Аналоги для алгебр ЛИ некоторых утверждений из теории групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Сырцов, Алексей Владимирович

• Сырцов, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналоги для алгебр ЛИ некоторых утверждений из теории групп»

Работа состоит из пяти глав. В первых четырех главах исследуются некоторые проблемы, связанные с понятиями вербального произведения групп и вербального произведения алгебр Ли. В пятой главе приводится аналог для алгебр Ли одной групповой теоремы о вложении.

Вербальные произведения групп введены Мораном (см. [26]) и являются обобщением нильпотентных произведений групп, введенных О. Н. Головиным (см. [20]). Нильпотентные произведения групп являются, в свою очередь, обобщением широко известного понятия прямого произведения групп. Прямые, нильпотентные, вербальные произведения алгебр Ли были определены по аналогии с соответствующими групповыми понятиями.

В главе 1 изучаются некоторые вопросы, касающиеся вербальных произведений магнусовых групп. Напомним, что группа G называется магнусовой группой, если она нильпотентно аппроксимируема и факторы нижнего центрального ряда этой группы не имеют кручения. Свободные группы являются магнусовыми группами. Этот результат доказан Магнусом и Виттом (см. [21], [22], [24]). В дальнейшем было получено множество результатов подобного типа. Были поставлены следующие вопросы. 1) В каких многообразиях групп все свободные группы являются магнусовыми группами? 2) В каких многообразиях групп класс магнусовых групп замкнут относительно операции свободного произведения?

В отношении первого вопроса известно, что

1) свободные полинильпотентные группы являются магнусовыми группами (А. Л. Шмелькин [6]);

2) свободные группы многообразия [91с,91с+1], где 9tc - многообразие всех нильпотентных групп ступени нильпотентности не выше с, являются магнусовыми группами (Э. Б. Кикодзе [11]).

Также справедливы некоторые обобщения этих результатов (см. [2], [10], [14], [15], [16]).

Особенно отметим результат М. Р. Вон-Ли и В. Тасича: свободные группы многообразия [91^,91/], где к > 1,1 > 1, являются магнусовыми группами ([16]).

Результатов по второму вопросу меньше:

1) в многообразии всех групп класс магнусовых групп замкнут относительно операции свободного произведения (А. Л. Шмелькин [3]);

2) в многообразии 212 всех метабелевых групп класс магнусовых Ч8?-групп замкнут относительно операции 212-произведения (Д. И. Эй-делькинд [9]).

Конечно, если в многообразии Ш класс магнусовых групп замкнут относительно 93-произведения, то в многообразии Ш П9ТС класс магнусовых групп замкнут относительно 05 П 9Тс-произведения. Таким образом,

1)' в многообразие Щс класс магнусовых У\с-групп замкнут относительно У1с-произведения (А. Л. Шмелькин [3]);

2)' в многообразие QL2 П9ТС класс магнусовых 212 П У1с-групп замкнут относительно 212 П^с-произведения (Д. И. Эйделькинд [9]).

Ряд авторов привели примеры, показывающие, что в многообразии ^c(i)^c(2) • • • ^Пс(п) всех полинильпотентных групп, соответствующих последовательности с(1),., с(п), где либо п > 2, либо с(1) > 1, класс магнусовых ^0(1)^(2) • • • 91с(„)-групп не является замкнутым относительно • • • 91с(„)-произведения (см. [9]). Возникает вопрос: верно ли, что в многообразии всех групп с абелевым (с + 1)-ым членом нижнего центрального ряда класс магнусовых 219Тс-групп замкнут относительно 2191с-произведения? В главе 1 дается положительное решение этой проблемы.

В главе 1 также строится пример, показывающий, что [01,912]-произве-дение магнусовых [21, О^-групп не обязательно является магнусовой группой. Вместе с тем, справедливо следующее обобщение сформулированного выше результата Кикодзе: [9tc,9tc+i]-произведение магнусовых 21 У1с-групп является магнусовой группой.

В главах 2, 3, 4 рассматриваются проблемы изоморфизма нильпотентных разложений колец и алгебр Ли. Первоначально такие проблемы исследовали в теории групп. Ремак в [25] доказал, что любые два разложения конечной группы в прямые произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны, т.е. между сомножителями этих разложений можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие сомножители изоморфны. После введения О. Н. Головиным нильпотентных произведений групп, встал следующий вопрос: при каких условиях разложения группы в n-нильпотентные произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны? А. Л. Шмель-кин в [5] указал ряд условий, при которых некоторые разложения нильпотентных групп без кручения изоморфны. В. В. Лиманский в [12] доказал, что любые разложения в n-нильпотентные произведения с неразложимыми сомножителями группы, обладающей главным рядом, изоморфны.

