Аналитическое исследование частотно-временных характеристик высокочастотного флуктуационного канала распространения электромагнитных волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Битюков, Александр Анатольевич

• Битюков, Александр Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Битюков, Александр Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

Обзор литературы.

1. Физическая и математическая постановка задачи.

ГЛАВА I ФУНКЦИЯ КОГЕРЕНТНОСТИ

СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ В ПРИБЛИЖЕНИИ МПВ.

2. Общий вид функций корреляции и когерентности поля.

3. Построение моментов комплексной фазы.

4. Функция корреляции полного поля.

ГЛАВА II ФУНКЦИЯ РАССЕЯНИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ

В СЛУЧАЙНО-ВОЗМУЩЁННОЙ ПЛАЗМЕ В РЕЖИМЕ СЛАБЫХ ФЛУКТУАЦИИ (В ПРИБЛИЖЕНИИ МПВ).

5. Общий вид функции рассеяния плоской волны в плазме с флуктуациями.

6. Случай гауссовой корреляционной функции флуктуаций неоднородностей среды.

7. Случай степенного спектра корреляционной функции флуктуаций неоднородностей среды.

8. Учёт конечной толщины слоя с флуктуациями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитическое исследование частотно-временных характеристик высокочастотного флуктуационного канала распространения электромагнитных волн»

Повышенный интерес к проблемам распространения волн в случайно-неоднородных средах возникает приблизительно с начала пятидесятых годов предыдущего века. Причина этого в появлении большого количества прикладных задач, актуальных и в настоящее время, в радиофизике, оптике, акустике, физике плазмы и в некоторых других разделах современной физики, приводящих к необходимости изучения случайных полей и их статистических характеристик. К таким задачам можно отнести помимо классических объектов теории — рассеяние света в атмосфере и мерцание внеземных источников излучения, обусловленное ионосферой Земли и межпланетной плазмой, — флуктуации рефракции, некогерентное рассеяние электромагнитных волн в плазме, рассеяние звука и ультразвука в морской воде, распространение в воздухе и морской воде пучков лазерного излучения, проблемы, связанные с точностью измерения радиометодами координат объектов, движущихся в ионосфере или космическом пространстве, и ряд других проблем. Необходимость решения подобных задач послужила причиной разработки и совершенствования статистических методов описания волновых полей, распространяющихся в случайно-неоднородных средах или прошедших слой такой среды.

Обычно под распространением волн в случайно-неоднородных средах понимают достаточно широкий круг вопросов [1, 2]. В настоящей работе мы ограничимся проблемами свободного распространения поля волны в сплошных средах с крупномасштабными флуктуирующими неоднородностями (характерный пространственный масштаб которых много больше длины волны [2]). При этом мы, прежде всего, будем иметь в виду задачу о распространении радиоволн УКВ диапазона в земной ионосфере с флуктуациями электронной концентрации, обусловленных вихрями турбулентности, и, как следствие, с флуктуа-циями диэлектрической проницаемости.

Один из способов описания случайного поля заключается в построении его статистических моментов. Большую роль в исследовании случайных полей играют моменты второго порядка: функция когерентности и центральный момент — функция корреляции. Так, именно эти функции необходимы для описания энергии монохроматического и немонохроматического (импульсного) сигнала в среде с флуктуациями. Здесь, в представленной работе мы будем интересоваться только этими моментами. Даже в самом простом случае, когда скалярное поле распространяющейся волны подчиняется волновому уравнению (уравнению Гельмгольца) — такая постановка задачи встречается довольно часто и достаточна для ряда общеволновых явлений — построение статистических моментов сложная математическая задача. Трудность, как известно, заключается в том, что исходное уравнение теории в случае присутствия флуктуаций в среде оказывается параметрическим — случайная функция точки и времени, моделирующая диэлектрическую проницаемость в среде с флуктуациями, входит в уравнение в качестве сомножителя при искомой волновой функции [1, 2]. Поэтому для решения этой проблемы приходится прибегать к приближённым способам построения реализаций поля волны и его статистических моментов в случайно-неоднородной среде, в основе которых лежит представление о малости тех или иных параметров задачи.

При распространении волн в случайно-неоднородных средах возможны две качественно разные ситуации: режим слабых флуктуаций поля (амплитуды) и режим сильных флуктуаций. В первом случае для расчёта реализаций случайного поля и его моментов обычно применяют методы, в основе которых, по сути, лежит в той или иной форме метод возмущений по малой величине флуктуаций диэлектрической проницаемости (по корню квадратному из дисперсии этой величины). К таким методам относятся приближение однократного рассеяния (борновское приближение), метод геометрической оптики, в дальнейшем МГО, и метод Рытова — метод плавных возмущений, в дальнейшем МПВ. Из перечисленных методов наиболее универсальным можно считать МПВ, поскольку он позволяет в определённой мере учитывать дифракционные эффекты и эффекты многократного рассеяния. Изначально этот метод был предложен С. М. Рытовым в детерминированной задаче о дифракции света на ультразвуковой волне [3], к статистическим задачам его впервые применил А. М. Обухов [4]. К настоящему моменту издано достаточно много монографий, сборников и обзоров статей, где подробно изложен МПВ и показано его применение к случаю распространения волны в случайно-неоднородной среде с однородным фоном [1, 2, 5 — 11]. МПВ применялся для расчётов статических характеристик полей в случайных средах в разных физических задачах, так, например, в работах [12, 13] с помощью этого метода рассматривалось распространение радиоволн и волн оптического диапазона соответственно в турбулентной атмосфере, в работе [14] данный метод использовался при изучении статистических проблем в астрофизике. Границы области применения классического варианта МПВ обсуждались во многих работах. Помимо приведённых выше работ, где непосредственно описан сам метод, можно указать также ещё ряд работ [15 — 19], в которых приведены как теоретические оценки, так и экспериментальные данные. Наряду с требованиями, связанными с расстоянием, пройденным волной в случайно-неоднородной среде, с характерным размером флуктуирующих неодно-родностей и частотой волны, по-видимому, наиболее существенным является ограничение, определяемое режимом флуктуаций поля: дисперсия логарифма амплитуды поля в первом приближении должна быть не больше единицы [1,2, 9]. Однако расчёты флуктуаций фазы волны, выполненные в рамках МПВ, оказываются пригодными и в области сильных флуктуаций поля [1, 2, 9].

Как известно, при построении квадратичных характеристик поля в рамках МПВ необходимо проводить рассуждения с точностью до второго члена (как минимум) ряда возмущений для комплексной фазы [6]. В работах [19, 20] разложение метода Рытова сравнивалось с борновским разложением метода рассеяния, и был предложен оригинальный способ построения второго члена разложения комплексной фазы метода Рытова — он был выражен в терминах бор-новского разложения через рассеянные поля второго и первого приближения (рассеянные поля первой и второй кратности). В работе [21] был развит метод построения моментов первого и второго приближений комплексной фазы, предложенный в [20, 22], и в результате была построена двухчастотная двухпо-зиционная функция когерентности поля гауссового волнового пучка в случайной среде, при этом для описания поля пучка использовалось представление, предложенное ранее в работе [23].

Мы рассмотрели применение МПВ для задач с однородным фоном, однако большинство реальных сред с флуктуациями, и в том числе возмущённая ионосфера, имеют неоднородный фон. В ряде работ [24 — 32] было предложено и развито обобщение МПВ на случай распространения поля в случайной среде — ионосфере с флуктуациями диэлектрической концентрации — со слоисто-неоднородным фоном. При таком подходе для построения статистических характеристик поля применялись локальные лучевые переменные, связанные с полем отдельного луча в плавно-неоднородной среде фона. Подобный подход неприменим в ситуациях, где появляются эффекты многолучёвости, например, вблизи каустик, или эффекты фокусировок поля. В этом случае для описания поля в случайной среде с таким фоном необходимо использовать интегральное представление поля по парциальным волнам [33 — 38]. Обобщение МПВ на случай трёхмерно-неоднородной среды фона предложено в работе [39].

Теперь перейдём к режиму сильных флуктуаций амплитуды поля. В этом случае, пожалуй, наиболее разработанным и удобным методом для расчёта моментов поля является метод диффузионного марковского приближения для параболического уравнения. Как известно, для его применения не требуется предположений о малости флуктуаций амплитуды волны, и поэтому этот метод можно использовать как в случае слабых, так и в случае сильных флуктуаций (поля). Одна из особенностей метода параболического уравнения в марковском приближении заключается в том, что в его рамках выводятся уравнения непосредственно для моментов поля, в том числе и для интересующего нас момента второго порядка — функции когерентности. Метод марковского приближения, был разработан в [40 — 46]. В работах [2, 9, 10, 47 — 49] достаточно подробно показано его применение для ставшей классической задачи о распространении волны в случайно-неоднородной среде с однородным фоном без потерь в разном физическом контексте. В этих же работах обсуждаются границы применения данного метода.

