Проектирование стержневых систем с оптимальным распределением материала и внутренних усилий при учете ограничений прочности и устойчивости плоской формы изгиба тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Тухфатуллин, Борис Ахатович

• Тухфатуллин, Борис Ахатович
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Тухфатуллин, Борис Ахатович

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

Введение

1. Проблемы проектирования стержневых систем с оптимальным распределением материала и внутренних усилий

1.1. Регулирование внутренних усилий: цели, приемы создания, анализ

1.2. Краткий обзор методов проектирования конструкций с оптимальным распределением материала и внутренних усилий

1.1. Выводы к главе 1

2. Проектирование стержневых систем с оптимальным распределением материала и внутренних усилий при учете требований прочности и устойчивости

2.1. Переменные проектирования: размеры сечений и усилия регулирования. Функция цели

2.2. Дискретная модель. Матрицы изгибной, крутильной и геометрической жесткости

2.3. Матрицы геометрической жесткости для особых случаев загружения. Численные результаты

2.4. Поиск оптимального распределения материала и внутренних усилий при учете требований прочности и устойчивости плоской формы изгиба

3. Метод последовательных приближений в задаче поиска оптимального распределения материала и внутренних усилий

3.1. Уравнение связи между критической нагрузкой плоской формы изгиба и размерами сечений

3.2. Метод последовательных приближений в задаче поиска оптимального распределения материала

3.3. Выбор метода оптимизации. Применение одномерного поиска для решения задачи на условный экстремум

3.4. Определение наилучшего распределения внутренних усилий

3.5. Численные примеры

4. Оптимальное проектирование стержневых систем при нагрузках и усилиях регулирования, заданных пределами изменения

4.1. Постановка задачи

4.2. Уравнение связи между критической нагрузкой и усилиями регулирования

4.3. Поиск оптимального распределения материала и внутренних усилий при

(Л

заданных пределах изменения внешней нагрузки и усилий регулирования

Заключение

Литература

<г

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проектирование стержневых систем с оптимальным распределением материала и внутренних усилий при учете ограничений прочности и устойчивости плоской формы изгиба»

ВВЕДЕНИЕ

Проблема оптимального проектирования стержневых систем связана в общем случае с решением двух задач: поиском оптимального распределения материала по длине конструкции и определением наиболее выгодного распределения внутренних усилий.

Идея регулирования усилий изменением уровня опор в неразрезных конструкциях была предложена в середине XIX века Г. Шефнером и развита О. Мором. Первоначально регулирование усилий предназначалось для создания равнопрочных конструкций. По мере развития строительной механики задачи регулирования ставились в целях повышения устойчивости, жесткости конструкций, изменения их динамических характеристик.

С появлением и развитием теории оптимизации задачи регулирования усилий стали ставиться как задачи оптимального проектирования. Значительный вклад в решение этой проблемы внесли труды отечественных и зарубежных ученых: Н.П. Абовского, В.В. Бирюлева, А.И. Виноградова, Г.И. Гребенюка, Л.Г. Горынина, И.Б. Лазарева, В.Я. Михайлищева, Я.И. Олькова, 3. Пираса, В.А. Пермякова, Ю.А. Радцига, Б.А. Сперанского, К.Х. Толмачева, В.В. Трофимовича, И.С. Холопова, У. Кирш, Р. Леви, 3. Мруза, Д. Рожваны, М. Тохачека, Л. Фелтон и др.

Анализ работ по проектированию стержневых систем с регулированием усилий показал, что наиболее полно к настоящему времени исследована проблема поиска системы минимального объема с оптимальным распределением внутренних усилий при учете требований прочности. При этом в каждом сечении конструкции варьируют только одним параметром. Использование в качестве второго физического ограничения условия общей устойчивости конструкции позволяет увеличить число варьируемых параметров в сечении до двух. Для систем с преобладающим изгибом важно выполнение условия устойчивости плоской формы изгиба.

Таким образом, без должного внимания исследователей осталась задача оптимального проектирования стержневых систем при одновременном варьировании переменными проектирования (размерами сечений) и параметрами состояния (усилиями регулирования). К ограничениям задачи относятся условия прочности, устойчивости плоской формы изгиба и конструктивные требования. Оптимальный проект при большом количестве участков различной жесткости не является технологичным с точки зрения изготовления и эксплуатации. Включение усилий регулирования в число оптимизируемых переменных позволит получить проекты с небольшим числом варьируемых типоразмеров сечений, сопоставимые по объему с оптимальными проектами переменной жесткости без регулирования усилий. Оптимальные системы с регулированием внутренних усилий чувствительны к изменению уровня напряжений в период эксплуатации, что требует учета возможного изменения усилий регулирования при проектировании конструкции.

Решению этой проблемы посвящена данная работа.

Диссертация выполнена на кафедре строительной механики Томского Государственного архитектурно-строительного университета в соответствии с темой 3.2.1.2 "Разработка методов оптимального проектирования конструкций" межвузовской научно-технической программы "Архитектура и строительство".

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.

В первой главе производится анализ проблемы проектирования стержневых систем с оптимальным распределением материала и внутренних усилий. Рассмотрены различные приемы регулирования внутренних усилий. Произведен обзор работ, выполненных по исследуемой проблеме. На основе проведенного анализа сформулированы цель и задачи диссертационной работы.

Во второй главе произведен выбор варьируемых переменных, ограничительных и целевой функции задачи оптимального проектирования. Для анализа устойчивости плоской формы деформирования предложена дискретная модель и алгоритм расчета систем, загруженных произвольной нагрузкой. На основе метода жестких конечных элементов получены матрицы из-гибной, крутильной и геометрической жесткости. Приводятся численные результаты различных задач анализа устойчивости. Предложен алгоритм решения задачи проектирования стержневых систем с оптимальным распределением материала и внутренних усилий при учете требований прочности и устойчивости плоской формы изгиба.

В третьей главе исследованы вопросы формирования ограничения по устойчивости плоской формы изгиба. Получены выражения, связывающие величину критической нагрузки с размерами сечений. Обосновывается возможность применения метода последовательных приближений для решения задачи поиска оптимального распределения материала. Произведен анализ методов нелинейного программирования и осуществлен выбор одного из них для решения поставленной задачи. Приводятся результаты решения ряда задач с использованием предложенного алгоритма.

В четвертой главе получено уравнение связи между величиной критической нагрузки плоской формы изгиба и усилиями регулирования на основе решения многопараметрической задачи устойчивости. На различных примерах показана возможность применения данного уравнения для определения критической нагрузки. Предложен алгоритм оптимального проектирования стержневых систем при нагрузках и усилиях регулирования, заданных пределами изменения.

Основные выводы проведенных исследований приводятся в заключении

1. ПРОБЛЕМЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С ОПТИМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ МАТЕРИАЛА И

ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ

1.1. Регулирование внутренних усилий:

цели, приемы создания, анализ

ХТри проектировании сооружений инженеру приходиться решать ряд задач, в число которых входят:

1) выбор расчетной схемы;

2) определение внутренних усилий в сечениях от расчетной нагрузки;

3) подбор сечений и конструирование отдельных элементов и всего сооружения в целом.

Расход материала на сооружение, трудоемкость его возведения или усиления существенным образом зависят от того, как решены поставленные выше задачи. Ясно, что чем больше "рычагов воздействия" на конструкцию будет в руках у проектировщика, тем более удачной окажется конструкция как по расходу материала, так и по трудоемкости изготовления и монтажа.

Одним из таких мощных "рычагов" управления поведением конструкции является регулирование внутренних усилий. С использованием различных приемов регулирования решаются задачи по уменьшению расхода материала, увеличению жесткости конструкции, повышению устойчивости.

Перечислим основные приемы регулирования внутренних усилий [48,

90]:

1. Изменение геометрической схемы сооружения. К этому способу относятся выбор очертания осей, места постановки шарниров и опор.

