Алгоритмизация анализа и синтеза нелинейных управляемых систем с учетом свойств проводимости по А. М. Ляпунову и особенностей в виде плоских предельных циклов на основе системы компьютерной алгебры "АНАЛИТИК-С" тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Орлов, Дмитрий Васильевич

• Орлов, Дмитрий Васильевич
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Орлов, Дмитрий Васильевич

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ ВВЕДЕНИЕ

1. АБСТРАКТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ПРОИЗВОДЯЩЕГО ВЕКТОРА И КОЭФФИЦИЕНТОВ А.Н.КРЫЛОВА

1.1. Объект исследований - абстрактная математическая модель

1.2. Математический аппарат производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова

1.3. Коэффициенты А.Н.Крылова в задаче канонизации систем дифференциальных уравнений

1.4. Выводы

2. АНАЛИЗ ПРИВОДИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА ПРОИЗВОДЯЩЕГО ВЕКТОРА И КОЭФФИЦИЕНТОВ А.Н.КРЫЛОВА

2.1. Постановка задачи

2.2. Традиционный подход к решению задачи приводимости

2.3. Необходимые и достаточные условия приводимости нелинейных систем

2.4. Анализ приводимости с использованием производящей матрицы А.н.крылова

2.5 Модельные примеры анализа нестационарных линейных систем

2.5.1. Классический пример приводимой системы Н.П.Еругина

2.5.2. Приводимые системы типа Н.П.Еругина

2.5.3. Модель гировертикали с вращающимися сосудами

2.5.4. Анализ модели бокового движения осесимметрического летательного аппарата

2.5.5. Анализ приводимости кинематических уравнений инерциальной навигации

2.5.6. Другие примеры нестационарных линейных систем

2.6. Модельные примеры анализа нелинейных систем

2.7. Использование необходимых и достаточных условий приводимости при синтезе

2.8. выводы

3. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЛОСКИХ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ

3.1. Постановка задачи

3.2. Обзор методов анализа существования предельных циклов

3.3. Необходимые и достаточные условия существования предельных циклов на фазовой плоскости

3.4. Примеры систем второго порядка

3.4.1. Примеры приводимых двумерных систем

3.4.2. Примеры неприводимых двумерных систем

3.5. Случай п=

3.6. Обобщение плоских предельных циклов с несмещенным центром на случай п=21 0 = 1,2,3,.)

3.7. Обобщение плоских предельных циклов со смещенным центром на случай П=31 (\ = 1,2,3,.)

3.8. Условия существования плоских предельных циклов систем с п>

3.9. Обобщение плоских предельных циклов со смещенным центром на случай (\ = 1,2,3,.)

3.10. Гипотезы о символьном представлении коэффициентов

А.Н.КРЫЛОВА

3.11. Примеры систем дифференциальных уравнений, обладающих предельными циклами

3.11.1. Примеры биологических систем

3.11.2. Примеры систем, характеризующие физические явления

3.12. обратная задача анализа существования предельных циклов

3.13. Выводы

4. СИСТЕМА АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ АНАЛИТИК-С

4.1. Постановка задачи

4.2. Аналитический обзор проблемы развития систем компьютерной алгебры

4.2.1. Основные возможности систем компьютерной алгебры и проблемы разработки

4.2.2. Основные направления развития САВ

4.2.3. Основные задачи по построению системы аналитических вычислений

4.2.4. Выбор языка программирования для реализации аналитических алгоритмов

4.3. Математическое и алгоритмическое обеспечение

4.3.1. Назначение и общая характеристика

4.3.2. Вспомогательные сведения к задаче упрощения алгебраических выражений

4.3.3. Алгоритм приведения подобных членов

4.3.4. Алгоритм символьного дифференцирования

4.3.5. Разложение в ряд Тейлора аналитически заданной функции

4.3.6. Решение дифференциальных уравнений первого порядка и систем, составленных из них

4.3.7. Генерирование случайного полинома

4.4. Описание языка аналитических вычислений АНАЛИТИК-С

4.4.1. Область применения

4.4.2. Переменные

4.4.3. Операции, выражения

4.4.4. Функции

4.4.5. Операторы

4.5. Технические характеристики и установка

4.5.1. Требования к аппаратному и программному обеспечению

4.5.2. Инсталляция программного продукта

4.6. Сравнительная характеристика с существующими аналогами

4.6.1. Сравнительная характеристика CAB АНАЛИТИК-С и MapleV

4.6.2. Достоинства и недостатки CAB АНАЛИТИК-С

4.6.3. Основные направления развития

4.7. Выводы ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ПРИЛОЖЕНИЕ 6 ПРИЛОЖЕНИЕ 7 ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