Обычно в литературе, где приводится вывод уравнений для моментов поля в рамках диффузионного марковского приближения, предполагается, с теми или иными оговорками, что случайное поле флуктуаций среды гауссово. Тогда, например, можно воспользоваться аппаратом функциональных производных и, привлекая формулу Фуруцу-Новикова [50], получить нужные уравнения моментов [2, 40, 42]. Альтернативный способ вывода этих уравнений описан в [2, 41, 42]. В работах [51, 52] предложен способ получения этих же уравнений для моментов волнового поля и уравнения Фоккера — Планка (Эйнштейна — Фок-кера согласно [2, 49]) в функциональных производных для характеристического функционала случайного поля распространяющейся волны без привлечения предположения о гауссовом характере флуктуаций неоднородностей среды. Однако В. И. Кляцкин не согласен с методом, предложенным в работах [51, 52]. Случай, когда флуктуирующие неоднородности среды представляют собой негауссово случайное поле, специально разобран им в работах [53, 54], где выведены уравнения для моментов и уравнение (в функциональных производных) для характеристического функционала волнового поля.

В первых работах, посвященных марковскому приближению, если говорить о втором моменте, интересовались чисто пространственной двухточечной (од-ночастотной) функцией когерентности. Был предложен метод построения точного аналитического решения соответствующего уравнения в одночастотном случае при произвольных граничных условиях (при условии нормального падения волны на полупространство с флуктуациями), а также получено точное решение для функции когерентности в случае падения плоской волны [1, 2, 9, 10, 42, 44]. При этом среда фона считалась однородной.

В работе [55] метод марковского приближения обобщён на случай распространения поля волны в случайно-неоднородной среде с потерями (поглощением), при этом мнимая часть диэлектрической проницаемости, описывающая поглощение, тоже предполагалась случайной. Среда фона по-прежнему считалась однородной. В указанной работе для случая учёта поглощения получены уравнения для пространственных моментов поля и в том числе и для одночастотной двухпозиционной функции когерентности. В дальнейшем мы не будем больше касаться случая сред с поглощением, так как в задачах о трансионосферном распространении высокочастотных сигналов потерями (определяемыми мнимой частью комплексной диэлектрической проницаемости) традиционно пренебрегают, поскольку частота волны (несущая) много больше эффективной частоты соударений электронов с другими частицами.

Известен ряд работ, где параболическое уравнение для функции когерентности поля обобщается на случай неоднородного фона. Так в работе [56] учитывается плавная неоднородность фона в поперечном направлении (относительно выделенного направления распространения волны) с помощью добавления дополнительного члена в параболическое уравнение для одночастотной функции когерентности. В этой же работе предложен способ учёта статистической анизотропии среды. В работе [57] найдено решение уравнения, представленного в [56], для случая, когда среда фона зависит только от одной координаты, играющей роль, например, глубины или высоты (в этих работах рассматривается акустическая задача и функция когерентности строится для случайного поля давления), причём эта зависимость определённая: среднее волновое число изменяется по параболическому закону относительно этой переменной. В работе [58] это уравнение рассматривается уже при произвольной зависимости фона от одной из поперечных переменных и строится его решение с помощью асимптотического метода, предложенного в [59] при решении детерминированной задачи о интенсивности поля вблизи каустик. В основе этого метода лежит выделение быстрых и медленных переменных с последующим применением процедуры двухмасштабного разложения. Однако наибольший интерес представляет случай, когда свойства фона среды изменяются (плавно) произвольным образом относительно всех трёх пространственных переменных. Для такого случая тоже оказывается возможным применить технику параболического уравнения: так в работе [60] предложен вывод параболического уравнения для отдельной реализации поля (стохастического уравнения) и для моментов поля в полных лучевых координатах — ортогональной криволинейной системе координат, в основе которой полный набор лучей данного лучевого поля (например, центрального поля лучей) в пределах сохранения взаимно однозначного соответствия (пока нет многолучевости) определения координат точки, например, по отношению к декартовым координатам. Известен и другой способ формулировки параболического уравнения в плавно-неоднородной среде: для этого можно использовать локально-лучевые координаты — криволинейная ортогональная система координат, связанная с выделенным лучом в невозмущённой неоднородной среде (без флуктуаций). Параболическое уравнение в этих переменных применялось в детерминированной задаче для поля акустического давления звукового пучка в трёхмерной неоднородной среде [61], а также при описании акустического поля случайно-неоднородной среде с неоднородным фоном [62 — 64]. Для решения таких уравнений, которым удовлетворяют одночастотная пространственная функция когерентности и высшие моменты поля соответственно, был предложен асимптотический метод трёхмасштабных разложений в [62, 63] и метод многомасштабных разложений при более сложных условиях задачи [64], представляющие собой развитие метода двухмасштабного разложения [58 — 59].

Мы обсудили проблему построения одночастотной пространственной функции когерентности поля, однако, в ряде задач необходимо учитывать таюке частотную когерентность. Всё дальнейшее изложение будет относиться к случаю однородной среды фона, если специально не оговорено обратное. По-видимому, набор уравнений для моментов поля распространяющейся волны, учитывающих также статистическую связь между полями разных частот (в различных точках пространства), можно получить аналогично одночастотному случаю [2]. Точное аналитическое решение соответствующего уравнения для второго момента — двухчастотной двухпозиционной функции когерентности имеет ряд трудностей, которые обсуждаются ниже, и не найдено до сих пор. Не найдено и достаточно хорошего приближенного метода решения данного уравнения.

В случае падения плоской волны на область с флуктуациями (предполагается, что граница области — плоскость) исследуемое уравнение заметно упрощается. Для этого случая в ряде ранних работ, посвященных исследованию случайных полей в рамках марковского приближения, эта проблема была исследована численно [10, 65 — 68], к этим же работам по постановке задачи следует отнести и [69]. В последней работе [69] приводится уравнение для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в среде с крупномасштабными флуктуациями, но без предположения о дельта-коррелированности случайного поля диэлектрической проницаемости среды, и для случая падения плоской волны численно построена одночастотная функция когерентности при разных значениях параметров задачи. В работах [65, 67] марковское приближение применялось к статистическим проблемам в астрофизическом контексте, и была численно построена двухчастотная двухпозиционная функции когерентности для обратно степенного (спектра Колмогорова) и гауссова спектров флуктуаций неоднородностей среды. При этом для гауссова спектра использовалась квадратичная аппроксимация эффективной структурной функции флуктуаций среды, особенности и недостатки такой аппроксимации мы обсудим ниже. В [10] приведены расчёты интересующей нас функции когерентности для случая аппроксимации структурной функции среды рациональной функцией, соответствующей спектру Колмогорова. В работе [66] исследовался трансионосферный канал связи, и было построено численное решение соответствующего уравнения для двухточечной двухчастотной функции когерентности поля. При этом область с флуктуациями моделировалась слоем конечной толщины, и решение уравнения строилось за этим слоем. В указанной работе функция когерентности была построена для случаев обратно степенного и гауссова спектров флуктуаций электронной концентрации среды, причём о каких-либо приближениях эффективной структурной функции не говорится.

Теперь перейдём к вопросу о поиске аналитического решения интересующего нас уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля. Прежде всего, следует отметить, что если область с флуктуациями моделируется в задаче достаточно тонким слоем, таким что можно пренебречь дифракционными эффектами внутри этого слоя, то тогда в уравнении можно пренебречь дифракционными членами — лапласианами по поперечным пространственным переменным [65]. При таком подходе остаётся учёт рефракции. В указанной работе таким способом была построена функция когерентности поля за тонким слоем с флуктуациями. В этом случае уравнение заметно упрощается — становится обыкновенным линейным дифференциальным уравнением (первого порядка), и его решение очевидно.

В ряде первых работ [70 — 73] предлагалось строить аналитическое решение интересующего нас уравнения в духе МПВ: путём подстановки перейти в уравнении к новой неизвестной функции — комплексной фазе, а затем воспользоваться рядом возмущений и пренебречь малыми нелинейными членами. Однако при таком подходе теряется главное преимущество метода марковского приближения — возможность его применения для режима сильных флуктуаций поля. К этой же группе работ молено отнести и [74], где рассматривалось рассеяние плоской волны оптического диапазона (оптического импульса) в плотном облаке на хаотически расположенных (дискретных) частицах, при этом для функции когерентности поля волны в приближении рассеяния вперёд было получено уравнение формально схожее с рассматриваемым, для решения которого и применялся обсуждаемый метод. В работах [71, 72] функция когерентности, построенная в данном приближении, использовалась для описания трансионосферного канала связи.

