Совершенствование методов расчета колебаний стержневой системы на основе динамического конечного элемента тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Цуканова, Екатерина Сергеевна

• Цуканова, Екатерина Сергеевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Цуканова, Екатерина Сергеевна

Содержание

Введение

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

1.1. Описание проблемы

1.2. Состояние вопроса

1.3. Цели и задачи работы

ГЛАВА 2. ДИНАМИЧЕСКИЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

2.1. Построение матриц жесткости

2.1.1. Растяжение (сжатие) стержня

2.1.2. Изгиб

2.1.3. Кручение

2.2. Построение матриц инерции

2.2.1. Растяжение (сжатие) стержня

2.2.2. Изгиб

2.2.3. Кручение

Выводы по главе 2

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ДИНАМИЧЕСКИХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

3.1. Консольный стержень

3.1.1. Растяжение (сжатие)

3.1.2. Изгиб

3.2. Ступенчатый стержень

3.2.1. Растяжение (сжатие)

3.2.1. Изгиб

3.3. Анализ сложных систем

3.3.1. Плоская ферма

3.3.2. Рама

Выводы по главе 3

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ДИНАМИЧЕСКИХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

4.1. Консольный стержень

4.2. Сложные системы

4.3. Оценка динамических напряжений

Выводы по главе 4

ГЛАВА 5. ДИНАМИКА СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ УДАРНОЙ НАГРУЗКЕ С ПОМОЩЬЮ ДИНАМИЧЕСКОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

5.1. Консольный стержень

5.2. Расчет сложных систем

5.3. Влияние частоты ударной нагрузки на движение системы

Выводы по главе 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совершенствование методов расчета колебаний стержневой системы на основе динамического конечного элемента»

Введение

Актуальность темы исследования. Стержневые системы находят широкое применение в строительных конструкциях различного назначения. Это, например, перекрытия объектов большой площади (торговые павильоны, стадионы, ангары), опоры линий электропередач, мостовые сооружения. Стержневые системы как компоненты строительных конструкций в большой степени подвергаются динамическим нагрузкам при эксплуатации. Это, например, сейсмические, ветровые, техногенные воздействия. Поэтому точная оценка поведения стержневых конструкций под действием динамических нагрузок имеет большое значение при проектировании и эксплуатации.

Многие исследования посвящены вопросам моделирования динамики и получению уравнений движения при колебаниях стержневых конструкций различной конфигурации. Предложено множество подходов для определения частот колебаний, например, подход Галеркина, метод Релея-Ритца, метод динамических жесткостей и податливостей, конечно-элементная постановка. Наиболее распространенным является метод конечных элементов (МКЭ) в классической постановке, где матрицы элементов построены на основе статических (в основном, полиномиальных) функций форм. Такой подход дает приближенные уравнения в форме статической матрицы жесткости и матрицы инерции. Предполагается, что разбиением стержня уточнятся частотные характеристики при свободных колебаниях и амплитудно-частотные характеристики при вынужденных колебаниях, однако, это не всегда так.

Вариации классической постановки МКЭ позволяют повысить точность расчета. Так, в своих работах Соболев В.И. предлагает аналог метода конечных элементов - метод гармонического элемента (ГаЭ), основанный на использовании и развитии метода динамической податливости, однако, такой метод ориентирован на моделирование вынужденных колебаний конструкции. Механизм свободных колебаний здесь не реализуется.

Желтков В.И. предлагает новый подход к решениям динамических задач для пространственных стержневых систем, основанный на применении МКЭ по принципу «один стержень - один конечный элемент». Используются строгие решения уравнений движения линейно-упругого стержня, при этом уравнение для определения собственных частот является трансцендентным которое в отличие от классического уравнения динамической задачи МКЭ не является обобщенной алгебраической проблемой собственных значений и требует применения численных методов решения. Принципиальным отличием от классической постановки МКЭ является то, что матрица жесткости элемента составлена из узловых сил, определенных строгим решением

динамической задачи и не требует вычисления матрицы масс. При таком подходе возможен расчет только свободных колебаний стержневой системы.

В случае классической постановки МКЭ, альтернативным подходом повышения точности динамического расчета может быть использование функций форм элементов, отличных от полиномов. Например, Юлдашев О.И. и Юлдашева М.Б. в своих работах предлагают использовать гармонические конечно-элементные функции формы и описывают несколько алгоритмов для их определения. Точность расчета при таком подходе повышается существенно, однако, не учитывается в полной мере динамическое поведение элемента. Колебательные формы элементов могут не являться гармониками (или их суперпозициями), поэтому точный результат возможен при случайном совпадении функции формы с истинной колебательной формой элемента.

Детальные исследования существующих методов расчета стержневых конструкций привели к созданию подхода на основе динамического (частотно зависимого) конечного элемента (ДКЭ). При таком подходе для построения элемента в качестве функции формы используется точная колебательная форма, что приводит к высокоточному результату. При этом, погрешность будет зависеть только от численных методов решения частотного уравнения.

