Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Малых Артем Евгеньевич

• Малых Артем Евгеньевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Малых Артем Евгеньевич

Введение

Глава 1. Аппроксимация глобальных Б-аттракторов

динамических систем в конечномерном линейном

пространстве

1.1 Основные понятия теории динамических систем

1.2 Оригинальная теорема Фояша-Темама

1.3 Система Лоренца

1.4 Метод Фояша-Темама для дискретных систем

Глава 2. Аппроксимация глобальных Б-аттракторов для

систем на многообразиях

2.1 Основные понятия, связанные с многообразиями

2.2 Существование глобального Б-аттрактора на плоском цилиндре

2.3 Определение проективного многообразия

2.4 Динамические системы на проективном многообразии

2.5 Об аппроксимации для аттрактора, расположенного внутри

карты с нормальными координатами

Глава 3. Некоторые вопросы стратификации алгебраических

множеств

3.1 Стратификация Уитни в пространстве К2

3.2 Алгоритм стратификации Уитни алгебраического множества в двумерном случае

3.3 Стратификация Уитни полуаналитических множеств на многообразиях

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации»

Введение

Актуальность темы. Данная работа посвящена изучению аппроксимаций глобальных Б-аттракторов динамических систем с помощью алгебраических множеств.

Динамические системы являются распространенной математической моделью в различных областях науки и техники, в том числе в физике, промышленности, метеорологии. При этом важную роль играет существование глобальных аттракторов и их аппроксимация. В данной работе рассматривается аппроксимация алгебраическими множествами. Важным преимуществом алгебраических множеств является легкость их представления для компьютерных вычислений (как символьных, так и численных).

Часто встречается ситуация, когда динамическую систему, моделирующую, например, механический процесс или систему управления, удобно рассматривать не в евклидовом пространстве а на общем многообразии. Среди многообразий, на которых заданы такие системы, часто встречаются плоский цилиндр и проективное многообразие. Рассмотрение систем на многообразии, в частности, позволяет получить локализацию глобального аттрактора.

Кроме аппроксимации глобального аттрактора часто возникает необходимость получить дополнительную информацию о его структуре. Одним из инструментов для этого является стратификация Уитни.

Степень разработанности темы. Для аппроксимации глобальных аттракторов динамических систем имеются разные подходы. Один из них -применение функций Ляпунова и поверхностей без контакта с векторным полем (см. [6, 27]). Этот метод в применении к динамическим системам на цилиндре изложен в [29]. При использовании такой аппроксимации и локализации аттрактора можно получить оценки различных размерностных характеристик данного аттрактора (см. [9,11]). Для аттракторов диссипативных динамических систем в бесконечномерном фазовом пространстве можно построить конечномерные проекторы на конечномерные пространства (см. [37]). Нередко такими аттракторами являются глобально устойчивые периодические или почти периодические решения системы (см. [7,21]).

Второй подход при аппроксимации аттракторов заключается в построении инерциальных многообразий (см. [12]). Для некоторых классов аттракторов

существование инерциальных многообразий доказано. Недостаток данного подхода заключается в том, что аппроксимирующие множества являются гладкими многообразиями, тогда как аттракторы могут быть фрактальнымии множествами. Поэтому в работах [13, 14, 30] изложен новый подход аппроксимации алгебраическими и аналитическими множествами. Такие множества в общем случае уже не являются гладкими многообразиями и могут содержать сингулярные точки.

В работах [13, 14] и в других работах тех же авторов рассмотрены эволюционные системы в линейных (конечномерных и бесконечномерных) пространствах.

Первые результаты распространения этих результатов на системы, заданные на многообразиях, изложены в [28, 34]. В частности, в [26] описана возможность стратификации алгебраических множеств. В данной работе эти исследования продолжаются.

Цель и задачи работы. Целью работы является расширение результатов, полученных Фояшем и Темамом (см. [13]), в двух направлениях. Первое направление — получение аппроксимационной теоремы для динамических систем с дискретным временем на Rn, второе направление — получение результатов, позволяющих аппроксимировать динамические системы, заданные на многообразии.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертационной работе, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные аппроксимационные результаты могут быть использованы для изучения аттракторов, возникающих при моделировании различных физических систем.

Методология и методы исследования. В работе применяются:

— элементы теории аналитических и алгебраических функций и множеств;

— аппарат проективной геометрии для аппроксимации аттрактора;

— цилиндрическая алгебраическая декомпозиция как метод стратификации;

— численные аппроксимации, а также символьные вычисления, выполне-ные в пакете Wolfram Mathematica.

Положения, выносимые на защиту.

1. Получена адаптация для систем с дискретным временем аппроксима-ционной теоремы Фояша-Темама (см. [13]).

2. Получено интегральное представление точки, лежащей на глобальном аттракторе динамической системы, заданной на проективном многообразии.

3. Предложен алгоритм построения стратификации алгебраического множества в двумерном евклидовом пространстве на основе цилиндрической алгебраической аппроксимации.