Рассматривая известные на данный момент способы построения аналитического решения уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в диффузионном марковском приближении, следует отметить следующее весьма важное обстоятельство. Традиционно предполагается, что в режиме сильных флуктуаций поля функция корреляции поля достаточно быстро убывает по сравнению с корреляционной функцией флуктуаций среды при росте расстояния между точками в поперечной плоскости, для которых рассматривается корреляция, а функция когерентности поля, очевидно, при этом должна быстро стремиться к константе. Это позволяет в данном режиме применять при малых значениях разностной поперечной переменной различные аппроксимации эффективной структурной функции (или эффективной корреляционной функции) флуктуаций среды, например, приближая её с помощью параболической функции, не принимая во внимание дальнейшее поведение этих приближённых функций (при больших значениях поперечной разностной переменной). Однако для того чтобы полученное решение рассматриваемого уравнения могло работать и в режиме слабых (или умеренных) флуктуаций поля, необходимо использовать лишь такие модели эффективной структурной функции флуктуаций среды, которые стремятся к положительной константе при стремлении поперечной разностной переменной к бесконечности.

В уже упоминавшейся работе [73] для случая сильных флуктуаций поля было предложено изменение приведённой там схемы решения с применением неизвестной функции — комплексной фазы: комплексная фаза раскладывалась в ряд Маклорена при малых значениях разностной поперечной координаты и оставлялись члены не старше квадратичного. Тогда при параболической аппроксимации эффективной корреляционной функции флуктуаций среды удаётся построить решение уравнение, падающая волна при этом была плоской. С другой стороны, в работе [75] было найдено точное аналитическое решение задачи в случае падения плоской волны при квадратичной аппроксимации эффективной структурной функции флуктуирующих неоднородностей среды. Это точное решение также было получено в работе [76], там же с позиции точного аналитического решения были проанализированы численные результаты работ [65, 67]. В работе [68] численно исследовалась задача о рассеянии оптического импульса в плотном облаке на дискретных хаотически расположенных частицах. В данной работе было показано, что в случае малых значений "оптического расстояния" — параметра задачи, связанного с расстоянием, пройденным волной в такой среде, можно пользоваться решением, полученным в приближении МПВ в работе [74]. В случае больших значений этого параметра можно использовать в данной задаче точное аналитическое решение работы [75]. Известно два обобщения этого точного решения: в работе [77] построено точное аналитическое решение интересующего нас уравнения для случая падения волнового пучка на область с флуктуациями. В указанной работе решение строилось с помощью преобразования Фурье по суммарным переменным. В работе [78] был предложен способ построения точного аналитического решения уравнения для случая, когда полем, падающим на область с флуктуациями, является поле сферической волны. В этих работах [77, 78] эффективная структурная функция флуктуаций среды по-прежнему оставалась параболической, что не даёт возможности использовать полученные решения для режима умеренных и слабых флуктуаций поля. В работе [79] было предложено обобщение решения работы [78] на случай статистически анизотропных флуктуаций среды, при этом также учитывалась возможность зависимости флуктуаций от времени.

В работе [80] для решения интересующего нас уравнения был применён метод дифракции на множественных фазовых экранах. Суть метода заключалась в следующем: протяжённый слой конечной толщины, где происходят флуктуации электронной концентрации, моделируется набором тонких фазовых экранов. Внутри экрана пренебрегают дифракционными членами, тогда, как уже отмечалось выше, параболическое уравнение для функции когерентности упрощается и его легко решить. Между экранами никаких флуктуаций нет — в этом случае тоже можно построить функцию когерентности по заданному условию на выходе с предыдущего экрана, например, с помощью двойного преобразования Фурье. В данной работе рассматривалось падение поля сферической волны на область с флуктуациями, при этом для упрощения уравнения было использовано преобразование исходного уравнение, предложенное в [78]. В случае квадратичной аппроксимации эффективной корреляционной функции флуктуаций среды предложенным методом можно аналитически получить решение для функции когерентности (в области за экранами) при произвольном количестве экранов. В противном случае необходимо прибегать к численным расчётам. В данной работе для случая квадратичной эффективной структурной функции была построена функция когерентности поля для двух разных частот, двух разных поперечных координат и двух разных моментов времени. Флуктуации среды считались статистически анизотропными и зависящими от времени — была использована модель вмороженного переноса. При этом данный метод позволяет считать, что внутри каждого слоя — экрана скорость переноса разная, что даёт возможность более адекватно описать область с флуктуациями. Сравнение с результатами работы [78], где тоже рассматривалось распространение поля изначально сферической волны в протяжённом слое с флуктуациями и строилось решение за этим слоем, показало, что использование модели с шестью экранами приводит лишь к незначительным отличиям от точного решения [78], которые исчезают при увеличении числа экранов до двенадцати.

Авторы работ [81 — 84] применили к решению данной проблемы классический метод разделения переменных, а в случае статистически однородных флуктуаций и однородного фона переменные разделяются, и представили решение уравнения для функции когерентности в виде разложения в ряд по собственным функциям соответствующего поперечного эллиптического дифференциального оператора. При этом эффективная структурная функция флук-туаций неоднородностей среды могла быть произвольной. При использовании квадратичной эффективной структурной функции неоднородностей этот метод также даёт известные результаты [75, 77]. Однако применение данного метода сопряжено с рядом трудностей. Прежде всего, следует отметить, что при преобразовании уравнения, связанным с заменой поперечных переменных, которую используют авторы метода, у соответствующего дифференциального оператора появляется сингулярность при стремлении разностной частоты к нулю. С другой стороны, при определённых условиях задачи, например, в случае падения плоской волны, появляются проблемы со сходимостью рядов на граничной плоскости (при стремлении к нулю расстояния, пройденного волной в среде с флуктуациями). В случае описания флуктуаций среды реалистичными мо- „ делями эффективной структурной функции, т. е. функциями, стремящимися к положительной константе при стремлении поперечной разностной переменной к бесконечности, у поперечного оператора, по-видимому, может появиться также сплошной спектр, что заметно усложняет построение функции когерентности. Рассматриваемая схема решения, очевидно, не работает, если перемен-; ные в уравнении не делятся, что может иметь место в случае неоднородного фона или отсутствия у флуктуаций среды статистической пространственной однородности.

Выше мы уже обсуждали возможность применения метода параболического уравнения для случая, когда среда с флуктуациями имеет плавно-неоднородный фон. При этом мы рассматривали уравнение для одночастотной функции когерентности поля распространяющейся волны. В работе [85] исследовался случай, когда фон среды плавно зависит от двух поперечных координат, и было предложено обобщение уравнения, введённого в работе [56] и решавшегося в работах [57, 58], на случай зависимости функции когерентности поля также и от двух разных частот. Для построения решения данного уравнения в [85] применялся уже упоминавшийся выше асимптотический метод двухмасштабного разложения, разработанный в [58, 59] и основанный на увеличении числа переменных задачи — введении быстрых и медленных переменных. При этом решение формулировалось в терминах лучей геометрической акустики. Используя данный метод, автору [85] удалось получить в явном виде интегральное выражение для искомой функции когерентности. В качестве частного случая предложенного интегрального представления функции когерентности был рассмотрен случай однородного фона среды с флуктуациями. Для однородного фона в данной работе был продемонстрирован переход к известному одночастотному решению [1, 2, 9, 10, 42, 44]. Также для случая однородного фона было получено выражение для функции когерентности в случае квадратичной эффективной структурной функции флуктуаций среды. Из сравнения полученного решения (приближённого) с известным точным решением, задачи [75] автор работы [85] сделал вывод о пригодности предложенного им интегрального представления в случае не очень больших расстояний, пройденных волной в среде флуктуациями, и при достаточно малых расстройках частоты.

Говоря о постановке задачи в среде с неоднородным фоном, следует отме-4 тить одно важное обстоятельство. В рассмотренной работе [85], а также в работах [62, 63] рассматривалась акустическая задача о распространении поля давления в случайно-неоднородной среде, фон которой не обладает частотной дисперсией. Это делает затруднительным применение методов, разработанных в указанных работах, к задаче о распространении электромагнитных волн в трансионосферном канале (во флуктуирующей ионосфере), поскольку в этом случае поля различных частот распространяются, в общем случае, по разным траекториям.

