Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Даниярова, Эвелина Юрьевна

• Даниярова, Эвелина Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Даниярова, Эвелина Юрьевна

Введение

1. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1.1. Предварительные сведения о метабелевых алгебрах Ли

1.1.1. Определение метабелевой алгебры Ли

1.1.2. Определение радикала Фиттинга

1.1.3. Структура модуля на радикале Фиттинга

1.1.4. и-алгебры

1.1.5. Система порождающих элементов и определяющих соотношений

1.1.6. Расширения метабелевых алгебр Ли

1.1.7. Расширения радикала Фиттинга

1.1.8. Прямые суммы метабелевых алгебр Ли

1.1.9. Модульная структура на радикале Фиттинга прямой суммы метабелевых алгебр Ли

1.1.10. Матричные метабелевы алгебры Ли

1.2. Элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли

1.2.1. Категория -алгебр Ли

1.2.2. Логический язык категории А -алгебр Ли

1.2.3. Основные понятия алгебраической геометрии

1.2.4. Категория алгебраических множеств и категория координатных алгебр

1.2.5. Теорема об эквивалентности категории алгебраических множеств и категории координатных алгебр

1.2.6. Топология Зариского

1.2.7. Нетеровы по уравнениям алгебры

1.2.8. Универсальные классы

1.2.9. Логический аспект алгебраической геометрии в нетеровом случае . 68 1.3. Свободная метабелева алгебра Ли

1.3.1. Канонический базис свободной метабелевой алгебры Ли

1.3.2. Решение уравнений над алгеброй ^

1.3.3. Примеры алгебраических множеств над алгеброй

1.3.4. Категория Рг -алгебр

1.3.5. /7 -11-алгебры со свойствами и-1, И

2. КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА

2.1. (¿-идеалы

2.1.1. Л и нейные идеалы

2.1.2. (¿-идеалы

2.1.3. Линейные гомоморфизмы

2.2. (¿-модули

2.2.1. Определение, свойства и примеры (^-модулей

2.2.2. Структура (¿-модуля: примарное разложение

2.2.3. Изолированные (¿-модули

2.2.4. Вырожденные (^-модули

2.2.5. Системы модульных уравнений

3.МЕТАБЕЛЕВЫ 0-АЛГЕБРЫ ЛИ

3.1. (¿-алгебры

3.1.1. Определение и свойства алгебр

3.1.2. Примарное разложение О-алгебр

3.2. /^-(¿-алгебры

3.2.1. Fr -Q-алгебры со свойствами Q-l, Q-2, Q

3.2.2. Примарное разложение F-Q-алгебр.

3.2.3. ^-гомоморфизмы

3.2.4. Пример Fr -Q-алгебры со свойствами Q-l, Q-2, Q

4. АКСИОМЫ

4.1. Универсальные аксиомы в языке первой ступени теории алгебр Ли

4.1.1. Аксиоматика Q-алгебр

4.1.2. Аксиоматика U-алгебр

4.1.3. Случай бесконечного поля .'.

4.2. Квазиэквациональная теория алгебры Fr

4.3. Универсальная теория алгебры Fr

5. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

5.1. Координатные алгебры над Fr

5.1.1. Классификация координатных алгебр над Fr

5.1.2. Классификация неприводимых координатных алгебр над Fr

5.2. Алгоритмические проблемы

5.3. Алгебраические множества над Fr

5.3.1. Классификация неприводимых алгебраических множеств над алгеброй Fr

5.3.2. Произвольные алгебраические множества над Fr

5.3.2. Классификация алгебраических множеств в размерности один

5.3.3. Размерность

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли»

Многие связи между подмножествами элементов фиксированной алгебраической системы А можно выразить на языке систем алгебраических уравнений над А . В классическом случае, когда А является полем, раздел математики, изучающий такого рода связи, называется алгебраической геометрией.

