Алгебраические и спектральные свойства самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Сухочева, Людмила Ивановна

• Сухочева, Людмила Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 1995

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сухочева, Людмила Ивановна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОГО САМОСОПРЯЖЕННОГО

ПУЧКА.

1. Спектральные свойства однопараметрических матриц-функций со значениями во множестве jt-самосопряженных операторов.

§ 2. Об одновременной приводимости двух самосопряженных операторов к "диагональному виду"

§ 3. Структура спектра самосопряженного пучка . 37 £4. Существование метрики Понтрягина, симметризующей оператор-функцию с самосопряженными коэффициентами

ГЛАВА II. ВОПРОСЫ ПОЛНОТЫ И БАЗИСНОСТИ ЖОРДАНОВЫХ ЦЕПОЧЕК САМО

СОПРЯЖЕННОГО ПУЧКА L $ 1. Двукратная полнота и базисность жордановых цепочек пучка L

§2. Полнота и базисность жордановых цепочек пучка L в исходном пространстве

ГЛАВА III. КВАДРАТИЧНЫЙ ОПЕРАТОРНЫЙ ПУЧОК С ПАРАМЕТРОМ

§1. Постановка задачи.

§2. Расположение на комплексной плоскости спектра пучка Ls.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраические и спектральные свойства самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой»

В математической литературе пионерской работой по созданию и применению теории пространств с индефинитной метрикой является знаменитая статья Л.С.Понтрягина [24], написанная в связи с постановкой С.Л.Соболевым (см. [25]) задачи об условиях устойчивости вращения волчка,заполненного жидкостью, вокруг своей оси симметрии. Эта проблема редуцировалась к изучению спектра самосопряженного оператора в пространстве, ныне называемом пространством Понтрягина Пае (при ав - 1), а такие операторы называют %-самосопряженными.

Далее результаты спектральной теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой были использованы С.Г.Крейном и Н.Н.Моисеевым [21], рассматривавшими движения аналогичного объекта, близкие к состоянию покоя и в предположении, что жидкость имеет свободную поверхность. При этом задача о нахождении нормальных колебаний сводилась к задаче о собственных числах линейного пучка L(w) - «А - В, где А - положительный оператор, а самосопряженный оператор В задает в гильбертовом пространстве Н структуру пространства Понтрягина Пае (1 < ае < 6) с индефинитной метрикой [u, v] - (Ви, v). Эта задача сводится к спектральному анализу соответствующего тс-самосопряженного оператора.

Впервые теорию операторов в пространствах с индефинитной метрикой к изучению квадратичных пучков L(A) - \г1 + АВ + С, где В - В* - непрерывный оператор,С > О, С - вполне непрерывный оператор (( г.») привлекли М.Г.Крейн и Г.К.Лангер, [17], [18], предложившие пучку ставить в соответствие квадратное операторное уравнение z2 + Bz + С - 0 и ассоциированный с ним оператор полнота системы жордановых цепочек пучка L эквивалентна полноте

- В

При этом оказывается, что двукратная системы корневых векторов оператора К в пространстве Н - Н+ © Н-(Н+ - Н- - Н) [12].

При изучении полиномиальных операторных пучков теория операторов в пространстве Крейна использована Н.Д.Копачевским [141, Н.Д.Копачевским, С.Г.Крейном, Нго Зуй Каном [15], Г. Ланге-ром [35], [36], П.Ланкастером, А.Шкаликовым и Е.Кванг [37],

A.С.Маркусом [23], А.С.Маркусом и В.И.Мацаевым [38], [39].

В работах С.Г.Крейна [20], Н.К.Аскерова, С.Г.Крейна, Г.И.Лаптева [73, рассматривался квадратичный пучок 1

Ь(А) - ХА + - С - I, где А > 0, С > О, А ( Тр, С £ гч , (1) X возникающий при изучении задачи о движениях тяжелой вязкой несжимаемой жидкости в открытом сосуде. Было показано, что спектр этого пучка состоит из не более чем счетного множества собственных значений конечной алгебраической кратности расположенных в правой полуплоскости, а точками сгущения спектра являются только точки Л - 0, А =

Предложенное Г.И.Лаптевым преобразование пучка к системе двух линейных пучков позволило с помощью известной теоремы М.В.Келдыша [6] доказать дважды полноту в пространстве Н системы собственных и присоединенных векторов пучка (1).

