Конечные p-группы с циклическим коммутантом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Финогенов, Антон Анатольевич

• Финогенов, Антон Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Финогенов, Антон Анатольевич

Оглавление

1 Введение

1.1 Обсуждение тематики

1.2 Основные результаты

1.3 Апробация результатов

2 Определения и вспомогательные результаты

2.1 Обозначения и определения

2.2 Собирательная формула Ф.Холла

Лемма 1

Предложение 2

Предложение 3

2.3 Группы с циклическим коммутантом

Лемма 2

Лемма 3

Лемма 4

Лемма 5

Лемма 6

Предложение 4

Лемма 7

3 Группы с циклическим коммутантом

3.1 Конечные 2-группы с циклическим коммутантом

Теорема 1

3.2 Группы с циклическим коммутантом и циклическим центром

Лемма 8

Теорема 2

Лемма 9

Теорема 3

Лемма 10

Лемма 11

4 Группы и кольца Ли

4.1 Случай с1(в) <р

Лемма 12

Лемма 13

Определение 2

Предложение 5

Предложение б

Теорема 4

Предложение 7

4.2 Случай с/(67) > р

Определение 6

Теорема 5

Лемма 14

Следствие 1

Лемма 15

Лемма 16

Теорема 6

Лемма 17

Лемма 18

Лемма 19

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечные p-группы с циклическим коммутантом»

1 Введение

1.1 Обсуждение тематики

По теореме Силова конечная группа содержит подгруппы, порядок которых — степень простого числа р. Поэтому знания о детальном строении р -групп могут быть полезны в решении многих задач, связанных с конечными группами. Например, результаты исследований конечных 2-групп оказали значительную помощь в классификации конечных простых групп.

Конечные р— группы являются весьма сложным объектом для изучения, так как с ростом порядка группы разнообразие в строении р -групп и их количество возрастает черезвычайно быстро. Например, неизоморфных 2-групп порядка 26 уже более тысячи. Поэтому особый интерес представляет поиск и изучение тех классов р-групп, которые поддаются детальному описанию.

Один из таких классов — конечные р-группы с циклическим коммутантом. Он интересен и тем, что любая неабелева р -группа обязательно содержит подгруппу с неединичным циклическим коммутантом.

Первая часть диссертации посвящена изучению этого класса р-групп. Одним из первых результатов на эту тему было описание (с точностью до изоморфизма) экстраспециальных1 групп, полученное Ф.Холлом [15]. Эти группы особым образом (при помощи центрального произведения2) собираются из двух двупорожденных групп порядка р3.

Существует множество работ, в которых с разных точек зрения изучались группы с циклическим коммутантом и некоторыми добавочными условиями (смотри, например, [8], [19], [24], [4], и [26]). Наиболее широкий класс — р-группы с циклическим коммутантом при р > 2 и 2 -группы С с циклическим коммутантом и дополнительным условием [С?, (?, О] С [С, С?]4,

^то р-группы, у которых центр и подгруппа Фраттини имеют порядок р.

2Центральное произведение — это гомоморфный образ прямого произведения, в кото-

ром "склеиваются" только подгруппы из центров сомножителей.

исследован Я.Ченгом [8], показавшим, что эти группы пред-ставимы в виде центрального произведения 2-порожденной группы и группы класса нильпотентности 2.

Что касается групп класса 2 с циклическим коммутантом, то изучением их строения занимались многие авторы, и в [19] и [20] Леонгом получено описание (с точностью до изоморфизма) конечных р -групп класса 2 с циклическим центром (и значит, с циклическим коммутантом).

На пути описания с точностью до изоморфизма более широких классов групп В.В. Сергейчуком [4] обнаружено непреодолимое препятствие: получение описания конечных р-групп с коммутантом типа (и без ограничений на центр) эквивалентно решению дикой матричной задачи — приведению к каноническому виду пары матриц одновременными преобразованиями подобия.

В диссертации получены следующие результаты: во-первых, исследовано строение 2-групп, в которых не выполняется условие [О, С, С] С [(7, С]4. Такие группы представимы в виде центрального произведения не более чем 4-порожденной группы с группой класса 2.

Во-вторых, описаны с точностью до изоморфизма конечные р-группы с циклическим коммутантом, циклическим центром и классом нильпотентности больше 2 (при р = 2 описаны только группы с условием [С, С, О] С [С, (?]4). Описание получилось весьма громоздким (такие группы представимы в виде центрального произведения 2-порожденной группы одного из 13 типов, задаваемого пятью числовыми параметрами, с группой класса 2). Учитывая результаты В.В. Сергейчука, можно даже предположить, что это — максимальный естественно определенный класс р-групп, допускающий приемлемое описание.

Другое направление исследований в диссертации — это установление связи между р-группами и кольцами Ли.

Конечную р-группу можно построить из абелевой, после-

довательно присоединяя автоморфизмы порядка р, поэтому коммутаторная структура ^-группы в большой степени характеризует структуру всей группы, и коммутаторное исчисление — один из основных инструментов в изучении р-групп.

Известен следующий подход, облегчающий вычисления: на множестве элементов группы определяют операции кольца Ли, определенным образом связанные с групповой операцией, что позволяет линеаризовать некоторые коммутаторные вычисления в группе.

С 50'х годов был известен только один способ подобного превращения р -группы в кольцо Ли3, основанный на формуле Бейкера-Хаусдорфа, которая возникла из следующих соображений.

