Спектральные задачи и вопросы базисности, возникающие в теории гидродинамической устойчивости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шейпак, И. А.

• Шейпак, И. А.
• кандидат физико-математических наук
• 1995

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шейпак, И. А.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Вязкое симметрично-возмущенное течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами.

§ 1. Постановка задачи. Основные определения.

§ 2. Асимптотика собственных значений линейного пучка.

§ э. Базисность Бари со скобками для собственных и присоединенных функций задачи.

§ 4. Базисность Бари без скобок.

§ 5. Предельный случай.

§ 6. Связь задачи о течении жидкости между двумя цилиндрами и конвекционном течении жидкости, подогреваемой снизу.

ГЛАВА II. Несимметрично-возмущенное течение невязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися концентрическими бесконечными цилиндрами.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Структура существенного спектра.

§ з. Локализация дискретного спектра.

§ 4. Структуры дискретного спектра.

ГЛАВА III. О базисных свойствах системы корневых векторов оператора, близкого к самосопряженному в пространстве Понтрягина.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Сходимость рядов по корневым векторам оператора, близкого к самосопряженному в пространстве Понтрягина.

§ з. Базисность Бари со скобками корневых векторов оператора

L, отвечающего задаче о колебаниях вязкой капиллярной жидкости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные задачи и вопросы базисности, возникающие в теории гидродинамической устойчивости»

В настоящей работе изучаются спектральные задачи, возникающие в гидродинамике. К наиболее важным и исследуемым относится вопрос о гидродинамической устойчивости: если течение задано, устойчиво ли оно относительно бесконечно малых возмущений?

Предполагается, что для случая бесконечно малых возмущений уравнения можно линеаризовать, т.е. членами квадратичными и более высоких порядков относительно возмущений пренебрегают. Для линеаризованных уравнений можно ожидать, что будут существовать решения, зависящие экспоненциально от времени. Граничные условия для возмущений обычно однородны, и мы получаем задачу на собственные значения некоторого оператора, действующего в некотором функциональном пространстве. В зависимости от расположения собственных значений на комплексной плоскости решается вопрос об устойчивости решений.

Среди наиболее известных следует упомянуть задачу о течении вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными вращающимися концентрическими цилиндрами (течение Куэтта между двумя цилиндрами) и задачу о плоскопараллельном течении жидкости, приводящей к уравнению Орра-Зоммерфельда. Различными проблемами, связанными с устойчивостью решений этих и других задач занимались многие математики ([7], [10], [18],[19], [32], [33]»[35],[38] и др.).

Но относительно мало внимания было уделено базисным свойствам системы собственных и присоединенных функций соответствующих задач. Этот вопрос представляет интерес не только с точки зрения спектральной теории. С ним тесно связаны исследования эволюционных задач с начальными данными. Кроме того, первый успешный анализ гидродинамической устойчивости для течения жидкости между цилиндрами, проведенный Дж.Тейлором [48], опирался на идею о возможности разложения решения в ряд по ортогональной системе функций. При этом вопрос о справедливости и свойствах этого разложения не решался.

Большим продвижением в данном направлении была работа И.Шенстеда [45]. Пользуясь классическими методами, для уравнения Орра-Зоммерфельда ему удалось показать полноту собственных и присоединенных функций в классе с* [а,Ь] дважды непрерывно-дифференцируемых функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям на отрезке [а,ь], где а и ъ -границы плоскопараллельного течения жидкости. Отметим, что система собственных функций не была вычислена ни для одного конкретного течения. Даже более того, основные свойства системы собственных функций ни для какого течения не исследовались в достаточной степени.

Основываясь на работе М.А.Наймарка [28], Р.С.Ди Прима и Г.Хабетлер усилили результат И.Шенстеда, расширив предложенный о им класс функций до Ш*[а,ь]. Кроме того, наряду с уравнением

Орра-Зоммерфельда, они рассмотрели течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами. Для этой задачи ими показана полнота системы собственных и присоединенных функций в пространстве о а,Ь);У г ). Вопрос о базисности так и остался нерешенным.

Далее, следует отметить работу А.А.Шкаликова и С.Треттер [46 3 , в которой изучались базисные свойства спектральных задач вида

N у(х) = \ Р у(х), и^у)=0, 0=1 »2. ,21« где мир- линейные дифференциальные операторы порядка п и р (п > р > о), а и. - граничные условия порядка < п - 1. Ими был выделен целый класс задач указанного типа, для которых верны теоремы полноты, минимальности и базисности в соответствующих пространствах. Применив свои результаты к уравнению Орра-Зоммерфельда, авторы доказали для системы собственных и присоединенных функций полноту в пространстве

1?2в0 для 8=0,1,2,3,4, минимальность в для 8=2,3,4 и базисность Рисса в У?22и , где подпространство всех функций у е удовлетворяющих граничным условиям порядка < 8-1 .

