Алгоритмы решения обратных измерительных задач при неточных исходных данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Литасов, Василий Александрович

• Литасов, Василий Александрович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Литасов, Василий Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Регуляризирующие алгоритмы решения одномерных обратных измерительных задач.

1.1. Одномерные обратные измерительные задачи и дискретное преобразование Фурье

1.2. Регуляризирующие алгоритмы решения обратных измерительных задач для уравнения Вольтерра

1.3. Регуляризирующие алгоритмы решения обратных измерительных задач для уравнения Фредгольма.

1.4. Дескриптивные регуляризирующие алгоритмы.

Выводы по главе

ГЛАВА 2. Выбор параметра регуляризации и ошибки регуляризированных решений

2.1. Обобщенный критерий оптимальности регуляризирующего алгоритма.

2.2. Алгоритмы оценивания оптимального значения параметра регуляризации.

2.3. Сравнение алгоритмов выбора параметра регуляризации.

2.4. Числовые характеристики ошибки регуляризированного решения.

Выводы по главе.

ГЛАВА 3. Регуляризирующие алгоритмы восстановления изображения.

3.1. Регуляризирующий алгоритм восстановления изображения.

3.2. Частотно-пространственный алгоритм восстановления контрастных изображений.

Выводы по главе.

ГЛАВА 4. Пакет прикладных программ «DEC0NV1D».

Назначение и системные требования.

Интерфейс и решаемые задачи.

Выводы по главе

ГЛАВА 5. Идентификация параметров схемы замещения электрического разряда.

5.1. Функция переходной проводимости схемы замещения электрического разряда.

5.2. Алгоритм устойчивого вычисления производной напряжения.

5.3. Регуляризирующий алгоритм идентификации функции переходной проводимости.

5.4. Алгоритм идентификации параметров схемы замещения

5.5. Результаты эксперимента по идентификации параметров схемы замещения

Выводы по главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы решения обратных измерительных задач при неточных исходных данных»

Объект исследования. Объектом исследования диссертации являются разработка регуляризирующих алгоритмов решения обратных измерительных задач в постановках, когда и правая часть и ядро интегрального уравнения заданы со случайными погрешностями.

Актуальность работы. По ориентации задач относительно причинно-следственной связи в науке и технике можно выделить широкий класс задач, которые называются обратными задачами. В этих задачах по следствию необходимо определить причину наблюдаемого явления. К таким задачам относятся задачи восстановления сигналов и изображений, регистрируемые измерительными системами, описываемые интегральными уравнениями I рода с разностным ядром вида: k(t-T)(p{r)dT = f{t).

Из-за инерционности измерительной системы (функции &(г) не является 8-функцией) выходной сигнал (или изображение) / (t) может существенно отличаться (по амплитуде или фазе) от входного (р (г). Поэтому возникает задача восстановления входных сигналов или изображений: по зарегистрированным (или заданным) значениям функции f(t), к(т) необходимо оценить значения функции (р{т). Особенно часто такая возникает при обработке изображений, полученных с систем космических или астрономических наблюдений. К обратным задачам можно отнести и задачу идентификации импульсной функции динамической системы: по зарегистрированным значениям входного (р (т) и выходного f{t) сигналов необходимо оценить импульсную функцию к(т).

Такая задача часто возникает при описании стационарного линейного объекта моделью «черного» ящика с одним входом и одним выходом.

Рассмотренные задачи в зарубежной литературе объединяются одним названием - деконволюция интегрального уравнения. В отечественной литературе применяется термин обратные измерительные задачи, что подчеркивает необходимость решения обратных задач с использованием экспериментальных (измерительных) данных. Заметим, что при строгой постановке задач обработки и интерпретации экспериментальных данных большинство исследователей сталкивается с необходимостью решать обратные измерительные задачи.

Задачи деконволюции интегральных уравнений I рода относятся к классу некорректно поставленных задач - решение таких задач может не существовать или не иметь единственного решения или отсутствует непрерывная зависимость решения от исходных данных (другими словами, небольшим погрешностям исходных данных могут соответствовать существенные погрешности получаемых решений).

Для решения некорректно поставленных задач разработаны методы регуляризации. Фундаментальный вклад в развитие этих методов внесли советские и российские математики А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев, В.И. Иванов, В.Я. Арсенин, В.В. Васин, А.В. Гончарский, В.А. Морозов, А.Г. Ягола и другие, а также зарубежные математики. Методы регуляризации, учитывающие разностный характер ядра уравнения (1) и использующие интегральные и дискретные преобразования были предложены в работах В.Я. Арсенина, Ю.Е. Воскобойни-кова, А.И. Гребенникова, B.C. Сизикова и других.