АТФ - аденозинтрифосфорная кислота;

Гл - глюкоза;

НАД - никотинамидадениндинуклеотид;

САВ - система аналитических вычислений;

СКА - система компьютерной алгебры;

Ф6Ф - фруктозо-6-фосфат;

ФДФ - фруктозодифисфат;

ФФК - фосфофруктокиназ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмизация анализа и синтеза нелинейных управляемых систем с учетом свойств проводимости по А. М. Ляпунову и особенностей в виде плоских предельных циклов на основе системы компьютерной алгебры "АНАЛИТИК-С"»

Эволюционное развитие теории автоматического управления соразмерно возрастанию требований к точности математического описания объектов управления. Наиболее точные и полные модели, в большинстве своем, представляются нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, такие модели очень сложны для анализа и создают значительные трудности при синтезе законов управления. В этой связи большое значение играет теория приводимых систем, основы которой заложены выдающимся русским ученым А.М.Ляпуновым, и которая оформилась в законченную теорию усилиями академика АН СССР Н.П.Еругина. Однако, теория приводимых систем распространяется только на класс нестационарных линейных систем, в то время как какие-либо попытки ее распространения на нелинейные системы - практически неизвестны. Поэтому исследование свойства приводимости нелинейных систем, преследуемое настоящей работой, представляет несомненный научный и практический интерес.

Среди не до конца решенных проблем нелинейных управляемых систем остается и 16-я проблема Д.Гильберта топологии алгебраических кривых и поверхностей, самыми интересными из которых, с позиций многочисленных технических приложений, являются замкнутые кривые или предельные циклы. При анализе системы управления необходимо знать, возможен ли в принципе процесс автоколебаний в этой системе, или нет. Известные достаточные критерии несуществования предельных циклов на фазовой плоскости Бендиксона и Дюлака, обобщенные на случай многомерных систем В.П.Жуковым, в ряде случаев позволяют ответить на этот вопрос. В то время как какие-либо регулярные процедуры анализа существования предельных циклов - практически неизвестны. Вот почему проблема анализа существования плоских предельных циклов, рассматривая в настоящей работе, также представляет несомненный научный и практический интерес.

Анализ и синтез нелинейных управляемых систем немыслим без использования современных систем аналитических вычислений (CAB) типа 8

Maple V, MathCAD, MathLab, Mathematica, MACSYMA, MACNON и других. Среди перечисленных до сих пор нет ни одной отечественной CAB, хотя использование указанных выше пакетов западной разработки зачастую затруднительно, а в ряде случаев и невозможно. Поэтому разработка отечественной CAB, преследуемая настоящей работой, является приоритетной задачей сегодняшнего дня, поскольку дальнейшее отставание в этой области не способствует паритету, в том числе и в оборонном плане. Изложенные выше факты обосновывают актуальность данной диссертационной работы.

Объектом исследований в работе являются нелинейные управляемые системы с сосредоточенными параметрами, описываемые обыкновенными конечномерными дифференциальными уравнениями.

Работа выполнена в рамках основного направления научных исследований Саратовского государственного технического университета -АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ при частичной финансовой поддержке базового финансирования фундаментальных исследований СГТУ по единому заказ-наряду по теме СГТУ-115 за 1998 год «Разработка алгоритма анализа предельных циклов с использованием производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова».

Диссертационная работа преследует следующие цели:

1) с использованием математического аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова:

- получить необходимые и достаточные условия приводимости нелинейных управляемых систем и использовать полученные условия при синтезе;

- получить необходимые и достаточные условия существования плоских предельных циклов на фазовой плоскости, обобщить эти условия на случай многомерных систем и использовать их при синтезе;

2) создать новую редакцию языка аналитических вычислений АНАЛИТИК, разработанного в конце 60-х годов авторским коллективом по руководством академика АН СССР В.М.Глушкова, для реализации алгоритмов аналитической теории автоматического управления и алгоритмов, разработанных в диссертации.

