция исходного трехмерного нестационарного уравнения Шредингера (1) с гамильтонианом Рашбы (2) на ось нанотрубки и поверхность нанопленки и дальнейший асимптотический анализ полученных эффективных уравнений. Рассматриваются особенности динамики, характерные для различных продольных энергий. Существенное внимание уделяется спиновым эффектам.

Общая методика исследования основана на сочетании адиабатического и квазиклассического приближений для уравнения Шредингера с гамильтонианом Рашбы.

Научная новизна определяется следующими основными результатами:

• Получены эффективные гамильтонианы продольного движения носителя заряда в низкоразмерных структурах, использована эффективная операторная схема адиабатического приближения, позволившая провести редукцию размерности для широкого диапазона состояний;

• с помощью квазиклассического приближения построены асимптотические решения эффективных продольных уравнений с учетом спина, выведены классические уравнения, описывающие спиновую динамику, показано, что для слабо возбужденных состояний спин может существенно влиять на классическую динамику;

• изучены границы применимости адиабатического приближения и причины его разрушения, для специальных примеров построены асимптотические решения для "сверхвозбужденных" состояний в области энергий, при которых адиабатическое приближение становится неприменимым; проведена аналогия между т.н. "ускорением Ферми" и причиной разрушения адиабатического приближения;

• на основе "операторного разделения переменных" получено "обобщенное преобразование" Фолди-Ваутхайзена для уравнения Дирака.

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные уравнения продольного движения носителя заряда в наноструктурах, по-видимому, могут быть использованы для объяснения некоторых экспериментов. Автор надеется, что рассчитанные эффекты, связанные с динамикой спина в нанотрубках, действительно возникают в определенных ситуациях.

Приведенная в Главе 4 схема адиабатического приближения может быть применена во многих физических задачах для упрощения конкретных вычислений. Построенное обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена иллюстрирует применение указанной схемы и носит академический интерес.

Личное участие автора. Результаты диссертации, касающиеся движения заряда в низкоразмерных структурах получены совместно с научным руководителем профессором Доброхотовым, профессором Брюнингом (Гумбольдтовский университет, Берлин), профессором Беловым (МИЭМ). Вклад автора заключается в проведении конкретных вычислений. Квазиклассическая динамика спина в нанотрубках изучена автором самостоятельно.

Результаты, выносимые на защиту :

1. Получены эффективные продольные гамильтонианы в искривленных закрученных нанотрубках, справедливые для широкого диапазона продольных состояний;

2. Построены квазиклассические асимптотики для уравнений с эффективными продольными гамильтонианами для различных продольных энергий;

3. Изучена динамика спина для различных продольных энергий и различных возможных значений постоянной Рашбы;

4. Исследован эффект спин-флипа в искривленной трубке в постоянном магнитном поле специальной напряженности;

5. С помощью использованной общей схемы адиабатического приближения обобщено преобразование Фолди-Ваутхайзена.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались на

1. Международных семинарах "Дни Дифракции" в 2003, 2004 и 2005 годах;

2. Международном семинаре "Spectral problems for Schrodinger-type operators И" в Берлине (Германия) в 2003 году;

3. семинаре профессора Альбеверио в Институте прикладной математики Боннского Университета в 2004 году;

4. Международной школе-семинаре "Mathematical Methods in Quantum Mechanics", Брессаноне (Италия), 2005;

5. Международном семинаре "Mathematical Models of Nanostructures: Spectral Problems and Scattering Properties" в Берлине (Германия) в 2005 году;

6. семинаре Лаборатории нейтронной физики ИТЭФ в 2005 году.

Основное содержание работы отражено в 6 публикациях.

1. Белов, В. В., Доброхотов С. Ю., Синицын С. О., Тудоровский Т. Я., Квазиклассическое приближение и канонический оператор Маслова для нерелятивистских уравнений квантовой механики в нанотрубках, ДАН, v. 393, N4, 2003, 460-464.

2. V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov,T.Ya. Tudorovskiy, Quantum and Classical Dynamics of an Electron in Thin Curved Tubes with Spin and External Electromagnetic Fields Taken into Account, Russ. J. Math. Phys. 11 (2004) 109-119.

3. В. В Белов, С. Ю. Доброхотов, Т. Я. Тудоровский, Асимптотические решения нерелятивистских уравнений квантовой механики в искривленных нанотрубках, Теор. Мат. Физ. 141 (2004) 267-303.

4. V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov and T.Ya. Tudorovskiy, Operator Separation Of Variables For Adidbatic Problems In Quantum And Wave Mechanics, Journ. Ind. Math, (to appear); arXiv:math-ph/0503041 vl 15 Mar 2005.

