Алгоритм наилучшей параметризации для конечноэлементных моделей нелинейного деформирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Костриченко, Аркадий Борисович

• Костриченко, Аркадий Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Костриченко, Аркадий Борисович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

1.1 Основные соотношения МКЭ

1.2 Решение нелинейных алгебраических систем

1.3. Основные соотношения метода продолжения по параметру

1.4. Алгоритмы совместного использования

метода конечных элементов и метода продолжения по параметру

2. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

2.1. Криволинейный стержневой конечный элемент

2.2. Объединение элементов в ансамбль

2.3. Определение вектора обобщенных узловых нагрузок

3. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК

3.1. Описание геометрии элемента

3.2. Матрица жесткости элемента

3.3. Построение матрицы перехода

3.4. Исключение центрального узла элемента

4. ФОРМИРОВАНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

4.1. Нелинейный конечный элемент плоского деформирования

5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

5.1. Задачи с использованием стержневого элемента

5.2. Задачи с использованием оболочечного элемента

5.3. Использование треугольного элемента плоской деформации

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритм наилучшей параметризации для конечноэлементных моделей нелинейного деформирования»

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшей задачей для современной техники было и остается создание оптимальных с весовой точки зрения конструкций и машин, что приводит к использованию в них тонкостенных и стержневых элементов. Для проектирования и создания подобных конструкций требуется достаточно точно оценивать их истинное напряженно-деформированное состояние. Расчет напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций в течение длительного времени остается актуальной задачей механики деформируемого твердого тела.

Многие задачи расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций сводятся к решению нелинейных краевых задач. Только некоторые задачи подобного рода допускают решение в замкнутом виде, в основном используются те или иные численные методы. Последнее обстоятельство обусловлено резко возросшим за последнее время уровнем развития вычислительной техники, а также совершенствованием программного обеспечения и появлением программных комплексов, ориентированных на решение указанных задач.

Подобные универсальные комплексы наряду с широкими возможностями имеют и недостатки, как-то:

- сложную структуру,

- необходимость использования достаточно мощных компьютеров,

- высокую стоимость.

Целью настоящей работы являлась разработка эффективного алгоритма, позволяющего решать задачи расчета элементов тонкостенных конструкций в геометрически нелинейной постановке, используя метод конечных элементов совместно с методом продолжения по наилучшему параметру.

В задачу исследований входило:

а) разработка эффективного алгоритма расчета тонкостенных элементов конструкций, позволяющего совместить достоинства метода конечных элементов и метода продолжения по наилучшему параметру;

б) разработка высокоточных конечных элементов, пригодных для расчета различных конструкций;

в) создание единой программы для расчета тонкостенных конструкций в геометрически нелинейной постановке.

В главе 1 приводится постановка задачи нелинейного деформирования тонкостенных конструкций в конечноэлементной форме, рассматриваются соотношения метода конечных элементов, записанные в форме, удобной для дальнейшего совместного использования с методом продолжения по наилучшему параметру. Ввиду того, что применение метода продолжения требует модификации матрицы системы разрешающих уравнений, разработана модификация метода Холецого, позволяющая учесть эти особенности.

Главы 2, 3, 4 посвящены разработке касательных матриц жесткости различных типов элементов. В главе 2 рассматривается касательная матрица жесткости плоского криволинейного пологого стержневого элемента высокого порядка. Приводятся соотношения, используемые для построения матрицы жесткости, а также рассматривается приведение распределенной нагрузки к

узлам. В главе 3 рассматривается касательная матрица жесткости треугольного пологого оболочечного конечного элемента высокого порядка, совместимого с описанным выше стержневым, приводится описание геометрии элемента, преобразование касательной матрицы жесткости при переходе к общей системе координат.

В главе 4 рассматривается касательная матрица жесткости треугольного конечного элемента плоской деформации, полученная с использованием полного квадратичного варианта геометрически нелинейной теории.

В последней главе рассматриваются результаты расчета различных элементов конструкций. В основном используется сравнение результатов с известными решениями для проверки достоверности получаемых результатов и работоспособности разработанного алгоритма, а также для оценки пригодности разработанных элементов для практических расчетов.

В Заключении даются выводы по диссертационной работе, формулируются результаты, которые выносятся на защиту.

Работа состоит из Введения, пяти глав, Заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на /36 страницах, содержит 31-рисунков.

