Анализ поведения нелинейных радиотехнических и квантовых устройств методом геометрических представлений и синтез управления ими тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.17, кандидат технических наук Чернявский, Владимир Сергеевич

• Чернявский, Владимир Сергеевич
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Чернявский, Владимир Сергеевич

Оглавление

Введение стр

Глава 1. Динамические системы и методы их исследования. 16 Метод геометрических представлений.

1.1. Динамические системы и их классификация

1.2. Типы движений в динамических системах

1.3. Методы анализа поведения динамических систем

1.4. Метод геометрических представлений

1.5. Сравнительный анализ возможностей методов 31 исследования динамических систем.

1.6. Определение области существования аттрактора

1.7. Классификация ДС со С А по их особенностям. 36 Выводы по главе

Глава 2. Анализ поведения нелинейных динамических систем 40 со странными аттракторами типа Лоренца, Ресслера (II) и Рикитаке на основе метода геометрических представлений.

2.1. Анализ поведения системы Лоренца на основе метода 40 геометрических представлений.

2.2. Анализ поведения системы Ресслера (II) на основе 53 метода геометрических представлений.

2.3. Анализ поведения системы Рикитаке на основе метода 60 геометрических представлений.

Выводы по главе

Глава 3. Анализ поведения нелинейных динамических систем

со странными аттракторами типа Чжуа и Ресслера на основе метода геометрических представлений.

3.1. Анализ поведения системы типа Чжуа на основе 71 метода геометрических представлений.

3.2. Анализ поведения системы типа Ресслера на основе 78 метода геометрических представлений.

Глава 4. Управление поведением динамических систем со

странными аттракторами.

4.1. Постановка задачи управления поведением 82 динамической системы. Методы оптимального управления динамическими системами.

4.2. Синтез управления параметрами нелинейной 87 динамической системы по первому приближению.

Синтез управления параметрами системы Лоренца.

4.3. Синтез оптимального управления параметрами 98 системы Лоренца методом динамического программирования Беллмана.

4.4. Синтез оптимального управления параметрами 104 системы Лоренца на основе метода геометрических представлений.

4.5. Применение метода Мельникова для оценки 109 эффективности влияния внешних воздействий на динамические системы со странными аттракторами.

4.6. Применение результатов исследования поведения 114 систем со странными аттракторами при создании

систем передачи и приема информации на основе динамического хаоса.

4.7. Применение результатов исследования поведения

системы Лоренца для анализа динамики квантового генератора с нестационарными параметрами резонатора.

Выводы по главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ поведения нелинейных радиотехнических и квантовых устройств методом геометрических представлений и синтез управления ими»

Введение.

Теория динамического хаоса, являющаяся одним из разделов нелинейной динамики, появилась на свет и получила интенсивное развитие за последние два-три десятилетия. Исключительный интерес к этой области науки обуславливается ее многочисленными практическими приложениями в радиотехнике, технике лазеров, гидродинамике, медицине, экономике и других областях науки и техники [37,39,76,82].

Сложность поведения нелинейных радиотехнических и квантовых устройств (связанные автогенераторы, системы ФАП, лазеры) привела к необходимости создания многомодовых моделей для их описания (рисунок) [16].

У; У

Xj

Î

Xi; Xi IXi

X

X* ) Хп у Хп

Известно, что процессы, происходящие в многомодовых динамических системах (ДС), описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений первого и второго порядка вида [16]:

п

Xi + (~Soi + S2iXi2)Xi + ©i2Xi = XFy(Xj,Xj), (la)

j=i

n

y = A-£Fyj(xj,xj), (16)

j

где n - число мод; y описывает связь амплитуд отдельных мод xi с производительностью источника накачки A; Soi и ô2i являются функциями от у, у и опре-

деляют инкремент нарастания и нелинейность данной моды, а коэффициент перед Xi определяет скорость изменения энергоемкого параметра (амплитуды колебаний) моды.

