Проблемы вхождения и сопряденности слов и продгрупп в некоторых классах групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Безверхний, Владимир Николаевич

• Безверхний, Владимир Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Безверхний, Владимир Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Специальное множество и его применение к решению

проблемы вхождения в некоторых классах групп

§ 1. Специальное множество в HNN-группах и процесс

приведения произвольного множества к специальному § 2. Решение проблемы вхождения в HNN-группах

ГЛАВА II. Исследование проблемы вхождения в группах Артина

конечного типа

§ 1. Основные понятия и утверждения

§ 2. Неразрешимость проблемы вхождения в Д,

§ 3. Неразрешимость проблемы вхождения в 1)с

§ 4. Неразрешимость проблемы вхождения в tbi Е7 Еа -v-p.

ГЛАВА III. О сопряженности и пересечении подгрупп в

HNN-группах

§ 1. Решение проблемы сопряженности подгрупп в

HNN-группах

§ 2. О пересечении подгрупп в HNN-группах

ГЛАВА

IV. Решение проблемы сопряженности слов в некоторых классах групп

ГЛАВА V. Обобщенная сопряженность слов в С(р} & 77^)-группах

§ 1. Понятие полосы в ^-диаграммах

§ 2. Специальные кольцевые Я -диаграммы

§ 3. С~п -слойные и п -слойные кольцевые £ -диаграммы

§ 4. А -преобразование кольцевых /? -диаграмм

§ 5. Кольцевые Й -диаграммы с ненулевой кривизной

БОС

§ 6. Построение нормализатора элемента

§ 7. Построение централизатора конечно порожденной

подгруппы

§ 8. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов

ГЛАВА VI. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов

в группах Артина большого типа

§ 1. Группы Артина с двумя образующими

§ 2. Группы Артина с числом образующих больше двух

§ 3. Кольцевые А? -диаграммы с ("¿'-¿;-областями

§ 4. С~п -слойные и п -слойные кольцевые /\ -диаграммы

§ 5. Параметр кольцевой диаграммы

§ 6. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблемы вхождения и сопряденности слов и продгрупп в некоторых классах групп»

ВВЕДЕНИЕ

Основными алгоритмическими проблемами в теории групп, поставленными М.Деном в одной из его работ в 1911 г., являются проблемы равенства и сопряженности слов в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.

Исследование этих проблем стимулировало развитие комбинаторных методов в теории групп, что явилось причиной возникновения одного из самых активно развивающихся направлений современной математики - комбинаторной теории групп.

Среди работ, связанных с исследованием проблем М.Дена, наиболее выдающимися являются работы П.С.Новикова, доказавшего неразрешимость проблемы равенства слов в конечно определенных группах [42]; им же доказана неразрешимость проблемы изоморфизма групп.

С.И.Адяном в статье [1] определено понятие наследственного нетривиального свойства группы и доказано, что не существует алгоритма, позволяющего для произвольной группы с конечным числом образующих и определяющих соотношений распознать выполнимость свойства р, представляющего собой объединение нетривиального наследственного и инвариантного свойства, если только существуют группы, обладающие свойством р.

Из этого результата следует неразрешимость большого класса алгоритмических проблем, включая и основные проблемы теории групп.

Отрицательное решение проблемы равенства слов явилось причиной изучения проблем Дена в определенных классах групп.

Для групп с разрешимой проблемой равенства слов возникает более общая проблема - проблема вхождения (Нильсен, Магнус),

впервые рассмотренная Нильсеном в свободных группах и Магнусом в группах с одним определяющим соотношением для так называемых магнусовых подгрупп.

Аналогично для групп с разрешимой проблемой сопряженности слов обобщением являются проблема обобщенной сопряженности слов и проблема сопряженности подгрупп.

Известно, что проблема вхождения в классе всех конечно определенных групп неразрешима, это непосредственно следует из связи между проблемой вхождения и проблемой равенства слов.

Поэтому естественен интерес к изучению рассматриваемой проблемы для каких-то фиксированных классов групп. Как было отмечено выше, положительное решение проблемы вхождения в классе свободных групп следует из результата Нильсена.

К.А.Михайловой этот результат был обобщен в статье [37] на свободное произведение групп, а именно, было доказано, что если в группах /\ и В разрешима проблема вхождения, то она разрешима в их свободном произведении.

В отличие от свободного произведения, прямое произведение групп, как доказала К.А.Михайлова [38], не наследует свойства сомножителей иметь разрешимой проблему вхождения, а именно: в прямом произведении двух свободных групп ранга два проблема вхождения неразрешима. В этой же статье приведен пример группы, являющейся прямым произведением групп с разрешимыми проблемами вхождения, в которой проблема вхождения также разрешима.

Таким образом, было установлено, что класс групп ш0> состоящий из всевозможных прямых произведений групп с разрешимыми проблемами вхождения, содержит как группы, в которых разрешима, так и группы, в которых неразрешима данная проблема.

Класс групп Щ0 содержится в более общем классе тл каждая группа которого является расширением некоторой группы А^ с помощью группы В* . В.П.Классен [24] выделил некоторый подкласс из/72, в котором положительно решается рассматриваемая проблема, а именно: подгруппы, являющиеся расширением группы с разрешимой проблемой вхождения и обладающие условием максимальности с помощью группы, являющейся свободным произведением циклических или конечных групп.