Мы приводим аналоги для колец Ли теорем А. Л. Шмелькина и В. В. Лиманского.

В связи с результатами работы [5] А. Л. Шмелькин поставил вопрос: верно ли, что все n-нильпотентные разложения с неразложимыми сомножителями конечнопорожденной нильпотентной группы без кручения изоморфны? В частности, верно ли, что все разложения конечнопорожденной нильпотентной группы без кручения в прямые произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны? В. В. Лиманский в [13], приведя соответствующий пример, дает отрицательный ответ. Мы приводим аналог этого примера для колец Ли.

В случае алгебр Ли над поле ситуация другая - на это указывает следующая теорема: любые разложения алгебры JIu G над полем К в прямые прох13веденья с неразложимыми сомножителями изоморфны.

Глава 5 содержит результаты, полученные автором совместно с А. Л. Шмелькиным.

В работе [23] Магнус построил вложение группы F/R', где F - свободная группа, R - нормальная подгруппа группы F, R' - коммутант R, в сплетение A wrF/R, где А - свободная абелева группа того же ранга, что и F. Это вложение, называемое вложением Магнуса, является одним из главных инструментов исследования групп вида F/B!. A. JL Шмель-кин, во-первых, обобщил результат Магнуса на группы вида F/%J(R), где %J(R) - вербальная подгруппа группы R, соответствующая некоторому многообразию Ш, и, во-вторых, построил соответствующее вложение для групп вида G/$J(R), где G = П!е/Ф ~ свободное произведение семейства групп (Gi)iei, R лежит в декартовой подгруппе группы G (см.

И, [8]).

Также A. JI. Шмелькин построил аналоги этих утверждений для алгебр Ли (см. [1], [2]).

Н. С. Романовский получил результат, являющийся обобщением выше сформулированных групповых результатов А. Л. Шмелькина (см. [18]). А именно, Н. С. Романовский построил подобное вложение для групп вида (G * F)/Q3(i2), где G = П(*е/ ~ свободное произведение семейства групп (Gi)izi, F - свободная группа, R - нормальная подгруппа группы G * F, такая, что для всех i ЙПС,- = 1.

Главный результат главы 5 - аналог для алгебр Ли результата Романовского. Также приведено одно приложение полученного результата.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по теории групп на механико-математическом факультете МГУ, а также на международной алгебраической конференции (Москва, 2004 г.) и опубликованы в [30], [31], [32], [33]. Работа выполнена под руководством проф. А. Л. Шмелькина, которому автор выражает свою глубокую благодарность.

Обозначения, предварительные замечания

1. Q - поле рациональных чисел; Z - кольцо целых чисел.

Пусть Л - коммутативное кольцо с 1, дМ - Л-модуль, Т - подмножество модуля дМ. Тогда А[Т] - подмодуль, порожденный множеством Т.

2. Алгебры Ли мы будем рассматривать по умолчанию над коммутативным кольцом Л с 1. Цель этого состоит в том, чтобы не дублировать определения для колец Ли и для алгебр Ли над полем.

3. Если х, у - элементы группы, то ху = у~1ху, [х, у] = х~ху~1ху.

Если х, у - элементы алгебры Ли, то [х, у] - произведение этих элементов. 7nG - n-ый член нижнего центрального ряда группы G. Ln - n-ый член нижнего центрального ряда алгебры Ли L. Если К - поле, то подалгебру Ли, порожденную алгебрами Ли Д , г G I, будем обозначать через alg{Li,i 6 /}.

Подгруппу, порожденную группами Gi, г € /, будем обозначать через gp{Ghi е /}.

Для подкольца Ли, порожденного кольцами Ли Ri, i G /, будем использовать обозначение ring{Ri, i € /}.

Если А - подалгебра Ли (подгруппа) алгебры Ли (группы) G, то AG -идеал (нормальный делитель), порожденный А в G.

4. 21 - многообразие всех абелевых алгебр Ли (групп);

9tc - многообразие всех нильпотентных ступени не выше чем с алгебр Ли (групп).

Пусть Я , Ю - многообразия алгебр Ли (групп). Тогда произведение этих многообразий 11Q3 определяется как класс всевозможных расширений алгебр Ли (групп) из 11 при помощи алгебр Ли (групп) из Ш. Qt2 - многообразие всех метабелевых алгебр Ли (групп);

Q10Tс - многообразие всех алгебр Ли (групп) с абелевым (с + 1)-ым членом нижнего центрального ряда;

9tc(i)9tc(2) • • • 9tc(n) ~~ многообразие всех полинильпотентных алгебр Ли (групп), соответствующих последовательности с(1),., с{п).