В зависимости от числа мод и конкретного вида функций Fy, Fyj, а также Soi и S2i система (1) может сводится к системам Лоренца, Чжуа, Дуффинга и др. Эти системы имеют особенность в том, что в них возможно протекание качественно отличающихся процессов: регулярного и стохастического с возникновением режима странного аттрактора (CA).

Вопросы возникновения динамического хаоса тесно связаны с задачами обеспечения стабильности работы широкого класса радиотехнических и квантовых устройств. Это определяется тем, что в нелинейных динамических системах выше второго порядка, которые отражают процессы в таких устройствах, при определенных значениях параметров системы, возможно возникновение нерегулярного движения с установлением режима странного аттрактора.

Необходимо отметить, что исследованиями в области динамического хаоса занимаются многие коллективы специалистов, как в России, так и за рубежом. Изучению стохастических колебаний в радиотехнических и квантовых устройствах посвящены работы Ораевского А.Н., Климонтовича Ю.Л., Ани-щенко B.C., возможности построения систем связи на основе динамического хаоса - работы Дмитриева A.C., построения хаотических генераторов - Шал-феева В.Д. и др. Из работ зарубежных специалистов следует выделить труды ряда научно-исследовательских институтов США, Великобритании, ФРГ и Китая.

Рассмотрим некоторые прикладные задачи теории динамического хаоса.

Квантовые системы. Странный аттрактор, как решение нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы генерации в молекулярных генераторах - мазерах был впервые исследован в работах Ораевского

[59,60]. Рассмотрим несколько примеров возникновения режима странного аттрактора в лазерах:

1. Возникновение режима странного аттрактора обнаружено при синхронизации одномодового лазера внешним излучением [29].

2. Возможность появления режима странного аттрактора затрудняет создание квантовых генераторов с высокой стабильностью частоты излучения [60].

3. Известно, что для получения в лазерах импульсов излучения очень короткой длительности применяется метод синхронизации мод. Так, например, в лазерах с кольцевым резонатором, в случае жесткого режима синхронизации, лазер может попасть в режим странного аттрактора и генерировать импульсы излучения хаотической формы [60,78].

Радиотехнические и радиоэлектронные системы. В качестве простейшего примера рассмотрим однокаскадную систему ФАЛ. Если система имеет фильтр первого порядка, то режим работы такой системы хорошо изучен [70,81] и она ведет себя полностью предсказуемо. Переход к фильтрам более высокого порядка ведет к усложнению динамики системы ФАП и возможности появления хаотических режимов движения [50,80,83]. Например, использование фильтра второго порядка в однокаскадной схеме ФАП приводит к возникновению режима странного аттрактора в некоторых областях значений параметров системы. В случае двухкаскадной схемы ФАП возникновение режима хаотических колебаний происходит уже при использовании фильтров первого порядка в широкой области значений параметров системы [80].

Системы ФАП являются основой построения многих современных устройств, которые применяются в системах связи, радиолокации, управлении удаленными объектами. Это означает, что в таких системах под влиянием изменения параметров схем, возникновения паразитных связей, внешней синхронизации возможно возникновение нерегулярных режимов, что приведет к сбою в работе системы.

Хаотические сигналы - вид информационных сигналов и их возможно использовать для хранения и передачи сообщений. В системе с динамическим хаосом значение некоторой физической величины, определяющей состояние нелинейной системы (ток, напряжение), в зависимости от времени ведет себя как случайная величина. Поскольку система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих такой процесс, детерминирована, то при сохранении начальных условий и коэффициентов в уравнении временное поведение системы будет повторяться. Это обстоятельство послужило основой для использования хаотических сигналов в системах передачи и хранения информации [2,33,34,72]. При этом хаотические колебания могут выступать как в роли носителей информации, так и в роли процессов, маскирующих информационные сигналы.