Степень достоверности и апробация результатов. Правильность адаптации для динамических систем с дискретным временем аппроксима-ционной теоремы Фояша-Темама подтверждается численным экспериментом, проведенным для аппроксимации глобального аттрактора системы Хенона (см. [19]). Правильность работы алгоритма стратификации алгебраического множества подтверждается экспериментом, в ходе которого реализация предложенного алгоритма на языке Wolfram Mathematica применяется к двум алгебраическим множествам, в том числе к алгебраической аппроксимации аттрактора системы Хенона.

Публикации на тему диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 печатных работах (см. [24, 26, 33, 34]), в том числе в двух статьях. Статьи [24,34] опубликованы в изданиях, индексируемых системой Scopus.

Вклад диссертанта в совместные работы. В работе [26] соавторам принадлежит постановка задачи, а также текст, диссертанту принадлежат теоретические результаты. В работе [34] первому соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи, второму соавтору принадлежит численное моделирование, а также изложение оригинальной теоремы Фояша-Темама, диссертанту принадлежат теоретические результаты. В работе [24] первому соавтору (научному руководителю) принадлежит постановка задачи, второму соавтору принадлежат результаты, касающиеся оценки размерности, диссертанту принадлежит алгоритм стратификации.

Структура работы. В первой главе мы даем основные определения из теории динамических систем в метрических пространствах. Далее в этой главе изложено доказательство теоремы Фояша-Темама для того, чтобы в дальнейших ее модификациях ссылаться на данное доказательство. Также приведен

пример применения данной теоремы к системе Лоренца. Основным результатом первой главы является модификация теоремы Фояша-Темама для динамических систем с дискретным временем, а также применение данной модификации к аппроксимации глобального Б-аттрактора системы Хенона (см. [19]).

Вторая глава посвящена рассмотрению динамических систем на многообразиях. В начале главы мы напоминаем вкратце основные определения, связанные с этой темой, после чего рассматриваем один из простейших случаев многообразия - плоский цилиндр для того, чтобы дать конкретный пример многообразия, которое может выступать в качестве фазового пространства. Далее мы приводим основные определения, связанные с проективным многообразием, а также приводим пример доопределения динамической системы, заданной на до системы, заданной на проективном многообразии. Основным результатом данной главы является интегральное представление точки, лежащей на аттракторе аналогичное тому, что встречается в оригинальной теореме Фояша-Темама. Также во второй главе мы рассматриваем модификацию теоремы Фояша-Темама для случая, когда аттрактор находится на многообразии внутри области определения единственной карты.

В третьей главе мы рассматриваем некоторые вопросы, связанные со стратификацией: даем основные определения, рассматриваем примеры стратификации. Основной результат данной главы - алгоритм стратификации для случая алгебраического множества, лежащего в К2.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 78 страниц, включая 9 рисунков. Список литературы содержит 47 наименований.

Глава 1. Аппроксимация глобальных Б-аттракторов динамических систем в конечномерном линейном пространстве

В начале главы мы напомним вкратце некоторые основные понятия теории динамических систем. Более подробно об объектах, описанных здесь, можно почитать, например, в работах [9,11]. Затем введем понятие алгебраических множеств, после чего приведем две аппроксимационные теоремы: теорему Фояша-Темама об аппроксимации для систем с непрерывным временем, приведенную в статье [13], а также полученную нами модификацию этой теоремы для случая систем с дискретным временем. Теорему Фояша-Темама мы приводим с доказательством для того, чтобы в дальнейшем было удобно ссылаться на данное доказательство в наших собственных модификациях этой теоремы.

1.1 Основные понятия теории динамических систем

Введем в соответствии с [9,11] понятие динамической системы на метрическом пространстве, которое будем использовать на протяжении всей работы.

Определение 1.1. Пусть (М, р) - полное метрическое пространство. Пусть т Е {к, ж, ж+} и задано семейство отображений {ф^ЕТ, для которых выполняются следующие условия:

1. фt : М ^ М для любых £ Е т и ф° =

2. = фt о фв для любых Ь,8 Е т;

3. При т Е {к, к+} отображение ф : т х М ^ М является непрерывным по обоим своим аргументам; при т Е {ж, ж+} отображение фt : М ^ М непрерывно для любого £ Е т.

Тогда пара ({ф^ЕТ, (М, р)) называется динамической системой. Пространство (М, р) называется фазовым пространством. Динамические системы, у которых т Е {к, к+}, называются системами с непрерывным временем; системы, у которых т Е {ж, Ъ+}, называются системами с дискретным временем.

Определение 1.2. Пусть имеется динамическая система

({ф'Ьт, (М, р)). (1.1)

Множество Л С М называется глобально В-притягивающим для (1.1) если Л притягивает все ограниченные множества из М, т.е.

dist^(B),Л) ^ 0 (1.2)

для всех ограниченных множеств В С М при t ^ ж, где для любых непустых Zi, Z'i С М

dist(^i,Z2) = sup inf р(u,v). (1.3)

ueZ1

Если множество Л ограниченно, то система (1.1) называется В-диссипативной.

Определение 1.3. Множество Л называется инвариантным множеством для динамической системы (1.1), если для любого t Е t верно, что фг(Л) = Л.