Методы исследований. Полученные в работе результаты базируются на методах теории автоматического управления, теории устойчивости, ка9 чественной теории динамических систем, аналитической геометрии, теории доказательств Д.Гильберта и объектно-ориентированного программирования.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

1) с использованием аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова получены необходимые и достаточные условия приводимости нестационарных линейных и нелинейных систем (обычных и блочных);

2) поставлена задача синтеза производящего коэффициента или мультипликативной составляющей закона управления, доставляющего свойство приводимости синтезируемой нелинейной системе, и предложен алгоритм ее решения;

3) с использованием аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова получены необходимые и достаточные условия существования плоских предельных циклов (со смещенным и несмещенным центрами) на фазовой плоскости, обобщенные на случай многомерных систем;

4) поставлена (как задача параметрического синтеза) обратная задача анализа существования предельных циклов и предложен алгоритм ее решения;

5) введен в рассмотрение критерий простоты вычисленного аналитического выражения - минимум уровней вложенности операций, на основе которого с помощью формализма Д.Гильберта разработан алгоритм приведения подобных членов, состоящий в упрощении символьных выражений согласно этому критерию;

6) на основе указанного выше алгоритма приведения подобных членов разработан алгоритм символьного дифференцирования функций многих переменных в условиях полиномиального и неполиномиального представления входных функций. Для полиномиальных функций предложенный алгоритм представляет собой модификацию известного алгоритма численного дифференцирования функции по семи точкам, а для

10 неполиномиальных функций - базируется на применении формул Лейбница.

Практическую ценность работы составляет разработанная под названием «АНАЛИТИК-С» система компьютерной алгебры, представляющая собой математическое обеспечение аналитической теории автоматического управления и разработанных в диссертации алгоритмов.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены и использованы в учебном процессе Саратовского государственного технического университета и Саратовского филиала военного артиллерийского университета, о чем имеются соответствующие акты внедрения. Результаты данной работы внедрены также в процесс разработки систем управления летательных аппаратов в ОАО КБ «Электроприбор», что подтверждено соответствующим актом внедрения.

Система компьютерной алгебры «АНАЛИТИК-С» зарегистрирована в отделе регистрации программ для ЭВМ, баз данных и топологии микросхем Федерального института промышленной собственности.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• научно-технических конференциях в Саратовском филиале военного артиллерийского университета и Академии военных наук в 1996-1999 годах;

• VII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость движения» (Казань, 1997 г.);

• IV Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 1998 г.);

• Межреспубликанской научной конференции «Управление в социальных, экономических и технических системах» (Кисловодск, 1998 г.); и

• XIV Конгрессе IFAC (Китай, Пекин, 1998 г.).

• Международной электронной научно-технической конференции «Перспективные технологии автоматизации» (Вологда, 1999 г.);

• Международной конференции «Нелинейные науки на рубеже тысячелетий» (Санкт-Петербург, 1999 г.)

• Международной конференции International Conference "Computer Integrated Manufacturing" (Польша, Закопане, 1999 г.);

По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 15 научных работ, из них: статей - 8, тезисов докладов — 7. Опубликованные материалы полностью отражают содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, десяти приложений, заключения и списка литературы из 114 названий. Основное содержание диссертации изложено на 240 страницах, содержит 26 рисунков и 4 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Орлов, Дмитрий Васильевич

4.7. Выводы

Идея проведения вычислений в формульном или символьном виде на компьютере возникла давно, вскоре после создания вычислительных машин. Было создано довольно . много систем аналитических вычислений и решен ряд задач из различных разделов математики, физики и механики. Однако, долгое время системы' аналитических вычислений (CAB) и работа с ними относились к разряду экзотики, задачи были частными и модельными, поскольку систематическое использование CAB упиралось в их несовершенство и ограниченные возможности компьютеров.

В настоящее время аналитические вычисления и CAB переходят в разряд рабочих вычислительных методов с широкими и разнообразными приложениями. Об этом говорится, например, в статье [27]. С одной стороны, возможности CAB и компьютеров возросли, с другой -практика вычислений в' некоторых областях все настоятельнее требует использования CAB.

Символьным вычислениям в перспективе предстоит стать в ряд обычных вычислительных возможностей. Для этого необходимо в первую очередь, чтобы на основных типах компьютеров были бы доступные и эффективные CAB в качестве стандартного математического обеспечения. Требуется интенсивное развитие и усовершенствование численно-символьного интерфейса, а также сопряжение CAB с пакетами прикладных программ, архивами, базами данных, базами знаний, эвристическими системами и другими системами не численной обработки информации, например, системами доказательства теорем. Системы аналитических вычислений с большим объемом математических и прикладных подсистем являются, по существу, основой для базы математических знаний, так как включают в себя большое число математических методов, позволяют обращаться к ним без специальной подготовки, имеют форму представления результата и исходных данных, близкую к привычной формульной.

