Методы решения линейных некорректных задач с априорной информацией и оценка погрешностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Чжан Е

• Чжан Е
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Чжан Е

Содержание

Введение

1 Метод решения линейных некорректно поставленных обратных задач математической физики на множестве ограниченных кусочно-выпуклых функций

1.1 Теория регуляризации на множестве ограниченных кусочно-выпуклых функций

1.2 Постановка физической задачи

1.3 Общая схема поиска приближенного решения и методы оценки погрешности

1.4 Конечномерная аппроксимация

1.5 Метод точек перегиба

1.5.1 Случай одной точки перегиба

1.5.2 Случай нескольких точек перегиба

1.5.3 Теорема о сложности метода точек перегиба

1.5.4 Метод локального полного перебора

1.6 Численный эксперимент

1.6.1 Модельная задача 1 (недоопределённая система)________56

1.6.2 Реальная задача

1.6.3 Модельная задача 2 (переопределённая система)________67

2 Применение принципа Лагранжа к линейным некорректно поставленным обратным задачам

2.1 Постановка задачи и метод решения

2.2 Выпуклость и уравновешенность множества априорной информации

2.3 Новая постановка задачи и ее конечномерная аппроксимация

2.4 Принцип выбора нормального множителя Лагранжа

2.4.1 Первый подход

2.4.2 Второй подход

2.4.3 Третий подход

2.4.4 Четвертый подход

2.5 Методы выбора параметра регуляризации а

2.5.1 Априорный выбор параметра регуляризации

2.5.2 Апостериорный выбор параметра регуляризации________98

2.6 Регуляризирующее и оптимальное свойства алгоритма________99

2.7 Общий алгоритм решения операторного уравнения

2.8 Численный эксперимент

2.8.1 Пример 1

2.8.2 Пример 2

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы решения линейных некорректных задач с априорной информацией и оценка погрешностей»

Введение

Диссертационная работа посвящена некоторым новым методам решения некорректно поставленных обратных задач математической физики с использованием априорной информации о решении и оценке погрешности приближённого решения, которое может быть получено с помощью этих методов.

В работе строится регуляризирующий алгоритм решения линейных некорректно поставленных обратных задач на множестве ограниченных кусочно-выпуклых функций — метод точек перегиба (МТП), и строится оценка погрешности приближённого решения. С помощью этого метода решаются задачи математической физики, численное решение которых сводитс!^1^еобх6лдмости решать недоопределённые и переопределённые системы линейных алгебраических уравнений.

В работе также исследуется теория оптимальной регуляризации на ограниченных выпуклых и уравновешенных множествах. Строится так называемый поточечный псевдооптимальный (оптимальный в некотором смысле) регуляризирующий алгоритм решения линейных некорректно поставленных обратных задач и получается псевдооптимальная (поточечная и общая) апостериорная оценка погрешности решения. С помощью этого алгоритма решается одномерное (а также двумерное) линейное операторное уравнение в общем виде с некоторой априорной информацией о решении.

Актуальность темы Многие современные задачи математической физики являются обратными задачами, которые могут быть представлены в виде операторного уравнения

Аг — и, г е г, и е и, (0.1)

где Z - пространство решений, а и - пространство измерений. Физический смысл г, А и и следующий: г - искомая физическая характеристика исследуемого объекта, А - оператор, определяющий преобразование искомого решения 2; в результат измерений и. Большинство обратных задач заключается в том, что даны неточные правая часть и оператор, и нужно найти приближённое решение, хорошо аппроксимирующее точное решение.

Большинство обратных задач, к которым сводятся прикладные задачи математической физики, являются некорректно поставленными. По определению Адамара корректной (корректно поставленной) задачей называется любая задача, у которой решение: (а) существует, (б) единственно и (в) непрерывно зависит от входных данных. А все остальные задачи Адамар называл некорректными (некорректно поставленными). Другими словами, некорректной считалась задача, у которой нарушается хотя бы одно из трёх приведённых выше свойств. Проблемы существования и единственности решения на практике обычно решаются с помощью введения понятия обобщённого (или квази-) решения. А вот проблема устойчивости решения задачи по отношению к возмущениям входных данных имеет принципиальное значение при практическом решении обратных задач на ЭВМ. Именно в связи с наличием неустойчивости решений реальных задач и появилась теория регуляризации.

Российским математиком А. Н. Тихоновым в 60-х годах прошлого века были заложены основы теории решения некорректных задач. Им же был предложен регуляризирующий алгоритм, основанный на вариационном подходе. Позже возник ряд других регуляризирующих алгоритмов, например: итерационные, спектральные и т.д..

