Аналитические методы и модели управления надежностью систем при неточной исходной информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Масоди, Дмитрий Анварович

• Масоди, Дмитрий Анварович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Масоди, Дмитрий Анварович

Содержание.

Введение.

Глава 1. Задача управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

1.1. Постановка и анализ задачи.

1.2. Обработка исходной информации в задаче управления надежностью.22 Выводы.

Глава 2. Анализ методов решения некорректных задач.

2.1. Основные понятия.

2.2. Вариационные методы решения.

2.2.1. Метод квазирешений.

2.2.2. Метод регуляризации.

2.2.3. Метод невязки.

2.2.4. Связь между вариационными методами, обобщения и выводы.

2.3. Невариационные методы решения.

2.3.1. Метод итераций.

2.3.2. Конечноразностный (сеточный метод).

Выводы.

Глава 3. Разработка метода решения некорректных задач в гильбертовом пространстве.

3.1. Интегральное уравнение первого рода.61

3.2. Геометрия гильбертова пространства.

3.3. Базис гильбертова пространства.66,

3.4. Матричное представление линейного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве.

3.5. Ортогональные системы функций в Z,2

Ряды по ортогональным системам.

3.6. Решение некорректных задач в гильбертовом пространстве методом обобщенного суммирования-рядов Фурье.

Выводы.

Глава 4'. Аналитическое решение задачи. управления'надежностью технических систем.87"

4.1. Постановка задачи.

4.2. Решение прямой задачи теории надежности.88'

4.3. Решение обратной задачи теории надежности.

4.4. Оценка погрешности метода.

4.5. Управление надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космических аппаратов серии «А».

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические методы и модели управления надежностью систем при неточной исходной информации»

Практика производства и эксплуатации высоконадежных малосерийных объектов космической техники показывает необходимость предъявления t требований к надежности космической техники уже на этапе разработки, с тем чтобы технические характеристики проектируемых объектов обеспечивали требуемый уровень надежности. При этом сокращаются как объемы заводских, так и летных испытаний.

В такой постановке задача управления надежностью является «обратной» задачей по отношению к прогнозированию надежности, являющемуся прямой задачей оценивания надежности.

Задача управления надежностью или задача синтеза составляющих комплекса условий испытаний является следствием решения проблемы анализа надежности уникальных и малосерийных объектов, естественным завершением круга вопросов, связанных с созданием технических объектов с заданными эксплуатационными характеристиками, в частности с заданной надежностью.

В математической модели задачи управления надежностью заданными являются классы функций, описывающих законы изменения характеристик надежности, и характеристики условий применения уникальных объектов, а искомыми являются требуемые законы распределения характеристик технического качества.

Под управлением надежностью понимается получение законов изменения характеристик качества системы на основе требуемого закона изменения надежности.

Данная задача относится к классу обратных задач математической теории надежности. Обратные задачи являются некорректными, т. е. их решения неустойчивы к изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.

Если исходные данные известны приближенно, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближенного решения.

Однако можно указать некорректно поставленные задачи, относящиеся как к классическим разделам математики, так и к различным классам практически важных прикладных задач.

К таким задачам относятся задачи создания систем автоматической математической обработки результатов эксперимента, задачи оптимального управления и оптимального проектирования систем, задача управления- надежностью сложных технических систем с неточно заданными параметрами.

Исходные данные задачи управления надежностью, получаемые обычно в результате измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при-построении приближенных решений и при оценке их погрешностей, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный.

В течение долгого времени считалось, что некорректные задачи*- не1 имеют практического значения и их теория не может привести к содержательным математическим результатам. Такое мнение было распространено' даже после работы А\ Н<. Тихонова ! 943 г., в которой впервые была указана; практическая важность подобных задач и возможность их устойчивого- решения. В конце пятидесятых и, особенно, в начале шестидесятых годов*появился ряд новых подходов, которые стали основополагающими для теории некорректных задач и привлекли к ней внимание многих математиков.

В настоящее время по теории некорректных задач имеется обширная литература [41, 65, 76, 96, 97], охватывающая большинство аспектов этой теории.