Основными объектами, изучаемыми в данной работе, являются глобальные В-аттракторы, которые мы понимаем в том же смысле, что и в [11].

Определение 1.4. Множество Л С М называется глобальным В-аттрактором для динамической системы (1.1), если выполнено:

1. Л замкнуто и ограничено;

2. Л инвариантно для системы (1.1);

3. Л является глобально В-притягивающим множеством системы (1.1).

Также нам понадобится понятие состояния равновесия динамической системы.

Определение 1.5. Точка р Е М является состоянием равновесия для динамической системы (1.1) если для любого t Е t верно, что фг(р) = р.

Приведем теорему из [4], которая устанавливает связь между состояниями равновесия и глобальным В-аттрактором.

Теорема 1.1. Пусть у В-диссипативной динамической системы, заданной уравнением (1.1), где t = R, имеется конечное количество состояний равновесия {pi\i = 1,2,...,N, N Е n}. Тогда данная система имеет глобальный В-аттрактор

Л = Uhw и(рi), (1.4)

где Wu(p) = {q Е М\фг(д) ^ p,t ^ -ж}.

1.2 Оригинальная теорема Фояша-Темама

Введем понятие алгебраического множества. Для описания алгебраических множеств мы используем представление, основанное на идеалах многочленов. Напомним вкратце некоторые понятия из алгебры, которые понадобятся для введения такого представления. Идеалом 3 над кольцом Я называется подмножество элементов Я, удовлетворяющих условиям:

1. а Е ^^ аЬ Е 3,УЬ Е Я;

2. а,Ь Е ^^ а + Ь Е 3.

Пусть Я - кольцо. Кольцом многочленов над Я от т переменных называется множество

Я[г1,...,гт] := { ^ ааг>а Е Я, к Е n и {0}},

|а|<к

где

т

а = (ах,а2,..., От); аьа2,...,От Е n и {0}; га = г%2,...,гтт; |а| = ^ а.

1=1

Пусть имеется идеал 3 в кольце многочленов над . Алгебраическим множеством ) называется множество {и Е | Р(и) = 0 УР Е Далее, идеал 3 в кольце Я называется конечнопорожденным, если он представим в виде

3 = Яа,1 + Яа-2 + ... + Яаи,

где к Е n а1,...,ак Е Я. Под ЯЬ, где Ь Е Я, подразумевается множество {а Е Я|За* Е Я : а = а*6}, а под ЯЬ + Яс, где Ь,с Е Я, подразумевается множество {а Е Я|З6* Е ЯЬ, Зс* Е Яс : а = Ь* + с*}. Кольца, в которых все идеалы конечнопорожденные, называются нетеровыми. Хорошо известная теорема Гильберта о базисе (см. [15]) утверждает, что кольцо многочленов над нетеровым кольцом нетерово. — нетерово кольцо, поэтому, в соответствии с теоремой Гильберта, алгебраическое множество может быть переписано как

у„( а) = к(г>]Р1 + шп[и]Р2 +... + шп[и]рк)

= {и Е ЩР^и) =0,1 = 1,2, ...,к} =: У„ (А,... ,Рк),

где Шп[и] — кольцо многочленов п переменных над а Р{,г = 1,..,к -многочлены п переменных над Преимуществом алгебраических множеств

является, в частности, легкость их моделирования на компьютере, а также возможность производить стратификацию Уитни для них, о чем более подробно написано в гл. 3.

Теперь перейдем непосредственно к описанию схемы доказательства теоремы Фояша-Темама. Рассмотрим дифференциальное уравнение

и = ^ (и), (1.5)

где Г - вещественно аналитическое отображение, Г : ^

Теорема Пикара-Линделефа утверждает, что уравнение (1.5) имеет локальное

аналитическое решение для любых начальных данных

м(0) = и0.

Понятно, что динамическая система, порожденная таким дифференциальным уравнением, является частным случаем (1.1).

Будем рассматривать уравнения следующего вида (это позволит не загромождать доказательство техническими деталями и сосредоточиться на общей схеме):

и + Аи + Я(и) = 0, (1.6)

где А - симметричная положительно определенная п х п матрица, а

Я(и) = Я0 + Я! (и) + Я2(и,и),

где Я0 - вектор из Я! : ^ - линейный оператор, а Я2 - билинейная форма на В описанный выше класс уравнений входят уравнения Лоренца и Ресслера, а также многие другие классические дифференциальные уравнения, задающие Б-диссипативные динамические системы и динамические системы с инвариантным множеством.

Ценой некоторого технического усложнения доказательства можно рассматривать в качестве Я вещественно аналитическое отображение (см. [13]).

Для Я\ и Я2 существуют положительные константы с! и с2 такие, что:

р!(и)\\ < С1\\и\\ Уи е \\Я2(и,у)|| < с2\\п\\\Н\ Уи,у е

Из вещественной аналитичности отображения Я по переменной и следует существование решения и(С) для любых начальных данных м(0) = и0, областью определения которого является некоторая полоска О:

П:= {С е с| шах{-6о, - Ие С] < 1т С < шт{6о, Ие С}}, (1.7)

где 60 > 0 — некая константа. Можно доказать, что существует такое 6о, что решение и аналитично в П и ограничено:

KZ)|| < Мо,vz g п.

