Квазирезонансные стабилизирующие воздействия на нелинейные системы с хаотической динамикой: Анализ и синтез тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Ценцевицкий, Андрей Андреевич

• Ценцевицкий, Андрей Андреевич
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ценцевицкий, Андрей Андреевич

Введение

Глава 1. Сравнительный анализ методов исследования нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.

1.1 .Отличительные особенности динамических систем с хаотическим поведением.

1.2. Сравнительный анализ методов анализа динамических систем.

1.3. Представление динамических систем в виде нелинейного осциллятора.

Выводы по главе.

Глава 2. Анализ поведения нелинейных динамических систем на основе представления в виде нелинейного осциллятора.

2.1. Анализ поведения динамической системы Лоренца на основе обобщенных параметров нелинейного осциллятора.

2.2. Анализ поведения динамической системы Ресслера на основе представления в виде нелинейного осциллятора.

2.3. Аналитическая оценка качественного поведения динамической системы Лоренца на основе представления в виде нелинейного осциллятора.

2.4. Анализ поведения динамических систем Дуффинга и Ван-дер-Поля на основе представления в виде нелинейного осциллятора.

Выводы по главе.

Глава 3 Синтез внешних квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамические системы с хаотическим поведением.

3.1. Синтез внешних квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамическую систему Лоренца и их исследование с точки зрения энергетической эффективности.

3.2. Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамическую систему Ресслера на основе представления в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

3.3. Стабилизация систем Ван-дер-Поля и Дуффинга внешними квазирезонансными воздействиями.

Выводы по главе.

Глава 4. Применение квазирезонансных стабилизирующих воздействий в нелинейных системах с хаотической динамикой.

4.1. Математическое моделирование квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамическую систему Лоренца при помощи программного пакета Ма^сас!.

4.2. Применение квазирезонансных воздействий для получения псевдослучайных последовательностей.

4.3. Применение результатов исследования поведения системы Лоренца для анализа динамики квантового генератора с нестационарными параметрами резонатора.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазирезонансные стабилизирующие воздействия на нелинейные системы с хаотической динамикой: Анализ и синтез»

Интенсивное изучение нелинейных систем с хаотической динамикой в последние два - три десятилетия обусловлено их многочисленными практическими приложениями в различных областях науки и техники [48, 56, 90, 110]. В радиотехнике нелинейные динамические системы с хаотическим поведением применяются для описания динамики процессов, происходящих в квантовых генераторах [75, 76], автогенераторах с инерционной обратной связью [28, 54, 55], системах фазовой автоподстройки частоты [5, 89], системах стабилизации и нагрева плазмы [10, 34, 106], в конфиденциальных системах связи, использующих хаотические сигналы [26, 44-46, 49-50, 60].

Важнейшей особенностью нелинейных систем с динамическим хаосом является возможность возникновения в них двух принципиально различных режимов - регулярного и хаотического [2, 4, 47, 57, 63, 72, 74]. Актуальной является задача обеспечения требуемого режима работы радиофизических устройств и систем с динамическим хаосом [1, 11, 29, 62, 93]. Создание квантовых генераторов с высокой стабильностью частоты излучения затруднено возможностью появления нерегулярного режима колебаний в активном веществе лазера [33, 104]. В системах фазовой автоподстройки частоты, являющихся основой построения многих устройств в системах связи и радиолокации, при переходе к фильтрам второго и более высоких порядков, возникновение хаотического режима под влиянием изменения параметров схем, наличия паразитных связей и т.д. приводит к сбою в работе системы [102]. Обеспечение регулярного режима работы является необходимым условием увеличения надежности и улучшения характеристик этих систем.

Широкое применение нелинейных систем с хаотической динамикой в качестве формирователей псевдослучайных сигналов [32, 36, 58] вызывает необходимость обеспечения воспроизводимости их параметров и статистических характеристик, в связи с чем возникает потребность стабилизации стохастического режима источников хаотического сигнала.