В настоящее время двумя важными направлениями исследований в этой области являются:

1) поиск хотя бы одного регуляризирующего алгоритма, с помощью

которого можно решить поставленную практическую задачу;

2) поиск так называемого оптимального (в некотором смысле) регуля-ризирующего алгоритма, который позволит получить наилучшее (в том же смысле) решение, а также, если это возможно, оценить его погрешность.

В диссертационной работе проведена работа по этим обоим направлениям.

1) Решена задача восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере.

Известно, что характеристики частиц аэрозоля, которые могут быть описаны функцией распределения размеров частиц, играют очень _ _.важную рольв задачах-моделирования-кл-имата. Эта-задача-носит важный прикладной характер. Был разработан новый регуляризи-рующий алгоритм, который использует априорную информацию о свойствах искомого решения и позволяет решить эту задачу, а также оценить его погрешность.

2) Решена задача построения оптимального (в некотором смысле) ре-гуляризирующего алгоритма. Эта задача непосредственным образом связана с задачей оптимальной оценки погрешности решения, полученного с помощью этого регуляризирующего алгоритма. Как известно, для большинства обратных задач математической физики (которые являются некорректно поставленными) невозможно оценить погрешность решения, но в ряде случаев возможно введение такого множества априорных ограничений (накладываемых на решение, исходя из его физических свойств), что возможно выполнить конечную так называемую апостериорную оценку погрешности решения. В этом случае можно найти метод решения задачи, апосте-

риорная погрешность решения которой с помощью этого метода является наименьшей для всех возможных решений, полученных различными методами. Т.е. решение линейной некорректно поставленной обратной задачи будет заключаться в построении и применении псевдооптимального регуляризирующего алгоритма.

Цель работы

1) Создание регуляризирующего алгоритма решения некорректно поставленных обратных задач математической физики на множестве ограниченных кусочно-выпуклых функций, а также оценки погрешности полученного приближенного решения (в диссертационной работе в качестве примера применения разработанного алгоритма приведено решение задачи восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере).

2) Создание поточечного псевдооптимального регуляризирующего алгоритма решения линейных некорректно поставленных обратных задач математической физики на ограниченных выпуклых и уравновешенных множествах и алгоритма вычисления псевдооптимальной апостериорной оценки погрешности решения, полученного с помощью этого алгоритма (в диссертационной работе в качестве примера применения разработанного алгоритма приведено решение обратной задачи для уравнения теплопроводности и задачи восстановления истинного изображения по дефокусированному).

Положения, выносимые на защиту На защиту выносятся положения теоретического и прикладного характера.

1) Метод точек перегиба для решения линейных некорректно поставленных обратных задач математической физики с априорной информацией о принадлежности решения к множеству ограниченных

кусочно-выпуклых функций и способ оценки погрешности полученного приближённого решения.

2) Численный метод и соответствующий программный комплекс решения прикладной обратной задачи (восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере) с помощью метода точек перегиба.

3) Метод построения поточечного псевдооптимального регуляризиру-ющего алгоритма и способ вычисления псевдооптимальной (поточечной и общей) апостериорной оценки погрешности приближённого решения, полученного с помощью этого метода.

4) Многошаговые алгоритмы и соответствующие программные комплексы решения обратной задачи для уравнения теплопроводности и задачи восстановления истинного изображения по дефокусирован-ному.

Научная новизна Автором впервые был создан метод точек перегиба и поточечный псевдооптимальный регуляризирующий алгоритм решения линейных некорректно поставленных задач на некоторых специальных множествах и получены методы оценки погрешности полученных приближённых решений.

С помощью этих методов были решены практическая задача восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере, обратная задача уравнения теплопроводности и задача восстановления истинного изображения по дефокусированному.

Эти методы решения конкретных задач реализованы в виде комплекса программ.

Теоретическая И практическая значимость Результаты, полученные в диссертации, могут быть применены как для решения рассмот-

ренных в диссертационной работе задач математической физики (задача восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере, задача решения обратной задачи для уравнения теплопроводности, задача восстановления истинного изображения по дефокуси-рованному), так и для решения многих других прикладных линейных некорректно поставленнных обратных задач. Среди задач математической физики отметим обратные задачи механики, задачи томографии, обратные задачи астрофизики, обратные задачи геофизики, задачи спектроскопии, обратные задачи линейной оптики, обратные задачи линейной акустики, обратные задачи радиофизики, задачи исследования материалов и дефектов в них, задачи обработки изображений. Описанные в работе методы решения применимы к линейным обратным задачам, встречающимся в перечисленных областях.

