Анализ соотношений и краевых задач теории упругопластических процессов средней и малой кривизны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Ермаков, Сергей Васильевич

• Ермаков, Сергей Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ермаков, Сергей Васильевич

Введение

Глаза I. Анализ соотношений теории упругопластических процессов.

§1. Анализ соотношений теории пластичности

§2. О связи между сильной дифференцируемостью и представимостью в виде решения системы дифференциальных уравнений функционалов пластичности

§3. Экспериментально-теоретическое исследование предложенных дифференциальных соотношений

§4. Анализ соотношений теории интегрально средней кривизны.

§5. Исследование условий линейности, потенциальности и интегрируемости предложенных соотношений

§6. Исследование разрешимости предложенных соотношений относительно приращения девиатора деформаций

§7. Линеаризация соотношений теории упругопластических процессов малой кривизны методом малого параметра

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ соотношений и краевых задач теории упругопластических процессов средней и малой кривизны»

Элементы различных конструкций работают под действием поверхностных и объемных сил, приводящих к неоднородному напряженно-деформированному состоянию, изменяющемуся со временем. При этом напряжения, появляющиеся в теле, в отдельных местах или всюду могут превосходить предел текучести материала. Возникают сложные процессы деформации по траекториям, существенно отклоняющимся от прямолинейных. Для их описания необходимо применять достаточно сложные нелинейные соотношения, учитывающие историю деформации. В связи с этим возникают следующие трудности:

Во-первых, существующие частные уравнения состояния не описывают всех процессов сложного нагружения, поэтому при решении конкретных задач необходимо проверять физическую достоверность используемых соотношений.

Во-вторых, при решении краевых задач теории пластичности для пространственных тел возникают трудности математического характера, так как приходится рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения.

Наиболее достоверными в смысле соответствия уравнений состояния и экспериментальных результатов являются процессы, близкие к простому нагружению, всесторонне рассмотренные в работах А. А. Ильюшина /~297. Для произвольных процессов сложного нагружения А. А. Ильюшиным предложен метод СН-ЭВМ /~32, 33 7.

Учет сложности траектории деформации приводит к необходимости усложнения определяющих уравнений и, вместе с тем, выяснения условий их применимости, если соотношения определены для частного класса процессов.

В основе уравнений состояния в общем случае сложного нагру-жения лежат принципы общей математической теории пластичности, сформулированные А. А. Ильюшиным /~30-347: постулат изотропии, принцип запаздывания векторных и скалярных свойств, гипотеза о разгрузке и постулат пластичности. Они сформулированы при следующих предположениях:

1. В исходном состоянии тело является изотропным. Под исходным (естественным) состоянием понимается такое состояние, при котором в исследуемом теле отсутствуют напряжения и деформации.

2. Считается, что в достаточно малой окрестности произвольной точки тела напряженно-деформированное состояние однородно; это позволяет отождествить процессы, протекающие в каждой фиксированной точке рассматриваемого неоднородно-деформируемого тела с процессами, протекающими при однородной деформации не-, которого образца конечных размеров (постулат макроскопической определимости А. А. Ильюшина).

3. Деформации считаются малыми, то есть их квадратами по сравнению с самими величинами можно пренебречь.

4. Исключаются из рассмотрения реономные свойства материала, то есть время явно не входит в уравнения состояния.

5. Среднее напряжение б = бки/3 является однозначной функцией среднего удлинения £= &кк/3 и величину б в экспериментальных исследованиях связи Sij^^ij , где Sy = б'у б,

Bcj ~ ~ & ~ девиаторы тензоров напряжения и деформации, можно считать внешним параметром, таким, как температура.

6. Пренебрегается влиянием третьего инварианта девиатора напряжений (деформации) на зависимость S^^G^y.

Постулат изотропии проверялся экспериментально в работах В. С. Ленского /"42-45,477 и к настоящему времени получил весьма убедительное обоснование в исследованиях других авторов /"I,2,8,9,16,18,25,26,62,71,727.