Дальнейший шаг был сделан Е.А.Ларионовым [22] и независимо

B.Гринли [34]. Ими был использован критерий полноты и базисности системы корневых векторов тс-самосопряженных операторов (см. [2]) и доказано существование двух базисов Рисса для пучка (1).

Изучению квадратичного пучка Ь ограниченных самосопряженных операторов:

Ь(А) = С + АВ + А2А, А - А*, В - В*, С - С*, являющегося компактным возмущением сильно демпфированного пучка с отделенными спектральными зонами, т.е.

Ь(Л) = Ьо(Х) + 1-1 (Л), где Ьо(Х) - Со + ХВо + Л2Ао - сильно демпфированный пучок, 14 (Л) - С1 + ЛВ1 + Л2А1, А1, В1, С1 ( у^ посвящена работа А.А.Шкаликова, В.Т.Плиева [32]. В ней обсуждаются вопросы базисности производных цепочек Келдыша длины 2, построенных

Л/ по собственным и присоединенным элементам пучка Ь в Н = Н © Н, приведены достаточные условия безусловной базисности в пространстве Н системы Е+(Е~) собственных и присоединенных векторов пучка Ь.

Обобщением пучка С.Г.Крейна (1) на случай нагреваемой жидкости является квадратичный операторный пучок

Ш) - I - £<3 - АА - - С, Л

2)

А, С, Д ( А>0, С > О, Ц - <Г, £ ( 1Г, возникающий в задаче о нормальных колебаниях однородной вязкой жидкости,частично заполняющей сосуд [153. Там же поставлена задача: изучить поведение собственных значений пучка (2) при выполнении условия £ || С} || > 1 и получить достаточные условия неустойчивости. Детальному рассмотрению этого вопроса посвящено исследование Н.Д.Копачевского и В.Н.Пивоварчика [16].

Другим обобщением пучка С.Г.Крейна (1) является пучок

Ь(Л) - Л2А + ЛВ + С, (3) где операторы А, В, С - являются непрерывными и самосопряженными в гильбертовом пространстве Н.

А.Г.Костюченко была поставлена задача - выделить класс пучков типа (3), которым можно поставить в соответствие л-самосопряженный оператор.

В данной работе рассматривается определенный класс пучков типа (3), строится некоторое пространство Понтрягина Пав, и в этом пространстве пучку ставится в соответствие оператор, являющийся самосопряженным относительно метрики пространства Пае. Указан пример компактных операторов А, С, когда этого сделать нельзя.

Цели настоящей работы. 1. Найти условия, при которых в некотором гильбертовом пространстве можно ввести структуру пространства Понтрягина, относительно которой линеаризатор квадратичного пучка Ь(А) - А2 А + АВ + С будет самосопряженным;

2. изучить спектральные свойства указанного квадратичного самосопряженного пучка через свойства соответствующего тс-самосопряженного оператора;

3. найти необходимые и достаточные алгебраические условия двукратной полноты и базисности жордановых цепочек квадратичного пучка;

4. исследовать расположение в комплексной плоскости собственных значений квадратичного пучка, подобного возникающему при малых конвективных движениях жидкости в частично заполненном сосуде.