ЛИЧНЫЙ вклад автора Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка математической задачи и анализ научных результатов проводились под руководством А. Г. Яголы и при совместном обсуждении с Д. В. Лукья-ненко. Постановка задачи восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере проводилась совместно с Я. Ван из Институте геологии и геофизики Китайской академии наук. Основное содержание диссертационной работы и её результатов полностью отражено в девятых научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим. Апробация работы Основные результаты диссертационной работы были представлены: на международной конференции «The Second International Workshop on Computational Inverse Problems and Applications» (Китай, Пекин, 12-15 июля 2010 года, Институт геологии и геофизики Китайской Академии Наук); на научном семинаре «Обратные задачи математической физики» под руководством А. Б. Бакушинского,

А. В. Тихонравова и А. Г. Яголы, проводящемся в НИВЦ МГУ (28 марта 2012 года и 11 декабря 2013 года); на международной конференции «4th International conference on « Function spaces. Differential operators. General topology. Problems of mathematical education» (Москва, 25-29 марта 2013 года, РУДН); на международной конференции «4th International Symposiurr on «Inverse problems, Design and Optimization Symposium» » (Франция, Альби, 26-28 июня 2013 года); на международной конференции «The Third International Workshop on Computational Inverse Problems and Applications» (Китай, Нанчанг, 8-12 июля 2013 года, Восточно-китайский технологический институт); на международной конференции «Методы создания, исследования и идентификации математических моделей» (Новосибирск, Академгородок, 10-13 октября 2013 года); на международной конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, Академгородок, 8-13 октября 2013 года) ; на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора В. Ф. Буту-зова (04 декабря 2013 года).

Публикации По теме диссертации опубликовано 9 работ, из которых 3 статьи в рецензируемых печатных научных журналах [1-3] и 6 тезисов конференций [4-9]. В журналах из списка ВАК опубликовано 3 статьи [1-3].

Структура работы Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы (79 наименований). Общий объём работы составляет 122 страниц.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ рассматривается теория регуляризации на множестве ограниченных кусочно-выпуклых функций и построен метод точек перегиба для задач, численное решение которых сводится к необходимости решать недоопределённые системы линейных алгебраических уравнений (в диссертационной работе в качестве примера приме-

нения разработанного метода приведено решение задачи восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере) и переопределённые системы линейных алгебраических уравнений (в диссертационной работе в качестве примера приведено решение интегрального уравнения с ядром функции Грина).

Если предположить, что частицы аэрозоля в атмосфере можно описать шаровыми частицами, показатели преломления вещества которых известны, то соотношение между оптической толщиной рассеяния аэрозолем излучения с определённой длиной волны и функцией распределения размеров частиц можно описать в интегральном виде:

ОО 00

Таего{Л) = 11 тгг2(Зех^г,\,г1)п(г,г)(1г(1г. (0.2)

о о

Здесь п(г, г) <1г - функция плотности частиц аэрозоля с радиусами частиц, лежащими в интервале между гиг + йг1, на высоте г, С^ех^т> А, т)) -эффективный фактор поглощения излучения с определенной длиной волны частицами аэрозоля по теории Ми, 77 - комплексный показатель преломления, Л - длина волны излучения, таего - измеряемая с помощью фотометра величина оптической толщины рассеяния аэрозоля. Пусть п(г) = /0°° п(г, г) (1х, уравнение (0.2) можно переписать в виде:

ОО

Таето(А) = I ТГГ2де^(г, Л, 7?) п(г) &Г. (0.2')

О

В этом случае п(г) играет роль функции плотности частиц аэрозоля радиуса г в вертикальном сечении атмосферы. Она показывает, что в единичном объёме атмосферы находится п(г) дх частиц аэрозоля с радиусами, распределёнными в интервале между г и т + йг. Кроме того, практический интерес представляют частицы с радиусом, заключенным в интервале [0.1, 2.0] мкм.

Функцию распределения размеров частиц аэрозоля п(г) обычно определяют как произведение функций Н(г) и /(г), где Н(г) - быст-

ро убывающая функция, /(г) - медленно меняющаяся функция. Исходя из того, что большинство измерений функции распределения размеров частиц аэрозоля над континентами показывают, что эти функции могут быть описаны юнговским распределением И(г) = (г;* -

константа формы частицы, которые обычно имеют характерный размер [0.1,4.0] мкм), имеет смысл использовать /г(г) в виде указанного юнгов-ского распределения с весовым коэффициентом /(г).

На практике в качестве входных данных обычно используют результаты измерения оптической толщины рассеяния аэрозоля только для небольшого числа длин волн что связано с техническими

ограничениями используемых измерительных приборов.

