Методы поиска областей сложного поведения хаотических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Логунов, Максим Юрьевич

• Логунов, Максим Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Логунов, Максим Юрьевич

Введение

1 Метод оценки локальной и глобальной скорости перемешивания хаотических систем

1.1 Перемешивание в хаотических системах.

1.2 Алгоритм оценки степени перемешивания

1.3 Примеры

1.3.1 Отображения пекаря и ученика пекаря.

1.3.2 Перемешивание в отображении Эно.

1.3.3 Перемешивание в системе Чуа.

1.3.4 Система Лоренца

1.3.5 Система Ресслера.

1.4 Анализ устойчивости алгоритма к вариациям его параметров

1.5 Перемешивание и устойчивость динамики непрерывных хаотических систем.

1.6 Выводы.

2 Поиск областей плохо прогнозируемого движения нелинейных систем

2.1 Метод обнаружения областей сложного поведения

2.2 Примеры применения метода.

2.2.1 Обнаружение областей неустойчивости.

2.2.2 Обнаружение внутренних шумов

2.2.3 Обнаружение неавтономности динамики.

2.3 Влияние шумов на устойчивость метода

2.3.1 Влияние неточности модели.

2.3.2 Влияние аддитивных (измерительных) шумов

2.3.3 Влияние динамических (внутренних) шумов

2.4 Выводы.

3 Исследование динамики гиперхаотической системы Рёсслера

3.1 Области перемешивания и неустойчивости в гиперхаотической системе Рёсслера

3.2 Параметризация области сложной динамики.

3.3 Моделирование и прогнозирование гиперхаотической системы Рёсслера.

3.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы поиска областей сложного поведения хаотических систем»

Актуальность работы.

Известно, что динамика нелинейных систем, наблюдаемых в природе, зачастую существенно изменчива и нестационарна (см. например [1-4]). Области устойчивого движения в фазовом пространстве таких систем могут сменяться областями неустойчивого, плохо предсказуемого, за-шумленного или даже случайного движения. Это обстоятельство приводит к затруднению построения адекватных математических моделей поведения наблюдаемых систем и уменьшает дальность прогноза их поведения [5-7], а также является одной из причин того, что получаемые результаты реконструкции1 хаотических систем — модельные уравнения, зачастую значительно не дотягивают по прогностической способности до их предельного времени предсказуемого поведения [15, 16]:

7" = — In -f 2А а\ здесь А - наибольший ляпуновский показатель, <т| - эффективное значение дисперсии суммарных шумов всех типов (измерительных, мультипликативных, «незнания» и пр. [15, 17]), а^ - дисперсия наблюдаемой величины.

В более развернутом виде причины трудностей, возникающих при моделировании и прогнозировании хаотических систем можно разбить на два больших класса:

Этим общепринятым термином (см. например [8-14]) называется процесс построения модели по наблюдаемым BP. Н

• причины, обусловленные самим характером хаотических систем и описывающих их уравнений:

- вариациями устойчивости систем к шумовым возмущениям (и их неустойчивостью в среднем), действием мультипликативных шумов, вариациями эффективных размерностей [18] и других динамических, геометрических и информационных характеристик в течение времени эволюции системы, неавтономностью исследуемой системы;

• причины, обусловленные особенностями наблюдения исследуемых процессов:

- недоступностью тех или иных мод многомерного процесса для наблюдателя [19, 20], краткостью периода наблюдений [21-24] и необходимостью их дискретизации [25], действием измерительных шумов2 [26, 27].

Как видно из этого перечня, вариации тех или иных характеристик динамики наблюдаемых систем составляют достаточно большой круг и источник проблем. Задачу моделирования нелинейных и, в частности, хаотических систем, которая сложна сама по себе ввиду их неустойчивости к шумовым возмущениям, эта вариабельность характеристик динамики усложняет еще больше, поскольку модели должны быть либо достаточно сложными, чтобы описывать все разнообразие наблюдаемых динамических режимов [28], либо представлять собой группу более простых моделей, каждая из которых определена в локальной области фазового пространства и описывает только относительно простую и стационарную динамику на этой области [29]. При использовании моделей второго типа неизбежно возникает вопрос корректного разбиения фазового пространства хаотической системы на области определения локальных моделей, который требует способа обнаружения областей из

2Которые в квантовых системах могут также воздействовать и непосредственно на наблюдаемую систему. t 6 менчивой и сложно моделируемой динамики. Кроме того, информация о наличии таких областей может быть важна и сама по себе для более полного понимания наблюдаемой динамики.

Именно этими трудностями моделирования и реконструкции хаотических систем и объясняется актуальность выбранной темы диссертационного исследования: реконструкция хаотических систем по наблюдаемым временным рядам и прогноз их поведения - активно развивающаяся область исследований в нелинейной динамике. За последние годы достигнуты значительные успехи и разработано большое число методов реконструкции, направленных на увеличение дальности модельного прогноза (например, [12, 22, 28, 30-33]). Развитие этих методов достаточно быстро выявило ограниченность подходов т.н. "глобальной реконструкции" и в настоящее время другой подход - использование групп локальных моделей вместо одной глобальной модели, параллельно с развитием методов анализа хаотических BP, набирает все большую популярность ([5, 29, 34-37]). Обоснование его успеха в применении заключается в достаточно сильной вариабельности различных характеристик динамики хаотических систем в фазовом пространстве, о чем было сказано выше. Глобальные модели могут быть слишком грубы, чтобы правильно описывать эти вариации, либо слишком сложны и избыточны в случае, когда они их описывают. В такой ситуации лучшее описание наблюдаемой динамики могут дать группы локальных моделей. В качестве примера успешного применения такого подхода приведем работы [5, 38, 39], общая идея которых состоит в том, что вместо построения одной глобальной модели, описывающей поведение наблюдаемой системы на всем фазовом пространстве, строится группа локальных моделей, каждая из которых построена на специфическом участке фазового пространства и> оптимизирована для конкретного характера наблюдаемой динамики.

Корректное разбиение фазового пространства на области определения локальных моделей основывается на методах обнаружения изменений каких либо характеристик динамики. К настоящему времени достаточно хорошо разработаны методы определения локального уровня аддитивных шумов [40], локальной устойчивости, определения локальной размерности в специальных случаях [41] и информационной сложности [3, 4, 42]. Однако практически не описаны, например, методы оценки локальной скорости перемешивания фазовых траекторий, методы выявления внутренних шумов, определения размерности колебаний в общем случае. Разработка этих и схожих методов может улучшить понимание хаотических систем и расширить применение концепции локальных моделей при реконструкции этих систем по наблюдаемым BP.