2. Регулирование изменением жесткостных характеристик элементов сооружения. К этому способу относятся выбор типа и назначение размеров

поперечных сечений, выбор материала, из которого изготавливаются отдельные элементы, конструктивные решения узлов сопряжения и опирания.

3. Регулирование путем введения дополнительных напрягаемых элементов. В этом случае на основную конструкцию накладывается дополнительная, в которой различными способами создают начальное напряжение. В качестве дополнительной конструкции могут выступать продольные напрягаемые элементы из высокопрочной стали (затяжки ) или специальная упругая конструкция (шпренгель).

4. Регулирование усилий, создаваемое упругими деформациями элементов. При этом в части конструкции путем изгиба или растяжения создаются начальные напряжения с последующим соединением элементов.

5. Регулирование внутренних усилий путем смещения опор. Этот способ, широко распространенный в пролетных строениях мостов, в последнее время завоевывает все большее внимание при проектировании каркасов промышленных и гражданских зданий, галерей, трубопроводов и других конструкций [10].

Очевидно, что чем больше приемов регулирования будет использовано, тем более удачной окажется конструкция. Однако при уменьшении объема материала, расходуемого на конструкцию, возрастает трудоемкость ее изготовления и монтажа, что приводит к увеличению стоимости конструкции в "деле". С этой точки зрения наиболее предпочтительным оказывается вариант, в котором регулирование усилий осуществляется путем рационального выбора расчетной схемы с последующим поиском наилучшего распределения жесткостных характеристик в комбинации с принудительным смещением опор. Именно этот способ не требует дополнительных затрат материала при создании усилий регулирования и наименее трудоемок.

1.2. Краткий обзор методов проектирования конструкций с

оптимальным распределением материала и внутренних усилий

Задача поиска оптимальной с точки зрения расхода материала системы с наилучшим распределением внутренних усилий давно привлекла внимание исследователей [2, 19, 26, 37]. В работах А.И. Виноградова [17] и С.Х. Гай-нуллиной [23] было показано, что в статически неопределимой системе, распределение внутренних усилий, отвечающее наименьшему расходу материала, не может быть реализовано без предварительного напряжения. В [20] говорится, что "в большинстве случаев минимум стоимости систем с начальными усилиями (абсолютный минимум) оказывается строго меньше стоимости статически неопределимой системы без начальных усилий".

Одной из первых работ, выполненных в данном направлении, была работа A.A. Васильева [13]. Для стальной разрезной балки определялись размеры поперечного сечения, длины и усилия в напрягаемом элементе, расположенном в уровне нижнего пояса. Учитывались требования прочности для поясов и стенки балки и напрягаемого элемента. После решения системы уравнений, представляющих собой условия равнопрочности для поясов и затяжки, получены параметры, определяющие оптимальные размеры^попереч-ного сечения. Аналогичная задача, но для затяжки, расположенной ниже уровня нижнего пояса, решена в [38]. Вопросы определения оптимальной высоты предварительно напряженного ригеля двухшарнирной рамы и усилия в затяжке рассматривались в работе [22]. Расчету трехпролетной рамы заданной жесткости посвящена работа [25].

Расчет статически неопределимых ферм рассматривался многими авторами [15, 28, 41, 66, 68, 69, 71, 72, 74]. Для решения задачи использовались методы зеркальных функций [15, 72], целочисленное программирование [41], динамическое программирование [66], метод наименьших квадратов [68, 69]. Для решения задачи поиска оптимального распределения материала

в статически неопределимой ферме при ограничениях прочности и устойчивости в работе [74] использовался метод последовательных приближений.

Все перечисленные работы основаны на применении условия равно-прочности. Ряд работ [13, 38] представляют собой обратную задачу строительной механики, когда заранее задается напряженно-деформированное состояние (НДС) системы, а затем определяются управляющие параметры

(размеры сечений, усилия регулирования), реализующие заданное НДС. В

V

ряде работ [20, 41, 66, 74, 104] введением условия равнопрочности удается представить целевую функцию - вес или стоимость системы в виде функции от внутренних усилий - изгибающих моментов или продольных сил. Наилучшее распределение последних достигается путем введения в систему начальных усилий. Однако требование равнопрочности не всегда является необходимым условием минимума веса [97]. Последнее имеет место для конструкций, работающих на несколько загружений, при учете кроме требований прочности условия устойчивости и ограничений, накладываемых на размеры сечений элементов. В этом случае не удается свести задачу к решению системы нелинейных уравнений. Одной из первых удачных попыток решить задачу, не используя условия равнопрочности, была работа М. Тохачека [147], в которой расчет предварительно-напряженной фермы сведен к решению задачи линейного программирования. Переменными задачи являются площади поперечных сечений стержней и усилия в напрягаемых связях. Условие прочности для каждого стержня записывается в виде неравенства. Для линеаризации ограничений вводится допущение о постоянстве коэффициентов продольного изгиба для сжатых стержней.

Следующим шагом в решении этой проблемы можно считать работу Л. Хофмейстера и Л. Фелтона [125], в которой предложен общий метод учета предварительно напряженного состояния при проектировании статически неопределимых систем минимального веса. Проблема проектирования формулируется в виде:

минимизировать вес системы W(x) при ограничениях

gj(x)>09 j = l,2,...m

/___Л J* rp

где [х} = {л: , хр } вектор переменных, включающих в себя вектор

проектных переменных (размеров или площадей поперечных сечений) {х}= [х],х2,...,хп} и вектор переменных, связанных с предварительным

напряжением {xp}-{xip,x2p,...,xsp}.

( ч

Допускается, что усилия предварительного напряжения не оказывают влияния на вес конструкции, поэтому функция цели зависит только от х. Влияние усилий предварительного напряжения осуществляется через ограничительные функции задачи gj(x), за которые приняты условия прочности в период монтажа и эксплуатации. Для решения задачи нелинейного программирования используется метод штрафных функций [119] с последующим решением задачи безусловной минимизации методом Дэвидона-Флетчера-Пауэлла [122]. В следующей работе в дополнение к условию прочности вводится условие местной устойчивости [118]. Поперечное сечение элемента описывается двумя параметрами. Показано, что для получения системы минимального веса необходимо, чтобы каждый элемент конструкции находился на грани местной потери устойчивости. В этом случае удается переформулировать исходную задачу так, чтобы в качестве переменных на каждом участке выступали моменты инерции. Для решения задачи предложена итеративная процедура поиска точки пересечения ограничений по прочности и местной устойчивости. В [134] поперечное сечение оптимизируемых тонкостенных элементов описывается четырьмя параметрами: высотой сечения,

и _ _____и ТЛ V

ширинои полки, толщинои полки и стенки. В качестве ограничении выступают условия прочности и местной устойчивости полок и стенки. На величину касательных напряжений накладывается ограничение с целью исключить возможную потерю устойчивости стенки при сдвиге. Введением ряда пред-

положений, аналогичных [118], число независимых проектных переменных в каждом сечении сведено до двух - момента инерции и высоты стенки. В работе [116] предложено распространить алгоритм [118] на случай предварительно напряженной конструкции. Отмечается, что при перераспределении внутренних усилий достигается экономия веса до 8 %.

Наряду с попытками создать общий алгоритм, в котором в качестве переменных выступали размеры поперечных сечений, параметры формы и материала элемента, координаты узлов системы, места постановки связей и реакции в них [67], решались задачи по проектированию конкретных конструкций. При этом к условию прочности добавлялись условие жесткости, конструктивные ограничения и т.д. Рассмотрим результаты решения некоторых задач.

В работе [105] определяются размеры поперечных сечений двутавровой балки (площади верхнего и нижнего поясов, стенки), площадь сечения затяжки при учете требований прочности, жесткости, устойчивости и конструктивных ограничений согласно норм проектирования. Для решения задачи используется метод скользящего допуска [122]. Усилие в затяжке считается заданным.

