Применение Принципа Лагранжа для построения оптимальных алгоритмов решения линейных обратных задач математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Баев, Андрей Валерьевич

• Баев, Андрей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Баев, Андрей Валерьевич

Введение

1 Обратные задачи и задачи оптимального восстановления

1.1 Простейтттие постановки задач

1.2 Обратная задача.

1.3 Задача оптимального восстановления в случае точного задания оператора и правой части обратной задачи.

1.4 Задача оптимального восстановления в случае погрешности задания правой части обратной задачи.

1.5 Задача оптимального восстановления в случае погрешности задания оператора и правой части обратной задачи

2 Общее исследование обратной задачи и задачи оптимального восстановления

2.1 Постановка задач общего вида.

2.2 Принцип Лагранжа

2.3 Достаточные условия существования решения ассоциированной задачи.

3 Задачи с выпуклым уравновешенным множеством априорных ограничений

3.1 Сведение задачи оптимального восстановления к задаче в конечномерном пространстве.

3.2 Приближение бесконечномерной задачи конечномерными задачами

3.2.1 Теоремы об аппроксимации.

3.2.2 Погрешность метода оптимального восстановления конечномерной задачи.

3.3 Общая схема ретттения обратной задачи.

3.4 Задачи оптимального восстановления в конечномерном пространстве

3.4.1 Общая схема ретттения.

3.4.2 Вспомогательные теоремы.

3.4.3 Задача оптимального восстановлеттия в случае, когда окрестность погрешности является прямоугольным параллелепипедом

3.4.4 Задача оптимального восстановления в случае, коt гда окрестность погрешности является тттаром

3.4.5 Случай малых погретттностей.

4 Применение алгоритма оптимального восстановления к решению интегральных уравнений

4.1 Постановка задачи и проверка условий

4.2 Алгоритм ретттения задачи оптимального восстановления для интегрального уравнения.

4.3 Интегральные уравнения первого рода.

4.3.1 Интегральное уравнение Фредгольма первого рода с непрерывным ядром.

4.3.2 Интегральное уравнение Абеля.

4.4 Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с непрерывным ядром.

4.5 Пример применения алгоритма.

5 Оптимальные алгоритмы в обратных задачах с истоко-представимым решением

5.1 Задачи с ограниченным истокопредставимым множеством априорных ограничений.

5.1.1 Постановка задачи и схема её ретттения

5.1.2 Решение ассоциированной задачи и поиск погрешности оптимального восстаттовления.

5.1.3 Поиск метода оптимального восстановления

5.2 Оптимальный регуляризирующий алгоритм.

5.2.1 Постановка обратной задачи

5.2.2 Метод расширяющихся компактов для оптимального восстановления значения функционала.

5.2.3 Вспомогательные утверждения.

5.2.4 Регуляризирующие свойства алгоритма.

5.2.5 Оптимальность алтчэритма.

6 Применение теории оптимального восстановления к задаче нахождения распределения намагниченности тела

6.1 Практическая задача размагничивания кораблей.

6.2 Экспериментальное исследование макета корабля.

6.3 Математическая модель.

6.4 Обезразмеривание математической модели.

6.5 Схема применения разработанной теории.

6.6 Результаты расчётов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение Принципа Лагранжа для построения оптимальных алгоритмов решения линейных обратных задач математической физики»

Актуальность темы диссертации.

Настоящая диссертация посвящена специальным вопросам математической теории обратных задач и задач оптимального восстановления, а также применению теории к практическим задачам. Существенная часть прикладных физических задач сводится к решению линейных обратных задач. Развитие теории обратных задач началось более века назад. На данный момент разработаны многочисленные методы их исследования, и построено много методов ретттения.

