Аналитическое решение задачи дифракции на двумерном полубесконечном рассеивателе с идеально проводящей линейно ломаной границей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Весник, Михаил Владимирович

• Весник, Михаил Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Весник, Михаил Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы

Цель и метод исследования б

Краткое содержание

Основные результаты

1. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ РЕШЕНИЯ

1.1 Постановка задачи

1.2 Построение «вспомогательной» области и обобщенной функции геометрической оптики

1.3 Удовлетворение условиям краевой задачи

1.4 Особенности решения

2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ПОМОЩИ МЕТОДА СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ

2.1 Получение решения в общем виде

2.2 Решение задачи дифракции плоской и цилиндрической волны на клине при помощи метода обобщенного эйконала

3. ДИФРАКЦИЯ НА РАССЕИВАТЕЛЯХ С РАЗМЕРНЫМ ПАРАМЕТРОМ

3.1 Общие соображения

3.2 Дифракция на полупластине с конечной толщиной

3.3 Получение решения на заданной кривой

3.4 Нормировка по мощности

3.5 Получение решения методом последовательных дифракций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическое решение задачи дифракции на двумерном полубесконечном рассеивателе с идеально проводящей линейно ломаной границей»

Актуальность проблемы

Исследование дифракционных процессов проводится при помощи аналитических, численных и численно - аналитических методов. К настоящему времени строгие аналитические решения краевых задач теории дифракции получены лишь для небольшого числа простейших структур. Поэтому исследование дифракционных процессов проводится в основном при помощи численных и численно - аналитических методов. К численным методам, предусматривающим минимальную предварительную аналитическую обработку задачи,, относятся метод интегральных уравнений, метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод автономных блоков и т.п. К численно - аналитическим методам, предусматривающим предварительную аналитическую обработку задачи, относятся метод коллокации, метод продолженных граничных условий и др.

Численные и численно - аналитические методы являются наиболее гибкими и универсальными. Однако, при больших размерах рассеивающих тел возможности численных методов резко ограничиваются объемом ресурсов ЭВМ. Кроме этого, к числу недостатков численных методов следует отнести невозможность их непосредственного применения для решения обратных задач и сложность физической интерпретации полученных результатов.

Для решения как прямых, так и обратных задач рассеяния на телах с кромками используются также асимптотические методы. Они в значительной степени свободны от недостатков численных методов, поскольку не зависят от ресурсов ЭВМ и допускают физическую интерпретацию полученных результатов. Однако, точность асимптотических методов уменьшается с уменьшением размеров рассеивающих объектов. Кроме того, невозможна точная оценка погрешности внутри самого асимптотического метода.

Строгие аналитические методы решения краевых задач занимают в математической физике особое место. Несмотря на то, что они приложимы к сравнительно узкому классу модельных задач, полученные с их помощью решения представляют большую ценность, поскольку могут служить надежной основой для развития численных или приближенных методов расчета. При использовании аналитических методов решение краевой задачи выражается непосредственно через элементарные или специальные функции (точно или асимптотически). К аналитическим методам относятся метод разделения переменных, метод Винера - Хопфа, метод сшивания, квазистатический метод и др.

Метод разделения переменных пригоден для исследования рассеивате-лей, поверхности которых совпадают с одной из координатных поверхностей ортогональной системы координат. При этом ортогональная система координат должна удовлетворять определенным условиям, а решения получаются в виде рядов по специальным функциям.

Метод Винера - Хопфа пригоден для решения краевых задач для тел определенной формы, а именно - в тех случаях, когда форма тела может быть определена как сочленение двух полубесконечных подобластей, принадлежащих некоторой области, являющейся координатной поверхностью в разделяющейся системе координат [12]. В методе Винера - Хопфа отправной точкой является либо интегральное уравнение, либо уравнение в частных производных, которые преобразуются обычно в функциональное уравнение в пространстве преобразований Фурье, называемое уравнением Винера - Хопфа.

В методе сшивания неизвестное поле разлагается по собственным волнам или по пространственным гармоникам. Последующее сшивание полей приводит обычно к одной или нескольким системам линейных уравнений.

Квазистатические методы применимы при расчете дифракции на телах, размеры которых малы по сравнению с длиной волны. Наличие в задаче малого размерного параметра позволяет использовать прием, основанный на близости задачи дифракции к задачам электростатики и магнитостатики.

