Аналитические решения задач о собственных частотах колебаний регулярных стержневых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Тиньков Дмитрий Владимирович

• Тиньков Дмитрий Владимирович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Тиньков Дмитрий Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Обзор работ по теме

1.2 Постановка задачи

ГЛАВА 2. ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ ГРУЗА НА СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ. ЗАДАЧА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

2.1 Обзор аналитических решений задач о прогибе

2.2 Задача о колебании

2.3 Колебания груза в середине пролета раскосной фермы с прямоугольной решеткой

2.4 Вспарушенная ферма. Собственная частота колебаний груза

2.5 Башня. Груз в узлах фермы

2.6 Балочная ферма. Зависимость частоты колебания груза от места его расположения на ферме

2.7 Раскосная ферма с двойной решеткой. Зависимость частоты колебания груза от места его расположения на ферме

2.8 Выводы по главе

ГЛАВА 3. ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

3.1 Балочная ферма с треугольной решеткой. Оценка Донкерлея

3.2 Спектр собственных частот распорной фермы с крестообразной решеткой

3.3 Внешне статически неопределимая ферма со сдвоенной треугольной решеткой

3.4 Свойство вложения частот балочной фермы с грузами по верхнему поясу

3.5 Балочная ферма со сложной решеткой

3.6 Свойство вложения частот

3.7 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ПРИЛОЖЕНИЕ Программа для расчета усилий и определения коэффициентов искомой формулы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические решения задач о собственных частотах колебаний регулярных стержневых систем»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования связана с анализом колебаний регулярных механических конструкций в зависимости от степени периодичности однотипных элементов. Стержневые системы с большим числом степеней свободы, используются, например, для большепролетных перекрытий (ангары, стадионы, склады) в том числе и в сейсмоопасных районах. Актуален поиск алгоритма вывода формульных (аналитических) решений задачи о колебании для произвольного, по виду решетки, типа регулярных механических конструкций.

Целью диссертационной работы является анализ спектров частот собственных колебаний регулярных систем, разработка алгоритма вывода и получения конкретных аналитических зависимостей частот собственных колебаний упругих стержневых статически определимых конструкций (ферм) в зависимости от упругих свойств, линейных размеров и числа периодических элементов.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:

- разработана методика трехпараметрической индукции для вывода коэффициентов частотного уравнения применительно к анализу колебаний системы с п степенями свободы;

- доказана бисимметричность матриц, входящих в решение в случае симметричной конструкции;

- найдены закономерности образования бисимметричных матриц, образующих решение задачи о колебании сосредоточенных грузов в узлах фермы, обнаружена универсальная матричная константа, встречающаяся при расчете регулярных систем;

- проведены качественный и количественный анализы полученных формул и сравнение результатов с численными решениями;

- получены простые аналитические оценки снизу основной частоты свободных колебаний фермы.

За основу исследования частично взяты результаты, полученные при выводе аналитических зависимостей прогиба и деформаций ферм от числа панелей. Использован опыт отечественных и зарубежных ученых в решении задач статики и динамики регулярных стержневых систем.

При проведении исследований использовались:

- методы статического расчета усилий стержневых конструкций;

- операторы и алгоритмы системы компьютерной математики Maple при составлении систем линейных уравнений равновесия узлов и нахождении решений этих уравнений в символьной форме;

- программный пакет численных расчетов Lira;

- теория и практика составления и решения рекуррентных уравнений для членов последовательностей коэффициентов искомых формул;

- методика индуктивного получения решений с привлечением систем компьютерной математики;

- оценка Донкерлея для первой частоты колебаний системы с многими степенями свободы.

Научная новизна заключается в разработке алгоритма вывода аналитических решений задач о колебаниях регулярных упругих систем и получении ряда новых решений в виде аналитических зависимостей для механических конструкций. Впервые обнаружено свойство вложения частот спектров колебаний регулярных систем с различным числом элементов периодичности (панелей). Показано, что частотное уравнение для регулярных статически определимых систем с n степенями свободы, применительно к задаче о колебании грузов на плоскости с упругими связями и задаче о колебании грузов в узлах плоской фермы, всегда имеет одно точное решение, независящее от числа степеней свободы n и располагающееся в середине спектра. Обнаружена универсальная матричная константа, входящая в решения задач о регулярных симметричных и несимметричных систем. Разработан алгоритм вывода формулы для нижней оценки основной частоты для систем с произвольным числом панелей.

Основные положения, выносимые на защиту:

- алгоритм вывода формул зависимостей жесткости стержневых систем от геометрии системы и ее физико-механических свойств;

- свойство вложения спектров частот собственных колебаний;

- частотные уравнения и их аналитические решения для статически определимых симметричных ферм;

- алгоритм получения формулы для нижней оценки основной частоты.

- примеры формул для основных частот балочных ферм.

Теоретическая и практическая значимость заключается в приведении алгоритма для получения формульных (аналитических) решений задачи о колебании регулярных систем, которые могут быть использованы как для оценки численных решений, так и для предварительного анализа новых проектируемых механизмов, конструкций и сооружений в машиностроении и строительстве. Аналитическая форма решения дает возможность применять все методы математического анализа для выявления особенностей конструкции. Обнаруженное свойство вложения спектров частот собственных колебаний позволяет получать частоты колебаний систем со значительным числом степеней свободы по решениям задач с меньшим числом степеней свободы.

Теоретические и экспериментальные данные, полученные при выполнении диссертационной работы, используются в ООО «НТИЦ АпАТэК-Дубна», ФГУП "ЦАГИ", ООО "КОМИТАС".

Методы исследования базируются на использовании методов аналитической механики и теории колебаний; теории дифференциальных уравнени.

Достоверность результатов работы обеспечивается проверкой полученных решений в численной форме в специализированных пакетах для расчета строительных конструкций; сравнением с известными решениями и экспериментальными данными, полученными другими авторами; физической достоверностью формул, следующей из качественного их анализа. Проверка формул проводилась также в программах с целочисленной формой преобразований данных, не использующих операции, допускающих округления чисел.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы представлялись и докладывались на следующих конференциях:

• Международный научный семинар "Нелинейные модели в механике, статистике, теории поля и космологии" -ОЯЛСО8-17. Казань

• Всероссийская научно-практическая конференция «45 лет отрасли легких металлоконструкций: от модуля Кисловодск до модуля Пятигорск» (03.04.2017-05.04.2017)

• на семинаре кафедры РМДиПМ НИУ МЭИ (март, 2019)

• на семинаре кафедры "Строительная механика, машины и оборудование" Российской открытой академии транспорта Московского государственного университета путей сообщения (апрель, 2019).