Т.е. на практике получается система из четырёх уравнений

1*1*г2<Эеал1г,\^т1)Н(г) Кг)<1г = таего{Х3), з = 1,2,3,4, (0.3)

в результате решения которой необходимо найти непрерывную функцию /(г). Очевидно, что такая задача является некорректно поставленной. Для её решения необходимо построить регуляризирующий алгоритм. Существуют различные регуляризирующие алгоритмы, но в данной работе предлагается новый эффективный регуляризирующий алгоритм (метод точек перегиба) решения поставленной задачи, основанный на минимизации функционала невязки методом сопряжённых градиентов с проекцией на множество ограниченных кусочно-выпуклых функций (исходя из априорной физической информации о поведении решения). Заметим, что в этом методе параметром регуляризации является число и положение точек перегиба.

В диссертации рассматриваются два случая.

Первый случай, когда априорно известно, что точное решение имеет только одну точку перегиба. Тогда с помощью полного перебора всех возможных точек и метода сопряжённых градиентов с проекцией на мно-

жество ограничений определяется положение точки перегиба и находится соответствующее приближённое решение. На основе полученного решения, используя априорную информацию о выпуклости (вверх и вниз), строится так называемые верхнее и нижнее решения, которые задают гарантированный коридор погрешности: /'(г) и /и(г). В результате вычисляются поточечная погрешность Д(?7, г) = /и(г) — /г(г) и максимальная погрешность А(77) = шах (/"(г) — /г(г)).

Второй случай, когда априорно известно, что точное решение имеет больше одной точки перегиба. В этом случае рассматриваются различные варианты, используя теорию сложности вычислений. Если известна точная верхняя грань для количества точек перегиба, то исходная задача (0.2') принадлежит классу Р [51-53]. В противном случае, задача (0.2') уже принадлежит классу КР-полному [51-53,55]. В результате, построив метод локального полного перебора, с помощью метода сопряжённых градиентов с проекцией на множество ограничений можно найти приближённое решение исходной задачи (0.2').

Для проверки разработанных методов сначала была рассмотрена модельная задача. Функция распределения размеров частиц аэрозоля была задана в виде пеа;а^(г) = 4 • г-115 • (эт(6.6 • Ю-12 • г — 0.66) + 1). Положим V* = 0.15, г] = 1.45, уровень погрешностей оператора и правой части задачи (0.2) равны 50% относительно точных данных. Количество узлов и уравнений равно 100 и 4 соответственно. С помощью предложенного метода было получено значение параметра регуляризации метода точек перегиба: а = (Р, к) = (3,(25,49,74)) (где Р - число точек перегиба, к - вектор координат расположения (квази) точек перегиба). Если умножить медленно меняющуюся функцию /(г) на быстро убывающую функцию Ь(г), то получится функция распределения размеров частиц аэрозоля п(г) (Рис. 1, в двойном логарифмическом масштабе).

В случае применения разработанного метода к реальной задаче

Рис. 1. Зависимость логарифмической функции распределения размеров частиц аэрозоля log n(log(r)) (единица измерения: м-2 • мкм-1) от логарифмического радиуса частиц аэрозоля log(r) (единица измерения: мкм) при уровнях погрешностей h = 8 = 45%. Точное решение (—). Приближённое решение по методу А.Н. Тихонова с выбором параметра регуляризации по обобщённому принципу невязки (-А-) и методу точек перегиба (— о —).

m11

Рис. 2. Применение метода точек перегиба для решения реальной задачи. Результаты: восстановленная логарифмическая функция распределения размеров частиц аэрозоля log n(log(r)).

получается результат, показанный на рисунке 2.

Применение метода точек перегиба к задаче, сводящейся к необходимости решать переопределённую систему линейных алгебраических уравнений, в диссертации рассматривается на примере решения следующей задачи: 1

Iк(х, ¿^(д)^ = и(х), ф) е ь2[о, 1],и(х) е ь2{о, 1],

о

где ядро имеет вид

К{х^) =

х(1 — й) при X ^ 5, 5(1 — х) при

Вместе с методом МТП рассмотрен также и регуляризирующий алгоритм выбора параметра регуляризации по обобщённому принципу невязки (ОПН). На Рис. 3 представлены результаты применения обоих методов для решения поставленной задачи при одинаковых уровнях погрешности.

Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ описываются методы построения поточечного псевдооптимального регуляризирующего алгоритма решения линейных некорректно поставленных обратных задач математической физики и оценки апостериорной погрешности решения, полученного с помощью этого алгоритма, на основе использования априорной информации о решении.

Пусть X = [Ьх, В.х], У = [Ьу, Лу] и £ := С(Х), и := Ь2(У), а оператор А: Z —>• 1/ - линейный непрерывный инъективный оператор. Предполагается, что априорная информация о решении Z является некоторым замкнутым ограниченным выпуклым и уравновешенным множеством в пространстве Z. Рассматривается следующее операторное уравнение:

Аг = й, г е 2!, й е и. (0.4)

Пусть вместо точно заданных оператора А и правой части й известны лишь такие их приближения {А^, и$}, что \\А — АьА\\г-*и ^ ^а и

1.5 ' ^(5)

-0.5

0.5

-1

0

-1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 £

Рис. 3. Сравнение результатов, полученных с помощью различных методов при одинаковом уровне погрешностей входных данных (8 = К — 20%). Точное решение (—); приближённое решение по методу ОПН (-о-); приближённое решение по методу МТП (— Л —).