Все прикладные задачи имеют неточные входные данные. В связи с этим необходимо классифицировать обратные задачи по тому, как влияет погрешность входных данных на ответ задачи и на его погрешность. К примеру, Ж. Адамар ввёл классификацию обратных задач по так называемому свойству корректности [13]. Корректной (корректно поставленной) задачей он называл любую задачу, у которой решение

1) существует,

2) единственно и

3) непрерывно зависит от входных данных.

Все остальные задачи Ж. Адамар называл некорректными (некорректно поставленными). Т.е. некорректной считалась задача, у которой нарушается хотя бы одно из трех свойств корректной задачи. Курсивом во Введении выделяются термины, которые определены ниже в этой диссертации или определены в литературе, на которую даётся ссылка.

Оказывается, что абсолютное большинство обратных задач, к которым сводятся прикладные задачи, являются некорректно поставленными. В связи с этим в середине XX века начала развиваться теория некорректных задач, и начали разрабатываться методы их ретттения. Приближение для точного ретттения можно находить разными методами. Но в больтттинстве случаев сами некорректные задачи решать не имеет смьтсла. Именно на это обратил внимание Ж. Адамар. Однако, необходимость решать эти задачи осталась.

Линейную обратную задачу можно представить в виде следующей задачи поиска элемента

Az = и, z 6 М. (1)

Здесь z — "неизвестная характеристика" рассматриваемой задачи, и — "известная характеристика", А : Z U — "известный" линейный непрерывный оператор из нормированного пространства Z в нормированное пространство U, М С Z — "известное" множество априорных ограничений.

Для обратной задачи очень часто невозможно оценить погрешность решения. Это связано с тем, что информации о решении слишком мало. Но в ряде случаев возможно введение такого множества априорных ограничений, ч то существует конечная оценка погрешности решения. Основные результаты об исследовании априорной информации в обратных задачах можно найти в работах [94, 124, 46, 53].

Если множество априорных ограничений позволяет восстанавливать решение с конечной погрешностью, то в этом случае можно искать метод решения задачи, который имеет наименьшую погрешность среди всех возможных методов решения. Для этого обратной задаче сопоставляется задача оптимального восстановления. Основные результаты исследований зада.ч оптимального восстановления можно найти в работах [17, 16, 128, 37, 15] и в библиографии к ним. Применение задачи оптимального восстановления даёт "наилучшее" приближение к решению, т.е. приближение с минимально возможной априорной погрешностью.

Пусть в рассматриваемой задаче (1) требуется найти приближение для точного решения и погретттность этого приближения. А точнее, требуется найти приближение для информации, о точном решении и погрешность этого приближения по информации о данных и, А М. Смысл здесь следующий. В большинстве задач линейные пространства Z wU являются бесконечномерными. В связи с этим принципиально невозможно получить в качестве входной информации сами объекты и, А, М. Возможно линть задание некоторой конечной информации о них. Таким же образом обстоит дело с бесконечномерным вектором z. Строгое определение объектов и математическая постановка задач проведены в основной части этой диссертации. Этому полностью посвящена Глава 1.

Развитие теории задач оптимального восстановления длится около полувека. однако, липть недавно были получены результаты, позволяющие эффективно решать линейные задачи оптимального восстановления по информации определённого типа. В теории экстремальных задач давно был известен Принцип Лагранжа. Но лишь недавно была доказана связь мнооюителе;й Лагранжа, фигурирующих в Принципе Лагранжа, с алгоритмом решения задачи оптимального восстановления [101].

В большинстве прикладных работ по задачам оптимального восстановления рассматривается ситуация, когда множество М является бесконечномерным подмножеством линейного пространства Z. В связи с этим удавалось находить метод и погрешность оптимального восстановления лишь для конкретных задач [27, 3,15,111,104,103, 99,100,110, 54]. Более того, во многих публикациях рассматривается ситуация, когда область значений оператора А также бесконечномерна, а элемент и является бесконечномерным вектором. Заметим, что в прикладных задачах область значении оператора А всегда конечномерна.