В настоящее время не существует общих методов решения систем дифференциальных уравнений, порождающих динамический хаос [31, 37, 43]. К эффективным методам исследования нелинейных систем с хаотической динамикой следует отнести метод точечных отображений Пуанкаре [81-82], метод функций Ляпунова [64, 69], метод расщепления сепаратрис Мельникова [24, 70, 79], метод геометрических представлений [23], метод математического моделирования с применением ЭВМ [7, 12, 41, 85, 97].

Исследованию динамического хаоса и его применений посвящены работы М.Либермана, А.Лихтенберга, Э.Лоренца, Г.Хакена, О.Ресслера, Д.Рюэля, Ф.Такенса, Л.Чжуа. Среди отечественных ученых необходимо выделить имена В.С.Анищенко, А.С.Дмитриева, А.Н.Ораевского, М.И.Рабиновича, Ю.Л.Климонтовича, М.В.Капранова, С.П. Кузнецова,

A.П.Кузнецова, В.Н.Кулешова, А.И.Панаса, В.А.Песошина, Ю.Е.Польского,

B.В.Афанасьева, Д.И.Трубецкова, С.О.Старкова и других.

Задача стабилизации поведения нелинейных динамических систем с хаотическим поведением связана с проблемой обеспечения устойчивой работы радиотехнических и квантовых устройств, а также обеспечения работоспособности современных скрытных систем передачи, приема и хранения информации.

Известны различные виды внешних стабилизирующих воздействий -инерционные, квазистационарные, параметрические, квазирезонансные [8, 9, 15, 73, 83, 107], однако отсутствие общих методов анализа нелинейных систем с динамическим хаосом и общих методов синтеза стабилизирующих воздействий делает актуальной задачу поиска новых методов синтеза стабилизирующих воздействий на динамические системы с хаотическим поведением.

Цель работы - разработка метода анализа и синтеза внешних стабилизирующих квазирезонансных воздействий на сложные нелинейные системы с динамическим хаосом.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Представление нелинейных систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, В ан-дер-Поля в виде нелинейного осциллятора с обобщенными параметрами -обобщенным диссипативным и обобщенным свободным членом.

2. Изучение качественной взаимосвязи поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля с характером изменения обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена.

3. Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на основе обобщенных параметров нелинейного осциллятора.

4. Анализ энергетической эффективности различных видов стабилизирующих воздействий на динамические системы с хаотическим поведением.

Для исследования поведения нелинейных динамических систем с хаотическим поведением в работе использованы количественные и качественные методы теории колебаний, методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы математического моделирования и численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений.

Достоверность и обоснованность научных выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертационной работе, обеспечивается корректным использованием методов теории колебаний, результатами математического моделирования, сопоставлением с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Научная новизна работы представлена следующими результатами:

1. Предложено представление нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

2. Определена качественная зависимость поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля от характера изменения обобщенного диссипативного члена и обобщенного свободного члена.

3. Развиты методы синтеза квазирезонансных стабилизирующих воздействий.

4. Проведена оценка энергетической эффективности квазирезонансных стабилизирующих воздействий на нелинейные системы с динамическим хаосом.

Практическая ценность, реализация и внедрение результатов исследований.

1. Разработана методика оценки поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Ван-дер-Поля, Дуффинга по характеру изменения обобщенных параметров системы - обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена.

2. Разработано программное обеспечение для проведения численного моделирования стабилизирующих внешних воздействий на динамические системы Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля.

3. Обоснованы инженерные рекомендации выбора параметров энергетически эффективных квазирезонансных стабилизирующих воздействий в радиофизических устройствах с динамическим хаосом.

Результаты, полученные в ходе выполнения диссертации, вошли в материалы научно - исследовательских работ:

Научно-техническая программа «Научные исследования по приоритетным направлениям науки и техники», подпрограмма 209. Информационно-телекоммуникационные технологии, раздел 209.05 Теория и техника обработки и формирования сигналов в радиотехнических системах, НИР 209.05.01.34. «Управление регулярными и хаотическими колебаниями в нелинейных радио-и оптоэлектронных системах при помощи инерциальных воздействий», Гос. регистрац. № 01.2.00308758.