Становление алгебраической геометрии над полем вещественных чисел относят к XVII веку, когда в геометрию было введено понятие координат, позволившее рассматривать геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют алгебраическим соотношениям. Так, в геометрии на плоскости основным объектом алгебраической геометрии является плоская аффинная алгебраическая кривая -множество, заданное уравнением f(x,y) = 0, где / - многочлен от координат х и у, не являющийся константой. Кривые характеризуются в зависимости от их порядка, равного минимальной степени многочлена f(x,y) , задающего данную кривую. Для случая поля вещественных чисел существует классификация кривых первого, второго и третьего порядков. Основным объектом алгебраической геометрии в трехмерном вещественном пространстве является алгебраическая поверхность, то есть множество, заданное уравнением g(x,y,z) = 0 , где g - многочлен от координат х, у и z.

Изучение алгебраических кривых и поверхностей с неизбежностью привело > к «комплексификации координат». С начала XVIII века алгебраическим уравнениям сопоставляют множества комплексных решений, а затем и приходят к рассмотрению уравнений с комплексными коэффициентами. Изучение алгебраической геометрии над полем комплексных чисел привело к значительному развитию технического аппарата и теоретических оснований алгебраической геометрии. Так, например, обобщением понятий алгебраической кривой и алгебраической поверхности стало понятие алгебраического многообразия, то есть решения системы алгебраических уравнений от конечного числа переменных; среди алгебраических многообразий выделяют неприводимые; на многообразиях определяют рациональные функции, а между многообразиями -рациональные и бирациональные отображения; вводят понятия проективных и квазипроективных многообразий, понятие размерности многообразия и т. д. Оказалось, что большинство полученных на этом пути результатов не используют топологию поля комплексных чисел и могут быть интерпретированы для произвольного алгебраически замкнутого поля.

Алгебраическая геометрия над алгебраически замкнутым полем является наиболее простым случаем. В частности, здесь получена классификация алгебраических кривых и неособых проективных поверхностей в заданном классе бирациональной эквивалентности. Однако вскоре было замечено, что недостаточно ограничиться только алгебраически замкнутыми полями. В начале 20 века в работах А. Вейля, Зариского, Б. Л. Ван дер Вардена, Э. Нетер и других понятие алгебраической геометрии было обобщено на случай произвольного поля. Нагата пошел дальше, развив основания алгебраической геометрии над дедекиндовыми областями.

Ведущей проблемой алгебраической геометрии над фиксированным полем является проблема классификации алгебраических многообразий. В наиболее сильной форме она предполагает классификацию всех алгебраических многообразий с точностью до изоморфизма. К сожалению, для конкретных полей эта задача не поддается общему решению, но, тем не менее, она стимулирует изучать теорию, порождает большое количество работ и служит двигателем прогресса в этой области.

С 60-х годов XX века стала активно развиваться алгебраическая геометрия над конечными полями, которая получила применение в алгоритмических задачах теории чисел, например, в методе факторизации чисел.

Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами - это новое направление. На сегодняшний день оно представлено в основном алгебраической геометрией над группами, где получены хорошие результаты. Основы алгебраической геометрии над группами были заложены в работах Г. Баумслага, А. Г. Мясникова, В. Н. Ремесленникова [2] и А. Г. Мясникова, В. Н. Ремесленникова [10], в которых были интерпретированы главные идеи алгебраической геометрии в ее алгебраическом и логическом аспектах для случая групп. Однако предложенная в данных статьях система определений и набор основных результатов могут быть без труда перенесены на произвольную алгебраическую систему (без предикатов). Так, например, в препринте [24] нами были изложены элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли.

Перечислим наиболее яркие успехи алгебраической геометрии над группами. Прежде всего, достаточно хорошо решена основная проблема алгебраической геометрии о классификации координатных групп и алгебраических множеств в случае свободной группы. Дана классификация координатных групп на языке свободных конструкций. Это достигнуто благодаря работам многих специалистов в теории групп, отметим среди них работы Р. Линдона [9], К. И. Аппеля [1], Р. Брайнта [3], Г. С. Маканина [17], А. Разборова

13, 18], В. Н. Ремесленникова [19], Р. И. Григорчука и П. Ф. Курчанова [5], 3. Селы [16],

A. Мясникова, В. Ремесленникова и Д. Сербина [11, 12]. Завершающий результат был получен в замечательных работах О. Харлампович и А. Мясникова [6, 7, 8].