Г.Г.Щепиным, рассматривавшим данную проблему для нильпо-тентного произведения групп [51], установлено, что нильпотент-ное произведение групп в общем не наследует свойства сомножителей "иметь разрешимой проблему вхождения".

Обозначим через $ класс амальгамных групп. Автором в [5], [7] был выделен подкласс групп вида ^ *, где />^,/;7-сво-бодные группы соответственно рангов /7, /7, объединенные по конечно порожденной подгруппеН.. В статье [5] доказано, что в группах

£ ^¿т *^ , где С- бесконечная циклическая подгруппа, проблема О

вхождения разрешима, тем не менее, во всем подклассе ^-неразрешима [7].

В [7] указан пример группы вида * где Н<Е*-конеч-но порожденная подгруппа ранга 4, т- изоморфизм сомножителей, проблема в которой неразрешима.

1. Обозначим через Ж класс, состоящий из групп, каждая из которых является НШ-расширением. Первая глава настоящей работы посвящена изучению разрешимости проблемы вхождения в группах данного класса [53], [56], [57].

Очевидно, в общем случае в НШ-расширениях проблема вхождения неразрешима, поэтому возникает естественная необходимость в ограничении этого класса.

В первом параграфе главы I вводится основное понятие (определение 1) специального множества слов в НШ-группе [53], обобщающее понятие, введенное автором для групп ^ в [5], и являющееся, в некотором смысле, аналогом нильсеновского множества в свободных группах. Доказывается, что в группе НШ-расширении группы р- с помощью ассоциированных подгрупп ¿^ Л и фиксированного изоморфизма ^ если подгруппы 17/, V-, обладают свойством максимальности, то для любого конечного мно-

п *

жества слов из Ц- существует конечное специальное множество, в которое можно преобразовать исходное (теорема 1). Затем, устанавливаются условия, налагаемые на О, и ассоциированные подгруппы, наличие которых обеспечивает существование алгоритма, позволяющего любое конечное множество слов из преобразовать в специальное (теорема 2).

Важную роль при доказательстве в теореме 2 сходимости алгоритма играет понятие вспомогательного ряда (определение 7), связанного с преобразуемым множеством слов и ограничивающего сверху его на каждом шаге преобразования.

Во втором параграфе с помощью понятия специального множества доказывается

Теорема 13 [56], [57]. Пусть

древесное произведение групп с ассоциированными подгруппами [/¿;

о

и фиксированным набором изоморфизмов { • и ПУСТЬ

дан конечный набор изоморфных подгрупп

и фиксированный набор изоморфизмов \ У^СЧ^-Ур^. Тогда, если подгруппы обладают свойством максимальности и в сомножителях ¡41 разрешимы: (1) проблема вхождения, (2) проблема пересечения смежного класса любой конечно порожденной подгруппы

Н<&1 с любой из подгрупп "[/¿^, ¥ск> (3) существует алгоритм, выписывающий образующие подгрупп НПЦ^, НПУ£К> где Н~ конечно порожденная подгруппа то в группе

система правильных проходных букв) разрешима проблема

вхождения.

Теорема 15 показывает, что условие максимальности, налагаемое на ассоциированные подгруппы в теореме 13, существенно. Из теоремы 13 получаем ряд интересных следствий, в частности, разрешимость проблемы вхождения в группах с одним определяющим соотношением с нетривиальным центром, в фундаментальных группах двумерных замкнутых многообразий, в фуксовых группах, а также в группах ¿гг, ¿гг, определенных в пункте 2.2 параграфа 2. И, наконец, с помощью теоремы 13 доказывается

Теорема 22. Существует группа С, являющаяся расширением группы А с помощью группы Ву с разрешимой проблемой вхождения в группах £ и А и неразрешимой проблемой равенства слов в В.

2 Вторая глава посвящена исследованию разрешимости проблемы вхождения в неприводимых группах Артина конечного типа.

Группа Артина - это группа заданная копредставлением с системой образующих ^-¿^еI и соотношениями С[с О; (^¿У'

О *" О Л

¿,^'в/, где слова, стоящие слева и справа, состоят каждое из 191 ¿^

чередующихся букв €(¿,0. ] при этом Щ^.-элементы некоторой матри-

/ у

цы Коксетера М-С^-^ех. Определенные таким образом группы являются естественным обобщением групп кос.

Добавляя к определяющим соотношениям группы Артина £ соот-

2. — ношения №¿=1, ¿€1, получим копредставление группы Коксетера

Таким образом, группа Коксетера представляется как фактор группа группы Артина.

_ о _

V

Группа Артина ¿т называется группой Артина конечного типа, если соответствующая ей группа Коксетера £ конечна. Данный класс групп был рассмотрен Брискорном и Сайто [15], доказавшими разрешимость в них проблемы равенства и сопряженности слов.

Известно, что каждая группа Артина конечного типа является либо одной из неприводимых групп: А^, ВП) Е6,Е^Ев/Ц*, 5г у^гСр) ( р^-^у р- простое), либо прямым произведением неприводимых групп.

Основным результатом данного раздела является доказательство неразрешимости проблемы вхождения в неприводимых группах Артина конечного типа: 8% > !Г4;Н4> Е6, Е?>

С помощью теоремы 13 показывается, что в группах }

02(р) проблема вхождения разрешима.