Автор считает своим долгом выразить глубокую признательность профессору Владимиру Ивановичу Шалашилину за высококвалифицированное и неформальное руководство диссертантом, а также за его доброжелательное отношение.

-61. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Многие задачи механики деформируемого твердого тела, особенно задачи расчета напряженно-деформированного состояния сложных тонкостенных конструкций - а это большинство конструкций, используемых в авиастроении - не позволяют получить решение в замкнутом виде. Для расчета подобных конструкций используются различные численные методы, позволяющие получать решение с некоторой погрешностью, однако дающие удовлетворительные результаты.

Среди подобного рода методов особое место занимает метод конечных элементов (МКЭ), используемый в расчетной практике более 50 лет/1-5/. Основными преимуществами этого метода являются:

- универсальность, что позволяет из типовых конечных элементов набирать достаточно

сложные конструкции;

- алгоритмичность, что позволяет основные вычислительные трудности переложить на ЭВМ;

- удовлетворительная точность.

Во многих работах, посвященных разработкам МКЭ, определяется погрешность моделирования конструкции набором конечных элементов. Так как аппроксимация неизвестной (искомой) функции производится некоторой линейной комбинацией функций из полной системы функций, в качестве которой обычно используется система степенных функций, то погрешность аппроксимации на элементе

определяется выражением о(^и+^)/5,6 /, где £ - характерный размер элемента, П -

порядок полного аппроксимирующего полинома. Следовательно, при стремлении

Однако из этого не следует, что для повышения точности расчета следует выбирать размер элемента как можно меньше, так как, во-первых, уменьшение размера элементов ведет к повышению порядка разрешающей системы уравнений, что, в свою очередь, приводит к накоплению вычислительной погрешности, и, во-вторых, часто бывает удобно определять элемент из физических соображений как элемент конструкции (например стрингер, часть лонжерона между нервюрами, элемент обшивки, ограниченный элементами силового набора). Такой выбор элемента тем более предпочтителен, что зачастую удается заранее определить вид функции и, соответственно, удержать в разложении ее по базисным функциям необходимое число членов. Так, например, для стержня, нагруженного сосредоточенными силами, перемещения определяются, при постоянной жесткости, линейной функцией, а для балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, прогибы определяются полиномом четвертой степени. Метод конечных элементов, как отмечалось, широко используется при расчете сложных авиационных конструкций, особенно когда поведение конструкции определяется линейными уравнениями, т.е. справедлив закон Гука, а материал подчиняется гипотезе малых деформаций, что позволяет использовать соотношения Коши /7-9,56/:

размера элемента I к нулю погрешность вычислений стремится к нулю как I

(1.1)

где £:: - деформации,

Ч

II] - перемещения по I -му направлению.

Здесь и далее индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате.

Однако, для широкого класса тонкостенных конструкций их поведение под нагрузкой сопровождается значительным изменением геометрии, даже в пределах справедливости закона Гука. В этом случае уравнения, описывающие соотношения перемещения - деформации, становятся нелинейными, что вызывает значительные вычислительные трудности. Для их преодоления используются различные упрощающие предположения. Например, раскладывая

нелинейную иррациональную функцию в степенной ряд и ограничиваясь той или иной степенью разложения, получают различные варианты нелинейной теории (квадратичный, кубичный и т.д.). Обычно для конструкционных материалов, применяемых в машиностроении, используется квадратичная теория /10,11,57/,

Здесь использовано соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. Для тонкостенных конструкций не все направления являются равноправными. Для оболочечных конструкций прогиб по нормали к срединной поверхности значительно больше, чем тангенциальные перемещения, а углы поворота элемента оболочки из плоскости, соответственно, значительно больше, чем углы поворота в плоскости элемента. Таким образом, в соотношение (1.2 ) могут быть внесены некоторые упрощения. Если деформацию элемента рассматривать в осях

(1.2)

направлением нормали, то это можно записать в виде:

еЧ = \ + и}Л + из,1 из,} \1> ] = а.3)

В обычных обозначениях, с использованием гипотезы Кирхгоффа - Лява, получаются соотношения Маргерра - Власова /12-14/:

ди 1

ех =--ь —

х дх 2

дх 1

'а**

ду 2\ду

(1.4)

ди ду дп> дм>

7 хх ~ — + — +----•

ду дх дх ду

Здесь и, V - тангенциальные перемещения в направлении осей X, у,\\> - прогиб. Эти соотношения справедливы в предположении, что линейные деформации и углы поворота по абсолютной величине меньше единицы, причем квадраты углов поворота имеют тот же порядок малости, что и линейные деформации.

