Закономерности развития газовой пористости в конструкционных материалах ядерных реакторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Овчаренко, Алексей Михайлович

• Овчаренко, Алексей Михайлович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Овчаренко, Алексей Михайлович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗВИТИЯ ПОРИСТОСТИ В МАТЕРИАЛАХ ЯЭУ И ТЯР

1.1. Общая теория конденсации пересыщенных растворов

1.2. Общая кинетическая теория гомогенного зарождения

1.3. Модель Катца-Видерзиха

1.4. Модель Лифшица-Слезова

1.5. Модель коалесценции газовых пор по механизму броуновской миграции

1.6. Модель коалесценции газовых пор за счет перерастворения газа

1.7. Проблема численного решения основного кинетического уравнения

1.8. Уравнение Фоккер-Планка

1.9. Метод группирования кластеров по размерам

1.10. Метод суммирования по путям

1.11. Метод моментов

1.12. Метод Монте-Карло 34 Заключение по разделу 1

2. НОВЫЙ МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ БОЛЬШИХ СИСТЕМ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 3

2.1. Идея метода группирования кластеров по размерам

2.2. Метод группирования Киритани

2.3. Уравнение Фоккер-Планка с дискретизацией

2.4. Анализ и критика метода Киритани

2.5. Группирование на основе метода моментов

2.5.1. Основное кинетическое уравнение в групповом приближении

для случая однокомпонентных частиц вторичных фаз

2.5.2. Основное кинетическое уравнение в групповом приближении

для случая двухкомпонентных частиц вторичных фаз

2.5.3. Уравнение агрегации в групповом приближении

2.6. ЭВМ-программа 47 Заключение по разделу 2

3. ВЕРИФИКАЦИЯ ПРЕДЛОЖЕННОГО МЕТОДА

3.1. Численное решение модельной задачи Койвы

3.2. Моделирование процесса Оствальда и сравнение результатов

с асимптотическим решением задачи Лифшица-Слезова

3.3. Моделирование зарождения вакансионных скоплений под облучением и сравнение с результатами теории гомогенного зарождения Катца-Видерзиха

Заключение по разделу 3

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАРОЖДЕНИЯ И РОСТА ПОР И ПУЗЫРЬКОВ ГАЗА С ПРИМЕНЕНИЕМ

ПРЕДЛОЖЕННОГО МЕТОДА

4.1. Развитие вакансионной пористости под облучением

4.1.1. Общая теория

4.1.2. Обобщение теории с учетом влияния каскадообразующего облучения

4.1.3. Моделирование эволюции вакансионных пор с учетом стохастических флуктуаций концентраций точечных дефектов, инициированных в каскадах смещений

4.2. Газовая пористость при отжиге

4.2.1. Моделирование коалесценции газовых пор, протекающей по механизму броуновской миграции

4.2.2. Моделирование коалесценции газовых пор, происходящей

за счет термического перерастворения газа

Заключение по разделу 4

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Закономерности развития газовой пористости в конструкционных материалах ядерных реакторов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы

Накопление инертных газов в материалах ядерных энергетических установок (ЯЭУ), например, путем (п, а)-реакций, а также в результате прямой имплантации из плазмы и за счет распада трития в термоядерных реакторах (ТЯР), оказывают влияние на эволюцию микроструктуры материала, прежде всего, на эволюцию трехмерных вакансионных скоплений - пор. Известно, что атомы инертных газов способствуют зарождению и росту пор в облучаемых материалах, оказывая влияние на такие явления, как, например, распухание, и усиливая высокотемпературное радиационное охрупчивание. Эти явления приводят к нежелательным изменениям форм изделий активной зоны реакторов на быстрых нейтронах и механических свойств конструкционных материалов, что необходимо учитывать при разработке материалов для перспективных ядерных и термоядерных установок. Для этого необходимы теоретические знания основных механизмов диффузии газа в металлах, механизмов радиационного и термического растворения газа из газовакан-сионных пор. Кроме того, требуется понимание особенностей протекания характерных процессов эволюции газовакансионных скоплений - зарождения, роста, коалесценции газовых пузырьков в металлах как в условиях облучения, так и высокотемпературных отжигов для выявления их механизмов.

В основе эволюции газовакансионных пор лежит общее явление распада пересыщенных растворов частиц с образованием их скоплений. Наиболее общие качественные термодинамические основы этого явления известны давно. Однако его количественное изучение возможно лишь путем решения основного кинетического уравнения (ОКУ), что представляет известную сложность, которая состоит в том, что, с одной стороны, это уравнение не имеет точного аналитического решения для широкого круга практически значимых задач, за исключением нескольких частных случаев, а с другой стороны - его численное решение затруднено из-за неприемлемо затратных по времени вычислений.