Заметим, что неразрешимость проблемы вхождения в группах кос Ап> при П^-4, доказана Т. А. Маканиной [34].

3. В третьей главе применение понятия специального множества позволяет исследовать разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в НШ-группах и в свободном произведении с объединением, а также для указанных классов групп выясняются условия, при которых пересечение конечно порожденных подгрупп есть конечно порожденная подгруппа.

Впервые проблема сопряженности подгрупп рассматривалась В.Н.Ремесленниковым [46], доказавшим ее положительное решение в классе конечно порожденных нильпотентных групп. Для свободных групп М. Д. Гриндлингером [21] был указан алгоритм, решающий сопряженность подгрупп ранга 2, затем этот результат был обобщен Д.И.Молдаванским [39], доказавшим, что для любых конечно порожденных подгрупп свободной группы можно эффективно выяснить, сопряжены ли они.

Для свободных произведений групп Д.И. Молдаванским [40] и автором [13] независимо была доказана разрешимость данной проблемы при условии, что в сомножителях разрешимы проблема вхождения и сопряженности подгрупп.

В статьях [11], [12] автором доказаны алгоритмическая разрешимость проблемы сопряженности подгрупп для свободного произведения свободных групп с циклическим объединением и ее неразрешимости в свободном произведении свободных групп рангов два, объединенных по подгруппе ранга четыре [10].

Рассмотрим некоторое множество !Р0 ¿61} групп

Образуем из этого множества класс групп Я*, удовлетворяющий условиям: (2) если группы то и группа С~А

н

являющаяся их свободным произведением с объединением по конечной подгруппе Н, принадлежит (3) если А6то группа

<А,Ь> гее А,

являющаяся НШ-расширением А с помощью конечных изоморфных подгрупп и,,17-, и фиксированного изоморфизма принадлежащий

Основными результатами первого параграфа Щ главы является

Теорема 1. Пусть группа

геб Ь'1и, £= </>(и,)>

есть НШ-расширение 0 с помощью конечных изоморфных подгрупп 17;, II;-УЩ) и фиксированного изоморфизма ^ Тогда, если в £ разрешима (1) проблема вхождения, (2) проблема сопряженности подгрупп, то в ¿г* разрешима проблема сопряженности подгрупп. Теорема 2. Пусть группа

свободное произведение групп С(1, &2 с объединением по конечным изоморфным подгруппам Ц де £^<¿¡>,¿¿/<£2. Тогда, если

в сомножителях разрешимы (1) проблема вхождения, (2)

проблема сопряженности подгрупп, то в ¿5 разрешима проблема сопряженности подгрупп.

Из теорем 1, 2 и теоремы 13 главы I следует, что, если в каждой из групп разрешимы проблемы (1), (2), то в каж-

дой группе из класса разрешима проблемы сопряженности подгрупп.

Условие конечности, налагаемое на ассоциированные подгруппы в теоремах 1,2, существенно.

В статье [10] автором доказано, что в группе *где

н~н V }

Н<Г2,ЫпдН-Ц» У- изоморфизм сомножителей, проблема сопряженности подгрупп неразрешима. В статье [36] приведен пример группы ■£ являющейся НШ-расширением свободной группы />7 с ассоциированными подгруппами ££, -Х 2ап^(Ц)<со> в которой неразрешима проблема сопряженности слов, а следовательно, и проблема сопряженности подгрупп.

Во втором параграфе Щ главы исследуется свойство Хау-соновости в НШ-группах и в свободном произведении групп с объединением. А. Хаусоном в [49] было доказано, что пересечение двух конечно порожденных подгрупп свободной группы есть конечно порожденная подгруппа. Вопрос о нахождении образующих пересечения подалгебр данной алгебры впервые был сформулирован А.И.Мальцевым в 1958 г. в [31] и решен им для конечно порожденных нильпотентных групп [32].

Для свободных групп данная проблема была решена автором в

[8].

Будем говорить, что группа £ обладает свойством Л (Хау-сона), если пересечение любых двух конечно порожденных подгрупп есть конечно порожденная подгруппа. Б.Баумслагом [4] теорема

Хаусона была обобщена на свободное произведение групп. Им было доказано, что если группы А> В обладают свойством 3£, то их свободное произведение наследует данное свойство сомножителей.

Конструктивное доказательство теоремы Б.Баумслага, опубликованное в [9], позволило ее авторам решить указанную проблему А.И.Мальцева для свободного произведения групп, а именно: доказана

Теорема. Пусть Ц~Сг,*Стг и 1-1,обладает свойством«^?. Тогда, если: (1) существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп £¡¿,£,=1,2, выписывать образующие их пересечения; (2) существует алгоритм, позволяющий для любого элемента №£¡^¿¿-1,2, и любых двух конечно порожденных подгрупп Н, Н2 из установить, пусто или нет множество Ито в группе £ разрешима проблема (1).

В статье [14] доказано, что если в сомножителях , £~1Л2 группы разрешима проблема (2), то и в группе £ раз-

решима проблема (2).

Теорема Б.Баумслага получает дальнейшее обобщение в теоремах 12 и 14 второго параграфа [64].