Во многих прикладных задачах нет возможности найти приближение для решения с конечной погрешностью. Эта ситуация характерна, если известное множество априорных ограничений слишком широко, а информация об элементе и достаточно скудна. В этом случае можно применять, например, регуляризацию А. Н. Тихонова, т.е. строить так называемый рвгуляризирующий алгоритм. На данный момент построено большое множество регуляризирующих алгоритмов, введено много их классификаций, доказаны многочисленные теоремы об их свойствах. Основные результаты исследований можно найти в работах [93. 81, 122, 84, 107, 94, 11, 33, 46, 126, 8, 95] и в библиографии к ним.

Основной целью теории регуляризации некорректных задач является построение it исследование регуляризирующих алгоритмов. В этой теории известно, что в любой обратной задаче регуляризируютций алгоритм не единственный (если он существует). В связи с этим возникает проблема выбора того или иного алгоритма и проблема сравнения алгоритмов. Уже построено мттого так называемых оптимальных по порядку регуляризирующих алгоритмов. Но наиболее интересна задача построения оптимального регуляризирующего алгоритма и его эффективная реализация в компьютерной программе.

Понятийный аппарат и методы, применяемые в диссертации.

Работа опирается на терминологию и результаты из работ

1. по теории множеств [88, 55],

2. по топологии, функциональному анализу и теории литтейттых операторов [48, 68, 115, 129, 130],

3. по теории дифференциальных и интегральных уравнений [123, 133, 127, 131, 90, 52],

4. по теории обратных и некорректных задач [122, 46, 126, 95, 49, 91],

5. по выпуклому анализу и теории экстремальных задач [114, 132, 101, 85, 86, 35, 92],

6. по теории оптимального восстановления [17, 128, 37],

7. по линейному программированию [51, 71, 101],

8. по численным алгоритмам реттгения математических задач и их реализации в компьютерных программах [87, 89, 24, 20, 25, 105],

9. по языкам программирования [72, 67, 58, 105],

10. по классической теории электромагнитного поля [96, 112, 75, 74, 97].

В качестве основного инструмента исследования обратных задач автором диссертации были выбраны

• методы теории оптимального восстановления и

• теория регуляризации для некорректных задач.

Принцип Лагранжа используется автором настоящей диссертации в качестве фундаментальной теоремы, тта основе которой доказываются многие теоремы и строятся алгоритмы решения задач.

Цели диссертации.

Для настоящей работы ставилась задача достижения следующих целей.

1. Построение и обоснование алгоритма решения линейной задачи оптимального восстановления с множеством априорных ограничений, являющимся множеством непрерывных функций на отрезке, с известной константой Липшица и ограниченных по модулю известным числом.

2. Построение и математическое обоснование оптимального регуляри-зируютцего алгоритма для линейных обратных за.дач с истокопред-ставимьтм решением. Ставилась цель нахождения апостериорной оценки погрешности для искомого алгоритма.

3. Применение разработанной теории и построенных алгоритмов к решению задач с линейными интегральными уравнениями первого и второго рода. В данном случае рассматриваются только те задачи, в постановке которых присутствует выпуклое уравновешенное множество априорных ограничений.

4. Применение разработанной теории и построенных алгоритмов к решению прикладной физической задачи.

Среди целей имеются как чисто теоретические направления исследования, так и прикладные задачи.

Научная новизна.

В настоящей работе представлено несколько результатов, которые впервые были получены автором. Их краткая характеристика приведена в следующих двух списках. Первый список посвящён теоретическим результатам, второй посвящён результатам, относящимся к непосредственному применению теории для решения задач.

Теоретические результаты представлены в следующем списке.