Постулат изотропии позволил установить вид общей связи напряжения - деформации для произвольного сложного нагружения

P^^COS^^tt^,., 5. ол)

В этом соотношении - единичные векторы естественного сопровождающего репера Френе траектории деформации, определяемой годографом пятимерного вектора деформации Э = Эл.5ц в определяются соотношениями пятимерном евклидовом пространстве Э ; компоненты Эц так что |Э|2—ettas-j- Bcj&cj . Аналогично в пятимерном пространстве Э определяется вектор напряжений 2Г с компонентами так что I С| б* s "2 Sij Sij •

JPh ~ функционалы внутренних характеристик траектории деформации в Э , то есть 4-х кривизн дЭ* (/2=1,.,4), и внешних параметров, например, температуры и гидростатического давления, по длине дуги I^Bl^f t где t - параметр, монотонно возрастающий по времени. Так как функционалы JPn, не зависят от третьего инварианта девиатора деформации, то соотношение (ОЛ) инвариантно по отношению к преобразованиям вращения и отражения в 3 .

Гипотеза локальной определенности В. С. Ленского /~44, 457 определяет функционалы ориентации вектора напряжений (во второй записи соотношений (0.1)) как решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

LQt/ds-h(QK,XH,Gj (i,K*l,.,5,H~J.,.,k), где - универсальные функции материала.

Из постулата изотропии и принципа запаздывания для изотермических процессов следуют некоторые частные варианты теории пластичности, приемлемость которых для соответствующих классов процессов обоснована экспериментально: а) Теория малых упругопластических деформаций /~297:

SCJ = f ф0(еи) eLJ, сr-зКе, (о.2) а где К - модуль объемной упругости, Ф - универсальная для данного материала функция упрочнения. Эта теория широко используется и является основным аппаратом расчетов на прочность и деформируемость конструкций за пределом упругости /~33,647. б) Теория процессов малой кривизны /"30,42-44,46,4,57: с г Ф (s) л а1/е - deu

Ог;-J-——^rT^S (0.3) совпадающая для идеально пластического материала с классической теорией Сен-Венана. в) Теория процессов средней кривизны /~537: б= Ф(&)(соз0р1+$1пдрх), (о.4)

6= arccos (бр±/би) сол1 след запаздывания. г) Теория процессов в виде двухзвенных ломаных /"30,44, 8,57,607:

6=6u(cos9p + sin6n), (о.5) где р, Р1- единичный ортогональный репер в точке излома S0, р - вдоль второго отрезка, YI- в плоскости 1-го и 2-го, бигби. (S0,S-S<>,ip), 9= 9(S0>SSo,(p); ф- угол излома. (0.5)' д) Теория пластичности, основанная на гипотезе локальной определенности В. С. Ленского в форме /~46,487 cf ft/cfs - (flc, aeK, s), cr«= Фс sX 3 Ke, (o.e) где

COsQk ^брк/бц.', L,K=l,. ,4; не ограничивает класс процессов, но включает сильное упрощение б^ФйО, заведомо отличающееся во многих случаях от истинного вида функционала (Set . Поэтому ее использование в краевых задачах ограничено /~487.

С использованием ГЛО было высказано утверждение /~447, что при произвольном сложном процессе деформации имеет место соотношение вида э'=Ав + Вб', (о.?) где штрихом обозначено дифференцирование по длине дуги В последние годы это утверждение получило экспериментальное подтверждение.

Таким образом, перед исследователем возникает вопрос: какую частную теорию из указанных пяти выбрать для решения краевой задачи при заданных внешних воздействиях? Приведем ограничения, обычно характеризующие использование теорий а) - г) ( /~587, стр. 50):

Траектории Большой кривизны Средней кривизны Малой кривизны Простого нагружения Двухзвенные ломаные с изломом в точке S0

Естественно, каждое из указанных соотношений приемлемо также для процессов, близких к основным, которые можно определить аналогично тому, как это сделано для простой деформации (/"497, стр. 71).

Этими ограничениями пользуются для оценки применимости теории при решении достаточно сложных пространственных задач термопластичности (см., например, /~707). Фактически, используется предположение о том, что если при заданных внешних нагрузках согласно какой-либо теории из а) - г) получено рео о v шение краевой задачи с траекторией деформации, удовлетворяющей соответствующему этой теории условию (0.8), то и решение, полученное по теории, требующей более слабых ограничений и поэтому более сложной, совпадает с первым или мало отличается от него.