Достаточно серьезные результаты по алгебраической геометрии над свободной метабелевой группой получены в работах О. Шапю [4], В. Н. Ремесленникова [20],

B. Ремесленникова и Р. Штёра [14,15], В. Н. Ремесленникова и Н. С. Романовского [21, 22], В. Н. Ремесленникова и Е. И. Тимошенко [23].

Работа над созданием алгебраической геометрии над алгебрами Ли над полем началась сравнительно недавно. Перед тем, как очертить результаты, полученные в этом направлении, приведем вкратце основные определения и обозначения алгебраической геометрии над алгебрами Ли.

Пусть А - фиксированная алгебра Ли над фиксированным полем к и X = {лг,,.,дгп} - набор неизвестных. Тогда пространство А" называется аффинным «-мерным пространством. Алгебра А[Х] = А * Р(Х), где * - знак свободного лиева произведения алгебр Ли, а Р (Х) - свободная алгебра Ли, порожденная множеством X, называется свободной А -алгеброй, а ее элементы - многочленами. Приравнивая многочлены к нулю, получаем уравнения над алгеброй А . Если / еА[Х], то корнем многочлена / называется любой набор элементов а} ,.,ап е А, для которых /(а],.,ая) = 0. Произвольное подмножество 5с А[Х] называется системой уравнений. Решение У(Я) системы Я - это множество всех точек (а],.,ап)е А", каждая из которых - корень одновременно всех многочленов из системы 5. Множества У(Л') решений систем уравнений называются алгебраическими над алгеброй Ли А. Радикал системы 51 (или алгебраического множества У(5")) - это максимальная система уравнений эквивалентная 5, где эквивалентность систем 5 и 5' определяется равенством У(5) = У(Я'). Координатной алгеброй системы 5 (или алгебраического множества У(5)) называется факторалгебра Г(5) = ДХ^Иас^). Под основной задачей алгебраической геометрии над алгеброй А мы понимаем задачу классификации всех алгебраических множеств над А. Так же, как и в алгебраической геометрии над полем, здесь справедлива теорема об эквивалентности категории алгебраических множеств и категории координатных алгебр. Этот результат является основанием для трех эквивалентных подходов к решению основной задачи алгебраической геометрии над А : • Классификация алгебраических множеств над А;

• Классификация радикальных идеалов алгебры А[X];

• Классификация координатных алгебр над А.

Среди всех алгебр Ли выделяют алгебры нетеровы по уравнениям и области, алгебраическая геометрия над которыми имеет ряд приятных особенностей, связанных с топологией Зариского на аффинном пространстве А". Здесь, как и в классическом случае, топология Зариского определяется через предбазу замкнутых множеств, состоящую из всех алгебраических множеств. Алгебра А называется нетеровой по уравнениям, если любая система уравнений 8 а А[Х] эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме. Любая конечно порожденная метабелева (а также нильпотентная) алгебра Ли является нетеровой по уравнениям.

Алгебраическая нетеровость соответствует нетеровости геометрической, а именно: алгебра А нетерова по уравнениям тогда и только тогда, когда п -мерное аффинное пространство А" нетерово (в топологическом смысле) при всех натуральных п. Алгебраическое множество Кс / называется неприводимым, если оно непредставимо в виде объединения двух собственных замкнутых подмножеств; координатная алгебра неприводимого алгебраического множества называется неприводимой. Справедлива теорема о том, что если алгебра А - нетерова по уравнениям, то любое алгебраическое множество над А представимо в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств, причем такое представление однозначно с точностью до перестановки компонент и откидывания лишних. Таким образом, основная задача алгебраической геометрии над нетеровой по уравнениям алгеброй А разбивается на две подзадачи:

• Классификация неприводимых алгебраических множеств над А ;

• Решение вопроса: когда конечное объединение неприводимых множеств является алгебраическим множеством над А ?

Алгебра Ли А называется областью, если в ней нет делителей нуля, то есть таких ненулевых элементов хеА, для которых существует ненулевой уеА, такой, что идеалы ¡<1 < х > и ¡с1 <^> коммутируют. Полуобластями мы называем алгебры Ли, в которых делители нуля содержатся в том или ином идеале (например, в коммутанте или радикале Фиттинга). Если А - область, то любое пересечение и любое конечное объединение алгебраических множеств над А является алгебраическим множеством, поэтому семейство всех замкнутых в топологии Зариского множеств совпадает с классом всех алгебраических множеств. Свободная алгебра Ли является областью. Любое конечномерное линейное подпространство свободной алгебры Ли является алгебраическим множеством. Алгебраическое множество мы называем ограниченным, если оно по каждой своей координате вмещается в некоторое конечномерное линейное пространство.