Программа развития приоритетных направлений науки в Республике Татарстан на 2001-2005 годы, НИР № 06-6.1-111/2002(Ф) с Академией наук РТ «Анализ стабилизирующих воздействий на различные виды нелинейных динамических систем со странными аттракторами при помощи моделирования на ЭВМ»; НИР №06-6.1-188/2004(Ф) «Методы анализа и стабилизации нелинейных устройств и систем с динамическим хаосом».

Материалы диссертационной работы практически использованы в учебном процессе кафедры радиоэлектронных и квантовых устройств КГТУ при подготовке бакалавров, инженеров и магистров по специальностям 2007 и 2015 направления «Радиотехника».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- Международная конференция «Современные проблемы физики и высокие технологии» (Томск, ТГУ, 2003г.);

- Юбилейная научно-техническая конференция «Автоматика и электронное приборостроение» (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 2001г.);

- Итоговая конференция Республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И.Лобачевского (Казань, КГУ им. В.И.Ульянова-Ленина, 2002г.);

- СНТК РТФ КГТУ им. А.Н.Туполева, посвященная дню Радио (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1998г.);

- СНТК РТФ КГТУ им. А.Н. Туполева, посвященная дню Радио, секция «Радиотехника», (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1999г.);

- Итоговая университетская научно-техническая конференция студентов (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1999г.);

- Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000г.);

- НТК «IX Всероссийские Туполевские чтения студентов» (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 2000).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Представление нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

2. Методика оценки поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля на основе обобщенных параметров нелинейного осциллятора - обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена.

3. Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на основе представления нелинейных динамических систем в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

4. Сравнение энергетической эффективности квазирезонансных стабилизирующих воздействий на нелинейные системы с динамическим хаосом.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Ценцевицкий, Андрей Андреевич

Выводы по параграфу 4.2.

1. Результаты математического моделирования показывают, что квазирезонансным импульсным воздействием возможно перевести динамическую систему Лоренца из регулярного в хаотический режим колебаний с помощью незначительной модуляции (доли процента) параметра Я.

2. Спад корреляционной функции сигнала пропорционален увеличению коэффициента модуляции параметра Я.

4.3. Применение результатов исследования поведения системы Лоренца для анализа динамики квантового генератора с нестационарными параметрами резонатора.

Свободная генерация лазеров на твердом теле, как правило, нестационарна и представляет собой хаотические незатухающие пульсации -«пичковый режим» [80].

Известны экспериментальные результаты стабилизирующего влияния инерциальных воздействий на временные характеристики излучения рубинового лазера [80].

Инерциальное воздействие в эксперименте оказывалось при помощи подвижного пьезоэлектрического зеркала в резонаторе. В случае, когда амплитуда движения зеркала является соизмеримой с Хген / 2 наступает режим регулярной кинетики [68]. Стабилизируются как временные характеристики излучения лазера, так и пространственные параметры излучения рубинового лазера [80].

Таким образом, использование модуляции параметров резонатора с помощью подвижного пьезоэлектрического зеркала, позволило обеспечить стабилизацию излучения лазера.

Рис. 4.15 [35].

Поперечное сечение луча модулированного ОКГ, работающего в режиме нескольких поперечных мод: а - наличие нескольких мод (поперечные моды) без инерциального воздействия на параметры резонатора, б - конкуренция основного и высших типов колебаний при малой глубине модуляции длины резонатора (относительно малая интенсивность инерциальных воздействий), в -режим полного подавления высших типов колебаний при инерциальном воздействии на параметры резонатора.

Динамика процессов квантового генератора описывается уравнениями, сходными с уравнениями динамической системы Лоренца, когда параметр Я пропорционален добротности резонатора и интенсивности накачки лазера, ст зависит от собственной частоты резонатора, Ъ определяется характеристиками активной среды [76].