1. Известно много форм постановки обратной задачи, таких что в задаче учитывается и используется то, что информация об операторе

А и о правой части и уравнения в задаче (1) задана с погрешностью. Считается, что погрешности задания правой части и оператора известны. Ранее было известно, как сводить обратную задачу с точно известным оператором А к задаче оптимального восстановления. Для случая неточного задания оператора таких результатов не было. Для этого случая автором впервые найдена такая форма постановки обратной задачи, что её можно свести к задаче оптимального восстановления. Эта форма постановки обратной задачи была названа сэт-постановкой. Автору удалось объединить всю информацию о погрешностях задачи в один объект, который был назван окрестностью погрешности, и свести обратную задачу в еэт-постановке к задаче оптимального восстановления.

2. Сформулирована связь задачи оптимального восстановления и обратной задачи в сэт-постановке.

3. Сформулированы и доказаны достаточные условия существования решения так называемой ассоциированной задачи. Ассоциированная задача — важная с исследовательской точки зрения задача; она применяется в Принципе Лагранжа, о котором было упомянуто выше.

4. Впервые построен, описан, обоснован и реализован в компьютерной программе многоэтапный алгоритм решения линейной задачи оптимального восстановления с ограниченным, выпуклым, уравновешенным множеством априорных ограничений. Автору удалось построить такой алгоритм, который применим к широкому классу задач. Суть алгоритма состоит в a) применении конечномерной аппроксимации, b) исследовании связи исходной задачи и её конечномерного аналога и c) решении задачи оптимального восстановления в конечномерном пространстве (в работе полностью исследованы случаи, когда в задаче присутствуют ограничения линейного или квадратичного вида).

На всех трёх этапах фундаментальную роль играет Принцип JTaгранжа. На нём основываются все теоремы, на которые опирается алгоритм.

Результаты применения теории представлены в следующем спттске.

1. Разработанная теория и построенные алгоритмы применены для построения оптимального регуляризирующего алгоритма для линейных обратных задач с истокопредстанимьтм решением. Автором не только построен оптимальный регуляризирующий алгоритм, но и доказаны его оптимальность и регуляризирующее свойство, а также найдена апостериорная оценка погрешности. Построенный алгоритм базируется на результатах работ по оптимальному восстановлению и по построению регуляризируютцих алгоритмов [101, 34].

2. Разработанная теория применена к решению задач с линейными интегральными уравнениями, в постановке которых присутствует выпуклое уравновешенное множество априорных ограничении. Автором описаны оптимальные алгоритмы решения a) интегральных уравнении Фредгольма первого и второго рода с непрерывным ядром, b) интегрального уравнения Абеля.

Работа алгоритмов проиллюстрирована па примере решения обратной задачи для уравнения теплопроводности.

3. Построенные алгоритмы применены к решению прикладной задачи нахождения вектора намагниченности (плотности магнитного момента) тела по информации о магнитном поле вне тела.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

На защиту выносятся положения теоретического и прикладного характера. Теоретические положения приведены в следующем списке.

1. Для случая, когда оператор А и правая часть и задачи (1) заданы с погрешностью, линейная обратная задача (1) с выпуклым уравновешенным множеством М сведена к задаче оптимального восстановления. Для этого понадобилось ввести сэт-постановку обратной задачи.

2. Обоснована связь обратной задачи в сэт-постановке и задачи оптимального восстановления.

3. Найдены достаточные условия существования ретттения ассоциированной задачи, которые широко применимы в решении практических задач.

4. Построен, обоснован и реализован в виде компьютерной программы алгоритм решения задачи оптимального восстановления, применимый в большинстве прикладных задач.

5. Показана универсальность Принципа Лагранжа для рассматриваемых задач: он используется при доказательстве большого числа теорем.

Положения прикладного значения приведены в следующем списке.

1. Разработан оптимальный регуляризируютций алгоритм для задачи (1) с множеством априорных ограничений вида М = ImV, где V — линейный инъективньтй компактный оператор, действующий из некоторого гильбертова пространства в пространство Z. Алгоритм позволяет решать задачи из рассмотренного семейства, не используя конечномерную аппроксимацию.

