Алгоритмы анализа нелинейных электронных схем с использованием метода определяющих величин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, кандидат технических наук Борзенков, Борис Иванович

• Борзенков, Борис Иванович
• кандидат технических наук
• 1982

Оглавление диссертации кандидат технических наук Борзенков, Борис Иванович

Введение

Глава I. Методы анализа схем в статическом режиме Ю

1.1. Развитие методов проектирования

Г.2. Проблема анализа электронных схем ii

1.3. Алгоритм формирования уравнений схем

1.4. Порядок составления уравнений схемы

1.5. Методы решения уравнений схем в статическом режиме

1.6. Метод хорд

1.7. Сочетание метода хорд и половинного деления 30 Вывода

Глава П. Методы расчета переходных процессов в электри- 44 ческих цепях

2.1. Формирование математической модели схемы

2.2. Явные методы интегрирования

2.3. Неявные методы интегрирования

2.4. Метод переменного шага и порядка 62 Выводы

Глава Ш. Решение уравнений, полученных табличными мето- 109 дами моделирования электронных схем

3.1. Представление уравнений электронных схем в таблич- 109 ном виде

3.2. Прямые методы решения систем линейных уравнений iii

3.3. Использование разреженности

3.4. Метод определяющих величин Ц

3.5. Модификация метода определяющих величин

3.6. коррекция определяющих величин

3,7. Выбор порядка исключения в модифицированном методе 136 определяющих величин

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы анализа нелинейных электронных схем с использованием метода определяющих величин»

Развитие в совершенствование методов проектирования в электронике является одной из важнейших задач технического про-грееса, одним из основных направлений научно-технической революции.

Основными направлениями экономического и социального развития СССР на 1981-1985 годы и на период до 1990 года, принятыми на ХХУ1 съезде КПСС, предусмотрено " расширять автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением электронно-вычислительной техники", а также ".развитие математической теории,.повышение эффективности ее использования в прикладных целях.". .

Создание больших комплексов, электронной аппаратуры, а также использование интегральных схем ( ИС ) сделало малоэффективными традиционные принципы.и методы проектирования радиоэлектронных устройств. В связи с широким использованием радиоэлектронной аппаратуры в.различных областях науки, техники и производства, .а также постоянным ее усложнением и обновлением , необходимостью.резко снижать сроки и повышать качество проектирования по.мере увеличения быстродействия, надежности и памяти ЭВМ стремительно стали развиваться теория и практика применения машинного проектирования электронных устройств и систем. Машинное, проектирование позволяет существенно повысить точность расчета схемы, а.также найти ее оптимальные параметры с учетом их статистических характеристик и тем самым.существенно снизить процент-брака и. стоимость, производства схемы. Кроме того, применение ЭВМ значительно ускоряет сам процесс проектирования .

Методы машинного расчета позволяют разработчикам как дискретных, так и интегральных схем получать результаты, абсолютно недостижимые при использовании любых других методов. С помощью ЭВМ можно, например [ ] :

- исследовать выходные сигналы и частотные зависимости напряжений и токов в схеме без подключения к ней внешней нагрузки ;

- предсказать характеристики на высоких частотах, на которых ее реальный макет содержит паразитные элементы, отсутствующие в самой ИС;

- использовать на некоторых участках схемы "идеальные" прибор* (например, транзисторы с бесконечно большой полосой пропускания или со сверхвысоким усилением) для анализа ее предельных характеристик или для исключения влияния параметров различных приборов на характеристики схемы;

- разомкнуть цепь обратной связи без воздействия на статические уровни в схеме;

- определить полюса и нули передаточной функции для сложных схем, для которлх это обычно нельзя сделать другими методами ;

- выполнить анализ чувствительности, шумов, наихудшего случая и статистический анализ.