В алгебраической геометрии над алгеброй Ли А выделяют три основных аспекта: геометрический (описание алгебраических множеств), алгебраический (классификация координатных алгебр) и логический (описание координатных алгебр на языке теоретико-модельных классов). Так, например, если алгебра А нетерова по уравнениям, то логический аспект выражается теоремой о том, что семейство координатных алгебр над А совпадет с классом конечно порожденных алгебр из квазимногообразия qvar(A), порожденного алгеброй А , а семейство неприводимых координатных алгебр совпадает с классом конечно порожденных алгебр из универсального замыкания ис1( Л), порожденного алгеброй А.

На сегодняшний день накопленные результаты по алгебраической геометрии над алгебрами Ли в основном относятся к двум областям исследований: к алгебраической геометрии над свободной метабелевой алгеброй Ли конечного ранга г надполем & ик алгебраической геометрии над свободной алгеброй Ли Ьг конечного ранга г над полем к. Из полученных здесь результатов и представленных работ перечислим следующие:

1. Построена алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли над конечным полем к. Соответствующая теория и является содержанием данной работы. К этой тематике относятся статьи Э Ю. Данияровой, И. В. Казачкова, В. Н. Ремесленникова [26, 27, 28] и Э. Ю. Данияровой [25]. Главными итогами перечисленных работ является классификация координатных алгебр над ^ и неприводимых координатных алгебр, аксиоматическое описание квазимногообразия и универсального замыкания, порожденных алгеброй Рг, доказательство алгоритмической разрешимости квазиэквациональной и универсальной теории алгебры ^, а также проблемы разрешимости систем уравнений над Ег.

2. Описаны ограниченные алгебраические множества над свободной алгеброй Ли ¡,г над любым полем к и все алгебраические множества в размерности один. В работе Э. Ю. Данияровой и В. Н. Ремесленникова [30] показано, что существует взаимно однозначное соответствие между ограниченными алгебраическими множествами над алгеброй Ьг и алгебраическими множествами над основным полем к. Отсюда следует, что алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли устроена достаточно сложно и включает в себя всю теорию алгебраической геометрии поля к. Оказалось, что результаты работы [30] без изменений перекладываются на случай свободной антикоммутативной алгебры Аг ранга г. Алгебраическая геометрия над алгебрами Ьг и Аг в настоящее время продолжает активно изучаться.

3. Исследованиям областей, полуобластей, делителям нуля в свободных произведениях алгебр Ли посвящены работы И. В. Чиркова и М. А. Шевелина [31] и Э Ю. Данияровой, И. В. Казачкова, В. Н. Ремесленникова [29].

В данной работе мы ставим перед собой задачу определить понятия алгебраической геометрии над алгебрами Ли и построить алгебраическую геометрию над свободной метабелевой алгеброй Ли Ь\ конечного ранга г над полем к, классифицировать координатные алгебры над и неприводимые координатные алгебры. Провести описание данных алгебр разными способами, в том числе, дать аксиоматическое и структурное описание.

В качестве методов исследования использовались теория алгебр Ли, теория моделей и математическая логика, теория коммутативных колец многочленов и модулей над ними, а также алгебраическая геометрия над алгебрами Ли.

Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим некоторые из них в порядке появления в работе:

1) сформулированы основы алгебраической геометрии над алгебрами Ли;

2) построена теория (^-модулей над кольцами многочленов и доказана теорема о примарном разложении (^-модулей в категории (^-модулей;

3) построена теория метабелевых С>-алгебр Ли и доказана теорема о примарном разложении О-алгебр в категории С)-алгебр;

4) получено аксиоматическое описание квазимногообразия, порожденного всеми (¿-алгебрами, и универсального класса, порожденного примарными (¿-алгебрами;

5) найдены рекурсивные списки аксиом, порождающие квазимногообразие

ЯУаг(/^,) и универсальное замыкание ис1(/^) свободной метабелевой алгебры Ли

6) доказана алгоритмическая разрешимость квазиэквациональной и универсальной теорий алгебры Fr\

7) доказана алгоритмическая разрешимость проблемы совместности систем уравнений над алгеброй Fr;

8) описаны неприводимые алгебраические множества над алгеброй Fr;

9) описаны алгебраические множества в размерности один над алгеброй Fr;

10) построена теория размерности алгебраических множеств над Fr. Результаты 4)-10) справедливы только в случае конечного основного поля.

