Спектральная теория произведения самосопряженных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Денисов, Михаил Сергеевич

• Денисов, Михаил Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Денисов, Михаил Сергеевич

Ведение

1 Теорема о нулях голоморфных функций.

1.1 Пространства с индефинитной метрикой.

1.2 Операторы в пространствах с индефинитной метрикой.

1.3 Нули голоморфных функций специального вида.

2 Спектральная функция для произведения самосопряженных операторов.

2.1 Спектральная функция для произведения двух самосопряженных операторов AG, где А - неотрицательный.

2.2 Пример G - самосопряженного оператора, у которого не существует спектральной функции.

2.3 Спектральная функция для дефинизируемого оператора, представимого в виде двух самосопряженных.

3 Свойства спектра произведения самосопряженных операторов

3.1 Инвариантные подпространства G - диссипативных операторов

3.2 Оценка числа отрицательных собственных значений для произведения двух самосопряженных операторов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральная теория произведения самосопряженных операторов»

Линейные операторы, действующие в пространствах с индефинитной метрикой, играют заметную роль в современной математике, в частности в математической физике и теории функций, см., например: С.Л. Соболев [39], М.Г. Крейн [22], И.С. Иохвидов, М.Г. Крейи [21], С.Г. Крейн, Н.Н. Моисееев [29], С.Г. Крейн, Н.Д. Копачевский [28], Р. Филипс, П. Лаке [30].

Одним из центральных вопросов, возникающих при изучении линейных операторов, самосопряженных относительно введенной индефинитной метрики, является существование у них собственной спектральной функции. Этот вопрос привлекал внимание исследователей с 50-х годов прошлого века. Первый результат в этой области — это работа М.Г. Крейна [22], опубликованная в 1940 году. В ней (в современной формулировке) было построено спектральное разложение J-неотрицательного интегрального оператора специального вида. Далее, М.Г. Крейном и Г. Лангером в их совместной работе [26], была построена спектральная функция для J-самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина Пк. Затем Г. Лангер в работах [60], [62], исследовал вопросы существования спектральной функции для J-самосопряженных операторов в пространстве Крейна и в регулярном С-пространстве.

Альтернативное доказательство существования спектральной функции для J-неотрицательного оператора в пространстве Крейна, было предложено Я. Богнаром в статье [51]. Его подход существенно используется в нашей работе.

Исследованию различных вопросов связанных со спектральными функциями а также приложения этой теории к исследованию дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, посвящены работы Р.В. Акопяна [7], V. Jalava [57], [58], P. Jonas [59] и К. Veselic [65].

Для «/-унитарных операторов в пространстве Крейна аналогичный круг проблем изучался в работах в работах Г. Лангера [60], В.А. Штрауса [45], P. Jonas [59],

Существование спектральной функции для С-самосопряженпого оператора в сингулярном (^-пространстве было анонсировано в работе Е.А. Ларионова [33]. Но заявленные результаты оказались ошибочными, что показывает, в частности, пример, построенный в параграфе 2, главы 2, нашей работы.

В диссертации были найдены условия на (7-самосопряженный оператор, действующий в сингулярном С-пространстве, при которых он обладает собственной спектральной функцией.

Не менее важным вопросом, возникающим при изучении линейных операторов, действущих в пространстве с индефинитной метрикой. является вопрос о существовании максимальных неотрицательных или неположительных инвариантных подпространств. Впервые этот вопрос был исследован С.Л. Соболевым для «/-самосопряженного оператора в Пь В работе Л.С. Понтрягина [36] было доказано существование максимального неположительного подпространства у J-самосопряженного оператора в пространстве Пл. Далее, Г. Лангером этот результат был обобщен на случай J-самосопряженного оператора в пространстве Крейна, см. [32].

Для J-диссипативного оператора, действующего в пространстве Понтрягина Пк, доказательство существования максимального инвариантного семидефинитного подпространства было независимо получено в работах Т.Я. Азизова [2], и совместной работе Г. Лангера и М.Г. Крейна [27]. Изучению вопроса о существовании максимального семидефинитного инвариантного подпространства у J-диссипативного оператора, действующего в пространстве Крейна, посвящены работы Т.Я. Азизова [3], Г. Лангера [27], А.А. Шкаликова [40], [41], [42].

Целью работы является изучение спектральных свойств произведений самосопряженных операторов. В частности, нахождение условий, при которых, у произведения самосопряженных операторов существует спектральная функция. Основным техническим приемом здесь является введение на гильбертовом пространстве 7Y, дополнительной структуры — индефинитной метрики [х,у].