Поскольку стержневые системы широко распространены в строительстве, а методы расчета их динамики требуют дальнейшего развития, то разработка конечного элемента на основе аналитических (точных) решений уравнений колебаний является актуальной задачей.

Объектом исследования являются стержневые системы, подверженные воздействию динамических нагрузок.

Предметом исследования являются процесс расчета динамики стержневых систем методом конечных элементов, динамические внутренние силовые факторы, воздействие ударной нагрузки на стержневые системы.

Целью диссертационной работы является совершенствование методов расчета колебаний стержневой системы на основе динамического конечного элемента.

Для достижения поставленной цели определены основные задачи работы:

1. Построить динамический конечный элемент в виде стержня с помощью функций форм, полученных на основе аналитических решений уравнений колебаний для простых видов деформаций: растяжение, кручение, изгиб. Получить зависимости для коэффициентов матриц жесткости и инерции динамического конечного элемента.

2. Выполнить расчет свободных и вынужденных колебаний различных стержневых конструкций с помощью динамического конечного элемента. Получить

значения собственных частот и амплитудно-частотные характеристики. Оценить динамическое напряженно-деформированное состояние, а также движение систем в результате ударной нагрузки.

3. Показать эффективность применения динамического конечного элемента при анализе динамики стержневых конструкций путем сравнения полученных решений с известными аналитическими решениями для простых систем.

4. Выполнить оценку погрешностей расчета динамики стержневых конструкций при использовании классического подхода метода конечных элементов относительно динамического конечного элемента.

5. Сделать выводы, дать рекомендации и обозначить ограничения по применимости динамического конечного элемента к расчету динамики стержневых конструкций.

Научная новизна. При выполнении диссертационной работы получены следующие новые научные результаты:

- разработан специальный конечный элемент для анализа динамики стержневых конструкций, функции формы которого представляют собой точные колебательные формы стержней при различных видах деформаций: растяжение, кручение, изгиб;

- получены функциональные зависимости коэффициентов матриц жесткости и инерции от частот колебаний - собственных при свободных колебаниях, и вынужденных при внешнем воздействии;

- доказано, что динамический конечный элемент позволяет получить точное решение для стержневых конструкций в рамках классических положений строительной механики, а погрешность расчета определяется только методом решения частотного уравнения или интегрирования.

Теоретическая значимость работы:

- на основе аналитических решений уравнений колебаний при различных видах деформаций получены теоретические зависимости для коэффициентов матриц жесткости и инерции конечного элемента в виде стержня;

- теоретические зависимости коэффициентов матриц жесткости и инерции могут быть использованы для расчета динамики стержневых конструкций в классической постановке задач метода конечных элементов.

Практическая значимость работы:

- возможность получения точных результатов расчета динамики стержневых конструкций при минимальном числе конечных элементов;

- построенный динамический конечный элемент может быть внедрен в промышленные программные комплексы конечно-элементного анализа конструкций с целью получения высокоточных результатов оценки динамического поведения систем.

Методология и методы исследования. Теоретические исследования в области формирования функций форм для динамического конечного элемента основаны на классических положениях строительной механики, методах теории колебаний, теории дифференциальных уравнений и интегрального исчисления. Теоретические исследования в области решения задач динамики стержневых систем основаны на положениях метода конечных элементов и численных методах, теории удара. При проведении численного моделирования по методу конечных элементов были использованы методы программирования.

На защиту выносятся следующие положения:

- метод определения функций форм для динамических конечных элементов на основе аналитических решений уравнений движения стержня при различных видах деформаций;

- теоретические зависимости для определения коэффициентов матриц жесткости и инерции динамических конечных элементов;

- динамический конечный элемент как средство анализа стержневых конструкций при свободных, вынужденных колебаниях, а также при действии ударной нагрузки.

Достоверность научных положений и полученных результатов подтверждается их сравнением с известными аналитическими результатами, полученными с помощью фундаментальных методов строительной механики и теории колебаний.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах: международной научной конференции: «Открытия и достижения науки» (г. Москва, 2015); международной научной конференции: «Фундаментальная и прикладная наука» (г. Москва, 2015); научно-технический семинар в Юго-Западном государственном университете (г. Курск, 2016).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 5 работ в изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки Российской Федерации для публикации материалов диссертационных исследований.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных результатов и выводов по работе, списка литературы из 87 наименований. Работа содержит 91 страницу, в том числе 33 рисунка и 22 таблицы.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА 1.1.Описание проблемы

Методы расчетов стержневых конструкций формировались в процессе развития строительной механики. В истории развития строительной механики можно выделить два периода: «классический» (до появления вычислительных машин) и «численный» (после появления вычислительных машин). Классические методы позволяют получить точный (аналитический) результат. Однако, для большинства конструкций аналитическое решение получить затруднительно, поэтому численные (приближенные) методы являются обоснованно возможным подходом в исследовании поведения конструкций.