Соотношения ( 1.4 ) обычно используются для пологих оболочек. Как показано в /15/, любая гладкая оболочка может быть аппроксимирована совокупностью пологих оболочечных конечных элементов. Поэтому при построении матриц жесткости конечных элементов, описанных в главе 2, будут использоваться именно эти соотношения.

Одно из основных требований к матрице жесткости конечного элемента -отслеживание перемещения элемента как жесткого целого, т.е. такие перемещения элемента не должны сопровождаться деформацией элемента и возникновением в нем напряжений /4,5/.

При линейных перемещениях элемента это требование выполняется за счет включения в аппроксимирующую функцию постоянного слагаемого. В соотношениях

(1.3 ) при Щ = const,i = 1,2,3, 8ц —0, и, следовательно, =0,i,j = l,2.

Рассмотрим влияние поворота на деформации, и , следовательно, напряжения в элементе (рис. 1.1).

Для простоты рассмотрим линейный элемент длиной 1 , поворачивающийся относительно начала координат. При этом перемещение правого конца элемента определяется соотношениями

и - Í • COS(p -i- t(cos<p-1), v = t • sin (p.

В соответствии с (1.1)

ди и

£ =-= - = - COS (D.

дх t

(1.5)

(1.6)

Раскладывая функцию COS (р в степенной ряд, получим

cos<p = + о((р

cos (р -1 = - — + о{р4\

Для соотношений типа (1.4 )

(1.7)

ди 1 (д^ 2 и 1 (v\

£ =-+ — — — —

дх 2 i 2 UJ

COS(p - 1 + sin2 (p. (1.8)

Раскладывая Sin (р и COS (р в ряд, получим:

рис J.i.

(р2 (р4

COS (О -1 = --—I-2—+

2 24

о{р6\

1 sin'cp^-^ + oiA

2 2 6 V 7

Отсюда следует:

4

COS ф-1 + — sin2 (р-- + о{^>6 ]l 2 8

Для соотношений полной квадратичной теории типа (1.3 ) имеем:

ди 1 {дU1 2 f^l

£ =-+ — +

дх 2 1 дх)

U 1

—+ —

I 2

г-л2 (и"2 +

и

1

J

\IJ

= COS

<р-1 + — -1)2 + sin2 (p]

После раскрытия скобок получаем:

£

= cos(p-1+^2 (cos2 Ф ~2cosg> +1 + sin2 (p)=

(1.9)

(1.10)

(1.11)

= COS(p- 1 + 1- cos (p - 0.

Таким образом, получаем, что при повороте линейного элемента как жесткого целого на угол (р линейная теория дает деформации в элементе

£ = о{(р2),

неполная квадратичная теория дает деформации в элементе

£ = о((р4),

полная квадратичная теория дает нулевые деформации. Следовательно, с точки зрения точности более предпочтителен полный квадратичный вариант нелинейной теории, однако, при небольших углах поворота могут быть использованы соотношения неполного квадратичного варианта (соотношения Маргерра - Власова). Эти соотношения в основном и будут использоваться в работе.

1.1. Основные соотношения МКЭ.

Основные соотношения метода конечных элементов (МКЭ) базируются на принципе возможных перемещений, в соответствии с которым вариация потенциальной энергии на любых кинематически возможных перемещениях равна нулю/9, 16-18/.

дп = д{и-л)=о. (1.12)

Здесь П - потенциальная энергия, и - энергия деформации, А - работа внешних сил.

В свою очередь, энергия деформации определяется соотношением

и = ?-\<тц£цау, (1.13)

¿V

где V - объем тела, а выражение для работы внешних сил имеет вид: т I п

^уя/ЮЧЕ \чкикйУ. (1.14) 1=1 к=1ук

Здесь и - неизвестная функция перемещений,

<1 - распределенная по поверхности или по объему нагрузка,

& $ и - области поверхности и объема, на которых действуют эти нагрузки,

Р^ - внешние сосредоточенные силы.

В МКЭ широко используется векторно-матричная форма записи. В соответствии с этой формой будем обозначать через Й вектор-функцию перемещений, компоненты

которой UyVyW представляют собой перемещения в направлении осей выбранной системы координат /1,5,19/.