Предложенная в данной работе модуляция параметров динамической системы Лоренца обеспечивающая стабилизацию режима в системе внешними квазирезонансными воздействиями получает косвенное подтверждение в экспериментальных результатах по стабилизации излучения лазера инерциальными воздействиями [80].

Разработанный теоретический подход позволяет по-новому взглянуть на возможности стабилизации излучения квантового генератора.

Заключение

Главный результат исследований автора, включенных в настоящую диссертацию, заключается в достижении основной цели работы - разработке метода анализа и синтеза стабилизирующих квазирезонансных воздействий на сложные нелинейные системы с динамическим хаосом на основе представления их в виде обобщенного нелинейного осциллятора.

1. Показано, что представление нелинейных динамических систем с хаотическим поведением в виде нелинейного осциллятора позволяет определить обобщенные параметры системы - обобщенный диссипативный член и обобщенный свободный член - поведение которых определяет поведение нелинейной системы с хаотической динамикой в целом.

2. Установлена качественная взаимосвязь поведения обобщенных параметров нелинейных систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля, с наличием регулярного режима и режимом динамического хаоса в этих системах.

3. Определена область, в которой обобщенный свободный член, полученный на основе представления динамической системы Лоренца в виде нелинейного осциллятора, в линейном приближении позволяет адекватно описывать поведение системы.

4. С учетом динамики обобщенных параметров нелинейного осциллятора осуществлен синтез следящих стабилизирующих воздействий на параметры динамической системы Лоренца. Показана энергетическая эффективность следящих воздействий по сравнению с импульсными квазирезонансными воздействиями.

5. На основе анализа поведения обобщенных параметров нелинейного осциллятора синтезированы квазирезонансные стабилизирующие воздействия на параметры нелинейной системы Ресслера.

6. Произведена оценка энергетической эффективности различных видов квазирезонансных стабилизирующих воздействий на нелинейные динамические системы Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля.

7. Обоснованы возможности повышения энергетической эффективности квазирезонансных стабилизирующих воздействий для динамической системы Лоренца при допущении в фазовом пространстве системы смен областей фазового пространства с различными состояниями равновесия.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ценцевицкий, Андрей Андреевич, 2004 год

1. Андреев Ю.В., Дмитриев A.C., Куминов Д.А. Хаотические процессоры. // Успехи современной радиоэлектроники, 1997, №10, С.50-79.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. M.: Наука, 1981.-568с.

3. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. — М.: Наука, 1966. 568с.

4. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.-311с.

5. Анищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах. Ч. I, И. Саратов.: Изд-во. Саратовского ун-та., 1985 - 1986. - 377с.

6. Афанасьев В.В., Михайлов C.B., Польский Ю.Е., Торопов А.Ю. Влияние основных параметров моделирования на ЭВМ на поведение динамических систем со странными аттракторами. // Письма в ЖТФ. 1989, Т.21, В.23, С.10-14.

7. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Квазирезонансное воздействие на динамические системы со странным аттрактором // Письма в ЖТФ. 1989,1. T.15, Вып. 18, C.86-89.

8. Афанасьев B.B., Польский Ю.Е. Инерциальное воздействие на динамические системы со странным аттрактором. // Письма в ЖТФ. 1990, Т.16, Вып.11, С.30-33.

9. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Энергетическая эффективность инерциальных воздействий на динамические системы со странным аттрактором. // Письма в ЖТФ. 1990, Т.16, Вып.11, С.52-56.

10. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Многомодовые модели, нелинейность, инерционность, шумы, инерциальные воздействия и управление поведением сложных физических систем. // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 1997, № 1,С.8-12.

11. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е. Инерциальное воздействие, странные аттракторы и динамика систем // Радиоэлектронные устройства и системы. Межвуз. сборн. 1993, Казань, КГТУ, С. 140-146.

12. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Торопов А.Ю., Чернявский B.C.,

13. Ценцевицкий A.A. Влияние квазиоптимальных управляющих воздействий на поведение радиофизических систем с динамическим хаосом // Вестник ЬСГТУ им. А.Н.Туполева. 1999, № 4, С. 33-37.

14. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Ценцевицкий A.A. Представление систем с хаотической динамикой в виде нелинейного осциллятора // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2003, № 4, С.37-40.

15. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Чернявский B.C. Качественный анализ поведения динамической системы Лоренца на основе геометрических представлений // Письма в ЖТФ. 1998, Т.24, Вып. 14, С.79-83.

16. Афанасьев В.В., Польский Ю.Е., Чернявский B.C. Применение метода Мельникова для оценки влияния эффективности внешних воздействий на сложные нелинейные системы со странным аттрактором // Письма в ЖТФ. 1997, Т.23, В.23, С.40-45.

17. Вельский Ю.Л., Дмитриев A.C. Передача информации с помощью детерминированного хаоса // Радиотехника и электроника. 1993. Т. 38, № 7,1. С.1310-1315.

18. Биркгоф Дж. Динамические системы. Ижевск: НИЦ РХД, 1999. - 408с.

19. Болознев В.В., Польский Ю.Е. Об особенностях синхронизации автогенератора ЧМ-сигналом. // Труды КАИ. 1970, Вып. 122, С.86-90.

20. Болознев В.В., Марданов Р.Ф., Польский Ю.Е. Взаимная синхронизация ЧМ-генераторов. // Радиотехника и электроника. 1971, T.XVI, №6, С.972-979.

21. Булгаков Б. В. Колебания. М.: Наука, 1969. - 892с.

22. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Е.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: НаукаД987.- 382с.

23. Васильев B.J1., Кузнецов В.М., Песошин В.А. Оценка нестационарности цифрового генератора хаоса // Проблемы технической кибернетики. XIII Международная конференция. Тез. докл. М.: МГУ, 2002, С.32.

24. Воронов В.И., Польский Ю.Е. Взаимодействие встречных волн в кольцевом газовом оптическом квантовом генераторе в режиме частотной модуляции. // Труды КАИ. Радиотехника и электроника. 1975, Вып. 179, С. 33-38.

25. Воронов В.И., Польский Ю.Е. Синхронизация мод в ОКГ с кольцевым резонатором. // Радиотехника и электроника, 1973, T.XVIII, № 7, С. 14341439.

26. Воронов В.И., Польский Ю.Е. Многослойное диэлектрическое зеркало на пьезоподложке для модуляции ОКГ // ПТЭ. 1970, №6, С. 174-176.

27. Генераторы случайных чисел / В.М. Кузнецов, В.А. Песошин. Казань, Казанск. гос. техн. ун-т, 1995. - 39с.

28. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. / Под ред.

29. X. Суинни и Дж.Голлаба. М.: Мир, 1984. - 344с.

30. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: Физматгиз, 1959. - 572с.

31. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. М.: Высшая школа, 2001. -395с.

32. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108с.

33. Грибков Д.А., Кузнецов Ю.И. Поведение системы Лоренца при параметрическом воздействии. // Вестник. Моск. ун-та. Сер.З. Физика. Астрономия. 1989, Т.30, №1, С. 83-84.

34. Дмитриев A.C. Динамический хаос в кольцевых автоколебательных системах с нелинейным фильтром // Изв. вузов. Радиофизика. 1985, Т.25, №4, С.429-439.

35. Дмитриев A.C., Кислов В .Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. -278с.

36. Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи. // Успехи современной радиоэлектроники, 1997, №10, С.4-26.

37. Дмитриев A.C., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Изд. физ.-мат. лит., 2002. - 252с.

38. Дмитриев A.C., Старков С.О. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации // Успехи современной радиоэлектроники. 1998, №11, С.4-32.

39. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. -271с.

40. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.; Наука, 1997.

41. Капранов М.В., Томашевский А.И. Система скрытой связи с использованием корреляционного приема и синхронного хаотического отклика // Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, Т.8, № 3, С.35-48.

42. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М., Энергоиздат, 1984. 320с.

43. Капранов М.В., Томашевский А.И. Анализ фазовых траекторий в окрестностях особых точек 2-D и 3-D нелинейных систем. М.: Издательство МЭИ, 2003. - 80с.