Рассмотрим степенной ряд ех — 1 + х/1! + х2/2\... в ассоциативной алгебре А над полем характеристики 0. Возникают некоторые проблемы с определением сходимости подобных рядов, но их можно преодолеть, ограничившись нильпотент-ными алгебрами (в этом случае ряд превращается в конечную сумму), или вводя на алгебре некоторую топологию [1]. Операция хОу — г, определенная по правилу ехеу = ег, является групповой операцией на множестве элементов А. Оказывается, если брать х и у из Ь — подалгебры алгебры Ли, ассоциированной с А, то г тоже лежит в Ь. Более того, существует формула х<Эу = х + у+ (х,у)/2 + ... (под (х, у) имеется в виду лиево коммутирование — (х, у) = ху — ух), известная как формула Кемпбелла - Бейкера - Хаусдорфа - Дынкина, позволяющая выразить групповую операцию О через сложение и лиево коммутирование. Таким образом, можно определить на некоторых алгебрах Ли групповую структуру [1].

Эта формула впервые была открыта в 1898 году Кемпбел-лом для некоторых матричных алгебр, затем передоказана независимо Бейкером и Хаусдорфом в более абстрактном случае, и в 1947 году Дынкиным были в явном виде вычислены

3Можно строить градуированное кольцо Ли на факторах нижнего центрального ряда [16], но при этом заведомо теряется некоторая информация о строении группы.

ее коэффициенты.

Основываясь на этой формуле А.И.Мальцев [2], установил связь между полными4 нильпотентными группами без кручения и нильпотентными алгебрами Ли над полем рациональных чисел.

Изучение коэффициентов в формуле Бейкера - Хаусдор-фа показывает, что знаменатели коэффициентов при слагаемых, не лежащих в р-ом члене нижнего центрального ряда, взаимно просты с р. Это позволяет перенести результаты Мальцева на конечные р -группы (так как их можно считать "полными" группами, если ограничиться извлечением корней степени, взаимно простой с р). Это и было проделано Лаза-ром в [18], установившим связь между конечными р-группами класса нильпотентности, меньшего р, и соответствующими кольцами Ли.

Следует заметить, что группы и кольца Ли, связанные формулой Бейкера - Хаусдорфа, обладают похожими алгебраическими свойствами, так как групповому гомоморфизму соответствует кольцевой гомоморфизм, подгруппе соответствует подкольцо и т.п.

Этот факт был успешно использован Сановым [3], Магнусом [21], Хухро [5] и некоторыми другими авторами для получения значительных результатов о р-группах, в частности, при решении ослабленной проблемы Бернсайда.

В связи с этим представляется интересным поиск других классов регулярных р-групп, допускающих превращение в кольца Ли с сохранением основных абстрактных алгебраических свойств.

Начало следующему этапу исследований в этом направлении положил Куппер, когда ввел в [10] понятие вербалъно-абелевой группы. Это — группа, на которой можно ввести при помощи группового слова }¥(а,Ь) операцию а + Ь = 1У(а,Ь),

4Группа называется полной, если в ней разрешается вычислять корни, то есть для любого элемента х из группы и натурального п в группе существует такой у , что у" = х .

относительно которой множество элементов группы является абелевой группой. Там же Куппер "вручную" доказал, что вербально-абелевыми являются р -группы класса 3 при р > 3 (вербальная абелевость р -групп класса 2 при р > 2 была известна уже давно). А в [13] Гроуз установил вербальную абелевость конечных р-групп класса нильпотентности, меньшего р1 методами, не использующими формулу Бейкера - Хаусдор-фа. Им же было замечено, что вербально-абелевы р -группы регулярны. Отметим, что не все регулярные группы являются вербально-абелевыми.

Критерий регулярности до сих пор не найден, но известны два условия, каждое из которых влечет регулярность р-группы: коммутант экспоненты5 не выше р, или "узкий" коммутант — условие типа [С, С,..., С] С (С)р.

В [6] Е.И.Хухро построил пример регулярной 3-порожденной р-группы экспоненты р и класса р, допускающей автоморфизм со свойствами, которых не может быть у автоморфизма абелевой группы (в частности это означает, что эта группа не вербально-абелева и не может быть превращена в кольцо Ли). В связи с этим было принято решение искать группы, допускающие превращение в кольца Ли, среди групп с "узким" коммутантом.

В диссертации найден специфически определенный класс р -групп (содержащий все конечные р -группы с циклическим коммутантом), допускающих подобного рода превращение в кольцо Ли.

Кроме того, в диссертации приводится новое доказательство собирательной формулы Ф.Холла, точнее, доказательство регулярности р-групп, класса нильпотентности меньшего р, — утверждения, с которого началось изучение регулярных р-групп. Все предыдущие доказательства этого факта [17], [1],

5 Говорят, что группа имеет экспоненту п , если п — наименьшее число для которого хп = 1 является тождеством в группе.

[16] основаны на использовании собирательного процесса6, и поэтому в них необходимо применение специфических комбинаторных вычислений. Предлагаемое доказательство не использует собирательный процесс, а основано на методах, развитых при изучении строения минимальных нерегулярных р-групп [22] [23], благодаря чему оно небольшое по объему и содержит только стандартные теоретико-групповые рассуждения.

1.2 Основные результаты

Нам понадобятся некоторые определения и обозначения.

Под г, 2 з к, I, т, п, /, я будут подразумеваться неотрицательные целые числа, Z(G) — центр и 7¿(С) — г-ый член нижнего центрального ряда группы (2,

Будем говорить, что группа С разложима в центральное произведение групп А и В, и обозначать С = А*В, если С = АВ и [А, Б] = 1. Центральное произведение играет важную роль в строении р-групп с циклическим коммутантом, как это видно из следующего утверждения, обобщающего известную лемму Шериева [7].

Лемма 3 Пусть О — конечная р-группа, а, Ь — такие ее элементы, что (а^Ь)' — циклическая группа и [(а, 6), (7] < (а, Ъ)'. Пусть при р — 2 выполняется 73({а, 6)) < ((а,Ь)')4. Тогда в = (а,Ъ) * Сс{(а,Ь}).