Создание символьных алгоритмов требует соединения глубоких знаний в математике или прикладной области с искусством

225 программирования для их реализации. Накопление фонда алгоритмов, оснащение ими CAB; происходит недостаточно интенсивно. Нередко имеем не реализацию метода (в общем случае), а решение частной задачи и соответствующую программу. Очень важна возможность быстрого переноса реализованных алгоритмов из одной СКА в другие. При разработке новых сложных алгоритмов разумно использовать элементы уже имеющихся алгоритмов,- готовые "кирпичики", но это требует изучения и стыковки больших по объему текстов на различных языках. Библиотеки алгоритмов для символьных вычислений не собраны воедино и по качеству, объему, значительно отстают от библиотеки численных методов и алгоритмов.

В процессе работы над этим разделом диссертации была собрана и систематизирована обширная информация как по существующим на данный момент системам аналитических вычислений (по истории развития, разновидностям, задачам, способам реализации), так и по математическому, алгоритмическому и программному обеспечению аналитических и численных методов. Об этом красноречиво свидетельствует список использованной отечественной и зарубежной литературы по этим темам.

Описанная в данной работе СКА является вторым приближением реализации на IBM-совместимой платформе интерпретатора языка аналитических вычислений АНАЛИТИК-С, прототипом которого послужил входной язык ЭВМ "МИР-2" [26]. В программе, составляющей суть данной работы, частично использованы адаптированные численные математические алгоритмы [2], [3], [9], [30], [83], а также оригинальные алгоритмы разработчика [58], [59], [61], [65], [67], [68], [110]. Программа написана на языке Delphi 3.0 [88], имеет подробное описание алгоритмов, методов, контрольных примеров, приведены укрупненные структурные схемы отдельных блоков программы.

Научную новизну данного раздела- диссертационной работы составляют следующие выносимые на защиту результаты: 1) введенный в рассмотрение критерий простоты вычисленного аналитического выражения - минимум уровней вложенности

226 операций, критерий имеет строгое обоснование и описание на языке понятий Д.Гильберта [25];

2) алгоритм упрощения символьных выражений согласно выбранному критерию простоты выходного' выражения, даны рекомендации по программированию этого алгоритма, следование которым обеспечивает однозначность представления выходного выражения, простоту структуры программы, защиту о.т зацикливания хода программы, экономию ресурсов компьютера;

3) алгоритм символьного дифференцирования функций многих параметров, работающий с выходными выражениями предложенного в- диссертации алгоритма приведения подобных членов: для достижения задачи символьного дифференцирования предложено разделить входные функции на полиномиальные и неполиномиальны'е. Для полиномиальных функций введена в рассмотрение модификация известного численного алгоритма дифференцирования функции по семи точкам, а для неполиномиальных .функций предложен алгоритм аналитического дифференцирования с применением формул Лейбница. Для представленного алгоритма дифференцирования также даются рекомендации по программированию.

Определенный научный интере'с имеет средство графического представления информации, которое позволяет с помощью одной команды (с соответствующими параметрами) получить результат моделирования динамических систем (стационарных линейных, нестационарных линейных, нелинейных, автономных, неавтономных) второго и третьего порядка: путем выбора соответствующих закладок графического экрана обзору могут быть доступны графики поведения переменных состояния вЬ времени, плоские фазовые портреты и для трехмерных систем пространственные фазовые траектории. Данное средство графического вывода .информации основано на применении предложенного в этом разделе алгоритма упрощения аналитических выражений.

227

Введенные в рассмотрение алгоритмы символьного упрощения и дифференцирования формализованы на язьще понятий Д.Гильберта [25].

Представленный в ■ данной работе программный продукт является системой аналитических вычислений общего назначения, отдельные элементы которого ноеят, тем не менее*,, специализированный характер применительно к развивающейся в настоящее время в Саратовском государственном техническом университете аналитической теории автоматического управления. Действительно-, к специализированным программным элементам- можно отнести средство графического представления результатов моделирования динамических систем на плоскости и в пространстве, программную реализацию символьного преобразования матричной записи, представления динамических систем от формы «вход-выход» к формам Фробениуса и Крылова-Люенбергера. Эти элементы являются неотделимой частью предложенной CAB. Кроме того, поскольку описываемая • программа является интерпретатором языка символьных вычислений АНАЛИТИК-С, то на этом языке представляется возможным программировать аналитические и численные алгоритмы решения задач общего назначения и специальных задач, в том числе, и связанных с аналитической теорией автоматического управления.