Несмотря на большое число публикаций по решению некорректных задач, особенности постановок современных обратных измерительных задач либо игнорируются, либо учитываются не в полной мере в известных регуляризи-рующих алгоритмах деконволюции.

Как правило, предполагается, что с погрешностями задается только правая часть уравнения (1), а импульсная функция (ядро интегрального уравнения) k(f) известно точно. Однако на практике функция к(т) известна или измеряется также с некоторой случайной ошибкой. Так в задачах идентификации входной сигнал идентифицируемой системы измеряется с погрешностью, которая может иметь тот же уровень (или выше), что и погрешности правой части. Поэтому актуальным является учет погрешностей задания ядра, как на этапе построения регуляризированного решения, так и при выборе параметра регуляризации, от величины которого зависит точность решения задачи деконволю-ции. Актуальной остается проблема выбора параметра регуляризации при различной априорной информации о числовых характеристиках погрешностей задания правой части и ядра интегрального уравнения. Во многих случаях у экспериментатора имеется дополнительная априорная информация о качественных характеристиках искомого решения (например, неотрицательность решения, его монотонность на некоторых интервалах и т.д.). Очевидно, что учет такой априорной информации повысит точность регуляризированного решения. Однако в литературе отсутствуют описания эффективных регуляризирующих алгоритмов деконволюции, учитывающих подобную априорную информацию. При восстановлении изображений возникает необходимость построения регу-ляризирующего алгоритма с минимальной случайной и систематической ошибками. Это требование является противоречивым и разрешения этого противоречия является актуальной задачей при восстановлении контрастных изображений.

Таким образом, разработка регуляризирующих алгоритмов, учитывающих выше названные особенности современных постановок обратных измерительных задач является важной и актуальной задачей. Успешное решение этой задачи может существенно повысит «информационную отдачу» экспериментальных исследований.

Цель работы заключается в разработке, исследовании и программной реализации эффективных регуляризирующих алгоритмов решения обратных измерительных задач, учитывающих выше названные особенности постановок обратных измерительных задач.

Для достижения этой цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка и исследование эффективных регуляризирующих алгоритмов решения задач деконволюции одномерных и двумерных интегральных уравнений при неточно заданных разностных ядрах.

2. Разработка и исследование алгоритмов выбора параметра регуляризации при неточно заданных правых частях и ядрах одномерных и двумерных интегральных уравнений.

3. Разработка и исследование частотно-пространственного устойчивого алгоритма восстановления контрастных изображений.

4. Разработка нелинейного регуляризирующего алгоритма - дескриптивного алгоритма, учитывающего качественную или количественную априорную информацию об искомом решении.

5. Создание алгоритмического и программного обеспечения и решение на его основе важной практической задачи идентификации функции переходной проводимости эквивалентной схемы замещения электрического разряда.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы линейной алгебры, фильтрации дискретных сигналов, решения некорректно поставленных задач, теории вероятностей и математической статистики, нелинейного программирования. Для цифрового моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы теории алгоритмов и языков программирования, методы объектно-ориентированного программирования и современные технологии разработки программного обеспечения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработаны эффективные регуляризирующие алгоритмы деконволюции одномерных и двумерных интегральных уравнений, у которых правая часть и ядро измерены (или заданы) со случайными погрешностями.

2. Разработаны эффективные алгоритмы выбора параметра регуляризации, позволяющие оценить оптимальный параметр регуляризации. Построены несмещенные оценки для дисперсий погрешностей задания правой части и ядра интегрального уравнения.

3. Разработан устойчивый нелинейный алгоритм восстановления контрастных изображений с заданной разрешающей способностью.

4. Построен эффективный дескриптивный регуляризирующий алгоритм на основе дискретного преобразования Фурье, учитывающий априорные ограничения на решение, задаваемые системой неравенств.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Регуляризирующий алгоритм деконволюции одномерного интегрального уравнения, когда правая часть и ядро уравнения заданы со случайными погрешностями.

2. Регуляризирующий алгоритм деконволюции двумерного интегрального уравнения, когда правая часть и ядро уравнения заданы со случайными погрешностями.

3. Статистические алгоритмы оценивания оптимального параметра регуляризации, построенные на основе критерия оптимальности и обобщенного принципа невязки.

4. Частотно-пространственный алгоритм восстановления контрастных изображений.

5. Нелинейный дескриптивный регуляризирующий алгоритм деконволюции одномерных интегральных уравнений при неточно заданном ядре.