Системы передачи и хранения информации на основе хаотических сигналов обладают следующими преимуществами [33]:

- благодаря широкополосности, хаотические сигналы могут нести большое количество информации;

- возможность самосинхронизации передатчика и приемника;

- в одном источнике хаоса может быть реализовано большое число различных хаотических мод;

- разнообразие методов ввода информационного сигнала в хаотический;

- возможность получения сложных колебаний с помощью простых устройств;

- конфиденциальность передачи информации;

Возможности построения систем передачи и приема информации рассматривается в работах [33,72]. Построение таких систем включает в себя создание генераторов хаотических колебаний, которые могут быть выполнены на основе микропроцессоров или на дискретных элементах. Здесь можно выделить работы по созданию таких генераторов на туннельном диоде [4,38], кольцевых

генераторов [32], генераторов с инерционной нелинейностью [5-7], генераторов Чжуа [53,79], генераторов на основе систем ФАП [80] и др.

В основу построения систем хранения, распознавания и поиска информации положена способность систем с хаосом генерировать информацию. Рассмотрим возможность решения такой задачи так, как это сделано в работах [2,33,34]. Отдельным частям траектории системы сопоставляется информационная последовательность символов. Эти части траектории получаются путем решения уравнений, определяющих динамику системы. Если взять фрагмент информационной последовательности, то с его помощью можно восстановить всю информационную последовательность, соответствующую данной траектории. Разным траекториям соответствуют разные информационные последовательности, следовательно, возможно восстановить любую из них по ее небольшому фрагменту. Тем самым реализуется ассоциативный доступ (доступ по содержанию) ко всей информации, записанной в системе. Такая технология может быть использована в системах распознавания образов, для целей ориентирования и навигации. Например, по любому участку фрагмента карты (вплоть до 0.2 процента от площади фрагмента) с уровнем искажений до 70-80 процентов возможно восстановить весь фрагмент.

При исследовании динамических систем со странным аттрактором практический интерес представляет задача управления поведением этих систем. Требуется синтезировать условия, при которых система будет вести себя строго определенным образом: либо детерминировано, либо стохастически. Вопросам, связанным с возможностью и способами управления поведением ДС со СА, посвящены работы [8-16,30,35,42].

Актуальность и^ в области динамического хаоса определяет-

ся следующими причинами: во-первых, проблема возникновения динамического хаоса связана с задачами обеспечения стабильности работы радиотехнических и квантовых устройств; во-вторых, явление динамического хаоса лежит в

основе построения современных систем передачи, приема и хранения информации, обладающих повышенной помехозащищенностью и скрытностью.

Изучение работ в области динамического хаоса показало, что в настоящее время, наиболее часто используемым способом исследования нелинейных динамических систем со странными аттракторами является численное моделирование на ЭВМ [20,30,35,53,60,61,67,74,80]. Метод показателей Ляпунова и метод отображений Пуанкаре для своей реализации также требуют проведения численного эксперимента [42,56,57,61]. Аналитический метод расщепления сепаратрис Мельникова применим к ограниченному классу ДС [13].

Вследствие отсутствия общих аналитических методов анализа поведения ДС со СА остаются нерешенными до конца такие задачи: построение фазового портрета аттрактора и определение характерных особенностей движения фазовой траектории системы на аттракторе, определение границ области аттрактора и условий возникновения стохастизации в системе. Нерешенной также является задача управления поведением системы, то есть синтеза условий, при которых система ведет себя строго определенным образом: детерминированно или стохастически.

Делш...ДЖсер1МШШОЙ..работы является развитие методов, позволяющих исследовать поведение нелинейных динамических систем со странными аттракторами и возможности управления поведением таких систем.

Решаемые задачи:

1. Рассмотреть существующие методы анализа нелинейных ДС со СА и на основе сравнительного анализа показать возможности и эффективность метода геометрических представлений.

2. Сформулировать и доказать теоремы сравнения, необходимые для установления особенностей динамики ДС со СА.

3. Проанализировать методом геометрических представлений поведение наиболее известных ДС со СА (система Лоренца, система Ресслера, система Ресслера (II), система Рикитаке, система Чжуа).

4. Применить методы теории управления динамическими системами и выработать общие подходы, позволяющие синтезировать эффективное управление поведением ДС со СА.