Получаем следующую оценку:

||Я(«(0)|| ^ Ко,

где

Ко := ||Яо|| + сгМо + С2М2, VZ G П.

Пусть также динамическая система, порожденная (1.5), имеет глобальный Б-аттрактор Л.. Рассмотрим произвольную точку и* на Л.. Поскольку и* принадлежит некоторой орбите и = u(t),t G r, не умаляя общности можно считать, что

и* = и(0).

Как показано выше, функция t ^ u(t) может быть расширена на часть комплексной плоскости по аналитичности. Проинтегрировав (1.6), имеем:

Г о

u(t) = e-Ätu(0) +J e(r-t)ÄR(u(T))dT. (1.8)

Нас интересует интегральное представление точки м(0), поэтому перепишем (1.8) так:

Г о

и(0) = etAu(t) - J erÄR(u(T))dT. Рассмотрим теперь следующее предельное соотношение:

Г о

lim м(0) = lim (etAu(t) - erAR(u(T))dT).

t^—TO t^—TO J_I_

Поскольку и ограничена, а матрица А положительно определена, имеем

г о

и(0) = — erÄR(u(T))dT. (1.9)

J —TO

Пусть Л — некоторое собственное значение матрицы А. Поскольку матрица А положительно определена, любое ее собственное число вещественно. Обозначим

через п проектор в на подпространство, натянутое на собственные вектора матрицы А, соответствующие собственным числам, превышающим Л. Введем следующее обозначение:

п) := пи Уи е

Применив проектор п к уравнению (1.6) и, учитывая, что п является линейным оператором, а значит коммутативен с А, получим:

гЬ + Аи) + пЯ(и) = 0.

Введем в уравнение коэффициент к. Данный коэффициент мы будем изменять в дальнейшем для того, чтобы получить некоторые оценки.

гЪ + (А + к!- к'ш + пЯ(и) = 0.

Проинтегрировав полученное уравнение и перейдя к пределу аналогично тому, как мы это делали для того, чтобы получить уравнение (1.9), получим следующую формулу:

Г 0

Ц0) = - ет(А+к1)ы(пЯ{и{т)) - ки)(т))(1т.

О -ТО

Для того, чтобы получить аппроксимацию аттрактора алгебраическим множеством, достаточно приблизить правую часть неким полиномиальным отображением с аргументом и>(0), причем коэффициенты данного отображения не должны зависеть от и>(0).

Начнем с разбиения интеграла справа на два других: один по интервалу (—то, -6), а другой по оставшемуся (-6,0). Рассмотрим и оценим первый из них.

-6 г-6

<

ет(А+Ы)п(пЯ(и(т)) - Ьш(т))йт < / ет(Л+к)(^0 + кМо)ё,т

о -то

< (Л + к)-1(Ко + Шо)е-6(Л+к). Мы использовали операторную оценку

< е(Л+к)т

ет(А+к1 )п

ор

а также оценку функции Я на множестве

Таким образом, для любого £ > 0 надется такое к, что

ы(0) - (-у ет(л+к1)п(пЯ(и(т)) - кш(т)^т) < £. (1.10)

Преобразуем интеграл в (1.10). Разобъем его на два: один, зависящий полиномиально от м(0), и второй, который можно сделать сколь угодно малым по норме при помощи выбора N и к. Для этого сначала воспользуемся аналитичностью отображения и и разложим его в ряд:

т

м(т) = Е л и(1)(0), 1=0

данное равенство верно в окрестности |т| < 60, поэтому возьмем 6 < 60. Рассмотрим теперь частичные суммы:

N I т

и» (т) = Т,т и{1)(°)■

1=0

Можно заметить, что величины щ := и(1\0),1 = 0,...,М являются значениями полиномиальных отображений от и0 = и(0). Действительно, последовательно дифференцируя исходное уравнение, мы каждый раз получаем, что щ выражается через полиномиальное отображение от Щ-\, и1-2,...,и0, таким образом, щ зависит полиномиально от и0.

Аналогичные рассуждения верны для величин // = /(1\0) = (Я о и)(1\0), кроме того, заметим, что /0 полиномиально выражается через и0 с помощью исходного уравнения, следовательно величины // также полиномиально зависят от и0.

Таким образом, мы теперь научились приближать функции и(т) и /(т) величинами, которые полиномиально выражаются через и0. Запишем это следующим образом:

п 0 п 0

I ет(л+к1)п(пЯ(и(т)) - кш(т))йт = - ет(л+к1)пп(/(т) - ки(т))(1т = -0

I ет(А+к1)пп(/м(т) - ким(т))йт I § ет(л+к1)пп(/(т) - (т) + ким(т) - ки(т))йт.