Строение 2-порожденных р-групп с циклическим коммутантом описывается в следующем утверждении:

Лемма 4 Пусть С — конечная 2 -порожденная р-группа с циклическим коммутантом и при р = 2 выполняется 7з(С) < (С)4. Тогда выполнено одно из утверждений:

1) С абелева,

6Это процесс перестраивания слова арЬр в слово (аЬ)р ■ сРг ..., используя тождество аЬ = Ьа[а, Ь] .

2) G = (a)(b), где [a:b] = Ьрк и при р = 2 выполняется к > 1 или

3) G = {а){Ь){с), где с Е Z(G), [а,Ъ] = У?с, к > 1, а при р = 2 выполняется к > 1.

Теорема 1 Пусть G — конечная 2 -группа с циклическим коммутантом и условием 73(G) (С)4. Тогда, G = А * В, где \В'\ <2, а А — одна из следующих групп:

a) (а)(Ъ)(д), где [a,b] = g, [а,д] Е (¡ГШ), [М е (д4),

b) (а)(Ь)(д)(с), где а, Ъ, g удовлетворяют условиям пункта а) и [а2, Ь] = [а, с] = 1, [b,c] Е (р2), [р,с] Е (#4),

41 > |Ь,с]| пли [Ь,р] = 1,

c) (a)(b)(g)(c)(d), где a, b, д, с удовлетворяют условиям пункта Ъ) и [а, d] = [Ь, с?] = [д, с?] = 1; [с, (¿] Е (р), \[c,d]\ = 2, j [Ь, с] | > 2 .

Описание (с точностью до изоморфизма) р -групп с циклическим коммутантом и циклическим центром формулируется в трех утверждениях: лемме 8, теореме 2 и теореме 3. Поскольку их формулировки черезвычайно громоздки, здесь приводится только их часть.

Лемма 8 (Сокращенный вариант). Существует всего тринадцать типов конечных 2-порожденных р-групп G класса больше 2 с циклическим центром, циклическим коммутантом порядка ps и с двумя условиями: 1) [G' : 73(G)] = рк , 2) при р = 2 к > 1. (Полный список групп следует искать в лемме 8, а ниже приводится представление только одной из них):

G = (a)(6)(c); |aj - > |6j = ps+i+k ^ |с| = pt+i+k ^

ар° = ^>kcy = [a?c] = = [a?&] = tf>kC} где

t — s - к , I > 0, t > т > 0 и ip ф 0 (mod р);

а

Рис. 1: Иллюстрация к лемме 8

Теорема 2 (Сокращенный вариант). Существует тринадцать типов конечных р-групп Р класса больше 2 с циклическим коммутантом, циклическим центром и с условиями:

\Р'\ = [Р' : 7з(Р)] = р*, а при р = 2 еще и к > 1.

А именно: Р — центральное произведение £ на И, где И — конечная р-группа класса 2 с циклическим центром, 2{Сх) С И, \П'\ <рк,В — группа класса 2; более полно определенная в теореме 2, а С — группа из леммы 8.

Теорема 3 (Сокращенный вариант). Если Р и Р — группы, удовлетворяющие условиям теоремы 2 у з у 1ь у ^) ^) т, (р — параметры группы Р, аналогичные соответствующим параметрам группы Р, то Р = Р тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) Р и Р — группы одного типа (в смысле теоремы 2);

2) Параметры з, к, t, I и т совпадают СБ, к, / и ТП

3) £> = £>;

4) (f> = <p (mod £>min(m>u))} где и такое число, что |с|р' " = exp(D) (если G и G — группы того типа, который приведен в сокращенном варианте леммы 8. Для других типов групп на <р и (р накладываются другие ограничения).

Для формулировки дальнейших результатов нам понадобятся следующие определения (через q будем обозначать некоторую степень р, а парой лиевых операций называть операции сложения и коммутирования, связанные аксиомами кольца Ли).

Определение 2 Пусть Wq(x,y) и Vq(x,y) — некоторые групповые слова, для которых в свободной группе класса р— 1 со свободными образующими {а, b} выполнено

aqbq = (abWq(a, б))9, [а\ bq] = ([a, b]Vq(a, b))q2.

(Их существование вытекает из собирательной формулы Холла.)

Определим пару операций х -\-q у = xyWq(x,y) и (x,y)q = [x,y]Vq(x,y).

В лемме 12 показано, что группы класса не выше р — 1 и экспоненты не выше q будут кольцами Ли относительно определенных таким образом операций. (В частности там доказано, что это определение корректно — значения a b и (a, b)q не зависят от выбора слов Wq(x, у) и Vq(x,y)).

Теорема 4 На конечных р -группах класса нильпотентности не выше р — 1, может быть определена одна и только одна пара лиевых операций а-\-*Ь и (а, &)* со свойствами

1) а+*Ъ=а-Ъ (mod (а, Ъ)') и (а, Ь)* = [а, 6] (mod 7з((а, Ь))),

2) Каждый групповой гомоморфизм между группами из этого класса является кольцевым гомоморфизмом.

На группах экспоненты q эта пара операций совпадает с лиевыми операциями a +qb и (a,b)q из определения 2.

Будем называть эту пару лиевых операций стандартной парой лиевых операций.

Введение на группе стандартных лиевых операций фактически устанавливает отображение из класса конечных р-групп класса нильпотентности не выше р — 1 в класс колец Ли. Это отображение инъективно, так как формула Бейкера -Хаусдорфа, определяющая связь между кольцами Ли и группами, устанавливает обратное отображение.

В диссертации (в предложении 7) приводится и другое доказательство инъективности этого отображения, не использующее формулы Бейкера - Хаусдорфа.

Назовем класс р-групп (g, к) -замкнутым, если у всех групп из этого класса экспонента не превосходит g, и он замкнут относительно подгрупп, гомоморфных образов и прямого произведения на р-группы класса нильпотентности не выше к и экспоненты не выше д.