Основным объектом исследования теории некорректных задач являются операторные уравнения первого рода

Ах=у (1) в линейных нормированных пространствах X (хеХ) и Y (уеУ)> А ~ заданное отображение (оператор), действующий из X в Y (в общем случае X и Y есть произвольные топологические пространства). Многие задачи математической физики сводятся к уравнению (1) с вполне непрерывным (компактным), в частности интегральным оператором А. Уравнения такого вида возникают, например, при исследовании так называемых обратных задач, когда исходя из некоторых характеристик физического поля необходимо восстановить характеристики самой среды, которая порождает это поле [65, 96]. В этом случае по аналогии с интегральными уравнениями (1) называют абстрактным уравнением Фредгольма первого рода. Данный класс уравнений составляет основу математической модели задачи управления надежностью.

Трудности, возникающие при исследовании таких уравнений, связаны, главным образом, с незамкнутостью области значений оператора А и отсутствием непрерывной зависимости решения от правой части (неустойчивость или некорректность задачи). В этих условиях обычные методы, используемые для приближенного решения корректных задач, оказываются, как правило, непригодными.

При решении уравнения.типа (1) естественно исходить из предположения, что точные данные задачи {А, у} известны нам лишь приближенно, т. е. в действительности считать известной пару {Ah, у$}, аппроксимирующую в, выбранной топологии пару {А, у}. Ошибки можно интерпретировать, например, как неадекватность идеализированной математической модели (1)- и описываемой ею физической реальности; кроме того, погрешность может возникнуть как за счет ошибок измерения исходных данных, так и за счет построения приближенной модели для уравнения (1) с целью проведения численных расчетов.

Задача, подлежащая исследованию, заключается в построении по приближенным данным {А/„ уд} такой последовательности приближенных решений х/„$, которая сходится в пространстве X к точному решению х уравнения

1) при условии сходимости исходных данных {А/„ ys}->{A, у). t

В начале XX века французским математиком Адамаром были сформулированы три условия, которым должна удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию. Они известны как условия корректности по Адамару [1] и выражают естественные требования к математической задаче, отображающей реальную действительность, которые состоят в том, что решение должно существовать, быть единственным и непрерывно зависеть от исходных данных. Для абстрактного уравнения (^ условия Адамара обычно формулируют в следующем виде:

1) для любого yeY существует элемент хеХтакой, что Ах=у, т. е. область значений оператора R(A)=Y (существование);

2) элементом у решение х определяется однозначно, т. е. существует обратный оператору!"1 (<единственность);

3) имеет место непрерывная зависимость х от у, т. е. обратный оператор А"1 непрерывен {устойчивость).

При выполнении этих условий задача (1) называется корректно поставленной (корректной) (по Адамару). Задачи, рассматриваемые в классической, математической физике (задача Дирихле для уравнения Лапласа, задача Ко-ши для уравнений теплопроводности и волнового уравнения), удовлетворяют условиям корректности Адамара при" естественном-выборе пространств X, Y. Поэтому было высказано мнение, нашедшее широкое распространение в. литературе [1, 78], что задачи, не удовлетворяющие условиям 1)-3) и называемые некорректно поставленными задачами, лишены физического смысла и в принципе не могут быть решены. Мотивировалось это тем, что при нарушении условия 3) сколь угодно малые погрешности (неизбежные при численном решении (1)) исходных данных (например, правой части у) могут привести к сколь угодно большим изменениям в решении и, следовательно, приближенное решение, полученное как решение уравнения Ax=ys , лишено разумного смысла и практической ценности. Однако, как показали дальнейшие исследования, неустойчивые задачи возникают при описании многих реальных физических явлений в геофизике, гидродинамике, спектроскопии, т. е. «корректно поставленные задачи - это далеко не единственные задачи, правильно отражающие физические явления» [67].

Важно отметить, что устойчивость (свойство 3)) задачи (1) зависит от выбранных топологий в X и Y и, вообще говоря, подходящим выбором топологий (например, наделив Y сильнейшей топологией) можно добиться непрерывности оператора^"1. Но это будет лишь формальным преодолением трудности, так как обычно топологии навязываются нам постановкой задачи и не могут выбираться произвольно. Наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии - это топологии нормированных пространств L.2, С, С(т).