Публикации. По теме диссертации имеется 15 печатных работ, из которых опубликовано 3 статьи в научных журналах: 1 статья [99] в журнале из перечня ВАК, 2 статьи [15, 16] в журналах, входящих в базу рецензируемых научных изданий Scopus.

Личный вклад автора заключается в том, что

— разработан алгоритм вывода расчетных формул для собственных частот регулярных систем произвольного порядка,

— составлена и отлажена программа на языке компьютерной математики Maple для определения усилий в стержнях и обобщения решений на произвольное число панелей,

— проведено сравнение с численными методами в пакете Lira и по программе Maple,

— выявлены основные особенности решения,

— получены два основных результата исследования - свойство вложения спектров частот регулярных систем и аналитическая оценка первой (основной) частоты.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, основных выводов, списка использованных источников и приложения. Содержит 113 стр. машинописного текста, 51 рисунков и 7 таблиц. Библиография включает 103 наименований.

Область исследования соответствует паспорту научной специальности 01.02.01 «Теоретическая механика» пунктам: 5 - «Колебания механических систем» и 7 - «Механика робототехнических и мехатронных систем».

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Обзор работ по теме

Анализ частотных характеристик машиностроительных и строительных конструкций — одна из традиционных и практически важных задач инженеров - проектировщиков. Как правило, задача определения частот собственных колебаний решается численно методом конечных элементов или каким-либо другим численным способом для конкретных конструкций с заданными геометрическими и физическими характеристиками [2-6,13,20,28,29,35,74,83] с использованием специализированных пакетов отечественных или зарубежных разработок.

Помимо численных методов для решения задач теоретической механики всегда применялись и аналитические методы расчета. В первое время это были в основном приближенные аналитические подходы, сводящие задачу к задаче прогиба или колебания некоторой эквивалентной конструкции с распределенными параметрами. Например, формула Качурина [45,81] для оптимальной высоты балочной фермы с п панелями и длиной пролета Ь имеет вид

И„„ 1 /0,7« +1

опт

Ь п\ к

где к=2 для треугольной решетки, к=3 для раскосной. Аналогичная формула, явно не учитывающая число панелей, полученная из условия жесткости на основании формулы Максвелла - Мора, имеет более сложный вид

И 6,5 сЬ (л 2ИЛ 1 + —

Ь 24 [/]Е

Ь

где с — максимальное напряжение в поясе от нагрузки, вызывающей прогиб, [ / ] / Ь «1 /1500...1 /1000 — мера жесткости для ферм.

Несмотря на то, что эти формулы получены на основе ряда полуэмпирических гипотез, не учитывают конкретный вид решетки и тип опирания, они до сих пор часто используются в практических расчетах и теоретических выводах [78,79]. Это свидетельствует о востребованности аналитических решений формульного вида. Оценочных же формул для частот

колебаний стержневых конструкций (если не считать решение частных задач [19, 20]) в литературе нет. В настоящей работе ставится задача получения таких формул и анализ спектров собственных частот стержневых регулярных конструкций с произвольным числом панелей (ячеек периодичности).

Не все аналитические методы [32,43,85,86] позволяют получать компактные формулы, пригодные для практического применения. В последнее время с появлением систем символьных вычислений (Reduce, Mathematica, Maple [33,38,47,49,80] ) получил распространение индуктивный метод вывода формул для прогиба и усилий в характерных стержнях в задачах о плоских балочных [1,17,25,36,39,40,59,66,68,93,98,102], арочных [37,46,89] и пространственных фермах периодической структуры [56-58,61-63,65,67,69,73] с произвольным числом панелей.

В [44] задача о вертикальных колебаниях грузов в узлах балочной фермы с треугольной решеткой без учета массы самой фермы решена в аналитической форме для произвольного числа панелей (рис. 1.1). Формула для частоты колебаний получена обобщением ряда решений, найденных в системе компьютерной математики Maple для ферм с различным числом панелей. Усилия в стержнях находились методом вырезания узлов в символьной форме.

Н-1-1-h-

Рис. 1.1. Ферма при n=5 [44]. Узлы нижнего пояса наделены массой

Коэффициенты частотного уравнения получены из решения рекуррентных уравнений, выведенных в системе Maple. Жесткость фермы определялась по формуле Максвелла - Мора. Задача свелась к определению собственных значений матрицы вида

[Бп ] = (4я3[ An ] / 3 + 2c3[Cn ]) / (nh2 EF), где элементы матриц получены индуктивно:

C1,j = n - j , j=1,---, n-1; cu = icXj, 7=2,...,w/2, j=1,...n-7.

а,,} = -'2 "]2 + 1)(и "]), /= 1,- • -,и/2 , ./=/,..., и-/.

Аналитических решений для самих частот получить не удалось. Построен график зависимостей частот колебаний от размера панели (рис. 1.2).

сои И=4

, 1г=3

Рис. 1. 2. Зависимость частот от размера панели при и=3 [44]

Аналогичным методом получены аналитические решения задач о колебании фермы в работах [26,41,50].

По сравнению с аналитическими решениями, число работ с численными решениями задачи о собственных колебаниях упругих стержневых систем значительно больше. Одним из основоположников теории колебаний безусловно является профессор А. Ф. Смирнов [92], предложивший двухстороннюю оценку основной частоты

1/4В<®<у/в /В,

где В т, В = Т^2ит2, + . Коэффициенты матрицы

податливости вычисляются по формуле Максвелла - Мора.

Прикладные задачи теории колебаний строительных конструкций решены численно в трудах воронежских профессоров Барченкова А.Г. [28,29], Сафронова В.С. [90] и их учеников [77]. Описаны методики составления и преобразований исходных уравнений, описывающих динамику системы "конструкция-нагрузка". Конструкция (ферма или балка) рассматривается как линейно-упругая диссипативная система. Основная тематика этих работ — учет

колебаний подвижной подрессоренной нагрузки и случайные неровности дороги.

Вынужденные колебания, вызванные субъективными причинами (толпа, людской поток и т.п.) с применением методов математической статистики и теории вероятности изучены в работах Bachmann H. [2]. Все расчеты здесь выполнены численно и проиллюстрированы многочисленными примерами. В работах прибалтийских ученых Bacinskas D., Kamaitis I. Z., Kilikevicius [3,4] изучаются в основном проблемы колебаний (вибраций) железнодорожных конструкций. В работе Branco J. M., Sousa H. S., Tsakanika E. [6] рассмотрены весьма простые типы деревянных стропильных ферм и предложены методы оценки их прочности и надежности с целью их реконструкции. Один из вариантов, предложенных натурных испытаний, — динамический, до отказа работоспособности конструкции.