Первое строгое решение задачи дифракции на полубесконечных телах было получено А. Зоммерфельдом в работах [1] и [2] при рассмотрении двумерного случая падения плоской волны на идеально проводящую полуплоскость. Это решение в авторском изложении можно найти также в [3, 4]. Свое решение Зоммерфельд распространил также на двумерную задачу падения плоской волны на клин при рациональных п {тт - внешний угол раствора клина, для полуплоскости п = 2). Зоммерфельд построил разветвленное решение волнового уравнения, однозначное на римановой поверхности с точкой ветвления в вершине клина, при помощи эвристического метода в виде интегрального представления. Этот метод получил название «метод разветвленных решений Зоммерфельда», а интеграл - «интеграл по плоским волнам». Позже для систематического обоснования результата Зоммерфельда были применены метод разделения переменных [10], метод Винера - Хопфа [11,12] и метод сингулярных интегральных уравнений [17].

В работах [5 - 8] было получено обобщение решения Зоммерфельда для дифракционных задач, относящихся к случаям линейного источника и произвольного значения п. В работе [9] было получено решение, справедливое вблизи границ «свет - тень». Более поздние работы, связанные с описанием двумерной дифракции на кромках, лишь используют решение Зоммерфельда и описанные выше результаты.

Решение Зоммерфельда было использовано при построении эвристических методов для расчета дифракции на телах с кромками: физической теории дифракции П.Я. Уфимцева [10] и геометрической теории дифракции (ГТД) Дж.Б. Келлера [13 - 16]. Дальнейшие работы в этой области были направлены, главным образом, на применение асимптотических методов к решению конкретных задач.

Решение Зоммерфельда получено в виде интегралов по отрезкам контуров в плоскости комплексного переменного и выражается в виде хорошо известных специальных функций - интегралов Френеля. Сравнительно простой вид решения Зоммерфельда объясняется с физической точки зрения тем, что в задаче не содержится длин, сравнимых с длиной волны (протяженность полуплоскости бесконечно велика, радиус кривизны края бесконечно мал). В тех случаях, когда размеры дифрагирующего тела сравнимы с длиной волны, решения получаются существенно более сложными.

В связи со сказанным выше становится очевидной важная роль разработки новых аналитических методов теории дифракции. Во - первых, новые аналитические решения имеют самостоятельную ценность, поскольку позволяют непосредственно применять готовые формулы с целью решения других задач физики. Во - вторых, новые аналитические решения могут применяться при построении решений для более сложных задач, например, методом сшивания. В — третьих, новые аналитические решения могут быть использованы для проверки точности и эффективности работы разрабатываемых асимптотических и численных методов, а также использоваться в качестве ключевых задач при построении сложных вычислительных алгоритмов, требующих большого объема вычислений.

В данной работе получено интегральное представление аналитического решения задачи дифракции плоской и цилиндрической волны на рассеивате-лях, представляющих собой двумерные полубесконечные тела с огибающей в виде ломаной линии. Для случая клина интегральное представление полностью совпало с зоммерфельдовским. Результаты проверены на полупластине с конечной толщиной, для которой можно получить асимптотические решения. Сравнение показало хорошее совпадение результатов.

Цель и метод исследования

Целью диссертации является получение интегрального представления для аналитического решения задачи дифракции на двумерных полубесконечных идеально проводящих рассеивателях с кромками, а также применение его для решения конкретной задачи - дифракции на полупластине с конечной толщиной.

Получение интегрального представления проводится при помощи метода обобщенного эйконала. Сущность метода состоит в использовании интегральных соотношений, полученных для функции, аналитической (и поэтому удовлетворяющей уравнению Лапласа) в некоторой области, в качестве решения краевой задачи уравнения Гельмгольца в другой области, пересекающейся с первой. Для этого геометрооптическая функция падающего поля путем добавления дополнительной ортогональной координаты преобразуется в особую функцию (обобщенную геометрооптическую функцию). Эта функция одновременно удовлетворяет уравнению Гельмгольца в области вне рас-сеивателя («физической» области) и является аналитической в специально построенных плоскостях комплексного переменного («вспомогательных» областях). Вспомогательные области пересекаются с «физической областью» вдоль окружностей, пересекающих точки заданной кривой, удовлетворяющей определенным свойствам. Форма кривой находится при помощи теории конформных отображений. Расположенные на этой кривой точка наблюдения и седловые точки обобщенной геометрооптической функции являются общими для «физической» и «вспомогательной» областей. При помощи теоремы Коши о вычетах значение обобщенной геометрооптической функции в точке наблюдения представляется в виде замкнутого контурного интеграла во «вспомогательной» области, из которого можно выделить ряд интегралов по участкам замкнутого контура, стремящихся к нулю при уменьшении длины волны. Сумма этих интегралов, асимптотически выражающихся с помощью координат седловых точек обобщенной геометрооптической функции, и представляет собой решение для рассеянной компоненты поля краевой задачи для уравнения Гельмгольца в «физической» области.