Развитие вычислительной техники, широкое её распространение и увеличение мощности ЭВМ способствовали появлению высокоточных и высокопроизводительных численных методов расчёта и обусловили широкое внедрение их в расчётную практику при проектировании конструкций. Современные численные методы расчета различных инженерных конструкций основаны на образовании дискретной модели с помощью элементов конечных размеров. Конструкцию можно рассматривать как некоторую совокупность конструктивных элементов, соединённых в конечном числе узловых точек. Если известны соотношения между силами и перемещениями для каждого отдельного конечного элемента (КЭ), то, используя известные приёмы строительной механики, можно описать свойства конструкции и исследовать её поведение в целом [5]. Однако, основным недостатком численных методов, является их погрешность.

Классические методы расчета стержневых систем с распределенными параметрами были разработаны в первой половине прошлого столетия и подробно изложены в литературе [1], [3]. В рамках классической теории использован ряд допущений. При выводе уравнения движения продольных колебаний стержней в основу положена гипотеза плоских сечений, а также не учитываются силы инерции, возникающие при поперечном движении частиц стержня [3]. При выводе уравнения поперечных колебаний предполагается, что ось стержня в недеформированном состоянии прямолинейна, а колебания точек поперечного сечения стержня происходят в плоскости, перпендикулярной упругой оси, и являются малыми [1]. Классическая теория обеспечивает высокоточную оценку динамического поведения конструкций и охватывает широкий класс практических задач.

Ниже приведен обзор методов расчета динамического поведения стержневых конструкций (классических и численных), где представлены вариации как классической теории, так и предложены неклассические варианты, позволяющие учесть некоторые конструктивные особенности стержневых элементов.

1.2. Состояние вопроса

В течение последних десятилетий было предложено большое количество методов расчета стержневых конструкций с целью получения точных результатов как в рамках классической теории, так за ее пределами, чтобы учесть различные эффекты. Для усовершенствования стержневой модели использовались различные подходы, которые, к примеру, учитывали сдвиговые деформации, использовали законы деформирования, основанные на решении Сен-Венана, вариационные асимптотические решения, обобщенную теорию и многое другое.

Первые исследования были сфокусированы на применении коэффициентов учета сдвиговых деформаций, чтобы повысить точность расчета, например, в работах [79], [76], [78], [55]. Коэффициенты учета сдвиговых деформаций обычно использовались с позиции статического анализа, что вызывало определённые ограничения. В связи с этим, в работе [57] показано, что коэффициенты учета сдвига могут зависеть от частоты собственных колебаний стержня. В дальнейшем, в работах [58] и [49] сделан акцент на том, что создание универсального подхода к определению коэффициентов учета сдвига довольно затруднительно.

Другой важный класс усовершенствованных методов, которые встречаются в литературе, основан на применении функций деформации. Важный вклад в данный метод внесен в работах [52], [50], [51], в том числе и применительно к анизотропным материалам [63], [64]. Подобный подход использован в работах [69] и [61] применительно к расчету свободных колебаний конструкций - здесь была введена депланация сечения без учета изменения формы в плоскости сечения.

Также в литературе предлагаются решения в виде асимптотического разложения в ряд в сочетании с вариационными методами. В частности, в работе [36] излагается обзор подобных исследований по развитию классической теории, которые оцениваются весьма перспективно. В дальнейшем, значительный вклад в этом направлении сделан в работах [80], [68], [87], [85], [86]. Другие исследования, связанные с развитием вариационных методов, опубликованы в работах [62] и [53].

Так, в работах [71] и [72] предложена так называемая обобщенная теория изгиба балок. Эта теория является развитием классической теории и предполагает кусочно-линейное описание тонкостенных сечений. Обобщенная теория получила широкое распространение и была расширена применительно к произвольным ортотропным материалам [73], [75], а также анализу устойчивости цилиндрических оболочек [74]. Обобщенная теория также применялась для динамического расчета тонкостенных элементов при сжатии и изгибе [35].

Теории более высоких порядков обычно получаются применением уточненных полей перемещений поперечных сечений балки. Например, установлено, каким образом применение произвольно выбранного поля перемещений приводит к точному решению трехмерной задачи в замкнутой форме [81]. В дальнейшем было предложено множество других теорий более высоких порядков, позволяющие выйти за рамки классической теории. Обзор таких теорий выполнен в работах [59] и [60], где особое внимание уделено изгибным деформациям, расчету колебаний, распространению волн, устойчивости и поведению конструкций после потери устойчивости.