6. Пакет прикладных программ для моделирования и решения обратных измерительных задач.

Практическая значимость работы. Теоретические результаты диссертационной работы могут являться основой для построения и программной реализации алгоритмов решения одномерных и двумерных обратных измерительных задач, а также обратных задач большей размерности. Разработан пакет прикладных программ, предназначенный для решения обратных измерительных задач и реализующий различные алгоритмы построения регуляризирован-ных решений и различные способы выбора параметра регуляризации. Пакет или его функциональное наполнение может быть использован в составе программного обеспечения в различных автоматизированных системах обработки экспериментальных данных. С использованием разработанных алгоритмов решена задача идентификации функции переходной проводимости схемы замещения электрического разряда. Исследована точность решения этой задачи идентификации.

Достоверность научных результатов работы подтверждается строгостью постановок задач деконволюции, доказательством ряда утверждений о построении регуляризирующих алгоритмов и способов выбора параметра регуляризации, а также результатами обширного вычислительного эксперимента.

Внедрение результатов работы. Разработанные регуляризирующие алгоритмы деконволюции одномерного интегрального уравнения использовались в научных и прикладных исследованиях, проводимых в Электротехническом институте Томского политехнического университета при выполнении НИР и связанных с идентификацией параметров эквивалентной схемы замещения электрического разряда (имеется акт о внедрении результатов диссертационной работы). Результаты диссертации использовались в учебном процессе при чтении учебного курса «Методы решения некорректных задач идентификации», читаемого магистрантам факультета автоматики Новосибирского государственного технического университета (НГТУ).

Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на:

• научных семинарах направления «Математика и компьютерные технологии» НГАСУ (2005,2006,2007 годы);

• научно-технических конференциях ППС НГАСУ (2005,2006,2007 годы);

• Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004);

• 13-й Международной Байкальской школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2005);

• Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006);

• Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 14 публикациях, в том числе 7 научных статей, вошедших в перечень изданий, рекомендованных ВАК, 3 публикации в трудах международных конференции.4-тр. HTACS

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 78 наименования, приложения. Объем диссертации составляет 14Б страниц основного текста, в том числе содержит 27 рисунков и 4 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Литасов, Василий Александрович

ВЫВОДЫ

1. Использование устойчивых алгоритмов дифференцирования и решения интегральных уравнений, эффективно учитывающих погрешности исходных данных решаемой задачи позволило получить решение задачи идентификации параметров схемы замещения с приемлемой точностью.

2. Предложенный регуляризирующий алгоритм можно использовать для идентификации более сложных функций переходной проводимости, соответствующих более высокой степени характеристических многочленов эквивалентных схем замещения газового разряда.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Литасов, Василий Александрович, 2007 год

1. Базара М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы / М. Базара, К. Шетти ; пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 584 с.

2. Бессонов JI.A. Теоретические основы электротехники/ Бессонов JI.A. М. : Гардарики, 1999. - 638 с.

3. Васин В. В. Некорректные задачи с априорной информацией /

4. B. В. Васин, А. Л. Агеев. Екатеринбург: Наука, 1993. - 264 с.

5. Воскобойников Ю. Е. Выбор параметра регуляризации и ошибки восстановления входного сигнала в методе статистической регуляризации / Ю. Е. Воскобойников // Автометрия. 1975. - № 4.1. C. 10-18.

6. Воскобойников Ю. Е. Выбор параметра регуляризации при решении обратных измерительных задач / Ю. Е. Воскобойников, Н. Г. Преображенский // Автометрия. 1984. - № 2. - С. 31-38.

7. Воскобойников Ю. Е. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике / Ю. Е. Воскобойников, Н. Г. Преображенский, А. И. Седельников. Новосибирск : Наука, 1984. - 238 с.

8. Воскобойников Ю. Е. Частотный подход к оценке точности сглаживания и дифференцирования экспериментальных данных на основе сглаживающих сплайнов / Ю. Е. Воскобойников // Автометрия. 1986. - № 1. - С. 38-43.

9. Воскобойников Ю. Е. Решение обратных измерительных задач с заданными точностными характеристиками / Ю. Е. Воскобойников // Автометрия. -1988.-№2.-С. 13-21.

10. Воскобойников Ю. Е. Решение обратных измерительных задач на выпуклых множествах / Ю. Е. Воскобойников / Ю. Е. Воскобойников // Автометрия. -1990.-№1.-С. 21-28.

11. Воскобойников Ю.Е. Нелинейные комбинированные алгоритмы фильтрации зашумленных сигналов и изображения / Ю. Е. Воскобойников //Автометрия.-1990.- №1. С.21 28.