Используя формулу Коши и аналитичность и на можно показать, что интеграл

Г 0

-у § е<А+к1Ы1 (т) - (т) + ки„ (т) - ки(т))<!т

можно сделать сколь угодно малым по норме, выбрав N и к достаточно большими, причем верхняя граница нормы данного интеграла зависит только от к, 5, К0, М0, Л (подробнее об этом написано в [13]). Перейдем к интегралу

Г о

§ ет(А+к1Ы/м(т) - киКШт.

Запишем его в следующем виде:

Г0 N

/ ет(А+к1)пп(/м(т) - киКШт 3/п(^(0) - ки(1\0)), (1.11) -]-Ь 1=0

где

Г0 т/

^ = ет(А+к1 ¿т. Интегрируем его по частям и получаем:

5/-=

Заметим, что первое из этих слагаемых легко можно сделать сколь угодно малым по норме, выбрав подходящее к, второе является линейным оператором и легко вычисляется с помощью символьных вычислений на компьютере. Покажем, как вычисляется полиномиальная зависимость щ и // от величины и0. Последовательными дифференцированиями уравнения (1.6) получаем:

щ = -Аи0 - Я(и0), и2 = -Ащ - Я1(и1) - Я2(щ,и0) - Я2(и0,щ), из = -Ащ - Я\(щ) - Я2(щ,щ) - 2Я2(щ,и\) - Я2(щ,щ) и т.д..

Далее зависимость ясна: при вычислении и/ аргументом Я1 является и/-1, сумма индексов аргументов Я2 в выражении для и/ равна I - 1, а коэффициенты при Я2 - биномиальные. Точно так же для // имеем

¡0 = Я(щ), f1 = Яг(щ) + Я2(щ,щ) + Я2(щ,щ), ¡2 = Я\(и2) + Я2(и2,щ) + 2Я2(и\,щ) + Я2(щ,щ) и т.д..

Я = (-1)/+1 ((А + к)п)-/-1 + е~5(А+к1)п ((А + к!)п)-~1.

Теперь введем обозначение

(щ) = 31 п(/1 - кщ). В силу (1.11) получим, что для любого £ > 0 найдутся к,Ы такие, что

N

\\пи0 МП < £■ (1.12)

/=0

Таким образом, каждая точка аттрактора и0 может быть приближена корнем некоторого полинома. Корректность и сходимость вышеуказанных допущений и процедур устанавливает теорема.

Теорема 1.2. Пусть у системы, порожденной дифференциальным уравнением (1.6), есть глобальный В-аттрактор Л С Тогда для любого £ > 0 существуют к ^ 0 и N Е n такие, что

N

< £, Ущ Е А.

пи* Л*(и*) 1=0

Полное доказательство теоремы приведено в [13]. Таким образом, мы получили аппроксимацию Л алгебраическим множеством

N

{и Е - ^ (и) = 0}. (1.13)

/=0

Заметим, что доказательство не использует свойства притяжения аттрактором траекторий вблизи себя, а только его компактность и инвариантность, поэтому теорема верна и для систем, обладающих инвариантным компактным множеством.

1.3 Система Лоренца

В качестве практического примера применения теоремы Фояша-Темама рассмотрим аппроксимацию аттрактора системы Лоренца (см. [31]). Эта система описывается следующими уравнениями:

и1 + аи1 - аи2 = 0, < и2 + и2 + и1и3 = 0, (1.14)

и3 + Ьи3 - и1и2 + Ьг = 0,

где а > 0,Ь > 0 и г > 0 - константы. Обозначим через глобаль-

ный поток, порожденный системой (1.14) в к3. Тогда для каждого щ = (м1(0), и2(0), и;3(0)) Е к3 решение и(1,и0) уравнения (1.14), начинающееся в точке и0 при Ь = 0, задано как и(Ь,й0) = ^(щ)^ Е к. Хорошо известно (см. [11]), что эта динамическая система имеет глобальный В-аттрактор Л.. Для некоторых положительных параметров а, г и Ь этот аттрактор - фрактальное множество, т.е. его размерность Хаусдорфа больше, чем топологическая размерность. Перепишем систему (1.14), используя новую переменную £ = и1 - и2. Тогда имеем систему

£ + а£ - (£ + и2)и3 = 0,

< и2 + и2 + (£ + и2)и3 = 0,

и3 + Ьи3 - (£ + и2)и2 + Ьг = 0

с положительно определенной матрицей А

А =

а00 0 1 0 ^0 0 Ь)

В качестве Л возьмем а = 10, соответственно проектор стал проектором на первую координату. Очевидно

0

Яп =

0

(-и2\

, Я1(и) =

\Ьг /

0

/-(£ + и2)и3\

, Ыи) =

0

(£ + и2)и3 {-(£ + и2)и2)

