Инвариантные алгебры непрерывных функций на однородных пространствах компактных групп Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Латыпов, Ильяс Абдульхаевич

• Латыпов, Ильяс Абдульхаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Латыпов, Ильяс Абдульхаевич

Содержание

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Коммутативные банаховы алгебры

1.2. Необходимые сведения о группах Ли

1.3. Необходимые сведения из теории инвариантов

1.4. Необходимые сведения из комплексного анализа

1.5. Пространства бинарных форм и С)-орбиты

1.6. Инвариантные алгебры

1.7. Инвариантные пространства непрерывных функций—

1.8. Транзитивные действия на сферах

1.9. Инвариантные алгебры на вещественных сферах

1.10. Инвариантные алгебры на комплексных сферах

1.11. 8р(гг)-инвариантные пространства функций на 54п_1 . 33 Глава 2. Конечнопорожденные инвариантные алгебры

2.1. Дельта-функции конечномерных инвариантных подпространств

2.2. Инвариантные идеалы инвариантных алгебр

2.3. Конечнопорожденные инвариантные алгебры, орбиты дельта-функций порождающих пространств которых замкнуты

2.4. Существование несамосопряженной инвариантной алгебры на однородном пространстве

2.5. Инвариантные алгебры СЯ-функций

2.6. О пространстве максимальных идеалов конечнопоро-жденной инвариантной алгебры

Глава 3. Инвариантные алгебры на сферах

3.1. Инвариантные алгебры на исключительных сферах

3.2. 8р(п) х 8р(1)- и 8р(п) х и(1)-инвариантные алгебры на

5471-1

3.3. Конечнопорожденные инвариантные алгебры на 811(2)

3.4. Инвариантные алгебры на 811(2), не являющиеся конеч-нопорожденными

3.5. 8р(п)-инвариантные алгебры на 54п-1, п > 1

3.6. Инвариантные алгебры СД-функций

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные алгебры непрерывных функций на однородных пространствах компактных групп Ли»

Введение

Будем называть инвариантной алгеброй на однородном пространстве М = С/Н компактной группы Ли (7 инвариантную относительно действия на М содержащую единицу замкнутую подалгебру банаховой алгебры С(М) всех непрерывных функций на М. Ограничения на остов (границу Шилова) алгебр всех аналитических и непрерывных вплоть до границы функций на симметрических областях являются инвариантными алгебрами (на остове). Эти алгебры антисимметричны, то есть не содержат непостоянных вещественнозначных функции. Противоположный класс алгебр составляют самосопряженные алгебры, которые вместе с каждой функцией / содержат комплексно-сопряженную функцию /. Благодаря теореме Стоуна-Вейерштрасса описание самосопряженных инвариантных алгебр сводится к нахождению всех замкнутых подгрупп С, содержащих Н. В связи с этим представляется интересным решение такой задачи: при каких условиях на однородном пространстве не существует несамосопряженных инвариантных алгебр?

Известно много примеров несамосопряженных инвариантных алгебр, и все они укладываются в одну схему. Пусть М эквивари-антно вложено в комплексное многообразие М', на котором действует группа (2. Предположим, что. образ М является границей Шилова (^-инвариантной области И в М'. Тогда ограничение на М множества всех аналитических и непрерывных вплоть до гра-

ницы функций на D образует инвариантную несамосопряженную алгебру на М. Пока неясно, есть ли принципиально другие примеры несамосопряженных инвариантных алгебр. В общей ситуации полное описание всех несамосопряженных инвариантных алгебр не представляется возможным, имеет смысл описывать лишь их пространства максимальных идеалов. Вопрос можно сформулировать так: допускает ли несамосопряженная инвариантная алгебра аналитическую структуру в своем пространстве максимальных идеалов? (В пространстве максимальных идеалов Ша коммутативной банаховой алгебры А имеется нетривиальная аналитическая структура, если существует нетривиальное вложение т некоторой области D С Сп в Ша такое, что для каждого элемента / 6 А функция for аналитична в D, где / — преобразование Гельфанда.)