Таким образом, если не изменить постановку неустойчивых задач, то-обычные методы, применяемые для решения корректных задач, оказываются, естественно, непригодными для решения некорректных, так как сколь бы малой не была погрешность исходных данных, нельзя быть уверенным в малости погрешности решения. Поэтому потребности практики в решении некорректных задач привели к необходимости пересмотреть классическое понятие корректности и выработать более широкий и приспособленный к реальным нуждам подход. Начало этому было положено в 1943 г. А. Н. Тихоновым [95].

К настоящему времени разработано- большое число как общих, так и частных методов решения некорректных задач, нашедших разнообразное применение на практике. Применение этих методов, требует в каждом частном случае разработки специальных вычислительных алгоритмов и методов отбора «приемлемых» решений.

Поэтому актуальность данной работы заключается в необходимости разработки аналитических методов решения задачи управления надежностью сложных технических систем с неточно заданными исходными данными позволяющих находить устойчивое решение в аналитическом виде.

Целью исследования является разработка аналитического метода решения широкого класса некорректных задач, возникающих в различных практически важных приложениях, в первую очередь, в задаче управления надежностью сложных технических систем при отсутствии точных исходных данных.

Важность данной задачи заключается в практической невозможности проведения всего комплекса испытаний сложной системы с целью сбора необходимой информации, без которой, в тоже время, невозможно и само проектирование. Т. е. необходимо выбрать на этапе разработки параметры проектируемой системы на основе требуемого закона изменения ее характеристик с течением времени при отсутствии точных значений исходных параметров и законов их изменения. Применяя, разработанный в данном исследовании метод, удалось решить одну из таких задач (выбор характеристик технической системы при заданном законе изменения надежности).

В первой главе данной работы дается постановка задачи управления надежностью сложных технических систем при неточных исходных данных. Математической моделью управления надежностью является система интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Далее в первой главе проводится анализ поставленной задачи с точки зрения определения точности исходных данных, на основе которых получаются параметры, характеризующие состояние системы. Доказывается- неустойчивость решений, задачи управления надежностью к изменению исходных данных. Более того, в* первой главе показывается, что поставленная задача не может быть решена классическими .методами, т. е. задача некорректна.

Далее в первой главе описывается методика обработки исходной информации в задаче управления надежностью, т. к. от правильности принятых статистических гипотез и качества обработки информации в большой степени зависит эффективность и точность решения основной задачи.

Особенностью задачи управления надежностью является анализ поведения системы на длительном интервале времени (от нескольких месяцев до нескольких лет). В этом случае случайные флуктуации переменных внешних воздействий на систему (внешних нагрузок) «сглаживаются», а сами переменные внешние нагрузки приобретают характер стационарных случайных процессов.

В первой главе приводятся статистические методы получения характеристик внешних воздействий в виде параметров стационарного в широком смысле случайного процесса и анализируются их особенности.

Во второй главе диссертации проводится анализ причин некорректности (неустойчивости) в постановках задач, дается определение корректности по Тихонову и вводится понятие регуляризующего оператора. Рассматриваются также существующие методы решений некорректных задач, проводится их анализ и сравнение.

В начале второй главы приводится постановка задачи регуляризации неустойчивых решений.

В настоящий момент разработано большое число методов решения широкого класса некорректных задач. Эти методы можно условно разделить на два больших класса: вариационные методы и методы, основанные на численных приближениях.

Во второй главе проанализированы вариационные методы решения,некорректных задач, а именно: метод квазирешений, метод регуляризации и метод невязки;

Анализ вариационных методов позволил определить границы их- применения, трудности, возникающие при их использовании на практике; и вычислительные особенности нахождения устойчивых решений.

В конце второй главы кратко рассматриваются численные методы решения некорректных задач, имеющие более узкую область применимости по сравнению с вариационными методами, на примере метода итераций и ко-нечноразностного (сеточного) метода.

По результатам подробного анализа существующих методов решения некорректных задач делается вывод о необходимости разработки нового метода решения некорректной задачи управления надежностью и формулируются требования, которым он должен отвечать.