Оптимальное проектирование моста рамной системы рассматривается в работе [114]. Ограничения для сжато-изогнутых элементов записываются с использованием формулы Ясинского. Ядровое расстояние (отношение момента сопротивления к площади сечения) считается неизменным на каждой итерации. Подобное допущение линеаризует ограничения и задача минимизации объема представляет собой задачу линейного программирования. Неизвестными являются площади поперечных сечений и усилия предварительного напряжения. Подобный прием линеаризации ограничений широко использовался для оптимизации неразрезных балок и ферм [138], перекрестных [31, 108] и комбинированных систем [ 111]. Отметим, что в некоторых частных случаях проблема проектирования конструкций с оптимальным рас-

пределением материала и внутренних усилий представляет собой задачу линейного программирования без введения подобных [31, 108, 114] допущений. Это имеет место при проектировании неразрезных балок постоянной высоты, подверженных одному загружению при учете ограничений по прочности [50, 82]. После введения условия равнопрочности целевая функция записывается в виде функции от расчетных внутренних усилий.

Ограничения задачи выражают условие, чтобы расчетное усилие явля-

ч

лось наибольшим по абсолютной величине из двух значений по границам участков постоянной жесткости. Для балки постоянной ширины подобный алгоритм приводит к минимизации нелинейной относительно усилий регулирования целевой функции [51]. Устойчивость конструкции считается обеспеченной.

В работе [113] к условию прочности проектируемой конструкции добавляется условие жесткости. При найденном из условия прочности наилучшем распределении материала и внутренних усилий определяется дополнительный расход материала, обеспечивающий выполнение условия жесткости. При новом распределении материала корректируются усилия регулирования, что позволяет уменьшить размеры поперечных сечений конструкции. Итерационный процесс повторяют до совпадения с заданной точностью результатов двух смежных циклов. Для прочностного расчета используют линейное программирование, для оптимизации по жесткости - вариант метода отсекающих плоскостей Келли [92].

В ряде работ в качестве приема регулирования внутренних усилий используется предварительное упругое деформирование элементов. Вопросы оптимального проектирования рассматриваются для стальных [42], бисталь-ных балок [12], ферм [49, 131]. В решетчатых конструкциях регулирование усилий можно осуществлять путем заданного отклонения длин стержней от проектных размеров. При сборке конструкции в элементах системы возникают начальные напряжения. Оптимальное с точки зрения расхода материа-

ла распределение начальных напряжений отыскивается в работе [117] на основе метода возможных направлений Зойтендейка [39], а после введения ряда допущений при помощи решения задачи линейного программирования [112, 141].

Большое внимание исследователей было привлечено к вопросу выбора оптимальных размеров поперечного сечения, траектории армирования и усилий предварительного напряжения железобетонных конструкций [60, 137, 139], сталежелезобетонных конструкций [21, 27, 103]. Большое число работ посвящено оптимальному проектированию комбинированных систем [44, 79, 80, 81, 110]. В ряде работ оптимальное регулирование усилий осуществлялось с целью усиления эксплуатируемых конструкций [40, 61, 94, 126].

Наряду с поиском оптимального распределения материала и внутренних усилий осуществляется постановка и решение задач синтеза конструк-

KJ -Г-Ч u v>

ции. В этом случае, кроме размеров сечении и усилии регулирования, в качестве варьируемых переменных выступают параметры геометрической схемы сооружения: места постановки стоек в шпренгельной балке [107], длины стоек [115], число панелей, схема решетки фермы [66, 73], высота фермы [109] и размер панели [24], расстояние между узлами крепления вант в комбинированных системах [44, 79, 80, 81, 110]. В ряде работ определяется наилучшее с точки зрения расхода материала расположение опорных связей [75, 99, 136, 142, 143, 146]. Расположение опор, минимизирующее податливость балки, определяется в [100, 140].

В работе А.И. Виноградова [18] предложен метод построения наивыгоднейших эпюр внутренних усилий в системах с упругоподатливыми связями. Определение оптимальных жесткостей упругих опор и распределение материала по длине конструкции проводится в работе [96]. В работе [64] сформулирована задача проектного расчета оптимальной балки с упругими опорами, податливость которых может варьироваться. В работах [54, 55] определяются места постановки упругих связей и их жесткости, повышающие

частоту основного тона колебаний (первую критическую силу) системы до заранее заданного значения. В работе [52] производится регулирование собственных частот упругой системы путем наложения дополнительных связей и масс. Вопрос сейсмостойкости предварительно напряженных систем рассмотрен в [88].

Оптимизация нелинейно-упругих статически неопределимых систем проводится в работе [6]. При возможном изменении геометрии системы и расчетной схемы сооружения с односторонними связями определяются усилия предварительного напряжения, при которых запас по прочности или жесткости оказывается наибольшим.

Отметим, что библиография работ по оптимальному проектированию конструкций приводится в монографиях отечественных и зарубежных ученых [1, 45, 56, 59, 70, 84, 85, 91, 93, 97, 106, 123, 124, 128, 135] и в обзорах [9, 35, 76, 127, 130].

Наиболее полно рассмотрена задача оптимального проектирования стержневых систем минимального объема (веса) с наивыгоднейшим распределением внутренних усилий при учете ограничений прочности. Учет одного ограничения позволяет варьировать в каждом сечении конструкции только одним параметром. При определении оптимальной площади поперечного сечения (высоты, ширины сечения), вопрос о назначении остальных размеров сечения остается открытым. Исключение составляют рассмотренные выше работы [116, 118, 134], в которых число варьируемых параметров составляет два и более. Однако в работах [116, 118, 134] оставлена без внимания возможность потери общей устойчивости конструкции. Известно, что в балке прямоугольного поперечного сечения рассчитанной из условия прочности (жесткости) уменьшение веса происходит при неограниченном росте высоты сечения. Это вступает в противоречие с требованием устойчивости плоской формы изгиба. Следовательно, условие устойчивости необходимо вводить в число ограничений задачи.

Вопросы оптимального проектирования статически определимых балок при учете требований прочности и устойчивости рассмотрены в работах [33, 144]. В работе [98] задача оптимального проектирования тонкостенной банки коробчатого поперечного сечения дополняется ограничением по жесткости. В вышеперечисленных работах ограничения записываются в виде равенств, что позволяет свести задачу к вариационной. При учете дополнительных ограничений, например условия прочности по касательным напряжениям [33], число ограничений превышает число варьируемых параметров в сечении и задача становится переопределенной. В [33] предлагается записывать ограничения задачи в виде неравенств, и перейти к задаче математического программирования. В работах [33, 98] рассматриваются статически определимые конструкции, что исключает регулирование внутренних усилий.

Среди работ по оптимальному" проектированию с учетом устойчивости плоской формы изгиба есть постановка и решение следующей задачи. Задана величина расхода материала на конструкцию. Требуется распределить материал, варьируя высотой (шириной) сечения так, чтобы вели^ша критической нагрузки стала максимальной [148]. В аналогичной постановке рассмотрены задачи оптимального проектирования балок [133] и арок [132] с поперечным сечением в виде двутавра. В [149] определяется оптимальное положение внутренних опор, максимизирующих величину критической нагрузки плоской формы изгиба двутавровой балки.

1.3. выводы к главе 1

Анализ работ по проектированию конструкций с оптимальным распределением материала и внутренних усилий позволяет сделать следующие выводы:

1. Введение в число варьируемых параметров усилий регулирования позволяет значительно улучшить решение, полученное без регулирования внутренних усилий. Наилучшим с точки зрения расхода материала и трудоемкости создания является для статически неопределимых систем способ регулирования усилий путем принудительного смещения опор.

2. Наиболее полно к настоящему времени отражена в работах задача оптимального проектирования конструкций с регулированием внутренних усилим при учете требований прочности. Получены решения для статически неопределимых балок, рам, ферм, перекрестных и комбинированных систем.

3. В большинстве работ не учитывается возможность потери устойчивости конструкции. Введение условия устойчивости позволяет увеличить число варьируемых параметров в сечении и приблизить оптимизационную задачу к реальным задачам проектирования конструкций.