В теореме 12 утверждается, что в группе

^; Ъ^^Ц)}, являющейся НШ-расширением £ с

помощью конечных ассоциированных подгрупп 1Л ,111=Ц)(и7Х, пересечение любых двух конечно порожденных подгрупп есть конечно порожденная подгруппа тогда и только тогда, когда этим свойством обладает группа

В теореме 14 утверждается, что в группе Q-(G*G¿)Ze£Q¿ свободным произведе-

нием с объединением групп Сг1,Сгл с конечными ассоциированными подгруппами пересечение любых двух конечно по-

lo -

рожденных подгрупп есть конечно порожденная подгруппа тогда и только тогда, когда этим свойством обладают группы Çf)G2.

Из теорем 12 и 14 следует, что если каждая группа об-

ладает свойством^, то любая группа из Ф обладает свойством Как показано в доказательстве теоремы 15, в группе

гДе П>2, пересечение конечно по-

рожденных подгрупп не всегда есть конечно порожденная подгруппа. Отсюда следует, что условие конечности, налагаемое на ассоциированные подгруппы в теоремах 12 и 14, является существенным.

Решение проблемы А.И.Мальцева для HNN-расширений и свободного произведения групп с объединением следует из теоремы 18: пусть группа G обладает свойством^ ивQ разрешимы: (1) проблема пересечения смежных классов конечно порожденных подгрупп; (2) проблема пересечения подгрупп (существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения конечно порожденных подгрупп Н[}Нг из Q ), тогда в группе Q*= zeâÇ, t~1UTi = Ч>Ш,)>>

являющейся HNN-расширением с помощью конечных ассоциированных подгрупп Uf f&f-Wty) и фиксированного конструктивного изоморфизма У, разрешимы проблемы (1) и (2).

Из [9], [36] и теоремы 18 следует, что в свободном произведении групп Gf,Gz с объединением по конечным ассоциированным подгруппам, если сомножители = обладают свойством jfg и в Gi разрешимы проблемы (1), (2), разрешимы проблемы (1), (2).

-Таким образом, если в каждой из групп Gù^^Po имеет место свойство Ж и разрешимы проблемы (1), (2), то в каждой группе /fer разрешимы проблемы (1), (2).

4. Четвертая глава данной работы посвящена исследованию проблемы J1. Комерфорда. В статье [25] Комерфордом доказано, что если группы с одним определяющим соотношением с кручением, то

в группе (¡¡-А^В) являющейся свободным произведением групп А, В

С

с циклическим объединением С? проблема степенной сопряженности слов сводится к проблеме степенной сопряженности слов в каждой из групп А,В и проблеме сопряженности слов в ¿?.

Основной результат данной главы содержится в теореме 2

[62].

В группе (¡-А^В^ являющейся свободным произведением групп

О

А ,В с циклическим объединением С, где сомножители А, В есть группы с одним определяющим соотношением с кручением, разрешима проблема степенной сопряженности слов.

В процессе доказательства теоремы 2 показана алгоритмическая разрешимость проблем сопряженности и степенной сопряженности в группах с одним определяющим соотношением с кручением, из чего следует результат Б.Ньюмана [43] о разрешимости проблемы сопряженности слов в указанном классе групп.

Кроме того, автором доказывается, что в группах (¡¡-А*В

с>

А В- группы с одним определяющим соотношением с кручением, разрешима проблема сопряженности слов.

В процессе доказательства указанных выше проблем для групп с одним определяющим соотношением с кручением показана алгоритмическая разрешимость ряда других проблем, представляющих самостоятельный интерес, например: пересечение произвольной циклической подгруппы с произвольной магнусовой подгруппой М^ ¿г,М<& ; пересечение циклических подгрупп в показано, что для любого и любой магнусовой подгруппы М<1? таких, что

<У*/>П /И=£, можно эффективно установить:

3 ге £, иеЖ: я:еМ, и другие. Существенную роль в решении перечисленных выше проблем в группах с одним определяющим соотношением с кручением играют

"орфографическая теорема" Б.Ньюмана [43], П.Шуппа [47] и лемма 2, утверждающая, что в группе £ с одним определяющим соотношением с кручением для любых двух магнусовых подгрупп М7>М2 из £ и элемента 6 из того, что М^Мг Мг следует:

$ М-, $ П М2 £ ~ единичная подгруппа.

В теореме 7, обобщающей теорему 2, используя результаты главы 3 £ 2 и главы 4, устанавливается разрешимость степенной сопряженности слов в НШ-расширении групп , ¿= 1,2 (<£--группы с одним определяющим соотношением с кручением) с циклическими ассоциированными подгруппами.

Обозначим через А класс групп вида:

то есть свободное произведение групп с-1,2} с объединением по изоморфным конечно порожденным подгруппам //,,Нг>1-1,2, ^.-группы с одним определяющим соотношением с кручением. Доказывается (теорема 8), что в классе групп А проблема сопряженности слов неразрешима. Однако, если в качестве объединяемых подгрупп Л-1,2, взять изоморфные магнусовы подгруппы, объединенные

с £»

с помощью конструктивного изоморфизма Ф, то получим группу <£ с разрешимой проблемой сопряженности и степенной сопряженности слов (теоремы 9, 10, И).

5, В пятой главе рассматривается решение обобщенной проблемы сопряженности слов в классе конечно определенных С(р)&Т(у,)-групп [66, [67]. При решении указанной проблемы используется геометрический метод, основным понятием которого является понятие /?- диаграммы [29].