Camara A., Nguyen K., Ruiz-Teran A. M. Stafford P. J. в работе [7] изучали влияние структуры конструкции (крепление вант, расположение усиливающих элементов) на колебания конструкции и влияние этих колебаний на условие эксплуатации. Показано, что на условный комфорт пешеходов колебания оказывают большее влияние, чем на транспортные средства, передвигающиеся с большей скоростью. Во многом работы этих авторов перекликаются с более ранними отечественными работами [28, 29, 90].

Теоретические аспекты регулярных периодических стержневых статически определимых систем впервые подняли Hutchinson R. G. и Fleck N.A. [10, 11]. Сложность выбора таких систем они обозначили как "охоту" на статически определимые структуры. Ими рассмотрены как плоские, так и пространственные структуры, применяющиеся как в строительных и машиностроительных конструкциях, так и в материаловедении и проектировании композитов с заранее заданными определенными свойствами.

В трудах Kilikevicius A., Bacinskas D., Jurevicius M., Kilikeviciene K., Fursenko A., Jakaitis J., Tolocka, E. [13] рассмотрена динамика реконструируемых стальных ферм мостов. Все расчеты выполнены численно.

Jianen Chen, Wei Zhang, Minghui Yaoc, Jun Liu и Min Sund [8] исследовали частоты колебания пластин под действием удара. Исследовано изменение характеристик поглощения вибрации при увеличении размеров элементов системы.

Показано, что изменение радиуса стойки (опоры пластины) влияет в большей степени на поглощение вибрацией при гармонической нагрузке по сравнению с поглощением при ударной нагрузке.

Бае7а Ь., Оиуап§ Н. [5] исследованы колебания ферменной конструкции, состоящей из нескольких жестко связанных балок типа Тимошенко. Возбуждение колебаний обеспечивается движущимся генератором неподрессоренной массы. Используется смешанный метод аналитических и численных преобразований.

Аналитические решения для задач о колебании висячих мостов с учетом нелинейных эффектов получены М. В. Шитиковой и Ю.А. Россихиным [19].

Мишустин И.В., Рыбаков Л. С. [82] исследовали колебания плоских упругих ферм ортогональной структуры. Использовался метод "склейки" решений. Учтено внутреннее трение по модели Фойгта.

Распопов А. С., Артемов В. Е., Руссу С. П. [84] рассматривали динамику фермы с треугольной решеткой и параллельными поясами. Динамика нагрузки учитывалась коэффициентом к статической нагрузке, приложенной к ферме. В качестве метода расчета использовался метод конечных элементов. Колебания дискретного элемента системы в пространстве описаны с помощью дифференциальных уравнений движения в форме Эйлера-Лагранжа.

В [18] определяется частота и форма колебаний фермы с массами, расположенными в пяти шарнирах (рис. 1.3).

1 2

Рис. 1. 3. Стержневая система с семью степенями свободы [90]

Система имеет семь степеней свободы (по две степени в узлах 1 -3 и одна в подвижном шарнире 4). Усилия находятся методом вырезания узлов. Для определения жесткости системы используется формула Максвелла - Мора. Дифференциальные уравнения свободных колебаний выводятся с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода. Показано, что ошибка в значении нижней

оценки основной частоты по формуле Донкерлея не превышает 29%. Определяются частоты и по уточненной формуле Донкерлея

1/G) « 2r

V

s

Ibj

r )

Л

j =1

где I bj) — след матрицы податливости, возведенной в степень 2r. В обычной

j=i

формуле Донкерлея r=1. Точность оценки растет с увеличением r. Для аналитических оценок применение уточненной формулы Донкерлея затруднительно из-за операции возведения в степень 2r матрицы податливости.

Здесь же в численной форме решена задача о колебании грузов в узлах несложной пространственной фермы.

Регулярные стержневые системы, теория и методы их расчета рассмотрены в монографиях Галишниковой В.В. и Игнатьева В.А [32, 43]. В [43] дано аналитическое решение задачи о консольной ферме с крестообразной решеткой, загруженной равномерно по узлам верхнего пояса. Решение получено без привлечения операторов системы компьютерной математики и метода индукции. Различные схемы ферм и аналитические решения о прогибе под действием различных нагрузок приведены в справочнике [64]. Программа из этой работы для расчета усилий, записанная на языке Maple, использована в решениях [1,17,25,36,39,40,59,66,68,93,98,102].

В [18] предложен пространственно-временной метод граничных элементов для динамического моделирования ферм. Рассматриваемые ферменные системы состоят из нескольких элементов, где динамическое поведение каждого упругого стержня определяется одномерным волновым уравнением. Фундаментальное решение во временной области и граничные интегральные уравнения используются для установления динамического отображения Дирихле-Неймана для одного стержня. Таким образом, проблема сводится к движению узлов фермы, так, как если бы массы располагались в узлах, а не были распределены по стержням. Задача решается пошагово с локальным размером шага, который обеспечивает стабильность. Кроме того, дискретизация в пределах каждого из этих временных шагов может быть адаптивно улучшена для эффективного уменьшения общей ошибки аппроксимации. Оптимальная сходимость метода продемонстрирована на численных примерах. Благодаря адаптивному уточнению оптимальная скорость сходимости сохраняется даже для негладких решений. Рассмотрены фермы

стандартного вида (рис. 1.1, 1.3). Фактически эта работа посвящена обоснованию метода локализации инерционных свойств фермы в ее узлах.

В [101] рассмотрены колебания системы "пространственная ферма -основание" и различные методы гашения колебаний. Изучается основание винклеровского типа. Дискретизация модели фермы и уравнения равновесия не приводятся.

Колебания ферм с параллельными поясами, нагруженными по верхнему поясу равномерной нагрузкой, и сосредоточенными силами в узлах, рассмотрены в [76]. Показано, что такие модели ферм допустимо рассматривать как балки постоянной распределенной по длине жёсткостью, для которых справедлива известная закономерность о взаимосвязи максимального прогиба с основной частотой собственных колебаний. Аналогичный и достаточно распространенный пример сведения фермы к балке с эквивалентной жесткостью использован в [100].

С применением численных методов в работе [91] рассмотрены вынужденные колебания пространственных конструкций стержневого типа. Предложена методика моделирования воздействий динамического типа на элементы конструкции сооружений, предназначенных, например, для проведения дискотеки с привлечением групп ритмически двигающихся участников. Предложенная методика может быть также использована при выполнении расчетов на прочность с использованием метода конечных элементов. Приводятся описания двух реальных объектов в г. Воронеже и результаты расчетов.