Третья глава посвящена разработке метода решения некорректных задач в гильбертовом пространстве, в частности решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, являющегося математической моделью задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

Задача, исследуемая в третьей главе, заключается в построении по приближенным исходным данным такой последовательности приближенных решений, которая сходится в к точному решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода при условиихходимости исходных данных.

На основании свойств гильбертовых пространств в диссертации доказываются необходимые и достаточные условия устойчивости решения задачи управления надежностью к измененению исходных данных.

Устойчивое к малым изменениям исходных данных решение задачи управления надежностью получается в виде конечного ряда Фурье, т. е. в аналитическом виде.

Регуляризация решения некорректной задачи осуществляется при помощи согласования погрешности решения и погрешности исходных данных путем изменения размерности редуцированного конечномерного пространства.

Четвертая глава диссертации посвящена решению задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

С целью определения точности решения задачи управления надежностью методом, разработанным в третьей главе, проводится серия вычислительных экспериментов.

Решение некорректной задачи управления надежностью устойчивое к изменению исходных данных получается в виде отрезка ряда Фурье по данной ортонормированной системе функций.

В диссертации проводится анализ полученного решения, оценка его погрешности, на основе чего сделан вывод о достаточной степени согласованности полученного решения с заданным.

Далее в четвертой главе данного исследования рассматривается практически важная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции (СОК) космических аппаратов (КА) серии «А». Условия функционирования таких объектов отличаются стационарностью или квазистационарностью случайных процессов воздействия, определяющих режимы работы устройств, установленных на борту. Практика показывает, что в процессе эксплуатации беспилотных космических аппаратов (КА) имеют место в основном внезапные отказы, т. е. отказы, не связанные со старением или изменением свойств устройств.

Основными дестабилизирующими факторами или нагрузками, влияющими на работоспособность систем КА в условиях космического полета являются тепловые, радиационные, электрические, механические и др.

Существенную роль среди нагрузок, действующих на бортовые устройства КА, играют тепловые нагрузки. Фактически тепловым воздействиям подвержены все без исключения устройства борта КА. Не все они в равной мере чувствительны к этим нагрузкам и не для всех устройств те значения температуры, которые имеют место в различных режимах эксплуатации КА, опасны в отношении отказов. Для контроля за температурным режимом бортовых устройств вфазличных точках как внутренних отсеков КА, так и на его внешних элементах установлены датчики температуры. Измеренные тепловые нагрузки по каналам телеизмерений передаются наземным станциям и поступают в центральный командно-измерительный комплекс. Данные телеизмерений являются основой для оперативного контроля работоспособности некоторых систем борта.

Анализ показывает, что наибольшей чувствительностью к тепловым нагрузкам отличаются устройства системы ориентации и контроля (СОК), для которых полезным сигналом является радиация, излучаемая различными космическими телами: Землей, Солнцем и др. Источниками случайных флук-туаций температуры на борту КА являются изменения солнечной радиации, работа бортовых тепловыделяющих приборов, длительность и чередование тени и света за один оборот вокруг Земли и т. д.

СОК обеспечивает успокоение, ориентацию и удерживание осей КА относительно орбитальной системы координат. В качестве чувствительных элементов СОК используются датчики ориентации на центр Земли (М56Д, 42Д), датчик ориентации на Солнце(26Д), инфракрасные датчики коррекции на центр Земли (40Д-1). Нормальными условиями эксплуатации, оговоренными в технической документации, для этих датчиков являются определенные диапазоны температур.

Характерными отказами датчиков СОК являются отказы, обусловленные выходом температуры корпуса датчика за допустимые пределы. Повышение температуры датчика приводит к снижению уровня полезного сигнала на фоне шумов, что в конечном счете не позволяет СОК произвести ориентацию антенны ретранслятора в направлении наземной станции. Событие, связанное с потерей связи со спутником, вследствие отсутствия должной ориентации антенны ретранслятора, следует рассматривать как отказ СОК.

Анализ результатов телеизмерений показывает, что тепловое воздействие на датчики СОК имеет характер стационарного случайного процесса:.

В четвертой главе диссертации первоначально проводится проверка статистических гипотез о стационарности и эргодичности тепловых процессов на основе данных телеизмерений.