Широкое распространение при расчете стержневых конструкций получил так называемый унифицированный подход [39], [46], [47], [40], [42]. Такой подход предполагает иерархическую формулировку, в которой в качестве неизвестного параметра принимается порядок модели N. Другими словами, уточненную модель можно получить без заранее определенного ее описания. Данный подход нашел свое применение при статическом - [41], [45] и динамическом [43], [44], [67] - анализе конструкций с произвольной геометрией, а также тонкостенных конструкций.

Метод динамической жесткости (МДЖ) нашел самое широкое применение при анализе свободных колебаний как стержневых конструкций [31], [29], [33], [34], [30], [28], [32], так и пластин [82], [83], [37], [38].

Согласно [65] в МДЖ используется так называемая точная динамическая матрица жесткости. Эта матрица записывается в частотной области с использованием динамических функций форм, полученных из точных волновых решений определяющих дифференциальных уравнений. Точные решения получаются переводом дифференциальных уравнений из временной области в частотную, полагая, что решение представляет собой гармоники определенной частоты.

Точная динамическая матрица жесткости является частотно зависимой и включает в себя инерционные, жесткостные и демпфирующие свойства элемента. Поскольку эта матрица формируется на основе частотно зависимых функций форм, полученных из точных решений, она автоматически учитывает непрерывное распределение массы внутри элемента [65]. Поскольку МДЖ основан на точных решениях дифференциальных уравнений колебаний, результат расчета также имеет высокую точность.

В работе [65] МДЖ получает развитие, в результате чего для динамического анализа конструкций предлагаются метод спектрального анализа (МСА) и метод спектральных элементов (МСЭ).

Метод спектрального анализа (МСА) предполагает быстрое преобразование Фурье (БПФ) определяющих дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных

уравнений представляется в виде суперпозиции бесконечного числа мод разной частоты. Метод МСА предполагает определение бесконечного числа спектральных компонентов (коэффициентов Фурье) в частотной области и затем выполнение обратного преобразования Фурье чтобы построить зависимость решения во времени [65].

Метод спектральных элементов (МСЭ) является совокупностью МДЖ и МСА [65]. Коротко алгоритм расчета по МСЭ можно сформулировать следующим образом. На первом этапе происходит дискретизация конструкции, затем формируется динамическая матрица жесткости согласно МДЖ. Далее динамическая матрица преобразуется по алгоритму быстрого преобразования Фурье (БПФ), решается система уравнений, выполняется обратное преобразование и получается решение, зависящее от времени, т.е. используются приемы МСА.

К основным недостаткам МДЖ, а также методов, полученных на его развитии, можно отнести то, что в данном случае возможен расчет только свободных колебаний конструкций. Механизм вынужденных колебаний здесь не реализуется.

Самым универсальным средством анализа конструкций любой сложности является метод конечных элементов.

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является одним из самых распространенных вычислительных методов и применяется в различных областях технических наук, в том числе и для исследования динамики конструкций. Согласно МКЭ, происходит дискретизация как жесткостных, так и инерционных параметров системы ([2], [4], [7], [12], [13]). Конструкция разбивается на элементы, связанные между собой в узлах. Каждый узел может иметь несколько степеней свободы. Перемещения узлов принимаются за обобщенные координаты системы. Перемещение любой точки и(г^), лежащей внутри элемента, находится по перемещениям узлов qi, с которыми связан этот элемент, т.е.

и(г, г) = ^(ОЪ(2), (1.2.1)

(

где: ^(г) - аппроксимирующие функции формы (например: базисные, координатные), выбранные таким образом, чтобы перемещения точек изменялись непрерывно как внутри элемента, так и на границах соседних элементов.

Из приведенного выше можно сделать вывод, что, применительно к расчету свободных колебаний, МКЭ представляет собой разновидность метода Рэлея-Ритца. Разница состоит лишь в том, что в методе Рэлея-Ритца координатные функции задаются едиными для всей системы, а в МКЭ - внутри каждого элемента принимаются свои аппроксимирующие функции формы.

При использовании аппроксимирующих функций форм как в статических, так и в динамических задачах, точное решение получить невозможно. Например, в случае динамики форма колебаний конструкции меняется в зависимости от частоты, и имеет малую длину волны на высоких частотах. Поскольку динамическое движение приемлемой точности можно получить только с учетом высокочастотных колебательных форм, то размер конечного элемента должен быть малым, сопоставимым с минимальной длиной волны колебательной формы.

Однако, в классической постановке МКЭ базисные функции представляют собой полиномы и не зависят от частоты колебаний [54]. Получить высокочастотные колебательные формы в таком случае затруднительно. Таким образом, решения по МКЭ не будут обладать приемлемой точностью, особенно на высоких частотах, когда длина колебательной волны имеет малое значение. Для получения более точного решения по МКЭ можно, например, увеличить число элементов, измельчив разбивку. Однако, такой подход приводит к значительному увеличению размерности задачи, и следовательно, с точки зрения вычислительных возможностей, МКЭ в классической постановке становится невыполнимым для большинства сложных конструкций. Известно, что для грубой оценки размер конечного элемента должен быть в 10-20 раз меньше длины колебательной волны конструкции на самой высокой рассматриваемой частоте [27].