В работе [86] был предложен альтернативный по отношению к представленному в [85] способ применения асимптотической техники метода двухмасштабного разложения к задаче о построении двухчастотной функции когерентности поля при распространении волны во флуктуирующей среде с однородным фоном. Авторы этой работы рассмотрели случай падения поля плоской волны на границу области с флуктуациями. После значительных преобразований исходного параболического уравнения, связанных с увеличением числа независимых переменных и переходом к новой неизвестной функции, являющейся произведением искомой функции когерентности и функции, удовлетворяющей комплексно сопряжённому уравнению невозмущённой задачи, в данной работе также применялась процедура двухмасштабного разложения. В результате этих преобразований проблема была сведена к дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка, к решению которого затем был применён метод характеристик. При этом, как следует из вида характеристической системы, характеристики должны быть, вообще говоря, комплексными, что должно приводить к дополнительным трудностям. При использовании параболической аппроксимации эффективной структурной функции флуктуаций среды предложенный метод позволяет получить известное точное аналитическое решение задачи [75]. Данный метод был также применён к случаю, когда флуктуации среды описывались реалистической моделью эффективной корреляционной функции флуктуаций неоднородности среды — профилем Пёшля-Теллера {РдзсМ-Те11ег). Характеристическую систему, соответствующую этому случаю, удаётся проинтегрировать, но в результате получаются сложные (трансцендентные) уравнения относительно точек выхода траекторий, аналитически разрешить которые и, соответственно, получить конечный результат в исходных физических координатах не представляется возможным. Также в рассматриваемой работе в рамках предложенного метода решения не был продемонстрирован переход к одночастотному случаю.

Известен ещё один способ построения аналитического решения интересующего нас уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля: в работе [87] это уравнение было сведено к интегральному, к которому затем применялся метод итераций. В результате для функции когерентности поля, прошедшего слой с флуктуациями (конечной толщины), было получено интегральное выражение, которое содержит разложение эффективной функции корреляции неоднородностей среды в ряд Тейлора по разностным поперечным переменным. Подобный подход применим при самых общих условиях постановки задачи, фон среды с флуктуациями при этом считался однородным. При переходе к одночастотному случаю данное представление, по утверждению авторов, позволяет получить известное аналитическое выражение для функции когерентности [75, 78]. Однако примера построения функции когерентности поля с помощью предложенного интегрального представления в случае описания флуктуаций среды какой-либо конкретной реалистической моделью эффективной корреляционной функции продемонстрировано не было. В рассматриваемой работе [87] и в работе [88] подобный метод был применён для расчёта временных статистических характеристик импульсного сигнала, прошедшего слой через слой с флуктуациями (в задаче о трансионосферном распространении).

Существуют и другие способы расчёта статистических характеристик случайных полей, в том числе и функции когерентности поля, в режиме сильных флуктуаций (поля). Так в работе [6, 15] задача о распространении поля волны (плоской) в случайно-неоднородной среде в режиме сильных флуктуаций амплитуды поля рассматривалась в приближении МГО в предположении о малости флуктуаций направления лучей (направления распространения волны). В работе [89] к задаче о построении двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля волнового пучка в случайной среде с однородным фоном был применён обобщённый метод Гюйгенса-Френеля [9, 90, 91] (В отечественной литературе известный как метод Гюйгенса-Кирхгофа). И хотя в рамках данного метода для построения моментов функции, определяющей случайный набег фазы сферических волн, можно использовать МПВ [9, 89, 90], есть основания полагать, в том числе и опираясь на экспериментальные данные, что результаты, полученные обобщённым методом Гюйгенса-Френеля будут верны и в режиме сильных флуктуаций поля, там, где непосредственное применение

МПВ невозможно [9, 89]. В случае, когда в качестве граничного условия задачи выступает поле волнового пучка и при квадратичной аппроксимации эффективной структурной функции флуктуаций среды данный метод приводит к известному результату, полученному в рамках марковского приближения [77].

В ряде работ [92 — 95] для решения проблем, связанных со статистическим описанием полей, распространяющихся в случайно-неоднородных средах, был применён заимствованный из квантовой механики метод интегралов по траекториям, изложенный в [96]. Данный метод также применим и в случае режима сильных флуктуаций поля. В рамках этого можно получить выражение для отдельной реализации случайного поля (в приближении квазиоптики), однако применение его для построения моментов поля вызывает ряд трудностей. Как показано в работе [93], применение метода интеграла по траекториям к проблемам, связанным с построением двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в случайной среде с недиспергирующим однородным фоном (нахождение средней интенсивности импульсного сигнала), при использовании квадратичной аппроксимации эффективной структурной функции флуктуирующих неоднородностей среды (в предположении о дельта-коррелированности этих флуктуаций), также приводит к известному результату, полученному с помощью метода параболического марковского уравнения [75]. В работе [95] был предложен способ вычисления путевых интегралов Фейнмана с помощью техники кумулянтного (семиинвариантного) разложения, и затем данный метод был применён для построения одноточечной двухчастотной функция когерентности поля.

Другой важной характеристикой поля волны, распространяющейся в случайно-неоднородной среде с пространственно-временными флуктуациями параметров, будет функция рассеяния. Функция рассеяния представляет собой распределение энергии (средней) изначально монохроматического сигнала по доплеровским частотам, временам групповой задержки и возможно по углам прихода [97, 32]. Функцию рассеяния наиболее общего вида формально можно получить с помощью преобразования Фурье от функции корреляции поля волны по разностному времени, разностной частоте и разностной поперечной координате [97, 32]. Примеры функции рассеяния, построенной на основании экспериментальных данных, для ионосферного КВ канала приведены в работах [80, 98]. В работе [32] для этого же случая функция рассеяния была построена численно, используя обобщенный метод Рытова для существенно-неоднородной фоновой среды в предположении о ненасыщенном режиме флук-туаций.

В ряде работ [75, 78 — 80] функция рассеяния строилась с помощью соответствующих преобразований Фурье от функции когерентности поля. При этом функция когерентности во всех этих работах была найдена как решение соответствующего параболического уравнения в диффузионном марковском при-,, ближении при аппроксимации структурной функции флуктуаций электронной концентрации квадратичной функцией. Так в работе [78] таким образом было получено аналитическое выражение для функции рассеяния поля сферической волны за слоем с флуктуациями в пространстве времён задержки сигнала и волновых векторов. В работе [79] для этого же случая была построена более общая функция рассеяния, включающая в качестве аргумента также и допле-ровское уширение частоты. При этом в данной работе [79] использовались разные модели зависимости флуктуирующих неоднородностей от времени: модель вмороженного переноса и турбулентная модель. В работе [80] функция рассеяния была построена также и теоретически исходя из функции когерентности, полученной методом множественных фазовых экранов (тоже при квадратичной структурной функции флуктуаций внутри каждого экрана, включающей в себя и временную зависимость). Как уже обсуждалось выше, параболическая модель эффективной структурной функции флуктуаций среды удобна с точки зрения математики при решении соответствующего параболического уравнения, но при этом не адекватно отражает статистические свойства случайных неоднородностей. Поэтому и функция когерентности, полученная с её использованием, обладает нереальными свойствами, что и позволило в данном случае построить функцию рассеяния (как преобразование Фурье от функции когерентности). Следует отметить, что построенная таким образом функция рассеяния поля работает в режиме сильных флуктуаций поля и при значительной экс-тинкции среднего поля, обусловленной протяжённостью трассы в случайно-неоднородной плазме.

В предлагаемой работе объектом исследования будут моменты второго порядка — функции когерентности и корреляции поля, и функция рассеяния. В качестве случайно-возмущённой среды выбрана плазма с флуктуациями электронной концентрации. Плазма фона (невозмущённая плазма) будет считаться однородной.

В первых двух главах рассмотрен режим слабых флуктуаций поля. В первой главе построены в приближении метода Рытова (МПВ) функции корреляции и когерентности поля плоской волны для двух пространственных точек, двух разных частот и двух моментов времени. Результаты первой главы можно расценивать как технические, вспомогательные, они необходимы для дальнейшего построения функции рассеяния. Во второй главе аналитически построена функция рассеяния поля плоской волны во флуктуирующей плазме. В рамках МПВ предложенным способом аналитически построена функция рассеяния для двух моделей корреляционной функции флуктуаций неоднородностей среды — гауссового и степенного (анизотропных) спектров. Приведено обобщение решения на случай конечной толщины слоя с флуктуациями. Результаты первых двух глав были частично доложены на конференции [99].