44. Карлов Н.В., Кириченко H.A. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит, 2003. - 496с.

45. Кексаль М. К вопросу об уравнениях состояния нелинейных цепей и единственности их решений. ТИИЭР, 1986, т.74, №3,с.138-139.

46. Кияшко C.B., Пиковский A.C., Рабинович М.И. Автогенераторы радиодиапазона со стохастическим поведением. // Радиотехника и электроника. 1980, Т.25, №2, С.336-343.

47. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение, структура хаоса: Новый подход к статистической теории открытых систем. М.: Наука, 1990.

48. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физ.- мат лит., 2001. 295с.

49. Кузнецов В.М. Теоретико-числовая модель цифрового генератора хаоса // Вестник Казан.гос.техн.ун-та им. А.Н.Туполева.2001. №3. С.24-26.

50. Кук А., Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаке. // Странные аттракторы. // Под ред. Синай Я.Г., Шильникова Л.П., М.: Мир, 1981.

51. Кулешов В.Н., Ларионова М.В., Удалов H.H. Системы передачи информации с хаотической несущей // Вестник МЭИ. М. МЭИ, № 5, 1997, С.15-19.

52. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том П. -2-е изд. перераб. и доп. М.: Наука, 1970.- 672с.

53. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ. / Под ред. Ю.Н. Бакаева, М.В. Капранова. М.: Сов. радио, 1978. - 600с.

54. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528с.

55. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.:ГИТТЛ, 1950.

56. Магнус К. Колебания. Введение в исследование колебательных систем. -М.:Мир, 1982.-303с.

57. Малинин Ю.Н., Польский Ю.Е. Синхронизация газовых ОКГ в режиме частотной модуляции // Радиотехника и электроника. 1970, T.XV, №12, С.2587-2592.

58. Малинин Ю.Н., Марданов Р.Ф., Польский Ю.Е. Модовая структура поля оптического резонатора с движущимся зеркалом // Радиотехника и электроника. 1972, T.XVII, № 5, С.919-925.

59. Мандельштам JI. И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. - 512с.

60. Матросов В.М., Маликов А.И. Развитие идей Ляпунова за 100 лет: 18921992.// Известия ВУЗов. Математика. 1993, №4(371), С.3-47.

61. Мельников В.К. // Труды Московского математического общества, 1963, Т.12.

62. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. 311с.

63. Неймарк Ю.Н., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. - 423с.

64. Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев В.П. Динамические модели теории управления. -М.: Наука. Главная ред. физ. мат. лит., 1985. 400с.

65. Основы теории колебаний /Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н.; Под. ред. В.В.Мигулина. 2-е изд.,перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит, 1988. - 392с.

66. Ораевский А.Н. Мазеры, лазеры и странные аттракторы. // Квантовая электроника, 1981, Т.8, №1, С.130-142.

67. Ораевский А.Н. Динамика одномодовых лазеров и динамический хаос // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1996, Т. 4, № 1, С.3-32.

68. Паркер Т.С., Чжуа Л.О. Введение в теорию хаотических систем для инженеров.// ТИИЭР, 1987, Т.75, N.8, С.6-40.

69. Пойзнер Б.Н. Как достичь сходства эволюций, моделируя поведение двух кольцевых оптических систем? // Оптика атмосферы и океана. 2003, Т. 16, №9, С. 822-827.

70. Польский Ю.Е., Чернявский B.C. Качественный анализ поведения системы типа Чжуа на основе геометрических представлений. // Электронноеприборостроение. КГТУ (КАИ). Казань, 1999, Вып.9, С.74-79.

71. Польский Ю.Е., Якутенков А.А. Экспериментальное исследование кинетики генерации рубинового ОКГ с нестационарным резонатором. // ЖЭТФ, 1973, Т.64, Вып.2, С. 438-445.

72. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977.-256с.

73. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды. Т.1,2. -М.: Наука, 1971.

74. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.-432с.