1.2 Постановка задачи

Основной целью работы является анализ спектра механических систем с многими степенями свободы. В качестве объекта была выбрана плоская ферма, однако для достижения результата — нахождения закономерностей спектра и оценки основной частоты, можно выбрать и какую-либо другую, например, систему грузов на балке или конструкцию из пластин или оболочек, т.е. деформируемую систему, используемую в практических инженерных работах, значения собственных частот которой требуется при расчетах динамики на этапе проектировки или эксплуатации. Кроме того, учитывая, что в системе может быть столь много элементов, что численные методы будут давать недопустимые погрешности, ставится задача получения результатов в аналитической компактной форме.

Для иллюстрации целей, методов и некоторых результатов рассмотрим сначала простейшую модель системы с многими степенями свободы. На рисунке 1.4 представлена система п грузов с одинаковой массой т, скользящих без трения по гладкой горизонтальной плоскости. Грузы соединены пружинами с жесткостью с.

1 2 3 4 ... п

А/ЛЛЛ^ ллл/* ЛЛЛ/4 ЛЛЛЛЛА

\

т

х

Рис. 1.4 Простейшая регулярная механическая система с многими степенями свободы

Запишем уравнение движения этой системы, пользуясь методикой Лагранжа. В качестве обобщенных координат возьмем координаты грузов, принимая начало координат в точке крепления крайней левой пружины. Кинетическая энергия имеет вид

Т = т^х\12, к=\

(1.1)

где хк — скорость к-й точки. Потенциальная энергия сжатия пружин имеет вид

п

П = (хк-1 - хк )2/2, Х0 = 0

к=1

Из уравнений Лагранжа 2-го рода

£

Л

г дТ\

V дкк у

дТ дП

дхк дхк

к=1,...,п

следует система

тХ + Щ АХ = 0,

(1.2)

где [ Бп ] — матрица жесткости. При п=4 эта матрица, например, имеет вид

[ »4 ] =

2с -с 0 0

-с 2с -с 0

0 -с 2с -с

0 0 -с с

(1.3)

Умножим (1.2) на матрицу [ Bn ], обратную к [ Dn ]. Выполним стандартную в таких задачах подстановку X = A sin(®í + ), эквивалентную замене X = -со2Х. Получим уравнение

ma>2[ B ] X = X .

Таким образом задача свелась к проблеме собственных чисел матрицы

[ Bn ]

[ вп ] X = ¿tX.

Каждому собственному числу \ соответствует собственная частота сок = 1/ ^¡\m . При п=4 матрица [Bn ] имеет вид

1111" 12 2 2 1 2 3 3. 12 3 4

Для получения решения в аналитической форме требуется получить элементы этой матрицы в общем виде для произвольного значения п. В данной упрощенной модели это достаточно очевидно. Матрица симметричная, для элементов верхнего (правого) треугольника имеем

bu+j = i, i =1,...,n- j, j = 0,...n -1.

Остальные элементы получаются отражением относительно главной диагонали bj i = b¡ j i = 1,..., j -1, j = 2,.. .n. В задачах же, связанных с

колебаниями масс в узлах фермы, задача получения матрицы податливости в аналитической форме представляет основную проблему, для решения которой используется метод индукции. В численном же виде решение находится просто. Спектры частот с различным числом грузов при c=1 Н/м, m =1 кг отложены на кривых (рис. 1.5). Отмечается выравнивание высших частот спектров при увеличении числа панелей.

Совершенно иной спектр, как оказывается, имеет система грузов с п массами и п+1 пружиной (рис. 1.6). Крайняя правая пружина закреплена. Система совершает колебания между двумя неподвижными стенками.

[ B4 ] = i

Рис. 1.5 Спектры собственных частот систем п=1,..,20 грузов

Здесь система симметрична по структуре. Кинетическая энергия остается такой же (1.1).

Рис. 1.6 Симметричная регулярная механическая система

Потенциальная энергия включает в себя энергию еще одной пружины:

«+1

П = (Хк-1 " Хк )2/2, х0 = Хи+1 = 0-к=1

Матрица жесткости в (1.2) при п=4 отличается от (1.3) только в одном элементе и имеет вид

^2с -с 0 0" -с 2с -с 0 0 -с 2с -с 0 0 -с 2с

[ а ]=

Обратная матрица (матрица податливости) оказывается бисимметричной:

"4 3 2 1"

3 6 4 2

2 4 6 3

12 3 4

[ * ]=5с

Закономерность образования элементов этой матрицы более сложная. Проследить ее можно, если выписать последовательно несколько матриц:

[ в ]=£

[ В6 ]== 7с

В последней матрице выделен базисный треугольник между главной и побочной диагоналями в верхней половине матрицы. По элементам этого треугольника определяются и остальные элементы матрицы, отражением относительно диагоналей. Отсюда, чтобы получить всю матрицу достаточно вывести общие формулы только для элементов базисного треугольника. Эта матрица (матричная константа) встречается в решениях многих задач о прогибе и частотах регулярных конструкций. В п. 3.4 получен ее общий вид. В [19] найден определитель этой матрицы. Эта же матричная константа входит в решение задачи о прогибе несимметричной вантовой конструкции [72]. Собственные числа нескольких первых матриц имеют простую форму. Верхним индексом в скобках обозначим порядок матрицы п. Имеем следующие значения: Л(1) = 1 / (2с), Я1(2) = 1 / (3с), = 1/ с, 4(3) = 1/ (2с), 4 = (2 ±л/2)/(2с), 4 = (3±^5)/(2с), = (5^л/5)/(10с), 45) = 1 / (3с),45) = 1 / (2с),4(5) = 1 / с, = (2 ± л/3) / с,

Из равенства некоторых собственных чисел матриц разных порядков вытекает свойство вложения спектров. На рисунке рис. 1.7, полученном численным счетом при с=1 Н/м, т =1 кг, точками на кривых отмечены собственные частоты. Обозначим {Д} — спектр матрицы порядка п. Имеем вложения

{Д} с{Дк = 1,2,...,

{Д} с {Д+2}, к = 1,2,...,

{Д} с {Д+3}, к = 1,2,....

В общем случае

{Д} с {Д(г+1)к+,}, к = 1,2,..., / = 1,2,....

Свойство вложения имеют некоторые фермы, рассмотренные в п. 3.4-3.6.