Проектирование ИС,кроме этапа расчета принципиальных электрических схем,включает также этапы расчета компонентов и технологии [ ] . Решение задач, возникающих на этих этапах, находится в тесной взаимосвязи. Различия в математических методах решения этих задач и ограниченные возможности современных ЭВМ приводит к тому, что систему машинного проектирования приходится представлять как комплекс программ, решающих задачи различных этапов проектирования электронных схем. Созданию такого комплекса предшествует обоснованный выбор или разработка методов и алгоритмов решения каждой из задач.

Настоящая работа относится к исследованиям в области расчета принципиальных схем. Основой этого этапа является моделирование электрических процессов, протекающих в схемах [ 2 ] : выявления соответствия внешних характеристик техническим требованиям, уточнения принципиальной электрической схемы и значений параметров компонентов. Модель имеет то преимущество, что могут быть рассчитаны параметры, которые нельзя непосредственно измерить на готовой схеме из-за недоступности точек измерения. Использование модели позволяет осуществить анализ предельных режимов, а также статистических характеристик устройства и прогнозирование их изменения. Здесь может быть произведено выявление связи внешних характеристик схемы, с параметрами компонентов и установление соответствия между допусками на параметры схем и компонентов.

Если объектом моделирования является сама схема, то ее математической моделью может быть математическое описание соотношений между токами и напряжениями, возникающими в схеме в статическом и динамическом режимах работы. В настоящее время принято выделять несколько поколений программ для решения задач анализа и проектирования схем на ЭВМ I . Критерием этого, разделения служат степень комплексности и универсальности программ, учета в них системного подхода к автоматизации и связи всех этапов проектирования, возможности участия разработчика на этапах решения и выбора окончательного варианта.

13 первых программах анализа электронных схем ( £САР NODAL у у

NASA Р ? CA LA HAN , MTW ) использовался привычный для ручных расчетов однородный координатный базис 1 SH 1.

Стремление использовать стандартные программы решения дифференциальных уравнений и создать универсальные алгоритмы анализа схем с произвольными структурой и характером компонентов привело к переходу к смешанному координатному базису и возрождению интереса к методу переменных состояния, уравнения которого получают совместным преобразованием исходных компонентных и топологических матриц. Этот метод лег в основу многих отечественных и зарубежных программ анализа электрических цепей ( ДФ^)С) ПАЭС, ПАРИС, СЛАЭЛ, SCEPTRE , NET-1, AEJJNET и др. Л Был создан ряд алгоритмов формирования уравнений, отличающихся вы-. бором фундаментального дерева графа схемы и размерности координатного базиса, ограничениями на характер .управления зависимыми источниками и на класс управляющих ветвей, допустимостью многополюсных компонентов, а также таких, токи и напряжения которых зависят от многих переменных, способом представления нелинейно-стей и др. Г 55 I.

Однако при решении практических задач было установлено [5"^ ], что классические численные методы решения дифференциальных уравнений, представленных в форме Коши { методы Эйлера, Рунге-Кутта, предсказания и коррекции ) мало пригодны для задач электроники, особенно для анализа широкополосных электронных схем, постоянные времени которых отличаются на несколько порядков. В результате внимание разработчиков сместилось в область методов решения уравнений.

Поскольку применение методов неявного интегрирования дифференциальных уравнений в основном решает проблему устойчивости вычислений при любом шаге интегрирования и разбросе постоянных времени схемы, актуальными стали разработка и выбор тех из них, которое позволяют при автоматическом выборе шага и порядка интегрирования получать решение с минимально возможными затратами. Это, в свою очередь, привело вновь к использованию для анализа схем метода узловых потенциалов, поскольку система указанных уравнений всегда образует невырожденный базис, а сами уравнения оказываются линейно независимыми [28 ]. Поскольку в этом случае возникает необходимость представления всех компонентных уравнений в виде I - Р (у) , что не всегда возможно, рассматривался расширенный однородный базис [ 25 ].