Для проверки предположения о стационарности процессов по их корреляционным (автокорреляционным) функциям для каждой реализации процесса с помощью компьютера рассчитываются нормированные корреляционные функции центрированных случайных процессов.

Затем проверяется гипотеза о стохастической независимости наибольших значений температуры. Для этого используется критерий серий.

После этого определяются параметры функции распределения наибольшего значения температуры и проверяется достоверность гипотезы о законе экстремальных распределений некоррелированных наибольших значений температур, при помощи критерия со2 (критерий Мизеса).

Поставленная некорректная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и стабилизации космических аппаратов серии «А» решена в четвертой главе разработанным в диссертации аналитическим методом.

В результате расчетов были сформированы рекомендации к характеристикам технического качества датчиков системы ориентации и коррекции. Полученные результаты позволяют на этапе проектирования уточнить требования к характеристикам датчиков системы ориентации и коррекции при условии достижения требуемого уровня надежности, что позволяет сократить цикл испытаний и доработок проектируемого изделия.

В заключении приводятся основные результаты данной диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Масоди, Дмитрий Анварович

Выводы

В результате решения задачи управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космического аппарата серии «А» можно сделать следующие рекомендации к характеристикам их технического качества: датчики должны устойчиво функционировать при значениях температуры не превышающей t ± За = 40,2 ± 1,65° С. Это означает, что при данном уровне технических характеристик датчиков их надежность будет изменяться согласно заданному закону на интервале времени t >2 года. Полученные результаты позволяют на этапе проектирования уточнить требования к характеристикам датчиков системы ориентации и коррекции при условии достижения требуемого уровня надежности, что позволяет сократить цикл испытаний и доработок проектируемого изделия.

Заключение

В диссертации предложен аналитический метод решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации. Данный метод применим к решению некорректных задач в гильбертовом пространстве и позволяет получить решение операторного уравнения 1-го рода, устойчивое к малым изменениям исходных данных, точность которого согласованна с точностью исходных параметров. В основу метода положено фундаментальное свойство изоморфизма (гомеоморфизма) гильбертовых пространств.

Суть метода заключается в перенесении решения задачи из исходного функционального пространства в изоморфное ему пространство комплексных (вещественных чисел) путем разложения функций и оператора в ряд Фурье по той или иной системе ортонормированных функций. Таким образом, вместо исходного функционального уравнения получается бесконечномерное матричное уравнение, общее решение которого некорректно (неустойчиво к малым изменениям исходных данных):

Регуляризация решения полученного бесконечномерного уравнения достигается,его редукцией к конечномерному. При этом погрешность, возникающая, при переходе от бесконечномерного пространства к конечномерному, согласуется с погрешностью исходных данных.

Таким образом регуляризованное решение получается в виде отрезка ряда.Фурье подданной' ортонормированной системе функций.длина.которого зависит от погрешности исходных' данных.

Основным объектом исследования в данной работе является интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода, являющееся математической моделью задачи управления надежностью сложных технических систем, которая заключается в нахождении закона изменения характеристик системы на основе требуемой динамики изменения надежности при наличии нечеткой исходной информации.

В диссертации получены следующие научные результаты:

1) Разработан новый аналитический метод решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

2) Проведен качественный анализ задачи управления надежностью, позволивший получить основные зависимости и проанализировать причины неустойчивости решения.

3) Проанализированы вычислительные особенности решения задачи управления надежностью, связанные со стохастичностью параметров математической модели управления надежностью и наличием случайных погрешностей.

4) Доказана устойчивость решения, получаемого разработанным в диссертации аналитическим методом, к изменениям исходных данных.

5) Решена задача управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космических аппаратов серии «А». В результате чего получена возможность выбора на этапе проектирования оптимальных технических решений, учитывающих заданные законы изменения характеристик надежности.

6) Разработанный метод апробирован вычислительными экспериментами. Приведенные примеры расчетов показали удовлетворительную сходимость полученных решений к заданным.