Методы исследования. В работе используются методы спектральной теории операторов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой, некоторые способы линеаризации рассматриваемых квадратичных пучков, в зависимости от решаемой проблемы, а так же другие общие результаты функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Из них можно выделить следующие:

1. выделен класс самосопряженных квадратичных пучков, которым можно поставить в соответствие линеаризатор, являющийся самосопряженным оператором в некотором пространстве Понтрягина;

2. доказаны новые необходимые и достаточные условия двукратной полноты и базисности жордановых цепочек квадратичного самосопряженного пучка;

3. получен новый критерий принадлежности оператора классу К(Н), позволивший доказать полноту и базисность части жордановых цепочек пучка в исходном пространстве;

4. исследованы вопросы расположения в комплексной плоскости собственных значений квадратичного самосопряженного пучка с параметром;

5. получено описание всех положительных операторов из Я", матрицы которых в произвольном ортонормированном базисе будут иметь доминирующую главную диагональ.

Приложения. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейшем развитии теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, спектральной теории квадратичных пучков и ее приложениях в гидродинамике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XIV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах в г.Новгороде, 1989 г.; на ЫУ Крымских осенних школах-симпозиумах по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ I- IV) 1990-1993 гг.; на семинаре "Несамосопряженные операторы" механико-математического факультета МГУ, руководители - профессоры А.Г.Кос-тюченко, А.А.Шкаликов, 1993 г.; на Всесоюзной Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения IV" 1993 г.; на Международной конференции по проблемам теории операторов в Вене 1993 г.; на семинаре "Краевые задачи", руководитель - профессор Ю.В.Покорный.

Публикации. Основные результаты полностью опубликованы в работах [33 - С5], С26] - [30], [33]. В работах [3] - [5], [33], написанных совместно с научным руководителем профессором Т.Я.Азизовым постановка задач принадлежит научному руководителю, а их решение

- автору диссертации.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 118 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на восемь параграфов, и списка литературы из 40 наименований. Нумерация формул и утверждений в параграфах независимая - первая цифра показывает номер параграфа, а число после точки - номер формулы или утверждения в данном параграфе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сухочева, Людмила Ивановна, 1995 год

1. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986. -352 с.

2. Азизов Т.Я., Иохвидов И.О. Критерий полноты и базисности корневых векторов вполне непрерывного J-самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина Пае // Мат. исследования. 1971.

3. Азизов Т.Я., Сухочева Л.И. О полноте системы корневых векторов пучка С.Крейна в пространстве Понтрягина // III Крымская осенняя математическая школа-симпозиум: Тез. докл. Симферополь, 1993. - С. 69.

4. Азизов Т.Я., Сухочева Л.И. О спектральных свойствах квадратичного операторного пучка // Теории функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании: Тез. докл. Воронеж, 1993. - С. 6.

5. Азизов Т.Я., Сухочева Л.И. Модифицированный самосопряженный пучок С.Крейна. Воронеж, 1993. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.93, N 1604-В93.

6. Азизов Т.Я., Хацкевич В.Л. О некоторых приложениях теории операторов в пространствах Крейна к разрешимости нелинейных га-миль тоновых систем // Мат. заметки. 1991. - Т.50, N 4. - С. 3-9.

7. Аскеров Н.К., Крейн С.Г., Лаптев Г.И. Задача о колебаниях вязкой жидкости и связанные с ней операторные уравнения // Фун.анализ и его приложения. 1968. - Т.2, N 2. - С. 21-31.

8. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.:X 1

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

11. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. - 448 с.

12. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. -1951. Т.77, N 1. - С. 11-14.

13. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 543 с.

14. Копачевский Н.Д. Теория малых колебаний жидкости с учетом сил поверхностного натяжения и вращения: Диссертация. Харьков, 1980. - 312 с.

15. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г. Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. М.: Наука, 1989. - 416 с.

16. Копачевский Н.Д., Пивоварчик В.Н. О достаточном условии неустойчивости конвективных движений жидкости в открытом сосуде // журнал вычислит, матем. и матем. физики. 1993. - Т.33, N 1. - С. 101-117.

17. Крейн М.Г., Лангер Г.К. К теории квадратичных пучков самосопряженных операторов // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 154, N 6. -С. 1258-1261.

18. Крейн М.Г., Лангер Г.К. О некоторых математических принципах линейной теории демпфированных колебаний континуумов // Труды международного симпозиума по прилож. теорий функций в механ. сплош. среды. 1966. - Т. 2. С. 283-322.