где и = (£,и2,и3). Проведем ее аппроксимацию при классических параметрах а = 10, Ь = 8/3, г = 28. В статье [13] авторы строят первые несколько многочленов, аппроксимирующие аттрактор, сделаем это в данной работе с помощью символьных вычислений на ЫаНаЬ. Тогда, например, 4-й аппроксимирующий многочлен выглядит следующим образом: 2.88016315393237*^ -2.0010612729* и2 - 2.001715671 * и3 + 0.000021185 * и3 * ((61 * и1)/25 - (21289 * и2)/1375 - (82167 * и3)/2750 + (61 * и1 * и3)/25 + 61/125) - 0.000014919 * (и1 * и3 - (57 * и3)/10 + 1/5) * ((61 * и1)/25 - (21289 * и2)/1375 - (82167 * и3)/2750 + (61 * и1 * и3)/25+ 61/125) + 0.0000149194427 * ((61 * и2)/25 + (61 * и3)/25) * ((57 * и1 * и3 )/10 - (3249 * м3)/100 -и1 * (и1 * и3 - (57 * и3)/10 + 1/5) + (25 * и3 * ((61 * и2)/25 + (61 * и3)/25))/11 + 57/50)+ 0.00010776845 * и1 * и3 + 0.0000175098 * и1 * (и1 * и3 - (57 * и3)/10 + 1/5) +

0.000004973147591 *ад3 * ((21289 * и1 )/1375 - (6406586 * и2)/75625 - (78081769 * ад3)/302500 + (82167 *и1 * ад3)/2750 - (61 *и1 * (и1 *ад3 - (57 * и3)/10 + 1/5))/25 + (61 * и3 * ((61 * и2)/25 + (61 * и3)/25))/11 + 82167/13750) - 0.0000021881849 * и1 * ((185193 * и3)/1000 + (25 *и3 * ((61 * и1)/25 - (21289 * и2)/1375 - (82167 * п3)/2750 + (61 * и1 * и3)/25 + 61/125))/11 - (3249 * и1 * ад3)/100 + (57 * и1 * (и1 * и3 -(57 * и3 )/10 + 1/5))/10 + и1 * ((57 * и1 * и3)/10 - (3249 *ад3)/100 - и1 * (и1 *ад3 - (57 * ад3)/10 + 1/5) + (25 *ад3 * ((61 * ад2)/25 + (61 *ад3)/25))/11+ 57/50) - (285 * и3 * ((61 * ад2)/25 + (61 * ад3)/25))/22 + (50 * ((61 * ад2)/25 + (61 * ад3)/25) * (ад1 * и3 - (57 * ад3)/10 + 1/5))/11 - 3249/500)+0.00000932166784 * ад1 * ((57 * ад1 * ад3)/10 - (3249 * ад3)/100 -ад1 * (ад1 * ад3 - (57 * ад3)/10 + 1/5) + (25 * ад3 * ((61 * ад2)/25 + (61 * ад3)/25))/11 + 57/50) - 0.00003979512589 *ад3 * ((61 * ад2)/25 + (61 * ад3)/25) +0.00004237121748 * ((61 * ад2)/25 + (61 * ад3)/25) * (ад1 *ад3 - (57 *ад3)/10 + 1 /5) + 0.000021553691049.

Для аттрактора Лоренца аппроксимации для N = 1,...,5,к = 10 из теоремы 1.2 показаны на рисунках 1.1а-1.1д.

1.4 Метод Фояша-Темама для дискретных систем

Пусть имеется функция / : ^ совпадающая со своим рядом Тейлора в некоторой окрестности Вг(ад0) точки ад0 Е Тогда / называется вещественно аналитической функцией в этой окрестности. Величина

вир{г > 0|/ вещественно аналитическая в Вг(ад0)}

называется радиусом аналитичности / в ад0.

Рассмотрим дискретную динамическую систему, заданную отображением

адг+1 = ^(адг),1 Е Ж, (1.15)

где

^(ад) = -Аад - Я(ад),ад Е

и выполнены следующие свойства:

(А1) у системы (1.15) существует глобальный В-аттрактор Л. Пусть этот

аттрактор содержится в множестве ВГ1 (ад 1), г1 > 0,ад1 Е (А2) А : ^ - линейный симметричный оператор;

(А3) ^ обратимо;

(А4) Р-1 - отображение, которое является вещественно аналитическим в шаре ВГ1 (V1);

(А5) Я : кп ^ кп - отображение, которое является вещественно аналитическим в точке у2 с радиусом сходимости г2 > 0 таким, что ^-(Вп(у1)) сВг2(у2), где 1е м;

(А6) пусть \1, Л2,..., Лп — собственные числа А, при этом ^ 1Л21 ^ ... ^ |ЛП|, тогда |ЛП| < 1;

Наша задача, как и ранее - аппроксимировать этот аттрактор с любой заданной точностью с помошью алгебраических множеств.