Выяснение условий на характер изменения внешних нагрузок, при котором выполняются соответствующие ограничения (0.8),

Условия в каждой точке 5 траектории эe(S)> 1/к эе (S)~ i/h de(S) < 1/h de(s) «i/к (де*0) (0.8)

О- дельта-функция. представляет значительные трудности. Такие условия для простого нагружения получены А. А. Ильюшиным /~297; для двух-звенных ломаных этот вопрос рассмотрен в /~617; для траекторий малой кривизны соответствующие условия найдены лишь для простейших задач /~4,197.

Заметим, что теория д), основанная на гипотезе локальной определенности в более общей форме, нежели (0.6)

Mi/ds=fL (0k,«kA.s),

0.9) которая и подразумевалась В. С. Ленским /~337, обобщает соотношения а) - г) для некоторых материалов. Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы для данной траектории деформации, удовлетворяющей одному из условий (0.8), тензор напряжений, определяемый интегрированием системы (0.9), мало отличался от тензора напряжений, полученного согласно одной из теорий а) - г), соответствующей заданному условию. Это, в свою очередь, достигается наложением определенных ограничений на вид функций I -0,1,.,5. Так, например, соотношения (0.5) получаются непосредственным интегрированием (0.9) при 3eA=^&fS<rS),cei=9S3E96<,s(? . Для некоторых материалов выполняется условие

Д ($>SL)=B($i)/B(s), где В некоторая функция, и, таким образом, угол 0 в соотношении (0.4) удовлетворяет уравнению (0.6) /~547.

Более того, частный вид соотношений (0.9) cl0/ds»/t(0,ae,6i,s), 0t*f,i=3A5; d6a/cfs«/,(0,ae,&,s), 6=3Кб, (0>9), где , 96= также будет обобщением теорий а) - г) в указанном выше смысле.

Таким образом, считая, что в рассматриваемом теле реализуются упругопластические процессы, для которых в качестве физически достоверных могут быть использованы уравнения состояния (0.9)' (пример множества таких процессов - подкласс

Рте см. §1 настоящей работы), следует учитывать, что применение какой-либо теории из а) - г), вообще говоря, обосновано лишь тогда, когда решение при тех же внешних нагрузках с использованием (0.9/ приводит к выполнению ограничений (0.8), соответствующих применяемой теории.

Решение краевых задач с использованием (0.9) и даже (0.9У связано со значительными математическими трудностями.

В предлагаемой диссертации рассмотрена конкретная реализация соотношений (0.9/ , постановка и методы решения соответствующих краевых задач.

В §1 на основе анализа общих соотношений (0.1) для некоторых упрочняющихся материалов и достаточно широкого класса многомерных траекторий деформации предложены и обоснованы конкретные, с точностью до трех функций длины дуги $ , определяемых из эксперимента, дифференциальные соотношения типа (0.9/ . Поскольку рассматриваемые соотношения охватывают траектории с точками излома, то для них везде ниже будет применяться название - теория упругопластических процессов интегрально средней кривизны.

В §2 рассмотрен вопрос об условиях, которым должны удовлетворять функционалы пластичности для возможности представления связи между напряжениями и деформациями в виде (0.9)' .

В §§3-6 проводится экспериментально-теоретический анализ предложенных в §1 соотношений, найдены функции материала для некоторых металлов, показано соответствие этих соотношений теориям средней и малой кривизны.

В §7 проводится линеаризация соотношений теории малой кривизны для медленных стационарных течений пластического материала.

В §8 рассмотрена задача об устойчивости плоской формы изгиба консольной балки за пределом упругости.

Во второй главе диссертации дается постановка краевой задачи теории упругопластических процессов интегрально средней кривизны. Рассмотрена возможность вариационной постановки задачи (§9). Доказываются теоремы единственности и существования, рассматриваются приближенные методы решения (§§10-12).

В третьей главе диссертации рассмотрены методы решения краевых задач теории малой кривизны (§§13-14). Доказывается сходимость этих методов.