Представляет интерес и "невязкий" аналог упомянутых задач. Особенность уравнений, описывающих течение идеальной жидкости, заключается в том, что у операторов, соответствующих им, появляется непрерывный спектр. В связи с этим возникает вопрос об описании этого спектра, что важно с точки зрения устойчивости. С точки зрения спектральной теории интерес представляет возможность разложения по обобщенным собственным функциям непрерывного спектра. Уравнение Орра-Зоммерфельда в случае идеальной жидкости превращается в известное уравнение

Релея. В работе С.А.Степина [331 для этого уравнения было дано описание непрерывного спектра, доказана теорема о локализации дискретного спектра и получено разложение по обобщенным собственным функциям непрерывного спектра.

Говоря о течении идеальной жидкости между двумя цилиндрами, следует упомянуть два случая. Рассмотрение только осесимметричных возмущений приводит к уравнению Штурма-Лиувилля, анализ которого позволил Дж.Л.Сайнджу [47] получить критерий Релея устойчивости течения жидкости. Рассмотрение несимметричных относительно вращения возмущений приводит к более сложной системе уравнений, в связи с чем такие течения изучались гораздо реже. В этом случае появляется более широкий непрерывный спектр, описание которого необходимо для решения вопросов устойчивости. Здесь следует отметить работу Дж.Эйзенфельда [43], в которой дается достаточно полный обзор возникающих в этой области проблем. Появившаяся в 1994г. работа Ф.В.Аткинсона, Х.Лангера, Р.Менникена и А.А.Шкаликова [40] позволяет дать точное описание существенного спектра операторов, возникающих в подобных задачах.

В первой главе настоящей работы изучается осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися концентрическими бесконечными цилиндрами (течение Куэтта). Наша цель заключается в доказательстве базисности Бари системы собственных и присоединенных функций в специально определенном пространстве. Основным в достижении этого результата является использование методов работ [2] и [26], позволяющих получать утверждения о базисных свойствах операторов, являющихся слабыми возмущениями самосопряженных операторов. Кроме того, получены асимптотические оценки для собственных значений. Изучаются также спектральные свойства предельной задачи (течение идеальной жидкости) и дается ответ о структуре непрерывного спектра, вопрос о котором ставился в работе [43]. Следует отметить, что к подобным уравнениям приводит задача о конвекционном движении жидкости, подогреваемой снизу [24].

Во второй главе изучается течение несимметрично-возмущенного течения Куэтта для идеальной жидкости. Нашей целью является получение результатов, являющихся аналогом утверждений, имеющих место для уравнения Релея [24]. С помощью методов работы [40] получено полное описание существенного спектра. Для дискретного спектра доказывается теорема локализации. Но следует отметить, что для несимметричных возмущений кардинальное отличие заключается в том, что если существуют комплексные собственные значения, то они обязательно появляются парами, и одно из них ведет к неустойчивости. Поэтому получить некий аналог критерия Релея устойчивости в случае несимметрично-возмущенных течений удается получить только при гораздо сильных условиях.

В третьей главе рассматривается известная задача о колебаниях вязкой несжимаемой капиллярной жидкости. В 1966г. на Международном математическом конгрессе в Москве С.Г.Крейн выдвинул гипотезу о том, что спектр колебания вязкой капиллярной несжимаемой жидкости дискретен, лежит в левой полуплоскости, имеет единственную предельную точку X = -со. Невещественных собственных значений может быть лишь конечное число.

В последствии этой задачей занимались многие авторы (С53. [18], [19]. [36] и др.), пытавшиеся доказать гипотезу Крейна. В работах [5], [36] были получены результаты о локализации спектра в левой полуплоскости в области вида

Im Х\ < С|Л.|~Р.

Известны результаты о базисных свойствах малых возмущений самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, принадлежащие В.Э.Кацнельсону, М.С.Аграновичу, В.Б.Лидскому, А.С.Маркусу, В.И.Мацаеву. В третьей главе доказано обобщение некоторых из этих результатов на случай возмущений самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина. В качестве следствия этих результатов доказана теорема о базис-ности Бари со скобками корневых векторов оператора, отвечающего задаче о собственных колебаниях вязкой капиллярной жидкости.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Некоторые из определений поясняются в начале каждой главы. Для формул, определений и утверждений используется двойная нумерация: первая цифра означает номер главы, а вторая - порядковый номер формулы (определения, утверждения) в главе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шейпак, И. А., 1995 год

1. Абрамовиц М. "Справочник по специальным функциям", М.,1979

2. Агранович М.С. "О рядах по корневым векторам операторов, очень близких к самосопряженным", Функ. анализ и его приложения, 1977, т.11, Л 4, с.65-67

3. Агранович М.С. Дополнение к книге Войтович H.H., Каценеленбаум В.З., Сивов А.Н. "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции". М.:Наука, 1978. с.288-362

4. Азизов Т.Н., Иохвидов И. С. "Линейные операторы в гильбертовых пространствах с j-метрикой". Успехи математических наук, 1971, т.26, Jfc 4, с.43-92.