Краткое содержание

Диссертация содержит пять глав (включая Введение и Заключение). Во второй главе настоящей работы предложен метод обобщенного эйконала, по

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Весник, Михаил Владимирович

ВЫВОДЫ

Сходство между методами (МОЭ и МПД) состоит в том, что в обоих случаях решение получается путем обработки первичного приближения, представляющего собой решение задачи дифракции на клине, вершина которого совпадает с освещенной кромкой. Однако, как сами первичные приближения, так и способы их обработки отличаются.

МОЭ использует в качестве первичного приближения решение на эквивалентном клине с 3/2 < пе < 2, которое определено во всех точках кривой rd0. Обработку первичного приближения МОЭ осуществляет путем интегрирования поля в дальней зоне. Приближенно эту операцию можно осуществить, продолжая поле в дальнюю зону в соответствии с законом, аналогичном тому, по которому поле уходит в дальнюю зону в случае дифракции на клине, когда кривые rd0 представляют собой окружности (формула (70)).

МПД использует в качестве первичного приближения клин с внешним углом лп = З/г/2. Сигнал, рассеянный этим клином, испытывает последовательные дифракции на теневой и освещенной вершинах.

Для описания дифракции на клине в обоих случаях (МОЭ и МПД) используется первый член асимптотики, получающийся в результате применения метода стационарной фазы. Последующие члены уменьшаются пропорционально обратным степеням величины kR, где R - расстояние от кромки до точки наблюдения в области z. Кривая rdQ находится вблизи от кромки, поэтому описание поля на ней будет неточным в обоих случаях (МОЭ и МПД ). Однако, в большинстве практически важных задач интерес вызывает поведение поля на значительных расстояниях от рассеивателя. Поскольку при удалении от кромки поле будет все в большей степени соответствовать первому члену асимптотики, точность решения будет возрастать для обоих случаев (МОЭ и МПД).

При доказательстве удовлетворения решения условиям краевой задачи мы отложили доказательство удовлетворения решения условию Мейкснера на ребре. В этой связи уместно привести цитату из [17]: Необходимость задавать условие на ребре отпадает «или когда дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных в некоторых координатах, выбранных в соответствии с формой дифрагирующего тела, или когда искомое решение строится из таких частных.решений, которые в отдельности заведомо удовлетворяют условию на ребре». Поскольку мы ищем решение в специальной области, построенной при помощи ортогонального преобразования координат, и выбираем в качестве базового известное решение задачи рассеяния плоской волны на клине, у нас имеются все основания полагать, что условие Мейкснера выполняется автоматически.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Можно показать, что интегральное представление, использованное в МОЭ, является обобщением классического интегрального представления, использованного Зоммерфельдом для построения решений задачи рассеяния электромагнитных волн на полуплоскости и клине. Рассмотрим сходства и различия между двумя решениями задачи дифракции на полубесконечных рассеивателях: решением Зоммерфельда и решением, полученным методом обобщенного эйконала.

К сходству между двумя рассматриваемыми решениями можно отнести то обстоятельство, что оба они построены при помощи интегрального представления на многолистной поверхности. В случае клиновидного рассеивателя интегральные представления совпадают.

Решение Зоммерфельда является эвристическим. Оно справедливо для клиновидного рассеивателя с внешним углом раствора клина т на многоли-стной Римановой поверхности, причем п является рациональным числом п = 1/т, где / - число листов этой поверхности, а т - целое число. Например, для внешнего пространства прямоугольного клина 1 = 3, т = 4. Периодичность эвристического множителя подынтегральной функции равна 2тй. Дальнейшее развитие решения Зоммерфельда позволило распространить его на произвольное число I (также и не целое). Решение Зоммерфельда получило методическое обоснование, будучи воспроизведено при помощи метода разделения переменных. Тем не менее, оно может применяться лишь для рассеивателей клиновидной формы.