75. Рюэль Д. Случайность и хаос.- Ижевск: РХД, 2001. -192с.

76. Сафиуллин Н.З. Математические модели и анализ стохастических систем. -Казань, 1993.-80с.

77. Сафиуллин Н.З. Анализ и идентификация нелинейных инерционных устройств // Радиотехника, 1984, №11, С.12-18.

78. Странные аттракторы. / Под ред. Синай Я.Г., Шильникова Л.П. М.: Мир, 1981.-255с.

79. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М: Мир, 1985.-254с.

80. Фазовая синхронизация / Под ред. В. В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной. -М.: Связь, 1975.-288с.

81. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. - 419с.

82. Хакен Г. Лазерная светодинамика. М.: Мир, 1988. - 350с.

83. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам / Пер. с англ. Ю.А.Данилова. М. Мир, 1991. - 240с.

84. Ханин Я.И. Динамика квантовых генераторов. М.: Сов. радио, 1975. -496с.

85. Харкевич A.A. Нелинейные и параметрические явления в радиотехнике. -М.: Гостехиздат, 1956. 184с.

86. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968. -432с.

87. Хованов И.А., Хованова H.A., Анищенко B.C., П.В.Е. Мак-Клинток. Чувствительность к начальным условиями и ляпуновский показатель квазипериодической системы. // Письма в ЖТФ. 2000 , Т.70, Вып.11, С.52-56.

88. Ценцевицкий A.A. Исследование влияния бифуркационных процессов на управляемость динамической системы Лоренца: Тез. докл. НТК «IX Всероссийские Туполевские чтения студентов». Казань. 2000. Казань. КГТУ. 2000. Т.2, С.99.

89. Ценцевицкий A.A. Управление поведением динамической системы Лоренца при многократных бифуркациях: Тез. докл. Материалы второй научно-технической конференции студентов и аспирантов. Казань. 2001. -Казань: Новое знание, 2001, С.5-6.

90. Ценцевицкий А.А. Математическое моделирование процессов в динамической системе со странным аттрактором: Тез. докл. Материалы I научно-технической конференции студентов и аспирантов. Казань.2000. — Казань: Новое знание. 2000. с.8.

91. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972.

92. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. М.: Мир, 1984. -303с.

93. Якутенков А.А. Лазер на алюмо-иттриевом гранате с нестационарным резонатором и внутрирезонаторным удвоением частоты// Радиоэлектронные устройства. Казань, КАИ, 1977, Вып.1, С.43-46.

94. Якутенков А.А. Лазер на алюмо-иттриевом гранате с нестационарным плоскопараллельным резонатором. // Труды КАИ. Сверхвысокочастотные устройства излучения и обработки радиосигналов. Казань, КАИ, 1979, С.52-56.

95. Afanasiev V., Polsky Yu. Stabilization of Magnetohydrodynamic Instabilities in Plasma by Inertial Influence // Proc. International Conference on Phenomena in Ionized Gases ICPIG XX. - Italy, Pisa, 1991.Vol.3. P.524.

96. Afanasiev V.V., Polsky Yu.E. Dynamic systems behaviour control by inertial effects // Atmospheric and Ocean Optics. Atmospheric Physics. X Joint1.ternational Symposium. Tomsk, Institute of Atmospheric Optics SB RAS. 2003. P.155.

97. Lorenz E.N. «J.Atmos.Sci.», 1963, v.20, № 2, P. 130-141.

98. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1993. -385p.

99. Loskutov A. Chaotic dynamics of chemical systems. In: Mathematical Methods in Contemporary Chemistry. Ed. S. I. Kuchanov. - Gordon and Breach, USA, 1995, p. 181-265.

100. Rossler O.E. Different Types of Chaos in Two Simple Differential Equations. // Z. Naturforschung, 1976, vol. 31a, №12, P. 1664-1670.

101. Khovanov I.A., Lushinsky D.G., Manella R., McClintock P.V.E. Fluctuations and Enrgy-Optimal Control of Chaos // Physical Review Letters. 2000, Vol.85, №10, P.2100-2103.