Конечно определенную группу множество определяющих соотношений которой образуют симметризованное множество, удовлетворяющее условиям

и Т(п) [29], назовем С(р)& Т(^)-группой.

В зависимости от того, какие значения принимают р и fy} получаем соответствующий класс групп. Рассматриваются классы

С(4)ЬТ(4), Ш)&Т(6),определенные в [29]. Для данных классов Р.Линдоном [28] была решена проблема равенства слов; П.Шупп [48], используя понятие кольцевой /^-диаграммы, решил проблему сопряженности слов.

В i 1 главы V для данных классов групп введено понятие специального сокращения (определения 4-6), то есть выделение в связной односвязной приведенной /^-диаграмме специальной граничной поддиаграммы, полосы, позволяющей производить сокращение длины граничного цикла диаграммы.

Доказано (лемма 3), что связная односвязная приведенная R-приведенная /^-диаграмма содержит полосу. В § 2 определено понятие специальной кольцевой R- диаграммы, в f 3 вводятся понятия tl~ слойной и С~п- слойной диаграмм и доказывается, что любая кольцевая связная приведенная R-приведенная и специально R- приведенная R- диаграмма является либо /2- слойной, либо С-/г-слойной, П^О, в леммах 19-22 устанавливается структура специальных £-/2- слойных R- диаграмм, при условии, что граничные слои являются RX- слоями (определение 13).

В i 4 определено А- преобразование кольцевых диаграмм типа С(4*)&<Т(4)и С13У&ТС6). В лемме 27 доказывается, что, если М- кольцевая специальная R~ диаграмма с граничными циклами Т типа С(р)&Т(ф) слой (граничный) которой является RJC-слоем и RJC- свойство инвариантно относительно Л- преобразований, то у любой кольцевой tl- слойной, либо С-/г- слойной, /7>/, приведенной R- диаграммы А/ того же типа с граничными циклами 6*0) Z0 из того, что 6уI) й ffO'j ( й равенство в свободной группе F ) следует, что вдоль б*0 в /У нет деновских облас-

тей, нет полос и К$0 не является специальным слоем (определение 8), а в лемме 29 доказывается, что из соотношения имеет место соотношение /¿7= \б0\ и устанавливается структурная связь между слоями и К$0.

В пятом параграфе рассматриваются кольцевые диаграммы с ненулевой кривизной, вводится их классификация и изучается их структура. В лемме 48 доказывается, что существует конечное число кольцевых /2- слойных и С-П~ слойных диаграмм с фиксиро-

-1

ванными граничными метками V/, V , из которых с помощью приведений, сокращений, специальных й- сокращений, удаления специальных граничных слоев нельзя получить специальные П~ слойные или С - п- слойные, Й- диаграммы.

С помощью структуры кольцевых диаграмм, установленной в Н 2-5, в § 6 и $ 7, доказывается, что централизатор конечно порожденной подгруппы группы принадлежащей классу С(р) & Тйу) есть порожденная подгруппа и существует алгоритм, выписывающий его образующие (теоремы 5, 6).

С.Герстен и Н.Шсрт в совместной статье [19] определили понятия биавтоматной группы и доказали, что централизатор конечно порожденной подгруппы биавтоматной группы конечно порожден, и так как С(р)£Гф) группы биавтоматны [17], [18], то они обладают этим свойством.

В теореме 1 § 8 доказывается алгоритмическая разрешимость обобщенной проблемы сопряженности слов в группе £ класса С(р)^Т((р^о есть разрешимость системы уравнений V;),

где №¿№,¿-1/1, фиксированные слова группы в теореме 8 дано описание множества решений этой системы.

Далее, используя алгоритмическую разрешимость системы к в группе £ И5 С(р)ЯТЩ)- класса, получаем суще-

ствование алгоритма, позволяющего для любого конечного множества слов из § выписать образующие норкализатора (теорема 9).

Следующий § 9 посвящен выяснению необходимого и достаточного условий в терминах кольцевых диаграмм, устанавливающих, когда нормализатор элемента есть расширение циклической

подгруппы с помощью конечной (теорема 10).

6. Развитие геометрического метода, изложенного в пятой главе, позволило автору решить обобщенную проблему сопряженности слов в группах Артина большого типа. Во второй главе дано определение групп Артина. Группа Артина С с множеством образующих /¿£1} называется группой Артина большого типа, если элементы /71- матрицы Коксетера соответствующей

удовлетворяют условию для всех

V

Для групп Артина и Коксетера большого типа автором в [59] независимо от К.Апеля [3], с помощью геометрического метода доказана разрешимость проблемы сопряженности слов.

В первом параграфе рассматриваются группы Артина с двумя образующими »^¿у X гдесимметризованное мно-

жество определяющих соотношений, полученное из соотношения

ГП - Л7 •

(ОсО^У Известно [2], что множество^- удовлетворяет

условиям С(4)& ТС4-), поэтому в силу теоремы 8 гл. V в группах ¿¿у

У/

разрешима проблема обобщенной сопряженности слов, централизатор конечно порожденной подгруппы группы является конечно порожденной подгруппой и существует алгоритм, выписывающий его образующие (теорема 6 гл.V), а также существует алгоритм, выписывающий образующие нормализатора конечного множества слов из Q¿' (теорема 9 гл.V).