Назовем пару лиевых операций, определенных на группах из некоторого класса р-групп к-стандартной, если для нее выполнены условия 1 и 2 из теоремы 4, и на р -группах класса нильпотентности не выше к эти лиевы операции образуют стандартную пару лиевых операций.

Конечную р-группу G назовем г-узкой (г — натуральное число), если все ее факторгруппы подгрупп N обладают свойством:

[N',N,...,N] С (N')p.

г

Кроме того, обозначим: Gn = {g | g E G,gn = 1) и Gn — (gn\geG).

Все эти определения понадобились нам для того, чтобы сформулировать основную теорему третьей части диссертации:

Теорема 5 На группах из (g, (г + 1)) -замыкания класса, образованного конечным числом групп G = G/Gqz{G')q, где G берутся из класса г-узких р-групп и 2 + 2r < р можно

определить (г + 1) -стандартную пару лиевых операций.

Доказано также, что отображение из класса групп в класс колец Ли, задаваемое этой парой операций, инъективно.

Классы групп, определенные в теореме 5, достаточно широки. В частности, они содержат р-группы с циклическим коммутантом при р > 5. Более того, выполнена

Теорема 6 На конечных р -группах (р > 5) с циклическим коммутантом можно определить одну и только одну 2 -стандартную пару лиевых операций.

1.3 Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 100-летию Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994), IV Международной Алебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), заседании семинара "Алгебра и логика" СО РАН, заседаниях семинара "Алгебраические системы" (УрГУ) и заседаниях алгебраического семинара отдела алгебры ИММ УрО РАН.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [26] [31].

2 Определения и вспомогательные результаты

2.1 Обозначения и определения

Введем обозначения:

1) Gn = (g\g(EG}gn=:l).

2) Gn = {gn\geG).

3) Под р будет подразумеваться некоторое простое число.

4) q будет обозначать некоторую степень р.

5) Будем называть группу n-абелевой, если для ее элементов выполнено тождество апЪп = (ab)n.

6) Экспонента группы G (обозначается exp(G)) это наименьшее число п, для которого хп = 1 — тождество группы G.

7) Z(G) — центр, ji(G) — г-ый член нижнего центрального ряда, a Zi(G) — г-ый член верхнего центрального ряда группы G.

8) А*В обозначает центральное произведение групп А и В. Говорят, что группа G разложима в центральное произведение своих подгрупп А и В, если G — А-В и [А, В] = I.

Будем называть группу G р-регулярной (р — простое число), если для любых ее элементов а и b

(а -Ь)р = ар - If (mod ((a,b)')p). (1)

Конечные р-регулярные р-группы принято называть регулярными группами. Они были введены в рассмотрение Ф.Холлом [17] в 1933 году и активно исследовались многими авторами. Несложно заметить, что большинство результатов о строении конечных регулярных р-групп (например из [15]) переносятся на нильпотентные р-регулярные группы7. Для

7Это было отмечено в [13].

этого достаточно в соответствующих доказательствах использовать индукцию по классу нильпотентности вместо индукции по порядку группы.

Ниже приведены некоторые свойства р-регулярной ниль-потентной группы б и ее элементов а, Ъ.

1) Срп = {д\деС:дрп=1}.

2) ОГ = {дГ \дес}.

3) Существует с £ С, такой, что аяЬч = с9.

4) Существует с Е С , такой, что [а91, Ь92] = с91'92.

5) а9 = б9 <=> (а • б"1)9 = 1.

6) [а91,Ь92] = 1 <£> [а,Ь]91'92 = 1.

Основным результатом, стимулировавшим изучение регулярных групп, была так называемая собирательная формула Холла — утверждение, из которого следует р -регулярность групп класса нильпотентности меньше р.

2.2 Собирательная формула Ф.Холла

Следуя М.Холлу, следующее утверждение будем называть собирательной формулой Холла.

Предложение 1 Пусть х,у 6 С. Тогда существуют такие элементы сг- € 7; (С), что

хрур = (ху)р4 ■ ■ • 4-1 ср • • •

Доказательства этого факта, несмотря на значительные улучшения в [15] и [1] остаются довольно трудными, так как основаны на применении собирательного процесса.

Ниже приводится простое доказательство собирательной формулы Ф.Холла, не использующее собирательный процесс.

Доказательство. Сначала мы докажем, что группы с классом нильпотентности меньше р являются р-регулярными.

Введем новое обозначение8.

= у~рх~р(ху)р.

Следовательно, группа р-регулярна, если для любых х, у £ в

и ^-абелева, если (х,у) = 1.

Лемма 1 Если С — группа с тождеством (х[у, г])р = х,у£С,с€.Си8 — целое число, то

1) (хс)р = хр,

2) ехр(С)=р, вр < г {в) [22],

3) (х\ у°) = (х,уу .

Доказательство. (1) Пусть с можно представить в виде произведения п коммутаторов. Тогда (хс)р = (хд[а, Ь])р — [хд)р, где с£ представим уже в виде произведения п — 1 коммутатора, и очевидная индукция показывает, что (хс)р = хр.

(2) Взяв х = 1, из (1) получим ехр(С) = р. Из равенства (хр)у = (ху)р = (ф, у])р = хр следует вр < г (в).

(3) С одной стороны (х8у8)р = хр8ур8(ху8), с другой — для некоторого с £ С (х8у8)р = ((ху)8с)р = (ху)ря = (хрур(х,у)У = хрБур8(х^ уУ. И после приравнивания и сокращений получим требуемое. □

Предложение 2 9 Для нильпотентной группы С следующие утверждения эквивалентны.

8Это не слишком удачное обозначение, но мы не будем им пользоваться нигде кроме этого доказательства.

9Это утверждение было доказано в [23] для р -групп.

1) С у-регулярна.

2) Любая 2-порожденная секция группы (■?, удовлетворяющая тождеству (х[у,г])р = хр, р-абелева.