В третьей и четвёртой главах рассматривается двухчастотная двухпозицион-ная функция когерентности поля в приближении диффузионного марковского процесса. В третьей главе сформулирован новый для этой проблемы асимптотический метод построения решения соответствующего параболического уравнения при произвольной эффективной корреляционной (и, соответственно, эффективной структурной) функции неоднородностей среды. Метод разработан для случаев нормального падения плоской и сферической (в малоугловом приближении) волн на область с флуктуациями, а затем предложено два альтернативных варианта его обобщения на случай падения волны произвольного вида — на случай, когда в качестве граничного условия к соответствующему уравнению для функции когерентности выступает произвольная функция. При использовании квадратичной аппроксимации эффективной структурной функции предложенный метод автоматически приводит к известным результатам [75, 78]. Результаты третьей главы в части, касающейся плоской волны, опубликованы в работе [100]. В работе [100] каждым из соавторов выполнена одна треть работы. А также результаты этой главы частично были сообщены на конференциях [101, 102]. Результаты, относящиеся к случаю падения волн произвольной формы и, как частный случай, падению сферической волны, опубликованы в работе [103, 104]. В работе [103] каждому из соавторов принадлежит одна треть представленного материала. В работе [104] Н. Н. Зернову принадлежит постановка задачи, А. А. Битюков предложил способ обобщения метода на случай падения волн произвольного вида на область с флуктуациями. Изложение асимптотического метода в случае падения сферической волны будет близким работе [105]. В четвёртой главе показано применения предложенного асимптотического метода для построения функции когерентности поля в случае падения сферической волны при использовании реалистических моделей эффективной корреляционной функции флуктуаций среды. Рассмотрены случаи обратно степенной и экспоненциальной эффективной корреляционной функции неод-нородностей, а также профиль Пёшля-Теллера, заимствованный из [86]. Результаты, приведённые в четвёртой главе, частично опубликованы в работе [105]. В последней работе Н. Н. Зернову принадлежит постановка задачи, А. А. Битюков предложил способ развития метода и выполнил построение функции когерентности для реалистических моделей корреляционной функции. Некоторые результаты, приведённые в третьей и четвёртой главах и относящиеся к случаю распространения поля сферической волны, были сообщены на конференции [106].

В представленной диссертационной работе выдвигаются на защиту следующие положения:

1) Аналитическое построение в рамках МПВ функции рассеяния поля плоской волны в плазме с однородным фоном и флуктуациями электронной концентрации с корреляционной функцией общего вида. Функция рассеяния построена как для случая, когда случайно-неоднородная плазма занимает неограниченное полупространство, так и произведено обобщение на случай слоя с флуктуациями конечной толщины.

2) Результаты расчётов функции рассеяния по полученным соотношениям для двух анизотропных моделей флуктуаций неоднородностей среды и различных гелио- и геофизических параметров, моделирующих высокочастотный канал распространения. Полученные результаты позволяют строить численные оценки функции рассеяния для различных условий распространения в этом канале.

3) Применён асимптотический метод построения решения параболического уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в диффузионном марковском приближении, основанный на квазиклассическом приближении с комплексными траекториями. Предлагаемый метод пригоден для построения функции когерентности в случае реалистических моделей эффективной корреляционной функции флуктуаций среды и позволяет описывать как режим сильных флуктуаций поля (в рамках марковского приближения), так и режим умеренных и слабых флуктуаций.

4) Обобщение представленного метода, изначально сформулированного для случая падения плоской волны на границу полупространства с флуктуациями, как на случай падения сферической волны, так и на случай падения волн произвольного вида на область с флуктуациями.

5) Построение с помощью развитого метода функции когерентности поля в случае падения сферической волны для трёх реалистических моделей эффективной корреляционной функции флуктуаций электронной концентрации — обратно степенной, экспоненциальной и профиля Пёшля-Теллера.

Научная новизна представленной работы заключена в следующих результатах:

1) В рамках МПВ предложен аналитический способ построения функции рассеяния поля в случайно-неоднородной среде с однородным фоном, в основе которого лежит физически корректное представление функции рассеяния поля в среде с флуктуациями как преобразование Фурье от функции корреляции поля по разностному времени, разностной координате и разностной частоте.

2) Построена функция рассеяния поля плоской волны в случайно-неоднородной плазме для метрового и дециметрового диапазонов и для ряда типичных ионосферных параметров.

3) Квазиклассическим приближением с комплексными траекториями построено решение марковского параболического уравнения для двухчастотной двухпо-зиционной функции когерентности поля. Предложенный асимптотический метод применён для случаев падения плоской и сферической волны на область с флуктуациями, а также развит на случай, когда падающее на границу полупространства с флуктуациями поле, представляет собой заданную волну достаточно произвольного вида.

4) С помощью разработанного метода аналитически построена функция когерентности поля сферической волны в среде с флуктуациями электронной концентрации, описываемыми реалистическими моделями эффективной структурной функции.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Битюков, Александр Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для описания поля в случайно-неоднородной среде в режиме умеренных и слабых флуктуаций поля использовался метод Рытова (МПВ). В представленной работе в рамках МПВ построены с точностью до второго члена ряда возмущений следующие моменты поля волны, распространяющейся в среде с флуктуациями, — среднее значение, функция корреляции и функция когерентности поля. Получены функции корреляции и когерентности поля самого общего вида в рамках рассмотренной постановки задачи — для двух разных пространственных точек, двух разных частот и двух разных моментов времени. При этом плазма фона считалась однородной, а волна, падающая на полупространство с флуктуациями плоской. Относительно флуктуаций неоднородностей среды делалось предположение, что они обладают пространственной и временной однородностью (стационарностью), а также использовалось приближение вмороженного переноса.

При перечисленных выше условиях задачи получено аналитическое представление для функции рассеяния поля как функции волновых векторов, временных задержек (времён групповой задержки) и доплеровских частот. Насколько нам известно, в рамках МПВ подобное аналитическое построение функции рассеяния осуществляется впервые.

Для двух анизотропных моделей флуктуаций неоднородностей среды — экспоненциального (гауссового) спектра и степенного спектра флуктуаций неоднородностей — построены проекции функции рассеяния плоской волны на пространство времён групповой задержки и доплеровского смещения частоты. Полученные результаты были обобщены на случай модели среды, в которой учитывалась конечная толщина слоя с флуктуациями. Все эти результаты позволяют строить численные оценки для количественного описания свойств высокочастотного трансионосферного канала распространения.

Сильные флуктуации рассматривались в диффузионном марковском приближении. Как уже отмечалось общее точное аналитическое решение соответствующего уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности имеет ряд трудностей и до сих пор не было найдено. В представленной работе для решения марковского параболического уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности был применён асимптотический метод комплексной геометрической оптики. В основе этого метода лежит квазиклассическое представление о комплексных траекториях. Используя предложенный метод, было получено решение указанной проблемы не только в случае изотропных флуктуа-ций среды, но также и в случае анизотропных флуктуаций.

Предлагаемый метод позволяет строить функции когерентности поля для реалистических моделей корреляционной функции флуктуаций неоднородностей среды. Т. е. с помощью предлагаемого метода можно построить функцию когерентности поля, как в случае сильных флуктуаций поля, так и в случае умеренных и слабых. При квадратичной аппроксимации эффективной структурной функции флуктуаций среды разрабатываемый метод даёт известное точное решение уже в приближении главного члена асимптотического ряда (Все остальные члены ряда в этом случае тождественно равны нулю). С помощью предлагаемого метода были получены выражения в комплексных лучевых координатах для функции когерентности поля для нескольких реалистических моделей корреляционной функции изотропных флуктуаций неоднородностей среды. При этом в ряде случаев удалось получить аналитические выражения функции корреляции поля в исходных физических координатах при эффективной структурной функции флуктуаций неоднородностей отличной от квадратичной и пригодной для описания реальных флуктуаций параметров среды. Эти решения были получены для достаточно большого расстояния между точками наблюдении в поперечной плоскости относительно направления распространения волны (во всяком случае, не нулевого), что не позволяет построить чисто частотную функцию когерентности для одной какой-либо точки наблюдения.

Основным результатом следует считать развитие теории аналитического решения марковского параболического уравнения для двухпозиционной двухчастотной функции когерентности поля, основанной на квазиклассическом приближении с комплексными траекториями. Полученные при этом формулы также могут быть использованы для детального описания высокочастотного трансионосферного флуктуационного канала.

Следует отметить, что при переходе к одночастотному случаю уже главный член предложенного асимптотического разложения даёт решения, которые совпадают с точными решениями задачи, полученными известным методом [1, 2, 9, 10, 42, 44]. При этом поправки, определяемые последующими приближениями тождественно равны нулю.

Развитый в работе метод построения аналитического решения марковского параболического уравнения для функции когерентности допускает, как отмечалось, также обобщение на случай наклонного падения плоской волны (с малым отклонением направления распространения волны от нормального), что требует введения в асимптотическое представление функции когерентности дополнительно и второго эйконала. Случай наклонного падения плоской волны также был разобран нами [136, 137], однако мы не стали здесь рассматривать деталей этого случая, поскольку это чрезмерно увеличило бы объём работы. Отметим только, что разрабатываемая техника применима и для построения фурье-образа пространственно-временной функции когерентности поля, если задача решается с помощью преобразования Фурье по суммарным поперечным переменным.