В работе Желткова В.И. [6] рассматривается новый подход к решениям динамических задач для пространственных стержневых систем, основанный на применении метода конечных элементов с принципом «один стержень - один конечный элемент». Используются строгие решения уравнений движения линейно-упругого стержня, при этом уравнение для определения собственных частот является трансцендентным и решается численными методами. Для формирования матрицы жесткости системы применим тот же алгоритм прямой жесткости, что и в статических задачах МКЭ. Принципиальным отличием от классической постановки МКЭ является то, что матрица жесткости элемента составлена из узловых сил, определенных строгим решением динамической задачи и не требует вычисления матрицы масс [6]. Для определения собственных частот стержневой системы необходимо решить уравнение вида:

йе1[КА(ш)] = 0,

которое в отличие от классического уравнения динамической задачи МКЭ —

ш2Ма ] =0 не является обобщенной алгебраической проблемой собственных значений и требует применения численных методов решения трансцендентных уравнений [6].

Подход, применяемый Желтковым В.И., однозначно позволяет получить высокоточный результат для стержневых систем, поскольку точность решения определяется только выбором численного метода решения трансцендентного уравнения. Однако, как и в случае с МДЖ, здесь возможен расчет только свободных колебаний стержневой системы. Также, в данном случае не реализуется классическая постановка именно динамической задачи МКЭ.

Альтернативным подходом к увеличению точности решений является использование функций форм, которые могут меняться в зависимости от частоты колебаний. Такие функции формы позволят учесть колебательные формы на высоких частотах, при этом не потребуется разбивать систему на большое число элементов. Остановимся подробно на рассмотрении таких функций форм.

В настоящее время были предприняты попытки использования новых функций форм для решения задач динамики и получения точного результата. Проблемой достижения точного результата при расчете по методу конечных элементов активно занимаются как российские, так и зарубежные ученые.

Наибольший интерес в плане фундаментальных исследований представляют собой работы [25] и [26]. Данные исследования направлены на решения сложных эллиптических задач методом конечных элементов. При этом, очень важным является выбор конечно-элементного базиса [11], [77], [19], который влияет не только на скорость сходимости приближенных решений к точному, но и на скорость сходимости итерационных процессов решения дискретизованной задачи [24], [70].

В работе [26] приведено описание нескольких алгоритмов построения гармонических конечно-элементных базисных функций из специальных гильбертовых пространств.

Согласно первому алгоритму, для определения базисных функций используется метод коллокации. Базисная функция определяется в виде [26]

т

где а(1) - неизвестные коэфф /^(У) (х) выбираются функции

7 = 1

где а(1) - неизвестные коэффициенты, д(у) - индексная функция, ] = 1,... т, а в качестве

(1.2.3)

(1.2.4)

при х = (г, в, ф), апк = (2п + 1)(п- к)\/(п + к)\, которые вычисляются по реккурентным формулам и входят в общее представление решения задачи Дирихле для оператора Лапласа внутри сферы радиуса го [26]. Неизвестные коэффициенты находятся в результате решения системы

т

X а()^0)(х*) = 5(х1,х,)' 1 = 1 т■ (1-2'5)

¡=1

Индексная функция д(]~) подбирается так, чтобы система была разрешима [25]. Точность аппроксимаций с помощью N1 (х) определяется степенями гармонических многочленов, которые входят в функции fg{j), } = 1, ■■■т и для которых аппроксимационная формула (1.2.1) точна [26]. Согласно второму алгоритму [26]

т

(х) = Ь (*), (1.2.6)

¡=1

где выбираются последовательно из функций (1.2.3) и (1.2.4), а неизвестные коэффициенты находятся в результате решения системы [26]

т

^ | = | ^^ , 1 = 1,2-,т, (1.2.7)

] = 1 дш дш

где ЬI - лагранжевая граничная базисная функция. Точность приближений функциями N1 (х) зависит от точности аппроксимаций функциями Ьц, / = 1, „., т.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Цуканова, Екатерина Сергеевна, 2017 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бабаков И.М. Теория колебаний. - Наука: 1968 - 560 с.

2. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов / Пер. с англ. А.С. Алексеева и др.; под ред. А.Ф. Смирнова. - М.: Стройиздат, 1982 - 448с.

3. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. - М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.

4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир, 1984. -428 с.

5. Дьяков И. Ф., Чернов С. А., Черный А. Н. - Метод конечных элементов в расчётах стержневых систем. - Ульяновск: УлГТУ, 2010. - 133 с.