Отличительная особенность данной программной разработки состоит еще и в том, что все операторы языка АНАЛИТИК-С могут вводиться как на русском, так и на английском языках. Также программа имеет удобный пользовательский Windows-интерфейс, встроенную контекстную помощь, что очень облегчает работу начинающих пользователей с данным языком. • !

Данная программа нашла применение ' при аналитических исследованиях и моделировании динамических систем, представленных в двух предыдущих разделах. Также CAB АНАЛИТИК-С используется в ф учебных целях на каф. ТК-И СРТУ, в Саратовском филиале военного артиллерийского университета, о чем свидетельствуют Акты о внедрении в учебный процесс ,(см- прил. 8). Данный программный продукт нашел свое применение в процессе проектирования систем

• 228 управления летательными аппаратами в ОАО КБ «Электроприбор», что также подтверждено соответствующим Актом о внедрении (прил. 8).

229

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная диссертационная работа посвящена: 1) разработке альтернативных известным необходимых и достаточных условий приводимости динамических систем (обычных и блочных), описываемых с помощью введенной в рассмотрение абстрактной математической модели; 2) разработке необходимых и достаточных условий существования плоских предельных циклов двумерных нелинейных систем и обобщению этих условий на случай многомерных систем (обычных и блочйых); 3) созданию новой версии системы аналитических вычислений АНАЛИТИК-С, прототипом которой служил входной язык микроЭВМ «Мир-2» АНАЛИТИК.

Проведенные исследования позволили получить автору следующие научные результаты, выносимые на защиту:

1) с использованием аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова получены необходимые и достаточные условия приводимости нестационарных линейных и нелинейных систем (обычных и блочных);

2) поставлена задача синтеза производящего коэффициента или мультипликативной составляющей • закона управления, доставляющего свойство приводимости синтезируемой нелинейной системе, и предложен алгоритм ее решения;

3) с использованием аппарата производящего вектора и коэффициентов А.Н.Крылова получены необходимые и достаточные условия существования плоских предельных циклов (со смещенным и несмещенным центрами) на фазовой плоскости, обобщенные на случай многомерных систем;

4) поставлена (как задача параметрического синтеза) обратная задача анализа существования предельных циклов и предложен алгоритм ее решения; • '

5) введен в рассмотрение критерий простоты вычисленного аналитического выражения - минимум уровней вложенности операций, на основе которого с помощью формализма Д.Гильберта

231

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Орлов, Дмитрий Васильевич, 2000 год

1. Абрамов С.А., Квашенко К.Ю. Некоторые алгоритмы компьютерной алгебры, связанные с дифференциальными уравнениями. М.: Выч. центр АН СССР, 1991.

2. Агеев М.И., Алик В.П. Библиотека алгоритмов 1016-1506. М.: Сов. радио, 1978.

3. Агеев М.И., Алик В.П. Библиотека алгоритмов 516-1006. М.: Сов. радио, 1976.

4. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями./Перевод с англ. Панкратьева E.B. М.: Мир, 1994.

5. Аладьев В.З., Шишаков М.Л. Введение в среду пакета Mathematica 2.2. М.: Информационно-издательский дом «ФИЛИНЪ», 1998. 240 С.

6. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424С.

7. Арушанян О.Б., Гойхман Г.Я. Аннотированный перечень алгоритмов и программ. М.: МГУ, 1990.

8. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496С.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962.

10. Бруновский П. О стабилизации линейных систем при определенном классе постоянно-действующих возмущений. //Дифференциальные уравнения. 1966. - т.2, N6. - С.769-777.

11. Быков В.И., Котманов А.И., Лазман М.З. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов. Новосиб.: Наука, 1991.

12. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 С.

13. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320С.232

14. Вознесенский И.Н. О регулировании машин с большим числом регулируемых параметров. //Автоматика и телемеханика. 1939. -N4. - С.44-46.

15. Выпуск N7 сборников Вычислительные процессы и системы. /Под ред. Г.И. Марчука. М.: Наука, 1990.

16. Габасов Р., Игнатенко В.В. Управляемость систем с помощью регуляторов. // Тез. докл. VI Респ. конф. математиков БССР. Минск: 1975. Ч. I. - С.35.

17. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508С.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Марченко В.М., Асмыкович И.К. Задачи реконструкции конечномерных систем. Минск: Препринт инта математики АН БССР N26(183), 1983. 47С.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Марченко В.М., Асмыкович И.К. Математические проблемы управления линейными конечномерными системами. Минск: Препринт ин-та математики АН БССР N20(177), 1983. 36С.