12. Воскобойников Ю.Е. Алгоритмы фильтрации изображений с адаптацией размеров апертуры / Ю.Е. Воскобойников, В.Г. Белявцев // Автометрия . -1998. -№3.- С. 18-25.

13. Воскобойников Ю. Е. Дескриптивный алгоритм восстановления входных сигналов оптических систем / Ю. Е. Воскобойников, К. А. Втюрин, В. А. Литасов // Автометрия. 2005. - Т. 41, № 3. - С. 3-10.

14. Воскобойников Ю. Е. Регуляризирующий алгоритм непараметрической идентификации при неточных исходных данных / Ю. Е. Воскобойников, В. А. Литасов // Научный вестник НГТУ. 2005. - № 2 (20). - С. 33-45.

15. Воскобойников Ю.Е., Кузнецов A.M. Новый алгоритм адаптации апертуры векторных локальных фильтров // Автометрия . 2005. т. 41. № 5. с. 3 -10.

16. Воскобойников Ю. Е. Устойчивый алгоритм идентификации параметров эквивалентной схемы замещения электрического разряда / Ю. Е.

17. Воскобойников, В. А. Литасов // Научный вестник НГТУ. 2006. - № 4 (25). -С. 3-16.

18. Гончарский А. В. Обобщенный принцип невязки / А. В. Гончарский, А. С. Леонов и др. // ЖВМиМФ. 1973. - Т. 13, №2.-С.294-302.

19. Гордонова В. И. Численные алгоритмы выбора параметра регуляризации / В. И. Гордонова, В. А. Морозов // ЖВМиМФ. 1973. -Т. 13, №3.

20. Жуковский Е. Л. Статистическая регуляризация алгебраических систем уравнений / Е. Л. Жуковский // ЖВМиМФ. 1972. - Т. 12, № 1. - С. 185191.

21. Исаев Ю.Н. Определение параметров двухполюсника при воздействии импульсного напряжения / Ю.Н. Исаев, В.А. Колчанова, Т.Е. Хохлова // Электричество. 2006. № 1 - С. 64-67.

22. Лаврентьев М. М. Линейные операторы и некорректные задачи / М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев. М.: Наука, 1991. - 331 с.

23. Литасов В.А. Метод L-кривой и устойчивый алгоритм восстановления изображений / В.А. Литасов // Труды НГАСУ. -2006. т.9. - № 3(35). - С. 28-33.

24. Морозов В. А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации / В. А. Морозов // ЖВМиМФ. 1968. - Т. 8, № 2. -С. 295-309.

25. Морозов В. А. Об оптимальной регуляризации операторных уравнений / В. А. Морозов // ЖВМиМФ. 1970. - Т. 10, № 4. -С. 818-829.

26. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В. А. Морозов. М.: Наука. 1987. - 240 с.

27. Морозов В. А. Об алгоритмах дескриптивной регуляризации решений интегральных уравнений Фредгольма I рода / В. А. Морозов, Н. JL Гольдман. М.: Изд-во МГУ, 1976. - С. 52-72.

28. Морозов В. А. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект / В. А. Морозов, А. И. Гребенников. М. : Изд-во МГУ, 1992.-319 с.

29. Мухина И. Н. Дескриптивный регуляризующий алгоритм решения плохо обусловленных систем уравнений / И. Н. Мухина // Труды НГАСУ. -Новосибирск : Изд-во НГАСУ, 1999. Т. 2, № 1 (4). -С. 11-16.

30. Претт У. Цифровая обработка изображений / Претт У.; Кн. 2. М.:Мир, 1982,- 480 с.

31. Рихтер Д. Программирование на платформе Microsoft .NET Framework I Д. Рихтер; пер. с англ. 2-е изд., испр. - М.: Издательско-торговый дом «Русская Редакция», 2003. - 512 стр.: ил.

32. Самойлович В.И. Физическая химия барьерного разряда/В.И. Самойлович, К.В. Гибалов, В.К. Козлов. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 360 с.

33. Сизиков В. С. Математические методы обработки результатов измерений /

34. B. С. Сизиков. С-Пб.: Изд-во Политехника, 2001. - 240 с.

35. Сизиков В. С. О способах невязки при решении некорректных задач / В. С. Сизиков // ЖВМиМФ. 2003. - Т. 43, № 9. - С. 1294-1312.

36. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 153, № 1.1. C. 49-52.

37. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации / А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 151, № 3. -С. 501-504.

38. АЪ.Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. М.: Наука, 1986. - 285 с.

39. Тихонов А. Н. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов и др. -М.: Наука, 1988.- 198 с.