Й = {u,V,w}T. (1.15)

Здесь знак " Т" означает операцию транспонирования.

Соотношения деформации - перемещения имеют вид

ё = \р\п, (1.16)

где S - вектор перемещений

£ = {£х>£у>Гху\- (117)

в случае плоской деформации, или

s = ^х>£у>ег>Уху>Ууг>Угу\' <1Л8)

в случае объемной деформации.

Матрица [/)] получается из дифференциальных соотношений между перемещениями и деформациями и, с учетом геометрической нелинейности, будет, в свою очередь, функцией вектора перемещений U .

Функция перемещений U, как отмечалось выше, аппроксимируется теми или иными базисными функциями, чаще всего, и это принято в данной работе, полиномами, а коэффициенты разложения представляют собой перемещения некоторых точек области, называемых узлами /3,4/. Обозначая вектор узловых

перемещений S, получим:

H=\N\S, (1.19)

здесь [TV] - функциональная матрица, элементами которой являются функции формы, которые для соответствующего перемещения равны единице в

рассматриваемом узле по рассматриваемому направлению, и нулю в остальных случаях /3,4/.

Подставляя (1.19 ) в ( 1.18 ), получим, что вектор деформаций € является функцией вектора узловых перемещений 3:

ё-\в\8. (1.20)

Здесь матрица [в] получена путем применения дифференциального оператора [/)] к матрице функций формы [Л^] .

В результате аппроксимации функционалы энергии деформации £/ и работы внешних сил А становятся функциями вектора обобщенных перемещений В, и условие стационарности функционала потенциальной энергии П преобразуется к условию минимума функции П{В ):

Используя соотношения напряжения-деформации, которые в общем виде могут быть записаны в форме

& = \Е\ё, (1.22)

общее выражение для энергии деформации

и с учетом (1.13) примет вид:

и=[\8т[в]т[Е\в\ш =

1V

(1.23)

= 1/>\[в\т{Е\в\1У8.

2 V

Выражение для работы внешних сил, с учетом (1.14) может быть представлено в виде скалярного произведения векторов обобщенных узловых сил ^ и обобщенных узловых перемещений 8:

А = $Т ■(). (1.24)

Разрешающие уравнения метода конечных элементов получаются из условия (1.21 ) при подстановке в качестве в П выражения II — А в соответствии с (1.23 ) и ( 1.24 ) и имеют вид:

[К\8 = й- (1-25)

В результате дифференцирования функции потенциальной

п энергии по

вектору обобщенных перемещений В получается система алгебраических уравнений, размерность которой равна числу выбранных обобщенных узловых перемещений.

В случае линейной зависимости между перемещениями и деформациями полученная система будет линейной, и для ее решения могут быть использованы как стандартные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (Гаусса, Холецкого и т.д.), /20-23/, так и специальные методы, разработанные для систем специального вида, которые получаются при использовании метода конечных элементов, имеют большую размерность, ленточную структуру и малозаполнены (разрежены) /24-26/.

В случае нелинейной зависимости между перемещениями и деформациями система

получается нелинейной (матрица [/Г] в (1.25) зависит от вектора перемещений 8), решение которой гораздо сложнее. Для решения подобных систем используются численные итерационные методы /27-30/.

1.2. Решение нелинейных алгебраических систем.

Существует достаточно много методов решения нелинейных алгебраических уравнений. Доказано, что решение уравнения эквивалентно минимизации некоторого функционала/18,31,32/. В механике деформируемого твердого тела, например, это функционал потенциальной энергии системы. К таким методам относятся различные методы оптимизации - метод сопряженных градиентов, метод штрафных функций, метод локальных вариаций и др. (в данной работе они не рассматриваются).

Вторая группа методов работает непосредственно с системами нелинейных уравнений. Наиболее простые из них - метод Ньютона - Рафсона, метод последовательных нагружений, метод приращений жесткости /33-35, 65-68/.

Идея метода последовательных нагружений /33/ состоит в том, что к системе прикладывается малая нагрузка, вызывающая малые прогибы. Для определения этих прогибов используются обычные линейные уравнения теории оболочек. Далее прикладывается малая нагрузка, также вызывающая малый прогиб. Для определения приращений прогибов, деформаций и внутренних усилий снова используются линейные уравнения, но учитывающие уже известные начальные внутренние усилия, деформации и перемещения, вызванные первоначальными нагрузками. Далее прикладывается следующая часть нагрузки и опять находятся приращения соответствующих величин.