Доказательство.

1 2. Любая секция ^-регулярной группы сама р-регу-лярна, а ее р-абелевость следует из (2) леммы 1.

2 =>• 1. Воспользуемся индукцией по классу нильпотентности. Пусть а,Ь е С, Н = (а, Ь)/((а, Ь)')р; х,у,г £ Н и Р = (х, [у, г)). Заметим, что с/ (Р) < с/ (Н) < с1 (С), а так как любая секция р является также и секцией по предположению индукции Р р-регулярна, а значит, и р-абелева. Следовательно, (х[у, г])р = хр[у, г]р = хр , и по условию Н р-абелева. Отсюда а-рЪ~р{аЪ)р е ((а,Ъ)')р. □

Определение 1 Будем называть многообразие минимальным не р -регулярным1®, если оно содержит не р-регулярную группу; но все его собственные подмногообразия состоят из р -регулярных групп.

Предложение 3 [25] Пусть Р — свободная группа ниль-потентного минимального не р -регулярного многообразия со свободным базисом {а, Ь}, и с1 (Р) = п . Тогда п = 1 + к(р — 1) и к > 1.

Доказательство. Так как Р не ^-регулярная группа, она порождает все многообразие. Из предложения 2 следует, что на Р выполнено тождество (х[у, г])р = хр, и по пункту (2) леммы 1 ехр(Р') = р.

Определим коммутаторное слово и (а, Ь) следующим образом: поскольку Р/^п(Р) р-абелева (так как она лежит в собственном подмногообразии), то (а,Ь) € 7п(Р), и, значит, на Р выполнено

(а, 6) = и(а, Ь).

10В [25] и [14] многообразие регулярных и минимальных нерегулярных групп определяются несколько иначе

Ясно, что u(a, b) — произведение простых коммутаторов от а, Ь веса п.

Так как {а, Ь} — свободный базис, по [15, 3.6.8], для любого целого s

(as, bs) = u(as,bs) = u{a,byn = (a,6)s".

С другой стороны, по пункту (3) леммы 1 (as, bs) — (о, b)s. Так как (a, b) ф 1, по пункту (2) леммы 1 \(а, Ь) \ = р. Итак, s = sn (mod р) для любого s. Отсюда следует, что п = I + к(р — 1). Очевидно, к ф 0. □

У многообразия состоящего из р-регулярных групп свободная 2-порожденная группа очевидно тоже регулярна, и, поэтому, группы из этого многообразия более чем просто р-регулярны. На них выполняется тождество похожее на равенство (1). Поэтому, если в многообразии есть не р-регулярная группа, то стандартные рассуждения с использованием леммы Цорна показывают, что это многообразие содержит минимальное не ^-регулярное подмногообразие. А так как, по предложению 2, многообразие групп класса р — 1 не может содержать минимального не р-регулярного подмногообразия, то оно состоит из р-регулярных групп.

Поскольку свободная нильпотентная группа не имеет кручения, то доказательство собирательной формулы легко провести индукцией по классу нильпотентности. □

2.3 Группы с циклическим коммутантом

Лемма 2 Пусть G — конечная р-группа с циклическим коммутантом и а, Ъ — неперестановочные элементы из G. При р = 2 пусть дополнительно [G',a] < (G')4 . Тогда

1) \[Ъ1а\\ = \[Ъ,аР}\-р=\[ЬР,а}\-р,

2) если z — произвольный элемент порядка р из G', то [a, ba] = z для некоторого натурального а,

3) если а, Ъ, с — такие элементы G, что |[а,6]| > |[Ь,с]|, то [6, аас\ — 1 для некоторого натурального а,

4) {а,Ъ)' = {[Ь,аа] | а > 0} [11].

Доказательство. (1) Заметим, что [Ь,а,а] лежит в ([6, а]4} при р = 2, а при р > 2 [6, а, а] £ ([Ь,а]р) и [6, (г)а] £ ([Mf ; (г > 1). Отсюда [6, а"] = [Ъ,а]р.. .[Ъ,(р)ар £ ([Ь,а]")\<[Ь,а]Р?) и, значит, |[Ь, ap]j = |[&,а]|

Доказательство (2) ведем индукцией по порядку [6, а]. Если \[Ь, а]| = р и [6, а] = z1,, £ - натуральное, то [6, ar] = z, где г •£ = 1 (mod £>). Если |[6,a]| > р, то по (1) и по предположению индукции найдется такое натуральное t, что [b, apt] = z .

Для доказательства (3) возьмем а таким, что порядок элемента d — [b, oQc] наименьший из возможных. Если d ф 1, то по (2) леммы (2) примененной к G = G/(dp) и к а, 6, существует такое натуральное /3, что [6, а^] = d"1 (mod (dp)) и [b,aP]d = [6,аа+/?с] = 1 (mod (d?)). Отсюда \[b,aa^c]\ < , что противоречит выбору а.

Для доказательства (4) будем считать, что G = (а, 6) и обозначим {[Ь, а°] | а > 0} через D. Пусть с — элемент наименьшего порядка из G'\D. По (1) леммы (2) примененной к G/{cp) с ее [6,аа] (mod {ср}). Но (ср) С D, и, значит, с = [5, aQ][b, а'3], где [Ь, а^] £ (ср). Выберем а и /3 так, чтобы порядок [6, а'6] был наименьшим из возможных. Теперь заметим, что [Ь,аа][Ь,</] = [b,aa+/j][b,a^aa]~l = [b,aa+p] (mod [6, а**]?). Итак, с = [Ъ, где d £ ([Ь, а^]р) < (ср) С D.

А так как [Ь.а13] ф 1, то jcZj < |[6, , что противоречит выбору а и (3. □

Следующая лемма обобщает известную лемму Шериева (лемма 1 из [7] или лемма 5.4.6 из [12]).

