Комплексы проблемно-ориентированных программ в системах символьной математики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Тихоненко, Алексей Витальевич

• Тихоненко, Алексей Витальевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Тихоненко, Алексей Витальевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СОЗДАНИЯ КОМПЛЕКСОВ ПРОБЛЕМНО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ ПРОГРАММ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В СИСТЕМАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

1.1. РЕСУРСЫ СИСТЕМ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИХ АДЕКВАТНОСТЬ АКТУАЛЬНЫМ ПРОГРАММНЫМ ЗАДАЧАМ

1.1.1. Математические инструменты и уровни применения ССМ

1.1.2. Системы символьной математики и языки программирования

1.1.3. Аналитические и аналитико-чпсленные алгоритмы

1.2. КОНЦЕПЦИЯ И ПРОГРАММНО-ИНФОРМАЦИОННЫЕ УСЛОВИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ССМ ДЛЯ СОЗДАНИЯ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ

1.2.1. Концепция создания комплексов прикладных программ в ССМ

1.2.2. Программно-информационные условия использования ССМ для создания программ и комплексов

1.2.3. Обзор реализованных аналитических и аналитико-численных алгоритмов

1.2.4. Системы символьной математики и обеспечение учебного процесса

1.3. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

1.3.1. Основы создания комплексов для решения УЧП

1.3.2. Основы создания комплексов для использования векторного и тензорного анализа

1.4. ОСНОВЫ СОЗДАНИЯ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ В ТЕОРИИЯ ПОЛЯ

1.4.1. Основы создания комплекса «Общие компьютерные методы в электродинамике»

1.4.2. Основы создания комплекса «Уравнения в частных производных в электродинамике»

1.4.3. Основы создания программного комплекса «Интегрирование уравнений движения заряженных частиц»

1.4.4. Основы создания программного комплекса «Теория поля в искривленном пространстве-времени»

1.5. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

1.5.1. Основы создания комплекса «Одномерное квантовое рассеяние»

1.5.2. Основы создания комплекса «Квантовые связанные изотропные системы»

ГЛАВА 2. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И ПРОВЕРКИ АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

МОДЕЛИ РЕАКТОРА ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ

2.1. МОДЕЛЬ РЕАКТОРА ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ МАЛОЙ МОЩНОСТИ

2.1.1. Основы создания комплекса для реализации математической модели реактора теплоснабжения;':

2.1.2. Система уравнений стационарной теплогидравлики реактора

2.1.3. Система уравнений нестационарной теплогидравлики реактора

-2.2. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ

2.2.1. Использование системы МАТНСАБ

2.2.2. Стационарные состояния работы реактора

2.2.3. Процессы, воздействующие на систему

2.2.4. Режимы работы реактора и его саморегулирование

2.2.5. Численное решение системы уравнений нестационарной теплогидравлики

2.3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ И ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ

2.3.1. Переходные процессы работы реактора в разных режимах

2.3.2. Результаты вычислительного эксперимента

ГЛАВА 3. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ АНАЛИЗА ДАННЫХ НЕЙТРОННОЙ БИБЛИОТЕКИ АКТИВАЦИОННЫХ ФАЙЛОВ

3.1. НЕЙТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА АКТИВАЦИОННЫХ ФАЙЛОВ И ПОДГОТОВКА ДАННЫХ ДЛЯ АНАЛИЗА

3.1.1. Программно-информационные основы создания комплекс для анализа данных

3.1.2. Подготовка данных для сравнительного анализа

3.2. АНАЛИЗ ДАННЫХ И ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ

3.2.1. Программная реализация методов анализа данных

3.2.2. Результаты сравнительного анализа

ГЛАВА 4. РЕАЛИЗАЦИЯ МНОГОФАКТОРНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ

4.1. ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ И ОСНОВЫ СОЗДАНИЯ КОМПЛЕКСА

4.2.1. Многослойное устройство со сферическими ТВЭЛом

4.2.1. Структура комплекса программ для расчета тепловых полей

4.2. РАСЧЕТ ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ В РАМКАХ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

4.2.1. Базовая модель. Общая постановка задачи

4.2.2. Решения краевых задач для базовой модели

4.2.3. Графики и анализ решений в базовой модели

4.2.4. Учет контактного сопротивления (модель МКС)

4.3. РАСЧЕТ ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ В РАМКАХ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