Пусть F - свободная алгебра Ли (группа) счетного ранга; 11(F) -вербальный идеал (вербальныя подгруппа), соответствующий(ая) многообразию Н; 92(F) - вербальный идеал (вербальныя подгруппа), соответствующий (ая) многообразию QJ. Тогда коммутатор [И, Ш] этих многообразий определяется вербальным идеалом (вербальной подгруппой) [11(F), 51(F)] алгебры (группы) F.

91с,9Тс+1] - многообразие всех алгебр Ли (групп) у которых (с+ 1)-ый член нижнего центрального ряда коммутирует с (с + 2)-ым членом н. ц. р.

5. Пусть (Gi)iei - семейство алгебр Ли (групп), G = П!е/Ф ~ их сво~ бодное произведение, [Gj]G - декартова подалгебра ( подгруппа); IX -некоторое многообразие; 11(G) - вербальный идеал (вербальная подгруппа) алгебры (группы) G, соответствующий (ая) многообразию 11. Тогда фактор-алгебра (фактор-группа) G/ ([Сч]с П 11(G)) называется вербальным Н-произведением алгебр (групп) G{.

Будем обозначать вербальное 11-произведение семейства (Gi)ie/ через llfl*e/ Gi. Если I = {1,2}, то вербальное произведение также будем обозначать через G\ G2.

Пусть (Gi)iei - семейство алгебр Ли (групп), G = ПП^е/^» ~ веР~ бальное 11-произведение этих алгебр (групп). Пусть (Pi : Gi —)■ Я, г G I, - такое семейство гомоморфизмов в алгебру Ли (группу) Н, что семейство подалгебр (подгрупп) (<?»¥>»)»€/ алгебры (группы) Н обладает следующими свойствами:

1) Н порождается множеством {Gi<pi \ i G /};

2) вербальный идеал (вербальная нормальная подгруппа) 1Х(Я) алгебры (группы) Н имеет тривиальное пересечение с идеалом (нормальной подгруппой), порожденным(ой) множеством

9h,9i2] I 9h € Ghiph,gi2 е Gi2<ph,ii ф i2,iui2 G /}.

Тогда существует единственный гомоморфизм ср : G —> Н, такой, что для каждого i ограничение ip на Gi совпадает с <pi.

Нильпотентные произведения, введенные О. Н. Головиным, совпадают с 91с-произведениями, с > 1. Для этих произведений используется специальное обозначение: с-нильпотентное произведение семейства (Gi)izi обозначают через ГШ/ если I = {!> 2}> то используется также обозначение G\{c)G2.

6. Пусть F - свободная алгебра Ли со свободным порождающим множеством X = {я,- | i € /}. Напомним способ построения базы F, предложенный А. И. Ширшовым (см. [29]).

Множество X линейно упорядочим и назовем его элементы правильными неассоциативными словами длины 1. Пусть уже определены и упорядочены правильные слова длины, меньшей п. Пусть w - неассоциативное слово от X длины п > 1, w = uv. Назовем w правильным словом, если

1) и, v - правильные слова;

2) и > V,

3) из и = щи2 следует и2 < v.

Множество правильных слов длины, не большей п, упорядочим линейно так, чтобы выполнялись два условия:

4) упорядоченность слов длины, меньшей п, оставалась прежней;

5) если w = uv, то w > v.

Теорема Ширшова утверждает, что полученная система образует базу алгебры F.

7. Пусть задано свободное произведение L = П{е/ А-свободных алгебр Ли. Пусть в каждой алгебре Li выбрана база В{ = {е^- | j G J,} и множество В = UBi линейно упорядочено.

Рассмотрим множество Y(B) левонормированных произведений [e»(i)i(i)>e»(2)j(2)]>" • ,ei(n)j(n)],n > 2, удовлетворяющих условиям: а) ei(l)j(l) > ei(2)j(2) < • • • < et(n)j(n), б) если z(fc) = г'(1), то ецкЫк) > ещщг) (к = 1,2,., п).

Согласно результату Д. И. Эйделькинда множество Y(B) свободно порождает декартову подалгебру алгебры L (см. [9]).

Элементы из Y(B) называются элементарными одночленами от В.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сырцов, Алексей Владимирович, 2005 год

1. Шмелькин A. J1. Вложение в сплетение некоторых фактор-алгебр свободной суммы алгебр Ли // Записки кафедры высшей алгебры МГУ.