\\й — и$\\и ^ Для многих конкретных операторов А аналитическое решение г операторного уравнения (0.4) найти невозможно. Поэтому при решении прикладных задач математической физики соответствующее операторное уравнение (0.4) решается с использованием численных методов, т.е. в качестве решения задачи (0.4) ищется не сама функция г(х), а её конечномерная аппроксимация {¿(хк)}к=1 (гАе К ~ число узлов сетки, на которой ищется неизвестная функция). Далее, с помощью полученной конечномерной аппроксимации строится приближённое непрерывное решение задачи (0.4), и доказывается сходимость этого приближенного непрерывного решения в пространстве С(Х)).

Сначала рассматривается задача восстановления значения функции г(х) в конкретной точке Хк (узле к).

Определение 1 Методом восстановления значения функции г{х) в точке Хк (по информации Z) называется любой функционал и* : и —> К1, а погрешностью восстановления с помощью метода и*

называется величина

A0(xk,Z,£,u*) sup \z(xk) - и*(и)\, (0.5)

zez,

\/ueU:\\AhAz-u\\^£

где e := 8 + На • supz€^ \\z\\z- Оптимальной погрешностью восстановления значения функции z(x) в точке хк называется величина

Ai(xkjZ,£) :=infA0(xk,Z,£,u*), (0.6)

где точная нижняя грань берётся по всем функционалам и*: U —>■ R1. Функционал й*, на котором эта точная нижняя грань достигается, называется оптимальным методом восстановления значения функции z(x) в точке хк.

По теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала и теореме Смоляка предыдущую постановку (0.5)-(0.6) экстремальной задачи можно переписать в следующем виде:

Ai(zfc,Z,e) = inf sup \z(xk) - (A,u)|, (0.7)

xeu zez,

VueU:\\u-AhAz\\^e

где (•, •) - скалярное произведение в L2(Y). Ассоциированная задача к задаче (0.7) будет ставится как

sup z(xk), где Z0 := Z П {z : \\AHaz\\ ^ e}. (0.8)

Если определить функцию Лагранжа £ : (Z х U) х U —> М1 в виде £((z,ii), A) := — z(xk) + (А,и), то справедлива следующая теорема, которая описывает связь между исходной задачей (0.7) и ее ассоциированной задачей (0.8).

Теорема 0.1 (Принцип Лагранснса) Если элемент z является допустимой точкой в задаче (0.8) (т.е. z £ Z0J, то

1) следующие два условия эквивалентны:

а) 2 является решением задачи (0.8);

б) ЗАе и*: £((г,0),А)= ш| £((г,и),А);

^ при выполнении этих двух эквивалентных условий линейный функционал А = А является методом оптимального восстановления в задаче (0.7), и его погрешность равна

Д^ЖкД.е) =г(хк) = -£((^,0), А).

Таким образом, принцип Лагранжа позволяет свести задачу оптимального восстановления к поиску решения ассоциированной задачи и поиску множителя Лагранжа А.

В диссертационной работе с целью построения конкретного выпуклого и уравновешенного множества априорной информации об искомом решении Zno рассматриваются некоторые предположения о свойствах задачи (0.4). В том числе, предполагается истокопредставимость решения, т.е. г = Ву, где у Е Ь2 и В — интегральный оператор.

Введём множество всей априорной информации задачи (0.7) Г2 := {{г,и) е гпохи : || и-АНлг\\и ^ е}, где е := 5 + НА-{\\ВНв\\у^2 + кв) ■ п0, число по находится с помощью метода расширяющихся компактов, и Вив - приближённый оператор к В такой, что ЦБ — Вьв^ ^в-

Далее в диссертации рассматривается конечномерный аналог за-

дачи (0.7) для всех узлов к = 1, К

Ы вир к = 1,К, (0.9)

м к

и формулируется конечномерный принцип Лагранжа, определяющий связь между конечномерной задачей и её ассоциированной задачей. Здесь — конечномерный аналог для множества О и г^ — к-ая компонента вектора ъ. Связь между конечномерной задачей (0.9) и исходной задачей (0.7) также рассматривается в диссертации.

Исходя из принципа Лагранжа, вместо задачи (0.9) нам нужно решить неравенство

(zk-zk) + {Af,u}^0, V(z,u) £ íí*, k = TJCt (0.10)

или в векторном виде:

(z — z) + Ли У 0, V(z,u)£í^, (0.11)

где символ z у 0 означает, что все элементы вектора z неотрицательны. Л := (А^, ...,\к)т называется матрицей множителей Лагранжа.