В качестве примера, демонстрирующего фундаментальные причины появления в фазовом пространстве хаотических систем областей с различной локальной устойчивостью и временем предсказуемости, рассмотрим систему т нелинейных автономных ОДУ = /0*0 (1) где х в Rm, f : Rm Rm.

Предположим, что существует некоторое возмущение (погрешность) е0 в задании начальных условий а?о.

Для анализа динамики возмущений, длящихся конечное время At необходимо воспользоваться уравнением e(t0 + At) = P(x0,At)e0 (2) где P(xo,At) - матрица эволюции (tangent propagator) системы (1). Для потоков она определяется следующим образом3: rtn+At

P(xQ,At)= J(x(t))dt

J to где J - Якобиан оператора эволюции системы /(ж).

3Для дискретных отображений Р(хо,к) определяется как произведение Якобианов вдоль траектории: Р(х0, к) = J(ccfci) J(xfc2). J(xо).

Положив в (2) t0 — 0, модуль погрешности e(t) можно представить в виде

Ф) = 1ЖН = \/e(i)re(i) = Je0P(x0,t)TP(x0,t)eQ где символ Т обозначает операцию транспонирования. Тогда эффектив

1 1 еСА t) ную скорость роста возмущении r&t = ^ In 2 можно определить как г(е0,ж0) = e0P(x0,t)TP(xQ,t)e0 ^ о ео

Выражение, стоящее под знаком корня можно интерпретировать как частное Рэлея [43]. Его максимальное значение является наибольшим собственным значением матрицы РТР. Представим матрицу Р в виде сингулярного разложения Р = UЕУТ, где столбцы матриц U и V содержат левые и правые сингулярные вектора щ и Vi, а на диагонали матрицы Е расположены сингулярные числа сгг- в порядке убывания. При этом первые сингулярные вектора соответствуют направлению наиболее сильного роста погрешности. Правые сингулярные вектора V{ иногда называют сингулярными векторами «начального времени», а левые (щ) -сингулярными векторами «конечного времени» [44], поскольку Vi определены в момент времени £0 и П°Д действием оператора Р поворачиваются и растягиваются (сжимаются) в вектора щ, которые определены в момент времени to + At:

PVi — GiUi

Т{ представляют собой коэффициенты изменения длины векторов vi и для фиксированных ж0 и At определяют конечно-временные ляпунов-ские показатели 1

Xi{x0,At) = -lnffj (4) которые, как видно из сопоставления (3) и (4), определяют эффективную скорость роста возмущений, направленных вдоль вектора vi, на интервале времени At: e{At) ос eXlAt

Важно отметить, что эта формула является грубой оценкой скорости роста, поскольку сами показатели Лг- (как и сгг- с vi) вообще говоря зависят от At. Это приводит к ограничениям в интерпретации понятия ляпуновских показателей как эффективной скорости роста возмущений, поскольку в реальных динамических системах,для произвольного At эта скорость не обязана быть и обычно не-является экспоненциальной и постоянной4 [44, 45].

Максимальная экспоненциальная скорость роста определяется показателем Ai(a?o, At) и достигается, когда начальное возмущение ео совмещено с направлением v\. Предел К\ = lim Ai(a?o, Дt) называется стар

At—*оо шим ляпуновским показателем и существует почти для всех х и начальных возмущений е0. Остальные аналогичные пределы Aif г = 2, .,га характеризуют скорость роста возмущений по оставшимся направлениям пространства Rm и совместно с Ai формируют спектр ляпуновских показателей.

Таким* образом, важный для этого диссертационного исследования-вывод из определения ЛЛП состоит в том, что скорость роста каждого фиксированного возмущения зависит от направления этого возмущения. На интервале времени At она будет максимальна тогда, когда направление вектора возмущения совпадает с направлением вектора v\ и минимальна, когда направление возмущения совпадает с направлением vm5. Более того, гиперболические точки в хаотических (гиперболических и часто квазигиперболических) системах обладают устойчивым и неустойчивым многообразиями, на которых случайные возмущения могут как экспоненциально убывать, так и экспоненциально возрастать (рис. 1) [46, 47].

Итак, структура локальной окрестности фазовой точки и направление случайного возмущения определяют скорость роста заданных слу

Она является постоянной только для динамических систем с постоянным Якобианом.

5Отметим, что направление vi является направлением скорейшего роста возмущений только для интервала At в целом. В течение эволюции системы внутри этого интервала при непостоянном Якобиане существуют направления максимальной мгновенной скорости роста, отличные от

Рис. 1: Структура локальной окрестности траектории гиперболической точки на аттракторе хаотической системы. Устойчивое и неустойчивое (ТУ") многообразия (по [47]). чайных возмущений в локальной окрестности, а конечно-временные ля-пуновские показатели (4) позволяют оценить среднее значение скорости роста возмущений на участках аттрактора некоторой конечной длительности.

Дадим иллюстрацию этим положениям на примере широко известной квазигиперболической системы Лоренца. Для этого покажем, что на аттракторе Лоренца существует некоторое распределение времен удвоения возмущения Т26, величины, которая выражается непосредственно в единицах времени и может служить характеристикой свойств предсказуемости хаотических систем [38, 45, 48]. Для этого будем достаточное число раз интегрировать систему Лоренца (1.15) с двух близких начальных условий, первое из которых распределено с естественной инвариантной мерой на аттракторе, а второе представляет собой случайное отклонение на фиксированное расстояние е = 0.5 от первого в произвольном направлении и будем каждый раз фиксировать время удвоения возмущения 72.

На рис. 2 показана гистограмма времен 72 в линейном (а) и логариф

6В общем виде величина т2(£с0,е0) - минимальное время, за которое начальное возмущение увеличится в 2 раза вводится как т2(х0,с0) = min{t| Ц/Джо + е0) - /<(жо)|| > 2||е0||}. мическом (b) масштабе. Из этого рисунка видно, что времена удвоения возмущения т2 распределены по экспоненциальному закону. На аттракторе существуют такие области (с небольшим конечно-временным ЛП Ai(xq, Ai)) и такие локальные ориентации возмущений (направленные вдоль устойчивого многообразия Ws), что время тг для них существенно больше среднего значения 0.8 на аттракторе.

Рис, 2: Гистограмма времени удвоения возмущения в системе Лоренца для случайной орентации возмущений. Линейный (а) и логарифмический (Ь) масштабы.

Конкретное распределение областей быстрого и медленного роста возмущений на аттракторе Лоренца показано на рис. 3. На нем точками отмечены начальные условия, для которых в среднем по изотропиче-ским ориентациям начальных возмущений время удвоения возмущения меньше единицы: t<i < 1. Крестиками показаны начальные условия, для которых т2 > 1.