Растущая потребность в анализе больших схем привела к поискам как новых более эффективных алгоритмов моделирования, так и новых приемов программирования задач анализа схем на ЭЦВМ [ ]. Использование И) - преобразования для решения линейных систем уравнений также возродило интерес к однородному координатному базису с легко формируемой матрицей проводимости, хотя этот же способ успешно применяется и к полному координатному базису объединенных уравнений связей и компонентов [ 5£, В? ] .

По мере разработки все более сложных электронных схем цро-граммы анализа схем становятся все более и более необходимым инструментом проектирования. Они позволяют сократить циклы проектирования, уменьшить количество изменений и переделок и улучшить прогнозы надежности [ ]. Однако возрастают и требования к этим программам. Для моделирования современных многокомпонентных схем требуется расширение возможностей програш в плане сложности анализируемых схем. Кроме того, программы должны обладать повышенным быстродействием, чтобы сохранить стоимость моделирования на низком уровне и уменьшить длительность машинных расчетов схем.

В сеязи с этим целью настоящей работы является разработка алгоритмов расчета электрических цепей, позволяющих повысить быстродействие программ анализа и оптимизации электронных схем при сохранении удовлетворительной точности расчета.

Для ее достижения в работе решаются следующие задачи:

Д при анализе цепей в статическом режиме на базе метода хорд, как имеющего меньше ограничения на размеры области поиска решшия, создать алгоритм с более высокой скоростью сходимости вычислительного процесса к решению;

2) для анализа переходных процессов разработать многошаговый алгоритм, основанный на неявном представлении зависимости между параметрами схемы, требующий меньшее число шагов на весь интервал моделирования;

3) с помощью модификации метода определяющих величин разработать алгоритм, сокращающий вычислительные затраты на расчет дискретных схемных моделей.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая электротехника», Борзенков, Борис Иванович

Выводы

При анализе математической модели схемы, сформированной в виде списков, раздельно используются способы перенумерации узлов коэффициентных матриц с целью более компактного представления модели и сокращения необходимого объема вычислительных операций и собственно численные метода решения переформированной системы.

Известный метод определяющих величин, позволяющий существенно понизить порядок решаемой системы уравнений, может быть модифицирован таким образом, что становится методом переупорядочения и методом решения одновременно.

На основе данного метода цредложен алгоритм решения уравнений линейной дискретной модели схемы. Программная реализация алгоритма проще, чем у ряда известных алгоритмов. Результатом применения алгоритма является сокращение машинного времени и памяти.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании анализа ныне действующих програш расчета электронных схем можно сделать вывод, что основным их достоинством должна быть гибкость, которая, в свою очередь, как и быстродействие, в значительной степени определяется выбором методов формирования математической модели схемы, расчета статического и динамического режимов.

При выборе метода расчета любого режима необходимо принимать во внимание вероятность получения решения данным методом и объем вычислительных затрат для получения этого решения. Ввилу того, что широко применяемый метод Ньютона и его модификации очень критичны к выбору начального приближения, в разрабатываемых программах анализа для расчета статического режима применялся метод хорд. Для повышения скорости сходимости предложено совмещение его с половинным делением области поиска решения. Вычислительные затраты на один шаг рассматриваемого метода меньше, чем при расчете методом Ньютона. В целях устранения сложности обобщения метода на систему уравнений предлагается соответствующий алгоритм. Приведенные примеры иллюстрируют эффективность предлагаемого подхода к решению задачи анализа статического режима.