20. Гайшун И.В. Существование канонических форм линейных нестационарных систем управления относительно экспоненциальной группы// Дифференциальные уравнения. 1998. - Т.34. - N 6. -С.727-734.

21. Гайшун И.В. Управляемость характеристическими векторами линейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т.35. - N1. - С.24-29.

22. Галиуллин A.C. Устойчивость движения. Москва.: Изд-во УДН им.П.Лумумбы, 1973, 103 С.

23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1954. 492 С.

24. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики Пер. с нем. Нагорного Н.М./под ред. Адяна С.И. М: Наука, 1982 - 515 С.233

25. Глушков В.М. Алгоритмический язык для описания вычислительных процессов с использованием аналитических преобразований. //Кибернетика. -1971. N3.

26. Трошева М.В., Ефимов Г.Б. О системах аналитических вычислений на ЭВМ.// Сборник Пакеты прикладных программ. Аналитические преобразования. М.: Наука, 1988. -157С.

27. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. Москва: Наука, 1967, 473С.

28. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. М.: CK Пресс, 1997. 336 С.

29. Дьяконов В.П. Сравочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. М.: Наука, 1989.

30. Дэвеннорт Дж., Сир П., Турнье Э. Компьютерная алгебра: Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир 1991.

31. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979, 743 С.

32. Еругин Н.П. Приводимые системы. М.: Изд-во АН СССР, 1946. 94 С.

33. Ефимов Г.В., Трошева М.В. Вопросы развития и использования систем аналитических выкладок на ЭВМ. М: Изд-во ин-та прикладной математики, 1988.

34. Жуков В.П. Аналоги критериев Бендиксона и Дюлака для динамических систем произвольного порядка //Автоматика и телемеханика. 1999. - N10. - С.46-64.

35. Изобов H.A. Линейные системы дифференциальных уравнений.// Математический анализ. -1974. Т.12. - С.71-146.

36. Калинина H.A. Системы компьютерной алгебры. Основные возможности и проблемы. Система АУМ. Новосиб.: ГУ, 1993.

37. Калман P.E. Об общей теории систем управления.// Тр. I Конгр. ИФАК. М.: 1960, - С.206-266.

38. Калман P.E., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400С.

39. Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989.

40. Кожевникова Г.П., Синицкий A.JI. Алгоритмы преобразования форм представления выражений и их сложностный анализ. Киев: институт кибернетики, 1980.

41. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. /Под ред. Бухбергер Б. и др. М.: Мир, 1986.

42. Красовский H.H. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем//Прикладная математика и механика. 1964, - Т.28, - Вып.1. - С.3-14.

43. Красовский H.H. Проблемы управляемости, наблюдаемости и стабилизируемости динамических систем.// Тр. II Всесоюз. съезда по теоретич. и приклад, механике. М.: 1965, - Вып. I, - С.77-93.

44. Красовский H.H. Теория управления движением. М.:Наука, 1968. 476 С.

45. Крылов А.Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем//Изв.АН СССР, сер.физ.-мат. 1931. - N4. -С.491-539.

46. Курцвейль Я. К аналитическому конструированию регуляторов. //Автоматика и телемеханика. 1961, - N6, - С.688-695.

47. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости. М.: ОНТИ. 1935.

48. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. М.: Информационно-издательский дом «ФИЛИНЪ», 1998.

49. Марченко В.М. Минимальное число входов линейных управляемых систем. //Дифференциальные уравнения. 1974, -Т.10, - N10, - С.1789-1796.

50. Математическая энциклопедия, том 3. М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1982. 1184С.

51. Математическая энциклопедия, том 4. М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1982. 1183С.

52. Математическая энциклопедия. М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1988. 848 С.235

53. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988. 847С.

54. Михалев A.B., Панкратьев Е.В. Компьютерная алгебра. Вычисления в дифференциальной и разностной алгебре. МГУ. 1989.

55. Морозов В.М., Каленова В.И. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах. М.:Изд-во МГУ, 1988, 142С.

56. Николаев С.Ф., Тонков E.JI. Структура множества управляемости линейной докритической системы// Дифференциальные уравнения. -1999. Т.35. - N 1. - С.107-115.

57. Орлов Д.В. Алгоритмы упрощения алгебраических выражений и символьного дифференцирования в системе аналитических вычислений АНАЛИТИК-С. //Информационные технологии. М.: Машиностроение. 1999. - N11, - С.26-35.

58. Орлов Д.В. Использование диалогов FIND и REPLACE в среде DELPHI.// Радиолюбитель. Ваш компьютер. 1999. - N9, - С.24-26.