Достаточно ясно видно, что траектории, на которых возмущения возрастают быстро, сконцентрированы в области перехода между колебаниями вокруг двух неустойчивых стационарных точек, тогда как более регулярное движение вокруг стационарных точек приводит к большему времени удвоения возмущений. Таким образом, можно сделать вывод о

Рис. 3: Фазовый портрет системы Лоренца. Точками показаны начальные условия для траекторий с малым временем удвоения возмущений (т2 < 1); крестиками - начальные условия для траекторий с большим временем удвоения возмущений (т2 > 1). том, что уже сам характер уравнений рассматриваемой динамической системы определяет существование областей с различной скоростью роста возмущений в фазовом пространстве, а значит и обладающих различной потенциальной предсказуемостью. В этой связи следует отметить работы [45, 49-51], в которых авторы показали, что ЛЛП и характерное время удвоения возмущений на аттракторе не постоянны и могут испытывать достаточно сильные вариации.

Описанный выше эффект вариабельности скорости роста возмущений в зависимости от их направлений обычно сглаживается из-за того, что суммарное распределение векторов возмущений в ходе эволюции ДС относительно изображающей точки почти всегда является изотропиче-ским. Но если в течение времени эволюции системы подбирать направление векторов возмущений некоторым специальным образом (например вдоль быстрейшего или наиболее медленного направления роста возмущений), то среднее время удвоения возмущений т2 будет значительно отличаться для каждого способа подбора направлений возмущений [44, 45]. На практике такое не изотропическое распределение возмущений может присутствовать в некоторых метеорологических процессах [45].

Для того, чтобы успешно справиться с задачей моделирования сложных и неоднородных систем, в работах [5, 6, 39, 52, 53] были введены новые понятия «русел» и «джокеров». «Джокеры» являются регионами в фазовом пространстве, в которых динамика системы становится плохо предсказуемой, она просто изменяется, усложняется или даже становится вероятностной и случайной. В противоположность джокерам вводится понятие «русла» — области устойчивого, хорошо прогнозируемого движения. В [52] и [5] для описания таких процессов и систем, в фазовом пространстве которых можно выделить эти области, введен новый класс математических моделей — динамические системы с джокерами.

Наиболее очевидная иллюстрация русел в фазовом пространстве -области локального маломодового движения, в которых хороший прогноз обеспечивается простотой модельной функции, или области локальной устойчивости хаотической системы. Отметим некоторые возможные причины появления джокеров в фазовом пространстве [5, 6, 39, 53]:

• джокеры могут быть областями локальной неустойчивости хаотической системы, в которых ЛЛП положительны;

• джокеры могут быть областями сильной перемешиваемости;

• джокеры могут быть областями, в которых проявляется действие локальных случайных возмущений;

• джокеры могут быть областями высокомодового движения;

• джокеры могут быть областями быстрого движения.

Таким образом, возможно, наиболее благодатную почву для наличия русел и джокеров дают системы связанных осцилляторов с переменной связью и сингулярно возмущенные системы ОДУ. Переменность связи может сильно изменять локальную размерность и сложность динамических уравнений процессов, а сингулярное возмущение приводит к чередующейся медленно-быстрой динамике [39].

Формальное определение понятия русла, возникающего, например, в областях маломодового движения хаотической системы, состоит в следующем [5]: рассмотрим n-мерное фазовое пространство хаотической системы F. Предположим, что в некоторой локальной области G поведение системы может быть приближенно описано маломодовой моделью F\ с размерностью фазового пространства п\ < п. Если траектория системы в течение времени наблюдения достаточное число раз проходила через область G, можно восстановить ni-мерную функцию F\, определенную в этой области, дающую возможность делать в ней локальный прогноз. С точки зрения построения прогноза важным здесь является то, что поскольку динамика системы в области G более проста, чем во всем фазовом пространстве (в следствие маломодовости), прогноз поведения Tii степени свободы системы с помощью реконструкции функции jFi будет более точен, чем тот же прогноз с помощью реконструкции функции F. Такая область G, допускающая «хороший» прогноз хотя бы некоторых мод хаотической системы, называется руслом (см. [5]).

Существует два основных подхода к обнаружению областей нестационарной или сложной динамики. Первый подход характеризуется анализом некоторых по крайней мере частичных модельных представлений о наблюдаемой динамике и позволяет обнаруживать и локализовывать эти области не только во времени, но и в пространстве состояний [5, 39]. В частности, в работе [5] описан метод, называемый «тест на линейное предсказание», который находит в фазовом пространстве области неустойчивого движения траекторий (джокеров). Суть его сводится к следующему: берется некоторая окрестность точки фазового пространства хг, причем хг не включается в окрестность, и по этой окрестности строится линейный прогноз на время At вперед. Далее по построенному прогнозу точка хг экстраполируется на время At вперед и оценивается ошибка экстраполяции ег. Меняя базовую точку и анализируя вид зависимости e(t), в фазовом пространстве находят области плохо прогнозируемого движения — джокеров.

Рассмотрим применение этого метода по отношению к системе Рес-слера, находящейся в хаотическом режиме.

Во-первых покажем, что на ее аттракторе могут существовать области локальной устойчивости (русла), в которых все ЛЛП меньше нуля либо относительно невелики и области неустойчивого движения (джокеры), в которых по крайней мере один из ЛЛП положителен и достаточно велик.

На рис. 4 изображена z-компонента системы Ресслера (толстая линия) и локальные ляпуновские показатели7 этой системы (пунктирными линиями: верхний график — максимальный по аттрактору, средний график — нулевой по аттрактору, нижний — минимальный).

Как следует из рисунка, в области z 0 все ЛЛП увеличиваются, указывая на неустойчивый характер движения системы в этой области (в которой, кроме того, наблюдается локальное увеличение размерности динамики системы). Таким образом, эту область следует представлять как джокер.

Результаты применения теста на линейное предсказание для этой системы Ресслера показаны на рис. 5. Тест выявил область джокера, подтвердив сделанное выше предположение о ее наличии.

Альтернативой использованию модельных представлений о наблюдаемых процессах является второй подход, в котором используются различные информационные меры сложности ([55]) или анализ некоторых геометрических характеристик ([56]) наблюдаемых временных рядов. Особенностью этого подхода является необязательность модельного описания наблюдаемой динамики и обнаружение локальных временных

7Локальные ляпуновские показатели вычислялись с помощью решения уравнений в вариациях для векторов возмущений и последующей ортогонализации Грама-Шмндта (см например [54])

Рис. 4: Поведение локальных ляпуновских показателей на аттракторе Ресслера. областей. Как правило, он менее требователен к качеству и длине наблюдаемых BP, поэтому его применение лучше отражено в литературе (см. например, [3, 4, 42, 55, 57, 58]).