40. Тихонов А. Н. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов и др. М.: Наука, 1990. -231с.

41. Турчин В. Ф. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач / В. Ф. Турчин, В. П. Козлов и др. // Успехи физических наук. 1970. - Т. 102, № 3. - С. 345-386.

42. Турчин В. Ф. Восстановление оптических спектров и других неотрицательных функций по методу статистической регуляризации / В. Ф. Турчин, JI. С. Туровцева // Оптика и спектроскопия. 1974. - Т. 36, № 2. -С. 280-287.

43. Федотов А. М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных / А. М. Федотов. Новосибирск : Наука, 1990. - 279 с.

44. Фролов А.В. Язык С#/ Фролов А.В., Фролов Г.В. //Самоучитель. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. 560 с.

45. Ягола А. Г. О выборе параметра регуляризации по обобщенному принципу невязки / А. Г. Ягола // ДАН. 1979. - Т. 245, № 1. -С. 37-39.

46. Bertero М. Regularized and positive-constrained inverse methods in the problem of object restoration / M. Bertero, V. Dovi // Opt. Act. 1981. - V. 28, № 12. - P. 1635-1649.

47. Engl H. W. A posteriori parameter choice methods for general methods for solving linear ill-posed problems / H. W. Engl, H. Gfrerer // Appl. Numer. Math. -1988.-№4.-P. 395-417.

48. Engl Н. W. Using the L-curve for determining optimal regularization parameter / H. W. Engl, H. Gfrerer I I Appl. Numer. Math. 1994. -№69.-P. 25-31.

49. Engl H. W. A regularization of inverse problems / H.W. Engl, M. Hanke, F. Neubauer. Kluwer Academic Publisher, 2000. - 383 c.

50. Hansen P. C. Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve / P. C. Hansen // SIAM Review. 1999. -V. 34. - P. 561-580.

51. Hansen P. C. Rank-deficient and discrete ill-posed problems / P. C. Hansen. SIAM monographs on mathematical modeling and computation. Philadelphia, 1998.-282 p.

52. Karajiannis N. B. Regularization theory in image restoration the stabilizing functional approach / N. B. Karajiannis, A. N. Venetsanopoulos // IEEE Trans, on Acoust. Speech and Sign. Proces. - 1990. - V. 38, №7.-P. 1155.

53. Lukas M. A. Comparison of parameter choice methods for regularization with discrete noisy data /M. A. Lukas //Inverse Problem. V. 14, № 2. - P. 161-184.

54. Vogel C. R. Non-convergence of L-curve regularization parameter selection method / C. R. Vogel // Inverse Problems. 1996. - V. 12, № 4. - P. 535-547.

55. Voskoboinikov Yu. E. Estimating the optimal parameter of regularizing algorithms for image restoration / Yu. E. Voskoboinikov // Optoelectronics, Instrumentations and Data Processing. 1995. - № 3. - P. 64.

56. Voskoboinikov Yu. E. Choice of the regularization parameter at unknown noise level / Yu. E. Voskoboinikov // Proceedings of the International Conference «Ill-posed and Inverse Problems». Novosibirsk : Изд-во Института математики CO РАН, 2003.-С. 32-35.

57. Voskoboinikov Yu. E. Descriptive restoration algorithm of the input signals of optical systems / Yu. E. Voskoboinikov, V. A. Litasov // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2005. V. 41, № 3. - P. 3-11.

58. Voskoboinikov Yu. E. A stable image reconstruction algorithm for inexact point-spread function / Yu. E. Voskoboinikov, V. A. Litusov // Optoelec6tronics, Instrumentation and Data Processing. 2005. V. 42, № 6. - P. 3-12.

59. Voskoboinikov Yu. E. Regularizing algorithm of two dimensional deconvolution with noise kernel / Yu. E. Voskoboinikov, V. A. Litasov // Труды международной конференции «Тихонов и современная математика». М.: Изд-во МГУ.- 2006. С. 67-72.

60. Voskoboinikov Yu. Е. Local regularizing deconvolution algorithm with noise kernel / Yu. E. Voskoboinikov // Труды международной конференции «Тихонов и современная математика». М.: Изд-во МГУ.- 2006. С. 73-78.

61. Wahba G. Smoothing noisy data with spline functions / G. Wahba. Numer. Math. 1975. - v. 24, № 2. - P. 383-393.

62. Youla D. C. Image restoration by the method of convex projections / D. C. Youla, H. Webb I I IEEE Trans. On Medical Imaging. 1982. - V. 1, № 2. -P. 81-103.