6. Желтков В.И. Чан Тхань Хай. Определение спектра свободных колебаний пространственной системы прямых однородных стержней // Известия ТулГТУ. - 2008. Выпуск 1. С. 58-65.

7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М: 1975. - 375 с.

8. Кеглин Б.Г., Цуканова Е.С. Динамический конечный элемент в строительной механике // Строительная механика и расчет сооружений. 2015. №4 (261), с. 45-53.

9. Кеглин Б.Г., Цуканова Е.С. Расчет свободных колебаний стержневых систем с применением динамического конечного элемента. Сборник трудов международной научной конференции: «Открытия и достижения науки». г. Москва, 30-31 июля 2015 г. Изд-во - М.: РусАльянс Сова, 2015, с. 80-92.

10. Колоушек В. Динамика строительных конструкций. - М.: Издательство литературы по строительству, 1965. - 632 с.

11. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

12. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. - М.: Высш. школа, 1985. - 392 с.

13. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. - Л., 1974 - 342 с.

14. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. - М.: Стройиздат, 1984. - 415 с.

15. Соболев В.И. Дискретно-континуальные динамические системы и виброизоляция промышленных грохотов. - Иркутск: изд. ИрГТУ, 2002. - 202 с.

16. Соболев В.И. Метод гармонического элемента в моделировании стационарных динамических процессов / В.И. Соболев, Т.Н. Черниговская // Вестник ВСГТУ. - 2009. -№ 2 (18). - С. 81-89.

17. Соболев В.И., Черниговская Т.Н. Построение прямоугольного гармонического элемента для моделирования колебаний плоской пластины. - Современные технологии. Моделирование. № 4(16), ИГУПС, 2007, с. 28-32.

18. Соболев В.И., Черниговская Т.Н. Прямоугольный гармонический элемент тонкой пластины. Труды XIV Байкальской международной школы-семинара. Иркутск, 2008, Т.4, с.135-143.

19. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с.

20. Цуканова Е.С., Кеглин Б.Г. Динамический конечный элемент // Вестник Брянского государственного технического университета. 2013. - №3(39). С. 69-78.

21. Цуканова Е.С. Динамический анализ стержневых систем методом конечных элементов при ударной нагрузке с применением динамического элемента // Вестник Брянского государственного технического университета. 2016 - №2(50). С. 68-77.

22. Цуканова Е.С. Расчет вынужденных колебаний стержневых систем методом конечных элементов с применением динамического конечного элемента // Вестник Брянского государственного технического университета. 2015. - №2(46). С. 93-103.

23. Цуканова Е.С. Оценка внутренних силовых факторов стержневых систем с применением динамического конечного элемента. Сборник трудов международной научной конференции: «Фундаментальная и прикладная наука». Чехия, г. Карловы Вары -Россия, г. Москва 27-28 ноября 2015 г. Изд-во - М.: РусАльянс Сова, 2015, с. 240-250.

24. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989. - 288 с.

25. Юлдашев О.И., Юлдашева М.Б. Гармонические базисные функции для конечных элементов высокого порядка аппроксимации // JINR LIT Scientific report 2006-2007. Dubna: JINR, 2007. 317-320.

26. Юлдашев О.И., Юлдашева М.Б. Конечно-элементные векторные узловые базисные функции из специальных гильбертовых пространств. JINR LIT Scientific Report 2008-2009, JINR, Dubna, 2009, c.105-108.

27. Alford, R.M., Kelly, K.R. and Boore, DM. (1974) Accuracy of finite difference modeling of the acoustic wave equation. Geophysics. 39 (6), 834-842.

28. Banerjee J.R., Cheung C.W., Morishima R., Perera M., Njuguna J. Free vibration of a three-layered sandwich beam using the dynamic stiffness method and experiment. International Journal of Solids and Structures. 44 (2007), 7543-7563.

29. Banerjee, J.R., "Coupled Bending-Torsional Dynamic Stiffness Matrix for Beam Elements". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 28 (1989), 1283-1298.

30. Banerjee J.R. Development of an exact dynamic stiffness matrix for free vibration analysis of a twisted Timoshenko beam. Journal of Sound and Vibration. 270 (2004), 379-401.

31. Banerjee, J.R. (1997) Dynamic stiffness formulation for structural elements: a general approach. Computers & Structures. 63 (1), 101-103.

32. Banerjee, J.R., Fisher, S.A., "Coupled Bending-Torsional Dynamic Stiffness Matrix for Axially loaded Beam Elements". International Journal for Numerical Methods in Engineering. 33 (1992), 739-751.

33. Banerjee J.R. Free vibration analysis of a twisted beam using the dynamic stiffness method. International Journal of Solids and Structures. 38 (2001), 6703-6722.

34. Banerjee J.R. Free vibration of sandwich beams using the dynamic stiffness method. Computers and Structures. 81 (2003), 1915-1922.