Для того, чтобы формулировка нижеприведенной аппроксимационной теоремы не была слишком громоздкой, введем предварительно несколько объектов. Пусть имеется вещественно аналитическая функция /. Обозначим через /(•,у, N), N Е n функцию, функции-координаты которой определены фрагментами длины N разложения в ряд Тейлора в точке у соответствующих функций координат / (использована нотация Эйнштейна для суммирования, где пределы суммирования от 1 до п):

Г(и,у, N) = />) + дпГ(у)(и?1 - V?1) + д]2Г(у)(и?1 - V?1 )(и?1 - V?2) + ...+

(1.16)

+-^дпдп..^Г(у)(и?1 - ^)(и* - V*)...(и^ - ^),

где % = 1,2,...,п, точка и = (и1 ,и2, ...,ип) из шара сходимости Вг(у), г > 0,у = (у1, у2,..., Уп) функции /. Далее, пусть т - минимальное натуральное число такое, что |Л т+11 < 1, а пт — проектор на линейное подпространство кп, порожденное собственными векторами, соответствующими собственным числам матрицы А Лт+1,..., Лп. Определим для любых N,L,M Е м,и € кп при фиксированных у1, у2 Е кп формальные суммы

(и) := (-1)" (птА)1Уи-Н + (1.17)

N

+ £(-1)'(ПтА)1-1 Я^(и)),

1=1

(и) := (-1^ (ПтА)NU-N +

N

+ ^(-1)(ПтА)1-1 Я(Р - (и, У1^), У 2, М ),

=1

где и-^ = (К г)м(и). Теперь приведем формулировку аппроксимационной теоремы.

Теорема 1.3. Пусть имеется динамическая система (1.15), для которой выполняются условия (Л1)-(Л6).

Тогда для любого £ > 0 найдутся натуральные Ы,Ь,М Е n такие, что для любого и* Е А, где А—глобальный В-аттрактор системы (1.15), выполняется

пти* - Зк,ь,м (и*)

< £.

Доказательство. Схема доказательства сходна с той, что мы использовали в случае систем с непрерывным временем. Перепишем систему (1.15) в виде

щ+1 = -Ащ - Я(щ),г Е ж. (1.18)

Как и ранее, рассмотрим точку и* Е Л.. Поскольку она принадлежит некоторой орбите, можно считать, что и* = и0. Применим проектор пт к системе (1.18)

+ + птЯ(щ) = 0, (1.19)

где "Шг := птщ. В силу (1.18) имеем

■Ш0 = -(птА)и-1 - птЯ(и-1) =

= (птА)2и-2 + (птА)Я(и-2) - птЯ(и_1) = = -(птА)3и-3 - (птА)2Я(и-3) + (птА)Я(и-2) - Я(и_1) =

г-1

(-1)г(птА)ги-1 + ^(-1У (птЛ)1~1Я(и-1),

1=1

где Ь Е n \ {1}. Итак, имеем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Малых Артем Евгеньевич, 2018 год

Список литературы

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Ижевская республиканская типография, 2000. — 368 с.

2. Амелькин В.В., Садовский В.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. — Минск: Вышейшая школа, 1982. — 272 с.

3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. — М.: Ижевск, 2002. — 848 с.

4. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. — М.: Наука, 1989. — 293 с.

5. Бойченко В.А, Леонов Г.А. Об оценках размерности аттрактора отображения Хенона. // Вестн. С-Петерб. ун-та. — 2000. — Сер. 1. Вып. 3. — С. 8-13.

6. Леонов Г.А. Функции Ляпунова в теории размерности аттракторов. // Прикладная математика и механика. — 2012. — Вып. 76(2). — С. 180-196.

7. Панков А.А. Ограниченные и почти периодические решения нелинейных дифференциальное операторных уравнений. — Киев: Наукова думка, 1985.

- 181 с.

8. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука, 1985. — 275 с.

9. Райтманн Ф. Динамические системы, аттракторы и оценки их размерности. — СПб.: Издательство СПбГУ, 2013. — 224 с.

10. Arnon D., Collins G., McCallum S. Cylindrical Algebraic Decomposition I: The Basic Algorithm // SIAM J. Comput. — 1984. — Vol. 13, no. 4. — Pp. 865-877.

11. Boichenko V.A., Leonov G.A., Reitmann V. Dimension Theory for Ordinary Differential Equations. Teubner-Texte zur Mathematik. Vieweg+Teubner Verlag, 2005. — 441 p.

12. Foias C., Sell G.R., Temam R. Inertial manifolds for nonlinear evolutionary Equations // Journal of Differential Equations. — 2004. — Vol. 73, no. 2. — Pp. 309-353.

13. Foias C, Temam R. The algebraic approximation of attractors: The finite dimensional case // Physica D Nonlinear Phenomena. — 1988. — Vol. 25, no. 5. — Pp. 163-182.

14. Foias C, Temam R. Approximation of attractors by algebraic or analytic sets. // SIAM Journal on Mathematical Analysis. — 1994. — 25(5) — Pp. 1269-1302.

15. Gatermann K. Computer Algebra Methods for Equivariant Dynamical Systems. — Berlin: Springer-Verlag, 2000 — 162 p.

16. Gauthier J.P., Kupka A.K. Deterministic Observation Theory and Applications. - Cambridge: Cabmbridge University Press, 2001. — 233 p.

17. Gauthier J.P., Kupka A.K. Observability for systems with more outputs than inputs and asymptotic observers // Mathematische Zeitschrift. — 1996. — Vol. 223, no. 1. — Pp. 47-78.

18. Greene J.M., Kim J.S. Introduction of a metric tensor into linearized evolution equations // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1989. — Vol. 36, no. 2. -Pp. 83-91.

19. Henon M.A. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Commun. Math. Phys. — 1976. — Vol. 50, no. 2. — Pp. 69-77.