Лемма 3 Пусть G — конечная р-группа и а, Ъ — такие ее элементы, что (а,Ь)' циклическая группа и [{a,b),G] < (а, Ъ)1. Пусть при р = 2 7з((а, b)) < ((а, б)')4 . Тогда G = (а, 6}* Сс((а,Ь».

Доказательство. Пусть с — произвольный элемент из G. Заметим, что (а, 6, с)' < (а, 6)'. По (3) леммы 2, примененной к группе (а, 6, с) и тройке а, 6, с, выполнено [6, аас] = 1 для некоторого натурального а. Применив (3) леммы 2 к тройке 6, а, аас, имеем [а, б^о^с] = 1, где (3 — натуральное число. Следовательно, Ь^аас и с лежат в (а, 6, С((а, 6))). Отсюда (? = (а,Ь,С((а,Ь))) = (а,Ь)*(С((а,Ь»>. □

Из этой леммы следует, что конечная р-группа G с циклическим коммутантом и дополнительным условием при р = 2 [G, G, G] С [G, G]4 представима в виде центрального произведения нескольких 2-порожденных групп, из которых только одна может иметь класс нильпотентности больше 2 [8].

Лемма 4 Пусть G — конечная 2-порожденная р-группа с циклическим коммутантом и при р — 2 выполняется lz{G) < {G'Y. Тогда выполнено одно из утверждений:

1) G абелева,

2) G — (a)(6), где [а:Ъ] = Ьрк и при р = 2 выполняется к > 1 или

3) G = (a)(6)(c), где с £ Z(G), [a, 6] - 6^с, к > I, а при р = 2 выполняется к > 1.

Доказательство. Пусть (g) = G', (a,d) = G и |[a,g]| > |[<7,<i]|. Применив (3) леммы 2 к a, g, d найдем элемент 6 = aa<i такой, что [6, g] = 1. Ясно, что (6, g) — нормальная абелева подгруппа в G и G — (а, 6) = (a)(b,g).

Если (6, д) циклическая, то G метациклическая, их строение хорошо известно, а если нет, то, применив (3) леммы 2 к тройке 6, а, [а, 6], найдем такой элемент с = а, 6], (3 > 0, для которого [а, с] = 1. А так как и [6, с] = 1, имеем с Е Z(G). Заметим, что [а, 6] = cb1 для некоторого натурального t. Пусть к такое число, что |6*| = |.

к

Тогда для некоторого г ф О (mod р) имеем (bt)r = 6^ и

(ctfy = crbPk. По (4) леммы 2, G' = {[&, aû] | a > 0} , и, значит, [am, 6] = crlf , m > 0. Заметим, что m ф 0 (mod р). Заменив

г к ^^

a и с на их подходящие степени, получим [a, b] = сЬР . Так как [a, cl/] = [a, bf = G 73(G), то к > 1, а если р = 2,

то к > 1. Лемма доказана. □

Лемма 5 Пусть G — р-группа с циклическим коммутантом и циклическим центром, а:Ь — элементы из G. При р = 2 потребуем дополнительно 73(G) < (G')4. Тогда

1) Если р = 2, то (ab)2k = a2kb2k[b, af^c, где с G ([6, a]2^) ;

2) Пусть |a|, |&| < ps а при р — 2 еще и |[a, b)\ < ps. Тогда \ab\<f;

3) Пусть р = 2, |a|, |6| = 2s и |[а, b]\ = 2s. Тогда \ab\ = 2s+l ;

4) Пусть р = 2, \а\ = 2S+1, |Ь| = 2s и |[а,Ь]| = 2s. Тогда \ab\ = 2s ;

5) Пусть ja| > \Ъ\, V* G {а), но if"'1 0 (а). При р = 2 пусть еще |а| > pk+1. Тогда (а) П (ааЬ) = 1 и \aab\ = pk для подходящего целого а ;

Доказательство. Утверждение (1) докажем индукцией по к. При к = 1 очевидно (а, б)2 = а262[6,а][Ь, а, Ъ]. Далее

((abf)2 = (а2' ■ Ь2>,а]2*-1 • с)2 = (Л2>,а]2"1)' ■ с2 ■ d =

(a2fc62fc)2 • [6, af • е - с2 ■ d = a2'+1 ■ b2"+1 ■ f ■ [b,af ■ e ■ c2 ■ d. Из (1)

леммы 2 следует, что d, е и / лежат в ([6, а]2*+1).

Если р ф 2, то (2) следует из регулярности групп с циклическим коммутантом [15, 3.10.2]. При р = 2 (2) и (3) следуют непосредственно из (1).

Для доказательства (4) заметим, что из (1) следует (ab)2 = а2*[Ь, а]2'-1. Так как а2\ [6, а}2$ ) лежат в циклическом и |a2'| = I[6, а]2" 1 = 2 имеем (ab)2* = 1.

При р ф 2 (5) доказано в [9, Лемма 2.1.6]. В случае р = 2 для доказательства (5) заметим, что по (1) |[а,6]| = 2*. Возможны два случая: |а| > |6| или \а?к\ = \Ь2к\ > 4. В первом случае найдется такое а, что (аа)2к = (Ь-1)2* и |а| > |аа| = |6| = 2к. По (1) леммы 2 |[аа,&]| < 2*, поэтому, по (1), \ааЪ\ < 2к. А так как |[а,6]| = |[о,аа6]|, то из (1) леммы 2 следует, что \ааЪ\ = 2к и (а) П (ааЬ) - 1.