5. Бабский В.Г.,Копачевский Н.Д.Мышкис Л.Д.Слобожанин Л.А., Тюпцов А.Д. "Гидродинамика невесомости".М.:1974

6. Бари Н.К. "Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве", Учен, записки МГУ, 1951, 4, вып.148, с.69-101

7. Бетчов Р., Криминале В. "Вопросы гидродинамической устойчивости", Мир, М., 1971

8. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. "Введение в теорию линейных не самосопряженных операторов" .М. .-Наука, 1965

9. ДанфордН., Шварц Дж. "Линейные операторы", М.,Мир, 1974

10. Дикий Л.А. "Об устойчивости плоскопараллельного течения Куэтта", Прикл. матем. и мех., 1964, вып.5,с.389-392.

11. Джозеф Д. "Устойчивость движения жидкости", Мир, М., 1981

12. Евзеров И.Д., Соболевский П.Е. "Дробные степени обыкновенных дифференциальных операторов", Дифф. уравнения, 1973, Т.9, * 2, С.228-240

13. Евзеров И.Д. "Области определения дробных степенейобыкновенных дифференциальных операторов в пространствах ь ",РМатем. заметки , 1977, т.21, Л 4, с.509-518

14. Камке Э. "Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям", М., Наука, 1976

15. Кацнельсон В.Э. "Об условиях базисности системы корневых векторов некоторых классов операторов", Дис. .канд.физ.-мат. наук. Харьков, 1967

16. Кацнельсон В.Э. "О сходимости и суммируемости рядов по корневым векторам классов операторов", Функциональный анализ и его приложения, 1967, т.1, № 2, с.39-51

17. Келдыш М.В. "О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов", УМН, 1971, 26, $4, с.15-41

18. Корн Г., Корн Т. "Справочник по математике", М., "Наука", 1970

19. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. "Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций".М.:Наука, 1966

20. Крейн М.Г. "Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения",I, Матем. сборник, 20(62),(1947), с.431-498

21. Крейн М.Г. "Теория самосопряженных расширенийполуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения",II, Матем. сборник, 21 (63), (1947), с.365-404

22. Линь Д.Ц. "Теория гидродинамической устойчивости", ИНТИ,М.,1958.

23. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. "Неоднородные граничные задачи и их приложения", М., Мир, 1971

24. Маркус A.C., Мацаев В.И. " 0 сходимости разложений по собственным векторам оператора, близкого к самосопряженному", Математические исследования. Вып.61. Кишинев: Штиница, 1981 с.104-129

25. Рид М., Саймон Б. "Методы современной математической физики", т. 2 "Гармонический анализ. Самосопряженность", Москва, Мир, 1978

26. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. "Лекции по функциональному анализу", М., Мир, 1979

27. Романов В.А. "Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта", ДАН СССР, 1971, 196, вып.5,с.1049-1051.

28. Степин С.А. "Несамосопряженная модель Фридрихса в теории гидродинамической устойчивости", Функ. анализ 1995

29. Трибель X. "Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы". М., Мир, 1980

30. Троицкая С.Д. "Некоторые спектральные свойства задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости". Дисс. .канд. физ.мат. наук, М.1992.

31. Трубачев A.B. "Локализация спектра колебаний вязкой капиллярной жидкости". Математические заметки. 1990. Т.47, вып.5. с.116-126.

32. Шейпак М.А. "О базисных свойствах системы корневых векторов одной задачи гидфодинамики", Успехи мат. наук, Н, 1994, с.120

33. Шейпак И.А. "Спектральный анализ несимметрично-возмущенного течения Куэтта и связанные с ним вопросы гидродинамической устойчивости", Мат.заметки, т.57, вып.2, 1995

34. Юдович В.И."Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости", ДАН СССР, 1965,161 , вып.5, с.1037-1040.

35. F.V. Atkinson, Н.Langer, R.Mermicken, A.A.Shkalikov "The essential spectrum of some matrix operators", Mathematische Nachrichten, No.167,1994, 5-22

36. Chandras ekhar S. "Hydrodynamic and hydro dynamic stability", Oxford Univ. Press, England, 1961

37. DiPrima R.O., Habetier G.J. "A completness theorem for nonselfadjoint eigenvalue problems in hydrodynamics stability", Arch. Rational Mech. and Anal., 34, » 3, 218-227

38. Eisenfeld J. "Regularity conditions in linear hydrodynamic stability", Journal of Math. Analysis and Applications, vol.31, J§ 1, July 1970

39. Mennicken R., Schmid H., Shkallkov A.A. "Criterion on eigenvalue accumulation of nonlinear spectral problems for ordinary differential operators with singularities"

40. Schensted I.V. "Contributions to the theory of hydrodynamic stability", Ph. D. Thesis, Univ. of Michigan

41. Shkalikov A.A., Treter C. "Kamke's problem properties of the eigenfunctions", MathematJsche Nachrichten, No.170,1994»

42. Synge J.L. " On the stability of viscous liquid between two rotating coaxial cylinders", Proc. Roy. Soc., A, 167, 250-256.

43. Taylor G.I. "Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders", Phil. Trans.,A,223,289-343