1. Наиболее исследованным является случай биинвариантных алгебр на компактных группах Ли (то есть инвариантных алгебр на однородных пространствах вида G = G х G/G, где G вкладывается в G х G как диагональ). Алгебраическая и топологическая структура группы накладывают ограничения на строение биинвариантных алгебр на ней. Например, если компактная группа Ли G допускает инвариантную алгебру, пространство действительных частей элементов которой плотно в пространстве всех веществен-нозначных непрерывных функций, то G коммутативна и связна (Райдер [32]). Арене и Зингер [2] изучили биинвариантные алгебры на абелевых локально компактных группах. Они установили, что в этом случае имеется естественная структура полугруппы в пространствах максимальных идеалов несамосопряженных алгебр. Вольф [8] и Ганголли [10] доказали, что каждая биинвари-антная алгебра на связной компактной группе Ли G самосопряжена тогда и только тогда, когда G полупроста. Розенберг [33] охарактеризовал биинвариантные антисимметричные алгебр на

компактных группах в терминах гармонического анализа. В работе Гичева [15] были получены следующие результаты:

1) в пространстве максимальных идеалов несамосопряженной биинвариантной алгебры имеется структура полугруппы относительно свертки. Эта полугруппа может быть построена с помощью подполугрупп комплексных групп Ли, называемых иногда полугруппами Ольшанского. В частности, в пространстве максимальных идеалов несамосопряженной биинвариантной алгебры имеется нетривиальная аналитическая структура;

2) пространство максимальных идеалов биинвариантной алгебры на компактной группе можно восстановить по некоторому семейству групп и инвариантным конусам в алгебрах Ли другого семейства групп;

3) биинвариантная алгебра А на компактной группе G антисимметрична тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух эквивалентных условий:

а) мера Хаара на группе G является мультипликативным функционалом на А,

б) в пространстве максимальных идеалов алгебры А имеется неподвижная точка.

2. Инвариантные алгебры функций на однородных пространствах, отличных от G х G/G, изучены гораздо меньше. Инвариантные алгебры на торе являются биинвариантными. Миркил и де Лю [29] описали инвариантные алгебры на вещественной сфере Sn — SO(п + l)/SO(n). При п > 1 существует всего три инвариантных алгебры: алгебра С постоянных функций, алгебра четных функций и C(Sn), все они самосопряжены. Инвариантная алгебра на S1 = SO(2) = U(l) либо антисимметрична, либо самосопряжена; инвариантные алгебры находятся во взаимно-однозначном соответствии с подполугруппами группы Z целых чисел, причем самосопряженным отвечают подгруппы.

Вольф [7] описал инвариантные алгебры почти на всех компактных римановых однородных симметрических пространствах; на таких пространствах все инвариантные алгебры самосопряжены.

Кроме того, было несколько работ об инвариантных алгебрах на комплексной сфере 52п-1 = и(п)/и(п — 1). Рудин и Нэйджел охарактеризовали инвариантные алгебры ([34], [30]). Кэйн [19] описал их пространства максимальных идеалов и реализовал почти все антисимметричные и(п)-инвариантные алгебры как алгебры голоморфных функций. В работе Гичева [14] было показано, что любая инвариантная алгебра на комплексной сфере может быть получена путем усреднения по II (п — 1) некоторой биинвариант-ной алгебры на и(п). Это позволило применить к инвариантным алгебрам на комплексных сферах результаты о биинвари-антных алгебрах. В работе Смита [35] доказано, что при п > 2 8и(п)-инвариантные подпространства (и, в частности, подалгебры) С(32п~1) и(п)-инвариантны.

Отметим также работу Бьорка [3]. В ней изучались коммутативные банаховы алгебры, на которых действует компактная группа. Бьорк показал, что при некоторых условиях в пространство максимальных идеалов инвариантной алгебры может вкладываться кольцо. Кроме того, он доказал, что если разделяющая точки ле-воинвариантная алгебра на группе не совпадает с алгеброй всех функций, то пространство максимальных идеалов этой алгебры не совпадает с группой.

3. В работе Гичева [16] было показано, как к изучению конеч-нопорожденных инвариантных алгебр (то есть алгебр, порожденных конечномерным инвариантным пространством) можно применить методы теории действий линейных редуктивных групп (геометрической теории инвариантов).