4. В литературе отсутствуют выражения, позволяющие определять величину критической нагрузки плоской формы изгиба в функции от размеров сечений. Исключение составляют статически определимые балки постоянного сечения, загруженные распределенной нагрузкой и (или) сосредоточенной силой. Проверка ограничения по устойчивости для каждого распределения жесткостей в конструкции делает задачу громоздкой.

5. Оптимальные конструкции, в которых различными способами создано предварительное напряжение, оказываются чувствительными к возможным изменениям уровня напряжений в период эксплуатации. Это обстоятельство требует учета возможного изменения усилий регулирования на стадии оптимального проектирования.

6. К настоящему времени отсутствуют алгоритмы, позволяющие без точного расчета определять величину критической нагрузки в функции от усилий регулирования или при различных сочетаниях внешних нагрузок. Отметим, что подобные задачи относятся к многопараметрическим задачам устойчивости.

7. Остается не исследованным вопрос о свойствах области допустимых значений, порожденной ограничениями по прочности, устойчивости и конструктивных при одновременном варьировании размерами поперечных сечений и усилиями регулирования.

8. Большое число варьируемых параметров, к которым относятся размеры сечений и усилия регулирования, их различный вклад в целевую функцию и ограничения, оставляет открытым вопрос о выборе метода решения задача оптимизации.

Проведенный анализ работ и вышеперечисленные выводы позволяет сформулировать цель и задачи настоящей работы.

Целью диссертации является обоснование и разработка метода проектирования стержневых систем с оптимальным распределением материала и внутренних усилий при учете требований прочности, устойчивости плоской формы изгиба и конструктивных. Необходимо создать алгоритм решения поставленной задачи.

Для осуществления поставленной цели необходимо:

1. Сформулировать поставленную выше задачу как задачу математического программирования и произвести ее анализ.

2. Создать алгоритм, позволяющий определять величину критической нагрузки плоской формы изгиба при произвольных условиях загружения, опирания и распределения материала. Провести исследование влияния усилий регулирования на величину критической нагрузки и расчетные внутренние усилия.

3. Получить и исследовать выражения, связывающие величину критической нагрузки с размерами поперечных сечений.

4. Получить и исследовать выражения, связывающие величину критической нагрузки с усилиями регулирования. Получить выражения для определения критического параметра в случае действия на сооружение различных сочетаний внешних нагрузок.

5. На основе анализа существующих методов решения задач оптимального проектирования произвести выбор метода математического программирования и реализовать его на ЭВМ.

6. На конкретных примерах выявить основные особенности оптимальных систем с наилучшим распределением материала и внутренних усилий. Исследовать точность и сходимость вычислительных алгоритмов.

2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С ОПТИМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ МАТЕРИАЛА И ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ УЧЕТЕ ТРЕБОВАНИЙ ПРОЧНОСТИИ УСТОЙЧИВОСТИ

2.1. Переменные проектирования: размеры сечений

и усилия регулирования. Функция цели.

ч

к \

Поиск оптимальной стержневой системы предполагается осуществлять в пространстве, порожденном размерами поперечных сечений и усилиями регулирования. Ограничениями задачи являются условия прочности и общей устойчивости. Проследим, как влияют усилия регулирования на расчетные внутренние усилия и величину критической нагрузки.

Рассмотрим однопролетную балку, загруженную посредине силой Р. Опирание концов балки в обеих плоскостях шарнирное, поворот концевых сечений вокруг продольной оси невозможен. К левой опоре приложен момент регулирования т = а • • Ь. (рис. 2.1). Уравнения изгиба и кручения в момент потери устойчивости:

Е1у.? = Му

(2.1)

01Х-& = МХ, где Е1 у, 01х - жесткости сечения на изгиб и кручение; £ , Э - прогиб в горизонтальной плоскости и угол поворота сечения вокруг продольной оси. Изгибающий момент Му и крутящий момент Мх определяются выражениями:

Му - -М2 • 0, (2.2)

m F

м. =

М0х+М2-^-Г-(0,5 + а)-5

0<х<0,5-1

М°х+М2^-Г-(0,5 + 0,5-Ь<х< Ь

где 5 - прогиб балки в горизонтальной плоскости при х = 0,5 • £,

'Е-[(0,5 + а)-х-а-Ц, 0<х<0,5-Ь

М =<

ч г

[/•[(0,5-а) ■(£-*)]» 0,5 - Ь<х< Ь

Продифференцируем второе из уравнений (2.1), считая сечение балки постоянным:

С1Х^" = МХ Исключая с учетом (2.1) и (2.2):

(2.3)

Используя конечные разности, запишем уравнение (2.3) для / - того

узла:

Е1у'01х-д" = -М22-в

^ ' - (0г_; - 20,- + е/+7) = -Г2 ■ [О0,5 ^-^-х^а-Ц? • 0,-;

А

Е1У • Р1Х

а2

0<хг <0,5-1,

(0/—у - 20г + 0/+7) = • [(10,5 - а) ■ (Ь - хг)]2 • 0/.

Принимая Ь = 4 м, А = 1 м представим (2.3) в виде:

Е1у01х

2-10 -1 2 -1 0-12

{еЬ

(0,5 - Зау (1-2а):

(0,5-аУ

{в}.

Или:

члт=[вт.

Критическую нагрузку определим по формуле:

Г _

1 сг

Шу'01х

%

шах

где А,тах- наибольшее собственное значение матрицы [А -В]. Задаваясь различными значениями усилия регулирования, построим график зависимости Есг (а) (рис. 2.2).

I?

Я

сг

30

20

10

0,2 0,4

0,6 0,8

1,0

а

Для значения ос = 0,1875 (балка жестко защемлена на левой опоре, регулирование внутренних усилий отсутствует), получено:

1Е1 01х

¿г = 24 71—_-_-

1 сг 1 ^2

Соответствующее расчетное внутреннее усилие:

Мтах| = 0,1875 Р Ь. ^Максимум критической нагрузки достигается при значении ос = 0,322:

Рсг =33,54 * > , Мтах = 0,322^-Ь.

Ь

Минимум расчетного внутреннего усилия получен при значении <х = 0,166:

Ш1П

^тах -0,166 - Р ■ Ь , Рсг^ 23,19

сг ь2

Таким образом, введение в качестве варьируемых параметров усилий регулирования позволяет увеличить критическую нагрузку на 36 % или уменьшить расчетное внутреннее усилие на 12 %.

Для того чтобы сравнивать системы с различными усилиями регулиро-

г

вания, необходим критерий: объем или вес системы. Вид целевой функции зависит от того, как осуществляется регулирование внутренних усилий. Если предварительное напряжение создается путем осадки опор, то целевая функция совпадает с формулой подсчета объема конструкции:

1=1

где А,- (х), /г - площадь поперечного сечения и длина г -того участка

постоянной жесткости.

При предварительном напряжении, создаваемом постановкой напрягаемых элементов, целевая функция принимает вид:

*

п

F(x) = V(x)+Z A*(xyi*-4j9

j=i

* *

где Aj(x), lj , - площадь поперечного сечения и длина j -того напрягаемого элемента;

Ц*! - коэффициент приведения, учитывающий разность в стоимости

материала основной конструкции и напрягаемого элемента.

í

В ходе поиска оптимальной системы потребуется многократное решение задачи устойчивости. Способ определения критической нагрузки, рассмотренный в данном параграфе, не всегда удобен, так как для переменного сечения, дополнительного подкрепления в пролете, составление системы уравнений (2.1) становится громоздким. В следующем параграфе будет рассмотрен иной, более удобный способ определения критической нагрузки.

2.2. Дискретная модель. Матрицы изгибной, крутильной и геометрической жесткости

Поиск оптимального распределения материала и внутренних усилий предполагается осуществлять путем решения задачи математического программирования. Область варьируемых параметров описывается конечным числом размеров сечений и усилий регулирования. Представим модель оптимизируемой конструкции в виде совокупности элементов постоянной жесткости, загруженных сосредоточенными силами. С ростом числа элементов модель будет приближаться к континуальной конструкции с плавным изменением жесткости сечения и произвольным распределением внешней нагрузки.