35. Bebiano R., Silvestre N., Camotim D., Local and global vibration of thin-walled members subjected to compression and non-uniform bending. Journal of Sound and Vibration. 345 (2008), 509-535.

36. Berdichevsky V.I., Armanios A. Badir. Theory of anisotropic thin-walled closed-cross-section beams. Composite Engineering. 2 (1992), 411-432.

37. Boscolo M., Banerjee J. Dynamic stiffness formulation for composite Mindlin plates for exact modal analysis of structures. Part I: Theory. Computers and Structures. 96-97 (2012), 61-73, http://dx.doi.org/10.10167j.compstruc.2012.01.002.

38. Boscolo M., Banerjee J. Dynamic stiffness formulation for composite Mindlin plates for exact modal analysis of structures. Part II: results and applications. Computers and Structures. 96-97 (2012) 74-83, http//dx.doi.org/10.1016/j.compstruc.2012.01.003.

39. Carrera E. A class of two dimensional theories for multilayered plates analysis. Atti Accademia delle Scienze di Torino, Memorie Scienze Fisiche. 19-20 (1995), 49-87.

40. Carrera E., Brischetto S. Analysis of thickness locking in classical, refined and mixed multilayered plate theories. Composite Structures. 82 (2008), 549-562.

41. Carrera E., Giunta G., Nali P., Petrolo M. Refined beam elements with arbitrary cross-section geometries. Computers and Structures. 88 (2010), 283-293, http://dx.doi.org/10.1016/j.compstruc.2009.11.002.

42. Carrera E., Giunta G., Petrolo M., Beam Structures: Classical and Advanced Theories, John Wiley & Sons: http//dx.doi.org/10.1002/9781119978565.

43. Carrera E., Petrolo M., Nali P. Unified formulation applied to free vibrations finite element analysis of beams with arbitrary section. Shock and Vibrations. 18 (2011), 485-502, http://dx.doi.org/10.3233/SAV-2010-0528.

44. Carrera E., Petrolo M., Varello A. Advanced beam formulations for free vibration analysis of conventional and joined wings. Journal of Aerospace Engineering. 25 (2012), 282-293, http//dx.doi.org/10.1061/(ASCE)AS.1943-5525.0000130.

45. Carrera E., Petrolo M., Zappino E. Performance of CUF approach to analyze the structural behavior of slender bodies. Journal of Structural Engineering. 138 (2012), 285-297, http//dx.doi.org/10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0000402.

46. Carrera E. Theories and finite elements for multilayered, anisotropic, composite plates and shells. Archives of Computational Methods in Engineering. 9 (2002), 87-140.

47. Carrera E. Theories and finite elements for multilayered and shells: a unified compact formulation with numerical assessment and benchmarking. Archives of Computational Methods in Engineering. 10 (2003), 216-296.

48. Cleghorm, W.L. and Tabarrok, B. Finite Element Formulation of a Tapered Timoshenko Beam for Lateral Vibration Analysis. Journal of Sound and Vibration. No. 3, 152 (1992), 461-470.

49. Dong S.B., Alpdongan C., Taciroglu E. Much ado about shear correction factors in Timoshenko beam theory. International Journal of Solids and Structures. 47 (2010), 1651-1665.

50. El Fatmi R. Non-uniform warping including the effects of torsion and shear forces. Part I: a general beam theory. International Journal of Solids and Structures. 44 (2007), 5912-5929.

51. El Fatmi R. Non-uniform warping including the effects of torsion and shear forces. Part II: analytical and numerical applications. International Journal of Solids and Structures. 44 (2007), 5930-5952.

52. El Fatmi R. On the structural behavior and the Saint Venant solution in the exact beam theory: application to laminated composite beams. Computers and Structures. 80 (2002), 1441-1456.

53. Firouz-Abad R.D., Haddadpour H., Novinzadehb A.B. An asymptotic solution to transverse free vibrations of variable section beams. Journal of Sound and Vibration. 304 (2007), 340-350.

54. Gupta, K.K. and Lawson, C.L. Development of Block Lanczos Algorithm for Free Vibration Analysis of Spinning Structures. International Journal for Numerical Method in Engineering. 26 (1988), 1029-1037.

55. Hutchinson J.R. Shear coefficients for Timoshenko Beam Theory. Journal of Applied Mechanics. (68) 2001, 87-92.

56. Idesman A., Pham D., Foley J.R., Schmidt M. Accurate solutions of wave propagation problems under impact loading by the standard, spectral and isogeometric high-order finite

elements. Comparative study of accuracy of different space-discretization techniques. Finite Elements in Analysis and Design. 88 (2014), 67-89.

57. Jensen J.J. On the shear coefficient in Timoshenko's beam theory. Journal of Sound and Vibration. 87 (1983), 621-635.

58. Kaneko T. On Timoshenko's correction for shear in vibrating beams. Journal of Physics D. Applied Physics. 8 (1975), 1927-1937.