Ввиду необходимости применения при расчете переходных характеристик схем устойчивых методов интегрирования, наилучшим образом приспособленных к самому вычислительному процессу, в том числе для уменьшения ограничений на шаг интегрирования (исходя из заданной точности), в работе был рассмотрен способ вывода формул интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с переменным шагом и переменным порядком на каждом шаге. Ряд известных формул получен в качестве частного случая. Рассмотрены форлулы неявного многошагового метода анализа переходных процессов в электронных цепях и соответствующие дискретные схемные модели реактивных элементов. Исследованные области устойчивости аналогичны ряду многошаговых численных методов, таких, например, как метод Гира. Практическая проверка метода на обычно используемых для этих целей тестах свидетельствует о том, что по вычислительной эффективности программа, в основу которой положен рассматриваемый алгоритм, не уступает, а в ряде случаев превосходит такие известные методы, как ФДН, Гира и др., реализованные в современных зарубежных програшах.

Особенно эффективным оказывается применение неявных методов интегрирования при учете разреженности матрицы полных узловых проводимостей или .других коэффициентных матриц (в зависимости от используемого координатного базиса). Оперирование только с ненулевыми элементами матрица приводит к значительной экономии машинного времени. Применяемые дяя этой цели методы имеют свои недостатки. В. некоторой степени их устраняет предложенный модифицированный метод определяющих величин, еще больше сокращающий количество необходимых вычислительных операций.

Материалы работы докладывались во время работы школы молодых ученых и специалистов "Оптимизация радиотехнических систем и устройств" (Владимир, октябрь, 1976 г.), на семинаре АН УССР "Прикладная электротехника и электроника" (1972-1981 г.), на конференции "Автоматизация проектирования и управления производством радиоэлектронной аппаратуры" (Харьков, июнь, 1979 г.) на 7Ш совещании-семинаре "Актуальные проблемы автоматизации проектирования ЭВМ" (Москва, май, 1980 г.), всесоюзном совещании-семинаре "Теоретические и прикладные вопросы разработки, внедрения и эксплуатации САПР РЭА" (Москва, сентябрь, 1981, 1983 г.г.)

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Борзенков, Борис Иванович, 1982 год

1. Автоматизация в проектировании /Под ред. Д. Калахана, К. Фрей-тага, С. Миттера. - М.: Мир, 1972. - 162 с.

2. Анисимов Б.В., Казеннов Г.Г., Норенков Й.П. О некоторых вопросах машинного проектирования интегральных схем. -Микро -электроника /Под ред. Ф.В. Лукина. М.: Советское радио, 1971, вып. 4, с.41-48.

3. Баталов Б.В., Егоров Ю.Б., Русаков С.Г. Основы математического моделирования больших интегральных схем на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1982. - 168 с.

4. Беллерт С., Возняцкий Г. Анализ и синтез электрических цепей методом структурных чисел. -М.: Мир, 1972. 332 с.

5. Бененсон З.М., Елистратов М.Р., Ильин ЛД. и др. Универсальные алгоритмы анализа нелинейных радиотехнических систем. -Обмен опытом в радиопромышленности, 1975, Л б, с. 134-140.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х т. М.: Наука, 1966, 1232 с.

7. Бессмертных Г.А. О приближенных методах вычисления корней вещественной функции одной переменной. В кн.: Вопросы оптимального программирования в производственных задачах. - Воронеж, 1969, 3, с.34-37.

8. Бондаренко В.М. Вопросы анализа нелинейных электрических и электронных цепей. Киев: Наукова думка, 1967. - 159 с.

9. Бондаренко В.М. Методы и алгоритмы анализа отатических и динамических режимов нелинейных цепей. Киев: Институт электродинамики АН УССР. Препринт - 68, 1974, 105 с.

10. Бондаренко В.М. О формировании дискретных физических моделей электрических цепей. В кн.: Точность и надежность кибернетических систем.Киев: Наукова думка, 1979, вып.б, с.107-114.

11. Бондаренко В.М., Пухов Г.Е, Об одном численном методе расчета некоторых электрических цепей. Электричество, 1957, № 8, с.44-46.

12. Борзенков Б.И. Метод анализа электронных схем в статическом режиме. В кн.: Теоретическая электроника и.устройства электроники. Киев: Наукова думка, 1977, с.26-29.