19. Крейн М.Г., Нудельман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. - 552 с.

20. Крейн С.Г. О колебаниях жидкости в сосуде // ДАН СССР. -1964. - Т.159, N 2. - С. 262-265.

21. Крейн С.Г., Моисеев H.H. О колебаниях твердого тела, содержа- 117 щего жидкость со свободной поверхностью // Прикл. матем. и ме-хан. 1957. - Т. 21, N 2. - С. 169-174.

22. Ларионов Е.А. О базисах составленных из корневых векторов опе-раторного пучка // ДАН СССР. 1972. - Т. 206, N 2.С.283-286.

23. Маркус A.C. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев: Штиинца, 1986. - 260 с.

24. Понтрягин Л.С. Эрмитовы операторы в пространстве, с индефинитной метрикой // Из. АН СССР. Серия матем. 1944. - Т.8, N 6. - С. 243-280.

25. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью наполненной жидкостью // Ж. прикл. механ. и техн. физики. 1960. -N 3. - С.20-55.

26. Сухочева Л.И. О собственных значениях модифицированного мат• ричного пучка С.Г.Крейна // Теория операторов в функциональных пространствах и математическое моделирование: Сб. тр. Воронеж, 1988. - С. 61-66. - Деп. в ВИНИТИ 13.07.88, N 5642 - В88.

27. Сухочева Л.И. Условия разделения спектра модифицированного матричного пучка С.Г.Крейна // XIV школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. Новгород, 1989. -Ч. 3. - С. 56-57.

28. Сухочева Л.И. О спектре одного матричного пучка // Нестандартные краевые задачи: Сб. тр. молодых ученых ВГУ. Воронеж, 1991. - С. 52-56. Деп. в ВИНИТИ 3.06.91 N 2503 - В91.

29. Сухочева Л.И. Об одновременной двукратной полноте и базисности жордановых цепочек двух пучков // Понтрягинские чтения IV: Тез. докл. - Воронеж, 1993. С. 182.

30. Сухочева Л.И. О спектре квадратичного пучка // XXVI Воронеже- 118 кая зимняя математическая школа: Тез. докл. Воронеж, 1994.- С. 88.

31. Шилов Г.Е. Математический анализ. М.: Наука, 1969. - 432 с.

32. Шкаликов A.A., Плиев В.Т. Компактные возмущения сильно демпфированных пучков операторов // Мат. заметки. 1989. - Т. 45, N 2. С. 118-129.

33. Azizov Т. Ya., Sukhocheva L. I. On Some Development of the S.Krein Pencil Theory: Abstracts. Vienna, 1993. - P. 8.

34. Greenlee W.Y. Double Unconditional Bases Assciated with a Quadratic Characteristic Parameter Problem // J. Funct. Anal.- 1974. Vol. 15. - P. 306 - 339.

35. Langer H. Spektraltheorie Linearer Operatoren in J-Raumen und einige Anwendungen auf die Schar L(A) = A2I + AB + C.Habilitationschrift. Dresden. 1965. • *

36. Langer H. Uber eine Klasse polynomialer Scharen selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum // J. Funct. Anal.- 1973. 12, N 1. - P. 13-29.

37. Lancaster P., Shkalikov A., Qiang Ye. Strongly Definitizable Linear Pencils in Hilbert Space // J. Integr Equat Oper. Th. -1993. Vol. 17. - P.

38. Markus A., Matsaev V. Principal Part of Resolvent and Factorization of an Increasing Nonanalitic Operator Function // J. Integral Equations and Operator Theory. - 1991. - Vol. 14. - P. 716-746.

39. Markus A., Matsaev V. Factorization of a Selfadjoint Nonanalitic Operator Function II. Single Spectral zone.

40. Phillips R. The Extension of Dual Subspaces Invariant Under an Algebra // Proc. Intern Symp.: Linear Space. Ierusalem, 1960, Ierusalem Press, 1961, p. 366-398.