Рис. 1.7 Спектры собственных частот симметричных систем п=1,..,20 грузов (рис. 1.6)

ГЛАВА 2. ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ ГРУЗА НА СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ. ЗАДАЧА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

2.1 Обзор аналитических решений задач о прогибе

Поставленная в работе задача проанализировать спектр частот собственных колебаний стержневой системы и вывести основные аналитические зависимости для частот от параметров конструкции имеет две основные трудности. Первая — определение жесткости конструкции в случае произвольного числа ячеек периодичности и размеров системы. Вторая — решение частотного уравнения. Очевидно, если ставится такая задача для конкретной конструкции с определенным числом панелей и заданными размерами, то этих трудностей нет. Подобные задачи решаются в курсе теоретической и строительной механики, и алгоритмы таких решений отработаны и известны. Другое дело — решение задачи с произвольным числом панелей. Здесь на первом плане оказывается определение жесткости конструкции. Жесткость конструкции, входящая в уравнение колебаний, определяется по ее прогибу. В случае одной массы (груза), закрепленного на стержневой конструкции, по величине прогиба можно определить и частоту колебаний груза. Для практики решение такой задачи имеет смысл, когда масса груза намного превышает массу конструкции, на которой он закреплен.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тиньков Дмитрий Владимирович, 2019 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Al-Shahrabi A.M., Kirsanov M.N. Line of influence of the deflection for cantilever truss //Вестник научных конференций. 2016. № 2-1(6). Наука, образование, общество: по материалам международной научно-практической конференции 29 февраля 2016 г. Часть 1. С. 6-7.

2. Bachmann H. Vibration Problems in Structures: Practical Guidelines, Birkhuser Verlag, Basel, 1995. 234 p.

3. Bacinskas D., Kamaitis I.Z., Kilikevicius A. A sensor instrumentation method for dynamic monitoring of railway bridges// Journal of Vibroengineering. 2013. 15(1). pp. 176-184.

4. Bacinskas D., Turla V., Kilikevicius A., Ragauskas, P., Jurevieius M. Dynamic testing of railway truss bridge // Journal of vibroengineering, 2014. 16(6), pp. 2649-2657. Retrieved from https://www.miestai.net/forumas/

5. Baeza L., Ouyang H. Vibration of a truss structure excited by a moving oscillator //Journal of Sound and Vibration. - 2009. - Vol. 321. - №. 3-5. - Pp. 721734.

6. Branco J.M., Sousa H.S., Tsakanika E. Non-destructive assessment, full-scale load-carrying tests and local interventions on two historic timber collar roof trusses // Engineering Structures. 2017. Т. 140. С. 209-224. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2017.02.053

7. Camara A., Nguyen K., Ruiz-Teran A. M. Stafford P. J. Serviceability limit state of vibrations in under-deck cable-stayed bridges accounting for vehicle-structure interaction // Engineering Structures. (2014). 61(1). pp. 61-72. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2013.12.030

8. Chen J. et al. Vibration reduction in truss core sandwich plate with internal nonlinear energy sink //Composite Structures. - 2018. - Vol. 193. - Pp. 180-188. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2018.03.048

9. Dong X., Kirsanov M.N. The dependence of the deflection of the truss from the position of the load for an arbitrary number of panelsZ/Вестник научных конференций. 2016. № 1-4 (5). С. 6-7.

10. Hutchinson R. G., Fleck N.A. Microarchitectured cellular solids - the hunt for statically determinate periodic trusses // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 2005. 85, No. 9, Pp. 607-617.

11. Hutchinson R.G., Fleck N.A. The structural performance of the periodic truss // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2006. Vol. 54. No. 4. Pp. 756-782.

12. Jiang H., Kirsanov M.N. An analytical expression for the influence line of the truss// Вестник научных конференций. 2016. № 1-5(5). С.10-11. Наука и образование в XXI веке: по материалам международной научно-практической конференции 29 января 2016 г. Часть 5. 219 с.

13. Kilikevicius A., Bacinskas D., Jurevicius M., Kilikeviciene K., Fursenko A., Jakaitis J., Tolocka, E. Field testing and dynamic analysis of old continuous truss

steel bridge // Baltic Journal of Road & Bridge Engineering. 2018. 13(1). https://doi.org/10.3846/bjrbe.2018.394

14. Kirsanov M.N. Stress State and Deformation of a Rectangular Spatial Rod Cover// Scientific Herald of the Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering. Construction and Architecture. 2016. N 3 (31). Pp. 71-79.

15. Kirsanov M., Tinkov D. Analytical calculation of the deflection of the lattice truss //MATEC Web of Conferences. - EDP Sciences, 2018. - Т. 193. - С. 03015.

16. Kirsanov M., Tinkov D., Boiko O. Analytical calculation of the combined suspension truss //MATEC Web of Conferences. - EDP Sciences, 2019. - Т. 265. -С. 05025.

17. Kirsanov M.N. Analytical calculation, marginal and comparative analysis of a flat girder// Scientific Herald of the Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering. Construction and Architecture. 2016. N 1 (29). Pp. 84-105

18. Polz D., Gfrerer M. H., Schanz M. Wave propagation in elastic trusses: An approach via retarded potentials //Wave Motion. - 2018. Vol. 87. N4. 37-57. https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2018.06.002

19. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Application of fractional calculus for analysis of nonlinear damped vibrations of suspension bridges // Journal of Engineering Mechanics - ASCE. 1998. V. 124. N. 9. Pp. 1029-1036.

20. Ufimtsev E., Voronina M. Research of Total Mechanical Energy of Steel Roof Truss during Structurally Nonlinear Oscillations //Procedia Engineering. 2016. Т. 150. С. 1891-1897.

21. Vorobiev O., Kirsanov M., Cherepanov S. About some bisymmetric matrix of regular type // Наука и образование в XXI веке. Сборник трудов по материалам Международной научно-практической конференции. 30 сентября 2013 г. Часть 23. Тамбов, 2013. Изд-во ТРОО "Бизнес-Наука-Общество", C. 8-9

22. Zambon I., Vidovic A., Strauss A., Matos J., Amado J. Comparison of stochastic prediction models based on visual inspections of bridge decks. Journal of Civil Engineering and Management. 2017. (23) 5. pp. 553-561.

23. Zok F.W., Latture R.M., Begley M.R. Periodic truss structures // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2016. vol. 96. Pp. 184-203. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2016.07.007а5

24. Алдушкин Р.В., Савин С.Ю. Исследование работы треугольных ферм при статических и динамических воздействиях // Строительство и реконструкция. 2010. №. 3-29. С. 3-6.

25. Афанасьев В.А., Бойко О.О. Прогиб составной плоской балочной фермы с параллельными поясами //Актуальные вопросы образования и науки: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции 30 сентября 2014 г.: в 11 частях. Часть 10. Тамбов: ООО «Консалтинговая компания Юком», 2014. С.15-16.

26. Ахмедова Е.Р., Канатова М.И. Частотное уравнение для плоской балочной фермы регулярной структуры с треугольной решеткой //Международная научно-практическая конференция ИТ0Н-2014. IV-й международный семинар и международная школа "Математическое и компьютерное моделирование фундаментальных объектов и явлений в системах компьютерной математики" // Материалы конференции и труды семинара. Казань: Изд-во ООО "Фолиант", 2014. С. 198-199.