13. Борзенков Б.И. Метод решения разреженных уравнений электронных схем. Автоматизация проектирования в электронике. -Киев: Техника, 1980, вып. 21, с. 16-17.

14. Брэнин Ф. Методы анализа цепей с помощью вычислительной машины. ТИИЭР, 1967, т. 55, $ II, с.16-31.

15. Гельфанд И.Ф., Цейтлин Н.Л. Принцип нелокального поиска в системах автоматической оптимизации. ДАН СССР, 1961,т. 137, Ш 295-298.

16. Глориозов Е.Л., Ссорин В.Г., Сыпчук П.П. Введение в автоматизацию схемотехнического проектирования. М.: Советское радио, 1976. - 224 е.

17. Глориозов Е.Л., Ссорин 8.Г., Сыпчук П.П. Программа анализа электронных схем, основанная на узловом методе. Электронная техника, Сер.З. Микроэлектроника, 1975, вып.2 (56),с. 25-32. .

18. Гринбаум И.Р. Программа машинного проектирования, позволяющая перейти от нелинейной модели транзистора к линейной.-Электроника, 1973, т.46, Я 2, с.42-47.

19. Грот Дж. Эффективный метод узловых уравнений. ТИИЭР, . 1969, т. 57, J? 7, с. 169-170.

20. Дафф И.О. Обзор исследований по,разреженным матрицам. -. ТИИЭР, 1977, т.65, Л 4, с. 5-46.

21. Демидович Б.М., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. - 664 с.

22. Джетреу И. Моделирование биполярных транзисторов. Элек-. троника, 1974, т.47, § 19, с.46-54.

23. Дэпьян Л. Анализ цепей методом переменных состояния. -, Электроника, 1966, т.39, л 26, с. II-19.

24. Ильин В.Н., Бахов В.А. Способы повышения эффективности расчета нелинейных электронных схем на ЭЦВМ методом узловых потенциалов. -.Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1973, тЛб, JB 6, с.75-80. .

25. Ильин В.Н. Машинное проектирование электронных схем. М.: . Энергия, 1972. - 280 с.

26. Ильин В.Н. Основы автоматизации схемотехнического проекти-. рования. М.: Энергия, 1979. - 392 с.

27. Ильин.В.Н., Фролкин В.Г. Состояние, задачи и перспективы развития автоматизации.схемотехнического прсектирования.-Изв.вузов СССР. Радиоэлектроника, 1976, т.19, № б, с. 9-32.

28. Калахан.Д. Методы машинного расчета электронных схем. -, М.: Мир,. 1970. -.344 с. . .

29. Калниболотский Ю.М., Рысин B.C. Проектирование электрон. ных схем. -Л£.: Техника, 1976. 144 с.

30. Карпентер.?,., Хэпп В.З. Символический метод анализа схем. , Электроника,. .1966, т.39, #25, с.3-11. .

31. Катценельсон Дж. ABLA/E.T система программ для моделирования нелинейных цепей. ТИИЭР, 1966, т.54, д II, с. 38-57.

32. Коляда Ю.В. Непрерывные аналоги итеративных процессов и их дискретные реализации в задачах численного анализа на ЭЦВМ электронных цепей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Киевский политехнический институт, 1979.-I2G с.

33. Коляда Ю.В.,Сигорский В.П. Класс вычислительных алгоритмов машинного анализа.нелинейных схем. -„Изв.вузов СССР,Радиоэлектроника, 1975, т. 18. Л 5, с. 73-78. .

34. Крылов,В.Й., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные . методы. В 2-х т. М.: Наука, 1977, Т.П. - 400с.

35. Ку E.f Рорер Р. Применение метода переменных, характеризук>-щих состояние, к анализу цепей. ТИИЭР, 1966, т. 54, .«5 7,с. 777-792.

36. Куо Ф. Анализ.цепей с помощью цифровых вычислительных машин. . ТИИЭР, 1966, т. 54, 6, с. 5-16.