Почти все методы анализа, работающие с информационными мерами, в качестве базовой процедуры, подготавливающей BP, используют методы символьной динамики [59-66], которая является средством моделирования динамических систем пространством, состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов (эффективно представляемых как строки или слова), где каждый символ соответствует некоторому состоянию системы, и оператором сдвига, заданном на этом пространстве и определяющим динамику системы.

Рис. 5: Тест на линейное предсказание [5]. Точки соответствуют ошибке c(t) >0.5 и выявляют область джокера.

Наиболее популярными информационными мерами сложности являются Энтропия Шеннона [59, 65] Нп, которая дает средний объем информации, заключенной в слове длины п; производной от энтропии Шеннона является условная (или динамическая) энтропия [67]: hn — Я„+1 — #„ которая дает средний объем информации, необходимой для предсказания (п + 1)-го символа по имеющимся п символам последовательности, то есть величина rn = 1 - hn (5) определяет среднюю предсказуемость (п + 1)-го состояния по п предыдущим состояниям. В свою очередь предел hn при п —» оо определяет энтропию источника или предельную энтропию h (59], которая может быть интерпретирована как средний объем информации, необходимой для предсказания следующего символа, если все прошлое известно.

Также достаточно часто используется Энтропия Колмогорова-Синая или метрическая энтропия [65, 66, 68]. Эта величина является супремумом предельной энтропии h по всем возможным разбиениям Р:

HKS = sup h{P) = sup lim hn{P) p p " ,uu

Отсюда следует, что эта энтропия не зависит от конкретного способа разбиения Р, кроме того, показано ([59, 66]), что для многих нелинейных систем Hks совпадает с энтропией Лесина, определяемой как сумма положительных ЛП системы. Это означает, что энтропия Hks характеризует динамические свойства систем. Один из лучших алгоритмов вычисления этой энтропии для некоторых BP приведен в работе [69], в которой также имеются ссылки на альтернативные алгоритмы.

Кроме перечисленных, существуют и другие меры сложности BP, например, б - энтропия [55, 66], энтропия Реньи [66], так называемые Т - информация и Т - энтропия [59], меры, основанные на диаграммах возврата [56] и другие, более редко используемые меры.

Приведем пример выявления динамики предсказуемости наблюдаемых BP с использованием информационных мер. В работе [42] авторы исследовали массив наблюдений за температурой воздуха в г. Потсдам (Германия) длиной в 102 года с 1893 по 1994 гг. В первую очередь на массиве наблюдений ввели разбиение (алфавит) из пяти символов: очень холодно, холодно, умеренно, тепло, жарко. Далее была вычислена условная энтропия h<i и средняя вероятность постоянства погоды в течение пяти дней, графики которых показаны на рис. 6. Вычисления производились в двигающемся временном окне длиной 30 лет (« 11000 измерений), при которой измерения могут считаться стационарными.

Как следует из рис. 6, условная энтропия явно уменьшается со временем, что означает увеличение степени постоянства и неизменности температуры. Этот вывод подтверждается растущей кривой вероятности наблюдения пяти одинаковых состояний температуры подряд. Таким

0,435

0,405

1893 1903 1913 1923 1933 1943 1953 1963

YEAR

Рис. 6: Условная энтропия h4 (пунктирная линия) и средняя вероятность постоянства погоды в течение пяти дней (сплошная линия). Источник: [42]. образом, в течение века измерений обнаружено некоторое растущее постоянство температуры, которое отражает более стабильную климатическую циркуляцию и ведет к потенциально более качественному прогнозу климатических факторов.

Можно обнаружить и другие примеры, когда анализ локальных свойств хаотических процессов позволил углубить их понимание. В частности, в работе [36] авторы исследовали двумерную решетку связанных осцилляторов и показали, что локальная для каждого осциллятора размерность колебаний существенно варьируется от осциллятора к осциллятору и лучший прогноз колебаний строится для осцилляторов с маленькой локальной размерностью колебаний; в работах [70-72] показано, что анализ локальных свойств зашумленных нелинейных процессов может обнаружить предвестники их будущих бифуркаций.

Фундаментальное свойство хаотических систем - перемешивание [7376], оказывает не меньшее влияние на их наблюдаемую динамику, чем рассмотренные выше свойства. Перемешивание хаотических траекторий является ключевой особенностью в ряде физических и химических теорий [77-80], а также технических приложений [81-83]. Однако, при столкновении с необходимостью теоретического описания процесса перемешивания в хаотических системах и его экспериментальной оценки, возникают трудности, связанные с невозможностью аналитического или даже численного вычисления оператора Фробениуса-Перрона [84] для большинства хаотических систем. Для того, чтобы обойти эти трудности, исследователи заменяют оператор Фробениуса-Перрона его конечными марковскими аппроксимациями [85-87] или используют другие методы его оценки [88, 89]. Еще одна фундаментальная сложность использования оператора Фробениуса-Перрона состоит в том, что в негиперболических-хаотических системах не существует стационарной вероятностной меры, не зависящей от начального распределения [84].

Косвенный и зачастую более удобный • путь оценки действия перемешивания на динамику рассматриваемой системы состоит в вычислении некоторых величин, которые считаются связанными со свойством перемешивания в системе. Одной из этих величин является энтропия Колмогорова-Синая, положительное значение которой для определенной динамической системы говорит о наличии в ней перемешивания. Такая связь между энтропией Колмогорова-Синая и перемешиванием объясняется тем, что от скорости перемешивания зависит скорость спадания корреляций в системе [90], которую, в свою очередь, можно также связать с ее положительными ляпуновскими показателями [91, 92], которые непосредственно входят в определение энтропии Колмогорова-Синая. Однако, как показано в работе [93], существуют и такие хаотические системы (как, например, двумерные бильярды), которые являются перемешивающими, но имеют нулевую энтропию Колмогорова-Синая.

Еще одна возможность оценить скорость перемешивания в хаотической системе состоит непосредственно в оценке скорости экспоненциального спадания корреляций. Однако, строгая оценка скорости спадания (тсогг — Нк1, где тсогг - время корреляции, а Нк - энтропия Колмогорова-Синая [94, 95]) получена лишь для диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме-А, в остальных случаях может наблюдаться самая различная скорость спадания корреляций [90], что также сильно затрудняет оценку скорости перемешивания.

Цель работы.

Цель работы состояла в разработке методов анализа хаотических систем, позволяющих обнаружить в их фазовом пространстве такие участки, динамика системы на которых характеризуется более сложным поведением (например, неустойчивым, многомодовым, зашумленным, неавтономным) по сравнению с остальными областями фазового пространства.