Пусть V — порождающее инвариантную алгебру А на М конечномерное инвариантное подпространство С(М). Сопоставим

точке х € М линейный функционал 5Х на пространстве V, заданный равенством Sx(f) = f(x). Будем называть функционал S = 5Хо дельта-функцией пространства V. В двойственном пространстве V* линейных функционалов на V также действует группа G. Это действие продолжается до действия группы Gc — комплексифи-кации группы G. Обозначим через 0$ С?-орбиту вектора 5 в V*, а через Of — Сс-орбиту вектора 5 в V*. Пусть Stab S и Stabc£ — стабилизаторы вектора 6 относительно действия групп G ж Gc соответственно. В работе [16] для сферы 53 = SU(2) были доказаны два утверждения:

1) если Of содержит в своем замыкании неподвижную точку, а группа Stabc<S тривиальна, то существует содержащая А U(2)-инвариантная алгебра на с тем же пространством максимальных идеалов;

2) если группа Stabc ö связна, то алгебра А содержит инвариантный идеал тогда и только тогда, когда Of незамкнута.

В диссертационной работе развивается указанный метод изучения конечнопорожденных инвариантных алгебр, при этом основное внимание уделяется случаю замкнутой орбиты Of. Кроме этого изучаются инвариантные алгебры на сферах. Монтгомери, Самельсон и Борель (см. [31]) нашли все реализации сферы Sn как однородного пространства G/H, где группа G компактна. Всего существует девять таких реализаций. На SO(n -f l)/SO(n), U(n)/U(n — 1) и (при п > 2) SU(n)/SU(n — 1) инвариантные алгебры хорошо изучены. В диссертации изучаются остальные шесть типов сфер. <

4. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Первая глава содержит необходимые предварительные сведения. В параграфах 1.1-1.5 для удобства чтения формулируются классические результаты из разных областей математики. В еле-

дующих параграфах главы 1 сформулированы более специальные утверждения, в том числе и некоторые результаты автора.

В главе 2 развивается указанный в пункте 3 введения метод изучения конечнопорожденных инвариантных алгебр. Первые три параграфа носят вспомогательный характер. В них изучается связь между свойствами конечнопорожденной инвариантной алгебры и свойствами орбиты дельта-функции.

В параграфе 2.1 даются необходимые определения, затем приводится реализация пространства максимальных идеалов конечно-порожденный инвариантной алгебры. Здесь же отмечается связь между конечномерными инвариантными подпространствами ко-нечнопорожденный инвариантной алгебры и конечномерными инвариантными подпространствами алгебры голоморфных полиномов на 0\у.

В параграфе 2.2 доказывается критерий замкнутости орбиты 0$ дельта-функции порождающего пространства (предложение 2.5): О$ замкнута тогда и только тогда, когда алгебра А не содержит нетривиальных инвариантных идеалов. Далее для случая незамкнутой орбиты 0$ доказывается критерий антисимметричности 2.7. В следствии 2.8 показанб, что если в замыкании 0$ имеется неподвижная точка, то алгебра А антисимметрична. Это утверждение есть в некотором смысле обобщение сформулированного выше результата Гичева.

В параграфе 2.3 изучается случай замкнутой орбиты дельта-функции порождающего пространства. Основным инструментом при этом оказывается лемма 2.11, которая представляет собой критерий вхождения в алгебру А непрерывной функции на М, линейная оболочка сдвигов которой конечномерна. Из этого результата вытекает, что множество конечнопорожденных инвариантных алгебр на М, для которых соответствующие орбиты 0$ замкнуты, можно параметризовать с помощью множества ком-

плексных редуктивных подгрупп Ли- группы (7е, содержащих Н.

Далее доказывается критерий самосопряженности инвариантной алгебры (теорема 2.16). Затем формулируется критерий антисимметричности (предложение 2.17) для случая замкнутой орбиты. Из этого результата вытекает, в частности, что в пространстве максимальных идеалов антисимметричной инвариантной алгебры может не быть неподвижной точки (в отличие от случая биинвариантных алгебр). В главе 3 (см. теорему 3.15) приводится пример антисимметричной инвариантной алгебры на трехмерной сфере 53 = 811(2), в пространстве максимальных идеалов которой нет неподвижной точки.

Полученные результаты применяются в следующих параграфах для получения основных результатов диссертации.

В параграфе 2.4 решается вопрос о существовании несамосопряженной инвариантной алгебры на однородном пространстве компактной группы Ли. Имеет место

Теорема 2.19. Пусть С — компактная группа Ли, Н — ее замкнутая подгруппа. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) каждая инвариантная алгебра на М = й/Н самосопряжена;

(2) группа N = ТУ'о(Н)/Н конечна;

(3) б касательном пространстве ,к М = О/Н не существует вектора, инвариантного относительно представления изотропии.