37. Ланс Дж. Численные методы для быстродействующих вычислитель-.■ ных машин. -М.: ИЛ, 1962, 208 с.

38. Майергойз М.Д. Об одном методе решения, системы нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. IBM и Ш, 1967,т. 7, Д? 4, с. 869-874.

39. Максимович,Н.Г.,Линейные электрические цепи и их преобразо-. вания. М. - Л.:Госэнергоиздат, 1961. - 264 с.

40. Максимович Н.Г. Методы топологического.анализа электрических цепей. Львов: Издательство Львовского университета, 1970, - 258 с.

41. Максимович Н.Г. О применении определяющих контурных токов иопределяющих узловых.напряжений к расчету электрических цепей. Электричество, 1963, 2, с. 6-9.

42. Махони Дж., Мета Д., Кассем-заде X. и др. ASTAP быстродействующая программа анализа больших схем. - Электроника, 1974, т. 47, #8, с. 52-59.

43. Машинный расчет интегральных схем / Под ред. Г. Герсковица.-М.: Мир, 1971. 406 с.

44. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа. -. М.: Гостехиздат, 1953. 527 е.

45. Милн В.Э. Численный анализ. М.: ИЛ, 1951. - 291 с.

46. Моделирование.и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных устройств / Под ред. З.М. Бененсона. М.: Радио и связь, 1981. - 272 с.

47. Мочульский Ю.С., Синицкий JI.A. Численный расчет на ЭВМ электронных схем с помощью неявных формул численного интегрирования. Теоретическая электроника. - Киев: Издательство

48. Львовского, госуниверситета, 1973, вып. 15, с. 1Ю-Ц4.

49. Нейман Л.Р., Калантаров П.Л. Теоретические,основы электротехники. -М*„: Госэнергоиздат,, 1959, 296 с.

50. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения.нелинейных систем.уравнений со многими неизвестными. М.: Мир,1975. 558 е.,

51. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. -М.: . ИЛ, 1963. -г 219 с.

52. Панферов В.П. О моделировании нелинейных полупроводниковых схем с.помощью ЦВМ. Электронная техника, Оер. 3. Микро, электроника,.1971, вып. 5, с. 87-91.

53. Петренко А.И. Автоматизированные системы проектированияэлектронных схем. Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1973, т. 16, № б, с. 5-14.

54. Петренко А.И., Власов А,И., Тимченко А.И. Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ, Киев: Вища школа, 1977. 192 с.

55. Петренко А.И., Елизаренко Г.Н.»Власов А.И. Моделирование электронных схем на.ЭЦВМ. Управляющие системы и машины, 1974, Л 5, с. 36-45. . . .

56. Петренко А.И., Сигорский В.П., Слипченко В.Г. и др. Анализэлектронных схем на ЭВМ.,- Киев: Вища школа, 1975. 194 с.

57. Петренко А.И., Гумен Н.Б., Смирнов A.M. Сравнительное исследование неявных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Электронное моделирование, 1980, т.З, Л I,с. 24-34. . . . , . .

58. Платонов АД., Власова З.П., Степаньянц В.А. Многоточечный метод интегрирования с переменным шагом для обыкновенных дифференциальных.уравнений. -М.: Институт прикладной математики АН СССР, Препринт 72, 1979, 18 с.

59. Полль В. Об одном классе итерационных методов для решения нелинейных операторных уравнений. -.Известия.АН Эс^.ССР.

60. Физика,.математика,-1974, т. 23, Л 4, с. 421-424.

61. Поляк Б.Т. О некоторых способах ускорения сходимости итерационных.методов. -IBM и МФ, 1964, т. 4, Л 5, с. 791-803.

62. Пухов Г.Е. Методы анализа, и синтеза квазианалоговых, электронных цепей* Киев: Наукова думка, 1967. -.568 с,

63. Романовский В.Б. По поводу численного метода расчета некоторых электрических цепей. Электричество, 1957, л 8, с. 47.