7) На основе полученных численных результатов решения задачи управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции' космических аппаратов серии «А» выработаны рекомендации к техническим характеристикам датчиков с целью получения заданного закона изменения надежности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Масоди, Дмитрий Анварович, 2008 год

1. Hadamard J. Le probleme Cauchy. Paris, 1932.

2. Phillips D. L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind. // J. Assoc. Comput. Machin., 1962, v. 9, №1, p. 84-97.

3. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд. М.: Финансы и статистика, 1983. —471 с.

4. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: подход с использованием ЭВМ. М.: Мир, 1982. - 488 с.

5. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 744 с.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том I. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 632 с.

7. Боровков А.А. Курс теории вероятностей. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. - 288 с.

8. Боровков А.А. Математическая статистика. Учебник. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 472 с.

9. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. -М.: Мир, 1980.-536 с.

10. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. -М.: Физматлит; Лаборатория базовых знаний, 2003. 400 с.

11. Бхаттачария Р.Н., Раига Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 288 с.

12. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. - 448 с.

13. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1989, - 144 с.

14. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. 2-е изд., стереот. - М.: Физматлит, 2002. - 160 с.

15. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. 4-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. - 577 с.

16. Винокуров В А. О понятии регуляризуемости разрывных отображений. // ЖВМ и МФ, 1971, т. 11, № 5, с. 1097-1112.

17. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. — 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - 416 с.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: .: Гос. Изд-во. физ.-мат. лит., 1958.-545 с.

19. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -9-е изд. М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.

20. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 6-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 448 с.

21. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. -448 с.

22. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. М.: ИЛ, 1962.- 896 с.

23. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 2. М.: ИЛ, 1966.- 1064 с.

24. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 3. М.: ИЛ, 1974.- 664 с.

25. Дедков В.К. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности (монография). ВЦ им. А.А. Дородницына РАН. М.: 2003, 187 с.

26. Дедков В.К. Обратная задача теории надежности. М.: ВЦ РАН, 2004.-244 с.

27. Дедков В.К. Северцев Н.А. Марковские модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. Севастополь: 2004, с. 37 -45.

28. Дедков В.К. Северцев Н.А. О влиянии испытаний на характеристики испытываемого объекта. // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза. 23 мая-31 мая 2005, с. 68-72.

29. Дедков В.К., Масоди Д.А. Новый подход к решению обратной задачи надежности //Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007.

30. Дедков В.К., Масоди Д.А. Условия некорректности обратных задач // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007.

31. Дедков В.К., Масоди Д.А.Метод обобщенных рядов Фурье для решения некорректных задач теории эффективности // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ. Им А.А. Дородницына РАН. 2007. с. 62 - 70.

32. Дедков В.К., Северцев Н.А. Косвенные методы прогнозирования надежности. М.: ВЦ РАН, 2006. - 272 с.

33. Дедков В.К., Северцев Н.А. Косвенный метод измерения сопротивляемости устройств, работающих в условиях динамического нагру-жения. //Вопросы судостроения, 1978; Вып17, с. 90-97.

34. Дедков В.К., Северцев Н.А. Критериальный аспект обратной задачи теории надежности. //Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза. 26 мая-1 июня 2003, с. 36-40.

35. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 1 -М.: Мир, 1971.-317 с.

36. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 2 -М.: Мир, 1972.-285 с.

37. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. М.: Мир, 1980. - 610 с.

38. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1963. - 865 с.

39. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975. - 773 с.

40. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. II. — 4-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2002.-787 с.

41. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. I. 4-е изд., испр. - М.: МЦНМО, 2002. - 664 с.

42. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1979. - 206 с.

43. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. М.: Высш. шк., 1984. - 248 с.

44. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. - 624 с.

45. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. М., ВЦ РАН, 2000, - 151 с.

46. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. М., ВЦ РАН, 2001, - 120 с.

47. Ишмухаметов А.З. Методы решения задач оптимизации. М., Изд-во МЭИ, 1998,- 80 с.

48. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 2-е изд. -М.: Наука, 1977.-744 с.

49. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. 5-е изд., испр. - Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

50. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физико-математическая литература, 1958. — 507 с.

51. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. 2-е изд. доп. - М.: Изд-во АФЦ, 1999 - 560 с.

52. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 730 с.

53. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 890 с.

54. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 580 с.

55. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-398 с.

56. Козлов М.В., Прохоров А.В. Введение в математическую статистику. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 264 с.

57. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978. -560 с.

58. Коллатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Мир, 1969.-448 с.

59. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. - М.: Физматлит, 2004. - 572 с.

60. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. 2-е изд., исправл. - М.: Физико-математическая литература, 2001. - 272 с.

61. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. 2-е изд., исправл. - М.: Физико-математическая литература, 2001. - 368 с.

62. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры: Учебник для вузов. М.: Физико-математическая литература, 2000. - 272 с.

63. Крамер Г. Математические методы статистики. М.:Мир, 1975. -648 с.

64. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. — М.: Мир, 1969.-437 с.

65. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. - 306 с.

66. Краснов M.JL, Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. - 193 с.

67. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гос. Изд-во. техн.-теор. лит., 1956. -392 с.

68. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы, том I. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 310 с.

69. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интегральные уравнения, некорректные задачи и улучшение сходимости. — Мн.: Наука и техника, 1984. — 263 с.

70. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - 409 с.

71. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. -445 с.

72. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа. 3-е изд., испр. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики., 2000. - 336 с.

73. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989. 392 с.

74. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. 2-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. -520 с.

75. Манжиров А.В., Полянин А. Д. Методы решения интегральныз уравнений: Справочник. М.: Факториал, 1999. - 272 с.

76. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М.: Факториал, 2000. - 384 с.

77. Маркин Н.С. Основы теории обработки результатов измерений: Учеб. пособие. М.: Изд-во стандартов, 1991. - 676 с.

78. Масоди Д.А. Разработка аналитического метода решения некорректных задач // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007.

79. Масоди Д.А., Ефимов И.А. Постановка некорректных задач теории эффективности // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ. Им А.А. Дородницына РАН. 2007. с. 54 - 61.

80. Морозов В.А., Гребенников А. И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. — М.: Изд-во МГУ, 1992.-320 с.

81. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. - 527 с.

82. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.- М.: Физматгиз, 1953. 348 с.

83. Полянин А.Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. М.: Факториал, 1998. - 432 с.

84. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы). — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. 494 с.

85. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Теория стохастических систем:,Учеб. пособие. М.: Логос, 2004. - 1000 с.

86. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.- 2-е изд., перераб. и доп. М.: Мир, 1979. - 589 с.

87. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967. - 253 с.

88. Розанов Ю.А. Случайные процессы (краткий курс) . М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. - 287 с.

89. Садовничий В.А. Теория операторов: Учеб. для вузов. 4-е изд., испр. и доп. -М.: Дрофа, 2001. -384 с.

90. Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 256 с.

91. Северцев Н.А., Дедков В.К. Системный анализ и моделирование безопасности: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 2006. - 462 с.

92. Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. -231 с.

93. Скороход А.В. Случайные линейные операторы. Киев. Наук, думка, 1979.-200 с.

94. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 4 ч. 1. 6-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. - 336 с.

95. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 4 ч. 2. 6-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 552 с.

96. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 5. М.: Гос. Изд-во. физ.-мат. лит., 1959. - 657 с.

97. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. 3-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. - 510 с.

98. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. -ДАН СССР, 1963, т. 153, № 1, с. 49-52.

99. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. // ДАН СССР, 1943, т. 39, №5, с. 131-198.

100. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. - 286 с.

101. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 232 с.

102. Тутубалин-В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1992. - 400 с.

103. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах, т.1: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 528 с.

104. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах, т.2: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 738 с.

105. Фишер Р. А. Статистические методы для исследователей. М.: Госстатиздат, 1958. - 270 с.

106. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. - 167 с.

107. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951. - 504 с.

108. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983. - 432 с.

109. Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2004. - 552 с.

110. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 176 с.

111. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. 3-е изд., перераб. и доп. -М.: МЦНМО, 2004. Кн. 1. - 520 с.

112. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. 2-е изд. - М.: Наука, 1976. - 255 с.

113. Яглом A.M. Корреляционная теория стационарных случайных функций. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. - 273 с.

114. Яглом A.M., Яглом И.М. Вероятность и информация. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 542 с.