4.3.1. Общая постановка задачи в ограниченной нелинейной модели

4.3.2. Решение первой краевой задачи

4.3.3. Решение третьей краевой задачи

4.3.4. Графики и анализ решений в нелинейной модели

4.2.5. Полная нелинейная модель

4.2.6. Аналитические решения первой и третьей краевых задач

4.2.7. Визуализация решений в полной нелинейной модели

4.2.8. Полная нелинейная модель с учетом контактного термического сопротивления

4.4. РАСЧЕТ ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ В МОДЕЛЯХ, УЧИТЫВАЮЩИХ ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

4.4.1. Учет теплового излучения на внешней границе устройства

4.4.2. Учет теплового излучения на поверхности ТВЭЛ

4.4.3. Результаты расчетов в моделях МИГ и МИТ их визуализациями

4.4.4. Учет внешнего воздействия на устройство

4.5. ПРОГРАММНЫЙ АЛГОРИТМ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ

4.5.1. Построение алгоритма решения краевых задач в МАРЬЕ и МАТНЕМАТ1СА

4.5.2. Результаты исследования моделей температурных полей

ГЛАВА 5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ БАРЬЕРОВ ТЯЖЕЛЫХ ЯДЕР И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ

5.1. МОДЕЛЬ ДВУГОРБОГО ПОТЕНЦИАЛА С ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ

ПРОФИЛЯМИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ

5.1.1. Структура комплекса программ в рамках модели потенциала с прямоугольными профилями

5.1.2. Модель потенциала с прямоугольными профилями

5.1.3. Программное решение задачи

5.2. МОДЕЛЬ ДВУГОРБОГО ПОТЕНЦИАЛА С ТРЕМЯ КВАДРАТИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ

5.2.1. Структура комплекса программ в рамках модели потенциала с квадратичными функциями

5.2.2. Модель потенциала с тремя квадратичными функциями

5.2.3. Программное решение задачи

5.3. МОДЕЛЬ ДВУГОРБОГО ПОТЕНЦИАЛА С ПЯТЬЮ КВАДРАТИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ

5.3.1. Модель потенциала с пятью квадратичными функциями

5.3.2. Программное решение задачи

5.4. МОДЕЛИ ТРЕХГОРБОГО ПОТЕНЦИАЛА С ПЯТЬЮ И СЕМЬЮ КВАДРАТИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОХОЖДЕНИЯ

5.4.1. Модели трехгорбого потенциала

5.4.2. Программное решение задачи

5.5. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

5.5.1. Сравнение волновых функций

5.5.2. Исследование результатов в рамках модели потенциала с прямоугольными профилями

5.5.3. Исследование результатов в рамках модели потенциала с тремя квадратичными функциями

5.5.4. Исследование результатов в рамках модели потенциала с пятью квадратичными функциями

ГЛАВА 6. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ ФОРМАЛИЗМ НЫОМЕНА-ПЕНРОУЗА И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ БЕЗМАССОВЫХ ПОЛЕЙ СО СПИНОМ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ ДЕ СИТТЕРА

6.1. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ФОРМАЛИЗМ НЬЮМЕНА-ПЕНРОУЗА В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ:

6.1.1. Программно-информационные основы создания комплекса

6.1.2. Комплексная изотропная тетрада и алгоритм вычисления спиновых коэффициентов

6.2. ПРОГРАММНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ БЕЗМАССОВЫХ ПОЛЕЙ СО СПИНОМ В СТАТИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ ДЕ СИТТЕРА

6.2.1. Волновые уравнения полей со спином в модифицированном формализме Ньюмена-Пенроуза

6.2.2. Программный алгоритм решение полевых уравнений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комплексы проблемно-ориентированных программ в системах символьной математики»

Актуальность темы

Современную фундаментальную и прикладную науку уже невозможно представить без математического моделирования, а само математическое моделирование — без повсеместного использования вычислительной техники, компьютеров и математического обеспечения разного типа. Являясь научным методом познания и проектирования, в основе которого лежит работа не с самим объектом или процессом, а с его моделью, математическое моделирование сочетает в себе многие достоинства теории и эксперимента: вычислительные эксперименты с моделями дают возможность достаточно полного изучения объектов, что недоступно при чисто теоретических подходах. При этом возможности моделирования и сложность решаемых задач зависят как от применяемых вычислительных методов и мощности вычислительной техники, так и уровня математического обеспечения.

Щей такого подхода были заложены в работах российских исследователей (см., в частности, работы [1 - 5] по численным методам и математической физике), что, в конечном итоге, позволило рассматривать математическое моделирование как самостоятельную научную дисциплину [6 - 8]. Отметим здесь фундаментальный характер российской школы математического моделирования и его глубокую связь с решением прикладных научных, физико-технических, космических, ядерно-энергетических и других проблем (см., в частности, работы Самарского, Четверушкина и др. [9 — 18]). При этом современная компьютерная техника позволяет, с одной стороны, создавать мощные распределенные и многопроцессорные вычислительные системы (см., например, работы [19 — 20]), а с другой - использовать символьные процессоры для выполнения, на компьютерах сложных аналитических расчетов (в этой связи можно-сослаться на материалы и представительный состав участников секции «Computer-algebra software, symbolic-numeric methods and algorithms» международной конференции «Mathematical Modeling and Computational Physics», проводимой в Дубне).

Как известно [6 — 8], основу математического моделирования составляет триада модель - алгоритм — программа. Это предполагает, во-первых, разработку математической модели исследуемого объекта или процесса, отражающей в математической форме важнейшие его свойства (модели реальных исследуемых объектов включают системы нелинейных функционально-дифференциальных соотношения; ядром математической модели являются уравнения с частными производными). При этом предполагается исследование модели традиционными аналитическими средствами прикладной математики для получения предварительных знаний об объекте. Во-вторых, разрабатываются вычислительные алгоритмы для реализации модели на компьютере (исследование математических моделей проводится методами вычислительной математики, основу которых составляют численные методы решения задач математической физики — краевых задач для уравнений с частными производными). В-третьих, разрабатывается программное обеспечение, которое необходимо для реализации модели и алгоритма на компьютере.

Если фундаментальные модели известны и апробированы, возможно использование новой технологии научных исследований, сутью которой является математическое моделирование и вычислительный эксперимент [7]. Это предполагает, с одной стороны, возможность исследования модели традиционными аналитическими средствами, а с другой — разработку программных средств, обеспечивающих как многовариантность расчетов, так и мно-гомодельность как важнейших этапов исследований.

Далеко не всегда возможно обойтись одной программой или программной средой: компьютерные средства должны быть приспособлены для внесения изменений с целью решения- близких задач для набора моделей и учета различных дополнительных факторов, контроля, анализа и визуализации промежуточных и конечных результатов. Все это подразумевает широкое использование комплексовш пакетов прикладных,программ, разрабатываемых, на основе объектно-ориентированного программирования.

Такие комплексы предназначены для решения' близких по своей математической природе задач из одной предметной области и включают в себя библиотеку программных блоков, из которых составляются рабочие программы. Сборка комплексов программ из программных блоков может осуществляться вручную или автоматически с использованием средств компьютера. Такой подход позволяет наиболее эффективно использовать разработанные программные продукты для решения научных задач в рамках математического моделирования и вычислительного эксперимента, причем в наибольшей степени основные особенности вычислительного эксперимента учитываются при использовании объектно-ориентированного программирования и современных языков программирования.

Среди огромного числа компьютерных ресурсов и математического обеспечения (адекватного задачам современного математического моделирования и вычислительного эксперимента), обладающего высокой универсальностью и мощными математическими средствами выделяются системы символьной математики (ССМ). ССМ - интерактивные многофункциональные компьютерные системы высокого интеллектуального уровня, сочетающие достаточную простоту использования с мощью самых современных математических инструментов: они построены на технологиях символьных и численных вычислений с произвольной точностью и продвинутых математических алгоритмах.

К наиболее мощным ССМ (называемых также системами компьютерной алгебры, прикладными математическими пакетами) на сегодняшний день относятся MAPLE, MATHEMATICA, MATLAB и MATHCAD [21, 22]. Обладая математическими инструментами, примерно одинакового уровня, MAPLE и MATHEMATICA [21] являются бесспорными-лидерами (на основе специального обобщенного индекса) среди современных систем компьютерной алгебры [23]. Однако-MAPLE обладает новейшими технологиями символьных (особенно для- решения» дифференциальных уравнений в; частных производных, тензорного'анализа и т.п.) и численных вычислений с произвольной точностью, наиболее развитыми математическими алгоритмами ре- шения сложных математических задач и др. Система MATLAB обладает огромными ресурсами и предназначена, прежде всего, для проведения численных расчетов, создания собственных численных алгоритмов пользователем. Аналитические же расчеты в MATLAB реализуются символьным MAPLE-процессором. Система MATHCAD имеет самый дружественный интерфейс и наиболее прост в использовании. Однако его математические инструменты не столь мощны как в MAPLE и MATHEMATICA. Аналитические расчеты в MATHCAD реализуются ограниченным символьным MAPLE-процессором и многие сложные символьные операции в нем недоступны. Тем не менее, это самый распространенный в мире пакет.

Интерактивный тип диалога пользователя с ССМ на функциональном языке позволяет программировать ход решения задач аналогично аналитическому, когда каждый этап исследований можно верифицировать и, постепенно выполняя ряд операций, получить решение задачи. Такое программирование, осуществляемое на входном языке ССМ, требует не только задание операторов и функций, но и программное описание параметров, процедур, правил преобразования и т.п. в другом - функциональном - виде и соответствует основным принципам традиционных форм программирования.

Поскольку данная работа посвящена, прежде всего, разработке аналитических (и аналитико-численных) алгоритмов решения задач и расчетов математических моделей, основное внимание уделяется работе в MAPLE и работе с символьным MAPLE-процессором. Аналитические расчеты проводятся также с применением пакетов MATHEMATICA и MATHCAD, причем последний используется также для численных расчетов сложных систем. Выбор пакетов MAPLE [23-44], MATHEMATICA [46-60] и MATHCAD [60-78] (см. также [79, 80]) в качестве программных сред в настоящей работе обусловлен также методическими соображениями: по мнению автора, простота их использования и нацеленность не только на научные исследования, но и в учебном процессе (см. цитированные1 работы, а также работы автора [81— 135], изданные в обычном и электронном видах.

До сих пор во многих в областях теоретической и математической физики и прикладных наук исследования проводятся на основе аналитических вычислений, а результатами таких исследований являются различного типа функциональные соотношения. При этом уровень проблем постоянно повышается, требует использования математического аппарата со сложными аналитическими выкладками и приводит к таким громоздким вычислениям, что не представляется возможным проведения исследования обычными средствами. В результате все труднее приходится обходиться без компьютерных технологий и методов. С другой стороны, современные научные задачи, связанные с проектированием дорогостоящих физико-энергетических объектов, изучением объектов микромира и Вселенной и т.п., для которых невозможно проведение реальных экспериментов, требуют применения современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента, что означает, в свою очередь, актуальность развития компьютерных технологий, сочетающих аналитические и численные методы исследования. Действительно, с одной стороны, аналитические методы (они, в частности, ограничены сложностью реалистичных моделей) позволяют более качественно интерпретировать результаты вычислительного эксперимента (в том числе и с точки зрения проблемы проверки истинности полученного с помощью него результата); а с другой — вычислительные методы (они обычно ограничены рамками конкретного набора модельных численных данных) могут служить основой для нахождения новых аналитических решений и т.д.

Подходы, сочетающие аналитические вычисления и вычислительный эксперимент, естественным образом могут быть реализованы в виде анали-тико-численных алгоритмов, в ССМ и лежать в основе создания комплексов проблемно-ориентированных программ для решения современных научных проблем (уже в математическом плане представляющих собой целый комплекс различных задач, связанных с их постановкой, корректным учетом различных дополнительных условий, исследованием промежуточных и конечных результатов и т.д.), требующих специальных навыков проведения математических и физических расчетов.

Таким образом, для научных и прикладных задач, требующих многочисленных символьных вычислений и преобразований, задач, в которых существенно использование как численных, так и символьных вычислений, а также аналитически и численно решаемые задачи, требующие подробного верифицирования и интерактивного управления ходом решения, ССМ могут являться адекватным компьютерным ресурсом. Кроме того, ССМ эффективны как инструменты для выполнения предварительных вычислений (прежде всего в символьном виде) до уровня постановки задачи о численном решении задач; причем дальнейшее решение задачи возможно как в ССМ, так и в более эффективных прикладных пакетах. Использование символьных процессоров ССМ для выполнения аналитических преобразований и расчетов не является противопоставлением традиционным численным методам (как основы многих современных научных исследований). Напротив, именно мощь современных численных методов (в основе работы ССМ лежат, в конечном итоге, различные численные методы) и бурное развитие компьютерной техники привело к созданию систем, которые способны к символьному интерпретирующему подходу к вычислениям на-компьютере.

Интерактивные многофункциональные компьютерные ССМ стали универсальными математико-информационными средами; причем ССМ возможно использовать на основе как встроенных инструментов и функций, так и операторов и расширений, задаваемых самим пользователем, наращивая, тем самым мощь математических операций. Поэтому разработка теоретических основ создания комплексов программ на основе аналитико-численных алгоритмов в ССМ (МАРЬЕ, МАТНЕМАТ1СА, МАТНСАБ) и.их практическое воплощение для решения научных и прикладных задач ядерной энергетики и физики частиц представляет собой актуальную комплексную задачу.

Актуальность прикладных задач

Одним из, важных направлений использования-ядерной энергии является использование реакторов малой и сверхмалой мощности (до 100 МВт и 300 кВт соответственно). Такие реакторы могут найти широкий спектр применения для автономного теплоснабжения и электроснабжения, в удаленных и труднодоступных районах и т.п. Создание комплекса программ в среде ССМ и проведение вычислительного эксперимента с целью обоснования возможности разработки таких реакторов с саморегулированием является актуальной научной проблемой.

Актуальной комплексной проблемой является также создание библиотек нейтронных активационных ядерных данных по сечениям нейтронных реакций с ядрами мишеней от Z = 1—84 в энергетическом диапазоне от 150 МэВ до 1 ГэВ, поскольку такие данные необходимы для изучения свойств конструкционных материалов ядерной техники. Среди большого числа задач, решаемых при создании библиотек, важным этапом является сравнительный анализ моделей ядерных данных по их соответствию с экспериментом. Поскольку исходные экспериментальные данные сильно различаются как по количеству для разных реакций, так и по степени их однородности внутри каждого диапазона (причем не все исходные расчетные данные покрывают соответствующие области экспериментальных данных), появляется необходимость в создании комплексов программ в ССМ для комплексного анализа данных и ранжирования моделей на основе как численных расчетов с применением внутренних ресурсов ССМ, так и дополнительных процедур по определению и визуализации разных типов промежуточных и конечных результатов.

Еще одной актуальной проблемой, связанной с развитием ядерных технологий, является проблема нераспространения делящихся материалов, содержащихся в тепловыделяющих элементах различных устройств. Одним из высокотехнологичных способы защиты таких материалов является изменение изотопного состава тепловыделяющих элементов, которое, в свою очередь приводит к изменению некоторых физических и тепловых свойств таких объектов. Разработка математических моделей теплопроводности" в многослойном устройстве с тепловыделяющим элементом, которые учитывают различные физические и технологические факторы их безопасного хранения является актуальной прикладной проблемой, которая может быть решена для различных состояний с помощью комплексов программ в ССМ.

Многочисленные данные о сечениях деления свидетельствуют о наличии двух и более локальных максимумах потенциального барьера деления для ядер элементов с массовым числом А = 229-К247. Решение задачи о вычислении коэффициента прохождения для таких потенциалов представляет важную научную и прикладную проблему в области ядерной энергетики и физики частиц. Такая задача является сложной в математическом плане и для решения требует разработки соответствующих алгоритмов и программ. Кроме того, необходимы значительные вычислительные ресурсы для визуализации и получения численных значений характерных физических параметров ядер, что естественным образом, возможно реализовать с помощью комплексов программ в ССМ.

Задачи теории поля в пространстве де Ситтера длительное время привлекают внимание исследователей, а в последние годы интерес к таким задачам был актуализирован появлением теории инфляционной Вселенной. Оказывается, что задача исследования полей в пространстве де Ситтера является более ясной при использовании статической системы координат и позволяет рассчитывать квантовые процессы аналитически. Поэтому создание комплекса программ в ССМ для использования формализма Ньюмена-Пенроуза как инструмента вычислений в искривленном пространстве-времени и его применение для решения уравнений безмассовых полей со спином в пространстве де Ситтера является актуальной задачей физики частиц.

Замечание. В работе приводятся функциональные программные1 алгоритмы (ячейки ввода и вывода), отражающие содержание фактического материала; для представления алгоритмов автором выбран формат таблиц, представляющих существенные части программ (или их фрагменты).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Тихоненко, Алексей Витальевич

Вывод ои ^ . (1-25) (1/2/ЙГ0) 1-1/27ОГ01

Ю(х) :=л- (1 + х) (1-х)

С1 Ьурег£еот^[—5 - /, / - 5 + 1 ], [ 1 + со гО I - 5 ], ~ + + С2 +

2 2

-{О гО /-<- з)

1 лЛ

11урег§еот1 [-/- я> гО 1,1 + /- со гО /], [1 - со гО I +5], ^ +

1-2^) (-1/2/о/0+^) (л-1/2/югО)

112(х):=х (1+х) С1 -V)

Г С1 Ьурег«еот| [-5 - /, 1 - я + 1], [ 1 + со гО I - л1], ^ + у) + С2 [ ^ + ^ V

-СО/-0/ + 1)

Ьуре^еотМ-/ -со гО I, 1 + /- со гО /], [ 1 - со гО I + 5 ], ~ + ~

Таким образом, реализуется схема разделения переменных в уравнениях полей:

М 6 №2 {г)-и2Г1т(0,ф) 'яг{г)-2¥1т(е,ф) \г-2-Яг{г)-2¥1т(в,ф)1г\ где 3У1т — спиновые сферические гармоники, а универсальные радиальные уравнения

А. е

-¡■со i О

-1-0)1

2 Л

1-2с1 со2 • г4 - 2 • 51 ■ / ■ СО • г5

V ГС У 2 г

-2-(2-+ , )•(/-, + !) а А

1-2.1,

2 ^ а со1 • г4 + 2 • -У • / • со ■ г3 V с ^ с1г

-2-(2 •£-!)• (!-.?)■%-(/ + .?)-(/-¿ + 1)

Д'.Д,(г)) = 0 имеют решения (второе решение преобразовано): г 1 дМ (г) - л-1"2" • (х2 -1)' • е~Шг' ■ * - + / +1,5 +1 - / ■ й> ■гс,-(х +1)

I - б, ! +1 — г • со • гс, 2 • I + 2С,

2 ^^ х + \ где х = —, п = — Тп г 2 х + 1Л для А*(г) решения получаются из приведенных применением функциональных тождеств для гипергеометрических функций.

Построенные программным способом решения повторяют результаты работ [211-212], полученные ранее автором обычными методами. Таким образом, программным алгоритмом воспроизведены трудоемкие и обширные расчеты, связанные с решением уравнений безмассовых полей со спином в пространстве де Ситтера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Теоретические основы создания комплексов проблемно-ориентированных программ на основе аналитико-численных алгоритмов в ССМ для решения прикладных научных задач.

Обоснована концепция создания комплексов прикладных программ в ССМ, заключающаяся в алгоритмизации задач средствами встроенных ресурсов и программным заданием данных и условий; использовании метода функционального программирования на входном языке ССМ; в сочетании аналитических вычислений и технологии вычислительного эксперимента; в использовании как численных, так и аналитических методов исследования математических моделей.

Разработаны программы (как самостоятельные, так и ресурсные элементы для создания комплексов проблемно-ориентированных программ), реализующие на основе аналитических и аналитико-численных алгоритмов для решения широкого круга задач теоретической и математической физики, требующие больших аналитических вычислений и использования сложного математического аппарата.

2. Комплекс программ для реализации, вычислительного эксперимента и проверки адекватности математической модели реактора теплоснабжения малой мощности с саморегулированием.

КП предназначен для реализации модели реактора на основе системы нелинейных дифференциально-алгебраических уравнений; исследования стационарных состояний работы; моделирования переходных тепло-гидравлических процессов и различных режимов работы (обусловленных наличием обратных связей).

Выполнены вычислительный эксперимент (по изучению саморегулируемых режимов работы реактора и переходных процессов, возникающих в системе в результате воздействия внешних факторов), интерактивный анализ режимов работы и визуализация параметров; выявлены оптимальные режимы работы реактора (в том числе и для некоторых критических ситуаций).

3. Комплекс программ для обработки и статистического анализа данных нейтронной библиотеки активационных файлов «1ЕАГ-2005».

КП разработан с целью выбора наилучшей модели взаимодействия протонов с ядрами мишеней и предназначен для обработки и статистического анализа активационных нейтронных данных для нуклидов с Z = 6^84 в области энергий 15(Н1000 МэВ.

Проведено ранжирование моделей (для всего диапазона и для поддиапазонов массового числа ядер-мишеней) для данных 2006 и 2007 г.г.

4. Комплекс программ для реализации и расчета серии моделей, учитывающих различные физико-технические характеристики, многослойного устройства с ТВЭЛ.

В КП реализованы линейная и нелинейная модели теплопроводности (включая обоснование необходимости использования нелинейной- модели); модели с учетом контактного термического сопротивления, теплового излучения на внешней границе; различные граничные условия и специальные внешние воздействия.

Полученные результаты включают: нахождение аналитических решений и их визуализацию, численный анализ полученных данных и выводы по изотопному составу ТВЭЛ и физически приемлемым условиям хранения устройств для технологически важных состояний, удовлетворяющих требованиям нераспространения-делящихся материалов.

5. Комплекс программ для реализации моделей многогорбых потенциалов деления ядер тяжелых элементов.

КП предназначен для-реализации моделей потенциальных барьеров деления тяжелых ядер (А = 229'247); аналитического решения уравнения Шредингера и вычисления коэффициентов прохождения. Получены энергии резонансных уровней и квазистационарных состояний для различных реализаций потенциалов; проведения исследование моделей, включающее компьютерную визуализацию волновых функций и зависимостей коэффициентов прохождения. 6. Комплекс программ по применению формализма Ньюмена-Пенроуза для исследования безмассовых полей в искривленном пространстве-времени.

В рамках комплекса построены комплексные световые тетрады и вычислены спиновые коэффициенты для некоторых аксиально-симметричных 4-мерных искривленных пространств; произведено разделение переменных и получены аналитические решения уравнений для безмассовых полей со спином в статическом пространстве де Ситтера.

В заключении автор выражает глубокую благодарность Ю.А. Коровину за неоценимую помощь и всестороннюю поддержку в выполнении работы, ценные замечания и полезные обсуждения. Автор выражает признательность Д.В.Гальцову, Ю.А. Казанскому, Ю.С. Юрьеву, В.В. Артисюку, Ф.И. Карма-нову, В.А. Галкину, C.JI. Дороховичу, A.A. Казанцеву, Г.Б. Пильнову, М.Ю. Морозову, В.В. Бурмистрову за внимание к работе, обсуждения результатов и полезные замечания.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Тихоненко, Алексей Витальевич, 2009 год

1. Самарский A.A. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1971, - 552 с.

2. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. — 273 с.

3. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978.-512с.

4. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. -288 с.

5. Самарский A.A., Тихонов А.Н. Уравнения математической физики. — М.: МГУ, 1999.-798 с.

6. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 320 с.

7. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Математическое моделирование, 2000 г. http://www.imamod.ru/publications/?id=l

8. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. -М.: Физматлит, 2001. 320 с.

9. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. -М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

10. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. М.: Наука, 1985 г. - 304 с.

11. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы в газовой динамике. М., Изд. МГУ, 2000 г. 232 с.

12. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. 1980. -536 с.

13. М. В. Келдыш. Избранные труды. Ракетная техника и космонавтика. — М., Наука, 1988.

14. Гулевич A.B., Дьяченко П.П., Зродников A.B., Кухарчук О.Ф. Связанные реакторные системы импульсного действия. М.: Энергоатомиз-дат. 2003.-360 с.

15. Кудряшов Н. А., Тетерев Н. А. Численное моделирование распространения уединенной волны давления в жидкости, содержащей пузырьковую область // Математическое моделирование, 2009, 21(3) С. 3-17.

16. Kudryashov N. A., Chernyavsky I. L. Numerical simulation of the process of autoregulation of the arterial blood flow // Fluid Dynamics, 2008. 1, P." 32-48.

17. Левин B.A., Калинин B.B., Зингерман K.Mi Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. — М.: Физматлит, 2007. 392 с.

18. Якобовский М.В. Распределенные системы и сети. — М.: Станкин, 2000: -118 с.

19. Четверушкин» Б.Н., Гасилов В.А., Поляков C.B., Карташева Е.Л., Якобовский М.В. и др. Пакет прикладных программ GIMM для решения задач гидродинамики на многопроцессорных вычислительных системах // Математическое моделирование, 2005, 17:6, с. 58-74.20