5. В. В. Белов, С. Ю. Доброхотов, Т. Я. Тудоровский, Обобщенный адиабатический принцип для описания динамики электрона в искривленных наноструктурах, УФН, т. 175, N9, (2005), 1004-1010.

6. Т.Я. Тудоровский, О влиянии спина на классическую и квантовую динамику электрона в тонких закрученных квантовых трубках, Мат. Заметки, т.78, б, (2005), 948-953.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав. Материал диссертации изложен на 88 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 65 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тудоровский, Тимур Яковлевич, 2006 год

1. V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov and T.Ya. Tudorovskiy, Operator Separation Of Variables For Adiabatic Problems 1. Quantum And Wave .Mechanics, arXiv:math-ph/0503041 vl 15 Mar 2005.

2. V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov,T.Ya. Tudorovskiy, Quantum and Classical Dynamics of an Electron in Thin Curved Tubes with Spin and External Electromagnetic Fields Taken into Account, Russ. J. Math. Phys. 11 (2004) 109-119.

3. M. V. Berry, Quantal phase factors accompanying adiabatic changes, Proc. R. Soc. Lond., A 392, 45-57, (1984).

4. Bjorken James D., Drell Sydney D., Relativistic Quantum Theory, v.l Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, (1964).

5. E.I. Blount, Bloch electrons in a magnetic field. Phys. Rev. 126, 5 (1961) 16361653.

6. M. Born and J.R. Oppenheimer, Zur quantentheorie der molekeln. Annalen der Physik 84 (1927) 457-484.

7. M. Born, K. Huang, Dynamical Theory of Crystall Lattices, Oxford, Clarendon Press, 1954.

8. J. Briining, S.Yu. Dobrokhotov and K.V. Pankrashkin, The spectral asympto-tics of the two-dimensional Schrodinger operator with a strong magnetic field. Russ. J. Math. Phys. 9 (2002) 14-49 and 400-416.

9. B. De Witt, Phys. Rev, 85, 635 (1952)

10. G.F. Dell'Antonio and L. Tenuta, Semiclassical analisys of constrained quantum systems. J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004) 5605-5624.

11. S. Yu. Dobrokhotov, A. I. Shafarevich, "Momentum" Tunneling between Tori and the Splitting of Eigenvalues of the Laplace-Beltrami Operator on Liouville Surface, Math. Phys., Analysis and Geometry, 2 (1999), 141-177.

12. M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, P.C. Eklund, Science of Fullerenes and Carbon Nanotubes, Academic Press, San Diego, (1996);

13. P. Duclos and P. Exner, Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions, Rev. Math. Phys. 7 (1995), 73-102; P. Exner, A quantum pipette. J. Phys. A: Math. Gen. 28 (1995) 5323-5330.

14. M.V. Entin and L.I. Magarill, Electrons in a twisted quantum wire. Phys. Rev. В 66 (2002) 205308.

15. M. V. Entin and L. I. Magarill, Spin-orbit interaction of electrons on a curved surface, Phys. Rev. B, 64, 085330, (2001).

16. L. Foldy and S. Wouthuysen, On the Dirac theory of spin 1/2 particles and its non-relativistic limit, Phys. Rev. 78, 29-36 (1950).

17. V. Gantmakher, Y. Levinson, Carrier Scattering in Metals and Semiconductors, North-Holland, Amsterdam, (1987).

18. A. Gordon, J.E. Avron, Phys. Rev. Lett., 85, N1, (2000).

19. James Hamilton, Aharonov-Bohm and Other Cyclic Phenomena, Springer-Verlag New York, (1997) 183 pages.

20. S. Iijima, Nature (London), 354, 56, (1991).

21. Jensen H, Koppe H, 1971 Quantum mechanics with constraints Ann. Phys. 269 77-104.

22. P. Lochak and P. Meunier, Multiphase Averaging for Classical systems. In: S.S. Antmann, J.E. Marsden and L. Sirovich (eds.), Applied Mathematical Sciences 72. Berlin etc.: Springer-Verlag (1988) xi+360pp.

23. V.P. Maslov, Mathematical Aspects of Integral Optics, Russ. J. Math. Phys. 8 (2001) 83-105 and 180-238.

24. A.I. Neishtadt, The separation of motions in systems with rapidly rotating phase. J. Appl. Math. Mech. 48 (1984) 133-139.

25. G. Panati, H. Spohn, S. Teufel, Space-Adiabatic Perturbation Theory, arXiv:math-ph/0201055 v3 24 Dec 2003

26. R.E. Peierls, Quantum Theory of Solids. Oxford: The Clarendon Press (1955) viii+229pp.

27. V.Ya. Prinz, D. Grutzmacher, A. Beyer, C. David, B. Ketterer, E. Deckardt, Nanotechnology, 12, Si (2001).

28. R. Saito, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus, Physical properties of carbon nanotubes, Imperial College Press, London, (1998).