Решение МОЭ представляет собой сумму интегралов по отрезкам контура в плоскости комплексного переменного. Его интегральное представление строится с помощью самых простых математических и физических принципов. Оно естественно вытекает из самой простой формы теоремы Ко-ши о вычетах (полюс первого порядка), выбор замкнутого контура обхода вокруг освещенной области понятен с физической точки зрения. Интегральное представление МОЭ для полубесконечных рассеивателей любой формы строится с в двухлистной вспомогательной области (полной плоскости комплексного переменного), связанной с формой рассеивателя при помощи конформного отображения. Граничные условия для полубесконечных рассеивателей строго удовлетворяются на всей границе (горизонтальной оси) и только на ней.

Таким образом, это решение обладает гораздо большей общностью, чем решение Зоммерфельда, оставаясь таким же простым по виду. Платой за общность и простоту является то обстоятельство, что решение МОЭ справедливо лишь на определенной кривой, в то время как решение Зоммерфельда справедливо во всем пространстве. Тем не менее, проведя несложные математические операции, решение МОЭ также можно использовать во всем пространстве (хотя и приближенно).

Кроме того, решение МОЭ имеет лучшее обоснование, чем решение Зоммерфельда. Более того, решение МОЭ может использоваться наряду с другими методами для методического обоснования указанного решения. При этом обоснование касается не итогового результата, а аспектов, предложенных Зоммерфельдом из эвристических соображений. В частности, можно обосновать вид подынтегральной функции.

МОЭ рассматривает с новой точки зрения физику процесса дифракции, вводя понятие кривой rdQ, которая разделяет области «искривленного» и прямолинейного» эйконала. Тот факт, что критическая окружность rdQ действительно существует и имеет в области z малый радиус (для полуплоскости kz = 1/2, z = Л/(4л:)), косвенно подтверждается результатами, приведенными в [25]. Основное искривление линий плотности потока мощности в окрестности кромки происходит внутри круга, радиус которого приблизительно равен указанной величине.

Представляют интерес вопросы, касающиеся установления класса рас-сеивателей, решение задачи рассеяния на которых может быть получено предложенным методом, а также математического обоснования строгости полученного решения. Однако, подобные исследования выходят за рамки настоящей работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Весник, Михаил Владимирович, 2005 год

1. Sommerfeld A. //Math. Ann., 45, 263 (1894)

2. Sommerfeld A. //Math. Ann., 47,317 (1896)

3. Frank Ph., Mises R., Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physic, Braunschweig, 1927 1934. (См. перевод: Ф. Франк, Р. Мизес, Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, М. - JL, 1937.)

4. Sommerfeld A., Vorlesungen uber theoretishe Physik, Bd. IV, Wiesbaden, 1950 (См. перевод: А. Зоммерфельд, Оптика, ИЛ, 1953)

5. CarslawH.S. //Proc. bond. Math. Soc. 30, 121 (1899)

6. Macdonald H.M. // Electric Waves, Cambr. Univ. Press, 1902

7. Macdonald H.M. // Proc. Lond. Math. Soc. 14,410 (1915)

8. CarslawH.S. //Proc. Lond. Math. Soc. 18, 291 (1919)

9. Pauli W. // Physical Review. 1938. V. 54. No. 11. P. 924.

10. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. радио, 1962. 243с.

11. Noble В. Methods based on the Wiener Hopf Technique for the Solution of Partial Differential Equations, London, 1958 (См. перевод: Б. Нобл, Метод Винера - Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных, ИЛ, 1962).

12. R. Mittra and S.W. Lee Analytical Techniques in the Theory of Guided Waves, New York, London, 1971 (См. перевод: P. Миттра, С. Ли Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974. 327с.)

13. Keller J.B. // J. Appl. Phys., 1957, v.28, No.4, p. 426-424

14. Keller J.B. // J. Appl. Phys., 1957, v.28, No.5, p. 570-579

15. Keller J.B. // Symposium of Applied Mathematik, v.8, 1958, N-Y., McGraw-Hill, p. 27-52

16. Keller J.B.//J. Opt. Soc. ofAmer., 1962, v.52,No.2,p. 116-130

17. H. Honl, A.W. Майе, К. Westpfahl, в кн. "Handbuch ger physic", Springer, Berlin, 1961, Vol. 25/1. (См. перевод X. Хенл, А. Мауэ, К. Вестпфаль Теория дифракции. М.: Мир, 1964. 428с.)