5. Применить результаты теоретического исследования к задачам анализа поведения радиотехнических и квантовых устройств и синтеза управления их поведением.

В данной работе для анализа поведения динамических систем со странными аттракторами применяется метод геометрических представлений [17], являющийся развитием метода оценочных функций Ляпунова. Данный метод обладает следующими достоинствами:

1. Анализ поведения системы проводится без введения каких-либо допущений.

2. Метод позволяет без численного решения системы судить о характере движения траектории в фазовом пространстве системы.

3. Метод позволяет осуществлять синтез оптимального управления параметрами системы для обеспечения требуемого поведения системы.

Научная новизш работы представлена следующими результатами:

1. Развитие метода геометрических представлений для исследования ДС

со СА.

2. На основе метода геометрических представлений исследовано поведение наиболее известных ДС со СА (система Лоренца, система Ресслера, система Ресслера (II), система Рикитаке, система Чжуа).

3. Решена задача синтеза управления параметрами системы Лоренца.

4. Установлено соответствие теоретических результатов, полученных для системы Лоренца с экспериментальными данными по управлению характеристиками радиотехнических и квантовых устройств.

Праетш.еская...

ний,

1 .Предлагаемый метод анализа позволяет аналитически исследовать поведение нелинейных динамических систем, определять влияние параметров системы на ее поведение.

2. Результаты исследования возможно использовать при создании систем передачи и приема информации на основе динамического хаоса.

3. Результаты, полученные при решении задачи управления поведением системы Лоренца возможно эффективно использовать для выработки рекомендаций по управлению динамикой лазера.

Результаты исследований внедрены и используются в учебном процессе в Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева.

Апррбагщя.работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- XXII Молодежная научная конференция "Гагаринские чтения" (Москва, 1996 г.);

- II Республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов (Казань, 1996 г.);

- III Республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов (Казань, 1997 г.).

Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах, в том числе 3 статьи и 3 тезисов докладов.

Осношыеполо^

1. Сравнительный анализ методов исследования динамических систем со странными аттракторами показал, что наиболее универсальным является метод геометрических представлений. Метод позволяет без численного решения системы судить о характере движения фазовой траектории во всем фазовом пространстве системы.

2. Теоремы о достаточных условиях ограниченности асимптотического движения фазовой траектории системы по всей совокупности или по части фазовых переменных.

3. Исследование поведения наиболее известных ДС со СА (система Лоренца, система Ресслера, система Ресслера (И), система Рикитаке, система Чжуа) методом геометрических представлений. Для данных систем определены границы области странного аттрактора и установлены характерные особенности движения фазовой траектории систем в этой области.

4. Сравнительный анализ различных методов синтеза управления параметрами ДС со СА показал, что метод геометрических представлений и метод синтеза по первому приближению являются эффективными методами синтеза управления параметрами данных систем.

5. Решение задачи синтеза квазирезонансных управляющих воздействий на систему Лоренца методами теории управления и методом геометрических представлений. Показана высокая эффективность найденных квазирезонансных воздействий для управления поведением системы.

6. Применение теоретических результатов к исследованию поведения радиотехнических и квантовых устройств и управлению их поведением.

Струщ^ра диссерташ.и: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы и необходимость ее проведения. Сформулирована цель работы, представлены основные защищаемые положения. Показана научная новизна и практическая значимость работы. Приведено описание структуры диссертации.

В..первой, главе дана классификация ДС, рассмотрены возможные типы движений в этих системах. Дано определение странного аттрактора и рассмотрены его характерные особенности. Проведен сравнительный анализ методов исследования поведения динамических систем со странными аттракторами. Показано, что метод геометрических представлений является наиболее эффективным методом, который позволяет проводить анализ поведения системы без численного моделирования на ЭВМ. Доказаны теоремы о достаточных условиях ограниченности асимптотического движения фазовой траектории системы по всей совокупности или по части фазовых переменных. Дана классификация ДС на системы с параметрическим управлением и на системы с управлением внешним воздействием.