В работе рассматривался однородный фон в полупространстве с флуктуациями. В более общей постановке задачи надо рассматривать поле волны в случайно-неоднородной среде с плавно-неоднородным фоном, не обязательно слоистонеоднородным, при произвольных условиях на границе полупространства с флук-туациями. Для описания поля в такой среде, как уже отмечалось, тоже можно применить уравнение параболического типа, что оставляет надежду на возможность обобщения предложенного в данной работе метода построения двухчастот-ной и двухпозиционной функции когерентности для такого более сложного случая. В этом контексте предложенную работу можно рассматривать как необходимый шаг на пути к решению более общей задачи.

Несмотря на ряд отмеченных трудностей, предложенный метод позволяет строить двухчастотную двухпозиционную функцию когерентности поля в случайно-неоднородной среде, при описании флуктуаций неоднородностей среды произвольными реалистическими моделями структурной функции.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Битюков, Александр Анатольевич, 2008 год

1. Барабаненков Ю. Н., Кравцов Ю. А., Рытое С. М., Татарский В. И. 1. Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде, Успехи физических наук. 1970. Т. 102. № 1. С. 3 — 42.

2. Рытое С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику: В 2 ч. Ч. II: Случайные поля. М.: Наука, 1978. 464 с.

3. Рытое С. M. II Дифракция света на ультразвуковых волнах, Известия АН СССР. 1937. Сер. физика. № 2. С. 223 — 259.

4. Обухов A. M. II О влиянии слабых неоднородностей атмосферы на распространение звука и света, Известия АН СССР. 1953. Сер. геофизика. № 2. С. 155 — 165.

5. Татарский В. И. Теория флуктуационных явлений при распространении волн турбулентной атмосфере. М.: Изд. АН СССР, 1959. 232 с.

6. Татарский В. И. Распространении волн турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1967. 548 с.

7. Татарский В. И. II Распространение волн в среде со случайными неоднород-ностями, В сб.: Аналитические методы в теории дифракции и распространения волн./ Под ред. С. В. Бутаковой. М.: Научн. совет по акустике, МРП СССР, 1970. С. 363—448.

8. Чернов Л. А. Волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1975. 171 с.

9. Гурвич А. С., Кон А. И., Миронов В. Л., Хмелевцов С. С. Лазерное излучение в турбулентной атмосфере. / Под ред. В. И. Татарского. М.: Наука, 1976. 278 с.

10. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах: В 2 т. Т. 2. М.: Мир, 1981. 317 с.

11. Liu С. H., Yeh К. С. // Radio wave scintillation in the ionosphere, Proc. IEEE. 1982. Vol. 70. № 4. P. 324 — 360.

12. Татарский В. И. Флуктуации при распространении электромагнитных волн в пределах прямой видимости. М.: Изд. АН СССР, Международный коллоквиум по микроструктуре атмосферы и влиянию турбулентности на распространение радиоволн, 1965. 24 с.

13. Andrews L. С. II An analytical model for the refractive index power spectrum and its application to optical scintillations in the atmosphere, Journal of Modern Optics, 1992. Vol. 39. № 9. P. 1849 — 1853.

14. Jokipii J. R. II Turbulence and scintillations in the interplanetary plasma, Annual Review of Astronomy and Astrophysics. 1973. Vol. 11. P. 1 — 28.

15. Татарский В. И. II О сильных флуктуациях амплитуды волны, распространяющейся в среде со слабыми случайными неоднородностями, Известия вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10. № 1. С. 48 — 58.

16. Fried D. L. II Test of the Rytov approximation, Journal of the Optical Society of America. 1967. Vol. 57. № 2. P. 268 —269.

17. Brown W. P. II Validity of the Rytov approximation, Journal of the Optical Society of America. 1967. Vol. 57. № 12. P. 1539 —1543.

18. Keller J. В. II Accuracy and validity of the Bom and the Rytov approximations, Journal of the Optical Society of America. 1969. Vol. 59. № 8. Pt 1. P. 1003 —1004.

19. Yura H. Т., Sung С. C., Clifford S. F., Hill R. J. I I Second-order Rytov approximation, Journal of the Optical Society of America. 1983. Vol. 73. № 4. P. 500 — 502.

20. Yura H. Т., Hanson S. G. II Second-order statistics for wave propagation through complex optical systems, Journal of the Optical Society of America A. 1989. Vol. 6. № 4. P. 564 — 575.

21. Young C. Y., Ishimaru A., Andrews L. С. II Two-frequency mutual coherence function of a Gaussian beam pulse in weak optical turbulence: an analytic solution, Applied Optics. 1996. Vol. 35. № 33. P. 6522 — 6526.

22. Andrews L. C., Miller W. В. II Single-pass and double-pass propagation through complex paraxial optical systems, Journal of the Optical Society of America A. 1995. Vol. 12.№ l.P. 137— 150.

23. Miller W. В., Ricklin J. C., Andrews L. С. H Log-amplitude variance and wave structure function: a new perspective for Gaussian beams, Journal of the Optical Society of America A. 1993. Vol. 10. № 4. P. 661 — 672.

24. Зерное H. H. // Рассеяние радиоволн KB диапазона при наклонном распространении в ионосфере, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1980. Т. 23. №2. С. 151 — 158.

25. Зернов Н. Н. II Статистические характеристики поля точечного источника при распространении в ионосфере с флуктуациями электронной плотности, Вестник СПбГУ. 1992. Сер. 4. Физика. Химия. Вып. 3. С. 9 — 20.

26. Зернов Н. Н. II О влиянии дифракционных эффектов на распространение KB импульсов в ионосфере с флуктуациями электронной плотности, Вестник СПбГУ. 1993. Сер. 4. Физика. Химия. Вып. 2. С. 3 — 9.

27. Zemov N. TV., Gherrn V. Е., Zaalov N. Yn., Nikitin A. V. И The generalization of Rytov's method to the case of inhomogeneous media and HF propagation and scattering in the ionosphere, Radio Science. 1992. Vol. 27. № 2. P. 235 — 244.

28. Zernov N. N., Lundborg B. The statistical theory of wave propagation and HF propagation in the ionosphere with local inhomogeneities. IRF Scientific Report 215. ISSN 0284-1703. Uppsala, Swedish Institute of Space Physics, 1993. P 138.

29. Gherrn V. E., Zernov N. N. II Fresnel filtering in the HF ionospheric reflection channel, Radio Science. 1995. Vol. 30. A? 1. P. 127— 134.

30. Gherrn V. E., Zernov N. N., Lundborg В., Vastberg A. II The two-frequency coherence function for the fluctuating ionosphere: narrowband pulse propagation, Journal of Atmospheric and Terrestrial Physics 1997. Vol. 59. № 14. P. 1831— 1841.

31. Gherm V. E., Zernov N. N., Lundborg В. II The two-frequency, two-time coherence function for the fluctuating ionosphere: wideband pulse propagation,. Journal of of Atmospheric and Terrestrial Physics 1997. Vol. 59. № 14. P. 1843— 1854.

32. Gherm V. E., Zernov N. N. II Scattering function of the fluctuating ionosphere in the HF band, Radio Science. 1998. Vol. 33. № 4. P. 1019 — 1033.

33. Tuhuh M. В. II Распространение волн в среде с крупномасштабными случайными неоднородностями, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1983. Т. 26. № 1.С. 36 —43.

34. Авдеев В. Б., Демин А. В., Кравцов Ю. А., Тинин М. В., Ярыгин А. П. II Метод интерференционных интегралов, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1988. Т. 31.№ 11. С. 1279—1294.

35. Tinin М. V., Afanasyev N. Т., Mikheev S. М., Pobedina А. P., Fridman О. V. II On some problems of the theory of radio wave propagation in a randomly inhomogeneous ionosphere, Radio Science. 1992. Vol. 27. № 2. P. 245 — 255.

36. Зернов Н. Н. II Обобщение метода плавных возмущений на случай поля сосредоточенного излучателя в неоднородной среде, Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35. № 8. С. 1590 — 1595.

37. Зернов Н. Н. II Метод комплексной фазы для поля точечного источника в неоднородной ионосфере с флуктуациями диэлектрической проницаемости, Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. TV? 2. С. 241 — 252.

38. Zernov N. N., Lundborg В. // An integral representation of the wave field in in-homogeneous media in terms of diffracting component waves, Radio Science. 1996. Vol. Ъ\.№ l.P. 67 —SO.

39. Герм В. Э., Гогин Ю. А., Зернов Н. Н., Дифракция волнового поля на слабых неоднородностях диэлектрической проницаемости в трёхмерной плавно-неоднордной среде, Вестник СПбГУ. 2001. Сер. 4. Физика. Химия. Вып. 2 (№ 12). С. 32 — 38.