27. Ахмедова Е.Р., Канатова М.И. Собственные частоты колебаний плоской балочной фермы регулярной структуры//Наука и образование в XXI веке. Тамбов, 2014. С. 17-18.

28. Барченков А.Г. Динамический расчет автодорожных мостов. М.: Транспорт. 1976. 199 с.

29. Барченков А.Г., Ожерельев А.Г., Сафронов В.С. Расчет колебаний ферм под действием подвижной подрессоренной нагрузки // Труды Гипродорнии. 1973. №6. С. 76-94.

30. Бернштейн С.А. Очерки по истории строительной механики. — М.: Гостройиздат, 1957. — 236 с.

31. Болотин В.В., Чирков В.П., Радин В.П., Трифонов О.В. Моделирование сценариев разрушения высотных конструкций при интенсивных сейсмических воздействиях // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2004. № 2 (542). С. 4-10.

32. Галишникова В.В., Игнатьев В.А. Регулярные стержневые системы. Теория и методы расчета. Волгоград: ВолгГАСУ, 2006.

33. Голоскоков Д. П. Практический курс математической физики в системе Maple. СПб.: Изд-во ПаркКом, 2010. 644 с.

34. Городецкий Д.А., Барабаш М.С., Водопьянов Р.Ю., Титок В.П., Артамонова А.Е. ЛИРА-САПР 2013. Учебное пособие. Изд-во Москва, 2013. 376 с.

35. Гриднев С.Ю., Будковой А.Н. Колебания балочных систем при переходных режимах движения одиночного автомобиля // Строительная механика и конструкции. 2013. Т. 1. № 6. С. 85-92.

36. Дегтярев Н.Р., Трощило А.П. Прогиб балочной фермы шпренгельного типа //Актуальные вопросы образования и науки: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции 30 сентября 2014 г.: в 11 частях. Часть 10. Тамбов: ООО «Консалтинговая компания Юком»,

2014. С.52-54.

37. Дзабиев А.А., Черепанов С.П. Формулы для расчета прогиба арочной фермы. //Вопросы образования и науки: теоретический и методический аспекты: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции 31 мая 2014 г.: в 11 частях. Часть 4. Тамбов: ООО «Консалтинговая компания Юком», 2014. С. 63-64.

38. Дробот Ю.Б. Введение в систему Maple 10. - Изд-во ДВГУПС, 2006.

39. Ерзунов И.А., Гудожников Р.А. Прогиб плоской статически определимой шпренгельной фермы с произвольным числом панелей // Наука и образование в XXI веке: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции 31 октября 2014 г. в 17 частях. Часть 4. Тамбов: ООО«Консалтинговая компания Юком», 2014. С. 5556.

40. Жакетов Д.Д., Яцков В.Б. Прогиб плоской балочной фермы с треугольной решеткой//Наука и образование в XXI веке: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции 31 октября 2014 г. в 17 частях. Часть 7. Тамбов: ООО«Консалтинговая компания Юком», 2014. С. 34-36.

41. Заборская Н.В. О зависимости частоты колебаний груза от его местоположения на ферме // В книге: Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. Тезисы докладов Двадцать второй Международной научно-технической конференции студентов и аспирантов: в 3 томах. 2016. С. 244.

42. Зацепин М.Ф., Мартыненко Ю.Г., Тиньков Д.В. Уравнения Лагранжа, Воронца, Чаплыгина в задачах динамики мобильных роботов //М..: Изд. МЭИ. - 2005.

43. Игнатьев В.А. Расчет регулярных стержневых систем. Саратов: Саратовское высшее военно-химическое военное училище, 1973.

44. Канатова М. И. Частотное уравнение и анализ колебаний плоской балочной фермы // Trends in Applied Mechanics and Mechatronics. М: Инфра-М.

2015.Т. 1. С. 31-34.

45. Качурин В.К. О прогибе мостовых ферм. Сб. №17. Отделение инженерных исследований НТК НКПС, 1928.

46. Кийко Л.К. Аналитическая оценка прогиба арочной фермы под действием ветровой нагрузки //Научный вестник. 2016. № 1 (7). С. 247-254.

47. Кирсанов М.Н. Maple и Maplet. Решение задач механики. СПб.: Изд-во Лань, 2012. 512 с.

48. Кирсанов М.Н. Задачи по теоретической механике с решениями в Maple 11. - 2010.

49. Кирсанов М.Н. Практика программирования в системе Maple //М.: Издательский дом МЭИ. - 2011. - Т. 208.

50. Кирсанов М.Н., Кленова И. Г. Индуктивный метод исследования колебаний систем с периодической структурой // Всероссийская научно -практическая конференция "Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе", МФЮА, 2009. 113-114 с.

51. Кирсанов М.Н., Тиньков Д. В. Аналитические выражения частот малых колебаний балочной фермы с произвольным числом панелей // Строительная механика и конструкции. 2019. № 1. С. 14-20.

52. Кирсанов М.Н., Тиньков Д.В. Аналитическое решение задачи о частоте колебания груза в произвольном узле балочной фермы в системе Maple // Строительство: наука и образование. 2018. №. 4.

53. Кирсанов М.Н., Тиньков Д.В. Спектр собственных частот колебаний внешне статически неопределимой фермы // Транспортное строительство. 2019. №. 2. С. 21-23.

54. Кирсанов М.Н., Тиньков Д. В. Аналитический расчет частоты колебания груза в произвольном узле балочной фермы // Транспортное строительство. 2018. №. 12. С. 21-23.

55. Кирсанов М.Н. Aналитический расчет балочной фермы с решеткой типа "butterfly"// Строительная механика и расчет сооружений. 2016. № 4. С. 2 -5.

56. Кирсанов М.Н. Анализ прогиба фермы прямоугольного пространственного покрытия // Инженерно-строительный журнал. 2015. № 1 (53). С. 32-38.

57. Кирсанов М.Н. Аналитический расчет и оптимизация пространственной балочной фермы // Вестник МЭИ. 2012. № 5. С. 5-8.

58. Кирсанов М.Н. Аналитический расчет пространственной стержневой регулярной структуры с плоской гранью // Строительная механика и расчет сооружений. 2015. № 2 (259). С. 2-6.

59. Кирсанов М.Н. Аналитический расчет регулярной балочной фермы с произвольным числом панелей со сложной решеткой// Строительная механика и расчет сооружений. 2016. № 3. С. 16-19.

60. Кирсанов М.Н., Суворов А.П. Исследование деформаций плоской внешне статически неопределимой фермы // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12. Вып. 8 (107). С. 869-875. 001: 10.22227/1997-0935.2017.8.869-875

61. Кирсанов М.Н. Изгиб, кручение и асимптотический анализ пространственной стержневой консоли // Инженерно-строительный журнал. 2014. № 5 (49). С. 37-43.