Достижение поставленной цели предусматривало решение следующих задач:

• исследования свойства перемешивания траекторий на аттракторе хаотических систем и разработки алгоритма оценки скорости перемешивания; анализа устойчивости алгоритма к изменению его параметров и проверки алгоритма на примере тестовых хаотических систем; выявления качественной взаимосвязи понятий устойчивости траекторий и их перемешивания для этих хаотических систем;

• разработки разностного (сравнительного) метода выявления областей сложного поведения в фазовом пространстве хаотических систем и анализа надежности этого метода в условиях действия шумовых возмущений различной природы; исследования преимуществ построения прогноза динамики хаотических систем с использованием предлагаемого метода.

Научная новизна.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• Предложена полуаналитическая оценка скорости перемешивания фазовых траекторий на аттракторе хаотической системы. Разработан алгоритм вычисления как локальной, так и средней по аттакто-ру скорости перемешивания фазовых траекторий.

• Предложен метод выявления в фазовом пространстве наблюдаемых BP областей со сложным поведением траекторий и проведено исследование этого метода на устойчивость к шумовым возмущениям;

Практическая значимость.

Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы при исследовании и моделировании сложных нелинейных процессов различной природы.

С помощью разработанных методов может быть осуществлен поиск участков траекторий в фазовом пространстве исследуемых систем, которые соответствуют сложному, зашумленному или непредсказуемому движению. Кроме того, для хаотических систем разработанный метод позволяет оценить перемешиваемость траекторий на аттракторе. Полученные результаты могут быть полезны как при реконструкции нелинейных систем - построении групп локальных моделей, суммарно описывающих наблюдаемую динамику, так и при анализе различных свойств таких систем.

На защиту выносятся:

• метод выявления в фазовом пространстве наблюдаемых BP областей со сложным поведением траекторий нелинейных систем;

• полуаналитическая оценка степени перемешивания и алгоритм вычисления локальной, а также средней скорости перемешивания на аттракторе хаотических систем;

• результаты применения разработанных методов при анализе и моделировании наблюдаемых нелинейных процессов.

Личный вклад автора.

Личный вклад автора состоит в анализе литературных данных по теме диссертации, совместной с научным руководителем формулировке задач диссертационного исследования и выборе методов их решения, разработке подходов и написании программ компьютерного моделирования, интерпретации и обработке результатов численных экспериментов.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации были доложены на:

• IV международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001);

• IV международной научно-технической конференции «Перспективные технологии в средствах передачи информации» (Владимир-Суздаль, 2001);

• International conference «Progress in nonlinear science», N. Novgorod, 2001 (международной конференции «Прогресс в нелинейной науке», Н. Новгород, 2001);

• II всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2004);

• VI международной научно-технической конференции «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии» (Владимир, 2004);

• VII международной научно-технической конференции «Физика и радиоэлектроника в медицине и экологии» (Владимир, 2006);

• VIII международной школе «Хаотические колебания и образование структур» (Саратов, 2007);

• XIV научной школе «Нелинейные волны - 2008» (Н. Новгород, 2008);

Работы были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99-02-16625).

По теме диссертационного исследования опубликованы и приняты к печати 12 работ (4 статьи в рецензируемых журналах ВАК, которые включены в общий список литературы под номерами [6,30,101,102], 8 статей в сборниках трудов научных конференций).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации -108 страниц. В ней содержится 40 рисунков и библиография из 123 наименований на 14 страницах.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Логунов, Максим Юрьевич

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть сформулированы следующим образом.

1. Исследовано свойство перемешивания фазовых траекторий на аттракторах хаотических систем. Даны полуаналитические оценки скорости перемешивания на аттракторе. Предложен алгоритм вычисления как локальной, так и средней по аттрактору скорости перемешивания. Получены аналитические (для отображений пекаря и ученика пекаря) и экспериментальные (для отображения Эно и систем Чуа, Ресслера, Лоренца) оценки локальной и средней по аттрактору скорости перемешивания.

2. Показано, что хаотические системы имеют характерные особенности в распределении быстро- и слабо перемешивающих областей на аттракторе, которые связаны с его топологическим строением. Описана связь между явлениями перемешивания, устойчивости хаотической траектории и локальным топологическим строением аттрактора.

3. Разработан метод обнаружения областей плохо прогнозируемого движения нелинейных систем по наблюдаемым временным рядам. Проведено исследование этого метода на устойчивость и надежность обнаружения в условиях действия шумовых возмущений различного типа а также частичной априорной неопределенности модельного описания временных рядов. Выявлены его оптимальные параметры и даны рекомендации к использованию метода в конкретных случаях.

4. Показана возможность использования методов оценки скорости перемешивания и поиска областей плохо прогнозируемого движения в задаче построения группы локальных моделей (локальной реконструкции) хаотических систем, учитывающих особенности динамики систем на конкретных областях фазового пространства.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Логунов, Максим Юрьевич, 2009 год

1. D.J. Patil, B.R. Hunt, E. Kalnay, J.A. Yorke, E. Ott. Local low dimensionality of atmospheric dynamics. Physical Review Letters, 86 (26), стр. 5878-5881, 2001.

2. D. Kuhl, I. Szunyogh, E. Kalnay, E. J. Kostelich, G. Gyarmati, D.J. Patil, M. Oczkowski, B.R. Hunt, E. Ott, J.A. Yorke. Assessing predictability with a local ensemble Kalman filter. Journal of the Atmospheric Sciences, 64, стр. 1116-1140, 2007.

3. R. Steuer, W. Ebeling. Entropy and local uncertainty of data from sensory neurons. Phys. Rev. E, 64, 2001.

4. A. Bezerianos, S. Tong, N. Thakor. Time-dependent entropy estimation of EEG rhythm changes following brain ischemia. Annals of Biomedical Engineering, 31, стр. 221-232, 2003.

5. Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов. Русла и джокеры. О новых методах прогноза поведения сложных систем. Препринт 32, ИПМ РАН, 1998.

6. О.Я. Бутковский, М.Ю. Логунов. Русла и джокеры в непрерывных системах. ЖЭТФ, 131 (6), стр. 1107-1114, 2007.

7. С.С. Strelioff, A.W. Hubler. Medium-term prediction of chaos. Phys. Rev. Lett., 96, 2006.

8. D. Allingham, M. West, A. Mees. Wavelet reconstruction ofnonlinear dynamics. International Journal of Bifurcation and Chaos, 8 (11), стр. 2191-2201, 1998.

9. B.C. Анищенко, A.H. Павлов, Н.Б. Янсон. Реконструкция динамических систем в приложении к решению задачи защиты информации. Журнал технической физики, 68 (12), 1998.

10. S.P. Garcia, J.S. Almeida. Multivariate phase space reconstruction by nearest neighbor embedding with different time delays. Phys. Rev. E, 72, 2005.