Во втором случае (aab)2k+1 = 1 для некоторого подходящего а. То есть |а| > |аа6| и мы придем к предыдущему случаю. Итак, (5) доказано. □

Лемма 6 [20] Существует лишь четыре типа конечных 2 -порожденных р-групп класса не выше 2 с циклическим центром (а, значит, и с циклическим коммутантом)

1) При 2 г < п и р >2: Q{n,r) = (Ь)Х(а), арГ = I?" = 1, ЬРп~г — [а, Ь],

2) При 2 г>п и р> 2: Q(n, г) = (а) ((6) х (с)), af = I? = 1, с = [а, Ь], ар"~г = сР2г~п ,

3) При р= 2: Q(n) = (а)(с)(Ъ), а?" = lfn = сР"'1, |с| = рп, с = [а, 6];

— циклическая р-группа порядка рп .

Легко заметить, что центральное произведение А*В групп А и В с циклическими центрами А и В соответственно, имеет циклический центр тогда и только тогда, когда А < В или А > В. В дальнейшем нам будут встречаться именно такие центральные произведения.

Вообще говоря, центральное произведение, в отличие от прямого, определяется не только своими множителями, но и способом "склейки". Но в том случае если все группы кроме быть может одной имеют класс нильпотентности не выше

2, как замечено в [19], произведение таких групп однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своими сомножителями. Действительно, пусть например, Р = G * D — группа с циклическим центром и циклическим коммутантом, D = (a) ((b) х (с)) — группа класса 2, (с) = Z(D) и (z) = Z(G). Мы можем считать, что с — zp или срГ = z, где с = са и а ф 0 (modp). Но группа (a)(6)(c), где а = са изоморфна D. Более того, существует изоморфизм, продолжающий отображение а н» а, Ъ t-> Ъ и с 4 с. (Случай Z) = (а)(Ъ) рассматривается аналогично).

Таким образом, мы можем считать, что в центральном произведении группы "подклеиваются" друг к другу некоторым единственным каноническим способом.

Предложение 4 [19] [20] Конечная (не абелева) р-группа класса 2 с циклическим центром однозначно представима либо в виде центрального произведения групп

Q(nu ri),..., Q(na, ra),Q(lu Ji),..., Q(lp,

где Q(n,r) — группа из леммы 6, a > 0, ¡3 >0, щ > ... > na > , na > ri > ... > ra > 0, 0 < щ — ri < ... < na - ra, ¿i >•••>//?> 0, а при p = 2 еще и a > 0;

либо в виде центрального произведения групп

Q(n),Q(li,/i),... ,Q

где n > l\, li>...>lp>0,up = 2.

В дальнейшем понадобится также Лемма 7 [19] [20]

1) Если щ > П2 и щ — г\ > п2 — r2; то Q(n\, r\) * Q(n2, г2) = Q(nuri) * Q(r2,r2) .

п <П\, то Q(n)*Q(ni, 74) = Q(n—1, n-l)*Q(nb ri) •

3) Если р = 2, то <2(п, п) * С}(п, п) = + 1) * <2(п + 1).

4) Если р = 2, то п, п) = <5(п + 1, п).

3 Группы с циклическим коммутантом

3.1 Конечные 2-группы с циклическим коммутантом

Теорема 1 Пусть G — конечная 2 -группа с циклическим коммутантом и условием 73(G) ^ (G')4. Тогда G = А * В, где \В'\ < 2, а А — одна из следующих групп:

a) (а)(Ъ)(д), где [a,b} = g, [а,д] G (д2)\{д4), М] G <£4);

b) (а)(Ь){д)(с), где а, Ъ, g удовлетворяют условиям пункта а) и [а2, Ь] = [а, с] = 1, [Ъ, с] Е (g2), [д,с] G (дА),

Ч| > \[д,с]\ или [6,д] = 1;

c) (a){b){g)(c)(d), где a, b, g, с удовлетворяют условиям пункта Ь) и [а, d] = [6, d] = [g, d] = 1; [с, d] G (g), |[c, d] \ = 2, I[6,с]I > 2 .

Доказательство теоремы 1.

1) Покажем существование в G таких а и Ь, что [а,д] 0 (д4) и ([a, b]) = (д). В группе G найдутся элементы х, у, z такие, что [х,у] 0 (д4) и [y,z] = G'. Если при этом 0 (д4) или [2, ж] 0 (д2), то парой а, 6 будут соответственно у, 2 или я, 2:. В противном случае, как легко проверить, искомой парой будет ху, z . Действительно,

[z,xy] = [z,y][z,x][z,x,y] £ (д2),

= [giy\[g,x){g,x,y\ £ (д4)-

2) Можно считать, что [р, 6] G (р4), так как в противном случае [д,Ь] и [д,а] лежат в (д2)\(дА), [g,ab] = [д,а][д,Ь] = 1 (mod {д4)) и мы могли бы взять ab в качестве Ъ. Если G — (а, 6, С((а, 6))), то теорема доказана и (а, 6) — группа типа "а". Поэтому в дальнейшем будем считать, что G непредста-вима в виде А * С (А), где А 2-порождена и А' — G1.

Мы нашли в G элементы со свойствами:

А1) «а,Ь» = <7,

А2) [М],а]£([а,Ь]4) A3) [Mi,6]G <[а, Ь]4>

Обозначим д = [а, Ь] и выберем а и b среди элементов со свойствами А1 — A3 так, чтобы порядок |[а2, 6]| был как можно меньше.

3) Покажем существование такого с Е G\(a, 6, С ({а, Ь))), что

[а,с] = 1,[с,Ь]е (д2). (2)

Действительно, для £ G\(a,b,C((a,b})) группа G и тройка 6, a, c?i удовлетворяют условиям (3) леммы 2, и, значит, существует такое натуральное s, что элемент d<i = bsd<i перестановочен с а и не лежит в (а, 6, С ({а, Ь))). Если [с?2, b] Е (р2), то [ас?2,6] = [а, 6][с?2, Ь] = 1 (mod (g2)) и с = ас?2 — нужный элемент. Если 6] Е (<72), то положим c — d^.