Во.второй, глауве на основе метода геометрических представлений проведен анализ поведения ДС со СА типа Лоренца, Ресслера (II), Рикитаке.

В..третьей щаве на основе метода геометрических представлений проведен анализ поведения нелинейных ДС со СА типа Чжуа и Ресслера.

В..четвер.той..гааве исследуется возможность управления поведением ДС со СА. Предложены методы синтеза управлений параметрами таких систем, при которых система становится асимптотически устойчивой. На примере системы Лоренца показывается эффективность предлагаемых методов. Приведены примеры применения полученных теоретических результатов к исследованию поведения радиотехнических и квантовых устройств и управлению их поведением.

В .защточении представлены основные выводы.

Основное содержание диссертации отражено в работах автора [10,13,14,15,17,62].

В диссертационной работе принята следующая система нумерации формул: первая цифра соответствует номеру главы, вторая цифра - номеру параграфа в главе, третья цифра - номеру формулы по порядку в параграфе. Нумерация рисунков и таблиц по главам сквозная.

Заключение диссертации по теме «Радиотехнические и телевизионные системы и устройства», Чернявский, Владимир Сергеевич

Выводы по главе.

1. Анализ динамической системы по первому приближению позволяет установить влияние каждого параметра системы или их комбинации на асимптотическую устойчивость системы; вычислить минимальные (предельные) значения параметров, при которых система будет асимптотически устойчива. Это открывает возможность синтеза управление параметрами системы для обеспечения асимптотической устойчивости системы в случае, если без управления система асимптотически неустойчива.

2. Проведен анализ поведения системы Лоренца по первому приближению. Определена эффективность управления параметрами г и Ь в зависимости от вида управления, выбранного в классе линейных функций отклонений от точек равновесия системы. Результаты численного моделирования подтверждают корректность выполненного теоретического анализа.

3. Неустойчивость динамической системы по первому приближению при условии, что асимптотическое движение фазовой траектории системы происходит в ограниченной области фазового пространства, может служить критерием возникновения динамического хаоса в системе. Это условие продемонстрировано при анализе поведения системы Лоренца.

4. Методом динамического программирования Беллмана найдено оптимальное управление в классе функций (4.5.1) для системы Лоренца. Построен алгоритм нахождения оптимального управления с минимальной энергией, которое обеспечивает асимптотическую устойчивость системы Лоренца. Проведен синтез оптимального управления поведением системы Лоренца на основе метода геометрических представлений. Результаты численного эксперимента показывают высокую эффективность найденных управляющих воздействий.

5. Применение качественного критерия метода Мельникова для анализа поведения динамических систем со странным аттрактором показал высокую эффективность квазирезонансных воздействий для управления поведением системы Лоренца.

6. Результаты, полученные при анализе поведения системы Лоренца на основе метода геометрических представлений и при решении задачи управления поведением этой системы, возможно использовать при создании систем передачи и приема информации на основе динамического хаоса.

7. Сравнительный анализ результатов, полученных при решении задачи управления поведением системы Лоренца, и данных экспериментальных исследований по управлению временными характеристиками излучения лазера показал, что результаты теоретического анализа возможно эффективно использовать для выработки рекомендаций по управлению динамикой лазера.

Заключение.

На основании решений задач, поставленных в данной работе, сделаны следующие выводы:

1. Сравнительный анализ методов исследования динамических систем со странными аттракторами показал эффективность метода геометрических представлений для анализа поведения таких систем. Метод позволяет, не прибегая к численному решению системы, судить о характере движения фазовой траектории в фазовом пространстве системы.

2. На основе метода геометрических представлений доказаны теоремы о достаточных условиях ограниченности асимптотического движения фазовой траектории системы по всей совокупности или по части фазовых переменных.

3. На основе метода геометрических представлений проведено исследование поведения следующих систем: системы Лоренца, системы Ресслера, системы Ресслера (II), системы Рикитаке, системы Чжуа. Для данных систем определены границы области странного аттрактора и установлены характерные особенности движения фазовой траектории систем в этой области. Результаты численного моделирования подтверждают корректность выполненного теоретического анализа.