Множество решений неравенства (0.11) (или (0.10)) обозначим как Л. Далее в диссертации подробно рассматриваются некоторые методы нахождения одной (оптимальной в некотором смысле) матрицы множителей Лагранжа Л. Сформулируем один из них.

Среди всех решений (0.11) из множества Л выбираем такой элемент Л, что

Л = (ÁTÁ + (0.12)

где 1к ~ единичная матрица в R*- xR^ и а ^ 0 - параметр регуляризации.

Для любой матрицы А верно сингулярное разложение А = ET>FT, где Е, F - -ортогональные матрицы размеров М х М и К х К соответственно, Е = diag(cr1, ...,сгг, 0, ...,0) — диагональная матрица порядка М х К, причём <7i > <т2 > ... > сгг > 0, число г — ранг матрицы А. Тогда с помощью разложения в ряд Тейлора можно показать, что неравенство (0.10) эквивалентно неравенству

0(а2) + dka + ^ ^ dk, к = Т^К, V(z,u)eQjf, (0.13)

где dk, dk и dk — некоторые функции, зависящие от точки (z, и).

Очевидно, что для любого положительного числа е0 существует а0 > 0 такое, что Va £ (0, a0] и VA;: 1 ^ k ^ К верно |C(a2)| ^ е0а.

В диссертации рассматривается метод выбора числа а0 при заданном числе £q. Кроме того, в диссертации сформулировано достаточное

условие, при котором система неравенств (0.13) при условии а Е (0, о:0] имеет решение {а : 0 < а ^ к}.

Кроме этого метода в диссертации рассматривается два других метода, которые учитывают специальную структуру матрицы А.

Определяется число регуляризации к либо по формуле к = к, либо на основе других методов, описанных в диссертации. В диссертации доказывается неотрицательность числа регуляризации к.

Далее в диссертации рассматриваются два способа выбора параметра регуляризации а — априорный и апостериорный.

а) Априорный метод: а^ := гДе 0 < <т < 2.

б) Апостериорный метод: а2 := ппп(/с,а*), где а* — параметр регуляризации, выбирающийся по обобщённому принципу невязки.

Достаточные условия существования матрицы множителей Лагранжа, имеющей вид (0.12), формулируются во второй главе диссертации. Для такой матрицы множителей Лагранжа определяется метод Яа задачи (0.4) по формуле: Яаи := Ли. В диссертации доказывается псевдооптимальность и регуляризирующие свойства этого оператора.

В конце второй главы предлагаются многошаговые алгоритмы и соответствующие численные методы, применение которых рассмотрено на примерах решения обратной задачи уравнения теплопроводности и задачи восстановления истинного изображения по дефокусированному с помощью аппаратной функции и зашумлённому изображению.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ диссертационной работы сформулированы основные результаты.

1 Метод решения линейных некорректно поставленных обратных задач математической физики на множестве ограниченных кусочно-выпуклых функций

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чжан Е, 2014 год

Список литературы

[1] Ван Я., Чснсан Е, Лукъяненко Д.В., Ягола А.Г. Метод решения обратной задачи восстановления функции распределения размеров частиц аэрозоля в атмосфере на множестве кусочно-выпуклых функций. // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13, 49-66.

[2] Wang Y.F., Zhang Y., Lukyanenko D.V., Yagola A.G. Recovering aerosol particle size distribution function on the set of bounded piecewise-convex functions. // Inverse Problems in Science and Engineering. 2013. V. 21, N 2, 339-354.

[3] Чэюан E, Лукъяненко Д.В., Ягола А.Г. Применение принципа Лагранжа для решения линейных некорректно поставленных обратных задач с использованием априорной информации о решении. // Вычислительные методы и программирование. 2013. Т. 14, 49-66.

[4] Zhang Y. A kind of numerical methods for recovering aerosol partical size distribution function in compact set. // The Second International Workshop on Computational Inverse Problems and Applications, A workshop at the Institute of Geology and Geophysics, The Chinese Academy of Sciences, Beijing, China, July 12 - July 15, 2010. — P. 49.

[5] Zhang Y. Recovering aerosol particle size distribution function on the set of bounded piecewise-convex functions. // The fourth International conference on "Function spaces. Differential operators. General topology. Problems of mathematical education", Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russia, March 25 - March 29, 2013. — P. 372-373.

[6] Yagola A.G., Zhang Y., Lukyanenko D.V. Regularizing algorithm for recovering solutions of ill-posed problems on the set of bounded piece wise-convex functions. / / The fourth International Symposium on "Inverse problems, Design and Optimization Symposium", Albi, Prance, June 26 - July 28, 2013. — P. 49.