Работа носит теоретический характер. Получена классификация координатных алгебр над свободной метабелевой алгеброй Ли Fr конечного ранга над конечным полем и классификация неприводимых координатных алгебр. Доказана алгоритмическая разрешимость квазиэквациональной и универсальной теорий алгебры Fr. Результаты данной диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов по алгебраической; геометрии над алгебрами Ли, по подготовке учебных пособий.

Результаты работы докладывались на семинарах кафедр алгебры МГУ (Москва,. 2002), НГУ (Новосибирск, 2003), ОмГУ, Конгрессе "Роль математики в 21 веке" (Новосибирск, 2003), Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского государственного университета и 75-летию кафедры алгебры (Москва, 2004), Международной конференции "The Canadian Mathematical Society Winter 2004 Meeting" (Монреаль, Канада, 2004).

Результаты диссертации опубликованы в работах [24, 25, 26, 27, 28]. Работы [26, 27, 28] выполнены совместно с И. В. Казачковым и В. Н. Ремесленниковым при равном вкладе соавторов.

Диссертация изложена на 193 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, большая часть параграфов структурирована по разделам. Список литературы содержит 47 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Даниярова, Эвелина Юрьевна, 2005 год

1. AppelK. I. One-variable equations in free groups II Proc. Amer. Math. Soc., 19, pp. 912-918,1968.

2. Baumslag G., Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and Ideal Theory II J. Algebra, 219 , pp. 16-79, 1999.

3. Bryant R. The verbal topology of a group I I J. Algebra, 48, pp. 340-346, 1977.

4. Chapuis О. У -free metabelian groups II J. Symbolic Logic 62, pp. 159-174,1997.

5. Grigorchuk R. I., Kurchanov P. F. On quadratic equations in free groups И Gontemp. Math., 131(1), pp. 159-171,1992.

6. Kharlampovich 0., Myasnikov A. Irreducible affine vatieties over free group I: irreducibilily of quadratic equations and Nullstellensatz И J. Algebra, 200, pp. 472-5166 1998.

7. Kharlampovich 0., Myasnikov A. Irreducible affine vatieties over free group II: systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups I I J. Algebra, 200(2), pp. 517-570, 1998.

8. KharlampovichO., Myasnikov. Algebraic Geometry over Free Groups: Lifting solutions into generic points II Contemp. Math., 378, pp. 213-318,2005.

9. Lyndon R. C. Groups with parametric exponents II Trans. Amer. Math. Soc., 96, pp. 518-533,1960.

10. Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Algebraic geometry over groups II: Logical Foundations И J. Algebra, 234, pp. 225-276,2000.

11. Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Exponential groups 2: extension of centralizers and tensor completion of csa-groups II International Journal of Algebra and Computation, 6(6), pp. 687-711, 1996.

12. MyasnikovA., Remeslennikov V, SerbinD. Regular free length functions on Lyndon's freeZ(t)-group FZ(,) // Contemp. Math., 378, pp. 37-77,2005.

13. Razborov A. On systems of equations in a free groups II Combinatorial and geometric group theory, Edinburgh 1993, Cambridge University Press, pp. 269-283, 1995.

14. Remeslennikov V., Stohr. R. On algebraic sets over metabelian groups II J. Group Theory, 8,pp. 491-513,2005.

15. Remeslennikov V., Stohr. R. On the quasivariety generated by a non-cyclic free metabelian group II Algebra Colloq., 11, pp. 191-214,2004.

16. SelaZ. Diophantine geometry over groups I: Makanin-Razborov diagrams 11 Publications Mathematiques de 1'IHES, 93,pp. 31-105, 2001.