40. Татарский В. И. II Распространение света в среде со случайными неодно-родностями показателя преломления в приближении марковского случайного процесса, Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1969. Т. 56. №6. С. 2106 —2117.

41. Кляцкин В. И. II О применимости приближения марковского случайного процесса в задачах, связанных с распространением света в среде со случайными неоднородностями, Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1969. Т. 57. ^ 3 (9). С. 952 — 958.

42. Татарский В. И. Распространение коротких волн в среде со случайными неоднородностями в приближении марковского случайного процесса. М.: Препринт АН СССР, Отделение океанологии, физики атмосферы и географии (ООФАГ), 1970. 121 с.

43. Кляцкин В. И., Татарский В. И. II О приближении параболического уравнения в задачах распространения волн в среде со случайными неоднородностями, Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1970. Т. 58. № 2. С. 624 — 634.

44. Кляцкин В. И., Татарский В. И. II К теории распространения световых пучков в среде со случайными неоднородностями, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1970. Т. 13. № 7. С. 1061 — 1068.

45. Кляцкин В. И. II О продольных корреляциях поля световой волны, распространяющейся в среде со случайными неоднородностями, Ibid. С. 1069 — 1071.

46. Кляцкин В. К, Татарский В. И. II Новый метод последовательных приближений в задаче о распространении волн в среде со случайными крупномасштабными неоднородностями, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1971. Т. 14. M 9. С. 1400 — 1415.

47. Liu С. Я, WernikA. W., Yeh К. С., Youakim M. Y. II Effects of multiple scattering on scintillation of transionospheric radio signals, Radio Science. 1974. Vol. 9. N° 6. P. 599 — 607.

48. Gurvich A. S., Tatars kiï V. I. II Coherence and intensity fluctuations of light in the turbulent atmosphere, Radio Science. 1975. Vol. 10. N° 1. P. 3 — 14.

49. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения и волны случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. 336 с.

50. Новиков Е. А. II Функционалы и метод случайных сил в теории турбулентности, Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1964. Т. 47. N° 5 (11). С. 1919 — 1926.

51. Lee L. С. II Wave propagation in a random medium: A complete set of the moment equations with different wavenumbers, Journal of Mathematical Physics. 1974. Vol. 15.Л&9. P. 1431 — 1436.

52. Lee L. C., Jokipii J. R. II Strong scintillations in astrophysics. I. The Markov approximations, its validity and application to angular broadening, The Astrophysical Journal. 1975. Vol. 196. № 3. Pt. 1. P. 695 — 707.

53. Кляцкин В. И. II К статистической теории распространения света в среде со случайными неоднородностями, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1975. Т. 18. N° 1. С. 63 — 68.

54. Кляцкин В. И. II Динамические системы с негауссовыми дельта-коррелированными флуктуацями параметров, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1975. Т. 18. № 10. С. 1454 — 1469.

55. Tatarskii V. I., Zavorotnyi V. U. 11 Wave propagation in random media with fluctuating turbulent parameters, Journal of the Optical Society of America A. 1985. Vol. 2. N° 12. P. 2069 — 2076.

56. Beran M. J. // Coherence equations governing propagation through random media, Radio Science. 1975. Vol. 10. № 1. P.15 — 21.

57. Beran M. J., Whitman A. M. II Scattering of a finite beam in a random medium with nonhomogeneous background, Journal of Mathematical Physics. 1975. Vol. 16. №2. P. 214 —223.

58. Beran M. J., Whitman A. M, Frankenthal S. II Scattering calculations using the characteristic rays of the coherence function, The Journal of the Acoustical Society of America. 1982. Vol. 7\.№ 5. P. 1124 — 1130.

59. Beran M. J., Whitman A. M., Frankenthal S. И Caustic corrections using coherence theory, The Journal of the Acoustical Society of America. 1982. Vol. 71. № 2. P. 348 — 358.

60. Hill R. J. II A stochastic parabolic wave equation and field-moment equations for random media having spatial variation of mean refractive index, The Journal of the Acoustical Society of America. 1985. Vol. 77. M 5. P. 1742 — 1753.

61. Бабич В. M, Попов M. M. II Распространение сосредоточенных звуковых пучков в трёхмерной неоднородной среде, Акустический журнал. 1981. Т. 27. № 6. С. 828 — 835.

62. Mazar R., Felsen L. В. II High-frequency coherence function propagated along ray paths in the inhomogeneous background of a weakly random medium: II — Higher moments, The Journal of the Acoustical Society of America. 1987. Vol. 82. № 2. P. 593 — 600.

63. Mazar R., Bronshtein A. II Multiscale solutions for the high-frequency propagators in an inhomogeneous background random medium, The Journal of the Acoustical Society of America. 1992. Vol. 91. M 2. P. 802 — 812.

64. Lee L. C., Jokipii J. R. I I Strong scintillations in astrophysics. II. A theory of temporal broadening of pulse, The Astrophysical Journal. 1975. Vol. 201. № 2. Pt. 1. P. 532 — 543.

65. Liu С. H., Yeh К. С. II Frequency and spatial correlation functions in a fading communication channel through the ionosphere, Radio Science. 1975. Vol. 10. № 12. P. 1055— 1061.

66. Lee L. С. // Strong scintillations in astrophysics. IV. Cross-correlation between different frequencies and finite bandwidth effects, The Astrophysical Journal. 1976. Vol. 206.№?3.Pt. l.P. 744 — 752.

67. Hong S. Т., Sreenivasiah /., Ishimaru A. I I Plane wave pulse propagation through random media, Proceedings of the Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transaction on Antennas and Propagation. 1977. Vol. AP-25. № 6. P. 822 —828.

68. Ерухгшов JI. M., Зарницына И. Г., Кирш П. И. П О селективных свойствах и форме импульсного сигнала, прошедшего статистически неоднородный слой произвольной толщины, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1973 Т. 16 ./V? 4 С. 573 — 580.

69. Liu С. Н, Wernik A. W., Yeh К. С. // Propagation of pulse trains through a random medium, Proceedings of the Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transaction on Antennas and Propagation. 1974. Vol. AP-22. Ns 4. P. 624 — 627.

70. Liu С. H., Wernik A. W. 11 A characterization of transionospheric fading communication channel, Proceedings of the Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transaction on Communication. 1975. Vol. COM-23. № 7. P. 773 — 776.

71. TJlaszek S. J., Liu С. H., Yeh К. С. II A study of signal decorrelation through the ionosphere, Proceedings of the Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transaction on Communication. 1976. Vol. COM-24. № 10. P. 1191 — 1195.

72. Yeh К. C., Liu С. H. 11 An investigation of temporal moments of stochastic waves, Radio Science. 1977. Vol. 12. № 5. P. 671 — 680.

73. Ishimaru A., Hong S. T. 11 Multiple scattering effects on coherent bandwidth and pulse distortion of a wave propagating in a random distribution of particles, Radio Science. 1975. Vol. 10. M 6. P. 637 — 644.

74. Sreenivasiah I., Ishimaru A., HongS. Т. II Two-frequency mutual coherence function and pulse propagation in a random medium: An analytic solution to the plane wave case, Radio Science. 1976. Vol. 11. № 10. P. 775 — 778.

75. Lerche I. II Scintillations in astrophysics. I. An analytic solution of the second-order moment equation, The Astrophysical Journal. 1979. Vol. 234. № 1. Pt. 1. P. 262 — 274.

76. Sreenivasiah I., Ishimaru A. II Beam wave two-frequency mutual-coherence function and pulse propagation in random media: an analytic solution, Applied Optics. 1979. Vol. 18. Ns 10. P. 1613 — 1618.

77. Knepp D. L. II Analytic solution for the two-frequency mutual coherence function for spherical wave propagation, Radio Science. 1983. Vol. 18. № 4. P. 535 -— 549.

78. Dana R. A., Wittwer L. A. IIA general channel model for RF propagation through structured ionization, Radio Science. 1991. Vol. 26. № 4. P. 1059 — 1068.

79. Nickisch L. J. II Non-uniform motion and extended media effects on the mutual coherence function: An analytic solution for spaced frequency, position and time, Radio Science. 1992. Vol. 27. № 1. P. 9 — 22.

80. Oz J., Heyman E. II Modal solution to the plane wave two-frequency mutual coherence function in random media, Radio Science. 1996. Vol. 31. № 6. P. 1907 — 1917.

81. Oz J., Heyman E. II Modal theory for the two-frequency mutual coherence function in random media: general theory and plane wave solution: I, Waves in Random Media. 1997. Vol. 1.№\.Y. 79 — 93.

82. Oz J., Heyman E. II Modal theory for the two-frequency mutual coherence function in random media: general theory and plane wave solution: II, Ibid. P. 95 — 106.