Дискретная модель может быть получена путем замены континуальной конструкции системой абсолютно-жестких звеньев, соединенных упругими шарнирами. Упругая шарнирная цепь была предложена Генрихом Генки.

Для непосредственного определения критической нагрузки модель Генки впервые была использована Роде (1916). Краткий исторический обзор дальнейшего развития идей Генки-Роде можно найти в [62]. Шарнирно-

V V _

стержневая модель применялась для расчета стержней на устойчивость и колебания [57].

В настоящей работе предлагается применить упругую шарнирную цепь для решения задачи устойчивости плоской формы изгиба. Для этого балка разбивается на ряд участков постоянной жесткости (рис. 2.3, а), размеры участков произвольны и определяются законом изменения поперечных сече-

и Т-Ч _ V/

нии по длине конструкции. В середине каждого участка ставится упругии шарнир, препятствующий взаимному повороту звеньев в обеих плоскостях и вокруг продольной оси. Внешняя нагрузка приводится в узлы дискретной модели (рис.2.3, б). Дополнительные узлы выбираются в сечениях, имеющих опорные связи в обеих плоскостях.

Обозначим:

/, - длину / - того участка постоянной жесткости;

с11 - длину / - того звена дискретной модели;

V и м>

ф,, ф, , ф, - взаимные углы поворота звеньев;

М], М™ - изгибающие моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях;

МУС

I - крутящим момент в /- том сечении.

Жесткости упругих шарниров в вертикальной и горизонтальной плоскостях равны погонным жесткостям участка континуальной конструкции

(2.6)

d, di+1 *

4 4

Жесткость С7 определим из условия равенства потенциальной энер-

гии деформации кручения того участка континуальной конструкции:

Л/ <!,Х,

2С1Х,

и потенциальной энергии г - того шарнира:

и л = ~МТ • фГ =

Приравнивая (2.7) и (2.8), получим:

_ Ст1 у

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Для вывода уравнений, описывающих поведение дискретной модели при изгибе в обеих плоскостях и кручении, рассмотрим произвольное деформированное состояние, характеризующееся вектором

{2}= {у7, иТ, и/} (рис. 2.3, в).

При изгибе в вертикальной плоскости запишем уравнение равновесия для /' - того шарнира (рис. 2.4):

где к;у - у - тая ордината линии влияния изгибающего момента в / - том

сечении:

г;У = СуУ • Уу - реакция у - той линейной упругой связи жесткости С ;

р] - внешняя нагрузка, приведенная к у- тому узлу.

V V,- — V; / Учитывая, что: фг =--1-

Ъ - ^/+7

/+7

запишем:

л л / ^ и Ч ^ V ]

"/ «/+7 7=7

или в матричной форме:

[С] ИГИ+[Л][СЧИ=[Л]{Г} (2.10)

где ненулевые элементы матрицы [^вычисляются по формулам:

-7/^ 1 = у + /

а элементы матрицы влияния моментов определяются:

/ я+7 У

у

^ £=/+7 т=1 У / л+7

^ &=7 /и=у+7

ку=<

где Ь - пролет балки. Умножая (2.10) на [Л'] и учитывая, что произведение [$] • [л]

дает единичную матрицу, получим:

[¿"•С^+СЧМ^/^}

или:

Решив систему уравнений, определим вектор прогибов в вертикальной плоскости:

Поперечная нагрузка в /'- том узле с учетом реакции в линейной упругой связи, вычисленная с точностью до параметра Рп:

. у и

Е^МРУ-СГ-у).

Ьо

Изгибающие моменты в сечениях балки и опорную реакцию определим, используя матрицы влияния:

где ординаты линии влияния опорной реакции вычисляются по форму-

2 п+1

ле: ^./=7

Для записи уравнения, описывающего изгиб дискретной модели в горизонтальной плоскости, составим дважды уравнения равновесия для /- го

Г"

шарнира (рис. 2.5, а,б):

2>лев = С? • ср? + ± ку т/-Ра -МУ ^=0 (2.11)

Ътправ =СГ -ф? + I к Гг?-р0-М].щ+1=0 (2.12)

где

г? = С1* • и у - реакция у- той горизонтальной упругой связи жесткости

С"

7 "

а)

б)

М7

Рис. 2.5

Суммируя (2.11) и (2.12) с учетом выражений для г" и ф":

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Тухфатуллин, Борис Ахатович

Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, заключаются в следующем:

1. Обоснованы алгоритмы и программы, позволяющие определять оптимальное распределение материала и внутренних усилий при учете требований прочности, устойчивости плоской формы изгиба и конструктивных ограничениях на размеры сечений.

2. Предложенный метод может быть использован для определения оптимального распределения материала в конструкции при отсутствии регулирования усилий.

3. Предложена дискретная модель и алгоритм расчета на устойчивость плоской формы изгиба балок при произвольных законах опирания, загруже-ния и распределения материала. Для ряда примеров уточнены значения критической нагрузки, приводимые в справочной литературе.

4. Получены и исследованы выражения, связывающие величину критической нагрузки с размерами поперечных сечений. Использование этих выражений позволяет избежать трудоемких расчетов при анализе устойчивости.

5. Предложен двухуровенный алгоритм решения задачи поиска оптимального распределения материала и внутренних усилий.

6. Исследована возможность использования метода последовательных приближений для определения оптимального распределения материала при заданном распределении внутренних усилий. Произведен выбор метода для решения задачи нелинейного программирования. Предложена модификация метода наискорейшего спуска, учитывающая структуру целевой функции и ограничений, возможность расположения экстремальной точки на границе области допустимых решений.

7. Получено уравнение связи между усилиями регулирования и величиной критической нагрузки. При помощи этого уравнения можно определять приближенное значение параметра нагрузки при действии на сооружение различных сочетаний внешних нагрузок.

8. На численных примерах исследована сходимость и эффективность предложенных алгоритмов. По всем алгоритмам составлены программы на алгоритмическом языке PASCAL для персональных ЭВМ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Тухфатуллин, Борис Ахатович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абовский Н.П. Управляемые конструкции - САУ НДС: учебное пособие /КИСИ,- Красноярск, 1995.- 125 с.

2. Абовский Н.П., Деруга А.П. О постановке и классификации задач регулирования в строительной механике//Пространственные конструкции в Красноярском крае. - Красноярск, 1983. - С. 108-116.

3. Абрамов Н.И. Оптимизация статически определимых неопределимых систем методом лучевых проекций //Исследования по теории сооружений. - 1970. - Вып. XVIII. - С. 147-157.

4. Агаев Н.Г. Некоторые особенности решения задач устойчивости плоской формы изгиба балок //Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1986. - N 12. - С. 20-24.

5. Алексеев П.И. К определению критической нагрузки при изгибе полосы переменной жесткости //Строительная механика и расчет сооружений. -1963.-N6.-С. 37-39.

6. Алявдин П.В. Оптимизация предварительного напряжения стержневых систем //Строительные конструкции и теория сооружений. Вып. 2. -

г

Минск: Вышейшая школа, 1974. -С. 3-8.

7. Аоки М. Введение в методы оптимизации: основы и приложения нелинейного программирования. - М.: Наука, 1977. -344 с.

8. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. - М.: Мир, 1982. - 583 с.

9. Баничук Н.В. Современные проблемы оптимизации конструкций //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1982. - N 2 . - С. 110-124.

10. Бирюлев В.В. Металлические конструкции с регулированием уровня опор. - М.: Стройиздат, 1984. - 88 с.

11. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1980. - 176 с.

12. Вайнштейн Е.И., Мирский М.Н., Дубовик В.Г.. Оптимизация параметров сечения сварных бестросовых предварительно напряженных бис-тальных балок//Вопросы сварочного производства. Челябинск, 1983. - С. 6873.

13. Васильев A.A. Оптимальные параметры стальных балок с однократном предварительным напряжением //Строительная механика и расчет сооружений. - 1961,-N 1. - С. 47-51.