2. Многоэтапный алгоритм ретттения задачтт оптимального восстановления применён для задач с интегральными уравнениями и для прикладной обратной задачи поиска намагниченности тела по информации о магнитном поле вне тела.

Теоретическая и практическая значимость.

Полученные в работе результаты актуальны для

1) математических исследовании,

2) задач физики и

3) задач обработки результатов физического эксперимента.

Среди физических задач отметим

• обратные задачи механики,

• задачи томографии,

• обратные задачи астрофизики,

• обратные задачи геофизики,

• задачи спектроскопии,

• обратные задачи линейной оптики,

• обратные задачи линейной акустики,

• обратные задачи радиофизики,

• задачи исследования материалов и дефектов в них,

• задачи по обработке изображений.

Описанные в работе методы решения применимы к линейным обратным задачам, встречающимся в перечисленных областях.

Среди направлений математического исследования выделяются

• теория обратных задач.

• теория некорректных задач,

• теория задач оптимального восстановления.

• теория задач математической физики.

Доказанные в работе теоремы и построенные алгоритмы вносят существенный вклад в развитие перечисленных математических направлений.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на научном семинаре "Обратные задачи математической физики" под руководством А. Б. Бакутпинского, А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы, проводящемся в Научно-исследовательском вычислительном центре МГУ (28 февраля 2007 г., 3 октября 2007 г.); на научном семинаре кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (23 марта 2007 г.). Результаты работы докладывались на следующих конференциях.

• XIV-ая Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам "Ломоносов-2007", секция "Физика" (Россия, Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, физический факультет, 12 апреля 2007 г.).

• Международная конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвятцённая 75-летию академика М. М. Лаврентьева (Россия, Новосибирск, Дом Учёных СО РАН, 22 августа 2007 г.).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано б работ (2 статьи в электронном научном журнале, 2 статьи в печатных научных журналах и 2 тезиса конференций). Ещё 2 статьи приняты к публикации в научных журналах. В конце диссертации приведены ссылки на эти публикации.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, шести глав, заключения и списка литературы.

В первой главе приводятся различные варианты постановок обратных задач и задач оптимального восстановления. Рассматривается линейная обратная задача, и ей сопоставляются задачи оптимального восстановления линейного функционала, которые учитывают погрешность данных в обратной задаче. Проделаны предварительные построения, приведены примеры и указаны соображения, приводящие к постановке задач в наиболее общей форме. Окончательная чёткая формулировка задач и их исследование отложены до следующей главы.

Во второй главе приведены формулировка обратной задачи, формулировка задачи оптимального восстановления и формулировка ассоциированной задачи. Сформулирован Принцип Лагранжа. Доказана теорема существования решения ассоциированной задачи.

В третьей главе предложен алгоритм решения линейных обратных задач с выпуклыми и уравновешенными множеством априорных ограничений и окрестностью погрешности. По стандартной схеме обратная задача сводится к задаче оптимального восстановления, для исследования которой применяются теоремы, сформулированные в предыдущих главах. Пространство Z в задаче (1) во множестве случаев бывает бесконечномерным, поэтому для реализации численных алгоритмов необходимо свести исходную задачу к задаче, где вместо пространства Z и его подмножества М присутствуют их конечномерные аналоги. В третьей главе приведена схема конечномерной аппроксимации для задачи оптимального восстановления. Установлена связь решений исходной задачи и её конечномерного аналога. Сформулирована общая схема решения обратной задачи в сэт-постаповке. Приведены и обоснованы алгоритмы решения конечномерной задачи оптимального восстановления для входных данных различного вида.

В четвёртой главе приведены примеры применения описанных алгоритмов для обратных задач решения линейных интегральных уравнений. Рассматриваются задачи с интегральными уравнениями Фредголь-ма первого и второго рода и интегральным уравнением Абеля. В качестве дополнительной информации о решении в постановку задачи вводится множество априорных ограничений. Считается, что ядро и правая часть ттнтегрального уравнения заданы с погрешностью.