20. Humphries A.R., Stuart A.M. Runge-Kutta methods for dissipative and gradient dynamical systems. // SIAM J. Num. Anal. — 1994. — Vol. 31. — Pp. 1452-1485.

21. Kalinin Y.N., Reitmann V. Almost periodic solutions in control systems with monotone nonlinearities // Differential Equations and Control Processes. — 2012. — no. 4. — Pp. 40-68.

22. Kaloshin V. The existential hilbert 16-th problem and an estimate for cyclicity of elementary polycycles // Inventiones mathematicae. — 2003. — Vol. 151, no. 3. — Pp. 451-512.

23. Kloeden P.E., Lorenz J. Stable attracting sets in dynamical systems and in their one-step discretizations // SIAM J. Num. Anal. — 1986. — Vol. 23, no. 5. — Pp. 986-995.

24. Kruk A.V., Malykh A.E, Reitmann V. Upper bounds for the Hausdorff dimension and the stratification of an invariant set of an evolution sytem on a Hilbert manifold // Differential Equations. — 2017. — Vol. 53, no. 13 — Pp. 1715 - 1733.

25. Lee J.M. Introduction to Smooth Manifolds. — Springer Science+Business Media, 2003. — 628 p.

26. Leonov G.A, Malykh A.E., Reitmann V. Stratification of approximating surfaces for the Lorenz attractor // Proc. of 4th International Scientific Conference on Physics and Control «PHYSCON 2009». — 2009. — Vol. 1, no. 1 — Pp. 1-4.

27. Leonov G.A, Reitmann V. Attraktoreingrenzung fur Nichtlineare Systeme. -Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 1987. — 196 p.

28. Leonov G.A., Reitmann V. Extensions of Lyapunov's ideas in the algebraic approximation of attractors // Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ - 2007», Санкт-Петербург, Россия. — 2007. — Pp. 486-486.

29. Leonov G.A, Reitmann V., Smirnova V.B. Non-local Methods for Pendulumlike Feedback Systems. — Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 1992. — 242 p.

30. Levine G., Tabor M. Integrating the nonintegrable: analytic structure of the Lorenz system revisited // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1989. — Vol. 33, no. 1. — Pp. 189-210.

31. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // AMS Journal of Atmospheric Sciences. — 1963. — Vol. 20. — Pp. 130-141.

32. Lotka A.J. Elements of Physical Biology. — Philadelphia: Williams & Wilkins Company, 1925. — 460 p.

33. Malykh A.E. Algebraic approximation of global attractors of discrete dynamical systems // CONFERENCE PROCEEDINGS International Student Conference «Science and Progress». — 2011. — Pp. 24-27.

34. Malykh A.E., Reitmann V., Rozhkov G.S. Algebraic approximation of attractors of dynamical systems on manifolds // Differential Equations. — 2013. — Vol. 49, no. 13. — Pp. 1704-1728.

35. Milnor J.W. Singular Points of Complex Hypersurfaces. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1968. — 122 p.

36. Mostowski T., Rannou R. Complexity of the computation of the canonical Whitney stratification of an algebraic set in cn // AAECC-9 Proceedings of the 9th International Simposium on Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes. — 1991. — Pp. 281-291.

37. Popov S., Reitmann V. Frequency domain conditions for finite-dimensional projectors and determining observations for the set of amenable solutions // Discrete and Continious Dynamical Systems - Series A. — 2014. — Vol. 34, no. 1. — Pp. 249-267.

38. Retimann V. Introduction to Dynamical Systems. Lectures Course. - Technical University Dresden, 1995.

39. Retimann V., Kantz H. Generic analytical embedding methods for nonstationary systems based on control theory // Proc. of International Conference on Physics and Control «PHYSCON 2005». St. Petersburg. — 2005.

- Pp. 425-428.

40. Shiota M. Geometry of Subanalytic and Semialgebraic Sets. — New York: Springer Science & Business Media, 2012. — 434 p.

41. Sontag E.D. On the Observability of Polynomial Systems, I: Finite-Time Problems // SIAM J. Control Optim.. — 1979. — Vol. 17, no. 1. — Pp. 139-151.

42. Sussmann H.J. Single-input observability of continuous-time systems. // Mathematical Systems Theory. — 1978. — Vol. 12, no. 1. — Pp. 371-393.

43. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Proc. of the Symposium on Dynamical Systems and Turbulence; Lecture Notes in Mathematics. — 1981.

- Vol. 898. — Pp. 366-381.

44. Volterra V. Variations and fluctuations of the number of individuals in animal species living together. // J. Cons. int. Explor. Mer.. — 1928. — Vol. 3, no. 1.

- Pp. 3-51.

45. Whitney H. Hassler Whitney Collected Papers Volume I. — Boston: Birkhauser Boston, 1992. — 592 p.

46. Whitney H. Tangents to an analytic variety // Ann. Math. — 1965. — Vol. 81, no. 2. — Pp. 496-549.

47. Whitney H. Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets // Transactions of the American Mathematical Society. — 1992. — Vol. 36. -Pp. 228-254.