В применении к решению гибких пластин методом конечных элементов основное разрешающее уравнение имеет вид /35/:

I ^АЛик,1 • + \Лст^(л8^У = ¡АТ^и^(1.26)

Уо

где Уд и б о - первоначальные объем и площадь элемента, Ли, Л (7 и А 8 -

приращение перемещений, напряжений и деформаций в элементе, ЛТ - приращение нагрузки на поверхности элемента. Здесь первое слагаемое представляет собой работу "начального" напряженного состояния на вариациях приращений градиентов перемещений и приводит к понятию "геометрической жесткости" /5/.

Второе слагаемое выражает работу приращений напряжений на вариациях приращений перемещений. Правая часть означает работу приращений обобщенной внешней нагрузки АР на вариациях приращений перемещений.

Метод приращений жесткости /35/ позволяет записать уравнения равновесия элемента в виде:

Разложив последнее слагаемое в ряд Тейлора и ограничившись двумя членами разложения

или

(1.29)

получим уравнение:

где

([*» ] ■+ к {3, )\л$ = лй+<2„ & \

И<У=

~д2ип1{50)

д82 д8

(1.30)

(1.31)

йи{5) = -Ы~й*(5). (1.32)

Здесь ип1 - нелинейная часть энергии деформации элемента.

Если считать, что уравнения равновесия выполняются, то последнее выражение (1.32) равно нулю для Вд.

Следовательно, получаем:

{к0 + к*(В0))лВ = лй (1-33)

Если же учитывать то, что в уравнениях равновесия (1.33) присутствует погрешность за счет использования \Кд ], то ) представляет собой

неуравновешенное усилие, которое необходимо для равновесия конструкции. Таким образом, уравнение (1.30) выражает идею самокорректирующегося метода приращений жесткости /35, 65/.

Кроме этого, следует отметить методы линеаризации, метод прямых, метод стрельбы, Ритца, Бубнова-Галеркина, асимптотические методы, методы прогонки /3642/.

Одним из наиболее общих и мощных методов решения нелинейных задач является метод Ньютона-Рафсона /30,46,47 /, который приводит к следующей итерационной

схеме:

-и-

iK0]+[Kisk)l-ASk=Qu[s"l

(1.34)

sk+1 =Sk +ASkJi = 0,1,2,....

Для уменьшения времени счета часто используется модифицированный метод

Ньютона, когда матрица системы остается неизменной для

нескольких итераций.

Однако, в силу трудности решения нелинейных задач, наиболее распространенным методом решения этих задач является прослеживание изменения решения этих задач по мере изменения параметра задачи (чаще всего - параметра нагрузки). При этом возникает ряд трудностей:

- многие методы приводят к численной неустойчивости при значительной нелинейности за счет пренебрежения некоторыми членами высшего порядка малости /40'/;

- некоторые методы при сильной нелинейности просто перестают сходиться при достижении предельной точки относительно параметра задачи или перескакивают на другую ветвь решения (метод последовательных нагружений);

- в окрестностях особых точек матрица системы линеаризованных уравнений может оказаться вырожденной или близкой к вырожденной, что приводит к невозможности

вычисления очередного приращения неизвестных 3^ .

Пожалуй, наиболее мощным и универсальным с точки зрения преодоления указанных трудностей, является метод продолжения решения по параметру /30/. Этот метод позволяет не только находить корни нелинейных уравнений, но и строить кривые решений в пространстве соответствующих пременных. При этом исходная

краевая задача сводится к задаче Коши по параметру р, который в зависимости от конкретной постановки может иметь различный физический смысл.

История развития метода и различные его особенности приведены достаточно подробно в работах /30,45,46/, поэтому в дальнейшем приводятся только основные идеи этого метода, а также особенности его использования совместно с методом конечных элементов.

1.3. Основные соотношения метода продолжения по параметру.

Пусть задана система ТП нелинейных уравнений, зависящих от параметра р (параметра задачи).

Р1{х1,х2,...,хт,р)=0,1 = 1,...,1Ю. (1 35)

В задачах механики деформируемого твердого тела такие системы уравнений, как отмечалось выше, получаются в результате дифференцирования функции потенциальной энергии по вектору обобщенных перемещений:

{к(8,р)\8-й{р) = 0. (1.36)

Здесь - матрица жесткости элемента, зависящая от достигнутых

узловых пермещений 3 и параметра задачи р , в качестве которого естественно рассматривать параметр нагрузки. При этом рассматривается простое нагружение, т.е. все компоненты внешней нагрузки изменяются одновременно и пропорционально параметру р .