14. Васильев П.Ф. Численные методы решения экстремальных задач. -М: Наука, 1988. - 552 с.

15. Васильева Э.М. К определению оптимальной величины усилия в затяжке предварительно напряженной фермы //Строительная механика и расчет сооружений. - 1967. -N 2. - С. 46-47.

16. Введение в нелинейное программирование /Эльстер К.Х.,Рейнгарт Р., Шойбле М., Донат Г.М. - М.: Наука, 1985. - 264 с.

17. Виноградов А.И. О наименьшем весе ферм //Прикладная механика. - 1958. - Т. 4. -N3. - С. 241-249.

18. Виноградов А.И. О системах наименьшего веса с, упруго-податливыми связями //Строительная механика и расчет сооружений. - 1960. -N 5. - С. 1-6.

19. Виноградов А.И. Проблема оптимального проектирования в строительной механике. - Харьков: Вшца школа, изд-во при Харьк. ун-те, 1973. -167 С.

20. Виноградов А.И., Ермак Е.М. Линеаризация функции стоимости и алгоритм расчета стержневых систем с преобладающим изгибом //Оптимальные системы и применение ЭЦВМ при расчете сооружений. Сб. тр. ХИИТа, М.: Транспорт, 1967. - С. 4-24.

21. Воронин О.В. О регулировании и предварительном напряжении в сталежелезобетонных пролетных строениях //Исследование долговечности и экономичности искусственных сооружений. - Л. - 1983. -С. 56-59.

22. Гайдаров Ю.В., Чепурной И.Н. Оптимальные параметры двухшар-нирных рам с предварительно напряженным стальным ригелем //Сб. тр. Ле-нингр. ин-т инж. ж.-д. трансп. - 1965. - Вып. 239. -С. 42-63.

23. Гайнуллина С.Х. Расчет рам наименьшего веса с учетом продольных сил //Тр. КАИ. - 1963. - Вып. 77. - С. 71-82.

24. Горохов В.Е., Жук Н.Р., Колесниченко C.B. Алгоритм поиска оптимальной геометрии статически неопределимых ферм //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1987. - N 6. - С. 1-3.

25. Горынин Л.Г. Трехпролетная рама эстакадного типа заданной жесткости при минимальном объеме материала //Тр. Тюменского индустр. инта.- 1969.-Вып. 8.-С. 19-24.

26. Горынин Л.Г. Проблемы оптимального регулирования усилий в пролетных строениях мостов //Теоретические и экспериментальные исследования мостов: Межвуз. Сб. - Новосибирск, 1977,- С. 5-12.

27. Горынин Л.Г., Тараданов В.И. Оптимальное регулирование усилий в неразрезных сталежелезобетонных балочных мостах //Тр. МАДИ.Г- 1976. -Вып. 124. -С. 53-58.

28. Гребенюк Г.И., Попов Б.Н., Яньков Е.В. Основы расчета и оптимизации конструкций с использованием метода конечных элементов. - Новосибирск: изд-во НИСИ, 1992. - 96 с.

29. Гурвич И.Б., Захарченко В.Г., Почтман Ю.М. Рандомизированный алгоритм для решения задач нелинейного программирования //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1975. - N 5. - С. 30-33.

30. Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. -М.: Мир, 1972.-307 с.

31. Демидов H.H. Линейное программирование при расчете стальных изгибаемых конструкций, преднапрягаемых смещением опор //Оптимизация, расчет и испытание металлических конструкций. - Казань: КХТИ, 1984. -С.12-14.

32. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. - М.: Мир, 1988. - 440 с.

33. Елизаров А.Ф. Оптимальное проектирование стержней и стержневых систем, подверженных потери устойчивости, методом последовательных приближений. Дис. ... канд. техн. наук. - Томск, 1972. - 172 с.

34. Елизаров А.Ф. О проектировании стержней наименьшего объема, подверженных потери устойчивости //Исследования по строительной механике и строительным конструкциям. - Томск: Изд-во ТГУ, 1974. - С. 16-20.

35. Жичковский М., Гаевский А. Оптимальное проектирование конструкций с учетом требований устойчивости //Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.-С. 237-262.

36. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. - М.: Сов.Радио, 1973.-312 с.

37. Зацаринный В.П., Акопов А.И. Атланты держат небо. - М„: Знание, 1979.- 176 с.

38. Зевин A.A. Выбор оптимальной формы и практический метод расчета стальной предварительно напряженной балки при неподвижной нагрузке //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1965. - N 9. С. 27-33.

39. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений . - М.: Иностранная литература, 1963. - 176 с.

40. Илющенко В.Т., Пузиков В.И. Применение регулирования усилий при реконструкции сталежелезобетонных пролетных строений //Соверш. конструкций и методов расчета автодор. мостов. - Л. -1986. -С. 32-40.

41. Ким Т.С. Расчет ферм наименьшего объема методом целочисленного программирования //Строительная механика и расчет сооружений. - 1969. -N 1.-С. 21-24.

42. Клинов И.Г. К вопросу об оптимальном предельном напряженном состоянии бестросовых предварительно напряженных металлических балок //Сб. тр. Ленингр. ИСИ. - 1968. - N 51. - С. 25-39.

43. Коробов А.П. Устойчивость полосы //Известия Киевского политехнического института. Кн. 1 . - Киев, 1913. - С. 1-52.

44. Кочетов В.П. Расчет равнонапряженной балки жесткости симметричной комбинированной вантовой системы //Сопр.Материалов и теория сооружений. - 1981. -N38. -С. 104-108.

45. Лазарев И.Б. Основы оптимального проектирования конструкций. Задачи и методы. - Новосибирск: Сибирская государственная академия путей сообщения. - 1995,- 295 с.

46. Лазарев И.Б. Применение помехоустойчивого алгоритма метода возможных направлений при оптимизации конструкций //Строительная ме-

_______________________________У. 1АОЧ -КТ 1 ГЛ О 1 ^

ханика и расчет иОиружснии. - i^oj. - in i. - o-iz.

47. Ланс Дж.Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. - М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 208 с.

48. Лащенко М.Н. Регулирование усилий в металлических конструкциях. - Л.-М.: Стройиздат, 1966. - 191 с.

49. Левитанский И.В. Повышение несущей способности поперечно изогнутых сжатых верхних поясов решетчатых систем с помощью предварительного обратного выгиба /ЯП Межд. конф. По предв. напр. мет. констр. Т. 4.-Л., 1971. -С. 3-9.

50. Лукъянцева В.Д. К вопросу о проектировании оптимальных изгибаемых стержневых систем //Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. - Томск: Изд-во ТГУ. - 1977. - С. 66-70.

51. Лукъянцева В.Д. Оптимизация статически неопределимых балочных систем методом одномерного поиска //Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. - Томск: Изд-во ТГУ, 1977. -С. 5962.

52. Ляхович Л.С., Малеткин О.Ю. О прицельном регулировании собственных частот упругих систем //Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1990.-N1.-С. 113-117.

^3. Ляхович Л.С., Малиновский А.П. Проектирование стержней минимального веса, находящихся под действием параметрической и вибрационной нагрузки //Исследования по расчету сооружений. - Томск: Изд-во ТГУ, 1978. - С. 70-79.

54. Ляхович Л.С., Плахотин А.Н. Критерий оптимальности связей в задачах устойчивости и собственных колебаний упругих систем //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1986. - N7. - С. 26-30.

55. Ляхович Л.С., Те А.Б., Фишер В.Ф. О рациональной расстановке связей и распределении материала в задаче о собственных колебаниях системы с конечным числом степеней свободы //Исследования по строительной механике. - Томск: Изд-во ТГУ, 1978. - С. 31-34.

56. Мажид К.И. Оптимальное проектирование конструкций. -М.: Высшая школа, 1979. - 237 с.

57. Малиновский А.П. Численный метод расчета стержней на прочность, устойчивость и колебания //Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. - Томск: Изд-во ТГУ, 1978. - С. 85-96.