2. Шмелькин А. Л. Сплетения алгебр Ли и их применения в теории групп //Тр. Моск. матем. о-ва. 1973. Т.29. С.247-260.

3. Шмелькин А. Л. О нижнем центральном ряде свободного произведения групп // Алгебра и логика. 1969. Т.8. №1. С.129-137.

4. Шмелькин А. Л. Нильпотентные произведения и нильпотентные группы без кручения // Сиб. матем. ж. 1962. Т.З. №4. С.625- 640.

5. Шмелькин А. Л. Об изоморфизме нильпотентных разложений ниль-потентных групп без кручения // Сиб. матем. ж. 1963. Т.4. JVS6. С.1412-1425.

6. Шмелькин А. Л. Свободные полинильпотентные группы // Изв. АН СССР, серия матем. 1964. Т.28. С.91-122.

7. Шмелькин А. Л. Сплетения и многообразия групп // Изв. АН СССР, серия матем. 1965. Т.29. №1. С.149-170.

8. Шмелькин А. Л. О свободных произведениях групп // Матем. сб. 1969. Т.79 (121). №4(8). С.616-620.

9. Эйделькинд Д. И. Вербальные произведения групп Магнуса // Ма-тем. сб. 1971. Т.85 (127). С.504-526.

10. Эйделькинд Д. И. О группах Магнуса // Матем. сб. 1973. Т.92 (134). №2(10). С.208-223.

11. Кикодзе Э. Б. О свободных группах некоторых многообразий // Алгебра и логика. 1966. Т.5. №4. С.15-23.

12. Лиманский В. В. Изоморфизмы нильпотентных разложений групп, обладающих главным рядом // Тр. Моск. матем. о-ва. 1979. Т.39. С.135-155.

13. Лиманский В. В. Изоморфизмы нильпотентных разложений групп // Успехи матем. наук. 1975. Т.30. №2. С.214.

14. Горчаков Ю. М. О центральных рядах свободных групп многообразий // Алгебра и логика. 1967. Т.6. №3. С.13-24.

15. Горчаков Ю. М. Мультинильпотентные группы // Алгебра и логика. 1967. Т.6. т. С.25-30.

16. Tasic V., Vaughan-Lee М. R. Torsion in certain relatively free groups // Bull. London Math. Soc. 1995. V.27. №4. P.327-333.

17. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985, Гл. 8.

18. Романовский Н. С. О вложениях Шмелькина для абстрактных и про-конечных групп // Алгебра и логика. 1999. Т.38. №5. С.598-612.

19. Кукин Г. П. О свободной лиевой сумме алгебр Ли с объединением // Алгебра и логика. 1972. Т.П. №1. С.59-86.

20. Головин О. Н. Нильпотентные произведения групп // Матем. Сб. 1950. Т.27. С.427-454.

21. Magnus W. Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring // Math. Ann. 1935. 111. 259-280.

22. Magnus W. Uber Beziehungen zwischen hoheren Kommutatoren // J. reine angew. Math. 1937. 177. 105-115.

23. Magnus W. On a theorem of Marshall Hall // Ann. Math. 1939. V.40. №4. P.764-768.

24. Witt E. Treue Darstellung Liescher Ringe // J. reine angew. Math. 1937. 177. 152-160.

25. Remak R. Uber die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkte unzer-legbare Faktoren // J. reine angew. Math. 1911. 139. 293- 308.

26. Moran S. Associative operations on groups, I // Proc. London Math. Soc. 1956. V.3. №6. P.581-596.

27. Андреев К. К. Нильпотентные группы и лиевы алгебры // Алгебра и логика. 1968. Т.7. №4. С.4-14.

28. Андреев К. К. Нильпотентные группы и лиевы алгебры. II. // Алгебра и логика. 1969. Т.8. №6. С.625-635.

29. Ширшов А. И. О базах свободных алгебр Ли // Алгебра и логика. 1961. Т.1. №1. С.14-19.

30. Сырцов А. В. Вербальные произведения магнусовых групп // ФПМ. 2004. Т.10(3). С.199-213.

31. Сырцов А. В. Вербальные произведения магнусовых групп // Матем. заметки, сдано в печать.

32. Сырцов А. В. О полинильпотентных произведениях групп и алгебр Ли // Международная алгебраическая конференция. Тезисы научных сообщений. Москва 2004.

33. Шмелькин A. JL, Сырцов А. В. О вложениях некоторых фактор-алгебр свободной суммы алгебр Ли // ФПМ. 2004. Т. 10(4). С.235-241.