Условие конечности группы NGxG{G)/G эквивалентно полупростоте группы (7. Таким образом, теорема 2.19 обобщает сформулированные ранее результаты Вольфа и Ганголли.

В параграфе 2.5 находятся достаточные условия для того, чтобы инвариантная алгебра была равномерным замыканием алге-

бры (всех) гладких C-R-функций относительно некоторой CR-структуры на М. Основным результатом здесь является

Теорема 2.28. Пусть G - компактная группа Ли, Н - ее замкнутая связная подгруппа, А - несамосопряженная инвариантная алгебра на однородном пространстве М = G/H, порожденная конечномерным инвариантным пространством V. Если Gc-орбита дельта-функции пространства V замкнута, стабилизатор относительно действия группы Gc связен, а группа StahS/H конечна, то существует инвариантная СR-структура на М такая, что А является инвариантной алгеброй (всех) CR-функций.

Построенная инвариантная СЯ-структура индуцируется из конечномерного комплексного векторного пространства, в которое вкладывается 0$- Ее можно задать, указав связный стабилизатор отмеченной точки в группе Gc. Условие инвариантности автоматически продолжает CÄ-структуру на М. Такая CR-структура на М интегрируема, так как допускает локальное вложение в Сп. Однако C-R-многообразие М может не допускать глобального вложения. Это происходит, например, для почти всех SU(2)-инвариантных CR-структур на сфере 53 (см. теорему 3.14). Видимо, этот факт известен специалистам, но прямой ссылки найти не удалось. В связи с теоремой 2.28 отметим работу Алексеевского и Спиро [1], в которой, при некоторых естественных ограничениях, описываются все инвариантные СД-структуры коразмерности один на однородных пространствах компактных групп Ли.

Теорема 2.28 обобщается в следствиях 2.29 и 2.30: если 0£ замкнута, а комплексная размерность Stabc 6 больше вещественной размерности Stab <5, то алгебра А отождествляется с инвариантной подалгеброй некоторой алгебры (всех) C-R-функций на

М' = G/(Stab<5)0.

Последний параграф главы 2 посвящен изучению аналитической

структуры в пространстве максимальных идеалов конечнопоро-жденной инвариантной алгебры.

Теорема 2.31. Пусть несамосопряженная конечнопорожден-ная инвариантная алгебра А на М не имеет нетривиальных инвариантных идеалов. Тогда в пространстве максимальных идеалов алгебры А можно ввести нетривиальную аналитическую структуру.

При доказательстве этой теоремы дается явная конструкция аналитической структуры: к исходному многообразию М приклеиваются кольца. Это подтверждает результат Бьорка. Следствие 2.32 обобщает результат Бьорка о совпадении пространства максимальных идеалов инвариантной алгебры на группе с группой на случай конечнопорожденной инвариантной алгебры на однородном пространстве. Следствием теоремы 2.31 является также критерий полиномиальной выпуклости орбит компактных групп Ли (следствие 2.33). В случае, когда группа (Ыо(Н)/абелева, теорема 2.31 может быть усилена.

Теорема 2.34. Пусть С? — компактная группа Ли, Н — ее замкнутая подгруппа, причем группа {Ыс(Н)/Н)о абелева. Если А — несамоспряженная конечнопорожденная инвариантная алгебра на С/Н, то в пространстве максимальных идеалов алгебры А имеется нетривиальная аналитическая структура.

В этом случае к пространству максимальных идеалов приклеиваются диски.

5. В главе 3 методами гармонического анализа изучаются инвариантные алгебры на сферах.

Из теоремы 2.19 вытекает, что все инвариантные алгебры на 56 - Ог/БЩЗ), Б7 = 8рт7/С2, = 8рт9/8рт7 и Я471'1 = 8р(п)/8р(п — 1) самосопряжены. В параграфах 3.1 и 3.2 получен

полный список инвариантных алгебр на этих сферах. Для случая s= Sp(n) х U(l)/Sp(n - 1) х U(l) в параграфе 3.2 найдены все самосопряженные инвариантные алгебры и показано, что инвариантные алгебры обладают основными свойствами U(2п)~ инвариантных алгебр.