58. Малиновский А.П. Проектирование стержевых систем наименьшего веса с учетом ограничений по прочности, устойчивости и частоте колебаний: Дис. ... канд. техн. наук. - Томск, 1984. - 209 с.

59. Малков В.П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. - М.: Наука, 1981.-288 с.

60. Масленников В.О., Назаренко В.Г., Карабанов Б.В. Оптимальное проектирование преднапряженных железобетонных балок //Бетон и железобетон. - 1974.-N 5. - С. 29-30.

61. Матвеев С.А., Тараданов E.JL, Ильюшенко В.Т. Исследование возможностей усиления неразрезных сталежелезобетонных строений мостов //Теор. и экспериментальные исследования мостов. - Омск. -1981. -С. 19-28.

62. Матевосян P.P. О современных задачах кинематики, устойчивости и прочности сооружений из крупных панелей с учетом действия продольных сил. - М.: Госстройиздат, 1963. - С. 169-194.

63. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ. Пакет научных подпрограмм на ФОРТРАНе: Руководство программиста. Вып. 17. Минск: Институт математики АН БССР, 1978.

64. Медзвецкас Ю.М., Чижас А.П. Определение оптимальной податливости опор неразрезной упругой балки /Исследование прочности и динамики конструкций (Лит. Мех. сб., N 28). - 1986. - С. 72-81.

65. Минимизация в инженерных расчетах на ЭВМ: Библиотека про-

„„. . /р Т/-Ч р________х-1 А Т7__________ F П П»________Т"» Л О_________ If . I /Г_

грамм /ъли.1 уишш, i .л.г^мсльмнии, i .о.гезшишь, о.и.^ирш^ин. - ivi.. ivia-

шиностроение, 1981. - 120 с.

66. Михайлшцев В.Я. К расчету оптимальных неразрезных систем на основе динамического программирования //Проблемы прочности. - 1970.-N 5. - С. 95-98.

67. Михаилшцев В.Я. Общий метод оптимизации предварительно напряженных металлических конструкций /ЯП Межд. конф. по предварительно напряженным металлическим конструкциям. Т.1. - Л., 1971. - С. 248-254.

68. Михайлшцев В.Я. Практический синтез оптимальных металлических ферм с предварительным напряжением //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1973. N 8. - С. 8-11.

69. Михайлищев В.Я., Мощинский С.И. Оптимизация металлических предварительно напряженных ферм //Промышленное строительство и инженерные сооружения. - 1980. - N 4. - С. 27-28.

70. Новые направления оптимизации в строительном проектировании /М.С.Андерсон, Ж.-Л.Арман, Дж.С.Apopa и др.; Под ред. Э.Атрека и др. -М.: Стройиздат, 1989. - 592 с.

71. Нудельман Я.Л., Вильга М.А., Богданова А.И. Устойчивость пространственных ферм, предварительно напряженных затяжками //Расчет пространственных конструкций. Вып. XVI. -М.: Стройиздат, 1971. - С. 173-182.

72. Ольков Я.Л. Расчет предварительно напряженных металлических ферм с помощью зеркальных функций //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1965. -N 3. - С. 13-18.

73. Ольков Я.Л. Оптимизация очертания стальной фермы методом динамического поиска //Расчет простр. строит, конструкций. Вып. 4. - Куйбышев: Куйб. ИСИ. - 1974.

74. Ольков Я.Л., Холопов И.С. Об оптимальном распределении материала в фермах /'/Строительная механика и расчет сооружений. - 1969. N 1. -С. 24-26.

75. Ольхофф Н., Тейлор Д.Е. Проектирование сплошных стержней с минимальной стоимостью материала и внутренних опор //Механика. Новое в зарубежной науке. -М„ 1981. -N27. - С. 155-170.

76. Оптимальное проектирование конструкций. Библиографический указатель, под ред. Ю.В. Немировского. Новосибирск: институт гидродинамики СО АН СССР, 1975.

77. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

78. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля: В 4-х томах. Т. 4. Устойчивость стержней, перекрытий и пластин - Л.: Судпромгиз, 1954.- 550 с.

79. Пермяков В.А. Об определении оптимальных параметров предварительно напряженных комбинированных вантовых систем //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1976. - N 9. - С. 43-49.

80. Пермяков В.А. Параметры равнонапряженной балки жесткости комбинированных вантовых систем //Сопр. материалов и теория сооружений. - Киев, 1978. - N 33. - С. 120-126.

81. Пермяков В.А., Муввафак М. К определению параметров геометрической схемы комбинированных вантовых систем //Облегченные конструкции покрытий зданий. - Ростов- на-Дону: РИСИ. - 1980. - С. 37-43.

82. Пирас 3. Оптимизация предварительно напряженных конструкций с одним основным загружением /ЛII Межд. конф. По предварительно напр. мет. констр. Т.1. - Л., 1971. - С. 472-479.

83. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. - М.: Мир, 1974.-374 с.

84. Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика/Под ред. Дж.Томпсона и Дж.ханта. - М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит.,

1 Г»Л 1 л ^ л „ 1УУ1. - <+¿4- и.

85. Прагер В. Основы теории оптимального проектирования конструкций. - М.: Мир, 1977. - 112 с.

86. Пратусевич Я.Л. Вариационные методы в строительной механике. -М.-Л.: Гос. изд-во техн. л-ры, 1948. -400 с.

87. Прочность. Устойчивость. Колебания. Т. 3 /Под ред. И.А.Биргера и Я.Г.Пановко. - М.: Машиностроение, 1968. - 568 с.

88. Пуховский А.Б. Особенности работы предварительно напряженных конструкций как сейсмостойких систем //Металлические конструкции: Сб. тр. МИСИ. -М., 1985. - С. 51-59.

89. Расстригин Л.А. Системы экстремального управления. -М.: Наука. -

623 с.

90. Регулирование, синтез, оптимизация (избранные задачи по строительной механике и теории упругости): Учебное пособие для вузов /Под ред. Н.П.Абовского. - Красноярск: Изд-во Красноярского университета, 1985. -384 с.

91. Рейтман М.И., Шапиро Г. С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. - М.: Наука, 1976. - 266 с.

92. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: в 2-х K¿rM.: Мир, 1986. Кн. 1 - 349 с. Кн. 2 - 320 с.

93. Рожваны Д. Оптимальное проектирование изгибаемых систем. - М.: Стройиздат, 1980,- 315 с.

94. Рыбина И.И. К выбору оптимального очертания осей мостовых неразрезных балок //Теор. и экспериментальные исследования мостов. - Омск. -1981. -С. 24-28.

95. Cea Ж. Оптимизация: теория и алгоритмы. - М.: Мир, 1973. -

244 с.

96. Семенец Г.И. К вопросу о расчете конструкций наименьшего объема на упругих опорах //Тр. Харьк.ин-та инж. ж.-д. трансп., 1965. - Вып. 74. -С. 57-64.

97. Сергеев Н.Д., Богатырев А.И. Проблемы оптимальногопроектиро-вания конструкций. - Л.: Стройиздат, 1971. - 136 с.

98. Софронов Ю.Д. Расчет балок наименьшего веса с учетом устойчивости плоской формы изгиба//Тр. КАИ, 1974. - Вып. 168. - С. 34-43.

99. Софронов Ю.Д. Расчет оптимального расположения опор в балках с учетом собственного веса балки //Расчет и испытание мет. и дерев, конструкций. -Казань, 1986. - С. 13-17.

100. Соханев Б.В. Определение положения опор неразрезной балки, минимизирующего потенциальную энергию деформации //Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. - Томск: Изд-во ТГУ, 1976.-С. 103-106.

101. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений: учебное пособие /А.Ф.Смирнов, А.В.Александров, Б.Я.Лащенников, Н.Н.Шапошников; Под ред. А.Ф.Смирнова. - М.: Стройиздат, 1984. - 416 с.

102. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. - М.-Л.: Гостех-издат, 1946. - 531 с.

103. Толмачев К.Х. К вопросу технико-экономического обоснования регулирования напряжений в балках сталежелезобетонных мостов //Теоретические и экспериментальные исследования мостов и строительных конструкций: Сб. 8. - Омск, 1975. - С. 40-51.