В этом параграфе для групп получен ряд результатов, играющих важную роль при изучении групп Артина большого типа с

числом образующих больше двух, в частности, описаны циклически

несократимые слова слоговой длины 2/Л£- ( /77-.- элемент матрицы Кок-

4 У

сетера, соответствующий группе/?/- ), равные единице в (лем-

О V

ма 14), а также доказано, что если М- связная приведенная приведенная специально приведенная кольцевая диаграмма над

'Л/

с граничными циклами б?Т и б)~Х^> то Ур> где

(лемма 15).

В § 2 рассматриваются группы Артина большого типа с числом образующих больше двух. Выбирая в данном случае в качестве множества определяющих соотношений й-17 где Х^-множе-

ство всех нетривиальных циклически приведенных в свободной группе слов, равных единице в показываем, что связные одно-связные приведенные диаграммы над множеством ИЙс^' после преобразований определенного вида могут быть приведены к диаграммам М с условием С(б), У которых метка общего ребра любых двух областей из М является степенью некоторого образующего. Показывается также, что Я- сокращена и специальное Я- сокращение уменьшает длину граничной метки диаграммы (лемма 18), доказывается существование алгоритма, позволяющего для любого слова У\/е 0 выяснить, применимо ли к уу /?- сокращение и специальное сокращение (леммы 19, 20), откуда следует разрешимость проблемы равенства слов в В этом же параграфе над множеством рассматриваются кольцевые диаграммы, кочуем *

торые делятся на диаграммы двух типов: (1) кольцевые Я- диаграммы, содержащие ($-0- области {($-£)- область есть область X с граничным циклом дЪ-6.)^е'10 ^ у которой ребра скле-

ены); (2) диаграммы типа СС6)У не содержащие области.

Каждому циклически несократимому слову \ZVCQ соответствует сопряженное ему тупиковое слово (определение 5), полученное из

1/у' с помощью преобразований возможность применения кото-

рых к у/ устанавливается эффективно (леммы 21-26). В лемме 27 доказывается, что тупиковое слово является самым коротким среди сопряженных с IV слов.

В § 3 изучаются кольцевые диаграммы, содержащие области. Доказано, что если кольцевая /^-диаграмма с одержит ($-£)■ область, то М состоит из -¿/-областей (лемма 28). Следующая лемма 29 является обобщением леммы 15: пусть М- связная приведенная /?- диаграмма над группой Артина большого типа £ с граничными циклами Т, метки которых Щб^ФСХ)-тупиковые слова. Тогда, если то Ш)^ где Х,У£{а1\ ¿€7},

образующие группы В лемме 30 доказывается разрешимость проблемы вхождения в группе £ в подгруппу, порожденную подмножеством А^А, А - множество образующих В | 4 показывается, что кольцевые пг слойные и С~Г1- слойные диаграммы, метки граничных циклов которых являются тупиковыми словами, состоят из областей Ъ с с1(Ъ)-в (лемма 31). С помощью леммы 31, доказывается, что если в кольцевой связной приведенной диаграмме типа С(в) с граничными циклами б? X над группой Артина большого типа ФСб) (р[Т) которых обладают свойством 8 (определение 4) и слово на образующих А^А^А ? А-множество образующих £ *Р(б)~не является степенью образующего из А-.у и слова У (О) и УСТ) сопряжены в ¿¡^ (лемма 32).

В § 6, используя понятие параметра кольцевой К- диаграммы (определение 6), доказывается разрешимость обобщенной проблемы сопряженности слов в группах Артина большого типа (теорема 5), а также, что централизатор конечно порожденной подгруппы из есть конечно порожденная подгруппа и существует алгоритм, выписывающий его образующие (теорема 7). Далее доказывается, что

— *,JL —

существует алгоритм, выписывающий образующие нормализатора любого конечного множества слов из О (теорема 10).

Доказательство теорем 5-10 главы VI сводится к доказатель-

необходимо ограничить число определяющих соотношений из R-UR--

используемых в качестве меток в сложных и Ц~ слойных коль-

цевых диаграммах, что можно сделать, зная параметр кольцевой R-диаграммы, который для каждой пары сопряженности тупиковых слов эффективно вычисляется.

Основным результатом статьи [22] является утверждение: если Q~ конечно определенная группа Артина большого типа с числом образующих tl,fl>2, и слово w6'G содержит минимум три образующих ,и ¿,J-€J, то централизатор циклическая подгруппа. Следующий пример опровергает данное утверждение. Рассмотрим группу Q- <С[} 6, С, d> аво[ =6й6, UCa^CUC,

ada~-dcid, 6ев=свс, Ш-dSd, с deeded у

и слово W~DlciCCl6ccx6Gli, W- тупиковое слово, удовлетворяющее соотношению: \/m ; CL~mwOLm~W.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных конференциях и международных конференциях в Новосибирске (1989 г.) и в Туле (1996 г.), а также на семинаре в МГУ по алгоритмическим проблемам алгебры, руководимом чл.корр. РАН С.И.Адяном и семинаре кафедры алгебры в МГУ под руководством профессоров А.Л.Шмелькина и А.Ю.Ольшанского.

ству аналогичных теорем

группах главы V. Для этого

-

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Безверхний, Владимир Николаевич, 1997 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Адян С.И. Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем теории групп. Тр.Мое.мат.об-ва, 1957. Т.6, 231-298.