[7] Zhang Y. Using Lagrange Principle for solving linear inverse and ill-posed problems. // The Third International Workshop on Computational Inverse Problems and Applications, East China Institute of Technology, Nanchang, China, July 8 - July 12, 2013. — P. 72-73.

[8] Yagola A.G., Zhang Y., Lukyanenko D.V. A method for solving one dimensional Fredholm integral equation of the first kind on the set of bounded piecewise-convex functions. // Международная научная конференция "Методы создания, исследования и идентификации математических моделей", Novosibirsk, Akademgorodok, 10-13 October 2013 —P. 103.

[9] Yagola A.G., Zhang Y., Lukyanenko D.V. A method for solving one dimensional Fredholm integral equation of the first kind on the set of bounded piecewise-convex functions. // The Fifth International Scientific Conference and Young Scientists School "Theory and Computational Methods for Inverse and Ill-posed Problems", Novosibirsk, Akademgorodok, 8-13 October 2013 —P. 108.

[10] Titarenko V.N. and Yagola A.G. Error estimation for ill-posed problems on piecewise convex functions and sourcewise represented sets // Inverse Ill-Posed Probl. 2008. N 14, 1-14.

[11] Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

[12] Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР, 1943, Т. 39, 5, 1023-1026.

[13] Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1961.

[14] Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973.

[15] Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

[16] Yagola A.G. and Titarenko V.N. Using a priori information about a solution of an ill-posed problem for constructing regularizing algorithms and their applications // Inverse Problems in Science and Engineering. 2007. V. 15, N 1, 3 - 17.

[17] Николаева H.H., Титаренко B.H., Ягола А.Г. Оценка погрешности решения уравнения Абеля на множествах монотонных и выпуклых функций. // Сибирский журнал вычислительной математики. 2003. Т. 6, 171-180.

[18] Титаренко В.Н., Ягола А.Г. Равномерное приближение к точному решению некорректных задач на множестве монотонных функций. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2001. Т. 6, 25-27.

[19] Titarenko V.N. and Yagola A.G. Cauchy problems for Laplace - equation on compact sets. // Inverse Problems in Science and

Engineering. 2002. V. 10, N 3, 235-254.

[20] Houghton J.Т., Meira Filho L.G., Callander B.A., Harris N., Kattenberg A., Maskell K. Climate change 1995. Cambridge: Cambridge University Press.

[21] Junge C.E. The size distribution and aging of natural aerosols as determined from electrical and optical data on the atmosphere //J. Meteor., 1955. N 12. 13-25.

[22] Deirmendjian D. Electromagnetic Scattering on Spherical Polydispersions. New York: American Elsevier Publishing, 1969.

[23] Heintzenberg J. Properties of Log-normal particle size distributions // Aerosol Sei. Tech. 1994. N 21. 46-48.

[24] Woodcock A.H. Salt nuclei in marine air as a function of altitude and wind force //J. Meteor. 1953. N 10. 362-371.

[25] Twomey S. Atmospheric Aerosols. Amsterdam: Elsevier Sei. Publ. Company, 1977.

[26] Bohren G.F. and Huffman D.R. Absorption and Scattering of Light by Small Particles. New York: John Wiley and Sons, 1983.

[27] Angström A.A. On the Atmospheric transmission of Sun Radiation and on Dust in the Air // Geografiska Annaler. 1929. N 11. 156-166.

[28] King M.D., Byrne D.M., Herman B.M., Reagan J.A. Aerosol size distributions obtained by inversion of spectral optical depth measurements // J. Atmos. Sei. 1978. N 35. 2153-2167.

[29] Stratton J.A. Electromagnetic Theory. New York: McGraw-Hill, 1941.

[30] Twomey S. Comparison of Constrained Linear Inversion and an Iterative Nonlinear Algorithm Applied to the Indirect Estimation of Particle Size Distribution // J.Comput. Phys. 1975. N 18. 188-200.

[31] Bockmann C. and Kirsche A. Iterative regularization method for lidar remote sensing // Computer Physics Communications. 2006. N 174, 607-615.

[32] Voutilainenand A. and Kaipio J. P. Statistical inversion of aerosol size distribution data // J.Aerosol Sci. 2000. N 31. 767-768.

[33] Wang Y.F., Fan S.F. and Feng X. Retrieval of the Aerosol Particle Size Distribution Function by Incorporating A Priori Information // Journal of Aerosol Science. 2007. N 38. 885-901.

[34] Wang Y.F., Fan S.F., Feng X., Yan G. J. and Guan Y. N. Regularized inversion method for retrieval of aerosol particle size distribution function in W1'2 Space // Applied Optics. 2006. V.45, N 28, 7456-7467.