29. P. C. Schuster, R. L. Jaffe, Quantum mechanics on manifolds embedded in Euclidean space, Ann. Phys. (San Diego) 307, 132, (2003).

30. L.I. Schiff, Quantum Mechanics. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Co., Inc. (1955) 417 pp.

31. A. J. Silenko, Foldy-Wouthuysen transformation for relativistic particles in external fields, arXiv:math-ph/0404067 vl 27 Apr 2004.

32. I. V. Stankevich, Diversity of carbon forms: Hypothesis and reality, Mol. Mat., 7, 1, (1996).

33. Д.В. Аносов, Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими решениями, Известия Акадаемии Наук СССР, Серия Математика, 24 (1960) 721-742.

34. В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, М.: Наука, (1974).

35. В. М. Бабич, В. С. Булдырев, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких воли, М.:Наука, (1972).

36. В.В. Белов, С.Ю. Доброхотов и С.О. Синицын, Асимптотические решения уравнения Шредингера в тонких трубках, Труды Института математики и механики УрО РАН 9 (2003) 1-11.

37. В. В. Белов, С. Ю. Доброхотов, Т. Я. Тудоровский, Обобщенный адиабатический принцип для описания динамики электрона в искривленных наноструктурах, УФН, т. 175, N9, (2005), 1004-1010.

38. В.В. Белов, С.Ю. Доброхотов, С.О. Синицын, Т.Я. Тудоровский, Докл. РАН 393 (2003) 460-464.

39. В. В Белов, С. Ю. Доброхотов, Т. Я. Тудоровский, Теор. Мат. Физ. 141 (2004) 267-303.

40. Л. В. Берлянд и С. Ю. Доброхотов, "Операторное разделение переменных" в задачах коротковолновых асимптотик для дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, Доклады Акад. Наук СССР 296 (1987) 80-84.

41. Ю. А. Бычков, Е. И. Рашба, Письма в ЖЭТФ, 39, 78 (1984).

42. А. И. Ведерников, А. В. Чаплик, Двумерные электроны в спирально свернутых квантовых ямах, ЖЭТФ, 117, 2, (2000), 449-451.

43. С. Ю. Доброхотов, Применение теории Маслова к двум задачам для уравнений с операторнозначными сиволами, Успехи Мат. Наук 39 (1984) 125.

44. В. В. Додонов, В. И. Манько, Инварианты и коррелированные состояния нестационарных квантовых систем, Труды Физ. Института им. Лебедева, АН СССР, т. 183, (1987).

45. А. В. Елецкий, Углеродные нанотрубки, УФН, том. 167, 9, (1997).

46. М. В. Карасев, Новые глобальные асимптотики и аномалии в задаче квантования адиабатического инварианта, Функ. An. и его Прилож., 24, 2, (1990), 24-36.

47. М.В. Карасев, В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, М: Наука, (1991), 368 стр.

48. В. В. Кучеренко, Асимптотика решения системы A(x,—ihd/dx)u = 0 при h —* 0 в случае характеристик переменной кратности, Изв. АН СССР, Сер. мат., 38, N3, 625-662, (1974).

49. JL Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика (Нерелятивистская теория). Теоретическая физика, т.З. Москва: Наука (1989) 768 стр.

50. М. А. Леонтович, В. А. Фок, Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли по методу параболического уравнения, ЖЭТФ, (1946), т.16, 557-573.

51. Л. И. Магарилл, М. В. Энтин. Электроны в криволинейной квантовой проволоке. ЖЭТФ, (2003), т.123, № 4, стр. 867.

52. Л. И. Магарилл, А. В. Чаплик, Спин-зависимая локализация электронов в кристаллах, Письма в ЖЭТФ, т.81, 4, (2005) 198-202.

53. В. П. Маслов, Асимптотика собственных функций уравнения Аи + к2и = 0 с краевыми условиями на эквидистантных кривых и рассеяние электромагнитных волн в волноводе ДАН, 123, 4, 631, (1958).

54. В. П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы, М.: МГУ, (1965).

55. В. П. Маслов, Операторные методы, Москва: Наука (1973), 544 стр.

56. В. П. Маслов, М.В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, М.: Наука, (1976).

57. В. П. Маслов, Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, М: Наука, (1977).

58. А. И. Нейштадт, Осреднение в многочастотных системах. II. Докл. Акад. Наук СССР. Механика 226 (1976) 1295-1298.

59. П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, М.:Наука, (1967).

60. Т.Я. Тудоровский, О влиянии спина на классическую и квантовую динамику электрона в тонких закрученных квантовых трубках, Мат. Заметки, т.78, 6, (2005), 948-953.

61. Г. М. Заславский, Стохастичность динамических систем, Москва, Наука, (1984), 272 стр.