2. Appel K.J., Schupp P.E. Artin groups and Infinite Coxeter groups. Jnvent.Math., 1983, 72, 201-220.

3. Appel K.J. On Artln groups and Coxeter groups of large type. Contempor.Math., 1984, v.33, 50-78.

4. Baumslag B. Jntesectlon of finitely generated subgroups in free product. J.London Math.Soc., 1966, 41, 673-679.

5. Безверхний B.H. Решение проблемы вхождения для одного класса групп. Сб. Вопросы теории групп и полугрупп. Тула:Тульский гос. пед. ин-т, 1972, 3-86.

6. Безверхний В.Н. Нильсеновский метод сокращения для свободного произведения групп. Сб. Научные труды каф.выс.матем. ТулПИ. Тула, 1972, 44-70.

7. Безверхний В.Н. О неразрешимости проблемы вхождения для некоторого класса групп. Сб.Научные труды каф.выс.матем.ТулПИ. Тула, 1972, 117-121.

8. Безверхний В.Н. О пересечении конечно порожденных подгрупп свободной группы. Сб.Научные труды каф.выс.матем.ТулПИ. Тула, 1974, 51-56.

9. Безверхний В.Н., Роллов Э.В. О подгруппах свободного произведения групп. Современная алгебра, вып.I, Ленинград, 1974, 16-31.

10. Безверхний В.Н. Неразрешимость проблемы сопряженности подгрупп для свободного произведения свободных групп с объединением. Сб.Научные труды каф.выс.матем.ТулПИ. Тула, 1975, 90-94.

И. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. Современная алгебра, вып.6, Ленинград, 1977, 16-23.

12. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. Современная алгебра, вып.6, Ленинград, 1977, 24-32.

13. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для свободного произведения групп. XI Всесоюзная алгебраический коллоквиум. Резюме сообщений и докладов, Кишинев, 1971, 9-10.

14. Безверхняя И.С. О сопряженности конечных множеств подгрупп в свободном произведении групп. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвуз.сб. науч.тр., Тула, 1981, 102-116.

15. Брискорн Э., Сайто К. Группы Артина и группы Коксетера. Математика, сб.перев., 1874, 18, N6, 56-79.

16. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М., Мир, 1972.

17. Gersten S.M., Short Н.В. Small cancelation theory and automatic groups. Jnvent Math., 1990, 102, 305-334.

18. Gersten S.M., Short H.B. Small cancelation theory and automatic groups, Part II. Jnvent Math., 1.991, 105, 641-662.

19. Gersten S.M., Short H.B. Rational subgroups of biautomatlc groups. Annals, of Math., 1991, 134, 125-158.

20. Garsldl F.A. The braid group and other groups. Quart J. Math., 1969, 20, 235-254.

21. Гриндлингер М.Д. Сопряженность подгрупп свободных групп. Сиб.мат.ж. , 1970. Т. И, 1178-1180.

22. Arye Jahasz. Fusion In Artln Groups I. J.London Math.Soc., 1991. 2, 44, 287-300.

23. Karrass A., Solitar D. The subgroups of a free product of two groups with an amalgameted subgroups. Trans, of the Amer. Math. Soc. v.150. 1970, 227-255.

24. Классен В.П. Проблема вхождения для некоторого класса групп Артина. Алгебра и логика. 9. N3, 1970, 306-312.

25. Comerford L.P. A note on power-conjugacy, Houston, J.of Math. 1977, 3, N3, 337-341.

26. Курош А.Г. Теория групп. Наука. М., 1967.

27. Larsen L. The conjugacy problem and cyclic HNN constructions. J.Austral. Math.Soc. 1977.A.23. N4. 385-401.

28. Lyndon R.C. On Dehn's algorithm. Math.Ann. 1966, 166, 208-228.

29. Линдон P., Шупп П. Комбинаторная теория групп. Мир, Москва, 1980.

30. Lipshutz S. Generalization of Dehn's result on the conjugacy problem. Proc. Amer. Math. Soc. 1966, 17, 759-762.

31. Мальцев A.M. О гомоморфизмах на конечные группы. Учен.зап. Ивановского пед.ин-та, 1958, 49-60.

32. Мальцев А.И. Два замечания о нильпотентных группах. Мат.сб. 1955, 37, N3, 567-572.

33. Маканин Г.С. О нормализаторах группы кос. Мат.сб. 1971, 86, N2, 171-179.

34. Маканина Т.А.Об одной системе уравнений в группах кос. Изв.выс.уч.завед., Математика, 1986, N9, 58-62.

35. Miller C.F. III. On group theoretic decision problem and their classification. Ann. of Math. Studies. 1971, 68. Princeton University Prass.

36. Miller C.F. Ill, Schupp P.E. Embeddings into Hopfian groups. J.Algebra. 1971, 17, 171-176.

37. Михайлова К.А. Проблема вхождения для свободного произведения групп. Мат. сб., 1968, 75, N2, 199-210.

38. Михайлова К.А. Проблема вхождения для прямых произведений групп. Мат.сб., 1966, 70, N2, 241-251.

39. Молдаванский Д.И. Сопряженность подгрупп свободной группы. Алгебра и логика. 1966, 8, N6, 691-694.

40. Молдаванский Д.И. Сопряженность подгрупп свободного произведения групп. Уч. зап. Иван. гос. пед. ин-та, 1972, 106, 123135.