11. K. Judd. Chaotic-time-series reconstruction by the Bayesian paradigm: Right results by wrong methods. Phys. Rev. E, 67 (2), 2003.

12. A.H. Павлов, Н.Б. Янсон. Применение методики реконструкции математической модели к электрокардиограмме. Изв. Вузов «ПНД», 5 (1), стр. 93-108, 1997.

13. А.Н. Павлов, Н.Б. Янсон, B.C. Анищенко. Применение статистических методов при решении задачи глобальной реконструкции. Письма в ЖТФ, 23 (8), стр. 7-13, 1997.

14. Ю.А. Кравцов. Случайность, детерминированность, предсказуемость. Успехи физических наук, 158 (1), стр. 93-122, 1989.

15. Г. Шустер. Детерминированный хаос. Мир, Москва, 1988.

16. Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов. Построение модельных отображений по хаотическим временным рядам. ГосУНЦ "Колледж", Саратов, 2000.

17. G.J. Ortega, C.D.E. Boschi, E. Louis. Detecting determinism in high dimensional chaotic systems. Phys. Rev. E, 65 (1), стр. 6, 2001.

18. J. Sjoberg, Q. Zhang, L. Ljung, A. Benveniste, B. Deylon, P.-Y. Glorennec, H. Hjalmarsson, Anatoli Juditsky. Nonlinear black-box modeling in system identification: a unified overview. Automatica, 31 (12), стр. 1691-1724, 1995.

19. E. Baake, M. Baake, H.G. Bock, K.M. Briggs. Fitting ordinary differential equations to chaotic data. Phys. Rev. A, 45, стр. 5524 -5529, 1992.

20. К. Judd, A. Mees. On selecting models for nonlinear time series. Physica D, 82, стр. 426-444, 1995.

21. M. Barahona, C.-S. Poon. Detection of nonlinear dynamics in short, noisy time series. Nature, 381, стр. 215-217, 1996.

22. X. Zeng, R. Eykholt, R.A. Pielke. Estimating the Lyapunov-exponent spectrum from short time series of low precision. Physical Review Letters, 66, стр. 3229-3232, 1991.

23. H. Liu, F. Hussain, C.L. Tan, M. Dash. Discretization: an enabling technique. Data Mining and Knowledge Discovery, 6 (4), стр. 393423, 2002.

24. P.E. McSharry, L.A. Smith. Better nonlinear models from noisy data: attractors with maximum likelihood. Phys. Rev. Lett., 83 (21), стр. 4285-4288, 1999.

25. D. N. Mukhin, A. M. Feigin, E. M. Loskutov, Ya. I. Molkov. Modified Bayesian approach for the reconstruction of dynamical systems from time series. Phys. Rev. E, 73, 2006.

26. M. Giona, F. Lentini, V. Cimagalli. Functional reconstruction and local, prediction of chaotic time series. Physical review A, 44 (6), 1991.

27. J. Vesanto. Using the SOM and local models in time-series prediction. Proceedings of Workshop on Self?Organizing Maps (WSOM'97), стр. 209-214, 1997.

28. О.Я. Бутковский, Ю.А. Кравцов, М.Ю. Логунов. Анализ погрешностей восстановления параметров нелинейного отображения по зашумленным хаотическим временным рядам. Изв. вузов. Радиофизика, 45 (1), стр. 55-66, 2002.

29. O.L. Anosov, O.Ya. Butkovskii, Yu.A. Kravtsov, V.A. Protopopescu. Predictability of linear and nonlinear autoregressive models. Physics of Vibrations, 7 (2), стр. 61-74, 1999.

30. V. N. Smelyanskiy, D. G. Luchinsky, D. A. Timuin, A. Bandrivskyy. Reconstruction of stochastic nonlinear dynamical models from trajectory measurements. Phys. Rev. E, 72, 2005.

31. A.M. Фейгин, Я.И. Мольков, Д.Н. Мухин, Е.М. Лоскутов. Прогноз качественного поведения динамической системы по наблюдаемым хаотическим временным рядам. Известия ВУЗов. Радиофизика, 44 (5-6), стр. 376-398, 2001.

32. F. Paparella, A. Provenzale, L.A. Smith, С. Taricco, R. Vio. Local random analogue prediction of nonlinear processes. Physics Letters A, 235 (3), стр. 233-240, 1997.

33. M. Cai, Е. Kalnay, Z. Toth. Bred vectors of the Zebiak-Cane model and their potential application to ENSO predictions. Journal of Climate, 16, стр. 40-56, 2003.

34. G. Francisco, P. Muruganandam. Local dimension and finite time prediction in spatiotemporal chaotic systems. .Phys. Rev. E, 67 (6), 2003.

35. E. Ott, B.R. Hunt, I. Szunyogh, A.V. Zimin, E.J. Kostelich, M. Corazza, E. Kalnay, D.J. Patil, J.A. Yorke. A local ensemble Kalman filter for atmospheric data assimilation. Tellus A, 56, стр. 415-428, 2004.

36. L.A. Smith, R.J. Bhansali. Local. optimal prediction: exploiting strangeness and the variation of sensitivity to initial condition. Philosophical Transactions: Physical Sciences and Engineering, 348 (1688), стр. 371-381, 1994.s

37. М.-Г. M. Зульпукаров, Г. Г. Малинецкий, А. В. Подлазов. Метод русел и джокеров на примере исследования системы Розенцвей-га-Макартура. Препринт 21, ИПМ РАН, 2007.

38. С. Ris, S. Dupont. Assessing local noise level estimation methods: application to noise robust ASR. Speech Communication, 34 (1-2), стр. 141-158, 2001.

39. A. Behrman. Global and local dimensions of vocal dynamics. J. Acoust. Soc. Am., 105 (1), стр. 432-43, 1999.

40. P.C. Werner, F.-W. Gestengarbe, W. Ebeling. Changes in probability of sequences, exit time distribution and dynamical entropy in the Potsdam temperature record. Theor. Appl. Climatol., 62, стр. 125132, 1999.

41. J.H Wilkinson. The algebraic eigenvalue problem. Oxford University Press, 1965.

42. L.A. Smith. The maintenance of uncertainty. Proc. International School of Physics «Enrico Fermi», Course CXXXIII, стр. 177-246, Bologna, Italy, 1997. Societ'a Italiana di Fisica.

43. L.A. Smith, C. Ziehmann, K. Fraedrich. Uncertainty dynamics and predictability in chaotic systems. Q.J.R. Meteorol. Soc., 125, стр. 2855-2886, 1999.

44. P. Cvitanovic, R. Artuso, R. Mainieri, G. Tanner, G. Vattay. Chaos: Classical and Quantum. Niels Bohr Institute, Copenhagen, 2005.