64. Роозе А. Свойства одного класса алгоритмов для решения нелинейных уравнений, Известия АН Эст. СССР, Физика, математика, 1974, т. 23, .№4, с. 349-352.

65. Сигорский В.П. Анализ электронных схем. Киев: Гостехиздат УССР, 1964.- 199 с.

66. Сигорский В.П. Методы анализа электрических схем с много-полбчныш элементами. Киев: Издательство АН УССР, 1968,402 с.

67. Сигорский В.П. Моделирование электронных схем в пространстве, переменных состояния. Изв. вузов СССР. Радиоэлектроник а, 1972,. т. 15, 9, с. ГО59-Ю65.

68. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. Киев: Техника, 1970.,- 394 с.

69. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. М.: Советское радио, 1976. - 608 с.

70. Слипченко В.Г.ьОрганизация системы автоматизированного моделирования электронных схем на ЭВМ. Киев: Вища школа,1978. 176 с.

71. Слипченко В.Г., Табарный В.Г. Машинные алгоритмы и программы моделирования электронных схем. Киев: Техника, 1976. -176 с.

72. Тинней В.Ф., Уолкер Дж. Прямые решения квазиблочных уравнений цепей оптимального упорядоченным разложением матрицына треугольные симножители. ТШЭР, 1967, т. 55, II, с. 31-50.

73. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977. - 189 с.

74. Холл Де., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1979, 312 с.

75. Хэмминг Р. Численные методы для научных работников и инже-ров. М.: Наука, 1968. - 400 с.

76. Чахмахсазян Е.А., Бармаков Ю.Н., Гольденберг А.Э. Машинный анализ интегральных схем. М.: Советское радио, 1974, 272 с.

77. Чуа Л.О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем. -гА.: Энергия, I960. 640 с.

78. Чурилов А.И., Куник Е.Г. Применение алгоритмов случайного поиска для решения нелинейных уравнений, описывающих электронные схемы. Автоматика и вычислительная техника, 1975, Я 3, с. 54-57.

79. Cash A class of iterative algorithm $ for the integration of stiff systems of ordinary differential equations ~ journal of the IMA, 1977, v.19,№, p. 325-33f.

80. Сегта к I.k.^irby D.B. hlonlinear circuits and staUstieat ¿est$n.-BSTJ,:fl7f, у.50,М,р.Н73Ч19£

81. McCaEEa W.J., Pederson d.D. Elements of computer aided circuit analysisIEEE Transactions on circuit iheoty} i971, v.CT'l8,iJ1,p.M-26.

82. Wakhte M-, Sinc/haô K-7MachJ. An optimat pivoting order for the solution of sparse systems of etyuations.

83. Van ßokboven W.N. G. Linear implicit different Cat ¿on formulae of variable siep and order.-IEEE Transactions on circuity and systems, №75, v.Mi-21, ¡J2,p .№-U5.

84. Vi/aC-Hanj Lin, Seherman A.H. Comparative analysis of ïhe Cuthilt-McKee and ïhe rmrse tuihilt-McKee ordering algorithms for sparse matrices SIkH journal on numerical analysis, №7è,v.i5^Z}p.W-îi5.

85. Wing 0. Sparse matrix techniques in circuit analysis.-Proceedings of ïhe fifth iranion conference of eiectric engineering. Shira* ; H75? v. I, p.^M-lM.1. ПШЛОЖЕНИЕ

86. УПЗЕРВДЮ" ' проректор по "научной 7проректор/работе XII?Э

87. М.П. Ьуа'ллов БД. /фамилия ,и инициалы/" (г19^ г.- • "УТВЕРШЮВ Руководитель предприятия /руководитель предир!шткя/и/я Г- П1?.5оргрТлзация '^'аказчжгг~"1. I п