41. Mc.Donough Т.P. Root-closure In free groups. J.London Math. Soc., 1970, 2. N2.

42. Новиков П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп. Труды Матем. ин-та им.Стек-лова 14, 1955.

43. Newman В.В. Some results of one-relator groups. Bull. Amer. Math. Soc., 1968, 74, 568-571.

44. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М. , Наука, 1989.

45. Pride S.J. Small cansellation satisfied by one-zelator groups. Math Z. 1984, 283-286.

46. Ремесленников B.H. Сопряженность подгрупп в нильпотентных группах. Алгебра и логика, 1967, 6, N2.

47. Schupp P. A strengthened Freiheitssatz. Math. Ann. 1976, 221, 73-80.

48. Schupp P. On Dehn's algorithm and conjugacy problem. Math. Ann. 1968, 178, 119-130.

49. Howson A.G. On the intersection of finitely generated free groups. J.London Math. Soc. 1954, 29, 428-434.

50. Холл M. Теория групп. Москва, 1962.

51. Щепин Г.Г. К проблеме вхождения в конечно определенных группах. Сиб.мат.ж. 1968, т. IX. N2, 443-448.

52. Федоров Ю.Г. О бесконечных группах, все нетривиальные подгруппы которых имеют конечный индекс. У.М.Н., 6. N1. 1951, 187-189.

53. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения в классе HNN-групп. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвуз.сб.научных тр. Тула, 1981, 20-62.

54. Безверхний В.Н., Гринблат В.А. О проблеме вхождения в группах Артина конечного типа. Сиб.мат.ж. Т.XXIII, 1982, 19-28.

55. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложения. Межвуз. сб. научных тр. Тула, 1983, 50-80.

56. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения в группах с одним определяющим соотношением с нетривиальным центром. Деп. Сиб. матем. ж. Т. XXVI, N2, 1985, 219-220.

57. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения в некоторых классах групп с одним определяющим соотношением. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвуз. сб. науч. тр. 1986, Тула, 3-21.

58. Безверхний В.Н. Неразрешимость проблемы вхождения в группах Артина конечного типа. Сиб. мат. ж. т. XXVI. N5. 1985, 27-42.

59. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах Артина и Коксетера большого типа. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвуз.сб.науч.тр. Тула, 1986, 26-61.

- 4С5 -

60. Безверхний В.Н. 0 проблеме сопряженности слов в некоторых классах групп. Международная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории групп. Новосибирск, 1989.

61. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности слов в некоторых классах групп. Деп. Сиб. мат. ж. Т.31. N4. 1990.

62. Безверхний В.Н. Решение проблемы сопряженности в некоторых классах групп. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвуз. сб. науч. тр. Тула, 1990, 103-152.'

63. Безверхний В.Н. Решение проблемы вхождения в некотором классе групп. Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Межвуз. сб.науч.тр. Ярославль, 1990, 40-52.

64. Безверхний В.Н. О пересечении подгрупп в одном классе групп. Десятая Всесоюзная конференция по матем. логике. Алма-Ата, 1990.

65. Безверхний В.Н. О нормализаторах в группах Артина и группах Коксетера большого типа. Международная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории групп. Новосибирск, 1991.

66. Безверхний В.Н. О нормализаторах в С(р) & Т^) - группах. Международная конференция по алгебре. Тезисы докладов по теории групп. Новосибирск, 1991, с.8.

67. Безверхний В.Н. О нормализаторах в С(р) & Т(ч) - группах. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвуз. сб.науч.тр. Тула, 1994, 4-58.

68. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в классе С(р) & Т^) - групп. Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения. " Тезисы докладов. Тула, 1996, с. 15.

69. Petrowski A. The isomorfism problem for one relator groups with non-trivial centre. Math.Z., 137, 1974, 95-106.

70. Karras A., Solitar D. Supgroups of HNN-groups and groups with one defining relation. Can.J.Math., XXIII, N4, 1977, 627-643.

71. Маканина Т.А. Проблема вхождения для групп кос Bn+i при п+1>5. - Мат.заметки, 1981. Т.29, N1, с.31-33.

72. Безверхний В.Н., Безверхняя И.С. 0 корневом замыкании подгрупп в HNN-группах. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвуз.сб.научн.тр., Тула, 1990, с.14-42.

73. Безверхний В.Н. 0 пересечении подгрупп в HNN-группах. Фундаментальная и прикладная математика. Т.4, N 1, 1998, 1,5 п. л.

74. Безверхний В.Н. Решение обобщенной проблемы сопряженности слов в С(p)&T(q)-группах. Известия Тульского гос.универ., сер.Математика. Т.4, Тула, 1998, 0.8 п.л.

75. Безверхний В.Н. Решение проблемы обобщенной сопряженности слов в группах Артина большого типа. Фундаментальная и прикладная математика. Т.5, N 1, 1999, 2.2 п.л.

76. Безверхний В.Н. 0 неразрешимости проблемы сопряженности

¡Ш, т £ sr^y

подгрупп в группе крашеных кос. Матёмат. замёткйг- 0.9 п. л.

77. Безверхний В.Н. Обобщение одного результата Ньюмана. Международ. алгебраич. конф. памяти А.Г.Куроша. Москва, 1998, 0,04 п.л.