В пятой главе построенные алгоритмы и сформулированные теоремы применяются для исследования линейных обратных задач с истоко-представимьтм решением. Строится метод оптимального восстановления для задачи с множеством априорных ограничений вида М — V(Sr), где V : W —> Z — линейный непрерывный оператор из гильбертова пространства W в нормированное пространство Z, a Sr — шар в пространстве W известного радиуса г > 0 с центром в нуле. Для задачи (1) с множеством априорных ограничений М = Im V и линейным инъективным компактным оператором V строится оптимальный регуляризирутощий алгоритм. Доказывается оптимальность этого алгоритма и его регуля-ризирутощее свойство.

В шестой главе построенные алгоритмы применяются для решения прикладной обратной задачи восстановления вектора плотности магнитного момента у тгамагниченного тела.

Объём диссертации составляет 140 страниц. В ней имеется 15 рисунков. В списке литературы 133 наименования. Ключевые слова.

Обратные задачи, некорректные задачи, оптимальное восстановление, априорная информация о решении задачи, Принцип Лагранжа, конечномерная аппроксимация, линейные интегральные уравнения Фредгольма первого и второго рода, интегральное уравнение Абеля, истокопредста-вимое решение обратной задачи, оптимальный регуляризируютций алгоритм, апостериорная оценка погрешности, задача размагничивания кораблей.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Баев, Андрей Валерьевич

Заключение

В диссертации рассмотрена линейная обратная задача, в которой известно множество априорных ограничений и в которой входные данные заданы неточно. Этой задаче сопоставляется задача оптттмального восстановления, и обосновывается связь этих задач.

Диссертация посвящена исследованию задач оптимального восстановления и их применению к линейным обратным задачам. В работе получено много новых результатов различного плана: от фундаментальных теорем до алгоритмов решения частных, модельных задач. Главными результатами диссертации являются

• построение оптимального регуляризирующего алгоритма решения линейной обратной задачи с истокопредставимым решением и

• дополнительное развитие теории задач оптимального восстановления и применение её к решению прикладной задачи математической физики.

Для достижения этих результатов потребовалось глубокое исследование теории и развитие алгоритмов решения задач, поскольку теория и алгоритмы не были достаточно развиты.

Продемонстрирована универсальность Принципа Лагранжа для задач оптимального восстановления. Он используется в доказательстве большинства теорем в таких аспек тах, как

• конечномерная аппроксимация задачи оптттмального восстановления,

• исследование связи исходной задачи (т.е. задачи в бесконечномерном пространстве) с её конечномерным аналогом,

• построение численных алгоритмов решения конечномерных задач н задач в гильбертовых пространствах.

В ряде случаев Принцип Лагранжа позволяет решать задачу оптимального восстановления без использования конечномерной аппроксимации. Также были получены такие результаты, как

• достаточные условия существования ретттения ассоциированной задачи,

• апостериорная оценка погретттности для оптимального регуляризи-рующего алгоритма,

• достаточно универсальный алгоритм ретттения задачи оптимального восстановления, основанный на конечномерной аппроксимации.

Построенные алгоритмы применены к практическим задачам, что является конечной целью любой теории. Автор благодарен профессору Анатолию Григорьевичу Яголе за идеи, которые являются фундаментом этой работы, брату Владимиру за ценное обсуждение математических вопросов и за техническую помощь в создании публикаций, коллеге Дмитрию Витальевичу Лукьяненко за техническую помощь в создании диссертации и за внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Баев, Андрей Валерьевич, 2008 год

1. Bayev А. V., Yagola A. G. Optimal recovery in problems of solving linear integral equations with a priori information // J. 1.verse and Ill-Posed Problems. 2007. 15. N. 6. 569-586.