Рассмотрена задача о кручении толстостенного кругового цилиндра касательными нагрузками, изменяющимися вдоль оси цилиндра. Выполнены числовые расчеты. Решение сравнивается с решениями, соответствующими деформационной теории и теории средней кривизны (§15).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах /~19-247.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ермаков, Сергей Васильевич

Основные результаты работы:

1. В классе упругопластических процессов интегрально средней кривизны получено представление для интенсивности напряжений и угла сближения в виде решения системы дифференциальных уравнений.

Выяснена зависимость между сильной дифференцируемостью и представимостью в виде решения системы дифференциальных уравнений функционалов пластичности для произвольных плоских траекторий деформации.

Конкретизированы соотношения теории средней кривизны для ряда конструкционных металлов, проведено сравнение с результатами опытов на сложное нагружение.

На решении задачи об устойчивости плоской формы изгиба консольной балки-полосы за пределом упругости показана применимость предложенных соотношений к решению задач теории устойчивости.

2. Дана постановка краевой задачи теории средней кривизны; доказаны теоремы единственности и существования.

3. Предложены новые методы решения задач теории упругопластических процессов малой кривизны; доказана их сходимость.

Решена задача о кручении толстостенного кругового цилиндра боковыми касательными нагрузками, изменяющимися по длине цилиндра,, и торцевыми уравновешивающими моментами с использованием деформационной теории, теории малой кривизны и теории средней кривизны. Проведено сравнение численных решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ермаков, Сергей Васильевич, 1984 год

1. Андреев Л.С. О проверке законов пластичности в пространстве напряжений. - Инж. журнал. МТТ, 1966, Ж, с.97-101.

2. Бастуй В.Н. Проверка гипотез теории малых упруго-пластических деформаций при повышенной температуре. В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1974, вып. 14, с.24-27.

3. Биргер И.А. Методы упругих решений в теории пластического течения. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1964, $2, C.II6-II8.

4. Бровко Г.Л. Анализ постановки и методы решения краевых задач теории упругопластических процессов малой кривизны. Автореферат канд. дисс., М.: Изд-во МГУ, 1978, 5 с.

5. Бровко Г.Л. Об одном методе последовательных приближений в классе задач общей теории пластичности. Вестн. Моск. ун-та, Сер.1, Мат. мех., 1982, Ж, с.76-83.

6. Быков Д.Л. 0 некоторых методах решения задач теории пластичности. В кн.: Упругость и неупругость. - М.: Изд-во МГУ, 1975, вып. 4, с.119-138.

7. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972, 415 с.

8. Васин Р.А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении. В кн.: Упругость и неупругость. - М.: Изд-во Ю, 1971, вып. I, с.59-126.

9. Васин Р.А., Никиточкин А.Н., Огибалов П.М. 0 проверке постулата изотропии при переменной скорости деформирования.-Механика полимеров, 1975, №2, с.224-227.

10. Васин Р.А., Ильюшин А.А. Об одном представлении законов упругости и пластичности в плоских задачах. МТТ, 1983, М, c.II4-II8. , '

11. Ворович И.И., Красовский Ю.М. 0 методе упругих решений. Докл. АН СССР, 1959, т.126, М, с.740-743.

12. Раевский X., Грегер К., Захариас Н. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1978, 336 с.

13. Давыдов B.C. 0 выпучивании сжато-скрученного стержня при сложном нагружении за пределом упругости. Всесоюзный симп.: "Устойчивость в механике деформируемого твердого тела" Материалы. Калинин, 1982, с.62-69.

14. Дао Зуй Бик. Экспериментальная проверка упрощенных вариантов теории пластичности. Вестник МГУ, Сер. матем. мех., 1966, ЖЕ, с.107-118.

15. Дао Зуй Бик. 0 теореме единственности краевой задачи теории пластичности с использованием гипотезы локальной определенности. -МТТ, 1982, ЖЕ, с.119-124.

16. Дегтярев В.П. Пластичность и ползучесть машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1967, 132 с.

17. Дубровин JI.JI., Малый В.И. Исследование векторных свойств упругопластических материалов при нормальных и низких температурах. Прикл. мех., 1979, т. 15, М, с.19-24.