62. Кирсанов М.Н. Напряженное состояние и деформации прямоугольного пространственного стержневого покрытия // Научный вестник ВГАСУ. Строительство и архитектура. 2016. №1(41). С. 93-100.

63. Кирсанов М.Н. Особенности аналитического расчета пространственных стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений. 2011. №5. С. 11-15.

64. Кирсанов М.Н. Плоские фермы. Схемы и расчетные формулы: справочник. М.: ИНФРА-М, 2019. 238 с. isbn 978-5-16-014829-8. www.dx.doi.org/10.12737/textbook_5c3c4183ee7be5.95025996.

65. Кирсанов М.Н. Расчет пространственной стержневой системы, допускающей мгновенную изменяемость // Строительная механика и расчет сооружений. 2012. № 3. С. 48-51.

66. Кирсанов М.Н. Скрытая особенность и асимптотические свойства одной плоской балочной фермы //Строительная механика и расчет сооружений. 2014. №4. С. 9-12.

67. Кирсанов М.Н. Статический расчет и анализ пространственной стержневой системы // Инженерно-строительный журнал. 2011. № 6. С. 28-34.

68. Кирсанов М.Н. Точные формулы для расчета прогиба и усилий в стержнях типовой фермы «Молодечно» с произвольным числом панелей // Инженерно-строительный журнал. 2016. №1(61). С. 33-41.

69. Кирсанов М.Н. Учет строительного подъема в аналитическом расчете пространственной балочной фермы // Известия Московского государственного технического университета МАМИ. 2014. Т. 4. № 2 (20). С. 36-39.

70. Кирсанов М.Н. Формула для расчета прогиба балочной фермы с произвольным числом панелей // Научный журнал. 2016. № 6 (7). С. 6 - 8.

71. Кирсанов М.Н. Формулы для расчета плоской балочной фермы с произвольным числом панелей // Строительная механика и конструкции. 2016. №1. С. 19-24.

72. Кирсанов М.Н.Статический расчет вантовой системы // Известия Московского государственного технического университета МАМИ. 2013. Т. 1. № 3. С. 89-93.

73. Кирсанов М.Н., Андреевская Т.М. Анализ влияния упругих деформаций мачты на позиционирование антенного и радиолокационного оборудования // Инженерно-строительный журнал. 2013. № 5 (40). С. 52-58.

74. Кирсанов М.Н., Тиньков Д.В. Анализ собственных частот колебаний плоской фермы с произвольным числом панелей // Вестник МГСУ. 2019. Т.4. №3. С. 179-187.

75. Кирсанов М.Н., Тиньков Д.В. Формулы для расчета спектра частот собственных колебаний балочной фермы с произвольным числом панелей// Постулат. 2019. № 3. С. 11.

76. Коробко В. И., Алдушкин Р. В., Бояркина О. В. Экспериментальные исследования стальных ферм с параллельными поясами на статические и динамические воздействия //Известия ОрелГТУ. Серия «Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии». Орел: Орел ГТУ. 2009. №. 2/274. С. 9-12.

77. Локтев А.А., Гелюх П.А., Королёв В.В. Высокочастотные вибрации в элементах подвижного состава на мостовых сооружениях // Путь и путевое хозяйство. 2018. № 5. С. 13-15.

78. Марутян А.С. Оптимизация ферменных конструкций со стойками и полураскосами в треугольных решетках // Строительная механика и расчет сооружений. 2016. № 4 (267). С. 60-68.

79. Марутян А.С., Абовян А.Г. Расчет оптимальных параметров плоскоовальных труб для ферменных конструкций // Строительная механика и расчет сооружений. 2017. № 4 (273). С. 17-22.

80. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб: БХВ-Петербург, 2001. 528 с.

81. Металлические конструкции. Специальный курс/Н. С. Стрелецкий, Е.И. Беленя, Г.С. Ведеников, Е.Н. Лессиг, К. К. Муханов. М.: Издательство литературы по строительству. 1965. 368 с.

82. Мишустин И.В., Рыбаков Л. С. Колебания плоских упругих ферм ортогональной структуры //Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2003. №. 2. С. 168-184.

83. Рабинович И.М. Курс строительной механики стержневых систем. 2-е изд. Ч. 1. Статически определимые системы. М /Л.: Стройиздат. 1950.

84. Распопов А. С., Артемов В. Е., Руссу С. П. Воздействие подвижных нагрузок на балочный мост, моделируемый системой дискретных элементов //Строительство. Материаловедение. Машиностроение. Серия: Инновационные технологии жизненного цикла объектов жилищно-гражданского, промышленного и транспортного назначения. - 2008. - №. 47. - С. 494-502.

85. Рыбаков Л.С. Линейная теория плоского призматического каркаса // Известия Российской Академии наук. Сер. Механика твердого тела. 2001. № 4 . С. 106-118.

86. Рыбаков Л.С. Линейная теория плоской ортогональной решетки // Известия Российской Академии наук. Сер. Механика твердого тела. 1999. № 4. С. 174-189.

87. Рыбаков Л. С., Мишустин И. В. Собственные колебания плоских регулярных упругих ферм ортогональной структуры // Механика композиционных материалов и конструкций. 1999. Т. 5. №. 2. С. 3-16.

88. Рыбаков Л. С., Мишустин И. В. Применение метода сосредоточенных масс к анализу собственных упругих колебаний одной регулярной ферменной структуры // Механика композиционных материалов и конструкций. 1999. Т. 5. №. 4. С. 51-64.

89. Сайпулаев Г.Р. Расчет регулярных стержневых систем на примере арочной фермы //Актуальные вопросы образования и науки: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции 30 сентября 2014 г.: в 11 частях. Часть 4. Тамбов: ООО «Консалтинговая компания Юком», 2014.С. 128-130.

90. Сафронов В.С. Расчет висячих и вантовых мостов на подвижную нагрузку. Воронеж, 1983. 196 с.

91. Сафронов В. С., Антипов А. В. Колебания и прочность современных несущих конструкций зданий при проведении массовых развлекательных мероприятий //Строительная механика и конструкции. - 2013. - Т. 2. - №. 7. -С. 44-55.

92. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М.: Гос. трансп. железнодорожное изд-во. 1958. 572 с.

93. Тиньков Д.В. Анализ влияния условий закрепления на прогиб плоской балочной фермы с нисходящими раскосами //Trends in Applied Mechanics and Mechatronics. М: Инфра-М. - 2015. - Т. 1. - С. 52-56.

94. Тиньков Д.В. Расчет прогиба плоской арочной фермы с крестообразной решеткой //Постулат. 2017. №. 12.