2. Bojanov B. D. Best reconstruction of differentiable periodic functions from their Fourier coefficients. Serdica B'lg. Mat. Spis. 1976. 2. 300304.

3. Brunotte X., Meunier G. Line element for efficient computation of the magnetic field created by thin iron plates. IEEE Transactions on Magnetics. 1990. 26, 2196-2199.

4. Dorofeeu K. Yu., Nikolaeva N. N., Titarenko V. N., Yagola A. G. New approaches to error estimation to ill-posed problems with applications to inverse problems of heat conductivity // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2002. 10. N. 2. 155-170.

5. Dorofeev K. Yu., Yagola A. G. The method of extending compacts and a posteriori error estimates for nonlinear ill-posed problems. // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2004. 12. N. 6. 627-636.

6. Duthoit F. M., Krahenbuhl L., Nicolas A. The boundary integral equation method for the extrapolation of field measurement. IEEE Transactions 011 Magnetics. 1985. 21. N. 6. 2439-2442.

7. Engl H. W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

8. Golomb M. Lectures on theory of approximation. Argonn Nat. Lab., Appl. Math. Division. 1962.

9. Gorenflo R., Ves,sella S. Abel Integral Equations. Analysis and Applications. Berlin: Springer, 1991.

10. Groetsch C. W. The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equations of the first kind. Boston: Pitman, 1984.

11. Guamieri, M., Stella A., Trevisan F. A methodological analysis of different formulations for solving inverse electromagnetic problem. IEEE Transactions 011 Magnetics. 1990. 26. N. 2. March.

12. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivces partielles lineaires hyperboliques. Paris: Hermann. 1932.

13. Hohage T. Regularization of exponentially ill-posed problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2000. 21. N1 3-4. 439-464.

14. Magaril-IVyaeu G. G., Osipenko K. Yu., Tikhomirov V. M. Optimal Recovery and Extremum Theory // Coinput. Methods and Function Theory. 2002. 2. N. 1. 87-112.

15. Melkrrian A. A., Micchelli C. A. Optimal estima/tion of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Nurrier. Anal. 1979. 16. N. 1. 87-105.

16. Micchelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory. New York: Plenum Press, 1977. 1-54.

17. Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures 011 optimal recovery // Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 1129. 21-93.

18. Nikolaeva N. N., Titarenko V. N., Yagola A. G. An error estimation for a solution of Abel equatioii // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2004. 25. N 1. 1-13.

19. Numerical Recipes official website, http: //www. nr. com

20. Ohlund G. Design of submarine for stealth and survivability. Hamburg: UDT, 1997.

21. Peetre J. Approximation of linear operators // Тр. Междунар. конф. по конструктивной теории функций (Варна, 1970). София, 1972. 245-263.

22. Pel Y. Н., Yeo Н. G. Sequential inversion of ship magnetization from measurements. 3-rd Marine Electromagnetics, Stockholm, Sweden, July, 2001.

23. Press W. H., Teukolsky S. A.; Vetterling W. Т., Flannery B. P. Numerical Recipes in C. http://www.f izyka.umk.pi/nrbook/bookcpdf.html/

24. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. Т., Flannery B. P. Numerical Recipes in C. http://www.nrbook.eom/a/bookcpdf.html

25. Rioux-Damidau F., Bandefier В., Penven P. A fast and precise determination of the static magnetic field in the presence of thin iron shells. IEEE Transactions on Magnetics. 1995. 31. N. 6. 3491-3493.

26. Sard A. Best approximate integration formulae; best approximation formulae // Airier. J. Math. 1949. 71. 80-91.

27. Seharlach R. Optimal recovery by linear functionals // J. Approxim. Theory. 1985. 44. N. 2. 167-172.

28. Singer I. Best approximation in noriried linear spaces by elements of linear subspaces. Bucharest, Acad. RSR; Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1970. 415 p.

29. Sukharev A. G. On the existence of optimal affine methods for approximating linear functionals // J. Complexity. 1986. 2. 317-322.