18. М. Борн, Э. Вольф Основы оптики. М.: Наука, 1973. 720с.

19. В.А. Боровиков, Б.Е. Кинбер Геометрическая теория дифракции. М.: Связь, 1978. 248с.

20. В.А. Боровиков Дифракция на многоугольниках и многогранниках М.: Наука, 1966. 455с.

21. JI. Фелсен, Н. Маркувиц "Излучение и рассеяние волн". М.: Мир, 1978. Т.1 547с.

22. Р. Куюмджан, П. Патхак "Равномерная геометрическая теория дифракции на идеально проводящей поверхности с ребром", ТИИЭР, 1974, т.62, № 11, с.40-55

23. Р.Б. Ваганов, Б.З. Каценеленбаум Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982. 272с.

24. Журав С.М., Калошин В.А. "Дифракция плоской электромагнитной волны на идеально проводящей полубесконечной пластине (Е поляризация)", РЭ, 1987, т.32, № 1, с.1.

25. W. Braunbek, G. Laukien, Optik 9, 174 (1952)

26. М.В. Весник, В.А. Калошин Две теории рупорных антенн // 9-й Симпозиум по ЭМС. Вроцлав, 1988, т. 2 стр. 369

27. M.V. Vesnik, V.A. Kaloshin Pattern Calculation of a Dual Shaped Reflectortti

28. Antenna// 20 European Microwave Conference. Budapest, 1990 V.2 p. 1559

29. М.В. Весник, B.A. Калошин Вычисление диаграмм направленности двухзеркальных антенн // Всесоюзный научно технический семинар по САПР Антенно - фидерных систем и их элементов. Ростов Ярославский, 1990

30. M.V. Vesnik and P.Y. Ufimtsev, "A New Asymptotic Feature of the Field Scattered by Polygonal Plates", Program and Abstracts of the 1991 North American Radio Science Meeting, URSI, London, Canada, p. 176

31. M.V. Vesnik, P.Y. Ufimtsev "An Asymptotic Feature of Corner Waves Scattered by Polygonal Plates", Electromagnetics, Vol. 12, NN 3-4, pp. 265-272, Jul.-Dec. 1992

32. M.B. Весник "Использование двухмерных решений в трехмерных задачах", Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, стр. 1416-1423

33. M.V. Vesnik "The Using of Two Dimensional Solutions in Three -Dimensional Problems for Scatterers of Arbitrary Properties" Conference Proceedings, Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Ukraine, 7-10 Sept. 1994, pp. 465-468

34. M.B. Весник, "Аналитическое решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца", Радиотехника и электроника, 2000, т. 45, № 1, с. 66-76.

35. M.V. Vesnik "The Analytical Solution for the Electromagnetic Diffraction on 2-D Perfectly Conducting Scatterers of an Arbitrary Shape", Proceedings of AP 2000 Millenium Conference on Antennas & Propagation, Davos, Switzerland, April 9 14,2000

36. M.V. Vesnik "Analytical solution for electromagnetic diffraction on 2-D perfectly conducting scatterers of arbitrary shape", IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 49, pp. 1638 1644, Dec. 2001

37. M.B. Весник, Аналитическое решение краевых задач для волнового уравнения с переменным волновым числом методом обобщенного эйконала, Нелинейный мир, 2003, т. 1, № 1-2, с. 55-59.

38. M.V. Vesnik "2-D diffraction analytical solutions based on method of generalized eikonal", International Seminar Day on Diffraction, Saint Petersburg, June 24 27,2003, pp. 84 - 85

39. M.V. Vesnik "Method of generalized eikonal and new 2-D scattering analytical solutions", IVth International Conference on Antenna Theory and Techniques (ICATT), 9 -12 September 2003, Sevastopol, Ukraine.

40. M.B. Весник, "Аналитическое решение краевых задач теории дифракции методом обобщенного эйконала", Радиотехника и электроника, 2003, т. 48, № 9, с. 1078 1084.

41. Michael V. Vesnik "Method of Generalized Eikonal and 2 -D Diffraction Analytical Solutions", 17th International Conference on Applied Electromagnetics and Communications ICECom 2003, Dubrovnik, October 1 -3, 2003, pp. 427 - 429

42. M.B. Весник "Получение дифракционных коэффициентов для двухмерного полубесконечного идеально проводящего рассеивателя при помощи метода обобщенного эйконала", Электромагнитные волны и электронные системы, т. 9, № 11,2004, стр. 23 29