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного функционального анализа и теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой. В частности, спектральная теория «/-самосопряженных операторов, а также отдельные элементы теории функций комплексного неременного.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Доказано существование спектральной функции для непрерывного оператора Т, который допускает представление в виде произведения двух непрерывных самосопряженных операторов, Т — AG: где А —неотрицательный оператор, a ker (G) — {(9}.

2. Найдены условия существования спектральной функции для непрерывного дефинизируемого оператора Т, который представим в виде произведения двух непрерывных самосопряженных операторов, А и G, где ker (G) = {в}.

3. Доказано существование максимального инвариантного подпространства у непрерывного оператора Т, который представим в виде произведения двух непрерывных операторов, Т ~ BG, где В — дис-сипативен, a G — самосопряжен и ker{G) = {0}.

4. Дана оценка количества (с учетом кратности) отрицательных собственных значений для произведения двух самосопряженных операторов специального вида.

5. Изучено количество и локализация нулей у голоморфной функции особого типа.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут применяться при исследовании задач гидродинамики, и математической физики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре проф. Т.Я. Азизова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. А.Г. Баскакова в Воронежском государственном университете, Воронежской зимней математической школе (Воронеж 2007), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, 2007), международной научной конференции "МАА 2007" посвященной столетию М.Г. Крейна (Одесса, 2007), международных конференциях "6 Workshop Operator Theory in Krein spaces and Operator polinornials" (Berlin, 2006), "7^ Workshop Operator Theory in Krein spaces and Operator polinornials"(Berlin, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [12] - [17], [53] - [55]. Из совместной работы [13] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, разбитых на 8 параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации 83 стр. Библиографический список включает 65 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Денисов, Михаил Сергеевич, 2008 год

1. Азизов Т.Я. О спектрах некоторых классов операторов в гильбертовом пространстве. / Т.Я. Азизов // Мат. заметки, - 1971. - Т.9, № 3. - С. 303-310.

2. Азизов Т.Я. Инвариантные подпространства и критерии полноты системы корневых векторов J-диссипативных операторов в пространстве Понтрягина ГЦ. / Т.Я. Азизов // Докл. АН СССР, 1971.- 200, № 5. С. 1015-1017.

3. Азизов Т.Я. Диссипативные операторы в пространстве с индефинитной метрикой. / Т.Я. Азизов // Изв. АН СССР. Сер. Матем., -1973. 37, № 3. - С. 639-662.

4. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. / Азизов Т.Я. Иохвидов И.С. // М.: Наука, 1986. - 352 с.

5. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Линейные операторы в пространстве с индефинитной метрикой и их приложения./ Т.Я.Азизов, И.С.Иохвидов // Математический анализ. М.:ВИНИТИ, - 1979.- С. 113-207. (Итоги науки и техники; Т. 17).

6. Азизов Т.Я., С.А. Хорошавин. Об инвариантных подпространствах операторов, действующих в пространстве с индефинитной метрикой. / Т.Я. Азизов, С.А. Хорошавин // Функц. анлиз и его прилож.,- 1980. 14, № 4. - С. 1-7.

7. Акопян Р.В. К теории спектральной функции J-неотрицательного оператора./Р.В. Акопян // ИАН АрмССР, сер. Физ.-мат. н., 1978.- Т. 13, № 2, С. 114-121.

8. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. / Н.И.Ахиезер, И.М.Глазман // М., Наука,- 1966. 543 с.

9. Гинзбург Ю.П. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой. /Ю.П. Гинзбург // Успехи мат. наук, 1962. - 17, № 4, - С. 3-56.

10. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория. /Н.Данфорд Д.Т.Шварц // - М.: Едиториал УРСС, - 2004. - 896 с.

11. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория. /Н.Данфорд Д.Т.Шварц //— М.: "Мир", 1966. - 1063 с.

12. Денисов М.С. Существование спектральной функции для некоторых произведений самосопряженных операторов. / М.С. Денисов // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XVII". - Воронеж: ВорГУ., - 2006. - С. 53-54.

13. Денисов М.С. О нулях голоморфных функций специального вида. / М.С. Денисов, К.С Денисова // Труды математического факультета ВГУ, 2006. - Вып. 11. (Новая серия) - С. 69-76.

14. Денисов М.С. О числс отрицательных собственных значений у произведения самосопряженных операторов / М.С. Денисов // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. Физика, Математика, 2007.- N 2. С. 100-103.

15. Денисов М.С. Спектральная функция для некоторых произведений самосопряженных операторов / М.С. Денисов // Математические заметки, 2007. - 81:6. - С.948-951.