45. А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. Основы теории сложных систем. М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007.

46. С. Ziehmann, L.A. Smith. Return of forecast skill in chaotic systems. Eos Trans. AGU, том 81 of Fall Meet. Suppl., 2000.

47. C. Dellago, W.G. Hoover. Are local Lyapunov exponents continuous in phase space? Physics Letters A, 268, стр. 330-334, 2000.

48. H.D.I. Abarbanel, R. Brown, M.B. Kennel. Variation of Lyapunov exponents on a strange attractor. Journal of Nonlinear Science, 1 (2), стр. 175-199, 1991.

49. J.С. Vallejo, J. Aguirre, M. A.F. Sanjuan. Characterization of the local instability in the Henon-Heiles Hamiltonian. Physics Letters A, 311, стр. 26-38, 2003.

50. I. Bellachook, G. Malinetskii. Tricks of jokers of one-dimensional map. 5-th International Specialist Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, june 1997.

51. A.Yu. Pozdnyakova, L.N. Sergeeva. Application of a graphical test for analyzing dynamic systems with a joker. Journal of Mathematical Sciences, 107 (6), стр. 4477-4481, 2001.

52. С.П. Кузнецов. Динамический хаос (курс лекций). М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001.

53. J. Kurths, U. Schwarz, A. Witt, R. Th. Krampe, М. Abel. Measures of complexity in signal analysis. Proceedinds of 3rd Technical Conference on Nonlinear Dynamics (Chaos) and Full Spectrum Processing. Mystic, July 10-13 1995.

54. N. Marwan, N. Wessel, U. Meyerfeldt, A. Schirdewan, J. Kurths. Recurrence plot based measures of complexity and its application to heart rate variability data. Phys. Rev. E, 66 (2), 2002.

55. W. Ebeling, C. Frommel. Entropy and predictability of information carriers. BioSystems, 46, стр. 47-55, 1998.

56. С. Anteneodoa. Entropy production in the cyclic lattice Lotka-Volterra model. Eur. Phys. J. B, 42, стр. 271-277, 2004.

57. W. Ebeling, R. Steuer. Partition-based entropies of deterministic and j stochastic maps. Stochastics and Dynamics, 1 (1), стр. 45-61, 2001.

58. D.tG. Ke, Q.-Y. Tong. Easily calculable complexity measure for finite time series.

59. C.S. Daw, C.E.A. Finney, E.R. Tracy. A review of symbolic analysis of experimental data. Review of Scientific Instruments, 74 (2), стр. 915-930, 2003.

60. N. Wessel, U. Schwarz, P. I. Saparin, J. Kurths. Attractors, signals, and synergetics, глава Symbolic Dynamics for Medical Data Analysis, стр. 45-61. Pabst Science Publishers, 2002.

61. M.B. Kennel, M. Buhl. Estimating good discrete partitions from observed data: symbolic false nearest neighbors. Phys. Rev. Lett., 91 (8), стр. 4, August 2003.

62. M.B. Kennel, A.I. Mees. Testing for general dynamical stationarity with a symbolic data compression technique. Phys. Rev. E, 61 (3), March 2000.

63. F. Cecconi, M. Falcioni, A. Vulpiani. Complexity characterizazion of dynamical systems through predictability. XVMariam Smoluchowski Symposium on Statistical Physics, September 2002.

64. G. Boffetta, M. Cencini, M. Falcioni, A. Vulpiani. Predictability: a way to characterize Complexity. Physics Reports, 356, стр. 367-474, 2001.

65. W. Ebeling, L. Molgedey, J. Kurths, U. Schwarz. Entropy, complexity, predictability and data analysis of time series and letter sequences.

66. B.C. Анищенко, С.В. Астахов. Относительная энтропия как мера степени перемешивания зашумленных систем. Письма в ЖТФ, 33 (21), стр. 1-8, 2007.

67. Z. Nan, L. Zengrong. A numerical method of K-S entropy calculation for a strange attractor. Acta Mechanica Sinica, 8 (1), стр. 16-20, 1992.

68. I.Z. Kiss, J.L. Hudson. Experiments on coherence resonance: Noisy precursors to Hopf bifurcations. Physical Review E, 67, 2003.

69. K. Wiesenfeld. Virtual Hopf phenomenon: a new precursor of period-doubling bifurcations. Physical Review A, 32 (3), стр. 1744-1751, 1985.

70. К. Wiesenfeld. Noisy precursors of nonlinear instabilities. Journal of Statistical Physics, 38 (5/6), стр. 1071-1097, 1985.

71. J.M. Ottino. Mixing, chaotic advection and turbulence. Annu. Rev. Fluid Mech., 22, стр. 207-253, 1990.

72. S. Wiggins, J.M. Ottino. Foundations of chaotic mixing. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 362, стр. 937-970, March 2004.

73. A. Wonhas, J. C. Vassilicos. Mixing in fully chaotic flows. Physical Review E, 66 (5), стр. 051205.1-051205.17, 2002.

74. B.M. Аникин, А.Ф. Голубенцев. Аналитические модели детерминированного хаоса. Москва: Физ. мат. лит., 2007. ISBN 9785-9221-0879-9.

75. N.J. Cornish, D.N. Spergel, G.D. Starkman. Does chaotic mixing facilitate О < 1 inflation? Phys. Rev. Lett., 77, стр. 215-218, 1996.

76. S.J. Kim, Т.Н. Kwon. Enhancement of mixing performance of single-screw extrusion processes via chaotic flows: Part I. Basic concepts and experimental study. Advances in Polymer Technology, 15, стр. 41-54, 1998.

77. О. Paireau, P. Tabeling. Enhancement of the reactivity by chaotic mixing. Phys. Rev. E, 56, стр. 2287-2290, 1997.

78. A. Tsuda, R.A. Rogers, P.E. Hydon, J.P. Butler. Chaotic mixing deep in the lung. PNAS, 99, стр. 10173-10178, 2002.

79. X. Niu, Y.-K. Lee. Efficient spatial-temporal chaotic mixing in microchannels. J. Micromech. Microeng., 13, стр. 454-462, 2003.

80. F.H. Ling. Chaotic mixing in a spatially periodic continuous mixer. Phys. Fluids A, 5 (9), стр. 2147, 1993.

81. Т. Shinbrot, A. Alexander, F.J. Muzzio. Spontaneous chaotic granular mixing. Nature, 397, стр. 675-678, 1999.

82. B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, Г.А. Окрокверцхов, Г.И. Стрелкова. Статистические свойства динамического хаоса. Успехи Физических Наук, 172 (2), стр. 163-179, 2005.