4. Рассмотрены различные методы синтеза управления параметрами динамических систем со странными аттракторами. Показано, что метод геометрических представлений и метод синтеза по первому приближению являются эффективными методами синтеза управления параметрами данных систем.

5. На основе применения методов теории управления и метода геометрических представлений проведен синтез квазирезонансных управляющих воздействий для управления поведением системы Лоренца. Результаты численного моделирования поведения системы Лоренца, подверженной внешним воздействиям, показали высокую эффективность найденных квазирезонансных воздействий для управления поведением системы.

6. Проведено сопоставление полученных теоретических результатов с данными экспериментальных исследований динамики лазеров. Получено удовлетворительное описание экспериментальных результатов на основе метода геометрических представлений. Даны рекомендации по применению полученных теоретических результатов для решения задач, возникающих при создании систем передачи и приема информации на основе динамического хаоса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Чернявский, Владимир Сергеевич, 1999 год

Литература

1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М., Высшая школа, 1989.

2. Андреев Ю.В., Дмитриев A.C., Куминов Д.А. Хаотические процессоры. // Успехи современной радиоэлектроники, 1997, N10, стр.50-79.

3.Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

4. Андрушкевич A.B., Кипчатов A.A., Красичков Л.В., Короновский A.A. Путь к хаосу в кусочно-линейной модели генератора на туннельном диоде. // Изв. Вузов. Сер. ПНД, 1993, Т.1, N1, стр.93-103.

5. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

6. Анищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах. Часть 1. Саратов.: Изд. Саратовского унив., 1985.

7. Анищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах. Часть 2. Саратов.: Изд. Саратовского унив., 1986.

8. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Инерциальное воздействие на динамические системы со странным аттрактором. // Письма в ЖТФ, 1990, Т. 16, В.11, с.30-33.

9. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Энергетическая эффективность инерциаль-ных воздействий на динамические системы со странным аттрактором. // Письма в ЖТФ, 1990, Т. 16, В.11, с.52-56.

10. Афанасьев В.В., Чернявский B.C. Математическое моделирование нелинейных динамических систем со странным аттрактором. // XXII Гагаринские чтения. Тез. докл. научн. конф., 2-6 апреля 1996, Москва, с.32-33.

11. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Стабилизация магнитогидродинамических неустойчивостей в плазме при помощи инерциальных воздействий. Журнал технической физики, 1992, Т.62, В. 12, с.29-33.

12. Афанасьев В.В.,Польский Ю.Е. Инерциальное воздействие, странные аттракторы и динамика систем. Сборник "Радиоэлектронные устройства и системы", 1993, Казань, Казанский Государственный технический ун-т, с.140-146.

13. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Чернявский B.C. Применение метода Мельникова для оценки влияния эффективности внешних воздействий на сложные нелинейные системы со странным аттрактором. // Письма в ЖТФ, 1997, Т.23, В.23, с.40-45.

14. Афанасьев В.В., Чернявский B.C. Исследование влияния внешних воздействий на сложные нелинейные системы с динамическим хаосом. // II Республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов. Тез. докл. Книга 3. Физико-математические науки. 28 июня-1 июля 1996 г., Казань, с.6 .

15. Афанасьев В.В., Чернявский B.C. Определение энергетически эффективного управляющего воздействия на нелинейную динамическую систему Лоренца со странным аттрактором. // III Республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов. Тез. докл. Технические науки. 10-11 октября 1997 г., Казань.

16. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Многомодовые модели, нелинейность, инерционность, шумы, инерциальные воздействия и управление поведением сложных физических систем. // Вестник КГТУ им А.Н.Туполева, 1997, №1, с.1-5.

17. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Чернявский B.C. Качественный анализ поведения динамической системы Лоренца на основе геометрических представлений. // Письма в ЖТФ, 1998, Т.24, В.14, с.79-83.

18. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Квазирезонансное воздействие на динамические системы со странным аттрактором // Письма в ЖТФ, 1989, Т. 15, В. 18, С.86-89.

19. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Влияние шумов динамической системы со странным аттрактором на энергетическую эффективность инерциальных воздействий. // Письма в ЖТФ, 1991, Т.17, В.8, С.57-60.

20. Афанасьев В.В., Михайлов C.B., Польский Ю.Е., Торопов А.Ю. Влияние основных параметров моделирования на ЭВМ на поведение динамических систем со странными аттракторами. // Письма в ЖТФ, 1989, Т.21, В.23, С. 10-14.

21. Ахметгалеев И.И. Оценки решений дифференциальных уравнений. // Казань, Известия ВУЗов, Серия Математика, 1993, 4(371), с. 48-57.

22. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

23. Болознев В.В., Польский Ю.Е. О воздействии слабого 4M сигнала на автогенератор. // Изв.ВУЗов, Радиоэлектроника, 1971, Т.Х1У, N6, С.706-708.

24. Болознев В.В., Марданов Р.Ф., Польский Ю.Е. Взаимная синхронизация ЧМ-генераторов. // Радиотехника и электроника, 1971, T.XVI, N6, С.972-979.

25. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987.

26. Воронов В.И., Польский Ю.Е. Взаимодействие встречных волн в кольцевом газовом оптическом квантовом генераторе в режиме частотной модуляции. // Труды КАИ. Радиотехника и электроника. 1975, Вып.179, стр. 33-38.

27. Воронов В.И., Польский Ю.Е. Многослойное диэлектрическое зеркало на пьезоподложке для модуляции ОКГ. // ПТЭ. 1970, N6, С. 174-176.

28. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

29. Гапогов-Грехов A.B., Рабинович М.И., Шапиро М.Ф. // Вестник. Моск. унта. Сер.З. Физика. Астрономия, 1978, Т. 19, N4, стр. 125.

30. Грибков Д.А., Кузнецов Ю.И. Поведение системы Лоренца при параметрическом воздействии. // Вестник. Моск. ун-та. Сер.З. Физика. Астрономия, 1989, Т.30, N1, стр. 83-84.

31.Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Красноярск.: Изд. Красноярского унив.,1995.

32. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

33. Дмитриев A.C., Старков С.О. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации. // Успехи современной радиоэлектроники, 1998, N11, стр.4-32.

34. Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи. // Успехи современной радиоэлектроники, 1997, N10, стр.4-26.

35. Дудник E.H., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Романовский Ю.М. Синхронизация в системах со странным аттрактором. // Вестник. Моск. ун-та. Сер.З. Физика. Астрономия, 1983, Т.24, N4, стр. 84-87.

36. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

37. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997.

38. Кияшко C.B., Пиковский A.C., Рабинович М.И. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением. // Радиотехника и электроника. 1980, Т.25, N2, стр. 336-343.

39. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение, структура хаоса: Новый подход к статистической теории открытых систем. М.: Наука, 1990.

40. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем. // Механика в СССР за 50 лет., Т.1, М.: Наука, 1969.

41. Кук А., Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаке. // Странные аттракторы. / Под ред. Синай Я.Г., Шильникова Л.П., М.: Мир, 1981.

42. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

43. LorenzE.N., "J. Atmos. Sei.", 1963, v.20, N2,p.l30-141.

44. Lakshmikantham У., Leela S. Differential and integral inequalities., v.1-2, N.Y., 1969.

45. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

46. Математическая энциклопедия., Т.2, стр. 279, М.: Советская энциклопедия, 1979.

47. Математическая энциклопедия., Т.2, стр. 146, М.: Советская энциклопедия, 1979.

48. Математическая энциклопедия., Т.5, стр. 558, М.: Советская энциклопедия, 1979.

49. Математическая энциклопедия., Т.2, стр. 158, М.: Советская энциклопедия, 1979.

50. Матросов В.В. Регулярные и хаотические колебания в фазовой системе. // Письма в ЖТФ, 1996, Т.22, В.23, с.4-8.