16. Денисов М.С. Спектральная функция для некоторых произведений самосопряженных операторов / М.С. Денисов // Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ.,- 2007. С. 69-70.

17. Иохвидов И.С. Линейные операторы в гильбертовых пространствах с G метрикой. /И.С. Иохвидов // Успехи мат. наук, - 1971.- Т. 26, № 4. С. 43-92.

18. Иохвидов И.С. G-изометрические и J-полуунитарные операторы в гильбертовом пространстве. / И.С. Иохвидов // Успехи мат. наук,- 1965, Т. 20, № 3. - С. 175-181.

19. Иохвидов И.С. О максимальных дефинитных линеалах в гильбертовых пространствах с G метрикой. / И.С. Иохвидов // Укр. мат. ж., - 1965, - Т. 17, № 4. - С. 22-28.

20. Иохвидов И.С. Спектральная теория опреаторов в пространствах с индефинитной метрикой / И.С. Иохвидов, М.Г. Крейн // Труды московского математического общества. 1956. - 5. - С. 308-496.

21. Крейн М.Г. О нагруженных интегральных уравнениях, функции распределения которых не монотонны./ М.Г.Крейн // Сб. памяти акад. Граве, 1940. - С. 88-103.

22. Крейн М.Г. Про лшшны цшком неперервш оператори в функцю-нальних просторах з двома нормами. / М.Г.Крейн // Ж. Ин-та, матем. АН УССР, 1947. - 9. - С. 104-129.

23. Крейн М.Г. Об одном приложении принципа неподвижной точки в теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой. / М.Г.Крейн // УМН, 1950. - 50. - С. 180-190.

24. Крейн М.Г. Об одном новом применении принципа неподвижной точки в теории операторовв пространстве с индефинитной метрикой. /М.Г.Крейн // ДАН СССР, 1964. - 154, № 5. - С. 1023-1026.

25. Крейн М.Г., Лангер Г.К. О спектральной функции самосопряженного оператора в пространстве с индефинитной метрикой. / М.Г.Крейн, Г.К.Лангер // Докл. АН СССР, 1963, - Т. 152, № 1. -С. 39-42.

26. Крейн М.Г., Лангер Г.К. О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова оператора в пространстве Икарра / М.Г.Крейн, Г.К.Лангер // Функциональный анализ и приложения, - 1971. - Т.5, № 2. - С. 59-71; № 3. - С. 54-69.

27. Крейн С.Г. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах / С.Г.Крейн // М., Наука, 1966. - 543 с.

28. Крейн С.Г., Моисеев Н.Н. О колебаниях твердого тела содержащего жидкость со свободной поверхностью. / С.Г.Крейн, Н.Н. Моисеев // Прикл. матем. и механ., 1957. - 21, 2. - С. 169-174.

29. Лаке П., Филлипс Р., Теория рассеяния. / П.Лаке Р.Филлипс // "Мир", М., 1971. - 312 с.

30. Лангер Г.К. Инвариантные подпространства линейных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. / Г.К. Лангер // Докл. АН СССР, 1966. - Т. 169, № 1. - С. 12-15.

31. Лангер Г.К. О J эрмитовых операторах. / Г.К. Лангер // ДАН СССР, - 1962. - Т. 134, № 2. - С. 263-266.

32. Ларионов Е.А. О самосопряженных квадратичных пучках в гильбертовом пространстве. / Е.А. Ларионов // Докл. АН Арм. ССР, -1969. Т. 49, № 4. - С. 161-165.

33. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной./ И.П.Натансон // — М.: Наука, 1974.

34. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. /А.И. Плеснер // М., Наука, 1965. - 624 с.

35. Понтрягин JI.C. Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой. / Понтрягин JI.C. // Изв. Ан СССР. Сер. Матем.,- 1944. 8, - С. 243-280.

36. Пятков С.Г. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В.Попов // Новосибирск: Наука,- 2000. - 336 с.

37. Рудин У. Функциональный анализ / У.Рудип // СПб: Издательство "Лань",- 2005. - 448 с.

38. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью, на-полненой жидкостью. / С.Л.Соболев // ЖПМТФ, 1960. - 3. - с. 20-55.

39. Шкаликов А.А. Диссипативные операторы в пространстве Крейна. Инвариантные подпространства и свойства сужений. /А.А. Шкаликов // Функциональный анализ и приложения, 2008. - Т. 13, № 2, - С. 114-121.

40. Шкаликов А.А. О существовании инвариантных подпространств у диссипативных операторов в пространстве Крейна. / А.А.Шкаликов // Фунд. и прикл. мат., 1999. - 5, № 2. - С. 627-635.