95. Тиньков Д.В. Формулы для расчёта прогиба вспарушенной балочной раскосной фермы с произвольным числом панелей //Строительная механика и конструкции. 2016. Т. 2. №. 13. С. 13.

96. Тиньков Д.В. Индуктивный вывод формулы для горизонтального перемещения башенной конструкции//Международный научный семинар «Нелинейные модели в механике, статистике, теории поля и космологии» -GRACOS-17. Казань: Изд-во Академии наук РТ, 2017. С. 249-254.

97. Тиньков Д.В. Оптимальная геометрия плоской балочной раскосной фермы с учетом линейной ползучести материала // Инженерно-строительный журнал. 2016. №1(61). С. 25-32

98. Тиньков Д.В. Сравнительный анализ аналитических решений задачи о прогибе ферменных конструкций //Инженерно-строительный журнал. 2015. №. 5. С. 66-73. doi: 10.5862/MCE.57.6

99. Тиньков Д.В., Сафонов А. А. Оптимальное проектирование композитных ферменных мостовых конструкций //Проблемы машиностроения и надежности машин. 2017. №. 1. С. 55-62.

100. Шевченко Ф.Л. Общие и различные свойства балок и ферм / Ф.Л. Шевченко, С.М. Царенко // Журнал «Сучасне промислове та цившьне будiвництво». - Макпвка, 2011. - Том 7, № 4. - С. 215-223

101. Шеин А. И., Земцова О. Г. Снижение уровня колебаний системы" упругое основание-высотное сооружение" с помощью нелинейного динамического гасителя //Региональная архитектура и строительство. - 2011. -№. 2.- С. 83-90.

102. Шикин К.С., Китаев С.С. Деформация составной балочной фермы шпренгельного типа //Актуальные вопросы образования и науки: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции 30 сентября 2014 г.: в 11 частях. Часть 7. Тамбов: ООО «Консалтинговая компания Юком», 2014. С. 154-155.

103. Яблонский А.А., Норейко С. С. Курс теории колебаний: учеб. пособие для студентов втузов. изд. 3-е, испр. и доп //М.: Высш. шк. - 1975.

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОГРАММА ДЛЯ РАСЧЕТА УСИЛИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИСКОМОЙ ФОРМУЛЫ

> restart:

>interface(showassumed=0): #Назначение свойств переменных assume(h>0):assume(c>0):assume(a>0): >m3:=4*n+8: # Число узлов c опорами >n3:=8*n+8: # стержней фермы c опорами

> m:=n3:

> ns:=n3-4;

# Задание значений размеров для численных расчетов и получения изображения фермы. В процессе вывода формул эта строка закомментировать знаком #. Численные значения вводятся при изображении фермы

>#a:=3: h:=4:

>for i to 2*n+1 do # Ввод координат

> x[i]:=a*i-a/2: y[i]:=0:

> x[i+2*n+2]:=x[i]: y[i+2*n+2]:=h:

> od:

>x[2*n+2]:=0:y[2*n+2]:=h/2: # Координаты опорных точек

>x[4*n+4]:=(2*n+1)*a:y[4*n+4]:=h/2:#

# Координаты точек "на земле". Равновесие этих узлов не рассматриваются

>x[m3-3]:=-3: y[m3-3]:=h/2:

>x[m3-2]:=0: y[m3-2]:=-1:

>x[m3-1]:=x[4*n+4]: y[m3-1]:=-1: >x[m3]:=x[4*n+4]+3: y[m3]:=h/2:

# Структура решетки. Указание номеров концов стержней >for i to 2*n do

> N[i]:=[i,i+1];

> od:

>for i to 2*n+2 do

> N[i+2*n]:=[i+2*n+1,i+2*n+2];

> od:

>for i to 2*n do

N[i+4*n+4]:=[i,i+2*n+3];N[i+6*n+4]:=[i+1,i+2*n+2];

>Ы[4*п+3]:=[1,2*п+2]: Ы[4*п+4]:=[2*п+1,4*п+4]:

> #Опорные стержни (последние в списке стержней)

>Ы[т-3]:=[2*п+2,ш3-3]:Ы[т-2]:=[2*п+2,ш3-2]: Ы[ш-1]:=[4*п+4,ш3-

>Ы[т]:=[4*п+4,т3]: #

>

Шрифт для номеров шарниров и стержней >with(plots): # Изображение схемы фермы

> £ог i to ш do

R[i]:=PLOT(CURVES([[x[N[i][1]],Y[N[i][1]]],

[x[N[i][2]],Y[N[i][2]]]])):od:

> ^г i to ш3+5 do

Шарнир[i]:=PLOT(TEXT([x[i]+0.1,Y[i]+0.1],convert(i,SYmbol)), COLOR(HUE,1)):

od:

> ^г i to ш do Стержень^]: =

PLOT(TEXT([(x[N[i][1]]+2*x[N[i][2]])/3,

(Y[N[i][1]]+2*Y[N[i][2]])/3+0.1],coпveгt(i,SYmbol)), COLOR(HUE,0.7)):

od:

> display(seq(Шарнир[i],i=1..m3),seq(R[i],i=1..m),

seq(Стержень[i],i=1..m),scaling=unconstrained,axes=none),•

Заполнение матрицы

Правая часть системы - вектор нагрузок(фактически набор векторов - каждый столбец -одна нагрузка. Система решается сразу для всех случаев.

> ^г i ^ 2*п+1 do S[i]:=Vectoг(п3):B[i]:=Vectoг(п3):od:

> foг i to 2*п+1 do B[i][2*i]:=1: od: >b:=Matrix(2*n+1,2*n+1):

>G:=Matгix(п3,п3): Решение системы

> foг i to ш do

> LxY[1]:=x[N[i][2]]-x[N[i][1]]:

> Lxy[2]:=y[N[i][2]]-y[N[i][1]]:

> L[i]:=subs(aA2+hЛ2=cA2,sqгt(LxY[1]Л2+LxY[2]Л2)); # Направляющие косинусы

> foг j to 2 do

> jj:=2*N[i][2]-2+j:

> if jj<=m then G[jj,i]:=-Lxy[j]/L[i]:fi;

jj:=2*N[i][1]-2+j:

> if jj<=m then G[jj,i]:= Lxy[j]/L[i]:fi;

> od;

> od:

>G1:=1/G: # Обратная матрица # Решение системы с разными правыми частями

> for i to 2*n+1 do

> S[i]:=G1.B[i]:

> od:

>for i to 2*n+1 do # Матрица податливости

> for j to 2*n+1 do

> b[i,j]:=simplify(add(S[i][k]*S[j][k]*L[k],k=1..ns)*hA2);

> od: od: