Повышение устойчивости методов реконструкции распределений плотности в сечениях объектов в компьютерной томографии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.01, кандидат технических наук Щекотин, Дмитрий Сергеевич

• Щекотин, Дмитрий Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Щекотин, Дмитрий Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ В СЕЧЕНИЯХ ОБЪЕКТОВ.

1.1. Принцип исследования.

1.2. Преобразование Радона как основа математического описания задачи.

1.3. Виды задач реконструкции распределений плотности.

1.4. Использование преобразования Фурье.

1.5. Дискретное преобразование Радона.

1.6. Итерационный алгоритм определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования.

Выводы по главе 1.

2. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ИЗВЕСТНЫХ МЕТОДОВ РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ.

2.1. Оператор обратного проецирования.

2.2. Формулы обращения преобразования Радона.

2.3. Метод свертки и обратной проекции и его модификации.

2.4. Метод итераций Качмажа.

2.5. Алгебраический алгоритм восстановления в форме, удобной для компьютерной реализации.

Выводы по главе 2.

3. ПОВЫШЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОВ РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С НЕПОЛНЫМИ ДАННЫМИ.

3.1. Некорректные задачи.

3.2. Использование метода регуляризации Тихонова для повышения устойчивости методов реконструкции.

3.3. Способы решения задач с неполными данными.

3.4. Способы включения дополнительной информации в методы реконструкции распределений плотности.

3.5. Предлагаемый метод нахождения границ объекта.

Выводы по главе 3.

4. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

4.1. Количественные оценки результатов реконструкции.

4.2. Погрешность реконструкции при использовании метода регуляризации Тихонова.

4.3. Сходимость алгебраического алгоритма восстановления.

4.4. Реконструкция распределений плотности по ограниченному числу проекций.

Выводы по главе 4.

5. РЕКОНСТРУКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ ПО ДАННЫМ КОМПЬЮТЕРНОГО ТОМОГРАФА РКТ-01.

5.1. Преобразование веерных проекционных данных в параллельные проекционные данные.

5.2. Определение параметров рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01.

5.3. Предварительные преобразования значений интенсивности.

5.4. Анализ результатов численных экспериментов.

Выводы по главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Повышение устойчивости методов реконструкции распределений плотности в сечениях объектов в компьютерной томографии»

Актуальность темы. Компьютерная томография (КТ) применяется для исследования внутренней структуры материальных объектов. В диссертационной работе задача определения внутренней структуры объектов рассматривается на примере рентгеновской трансмиссионной КТ.

Рентгеновская трансмиссионная КТ применяется в медицине для исследования внутренних органов [12, 18], в промышленности для контроля качества изделий [17], в геофизике для исследования мантии Земли [22], в физике для диагностики плазмы [10, 22] и т.д. Известно, что промышленные рентгеновские компьютерные томографы позволяют обнаружить дефекты размером порядка 1 мкм, благодаря чему удается повысить качество и надежность выпускаемой продукции. Срок окупаемости затрат на промышленные рентгеновские томографы во многих случаях в 5-10 раз меньше срока окупаемости технологического оборудования. К достоинствам рентгеновской трансмиссионной КТ относятся высокая скорость и невысокая стоимость исследования. В медицинских приложениях конкурентом рентгеновской трансмиссионной КТ является магниторезонансная томография, достоинством которой является отсутствие вредных воздействий на организм пациента. Однако магниторезонансная томография обладает рядом недостатков по сравнению с рентгеновской трансмиссионной КТ. К таким недостаткам относятся: позднее выявление гематом, невозможность исследования при наличии металлических имплантантов, сложность обеспечения искусственной вентиляции легких, большее влияние движений больного на качество реконструкции, невозможность исследования при наличии клаустрофобии [12, 60, 66]. Эти недостатки приводят к тому, что в некоторых случаях, например, в нейрохирургической и неврологической практике, рентгеновская трансмиссионная КТ является предпочтительным методом исследования [12].

В рентгеновской трансмиссионной КТ внутренняя структура объекта характеризуется распределением плотности. В данном случае под плотностью понимается плотность электронов, т.е. количество электронов в единице объема. Хотя плотность объекта является функцией трех пространственных координат, обычно трехмерный объект представляют в виде набора сечений. Внутри каждого сечения плотность рассматривается как функция только двух переменных. Методика исследования такова: тонкий пучок рентгеновских лучей сканирует сечение объекта, испытывает частичное поглощение веществом, и изменение интенсивности рентгеновского излучения, являющееся интегральной характеристикой плотности исследуемого сечения, фиксируется детектором излучения. Затем с помощью компьютера по полученным данным производится реконструкция искомого распределения плотности в сечении объекта. Результат реконструкции выводится на дисплей в виде изображения.

Качество и скорость реконструкции распределений плотности зависят от конструктивных особенностей рентгеновского компьютерного томографа и от используемого математического аппарата. В связи с этим, одной из важных задач рентгеновской трансмиссионной КТ является совершенствование методов реконструкции распределений плотности. При этом возникают две фундаментальные проблемы. Во-первых, задача реконструкции распределений плотности является некорректной, а именно: небольшие погрешности в измеряемых данных могут привести к большим погрешностям в реконструируемой функции. Поэтому приходится прилагать усилия, направленные на повышение устойчивости методов реконструкции. И, во-вторых, для всех методов решения некорректных задач характерно противоречие между разрешающей способностью и устойчивостью. Данное противоречие состоит в том, что увеличение разрешающей способности (уменьшение систематической погрешности метода реконструкции) вызывает понижение устойчивости (увеличение случайной погрешности метода реконструкции), и наоборот. Поэтому необходимо иметь возможность устанавливать требуемое соотношение между устойчивостью и разрешающей способностью методов реконструкции распределений плотности.

В разработку методов реконструкции внутренней структуры объектов внесли свой вклад такие ученые как И. Радон, Р.Н. Брейсуэлл, JI.A. Шепп, Б.Ф. Логен, Ф. Наттерер, А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, И.Н. Троицкий и многие другие. Данная диссертационная работа посвящена разработке усовершенствованных устойчивых методов и алгоритмов реконструкции распределений плотности на основе метода свертки и обратной проекции, алгебраического алгоритма восстановления, метода регуляризации Тихонова и др.

Цель диссертационной работы. Целью данной работы является совершенствование существующих методов реконструкции распределений плотности, направленное на повышение их устойчивости, разрешающей способности и скорости, а также разработка новых алгоритмов и программ на их основе. Повышение устойчивости и разрешающей способности методов реконструкции является важной задачей КТ, поскольку эти характеристики методов определяют погрешность реконструкции распределений плотности. При этом необходимо иметь возможность устанавливать требуемое соотношение между устойчивостью и разрешающей способностью. Увеличение скорости реконструкции позволяет увеличить размер реконструируемой матрицы плотности, что повышает пространственную разрешающую способность рентгеновского компьютерного томографа.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели, необходимо решить следующие задачи:

• Проведение анализа и сравнения существующих методов реконструкции распределений плотности в сечениях объектов.

• Применение методов регуляризации к существующим методам реконструкции распределений плотности для повышения их устойчивости.

• Исследование зависимости соотношения устойчивости и разрешающей способности от параметров методов реконструкции распределений плотности.

• Разработка методик нахождения дополнительной (априорной) информации о реконструируемой функции и включение найденной информации в методы реконструкции распределений плотности.

• Разработка дискретных алгоритмов и программ для реконструкции распределений плотности и их оптимизация, направленная на повышение скорости реконструкции и снижение объема требуемой машинной памяти.

• Нахождение количественных оценок результатов реконструкции и сравнение полученных усовершенствованных методов реконструкции распределений плотности с существующими методами.

Научная новизна:

• Разработаны усовершенствованные устойчивые методы реконструкции распределений плотности в сечениях объектов на основе метода свертки и обратной проекции и алгебраического алгоритма восстановления.

• Разработан итерационный алгоритм определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования.

• Разработан метод нахождения границ реконструируемого объекта по исходным проекционным данным.

• Алгебраический алгоритм восстановления приведен к форме, удобной для компьютерной реализации.

• Предложено упрощение стабилизирующего множителя для метода регуляризации Тихонова, не снижающее эффективность метода.

• Показано, что решение задачи реконструкции распределений плотности методом р-фильтрации обратной проекции совпадает с решением уравнения Радона, приведенного к стандартному виду - интегральному уравнению Фредгольма I рода.

• На основе усовершенствованных методов реконструкции распределений плотности разработано программное обеспечение, позволяющее проводить численные эксперименты в области КТ.

• Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности метода свертки и обратной проекции с использованием метода регуляризации Тихонова от значений параметра и порядка регуляризации.

• Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности алгебраического алгоритма восстановления от количества итераций и значения параметра релаксации.

Практическая ценность. Полученные в результате проделанной работы усовершенствованные устойчивые методы реконструкции позволяют реконструировать распределения плотности с меньшими погрешностями, чем существующие методы. На основе данных методов создано программное обеспечение, с помощью которого были проведены эксперименты по реконструкции распределений плотности по данным, полученным с рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01, расположенного во ВНИИ технической физики (Российский Федеральный ядерный центр, г. Снежинск). Результаты экспериментов позволили сделать вывод о том, что результаты данной работы могут быть использованы при создании программного обеспечения рентгеновских компьютерных томографов.

Заключение диссертации по теме «Приборы и методы измерения по видам измерений», Щекотин, Дмитрий Сергеевич

Выводы по главе 5

1. При реконструкции распределений плотности по данным, полученным с рентгеновских компьютерных томографов с веерной схемой сканирования, необходимо предварительно преобразовать веерные проекционные данные в параллельные проекционные данные. В этом случае для реконструкции будут пригодны все алгоритмы, полученные для параллельной схемы сканирования.

2. Для снижения погрешностей в реконструируемой функции необходимо производить калибровку детекторов по проекционным данным для воздуха (сканирование без объекта).

3. Проведенные численные эксперименты по реконструкции распределений плотности по данным, полученным с рентгеновского компьютерного томографа РКТ-01, позволяют сделать вывод о том, что результаты данной диссертационной работы могут быть использованы при создании программного обеспечения рентгеновских компьютерных томографов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечень новых результатов. Перечислим новые результаты, полученные в данной диссертационной работе:

1. Разработаны усовершенствованные устойчивые методы реконструкции распределений плотности в сечениях объектов на основе метода свертки и обратной проекции и алгебраического алгоритма восстановления.

2. Разработан итерационный алгоритм определения длин пересечений прямой с элементами области сканирования, снижающий погрешность и увеличивающий скорость вычисления дискретного преобразования Радона и находящий применение при реализации оператора обратного проецирования, алгебраического алгоритма восстановления, а также при определении границ реконструируемого объекта.

3. Разработан метод нахождения границ реконструируемого объекта по проекционным данным, позволяющий снизить погрешность и увеличить скорость реконструкции распределений плотности, в том числе при наличии погрешностей в измеряемых данных и при решении задачи с неполными данными. Даны рекомендации по выбору параметра 8. Приведены модифицированные алгоритмы реконструкции, использующие информацию о границах объектов.

4. Алгебраический алгоритм восстановления, использующий одномерные массивы (2.20), преобразован в форму, более удобную с точки зрения компьютерной реализации и использующую двумерные массивы (2.21), что позволило увеличить скорость реконструкции и снизить объем требуемой машинной памяти при реконструкции распределений плотности данным алгоритмом.

5. Предложено упрощение стабилизирующего множителя для метода регуляризации Тихонова, не снижающее эффективность метода.

6. Показано, что решение задачи реконструкции распределений плотности методом р -фильтрации обратной проекции совпадает с решением уравнения Радона, приведенного к стандартному виду -интегральному уравнению Фредгольма I рода (1.9), методом двумерного преобразования Фурье.

7. На основе усовершенствованных методов реконструкции распределений плотности разработано программное обеспечение, позволяющее проводить численные эксперименты в области КТ. С помощью созданного программного обеспечения был проведен ряд экспериментов, в том числе эксперименты по реконструкции распределений плотности по данным, полученным с рентгеновского компьютерного томографа с веерной схемой сканирования РКТ-01, расположенного во ВНИИ технической физики (Российский Федеральный ядерный центр, г. Снежинск). Результаты экспериментов позволили сделать вывод о том, что результаты данной диссертационной работы могут быть использованы при создании программного обеспечения рентгеновских компьютерных томографов.

8. Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности метода свертки и обратной проекции с использованием метода регуляризации Тихонова от значений параметра и порядка регуляризации. Разработаны критерии выбора параметра и порядка регуляризации в зависимости от требуемого соотношения между устойчивостью и разрешающей способностью. В частности, обнаружено, что минимально возможное относительное среднеквадратическое отклонение достигается при значении порядка регуляризации р = 2, а оптимальное соотношение между относительным среднеквадратическим отклонением и относительной гладкостью - при значении порядка регуляризации р = 1.

9. Исследована зависимость соотношения устойчивости и разрешающей способности алгебраического алгоритма восстановления от количества итераций и значения параметра релаксации. Сделан вывод о том, что количество итераций предпочтительнее определять с помощью визуального наблюдения.

Таким образом, выполнена поставленная задача по созданию усовершенствованных устойчивых методов реконструкции распределений плотности и повышению их скорости и разрешающей способности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Щекотин, Дмитрий Сергеевич, 2005 год

1. Ван дер Зил А. Шум. - М.: Сов. радио, 1973.

2. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наук, думка, 1986.

3. Воскобойников Ю.Е., Колкер А.Б. Адаптивный алгоритм фильтрации изображений и преобразования их в векторный формат // Автометрия. 2002. - Т. 38, №4.

4. Грузман И.С. Математические задачи компьютерной томографии // Соросовский образовательный журнал. 2001. - № 5(7). — С. 117-121.

5. Гуров И.П., Сизиков B.C., Щекотин Д.С. Методы восстановления изображений в рентгеновской томографии // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2003. - №11. - С. 97-104.

6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974.

7. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. -M.-JL: Госэнергоиздат, 1956.

8. Левин Г.Г., Вишняков Т.Н. Оптическая томография. М.: Радио и связь, 1989.

9. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии.-М.: Мир, 1990.

10. Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука, 1995.

11. Пикалов В.В., Непомнящий А.В. Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии // Вычислительные методы и программирование. 2003. - Т. 4. — С. 244253.

12. Привалова Е.С. Возможности компьютерной томографии в нейрохирургической практике // Украинский медицинский вестник. -2000.-№4(18).-С. 81-89.

13. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.-М.: Наука, 1981.

14. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

15. Сизиков B.C. Использование регуляризации для устойчивого вычисления преобразования Фурье // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. - Т. 38, № 3. - С. 376-386.

16. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. СПб: Политехника, 2001.

17. Скадцер Г.Дж. Введение в машинную томографию // ТИИЭР. -1978.-Т. 66, №6.-С. 5-16.

18. Суинделл Б., Уэбб С. Рентгеновская трансмиссионная компьютерная томография // Физика визуализации изображений в медицине: В 2 т. / Под ред. С. Уэбба. М.: Мир, 1991. - Т. 1. - С. 138173.

19. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

20. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Рубашов Н.Б., Тимонов А.А. О постановке основных задач вычислительной томографии. — Препринт ИПМ АН СССР. 1982. - №141.

21. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Рубашов И.Б., Тимонов А.А. Первый советский компьютерный томограф // Природа. 1984. - № 4.-С. 11-21.

22. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

23. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1990.

24. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. М.: Радио и связь, 1989.

25. Хелгасон С. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983.

26. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии. М.: Мир, 1983.

27. Хорн Б.К.П. Методы восстановления внутренней структуры объектов при просвечивании расходящимся пучком // ТИИЭР. — 1979. Т. 67, №12. - С. 40-48.

28. Bates R.H.T., Peters Т.М. Towards improvement in tomography // New Zeland J. Sci. 1971. - Vol. 14. - P. 883-896.

29. Bracewell R.N. Image reconstruction in radio astronomy // Image reconstruction from projections / Ed. G.T. Herman. Springer, 1979.

30. Bracewell R.N., Riddle A.C. Strip integration in radio astronomy // Austral. J. Phys. 1956. - Vol. 9. - P. 198-217.

31. Bracewell R.N., Riddle A.C. Inversion of fan-beam scans in radio astronomy // Astrophys. J. 1967. - Vol. 150. - P. 427-434.

32. Crowther R.A., De Rosier D.J., Klug A. The reconstruction of a three-dimensional structure from projections and its application to electron microscopy // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1970. - Vol. 317.-P. 319-340.

33. Deans S.R. The Radon transform and some of its applications. -Wiley, 1983.

34. Glover G.H., Pelc N.J. An algorithm for reduction of metal clip artifacts in CT reconstructions // Med. Phys. 1981. - Vol. 8(6). - P. 799-807.

35. Gordon R., Bender R., Herman G.T. Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and X-ray photography // J. Theor. Biol. 1970. - Vol. 29. - P. 471-481.

36. Groetsch C.W. The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equations of the first kind. Pitman, 1984.

37. Guenther R.B., Kerber C.W., Killian E.K., Smith K.T., Wagner S.L. Reconstruction of objects from radiographs and the location of brain tumors // Proc. Nat. Acad. Sci. US. 1974. - Vol. 71. - P. 48844886.

38. Hanson К. M. Limited angle CT reconstruction using a priori information // Proc. IEEE Сотр. Soc. Int. Symp. Berlin, 1982.

39. Harell G.S., Guthaner D.F., Breiman R.S., Morehouse C.C., Seppi E.J., Marshall W.H., Wexler L. Stop-action cardiac computed tomography // Radiology. 1977. - Vol. 123. - P. 515-517.

40. Herman G.T., Lent A. Iterative reconstruction algorithms // Comput. Biol. Med. 1976. - Vol. 6. - P. 273-294.

41. Hinderling Т., Ruegsegger Т., Anliker M., Dietschi C. Computed tomography reconstruction from hollow projections: An application to in vivo evaluation of artificial hip joints // J. Сотр. Assist. Tomog. — 1979.-Vol. 3(1).-P. 52-57.

42. Horbelt S., Liebling M., Unser M. Discretization of the Radon transform and of its inverse by spline convolutions // IEEE Trans. Med. Imaging. 2002. - Vol. 21(4). - P. 363-376.

43. Hounsfield G.N. Computerized transverse axial scanning tomography: part 1, description of the system // Br. J. Radiol. 1973. - Vol. 46. - P. 1016-1022.

44. Inouye Т. Image reconstruction with limited angle projection data // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1979. - Vol. 26(2). - P. 2666-2669.

45. Joseph P.M., Spital R.D. A method for correcting bone included artifacts in computed tomography scanners // J. Сотр. Assist. Tomog. -1978.-Vol. 2(1).- P. 100-108.

46. Kashyap R.L., Mittal M.C. Picture reconstruction from projections // IEEE Trans. Сотр. 1975. - Vol. 24. - P. 915-923.

47. Kybic J., Blu Т., Unser M. Variational approach to tomographic reconstruction // Proc. SPIE. 2001. - Vol. 4322. - P. 30-39.

48. Leahy J.V., Smith K.T., Solmon D.C. Uniqueness, nonuniqueness and inversion in the X-ray and Radon problems // Proc. Int. Symp. on ill-posed problems. Newark, 1979.

49. Lewitt R.M., Bates R.H.T., Peters T.M. Image reconstruction from projections: III: Projection completion methods (theory) // Optik. -1978. Vol. 50(3). - P. 189-204.

50. Lewitt R.M., Bates R.H.T., Peters T.M. Image reconstruction from projections: IV: Projection completion methods (computational exaples) // Optik. 1978. - Vol. 50(4). - P. 269-278.

51. Louis A.K. Picture reconstruction from projections in restricted range // Math. Meth. in the Appl. Sci. 1980. - Vol. 2. - P. 209-220.

52. Ludwig D. The Radon transform on Euclidean space // Comm. Pure Appl. Math. 1966. - Vol. 19. - P. 49-81.

53. Medoff B.P. Image reconstruction from limited data: theory and applications in computerized tomography // Image Recovery: Theory and Applications / Ed. H. Stark. Orlando: Academic Press, 1987. -C.9.-P. 321-368.

54. Medoff B.P., Brody W.R., Macovski A. The use of a priori information in image reconstruction from limited data // Proc. IEEE Int.

55. Conf. on Acoust., Speech, Signal Processing. — Boston, 1983. — P. 131-134.

56. Medoff B.P., Brody W.R., Nassi M., Macovski A. Iterative convolution backprojection algorithms for image reconstruction from limited data // J. Opt. Soc. Am. 1983. - Vol. 73(11). - P. 1493-1500.

57. Nashed M. Z. Generalized inverses, normal solvability and iteration for singular operator equations // Nonlinear Functional Analysis and Applications / Ed. L.B. Rail. -New York: Academic Press, 1971. P. 311-359.

58. Natterer F. Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales // Appl. Anal. 1984. - Vol. 18. - P. 29-37.

59. Natterer F. Fourier reconstruction in tomography // Numer. Math. — 1985.-Vol. 47.-P. 343-353.

60. Okamoto K., Ito J., Saito Т., Usuda H., Furusawa Т., Sakai K., To-kiguchi S. CT and MR imaging of the "target sign" in metastatic brain disease // Europ. Radiology. 2000. - Vol. 10(1). - P. 154-156.

61. Parker R.P., Contier de Freitas L., Cassell K.J., Webb S., Hobday P.A. A method of implementing inhomogeneity corrections in radiotherapy treatment planning // J. Eur. Radiother. 1980. - Vol. 1(2). -P. 93-100.

62. Peres A. Tomographic reconstruction from limited angular data // J. Сотр. Assist. Tomog. 1979. - Vol. 3. - P. 800-803.

63. Ramachandran G.N., Lakshminarayanan A.V. Three-dimensional reconstruction from radiographs and electron micrographs: application of convolutions instead of Fourier transforms // Proc. Nat. Acad. Sci. US. 1971. - Vol. 68. - P. 2236-2240.

64. Rattey P.A., Lindgren A.G. Sampling the 2-D Radon transform with parallel and fan-beam projections // Technical Report 5-33285-01. -Kingston: University of Rhode Island, 1981.

65. Rowland S.W. Computer implementation of image reconstruction formulas // Image Reconstruction from Projections / Ed. G.T. Herman. — Springer, 1979.

66. Schellinger P.D., Meinck H.M., Thron A. Diagnostic accuracy of MRI comraped to CCT in patients with brain metastases // J. Neu-rooncology. 1999. - Vol. 44(3). - P. 275-281.

67. Shchekotin D., Sizikov V. Enhancement of tomographic image quality by means of a regularization method // Proc. Int. Topical Meeting on Optical Sensing and Artificial Vision. Saint Petersburg, 2004. -Vol. 1.-P. 370-375.

68. Shchekotin D.S., Sizikov V.S. On combination of high resolution and safety in CT-diagnosis // Proc. Int. Conf. on Instrumentation in Ecology and Human Safety. Saint Petersburg, 2004. - P. 131-134.

69. Shepp L.A., Logan B.F. The Fourier reconstruction of a head section // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1974. - Vol. 21. - P. 21-43.

70. Smith K.T., Keinert F. Mathematical foundations of computed tomography // Appl. Opt. 1985. - Vol. 24. - P. 3950-3957.

71. Smith K.T., Solomon D.C., Wagner S.L. Practical and mathematical aspects of the problem of reconstructing objects from radiographs // Bull. Amer. Math. Soc. 1977. - Vol. 83. - P. 1227-1270.

72. Stark H., Woods J.W., Paul I., Hingorani R. Direct Fourier reconstruction in computer tomography // IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Proc. 1981. - Vol. 29(2). - P. 237-245.

73. Walden J. Analysis of the direct Fourier method for computer tomography // IEEE Trans. Med. Imag. 2000. - Vol. 19. - P. 211-222.

74. Young D.M. Iterative solution of large linear system. Academic Press, 1971.