59. Орлов Д.В. Использование коэффициентов А.Н. Крылова в анализе приводимости. //Управление в технических системах: Тезисы докладов научно-технического семинара. /В.В.Сафронов. Саратов: Изд-во СВВКИУ. 1998. - С.59-63.

60. Орлов Д.В. Необходимые и достаточные условия приводимости с использованием аппарата коэффициентов А.Н.Крылова.236

61. Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов: Межвузовский научный сборник. Саратов: Сарат.гоС.техн.ун-т. -1999. С.183-192.

62. Орлов Д.В. Упрощение алгебраических выражений в системе аналитических вычислений АНАЛИТИК-С. //Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов: Межвузовский научный сборник. Саратов: Сарат.гоС.техн.ун-т. 2000. - С.97-105.

63. Панкратьев Е.В. Компьютерная алгебра. Факторизация многочленов. М.: МГУ. 1988.

64. Пензов Ю.Е. Аналитическая геометрия. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та. 1972. - 365С.

65. Петухова М.Н., Жернак А.Н., Петухов O.A. Машинные методы вычислений. Л.: СЗПИ. 1979.237

66. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука. 1969. 176С.

67. Подчукаев В. А. Аналитическая теория автоматического управления. Саратов: Изд-во Сарат.гоС.техн.ун-та. 1996. 200 С.

68. Подчукаев В.А. Быстрые алгоритмы совмещенного синтеза систем управления.//Изв. ВУЗов. Приборостроение. 1991. - N8. - С.28-43.

69. Подчукаев В. А. Новый критерий устойчивости нелинейных систем.//Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. 1987. - N6. - С. 154161.

70. Подчукаев В.А. Производящий вектор и коэффициенты А.Н.Крылова в анализе и синтезе управляемых систем//Доклады Академии Военных Наук. Серия «Аналитическая механика. Аналитическая теория автоматического управления». Саратов. -1999. Т1. - С.71-83.

71. Подчукаев В.А. Устойчивость, качество и коррекция систем автоматического управления: Учебное пособие для студентов втузов. Саратов: Сарат.политехи.ин-т. -1989. 80 С.

72. Подчукаев В.А., Орлов Д.В. Достаточные условия приводимости нелинейных систем.//Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тезисы докладов VII Четаевской конференции. Казань: Изд-во КГТУ. 1997. - С.63.

73. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие. М.: Диалог-МИФИ, 1997. 350 С.

74. Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple V. М.: Компания «Петит», 1997. 200С.

75. Рубин А.Б. Биофизика: В 2-х кн.: Учеб. для биол. спец. вузов. Кн.1. теоретическая биофизика. М.: Высшая школа, 1987. 319С.

76. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та. 1981. 200 С.

77. Теоретическая механика. Вывод и анализ уравнений движения на ЭВМ. /Под ред. Веретенникова В.Г. М.: В.ш. 1990.

78. Тонков Е.Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями.// Дифференциальные уравнения. -1976. Т.12. - N6. - С.1007-1011.238

79. Тонков E.JI. Неосцилляция и число переключений в линейной системе, оптимальной по быстродействию.// Дифференциальные уравнения. 1973. - Т.9. - N 12. - С.2180-2185.

80. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука. 1970. 564 С.

81. Фадеева В.Н., Колотилина Л.Ю. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ. Набор матриц для тестирования. Л.: ГУ. 1987.

82. Фаронов В.В. Delphi 3. Учебный курС. М.: Нолидж. 1998.

83. Форсайт Дж., Малькольм М., Маулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.

84. Anderson В.D.O., Luenberger R.G. Design of multivariable feedback systems. //Proc. IEE. -1967. vol.114. - N3. - PP.395-399.

85. Avenhaus Juergen. Reduktiossysteme. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. 1995.

86. Birk J., Zeitz M. Anwendung eines symbolverarbeiten Programmsystems zur Analyse und Synthese von Beobachtern fur nichtlineare Systeme.//msr. Berlin 33/ 1990. - N12.

87. Burda Wolf gang. Objektorientierte Messger aeteprogrammirung. // Elektronik. Berlin. 1991. - N20.

88. Carminati John, Devitt John S., Fee Greg J. Isogroups of Differential Equations Using Algebraic Computing. //Journal of Symbolic Computation. 1992. - N14 - PP.103-120.

89. Dougherty Daniel J., Patricia Johann. An Improved General E-Unification Method. //Journal of Symbolic Computation. 1992. -N14. - PP. 303-320.

90. Grossman Robert, Larson Richard G. Symbolic Computation of Derivations Using Labelled Trees.// Journal of Symbolic Computation. -1992. N13. - PP. 511-523.

91. Habel Markus, Wiwie Christoph. Hochsprache statt Maschinensprache.// Elektronik. Berlin. 1991. - N21.

92. Joepgen Hans-Georg. Programmiren mit Turbo-Pascal 6. Teil 1: Einfuhrung in das Konzept.// Elektronik. Berlin. 1991. - N7.239

93. Joepgen Hans-Georg. Programmiren mit Turbo-Pascal 6. Teil 2: Daten, Steuerstatements und "Objekte". // Elektronik. Berlin. 1991. -N8.

94. Joepgen Hans-Georg. Programmiren mit Turbo-Pascal 6. Teil 3: Zeiger, Ableitung, Virtualitaet und Polymorphie.// Elektronik. Berlin. -1991. N9.

95. Kaiman R.E. Contribution to the Theory of Optimal Control //Bol.Soc.Math.Mexicana. 1960. -N5. - PP.102-119.

96. Klotter Karl. Technische Schwingungslehre. Berlin: Springer Verlag. 1980. 270c.

97. Kneubuehl Fritz Kurt. Lineare und nichtlineare Schwingungen und Wellen. Stuttgart: B.G. Teubner, 1995. 325c.

98. Knowles Paul H. Integration of a Class of Transcendental Liouvillan Functions with Error-Functions. Part I. //Journal of Symbolic Computation. 1992. - N13, - PP. 525-543.

99. Kriesel M., Vogt K. Anwendung prognosirter Reglere in linearen Systemen groesser Dimension.// Elektronik. Berlin. 1990. - N3.

100. Kuhlman Heiner . ADA: Sprachelemente und Konzepte.// Elektronik. Berlin. 1991. - N16-19.

101. Kuncevich V.M. Garantierte Schaetzung der Parameter und der Zustandsgroessen in Steuerungssystem.// msr. Berlin 33. 1990. - N4.

102. Miller Dale. Unification Under a Mixed Prefix. //Journal of Symbolic Computation. 1992. - N14, - PP. 321-358.

103. Morris W. Hirsch, Stephen Smale. Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto.: ACADEMIC PRESS, INC., 1994. 400p.

104. Podchukaev V.A., Orlov D.V. Application of the Vehicle of A.N.Krylov's Producing Vector and Factors in the Analysis of NonLinear Systems.// Proceedings of the 14-th World Congress of IFAC240

105. Volume Set). Oxford Elsevier LTD (UK), 1999. - Vol.F. - 560p. p.385.

106. Schmelovsky К. H. Zustandsschaetzung in der Prozesssteuerung.// msr. Berlin 33. - 1990. - N2.

107. Seydel Ruediger. Practical Bifurcation and Stability Analysis From Equilibrium to Chaos. Berlin: Springer Verlag, 1994. 353C.

108. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и её применение. М.: Машиностроение, 1972. 552 С.

109. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: ГИТТЛ, 1955.

110. Онищенко С.М. Применение гиперкомплексных чисел в теории инерциальной навигации. Автономные системы. Киев: Наук, думка, 1983. 208С.

111. Червяков В.П. Об устойчивости и границах изменения координат линейной системы на конечном интервале времени//Тр. МАИ. М.: Машиностроение, -1970. -С.45-60.242

112. С, например, «Открытие файла» или «Построение решения дифференциального уравнения» и т.п.

113. Продемонстрированный на рис.1, раздел меню Файл содержит следующие команды для работы с редактором:

114. Новый создать новый файл программы;

115. Открыть открыть существующий файл программы;

116. Сохранить записать текущий файл на диск;

117. Сохранить как сохранить текущий файл под другим именем;

118. Печать программы распечатать текст из редактора программ;

119. Печать результата распечатать текст из редактора вывода результатов;1. Выход выход из системы.

120. Все команды меню продублированы соответствующими клавишами или комбинациями клавиш.

121. Диалоговые окна для работы с файлами имеют схожее строение, поэтому приведем только окно для открытия файла:эп'.а А Ъагпр1е1. Ы 10-3.nl 1-'□1111 4П1 lla.Mil :^11Ь.ап1 □ 11с.ап111(3.ап11. ПсЗт^оп.ап!12.ап1ш.эгЛ11п1е^а1.ап1 ¡^АсЫе.ап!1^Ви(ег1.ап1

122. Вшег2 ап1 |"^Ое1еттт.ь.п1 ап!егттапи.ап! ^Еее.ал!