30. Titarenko V. N., Yayola A. G. The problems of linear and quadratic programming for ill-posed problems on some compact sets // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2003. 11. N. 3. 311-328.

31. Totterdell A. C. Magnetic signature control from conceptual design to ship operation. London: UDT, 1996.

32. Wahba G. Practical approximate solutions to linear operator equations when the data are noisy // SIAM J. Numer. Anal. 1977. 14. N. 4. 651-667.

33. Yagola A. G., Dorofeev K. Yu. Sourcewise representation and a posteriori error estimates for ill-posed problems. // Fields Inst. Communications: Operator Theory and Its Applications. Providence, RI: American Mathematical Society, 2000. 25. 543-550.

34. Алексеев В. M., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

35. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы ретттения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

36. Арестов В. В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Труды МИАН СССР. 189. М.: Наука, 1989. 3-20.

37. Арестов В. В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Матем. заметки. 1977. 22. № 2. 231-244.

38. Ахиезер Я. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука. 1965.

39. Баев А. В. Оптимальгтое восстановление и конечномерттая аппроксимация в линейных обратных задачах // Матем. Сборнттк. 2008. 199. № 12. (принято к публикации).

40. Баев А. В. Оптимальный регуляризирующий алгоритм восстановления функционала в линейных обратных задачах с истокопред-ставимьтм решением // Журнал Выч. Мат. и Мат. Физ. 2008. 48. № 11. (принято к публикации).

41. Баев А. В. Принцип Лагранжа в задаче оптимального обращения линейных операторов в конечномерных пространствах при наличии априорной информации о решении // Журнал Выч. Мат. и Мат. Физ. 2007. 47. № 9. 1512-1523.

42. Баев А. В. Принцип Лагранжа и конечномерная аппроксимация в задаче оптимального обращения линейных операторов // Вычисл. методы и программирование. 2006. 7. 2. 323-336. http://www.srcc.msu.su/num-meth

43. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.

44. Бахвалов Н. С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов па выпуклых классах функций // Журнал Выч. Мат. и Мат. Физ. 1971. 11. № 4. 1014-1016.

45. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: Изд-во иностр. лит., 1959.

46. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

47. Вайникко Г. М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-во Тартуского государственного университета, 1982.

48. Васильев Ф, П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

49. Васильева А. В., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1989.

50. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

51. Введенская Е. В. Об оптимальном восстановлении решения уравнения теплопроводности по неточно заданной температуре в различные моменты времени // Владикавказский матем. жури. 2006. 6. вып. 1. 1-16-1-21.

52. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. М.: МЦН-МО, 1999. 128 с.

53. Винокуров В. А. О порядке погрешности вычисления функции с приближённо заданным аргументом // Журн. Вьтч. Мат. и Мат. Физ. 1973. 13. № 5. 1112-1123.

54. Винокуров В. А. Регуляризуемьте функции в топологических пространствах и обратные задачи // Доклады АН СССР. 1979. 246. № 5. 1033-1037.

55. Buprri Н. Алгоритмы и структуры данных. М.: Мир, 1978. 360 с.

56. Габушин В. Н. Наилучшее приближение функционалов на некоторых множествах // Матем. Заметки. 1970. 8. Nfi 5. 551-562.

57. Габушин В. Я, О дифференцировании функций, определённых с ошибкой // Всесоюз. конф. по некорректным задачам (Фрунзе, 1979). Фрунзе: Илим, 1979. с. 37.

58. Габушин В. Н. Оптимальные методы вычисления значений оператора U(x), если х задано с погрешностью. Дифференцирование функций, заданных с погрешностью // Тр. МИ АН СССР. 1980. 145 . 63-78.

59. Гаркави А. Л. Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах // Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. 1969. Матем. Анализ. 75-132.

60. Голъштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и её приложения. М.: Наука, 1971.64