59. Kapania K., Raciti S. Recent advances in analysis of laminated beams and plates. Part I: shear effects and buckling. AIAA Journal. 27(1989), 923-935.

60. Kapania K., Raciti S. Recent advances in analysis of laminated beams and plates. Part II: vibrations and wave propagation. AIAA Journal. 27(1989), 935-946.

61. Kim C., White S.R. Thick-wall composite beam theory including 3-D elastic effects and torsional wraping. International Journal of Solids and Structures. 34 (1997), 4237-4259.

62. Kim J.S., Wang K.W. Vibration analysis of composite beams with end effects via the formal asymptotic method. Journal of Vibration and Acoustics. 132 (2010), 041003.

63. Ladeveze P., Sanchez P., Simmonds J. Beamlike (Saint-Venant) solutions for fully anisotropic elastic tubes of arbitrary closed cross-section. International Journal of Solids and Structures. 41 (2004), 1925-1944.

64. Landeveze P., Simmonds J. New concepts for linear beam theory with arbitrary geometry and loading. European Journal of Mechanics and Solids. 17 (1998), 377-402.

65. Lee U. Spectral Element Method in Structural Dynamics (2009). John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd. ISBN: 978-0-470-82374-3

66. Leung, A.Y.T. Dynamic Stiffness and Substructures. London: Springer-Verlag Limited, 1993. — VIII, 242 p.

67. Petrolo M., Zappino E., Carrera E. Refined free vibration analysis of one-dimensional structures with compact and bridge-like cross-sections. Thin- Walled Structures. 56 (2012), 49-61, http//dx.doi.org/10.1016/j.tws.2012.03.011.

68. Popescu B., Hodges D.H. On asymptotically correct Timoshenko-like anisotropic beam theory. International Journal of Solids and Structures. 37 (2000), 535-558.

69. Rand O. Free vibration of thin-walled composite blades. Composite Structures. 28 (1994), 169-180.

70. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. Boston: PWS Publishing Company, 1996.

71. Schardt R. Eine erweiterung der technischen biegetheorie zur berechnung prismatischer faltwerke (Extension of the engineer's theory of bending to the analysis of folded plate structures). Der Stahlbau. 35 (1966), 161-171.

72. Schardt R. Generalized beam theory an adequate method for coupled stability problems. Thin-Walled Structures. 19 (1994), 161-180.

73. Silvestre N., Camotim D. First-order generalized beam theory for arbitrary orthotropic materials. Thin-Walled Structures. 40 (2002), 755-789.

74. Silvestre N. Generalized beam theory to analyze the buckling behavior of circular cylindrical shell sand tubes. Thin-Walled Structures. 45 (2007), 185-198.

75. Silvestre N. Second-order generalized beam theory for arbitrary orthotropic materials. Thin-Walled Structures. 40 (2002), 791-820.

76. Sokolnikoff I.S. Mathematical Theory of Elasticity, McGraw-Hill, 1956. - 476 pp.

77. Solin P. Partial differential equations and the finite element method. Wiley interscience, 2006. - 499 pp.

78. Stephen N.G. Timoshenko's shear coefficient from a beam subjected to gravity loading. Journal of Applied Mechanics. 68 (2001), 87-92.

79. Timoshenko S.P., Goodier J.N. Theory of Elasticity, McGraw-Hill, 1970. - 506 pp.

80. Volovoi V.V., Hodges D.H., Berdichevsky V.I., Sutyrin V.G. Asymptotic theory for static behavior of elastic anisotropic I-beams. International Journal of Solids and Structures. 36 (1999), 1017-1043.

81. Washizu K., Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon, Oxford, 1968. - 420 pp.

82. Wittrick W.H. A unified approach to initial buckling of stiffened panels in compression. International Journal of Numerical Methods in Engineering. 11 (1968), 1067-1081.

83. Wittrick W.H., Williams F.W. Buckling and vibration of anisotropic or isotropic plate assemblies under combined loadings. International Journal of Mechanical Sciences. 16 (1974), 209-239.

84. Williams F.W., Wittrick W.H. Automatic Computational Procedure for Calculating Natrual Frequencies of Skeletal Structures. International Journal of Mechanical Science. 12 (1970), 781-791.

85. Yu W., Hodges D.H. Elasticity solutions versus asymptotic sectional analysis of homogenious, isotropic, prismatic beams. Journal of Applied Mechanics. 71 (2004), 15-23

86. Yu W., Hodges D.H. Generalized Timoshenko theory of the variational asymptotic beam sectional analysis. Journal of the American Helicopter Society. 50 (2005) 46-55.

87. Yu. W., Volovoi V.V., Hodges D.H., Hong X. Validation of the variational asymptotic beam sectional analysis (VABS). AIAA Journal. 40 (2002), 2105-2113.