Решение ОКУ, которое наиболее полно и последовательно описывает эволюцию кластеров при облучении и отжиге, является нетривиальной вычислительной

проблемой. Она состоит в том, что ОКУ, по-существу, представляет собой систему большого числа дифференциальных уравнений, каждое из которых описывает эволюцию кластера определенного размера. Число таких уравнений даже в случае од-нокомпонентного раствора дефектов, как правило - вакансий, достигает ~106 и более, а в случае двухкомпонентного раствора - вакансий и атомов газа, - до 1012. Поэтому численное решение такого количества уравнений для моделирования практически значимого времени эволюции кластеров является невыполнимым.

Несмотря на указанные сложности изучения эволюции газовых пор, тем не менее, исследователями-теоретиками был получен ряд важных результатов, в основном, позволяющих выяснить наиболее общие качественные основы развития газовакансионной пористости. Однако основные количественные закономерности, связанные с эволюцией распределения газовых пор по размерам, изучены недостаточно. Например, для случая газовакансионных кластеров точное аналитическое решение ОКУ получить не удается. Все известные приближенные аналитические решения получены при некоторых упрощающих модельных предположениях и являются асимптотическими. Создание реалистичной математической модели, описывающей все стадии эволюции пузырьков, предсказывающей изменения физических и механических свойств металлов вследствие накопления газовой пористости, остается актуальной проблемой. В связи с этим, настоящая работа является вкладом в решение этой проблемы, что и определяет ее актуальность.

Цель работы

Целью настоящей работы явилось выявление с применением компьютерного моделирования физических закономерностей развития газовакансионной пористости в конструкционных материалах ЯЭУ и перспективных ТЯР.

Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи.

• Разработан новый метод группирования кластеров ближайших размеров на основе известного метода моментов для численного решения больших систем линейных дифференциальных уравнений.

• Проведен сравнительный анализ нового метода численного решения больших систем кинетических уравнений с известными методами, а также его верификация путем сравнения численных и аналитических решений.

• С применением разработанного метода проведены расчеты эволюции одно-компонентных скоплений точечных дефектов в металлах.

• Предложено обобщение нового метода для решения задачи эволюции газовых пор в металлах и конструкционной стали.

• Проведено компьютерное моделирование коалесценции газовых пор за счет механизмов броуновской миграции и перерастворения газа и его переноса в условиях высокотемпературного отжига.

Научная новизна и практическая значимость работы

1. Впервые сформулированы необходимые условия корректности метода группирования размеров ближайших кластеров, на основе которых проведен анализ корректности известных методов группирования, позволяющий сократить число интегрируемых уравнений кинетики.

2. С учетом сформулированных условий разработан новый метод группирования кластеров по размерам с использованием формализма метода моментов функции распределения. Проведена верификация разработанного метода путем численного решения известных модельных задач, имеющих аналитическое решение.

3. Путем численного моделирования впервые показано, что стохастические флуктуации концентраций точечных дефектов, инициированные каскадами смещений, не становятся дополнительным источником избыточных вакансий, влияющих на распухание.

4. Разработанный метод группирования позволяет получить уравнения для моделирования эволюции вторичных частиц, состоящих из произвольного числа компонентов. Используя эту особенность впервые получены кинетические уравнения в групповом приближении для моделирования эволюции вторичных частиц - газовых пузырьков.

5. Полученные двухкомпонентные кинетические уравнения в групповом приближении позволили впервые провести численное моделирование коалес-ценции газовакансионных скоплений как в случае броуновской миграции пузырьков, так и в случае перерастворения атомов газа из них при отжиге с учетом реалистичных модельных предположений.

6. Впервые численным моделированием коалесценции ансамбля мигрирующих пузырьков подтверждены асимптотические зависимости концентрации пузырьков и их среднего радиуса, полученные в рамках приближения средних величин, а также рассчитана эволюция двухкомпонентной функции распределения неподвижных газовакансионных скоплений по размерам, которая сопоставлена с известной асимптотической универсальной функцией распределения, полученной для жестких модельных условий.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанный универсальный метод компьютерного моделирования позволяет решать сложные задачи в области физики радиационных повреждений конструкционных и топливных материалов ядерных и термоядерных реакторов. В частности, это касается задач, где требуется затратный по времени расчет эволюции функции распределения скоплений точечных дефектов, газовых пузырьков, многокомпонентных частиц выделений вторичных фаз. Важным практическим приложением является возможность прогнозирования интенсивности развития вакансионного и газового распухания конструкционных и топливных материалов ядерных энергетических установок, в том числе, результаты решенных задач могут быть использованы для прогнозирования процессов зарождения и эволюции газовакансионной пористости в реакторной конструкционной стали.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработанный на основе формализма метода моментов функции распределения кластеров по размерам новый метод группирования для численного решения больших систем кинетических уравнений, позволяющий суще-

ственно сократить их число, и доказательство корректности метода на примерах решения простых модельных задач с известными аналитическими решениями.