й{р)=йо-р• а-37)

Это соответствует наиболее простому случаю метода продолжения. Продифференцировав систему уравнений (1.35) по параметру р, можно записать линеаризованную систему дифференциальных уравнений

д¥1 (1х] п

-к--LJГ-' = () (138)

дху ф ф

с начальными условиями

= (1.39)

(ЬС:

Решая эту систему относительно производных- и используя тот или иной

йр

метод интегрирования (Эйлера, Рунге-Кутта и т.п.), можно получить значения неизвестных величин Xу при некотором значении параметра задачи р, отличном от

Ро. Вычисляя значения коэффициентов матрицы Якоби- при найденных

значениях неизвестных Xj и решая соответствующую линеаризованную задачу (1.38), (1.39) на каждом шаге по параметру р, можно получить решение задачи

(1.35) при конечном значении параметра задачи р^ .

В конечноэлементной постановке, продифференцировав систему (1.36) по параметру р , получим:

[Кт(В,рУ[~ = й0. (1.40)

ар

Здесь [-ЙГу (3, - касательная матрица жесткости элемента, - некоторый фиксированный вектор нагрузки.

Для того, чтобы решение системы (1.38) могло быть получено, необходимо, чтобы

матрица коэффициентов этой системы (матрица Якоби вектор- функции Р) была невырождена, т.е. ее определитель должен быть отличен от нуля

йеЬ

( Я17 ^

Щ

\ дХ; ,

V J У

фО.

(1.41)

Это приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

с1х йр

йр

д¥\ дх}

(1.42)

которая может быть проинтегрирована любым методом численного интегрирования (Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и т.д.). В работе для этих целей используются метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера.

Условие (1.41) выполняется для регулярных точек интегральной кривой системы (1.35).

Следуя /30/, будем продолжение решения на основе интегрирования задачи Коши (1.42) с помощью явных схем интегрирования, называть непрерывным продолжением решения.

В общем случае условие (1.41) может нарушаться. Например, как показано в /47/, для пологой арки связь между нагрузкой ([ и усилием распора N имеет вид петлеобразной кривой.

Трудности, возникающие при прохождении особых точек интегральной кривой, привели к необходимости переходить в их окрестности к другому параметру продолжения. Однако этот прием трудоемок и не обладает достаточной степенью общности.

Различные предложения по выбору такого параметра продолжения , который позволил бы избежать смены параметра продолжения, обсуждены в /46/.

И.И. Ворович и В.Ф. Зипалова в /48/ предложили в качестве параметра продолжения использовать длину дуги СГ кривой к множества решений системы

(1.3.1) в пространстве неизвестных и параметра задачи , где

2 т 2 (1сг = ^¿/х, + с/[/ ,

(1.43)

откуда следует

Р О

1=1

™(<1х>2

ык аР

+ 1

(1р.

(1.44)

Система (1.35) оказывается дополненной уравнением (1.44). После их дифференцирования по СГ получается система

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Костриченко, Аркадий Борисович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Разработан алгоритм совместного использования метода конечных элементов и метода продолжения по наилучшему параметру.

2. Для осуществления продолжения по наилучшему параметру разработан метод, позволяющий учесть особенности традиционной конечноэлементной матрицы жесткости и наличие окаймления, позволяющего получить наилучшую обусловленность матрицы разрешающих уравнений.

3. На основе разработанного алгоритма создан комплекс прикладных программ для решения задач расчета нелинейного деформирования различных элементов тонкостенных конструкций.

4. Комплекс включает высокоточные стержневой и оболочечный конечные элементы, позволяющие моделировать различные элементы гладких и подкрепленных тонкостенных конструкций, а также элементы плоского деформированного состояния для моделирования нетонкостенных элементов.

Работа программного комплекса проверена на различных задачах. Получены удовлетворительные результаты при расчетах различных элементов тонкостенных конструкций даже на достаточно грубых сетках, что свидетельствует о пригодности указанных элементов для практических расчетов. Вместе с тем показано, что при малых деформациях и больших поворотах традиционные варианты геометрически нелинейной теории могут давать неверные результаты. Намечены направления дальнейшей работы для совершенствования разработанного комплекса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Костриченко, Аркадий Борисович, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977. 349 с.

2. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. 304 с.

3. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1974. 344 с.

4. Сегерлинд Д. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. 392 с.

5. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. 542 с.

6. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики. - М.: Высшая школа, 1985. 392 с.

7. Новожилов В.В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958 . 370 с.

8. Тимошенко С.П., Гудьер. Теория упругости. - М.: Наука, 1975. 576 с.

9. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. 712 с.

10. Демидов С.П. Теория упругости. - М.: Высшая школа, 1979. 432 с.

11. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976. 464 с.

12. Ворович И.И., Минакова Н.И. Проблема устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек.// Итоги науки и техники. Сер. МТДТ. - М.: ВИНИТИ, т.7, 1973. с.5-86.

13. Власов В.З. Избранные труды. Том 1. - М.: Изд. АН СССР, 1962. 528 с.

14. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. - М.: Гостехиздат, 1956.420 с.

15. Олсон М.Д. Исследование произвольных оболочек с помощью пологих оболочечных конечных элементов.// В сб. Тонкостенные оболочечные конструкции. - М.: Машиностроение, 1980. с.409-437.

16. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. - М.: Мир, 1987. 544 с.

17.Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. - JL: Изд. Ленингр. гос. унив., 1978. 224 с.

18. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. -М.: Мир, 1985. 590 с.

19. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. - М., Стройиздат, 1977. 129 с.

20. Самарский A.A. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1982. 272 с.

21 Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987. 600 с.

22. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т. 1. - М.: Наука, 1975. 631 с.

23. Турчак Л.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987. 320 с.

24. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. - М.: Мир, 1984. 333 с.

25. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. - М.: Мир, 1988. 412 с.

26.Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем. - М.: Наука, 1988. 160 с.

27. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Мир, 1975. 588 с.

28. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Мир, 1975. 558 с.

29. Дэнис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. - М.: Мир, 1988. 440 с.

-13130. Э.И.Григолюк, В.И.Шалашилин. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения реешния по параметру в нелинейных задачах механики деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. 232 с.

31.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1957. 457 с.

32. Деклу Ж. Метод конечных элементов. - М.: Мир, 1976. 96 с.

33. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. - Саратов: Изд. Саратовск. гос. унив., 1975. 120 с.

34. Мюррей Д., Уилсон Е., Исследование закритического поведения тонких упругих пластинок методом конечного элемента. - РТК, 1969, 7, №10, с. 115-121.

35. Хайслер В., Стриклин Д., Стеббинс Ф. Разработка и оценка методов решения геометрически нелинейных задач строительной механики. - РТК,1972, 10, №3, с.32-43.

36. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. - М.: Мир, 1968. 184 с.

37. Кармишин A.B., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.И. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. - М.: Машиностроение, 1975. 376 с.

38. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. 4.1. - М.: Физматгиз, 1962. 464 с.

39. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. -Киев: Вища школа, 1979. 280 с.

40.Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. Киев: Вища школа, 1983. 286 с.

41. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Успехи мат. наук. 1962. -Т. 16, N 6. -с.171-174.

42. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. - М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

43 Канторович JI.B. О методе Ньютона. // Тр. матем. института им. Стеклова. 1949, N 28. с. 104-144.

44. Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ. ч.2.-Киев: Наукова думка, 1966. 244 с.

45. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек.// Успехи механики. -Варшава, 1981.-Т.4, N 2, с.89-122.

46. Григолюк Э.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши. //Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности. Сб. статей. - Горький: 1979. с.3-19.

47. Григолюк Э.И. К расчету устойчивости пологих арок.// Инж. сб., Т.9, 1951. с. 178-201.

48. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши. // ПММ, 1965, т.29, вып.5, с.894 - 901.

49. Рикс Е. Применеие метода Ньютона к задаче упругой устойчивости.// Прикл. механика. N 4, 1972. с. 204-210.

50.Riks Е. An inkremental approach to the solution of snapping and buckling problems.// IntJ.Solids and Struct. 1979, V.15, N 7. p.529-550.

51. Матевосян P.P. Метод решения и анализа систем нелинейных уравнений. //Тр. ЦНИИСК, 1974. Вып.35., с.22-23.

52. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. - М.: Наука, 977. 304 с.