41. Шкаликов А.А. Инвариантные подпространства диссипативных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. / А.А.Шкаликов // Труды МИРАН им. В.А. Стеклова, 2005. - 248.- С. 294-303.

42. Шкаликов А.А. Эллиптические задачи в гильбертовом пространстве и спектральные задачи связанные с ними. / А.А.Шкаликов // Тр. семинара имю И.Г.Петровского. 1989. - Вып. 14. - С.140-224.80

43. Штраус В.А. О спектральном разложении Q-неотрицательиых операторов в правильных (93, (^-пространствах./ В.А Штраус // Изв. АН Эст. ССР, Физ., мат., 1972. - 21, № 4. - С. 360-363.

44. Штраус В.А. К теории самосопряженных операторов в банаховых пространствах с эрмитовой формой./ В.А Штраус // Сиб. матем. журнал, 1978. - 19, № 3. - С. 685-692.

45. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физи-ки./М.А.Шубин // М.: МЦНМО, - 2003. - 303 с.

46. Beals.R., Indefinite Sturm Liouville problems and half-range completeness/ R.Beals // J.Differential Equations. — 1985. - V.56, № 3. -P. 685-692.

47. Beals.R., Protopopescu V., Half-range completeness for the Fokker -Plank equation / Beals.R., Protopopescu V. // J.Statist.Phys. — 1983. V.32, № 3. - P. 565-584.

48. Bothe W., Die Streueabsorption der Electronenstronenstrahlen / W.Bothe // Z.Phyz. 1929. - Bd.5. - P. 101-178.

49. Bognar J. Indefinite Inner Product Spaces./ J.Bognar // Berlin.: Springer-Verlag, 1974.

50. Bognar J. A proof of the spectral theorem for J-pozitive operators. / J.Bognar // Acta sci. math., 1983. - 15, № 1-2. - P. 75-80.

51. Bottcher A. Lectures on Operator Theory and Its Applications. / A. Bottcher, A.Dijksma, H.Langer, M.A.Dritschel, J. Rovnyak, M.A.Kaashoek // Fields Institute Monographs, ISSN 1069-5273; 3, -1995. 340 p.

52. Denisov M.S. Spectral functions for some product of selfajoint operators. / M.S. Denisov // Operator theory in Krein spaces and operator polynomials, 6th workshop. Book of abstracts. Technische Universitat, Berlin, - 2006. - P. 43-44.

53. Denisov M.S. On number of negative eigenvalue for some multiplication of selfajoint operators. / Denisov M.S. // Operator theory in Krein spaces and spectral analysis, 7th workshop. Book of abstracts. -Technische Universit at, Berlin, 2007. P. 54.

54. Iohvidov I.S. Introduction to the spectral theory of operators in spaces with an indefinite metric / I.S. Iohvidov, M.G. Krein, H. Langer. -Akademie-Verlag. Berlin. - 1982. - 121 p.

55. Jalava V. On spectral decompositions of operators in J-spaces. / V. Jalava // Ann. Acad. Sci. Fenn., 1969. - Ser Alf446. - 10 p.

56. Jalava V. On spectral decompositions of a class of bounded operators in a Banach space with a nondegenerate Hermitian form./ V. Jalava // Univ. Javaskyla Dept. Math., 1970. - Report 9.

57. Jonas P. On the functional calculus and the spectral function for definitizable operators in Krein space. /Р. Jonas // Beitrage Anal., 1981. - T. 16. - P. 121-135.

58. Langer H. Spektralfunctionen einer Klasse J-selbstadjungierter Oper-atoren. / H. Langer // Math. Nachr., 1967. - 33, № 1-2. - P. 107-120.

59. Langer H. Eine Veralgemeinerung eines Satzes von L.S. Pontrjagin / H. Langer // Math. Ann., 1963. - 152, № 5. - P. 434-436.

60. Langer H. Spectral Function of definitizable operators in Krein space. / H. Langer // Lecture Notes in Mathematics 948, Berlin.: Springer-Verlag, - 1982. - P. 1-46.

61. Langer H. Invariant subspaces for a class of operators in space with idefmite metric. / H. Langer // J. Funkt. Anal. 1975. - V 19, № 3. -P. 232-241.

62. Langer H., Daho K., Sturm-Liuville operators with an idefinite weight function. "Proc. Roy. Soc. Edinburg", 1977. - A78, № 1-2. - C. 161-191.

63. Vccelic K. A spectral theorem for a class of J-normal operators. / K. Vecelic // Glass, mat. 1970. - 5, No. 1, - P. 97-102.