4) Заметим, что из равенства (2) следует [д, с] Е (д4). Действительно,

[с, а_1Ь_1аЬ] = [с, ab][c, а-16_1][с, а-1Ь-1, а 6] =

- [с,Ь][с,Ь-1][с,6-1,а6] = [с, Ь-1^]^, б"1, Ь]_1[с, Ь"1, аЬ] Е (д4)

5) Докажем, что [а2,6] = 1. Пусть [а2,6] ф 1.

Рассмотрим два случая. Если |[а2, b]\ > |[с, Ь]|, то по (3) леммы 2 примененной к G и тройке а2 , b, с, для некоторого натурального 5 имеем a2sc Е С((а, 6)). Отсюда с Е (а, 6, С((а, 6))), что противоречит выбору с.

Если 1 ф |[а2,Ь]| < |[с, Ь]|, то, из 1 леммы 2 следует, что |[с2,6]| = |[с,Ь]| : 2 и, по 4 леммы 2, [c2s,6] = [а2, б]"1 для подходящего натурального s. Отсюда [(acs)2,b] = 1 (mod ([а2, б]2)).

При этом пара acs и b удовлетворяет условиям А1 — A3, но |[(acs)2,6]| < |[a2,6]| что противоречит выбору a, Ь.

6) Далее, если |[g,6]| < |[р,с]|, то к с, g, b применим пункт 3 леммы 2 и выполнено [cs6, д] = 1 для некоторого натурального s. Легко проверить, что csb обладает всеми необходимыми свойствами b и поэтому можно заменить b на csb. Итак либо \{g,b]\ > |[g,c]¡, либо Ъ можно выбрать таким, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Финогенов, Антон Анатольевич, 1998 год

Литература

Магнус В., Каррас А., Солитер Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука 1974, 455 С.

Мальцев А.И. Нильпотентные группы без кручения // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1949. - Т. 13 - С. 195-212.

Санов И.Н. Установление связи между периодическими группами с периодом — простым числом и кольцами Ли // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1952. - Т. 16. - С. 23-58.

Сергейчук В.В. О классификации метабелевых р-групп // Матричные задачи. - Киев: Ин-т математики, 1977, С. 150161.

Хухро Е.И. Конечные р-группы, допускающие р-автоморфизмы с малым числом неподвижных точек // Матем. сборник. - 1993. - Т.84, N 12. - С. 53-64.

Хухро Е.И. Вербальная коммутативность и неподвижные точки р-автоморфизмов конечных р -групп // Матем. заметки. - 1979. - Т.25, N 4. - С. 505-512.

Шериев В.А. Конечные 2-группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами // Сиб. матем. ж. - 1967. - Т.8, N 1 - С. 95-212.

Cheng Y. On finite р -groups with cyclic commutator subgroup // Arch. Math. - 1982. - V.39, N 4. - P. 295-298.

Cooper C.D.H. Power automorphisms of a group // Math.Z. -1968. - V.107, N 5. - P. 335-336.

Cooper C.D.H. Word which give rise to another group operation for a given group // LNM N 372.

Dark R.S., Newell M.L. On conditions for commutators to form a subgroup // J.London Math.Soc. - 1978. - V.17. -P. 251-162.

12 13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

Gorenstein D.G. Finite Groups, New York-London, 1968.

Groves J.R.J. Regular p-groups and words giving rise to commutative group operations // Israel J.Math. - 1976. -V. 24. - P. 73-77.

Groves J.R.J. On minimal irregular p-groups //J. Austral. Math. Soc. - 1973. - V. 16, N 1. - P. 78-89.

Huppert B. Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1976.

Huppert B., Blackburn N. Finite Groups II. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982.

Hall P. A contribution to theory of groups of prime power order // Proc. London Math. Soc. - 1933. - V. 36, P. 25-95.

Lazard M. Sur les groupes nilpotents et les anneaux de Lie // Annales Sci. Ecole Normale Superieure (3). - 1954. - V.71. -P. 101-190.

Leong Y.K. Odd order nilpotent groups of class two with cyclic center // J. Austral. Math. Soc. - 1974. - V. 17. - P. 142153.

Leong Y.K. Finite 2-groups of class two with cyclic center // J.Austral. Math. Soc. - 1979. - V. 27. - P. 125-140.

Magnus W. A connection between the Baker - Hausdorff Formula and Problem of Burnside // Annals of Math. -1950. - V.52. - P. 111-126; 1953. - V.57. P. 606.

Mann Avinoam. Regular p-groups II // Israel J.Math. -1973. - V14. - P. 294-303.

Mann Avinoam. Regular p-groups // Israel J.Math. - 1971. -V.10. - P. 471-477.

[24] Miech R.J. On p-groups with cyclic commutator subgroup // J.Austral. Math. Soc. - 1975. - V.20. - R 178-198.

[25] Weichsel Paul M. Just irregular p-groups // Israel J.Math. -1971. - V. 10. - P. 359-363.

[26] Финогенов A.A. Конечные p-группы с циклическим коммутантом // Алгебра и логика. - 1995. - Т.34, N 2. - С. 233240.

[27] Финогенов A.A. О р-регулярных группах // Труды института математики и механики УрО РАН. - 1998. - Т.5. -С. 61-67.

[28] Финогенов A.A. Конечные 2-группы с циклическим коммутантом // Международная конф. "Алгебра и анализ": Тезисы докладов. Казань, 1994. С.97.

[29] Финогенов A.A. Конечные р-группы с циклическим коммутантом и циклическим центром // Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фаддеева: Тезисы докладов. Санкт-Петербург. 1997. С.297.

[30] Финогенов A.A. О конечных р-группах с циклическим коммутантом и циклическим центром // Деп. в ВИНИТИ N 1940-В98, 20 с.

[31] Финогенов A.A. О задании структуры кольца Ли на конечной р-группе. // Деп. в ВИНИТИ N 1939-В98, 17 с.