104. Толмачев К.Х., Горынин Л.Г. Регулирование напряжений на основе оптимального проектирования /ЯП Межд. конф. По предварительно напряженным мет. констр. Т. 4. - Л., 1971. - С. 113-121.

105. Толмачев К.Х., Ищенко Ж.Б., Ланин А.И. Применение нелинейного программирования к расчету балок минимальной массы //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1979. - N 9. - С. 106-109.

106. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. -М.: НАУКА, 1982. -432 с.

107. Трофимович В.В. Оптимальные параметры предварительно напряженных металлических шпренгельных балок /Строительные конструкции: Межвед. респ. науч. с.б. - 1968. - Вып. 9.- С. 139-146.

108. Трофимович В.В., Давлятов М.А. Оптимизация предварительно напряженных перекрестных систем //Изв. вузов.Строительство и архитектура. 1983.-N11.-С. 13-16.

109. Трофимович В.В., Жук Н.Р. Оптимизация параметров решетчатых подкрановых балок//Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1982. - N 12. - С.23-26.

110. Трофимович В.В., Наджем A.A., Гурин .Н.Оптимизация параметров геометрической схемы вантово-балочных систем при переменных и под-

вижных нагрузках //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1985. -N 8. -С. 14-18.

111. Трофимович В.В., Пермяков В.А. Оптимальное проектирование металлических конструкций. - Киев: Будивельник, 1981. - 136 с.

112. Трофимович В.В., Романовский А. Оптимизация структурных конструкций с применением предварительного напряжения при многих за-гружениях //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1981. - N 9. - С. 2-8.

;113. Трофимович В.В., Семенов A.A. Оптимизация стержневых металлических конструкций с учетом требований второй группы предельных состояний //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1986. N 9. - С. 9114. Трофимович В.В., Холмурадов А.И. Оптимальное проектирование моста рамной системы //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1979. - N 6. - С. 28-31.

115. Федоров И.А. Синтез статически неопределимых комбинированных систем //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1987. - N 11. -С. 111-113.

116. Фелтон Л. Об оптимальном проектировании предварительно напряженных стержневых конструкций //Ракетная техника и космонавтика. -1976. - Т. 14. -N3. - С. 127-130.

117. Фелтон Л., Доббс М. Об оптимизации предварительно напряженных ферм //Ракетная техника и космонавтика. -1977. - Т. 15. - N 7. - С. 171173.

118. Фелтон Л., Нельсон. Оптимизированные компоненты в синтезе рамных конструкций //Ракетная техника и космонавтика. - 1971. - Т.9. - N 6. -С. 43-49.

119. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. - М.: Мир, 1972. - 240 с.

120. Фишер В.Ф. Оптимальное распределение материала и рациональная расстановка связей в задачах устойчивости и колебаний стержневых систем: Дисс. ... канд. техн. наук. - Томск, 1983. - 135 с.

121. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. - М.: Мир, 1967. - 507 с.

122. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. - М.: Мир, 1975.-536 с.

Ï23. Хог Э., Apopa Я. Прикладное оптимальное проектирование. Механические системы и конструкции. - М.: Мир, 1983. - 479 с.

124. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. - М.: Мир, 1988. - 428 с.

125. Хофмейстер Л., Фелтон Л. Синтез предварительно напряженных конструкций //Ракетная техника и космонавтика. - 1970. - Т. 8. С. 245-246.

126. Черкасов В.Н. Оптимальное усиление неразрезных ферм автодорожных мостов методами регулирования напряжений //Теор. и экспериментальные исследования мостов. - Новосибирск. 1977. - С. 37-46.

127. Чижас А.П. Оптимизационные задачи строительной механики в Вильнюсском инженерно-строительном институте //Прикладная механика и оптимизация (Лит. мех. сб., N 27). -Вильнюс, 1985. - С. 5-12.

128. Чирас A.A., Боркаускас А.Э., Каркаускас Р.П. Теория и методы оптимизации упруго-пластических систем. - Л.: Стройиздат, 1974. - 280 с.

129. Численные методы условной оптимизации /Пауэлл М., Гилл Ф. и др.; Под ред. Ф. Гилл, У. Мюррей. - М.: Мир, 1977. - 290 с.

130. Шмит Л.А. Оптимизация конструкций. Некоторые основополагающие идеи и понятия // Новые направления оптимизации в строительном проектировании. -М.: Стройиздат, 1989. -С. 8-55.

131. Banddyopandhay H.K. Prestressed of Openweb Trusses //Struct. Engr. - 1965. - v. 43. -N 11. - p. 19-22.

132. Bochenec B., Zyczkowski M. Optimal I-Section of Elastic Arch Under Stability Constraints //Engineering Optimizati- on in Design Processes. Proc. of Int. Conf. Karlsruhe, 3-4 sept., 1990. - p. 259-266.

133. Bochenek B. On I-Section Beams Optimized Against Lateral Buckling //J. Struct. Optimiz., 1993. - N . - p. 11-18.

134. Bronowicki A.J., Felton L.P. Optimum Design of Continuous Thin-Walled Beams //Int. J. Numer. Meth. Eng. -1975. - v. 9. - N 3. - p. 711-720.

;135. Engineering Optimization in Design Processes/Proceedings of International Conference. Karlsruhe, 3-4 sept., 1990. - 353 p.

136. Fuchs M., Brull M. A New Stration Energy Theorem and its Use in Optimum Design of Continuous Beams //Comp. And Struct. - 1979. -v. 10. -N 4. -p. 647-657.

137. Kirsch U. Optimized Presstressing by Linear Programming //Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1973. v. 7. - N 2. - p. 125-136.

138. Kirsch U. Synthesis of Elastic Structures with Controlled Forces //Comput. and Struct. - 1976. - v. 6. - N 2. - p. 111-116.

139. Kirsch U. A Boundihg Procedure for Synthesis of Prestresseu Systems //Comput. and struct. - 1985. - v. 20. - N 5. - p. 885-895.

140. Lepic U. Optimal Design of Beams with Minimum Compliance //Int. J. Non.-Linear Mech. - 1978. - v. 13. - N 1. - p. 33-42.

141. Levy R., Hanaor A. Optimal Design of Prestressed Trusses /Shells, Membranes and Space frames. Procc. LASS Symp. Membrane Struct, and Space frames. Osaka, 15-19 sept., 1986. - v. 3. - Amsterdame, 1986. - p. 125-136.

142. Mroz Z., Lekszycki T. Optimal Support Reaction in ElasticFrame Structures //Comp. and Struct. -1981. - v. 14,- N 3-4. p. 179-185.

143. Mroz Z., Rozvani G. Optimal Design of Structures with Variable Support Conditions IIJ. Optimiz. Theory and Appl. - 1975. - v. 15. - N 1. - p. 85101.

144. Popelar C.H. Optimal Design of Beams against Backling a Potential Energy Approach //J. Struct. Mech., 1976. - v. 4, - N 2. - p. 181-196.

145. Schenk K.F. The Complex Programm for Constrained Minimization //IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. - 1974. - v. 22. - N 3. - p. 343-344.

146. Szelag D., Mroz Z. Optimal Design of Elastic Beams with Unspecified Support Conditions HZ. angew Math, and Mech. - 1978. v. 58. - N 11. - p. 501510.

147. Tohacek M. Der Entwurf Optimaler Vorgespannter Eachwerke //Wiss. Z. Techn. Univ. Dresden. - 1964. - v. 13. - N 3,- 788-796.

148. Wang C.M., Thevendran V., Teo K.L., Kitiporachais. Optimal Design of Tapered Beams for Maximum Buckling Strenght //Eng. Struct., 1986. - v. 8. - N 4. - p. 276-284.

149. Wang C.M., Ang K.K., Wang L. Optimization of Bracing and Internal Support Locations for Beams Against Lateral Buckling //J. Struct. Optimiz., 1995. -N. 9.-p. 12-17.