83. Oz J. II Modal theory for the two-frequency mutual coherence function in random media: point source, Ibid. P. 107 — 117.

84. Frankenthal S. II The mutual coherence function in a scattering channel — A two-scale solution, The Journal of the Acoustical Society of America. 1989. Vol. 85. № l.P. 104—113.

85. Bronshtein A., Mazar R. II The reference wave solution for a two-frequency wave propagating in a random medium, Waves in Random Media. 2002. Vol. 12. N2 3. P. 267 — 277.

86. Xu Z.-W., Wu J., Wu Z.-S. II Statistical temporal behaviour of pulse wave propagation through continuous random media, Waves in Random Media. 2003. Vol. 13. Ns l.P. 59 — 73.

87. Xu Z.-W., Wu J., Huo W.-P., Wu Z.-S. II Temporal skewness of electromagnetic pulsed waves propagating through random media with embedded irregularity slab, Chinese Physics Letters. 2003. Vol. 20. № 3. P. 370 — 373.

88. Fante R. L. // Two-position, two-frequency mutual-coherence function in turbulence, Journal of the Optical Society of America. 1981. Vol. 71. № 12. P. 1446 — 1451.

89. Фейзулин 3. И., Кравцов Ю. А. И К вопросу о расширении лазерного пучка в турбулентной среде, Известия вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10. № 1. С. 68 — 73.

90. Lutomirski R. F., Yura Н. Т. II Propagation of a finite optical beam in an inhomo-geneous medium, Applied Optics. 1971. Vol. 10. № 7. P. 1652 — 1658.

91. Dashen R. II Path integrals for waves in random media, Journal of Mathematical Physics. 1979. Vol. 20. № 5. P. 894 — 920.

92. Rose С. M., Besieris I. M. II Nth-order multifrequency coherence functions. A functional path integral approach, Journal of Mathematical Physics. 1979. Vol. 20. № 7. P. 1530— 1544.

93. Flatte S. M. II Wave propagation through random media: Contributions from ocean acoustics, Proceedings of the Institute of Electrical and Electronics Engineers. 1983. Vol. 1\.№ 11. P. 1267 — 1294.

94. Samelsohn G., Freilikher V. II Two-frequency mutual coherence function and propagation in random media, Physical Review E. 2002. Vol. 65. № 4. doi: 10.1103/PhysRevE.65.046617.

95. Фейнман А., Хибс P. А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968. 382 с.

96. Proakis J. G. Digital Communications. New-York: McGraw-Hill, 1983. 608 P.

97. Wagner L. S., Goldstein J. A., Meyers W. D. И Wideband probing of the tran-sauroral HF channel — solar minimum, Radio Science. 1988. Vol. 23. № 4. P. 555568.

98. Bitjukov A. A., Gherm V. Е., Zernov N. N. II On the solution of the Markov's parabolic eqution for the second order mutual coherence function, Radio Science. 2002. Vol. 37. № 4. art No. — 1066 (doi: 1029/2001RS002491).

99. Bitjukov А. A., Gherm V. E., Zernov N. N. II Quasi-classic approximation in Markov's parabolic equation for spaced position and frequency coherency, Radio Science. 2003. Vol. 38. № 2. artNo. — 1021 (doi: 1029/2002RS002714).

100. Битюков А. А., Зернов Н. Н. II Двухчастотная двухпозиционная функция когерентности поля сферической волны в диффузионном марковском приближении, Вестник СПбУ. 2004. Сер. 4. Физика. Химия. Вып. 1. С. 23 — 32.

101. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. 2-е изд., М.: Наука, 1967. 683 с.

102. Клеммоу Ф., Доуэрти Дж. Электродинамика частиц и плазмы. Перевод с англ. / Под ред. А. А. Рухадзе, М.: Мир, 1996. 528 с.

103. Татарский В. И. II Оценка деполяризации света турбулентными неодно-родностями атмосферы, Известия вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10. № 12. С. 1762— 1765.

104. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Перевод с англ. / Под ред. И. Г. Арамановича, М.: Наука, 1973. 832 с.

105. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т. Т. 3. 2-е изд., М.: Высшая школа, 1989. 352 с.

106. Вологдин А. Г., Гусев В. Д. II Влияние дрейфа случайно-неоднородных природных сред на стационарность статистики распространяющихся волн, Вестник МГУ. 2000. Серия Физика. Астрономия. № 2. С. 62 — 65.

107. Tereshchenko E. D., Khudukon B. Z., Kozlova M. O., Nygren Т. II Anisotropy of ionospheric irregularities determined from the amplitude of satellite signals at a single receiver, Annales Geophysicae. 1999. Vol. 17. Л& 4. P. 508 — 518.

108. Tereshchenko E. D., Kozlova M. O., Kunitsyn V. E., Andreeva E. S. II Statistical tomography of subkilometer irregularities in the high-latitude ionosphere, Radio Science. 2004. Vol. Ъ9.№ 1. art No. — RS1S35 (doi: 10.1029/2002RS002829).

109. Tereshchenko E. D., Romanova N. Y., Koustov A. V. II Orientation of the cross-field anisotropy of small-scale ionospheric irregularities and direction of plasma convection, Annales Geophysicae. 2005. Vol. 23. № 4. P. 1227 — 1237.

110. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов, и произведений. М.: ГИФМЛ, 1962. 352 с.

111. Брычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. 77. Таблицы неопределённых интегралов. М.: Наука, 1986. 192 с.

112. IS. Долин JI. С. II О рассеянии светового пучка в слое мутной среды, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1964. Т. 7. № 2. С. 380 — 382.

113. Долин Л. С. П Уравнения для корреляционных функций волнового пучка в хаотически неоднородной среде, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1968. Т. 11. 6. С. 840 —849.

114. Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Статистические явления при дифракции волн. Рязань: IV всесоюзная школа-семинар по дифракции и распространению волн. Изд. Министерство высшего и среднего специального образования, 1975. 102 с.

115. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980. 304 с.

116. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухорукое А. 77. Теория волн. М.: Наука, 1979.384 с.

117. Кравцов Ю. А. II Комплексные лучи и комплексные каустики, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1967. Т. 10. Л» 9 — 10. С. 1283 — 1304.

118. Кравцов Ю. А., Яшин Ю. Я. II Комплексная геометрическая оптика неоднородных изотропных сред, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1969. Т. 12. № 5. С. 674 — 685.

119. Чоудхари С., Фелсен Л. Б. II Распространение и дифракция гауссовых пучков в приближении геометрической оптики неоднородных сред, Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1974. Т. 62. № 11. С. 136— 149.

120. Вей-и Д. Ван, Деиламп Дж. Использование комплексных лучей в задачах рассеяния, Ibid. С. 150 — 162.

121. Беннет Дж. // Комплексные лучи при распространении радиоволн в поглощающей ионосфере, Ibid. С. 193 —202.

122. Коннор К. Э., Фелсен Л. Б. II Комплексные пространственно-временные лучи и их применение в теории распространения импульсов в поглощающих средах, Ibid. С. 203 — 217.

123. Einziger P., Raz S. // On the asymptotic theory of inhomogeneous wave tracking, Radio Science. 1980. V. 15. № 4. P. 763 — 771.

124. Бабич В. M., Булдырев В. С., Молотков И. А. Пространственно-временной лучевой метод. Линейные и нелинейные волны. Л.: Изд. Ленинградского университета, 1985. 271 с.

125. Авдеев А. Д., Новиков В. В. II Асимптотика собственных волн плавнонере-гулярного плоского волновода, Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1991. Т. 34. № 7. С. 790 — 797.

126. Гогин Ю. А., Новиков В. В. II Об использовании вещественных лучей при расчёте комплексной фазы собственных волн в нерегулярном волноводном канале, Вестник СПбУ. 2004. Сер. 4. Физика. Химия. Вып. 3 (Л& 18). С. 31 — 38.

127. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. 2-е изд., М.: ГИТТЛ, 1950. 437 с.

128. Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 4 т. Т. IV. Ч. 2. 6-е изд., М.: Наука, 1981. 551 с.

129. Битюков А. А., Герм В. Э., Зернов Н. Н. II Двухчастотная двухпозиционная функция когерентности случайного поля. Разделение переменных в параболическом уравнении, Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50. № 7. С. 821 — 827.

130. Битюков А. А., Герм В. Э., Зернов Н. Н. II Двухдастотная двухпозиционная функция когерентности случайного поля. Модельные задачи, Радиотехника и электроника, Ibid. С. 828 — 833.

131. Евграфов М. А. Аналитические функции. 2-е изд., М.: Наука, 1968. 472 с.

132. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. 3-е изд., М.: Наука, 1989. 480 с.

133. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969. 576 с.

134. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 5-е изд., М.: Наука, 1976. 576 с.