Наибольшие трудности вызвали сферы 54n_1 = Sp(n)/Sp(n — 1). В этом случае в разложение квазирегулярного представления все (кроме одномерного) неприводимые подпредставления входят с неединичной кратностью, в отличие от всех остальных сфер. В связи с этим не представляется возможным охарактеризовать инвариантные алгебры, как это удалось в случае комплексных сфер.

В параграфе 3.3 отдельно разбирается случай конечнопорожденных инвариантных алгебр на S3 = Sp(l) = SU(2). Здесь наибольшее внимание уделяется конечнопорож денным инвариантным алгебрам Аа, орбиты дельта-функций порождающих пространств которых замкнуты, а стабилизаторы связными имеют комплексную размерность два. Теорема 3.14 уже упоминалась, в теореме 3.15 находятся пространства максимальных идеалов алгебр Аа.

Далее в предложении 3.16 доказывается, что если Of незамкнута, то алгебра А содержится в максимальной несамосопряженной и(2)-инвариантной алгебре, а в пространство максимальных идеалов алгебры А вкладываются диски.

В параграфе 3.4 изучаются инвариантные алгебры на которые не являются конечнопорож денными. Оказалось, что каждая такая алгебра А вкладывается в (максимальную) антисимметричную и(2)-инвариантную алгебру. Как следствие, в пространство максимальных идеалов алгебры А вкладываются диски.

Развитый в главе 2 метод дал возможность полностью описать конечнопорожденные инвариантные алгебры на SU(2), SU(2)C-орбиты дельта-функций порождающих пространств которых ли-

бо замкнуты, либо незамкнуты и двумерны, либо незамкнуты и содержат в замыкании двумерную замкнутую орбиту.

В параграфе 3.5 изучаются 8р(п)-инвариантные алгебры на £4п-1 ПрИ п у I Каждой инвариантной алгебре ставится в соответствие некоторая 8р(1)-инвариантная алгебра на 53. Изучение этого соответствия позволило доказать, что либо А конечно порождена и замкнута, либо А вкладывается в (максимальную) несамосопряженную и (2п)-инвариантную алгебру. В первом случае в пространство максимальных идеалов вкладываются кольца, а во втором — диски. Основные результаты главы 3 таковы:

Теорема 3.29. Пусть А — Бр(п)-инвариантная несамопряжен-ная алгебра на 5,4п~1. Тогда в ее пространстве максимальных идеалов имеется нетривиальная аналитическая структура.

Теорема 3.30. В пространстве максимальных идеалов любой несамопряженной инвариантной алгебры на (любой) сфере имеется нетривиальная аналитическаяг структура.

В последнем параграфе главы 3 описываются инвариантные алгебры СД-функций на 54п_1 = 8р(п)/8р(п — 1). В случае п > 1 С-К-структуры на 54тг_1 могут иметь размерности 1, 2п—2 и 2п — 1. При этом обнаружился интересный эффект: для каждой 2п — 2-мерной структуры С\ существует (единственная) 2п — 1-мерная структура С2 такая, что каждая С/¿-функция относительно С\ является СД-функцией относительно С2.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22] - [28].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Латыпов, Ильяс Абдульхаевич, 1999 год

Литература

Alekseevky D. V., Spiro A. F.. Invariant CR structures on compact homogeneous manifolds. // Preprint (to appear). Arens R., Singer I. M.. Generalized analytic functions. // Transi. Amer. Mat. Soc. 1956. V. 81, №2. 379-393. Bjork J.-E.. Compact group operating on Banach algebra. // Math. Ann. 1973. V. 205, №. 4. P, 281-297. Виленкин H. Я. Специальные функции и теория представлений групп. - М.: Наука, 1965.

Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. - М.: Наука, 1988. Винберг Э. Б., Попов В. Л. Теория инвариантов. // Итоги науки и техники. Серия совр. пробл. мат. Фундам. напр. / ВИНИТИ. М., 1989. С. 137-309.

Wolf J. Self-adjoint functional spaces on Riemannian symmetric manifolds. // Trans. Amer. Math. Soc. 1964. V.113, №2. P. 299315.

Wolf J. Translation-invariant function algebras on compact groups. // Pacif. J. Math. 1965. V.15, №3. P. 1093-1099. Гамелин Т. Равномерные алгебры. - M.: Мир, 1973. Gangolli R. Invariant function algebras on compact semisimple Lie groups. // Bull. Amer. Math. Soc. 1965. V.71, №4. P. 634-637. [11] Ганнинг P., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. - М.: Мир, 1969.