18. Елсуфьев С.А. Экспериментальная проверка постулата изотропии и закона запаздывания общей теории пластичности. -В кн.: Гидротехника, Л.: Ленинград, пед. ин-т,1964, с.25-31.

19. Ермаков С.В. Об условиях реализации процессов малой кривизны в цилиндрическом слое. Вестн. Моск. ун-та, Сер. I, матем. мех., 1980, ЖЕ, с.88-90.

20. Ермаков С.В. Исследование постановки краевой задачи теории упругопластических процессов средней кривизны. -Вестн. Моск. ун-та, Сер.1, Мат., мех., 1982, №2, с.88-92.

21. Ермаков С.В., Сеник Н.А. 0 методе малого параметра для некоторых задач теории пластичности. В сб.: Расчет и конструирование машин и аппаратов химических производств. -М.: Изд-во МИХМ, 1983, с.37-41.

22. Ермаков С.В., Сеник Н.А. 0 методах решения упруго-пластических задач, связанных с дискретизацией процесса по времени. М., 1983. - 22с. - Рукопись представлена МИШ. Деп. во ВИНИТИ АН СССР 27 дек. 1983, F708I-83.

23. Ермаков С.В. К вопросу устойчивости плоской формы изгиба консольной балки за пределом упругости.-В сб.: Разработка, исследование и расчет машин и аппаратов химических производств. М.: Изд-во МИШ, 1984, с.27-31.

24. Ермаков С.В. Об определении скалярных свойств упруго-пластических материалов. Всесоюзная конф. "Современные вопросы физики и приложения". - Тезисы докл. и сообщ., М., 1984, с. 51.

25. Жуков A.M. 0 пластических деформациях изотропного металла при сложном нагружении. Изв. АН СССР, 1956, №12, с. 72-87.

26. Жуков A.M. Некоторые особенности поведения металлов при упругопластическом деформировании. В кн.: Вопросы теории пластичности. - М.: Изд-во АН СССР, 1961, с.30-57.

27. Зубчанинов В.Т. К вопросу использования общей математической теории пластичности в теории устойчивости. Всесоюзный симп.:"Устойчивость в механике деформируемого твердого тела". Материалы, Калинин, 1982, с.100-117.

28. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978, 208 с.

29. Ильюшин А.А. Пластичность, ч. I. М.: Гостехиздат, 1948, 376 с.

30. Ильюшин А.А. 0 связи между напряжениями и малыми деформациями в механике сплошных сред. ПММ, 1954, т. 18, вып. 6, с.641-666.

31. Ильюшин А.А. Об основах общей математической теории , пластичности. В кн.: Вопросы теории пластичности. - М.: Изд-во АН СССР, 1961, с.3-29.

32. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963, 272 с.

33. Ильюшин А.А., Ленский B.C. Модель и алгоритм. В сб.: Прикладные проблемы прочности и пластичности, Горький, 1975, с.3-18.

34. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978, 287 с.

35. Качалов Л.М. Устойчивость плоской формы изгиба за пределами упругости. ПММ, 195I, т. 15, вып. 2, с.195-206, вып. 5, с.637-641, вып. 6, с.762-764.

36. Качалов Л.М. Основы теории пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956, 324 с.

37. Клюшников В.Д. Устойчивость упругопластических систем. М.: Наука, 1980, 240 с.

38. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упругопластических сред. М.: ИЛ, 1961, 79 с.

39. Коровин И.М. Экспериментальное определение зависимости напряжение-деформация при сложном нагружении по траекториис одной точкой излома. Инж. журнал, МТТ,1964,т.4,ЖЗ,с.592-600.

40. Коровин И.М. Некоторые вопросы пластичности материала при нагружении по траектории с одной точкой излома. -Изв. АН СССР, МТТ, 1969, JB3, с.152-158.

41. Кравчук А.С. О методе последовательных приближений в теорий пластичности при сложном нагружении. Изв. АН СССР, МТТ, 1970, М, с.188-191.

42. Ленский B.C. Экспериментальная проверка законов изотропии и запаздывания при сложном нагружении. Изв. АН СССР, ОТН, 1958, Ml, с. 15-24.