53. Шалашилин В.И. Алгоритмы метода продолжения для больших осесимметричных прогибов оболочек вращения. //Численные и экспериментальные

методы исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций JIA. - Сб. трудов МАИ. 1983. с.72-78.

54. Шалашилин В.И., Костриченко А.Б. Формы метода продолжения решения с частичной оптимизацией параметра продолжения. //Прочность, устойчивость и колебания элементов конструкций JTA. - Сб. трудов МАИ. 1986. с.47-50.

55. Шалашилин В.И, Об оптимальном и близких к нему параметрах продолжения решения нелинейных уравнений.// Вопросы строительной механики и прочности летательных аппаратов. - Сб. трудов МАИ. 1985. с. 103-109.

56. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - JL: Судпромгиз, 1951. 344 с.

57. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. - Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

58. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир, 1984. 432 с.

59.Костриченко А.Б. Использование треугольного оболочечного конечного элемента в расчетах тонкостенных конструкций.// Расчетные и экспериментальные исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций ЛА. - Сб. трудов МАИ. 1987. с.67-71.

60. Cowper G.R., Kosko Е., Lindberg G.M., Olson M.D. A high precision triangular plate -bending element. 1968.// Aeronautical Report LR-514. National Researc Council of Canada.

61. Cowper G.R., Kosko E., Lindberg G.M., Olson M.D. Static and dynamic applications of a high precision triangular plate - bending element.// AIAA J, 1969, 7, p.p.1957-1965.

62. Cowper G.R., Lindberg G.M., Olson M.D. A shallow shell finite element of triangular shape.//Int. J. Solids Structures, 1970, 6, p.p. 1133-1156.

63. Зуев H.H., Князев Э.Н., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов.// Изв. РАН. МТТ. 1997. №6. с. 136-147.

64. Шалашилин В.И., Костриченко А.Б., Князев Э.Н., Зуев H.H.Продолжение по наилучшему параметру в нелинейных статических задачах, решаемых методом конечных элементов.// Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1997. №4. с.18-24.

65. Стриклин Дж., Хейслер В, Риземан В. Самокорректирующиеся методы решения геометрически нелинейных задач.// РТК. 1971. т.9, №10. с.213-215.

66. Стриклин Дж., Хейслер В., Риземан В.Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и (или) геометрии.// РТК. 1973. т.11, №10. с.45-56.

67. Стриклин Дж., Хайслер В., Макдугол X., Стеббинс Ф. Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке.// РТК. 1968. т.6, №12, с.82-89

68. Стриклин Дж., Наваратна X., Пиан П. Усовершенствование расчета оболочек вращения матричным методом перемещений.// РТК. 1966. т.4, №11. с.252-254.

69. Григолюк Э.И., Андрианов Н.Н.Нелинейное статическое поведение пологих стержней //В сб: Некоторые прикладные задачи теории пластин и оболочек. - Изд. МГУ. 1981. с. 3-83.

70. Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем. - М.: Физматгиз, 1963. 879 с.

71. Вольмир A.C. Устойчивость и большие деформации цилиндрических оболочек//Труды ВВИА им. Жуковского. 1950. Вып.9. 158 с.

72. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. - M.-JL: Гостехиздат, 1946. 531 с.

73. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. - М.: Мир, 1982. 544 с.

74. Ting L., Yuan S.W. On radial deflections of cylinder subjected to equal and opposite concentrated radial loads.// J. Appl. Mech., 1957, 24, p.278.

75. Biezeno C.B., Grammel R. Engineerihg Dynamics. - London. 1965. 484 p.

76. Chen Wei-Zang, Hu Hai-Chang. Jn the snapping of a thin spherical cap.// 9th Int. Congr. Appl. Mech., 6, University of Brussels, 309, 1957.

с 77. Ashwell D.G. On the large deflection of a spherical shell with an inward point load.// Proc. IUTAM Symp. Theory Elastic Shells, 1959, North Holland Publish., Amsterdam, 1960. p.43-63.

78. Лурье А.И. Теория упругости. - M.: Наука, 1970. 939 с.

79.Донелл Л.Г. Балки, пластины, оболочки. - М.: Наука, 1982. 367 с.

80. Шклярчук Ф.Н. К расчету деформированного состояния и устойчивости геометрически нелинейных упругих систем. //Изв. РАН, МТТ, №1, 1998. с. 140-146.