[12] Гичев В. М. Пространства максимальных идеалов инвариантных алгебр на компактных группах Ли и сферах I. // 1980. Депонир. в ВИНИТИ. №1615.

[13] Гичев В. М. Пространства максимальных идеалов инвариантных алгебр на компактных группах Ли и сферах II. // 1980. Депонир. в ВИНИТИ. №1616.

[14] Гичев В. М. Пространства максимальных идеалов инвариантных алгебр на компактных группах Ли и сферах III. // 1980. Депонир. в ВИНИТИ. №1617.

[15] Гичев В. М. Инвариантные алгебры функций на группах Ли. // Сиб. Мат. Журнал. 1979. Т. 20, №1. С. 23-36.

[16] Gichev V.M. Domains with homogeneous sceletons and invariant algebras. // Тамбовская летняя школа-семинар "Гармонический анализ на однородных пространствах", 26-31 августа 1996. Вестник Тамбовского Университета. 1998. Т. 3, №. 1. С. 38-44.

[17] Джекобсон Н. Алгебры Ли. - М.: Мир, 1964.

[18] Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли. -М.: Мир, 1983.

[19] Kane J. Maximal ideal spaces of U-algebras. // Illinois J. Math. 1983. V.27, №1. P. 1-13.

[20] Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. - М.: Наука, 1989.

[21] Крафт X. Геометрические методы в теории инвариантов. -М.: Мир, 1987.

[22] Латыпов И. А. Замкнутые инвариантные пространства функций на кватернионных сферах. // 1996. Вестник Омского Университета. 1996. №. 1. С 15-17. •

[23] Латыпов И. А. Об одном семействе инвариантных алгебр на SU (2). // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике, посвященный памяти А.А.Ляпунова,

А.П.Ершова и И.А.Полетаева: Тезисы докладов, часть I / Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1996. С. 76.

[24] Latypov I.A. Invariant algebras of functions on spheres. // Тамбовская летняя школа-семинар "Гармонический анализ на однородных пространствах", 26-31 августа 1996. Вестник Тамбовского Университета. 1998. Т., 3, №. 1. С. 53-61.

[25] Латыпов И. А. Инвариантные алгебры СД-функций. // Вестник Омского Университета. 1998. №. 2. С 18-20.

[26] Латыпов И. А. Инвариантные алгебры C-ñ-функций. // Третий Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике, посвященный памяти С.Л.Соболева: Тезисы докладов, часть I / Новосибирск: Институт математики СО РАН. 1998. С. 78-79.

[27] Латыпов И. А. Инвариантные алгебры непрерывных функций на однородных пространствах компактных групп Ли. // Комбинаторные и вычислительные методы в математике: Тезисы докладов / Омск. ОмГУ. 1998 С. 89-93.

[28] Латыпов И. А. Инвариантные алгебры непрерывных функций на однородных пространствах компактных групп Ли. // Препринт №98-5. Омск. ОмГУ. 1998. 23 с.

[29] Leeuw К. de, Mirkil H. Rotation-invariant algebras on the n-sphere. // Duke Math. J. 1961. V. 30, №4. P. 667-672.

[30] Nagel A., Rudin W. Moebius-invariant function spaces on balls and spheres. // Duke Math. J. 1976. V. 43, №4. P. 841-865.

[31] Онищик А. Л. О транзитивных компактных группах преобразований. // Мат. Сб. 1963. Т.60. С. 447-485.

[32] Rider D. Translation-invariant Dirichlet algebras on compact groups. // Proc. Amer. Math. Soc! 1961. V.17, №5. P. 977-985.

[33] Розенберг А. Л. Инвариантные алгебры на компактных группах. // Мат. Сб. 1970. Т.81, №2. С. 176-184.

[34] Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Сп. - М.: Мир, 1984.

[35] Smith R. Т. The spherical representations of groups transitive on Sn. // Ind. Univ. Math. J. 1974. V.24, №4. C. 307-325.

[36] Туманов A. E. Геометрия многообразий. // Итоги науки и техники. Серия совр. пробл. мат. Фундам. напр. Т. 9. / ВИНИТИ. М., 1989. С. 225-246.