43. Ленский B.C. Некоторые новые данные о пластичности металлов при сложном нагружении. Изв. АН СССР, ОТН, I960, А&5, с.93-100.

44. Ленский B.C. Экспериментальная проверка основных постулатов общей теории упругопластических деформаций. В кн.: Вопросы теории пластичности. - М.: Изд-во АН СССР, 1961,с.58-82.

45. Ленский B.C. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности. Изв. АН СССР, ОТН, 1962, №5, с.154-158.

46. Ленский B.C. Упрощенные варианты теории пластичности. Прикл. мех., 1969, т. 5, ЖЗ, с.18-22.

47. Ленский B.C., Машков И.Д. Проверка законов пластичности в трехмерном пространстве девиатора деформаций.

48. В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1971, вып. 2, с.158-166.

49. Ленский B.C. О постановке краевой задачи общей теории пластичности. Вестн. Моск. ун-та, Сер. I, матем., механ., 1979, JS6, с.92-95.

50. Ленский B.C. Современные вопросы и задачи пластичности в теоретическом и прикладном аспектах. В кн.: Упругость и неупругость. - М.: Изд-во МГУ, 1978, вып. 5, с. 65-96.

51. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971, 240 с.

52. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. -М.: Изд-во МГУ, 1976, 368 с.

53. Малый В.И. 0 четности компонентов вектор-функционала напряжений в теории пластичности. Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ., 1966, 1Ю, с.80-84.

54. Малый В.И. Разложение функционала напряжений по малому параметру. Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ., 1967,2, с.73-80.

55. Малый В.И. 0 подобии векторных свойств материалов в упругопластических процессах. Прикл. мех., 1978, т. 14, Ш, с.21-27.

56. Машков И.Д. Зависимости напряжения деформации на плоских многозвенных траекториях деформации. - Изв. АН СССР, МТТ, 1970, №4, C.I9I-I95.

57. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981, 344 с.

58. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопласти-ческих сред. М.: Наука, 1981, 208 с.

59. Неджеску-Клежа С. Соотношения между тензорами напряжений и деформаций для двухзвенных процессов деформации. -Вестн. Моск. ун-та, Сер. Матем., мех., 1976, М, с.97-99.

60. Неджеску-Клежа С. Исследование постановки краевых задач теории упругопластических процессов с точкой излома. Автореферат канд. дисс., М.: Изд-во МГУ, 1976, 6 с.

61. Охаши И., Токуда М., Курита И., Сузуки Т. Некоторые экспериментальные данные об общем законе пластичности Ильюшина. Изв. АН СССР, МТТ, 1981, с.53-64.

62. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Сопротивление материалов деформированию и разрушению при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 1969, 211 с.

63. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1979, 744 с.

64. Томленов А.Д. Теория пластического деформирования металлов. М.: Наука, 1972, 408 с.

65. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости.- М.: Мир, 1974, 160 с.

66. Хилл Р. Сравнение вариационных принципов в теории пластичности. В сб. перев.: Механика, 1951, вып. I, с.113-118.

67. Хилл Р. 0 проблеме единственности в теории жестко-пластических сред. В сб. перев.: Механика, 1957, т. 44, М, с.81-97.

68. Швайко Н.Ю., Чаплыгина С.Н. 0 бифуркации состояния плоской формы равновесия консольной балки за пределом упругости. Прикл. мех., 1976, т. 12, М, с.63-70.

69. Шевченко Ю.Н., Бабешко М.Е., Пискун В.В., Савченко В.Г. Пространственные задачи термопластичности. Киев: Наукова думка, 1980, 264 с.

70. Шишмарев О.А. Экспериментальное исследование границ текучести стали при простом и сложном нагружении. Инж. журнал, МТТ, 1966, №2, с.187-190.

71. Okoibhl if. ejects <4 zomp&cocteolotefovmoctLon Aistovc on inefastic, ole-fo^matcon &e&oc&c>out of YnztoLlb. Мшош o{Tocbuity of fiftg-tneeding, A/oLgoycc (/ni^etsct^^if.3^1982, p.l-W.