17. Маканин Г. С. Уравнения в свободной группе II Изв. АН СССР, сер. мат., Т. 46, № 6, С. 1199-1273, 1982.

18. Разборов А А. О системах уравнений в свободной группе II Изв. АН СССР, сер. мат., Т. 48, №4, С. 779-832, 1982.

19. Ремесленников В. Н. Е-свободные группы II Сиб. мат. журн., Т. 30, № 6., С. 153-157, 1989.

20. Ремесленников В. Н. Размерность алгебраических множеств над свободной метабелевой группой II Фундам. и прикл. мат., Т. 7, С. 873-885, 2000.

21. Ремесленников В. Н., Романовский Н. С. О метабелевых произведениях групп II Алгебра и логика, Т. 43, № 3, С. 341-352,2004.

22. Ремесленников В. Н., Романовский Н. С. О неприводимых множествах в метабелевых группах II Алгебра и логика, Т. 44, № 5, С. 601-621, 2005.

23. Ремесленников В. Н., Тимошенко Е. И. О топологической размерности и-групп II Сиб. мат. журн., принята к печати, выйдет в Т. 47, № 2,2006.По алгебраической геометрии над алгебрами Ли, работы по теме диссертации

24. Даниярова Э. Ю. Основы алгебраической геометрии над алгебрами Ли И Препринт № 131, Новосибирск: РАН Сиб. Отд-ние, Ин-т математики, 33 е., 2004.

25. Даниярова Э. Ю. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй JIu III: Q-алгебры и координатные алгебры алгебраических множеств II Препринт, Омск: Изд-во ОмГУ, 130 с, 2005.

26. Даниярова Э. Ю, Казачков И. В., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли I: U-алгебры и А-модули И Препринт № 34, Омск: ОмГАУ, 2001.

27. Даниярова Э. Ю, Казачков И. В., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли I: U-алгебры и универсальные классы И Фундам. и прикл. мат., Т. 9, № 3, С. 37-63, 2003. http://noc.math.msu.su/~fpm/rus/k03/k033/

28. Даниярова Э. Ю, Казачков И. В., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли II: Случай конечного поля И Фундам. и прикл. мат., Т. 9, № 3, С. 65-87,2003. http://noc.math.msu.su/~fpm/rus/k03/k033/

29. Даниярова Э. Ю, Казачков И. В., Ремесленников В. Н. Полуобласти и метабелевы произведения метабелевых алгебр Ли И Итоги науки и техники, сер. «Современная математика», принята к печати. Английский перевод Journal of Mathematical Sciences.

30. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов // М.: Мир, 1972.

31. Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий //, Новосибирск, Научная книга, 1999.

32. Кейслер Г., Чен Ч. Ч. Теория моделей IIМ.: Мир, 1977.

33. Мальцев А. И. Алгебраические системы // М.: Наука, 1970.

34. Справочная книга по математической логике. Часть 1. Теория моделей IIМ.: Наука, С. 1-392, 1982.По теории алгебр Ли

35. Artamonov V. A. The categories of free metabelian groups and Lie algebras II Commentationes mathematicae universitatis Carolinae, 18(1), pp. 142-159,1977.

36. Артамонов В. А. Проективные метабелевы алгебры JIu конечного ранга II Изв. Акад. Наук СССР, сер. мат., Т. 36, С. 510-522, 1972.

37. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах JIu IIМ: Наука, 1985.

38. Ширшов А. И. Избранные труды, Кольца и алгебры // М: Наука, 1984.

39. Шмелькин А. Л. Сплетения алгебр Ли и их применение в теории групп II Труды московского математического общества, Т. 29, С. 247-260,1973.По коммутативной алгебре и топологии

40. Ленг С. Алгебра IIМ.: Мир, 1968.

41. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра И М.: Мир, 1971.

42. Келли Дж. Л. Общая топология IIМ.: Наука, 1981.Ссылки на статьи, содержащие алгоритмические проблемы

43. Seidenberg A. Constructions in algebra II Trans. Amer. Math. Soc., 197, pp. 273-313, 1974.

44. Романьков В. А. Об уравнениях в свободных метабелевых группах II Сиб. мат. журн., Т. 20, № 3, С. 671-673, 1979.