[35] Wang Y.F., Yagola A. G. and Yang С. C. Optimization and Regularization for Computational Inverse Problems and Applications, Springer, 1st Edition., 2011, 400 p. 36 illus., Hardcover, ISBN: 978-3642-13741-9. (Distributed in China, May 2010)

[36] Wang Y.F. An Efficient Gradient Method for Maximum Entropy Regularizing Retrieval of Atmospheric Aerosol Particle Size Distribution Function // Journal of Aerosol Science. 2008. V. 39, N 4, 305-322.

[37] Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

[38] Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.

[39] Ягола А.Г., Дорофеев К.Ю. Метод расширяющихся компактов решения некорректных задач при условии истокопредставимости. Вестник московского университета, сер. 3. Физика. Астрономия. 1999. N 2, 64-66.

[40] Тихонов А. H., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

[41] Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

[42] Пытьев Ю. П., Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

[43] Beilina L. and Klibanov M. V., Aprpoximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems. Springer, New York, 2012.

[44] Карманов В.Г. Математическое программирование. M.: Наука, 1986.

[45] Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

[46] Магарил-Илъяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

[47] Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Изд-во "Факториал", 1998.

[48] Согтеп Т.Н., Leiserson С.Е., Rivest R.L. and Stein С. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. Section 34.2: Polynomial-time verification, 979-983.

[49] Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 1973. N 13(2), 294-302.

[50] Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

[51] Thomas H.C., Charles E.L., Ronald L.R. and Clifford S. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001.

[52] Christos H. P. Computational complexity. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1994.

[53] Michael F.S. Introduction to the Theory of Computation, 2nd Edition. Course Technology Inc., 2006.

[54] Stephen A.C. The P versus NP Problem, Clay Mathematics Institute, April 2000.

[55] Garey M.R. and Johnson D.S. Computers and Intractability, a Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H.Freeman and Co., San Francisco, 1979.

[56] Вакушинский A.B., Гончарский A.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.

[57] Леонов A.C. Решение некорректно поставленных обратных задач. Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТ-ЛАБ. М.: УРСС, 2009.

[58] Micchelli С. A., Rivlin T.J. Lectures on optimal recovery. Lect. Notes Math. 1985.

[59] Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. Заметки. 1991. 85-93.

[60] Mag aril-Ilyaev G.G., Osipenko K.Y., Tikhomirov V.M. Optimal recovery and extremum theory // Computational methods and function theory. 2002. 87-112.

[61] Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

[62] Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Дис. канд. физ.-мат. наук. М. 1965.

[63] Баев А.В. Применение принципа Лагранжа в задаче оптимального обращения линейного оператора в случае истокообразной представимости точного решения операторного уравнения // Вычислительные методы и программирование. 2007. N 8. 20-28.

[64] Баев А.В. Применение принципа Лагранжа в задаче оптимального обращения линейного оператора в случае истокообразной представимости точного решения операторного уравнения / / Вычислительные методы и программирование. 2007. N 8. 20-28.

[65] Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешностей при решении линейных некорректных задач // ЖВМ и МФ, 1969, т.9, 1, с.30-41.

[66] Баев А.В. Принцип Лагранжа и конечномерная аппроксимация в задаче оптимального обращения линейных операторов // Вычислительные методы и программирование. 2006. N 7. 323-336.

[67] Баев А.В. Оптимальный регуляризующий алгоритм восстановления функционала в линейных обратных задачах с истокопредста-вимым решением // Журнал Выч. Мат. и Мат. Физ. 2008. 19331941.

[68] Bayev A.V., Yagola A. G. Optimal recovery in problems of solving linear intégral équations with a priori information // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2007. V. 15, N 6, 569-586.

[69] Баев А.В. Оптимальное восстановление и конечномерная аппроксимация в линейных обратных задачах // Математический сборник. 2008. Т. 199, 12., 3-18.

[70] Andrew R.C., Nicholas I.M. Gould, Philippe L.T. Trust-region methods. Philadelphia, Pa.: SIAM, 2000.

[71] Dantzig G.B. Linear programming and extensions. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1963.

[72] Ye Y. Interior point algorithm: theory and analysis. New York: John Wiley and Sons, 1997.

[73] Padberg M. Linear Optimization and Extensions, Second Edition, Springer-Verlag, 1999.

[74] Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

[75] Helmut H.S. Banach Lattices and positive operators, Springer-Verlag, 1974.

[76] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

[77] Jain А.К. Fundamentals of Digital Image Processing. Prentice-Hall, New York, 1989.

[78] Bertero M. and Boccacci P. Introduction to Inverse Problems in Imaging. IOP Publishing, Bristol, UK, 1998.

[79] Roggemann M. C. and Welsh B. Imaging Through Turbulence. CRC Press, Boca Raton, FL, 1996.