83. С. Chiu, Q. Du, Т. Y. Li. Error estimates of the Markov finite approximation of the Frobenius-Perron operator. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 19, стр. 291 308, 1992.

84. J. Ding, Q. Du, T.Y. Li. High order approximation of the Frobenius-Perron operator. Appl. Math. Comp, 53, стр. 151-171', 1993.

85. J. Ding, T.Y. Li. A convergence rate analysis for markov finite approximations to a class of Frobenius-Perron operators. Nonlinear Analysis, 31, стр. 765-777, 1998.

86. J. Ding. A maximum entropy method for solving Frobenius-Perron operator equations. Applied Mathematics and Computation, 93, стр. 155-168, 1998.

87. F.U. Hunt. Monte Carlo approach to the approximation of invariant measures. Random & Comput. Dynam, 2, стр. 111-133, 1994.

88. V. Baladi. Decay of correlations. Smooth Ergodic Theory and its Applications. Proc. Symp. Pure Mathematics, том 69, стр. 297-325, Seattle, WA, 1999. Providence, RI: American Mathematical Society.

89. R. Badii, K. Heinzelmann, P.F. Meier, A. Politi. Correlation function and generalized Lyapunov exponents. Physical review A, 37 (4), стр. 1323-1328, february 1988.

90. P. Collet, J.-P. Eckmann. Liapunov multipliers and decay of correlations in dynamical systems. Journal of Statistical Physics, 115 (1-2), стр. 217-254, 2004.

91. G. Casati, T. Prosen. Mixing property of triangular billiards. Phys. Rev. Lett., 83 (23), стр. 4729-4732, 1999.

92. R. Bowen. Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms, Lecture notes in mathematics 470. Springer-Verlag, Berlin, 1975.

93. Ch. Dellago, H. A. Posch. Mixing, Lyapunov instability, and the approach to equilibrium in a hard-sphere gas. Phys. Rev. E, 55 (1), 1997.

94. H. Mukougawa, M. Kimoto, S. Yoden. A relationship between local error growth and quasi-stationary states: case study in the Lorenz system. Journal of the Atmospheric Sciences, 48 (10), стр. 1231— 1237, 1991.

95. B.R. Hunt. Maximum local Lyapunov dimension bounds the box dimension о f chaotic attractors. Nonlinearity, 9, стр. 845-852, 1996.

96. P. So, E. Barreto, B.R. Hunt. Box-counting dimension without boxes: Computing Dq from average expansion rates. Phys. Rev. E, 60, стр. 378-385, 1999.

97. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, A.S. Kopeikin, J. Kurths, G.I. Strelkova. Effect of Noise on the Relaxation to an Invariant Probability Measure of Nonhyperbolic Chaotic Attractors. Phys. Rev. Lett., 87 (5), 2001.

98. M. Peifer, B. Schelter, M. Winterhalder, J. Timmer. Mixing properties of the Ressler system and consequences for coherence and synchronization. Physical Review E, 72, стр. 026213.1-026213.7, 2005.

99. М.Ю. Логунов, О.Я. Бутковский. Перемешивание и ляпуновские показатели хаотических систем. ЖТФ, 78, стр. 1-8, 2008.

100. М.Ю. Логунов, О.Я. Бутковский. Оценка скорости перемешивания в хаотических системах. Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 16 (4), стр. 74-82, 2008.

101. P.M. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Постмаркет, 2000.

102. Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Издательство ГосУНЦ «Колледж», 2005.

103. J.F. Alves, S. Luzzatto, V. Pinheiro. Lyapunov exponents and rates of mixing for one-dimensional maps. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 24, стр. 637-657, 2004.

104. Geoffrey J. McLachlan. Discriminant Analysis and Statistical Pattern Recognition. John Wiley & Sons, 1992.

105. M. Smiatacz, W. Malina. Versatile pattern recognition system based on Fisher criterion. Proceedings of the KOSYR'2003, Komputerowe Systemy Rozpoznawania (Computer Recognition Systems), стр. 343-348, Wroclaw, 2003.

106. M.Q. Zhang. Discriminant analysis and its application in DNA sequence motif recognition. Briefings in Bioinformatics, 1 (4), стр. 331-342, 2000.

107. J. Ye. Characterization of a family of algorithms for generalized discriminant analysis on undersampled problems. Journal of Machine Learning Research, 6, стр. 483-502, 2005.

108. J.D. Tebbens, P. Schlesinger. Implementational aspects of linear discriminant analysis for classification tasks. Summer School on Numerical Linear Algebra in Signals and Systems, Monopoli, September 2006.

109. M. Zhu, A.M. Martinez. Subclass discriminant analysis. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 28 (8), стр. 1274-1286, 2006.

110. А.С. Дмитриев, В.Я. Кислов. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. Наука, Москва, 1989.

111. O.L. Anosov, O.Ya. Butkovskii. Predictability of complex dynamical systems, глава A discriminant procedure for the solution of inverse problems for nonstationary systems, стр. 67-77. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996.

112. Ю.А. Кравцов, С.Г. Бильчинская, О.Я. Бутковский, И.А. Рычка, Е.Д. Суровяткина. Предбифуркационное усиление шума в нелинейных системах. ЖЭТФ, 120 (6), стр. 1527-1534, 2001.

113. A. Neiman, P.I. Saparin, L. Stone. Coherence resonance at noisy precursors of bifurcations in nonlinear dynamical systems. Physical Review E, 56 (1), стр. 270-273, 1997.

114. О. E. Ressler. An equation for hyperchaos. Physics Letters A, 71, стр. 155-157, 1979.

115. S. Chen, J. Hua, C. Wang, J. Lu. Adaptive synchronization of uncertain Ressler hyperchaotic system based on parameter identification. Physics Letters A, 321, стр. 50-55, 2004.

116. О.Я. Бутковский, Ю.Я. Кравцов. Обратные задачи хаотической динамики и проблема предсказуемости хаоса. Труды семинара «Время, Хаос и Математические Проблемы», номер 1, стр. 165— 181. М.: Книжный дом «Университет», 1999.

117. А.А. Жиглявский, В.Н. Солнцев, Д.Л. Данилов. Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница». Санкт-Петербургский университет, 1997.

118. Н.Э. Голяндина. Метод «Гусеница»-88А: анализ временных рядов: Учеб. пособие. Изд-во СПбГУ, 2004.

119. О.Л. Аносов, О.Я. Бутковский, Ю.А. Кравцов. Минимаксная процедура идентификации хаотических систем по наблюдаемой временной последовательности. Радиотехника и электроника, 42 (3), стр. 1-7, 1997.

120. О.Я. Бутковский, М.Ю. Логунов. Разработка пакета программ для анализа временных рядов. Труды второй всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB», Москва, май 2004. Институт Проблем Управления РАН.