51. Матросов В.М., Маликов А.И. Развитие идей Ляпунова за 100 лет: 18921992. //Известия ВУЗов. Математика. 1993, 4(371), стр.3-47.

52. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю. Вектор-функции Ляпунова и их построение. Новосибирск, 1980.

53. Мацумото Т. Хаос в электронных схемах. // ТИИЭР, 1987, Т.75, N.8, С.66-87.

54. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

55. Мельников В.К. // Труды Московского математического общества, 1963, Т.П.

56. Мигулин В.В., Медведев В.И. и др. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1988.

57. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

58. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М., 1949.

59. Ораевский А.Н. Молекулярные генераторы. М. Мир, 1988.

60. Ораевский А.Н. Мазеры, лазеры и странные аттракторы. // Квантовая электроника, 1981, Т.8, N1, С.130-142.

61. Паркер Т.С., Чжуа Л.О. Введение в теорию хаотических систем для инженеров. // ТИИЭР, 1987, Т.75, N.8, С.6-40.

62. Польский Ю.Е., Чернявский B.C. Качественный анализ поведения системы типа Чжуа на основе геометрических представлений. // Электронное приборостроение. КГТУ (КАИ). Казань, 1999, Вып.9, С.74-79.

63. Польский Ю.Е., Якутенков A.A. Экспериментальное исследование кинетики генерации рубинового ОКГ с нестационарным резонатором. // ЖЭТФ, 1973, Т.64, Вып.2, С. 438-445.

64. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко В.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

65. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977.

66. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

67. РабиновичМ.И. //Успехи физической науки. 1978. Т. 125, В.1, С. 123-168.

68. Репин Ю.М., Третьяков В.Е. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных модулирующих установках. // Автоматика и телемеханика. 1963, Т.24, N6.

69. Rossler O.E. Different Types of Chaos in Two Simple Differential Equations. // Z. Naturforschung, 1976, vol. 31a, no. 12, pp.1664-1670.

70. Системы фазовой синхронизации. / Под ред. Шахгильдяна В.В., Белюстиной Л.Н., М.: Радио и связь, 1982.

71. Странные аттракторы. / Под ред. Синай Я.Г., Шильникова Л.П., М.: Мир, 1981.

72. Тратас Ю.Г. Применение методов статистической теории связи к задачам приема хаотических колебаний. // Успехи современной радиоэлектроники, 1998, N11, стр.57-80.

73. Уонем У.М. Линейные многомерные системы управления. М., 1980.

74. У Сюсань. Семейство схемы Чжуа. // ТИИЭР, 1987, Т.75, N.8, С.55-65.

75. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

76. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

77. Хакен Г. Лазерная светодинамика. М.: Мир, 1988.

78. ХанинЯ.И. Квантовая радиофизика. Т.2. М.: Сов. радио, 1975.

79. Chua L.O. Global un Folding of Chua's Circuit. // EEICE Trans. Fundamentals, 1993, vol.E-76-A, no.5, pp.704-734.

80. Шалфеев В.Д., Матросов B.B., Корзинова M.B. Динамический хаос в ансамблях связанных фазовых систем. // Успехи современной радиоэлектроники, 1998, N11, стр.44-56.

81. Шахгильдян В.В., Ляховкин A.A. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972.

82. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

83. Endo T., A Review of Chaos and Nonlinear Dynamics in Phase-Locked Loops., J. of the Franklin Institute, 1994, vol.33 IB, no.6, pp.859-902.

84. Якутенков A.A. Лазер на алюмо-иттриевом гранате с нестационарным резонатором и внутрирезонаторным удвоением частоты. // Радиоэлектронные устройства. КАИ. Казань, 1977, Вып.1, С.43-46.

85. Якутенков A.A. Лазер на алюмо-иттриевом гранате с нестационарным плоскопараллельным резонатором. // Сверхвысокочастотные устройства излучения и обработки радиосигналов. КАИ. Казань, 1979, С.43-46.