2. Результаты численного моделирования зарождения вакансионных кластеров, показывающие, что выражение для стационарной скорости зарождения Js справедливо также для нестационарных (квазистационарных) условий, когда вакансионное пересыщение уменьшается с накоплением повреждающей дозы.

3. Результаты численного моделирования эволюции вакансионных кластеров, показывающие, что стохастические флуктуации, инициированные каскадами смещений, не становятся источником избыточных вакансий, однако способны существенно менять соотношение сил стоков точечных дефектов, изменяя скорость распухания материала.

4. Результаты численного моделирования коалесценции подвижных пузырьков по механизму броуновской миграции в сравнении с экспериментальными данными накопления газовой пористости в аустенитной коррозионно-стойкой стали Р7 в течение часового отжига в диапазоне температур 600-900 °С и данными асимптотической модели в приближении средних величин.

5. Результаты проведенного численного моделирования коалесценции неподвижных пузырьков в бинарном растворе атомов газа и вакансий в сравнении с данными асимптотической модели коалесценции.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, выводов и библиографии. Работа изложена на 119 страницах, содержит 23 рисунка, 4 таблицы и список цитируемой литературы из 127 наименований.

Достоверность научных положений, результатов и выводов

Достоверность научных положений, результатов и выводов подтверждаются использованием опубликованной (Ovcharenko A.M. et al, Сотр. Phys. Comm., 2003, v. 152, p. 208) верифицированной ЭВМ-программы расчета эволюции пузырьков,

непротиворечивостью полученных результатов расчетов известным из литературы данным.

Личный вклад автора

Личный вклад автора заключается в том, что он принимал участие в постановке задач исследования; разработке численного метода группирования и методики компьютерного моделирования коалесценции газовых пор за счет механизмов броуновской миграции и перерастворения газа и его переноса в условиях высокотемпературного отжига; провел верификацию нового метода группирования; разработал специальный вычислительный комплекс - ЭВМ программу для решения больших систем кинетических уравнений; внес определяющий вклад в анализ результатов расчетов, их интерпретацию и разработку физической модели коалесценции газовых пор; лично участвовал в апробациях работы и написании основных публикаций по теме диссертации.

Апробация работы

Основные положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах, совещаниях и конференциях: Отраслевой семинар «Физика радиационных повреждений материалов атомной техники» (г. Обнинск, 2005-2011 гг.); Научная сессия МИФИ-2008 (г. Москва, 2008 г.); Научная сессия НИЯУ МИФИ-2012 (г. Москва, 2012 г.); 4-th International Conference on Multiscale Materials Modeling (Tallahassee, FL, USA, 2008 г.); MRS Fall Meeting (Boston, MA, USA, 2010r.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них 6 в отечественных и зарубежных рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК РФ.

1. МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗВИТИЯ ПОРИСТОСТИ В МАТЕРИАЛАХ ЯЭУ И ТЯР

1.1. Общая теория конденсации пересыщенных растворов

Общие термодинамические основы явления образования вторичных частиц новой фазы в однокомпонентном растворе изложены в работах Дж. Гиббса [1], У. Томсона [2] и Р. Гельмгольца [3]. Первые исследования касались в основном конденсации пересыщенного водяного пара. В частности, У. Томсон впервые показал, что давление пара, находящегося в равновесии с каплей жидкости при заданной температуре Т, тем больше, чем меньше радиус В этой капли. Это соотношение можно получить, если рассмотреть полный термодинамический потенциал Ф системы пар (А) — жидкая капля (В), который равен

где Хл и хв - числа частиц в фазах А и В; \1А и - химические потенциалы соответствующих фаз (без учета поверхностных эффектов, т.е. при В—>оо) при заданной температуре Т и внешнем давлении р, равном давлению пара; у - энергия поверхностного натяжения; 2 - площадь сферической поверхности капли, которая выражается через ее радиус: 2=4пВ2. Устойчивое термодинамическое равновесие системы определяется условием 8Ф=0. Считается, что число частиц постоянно, т.е. ^л+лв-сопэ^ а также, что Хв=4лВ3/3£1, где П - объем, приходящийся на одну молекулу жидкости. Исходя из этих условий уравнение (1.1) преобразуется в уравнение

Из уравнения (1.2) можно определить значение критического радиуса капли В=В*, при котором достигается минимальное значение термодинамического потенциала Ф. Если предположить, что пар ведет себя как идеальный газ при условии

(1.1)

(1.2)

Г=соп81:, то разность потенциалов выражается формулой \1в-\ЬА=\(&-{квТ/р))с1р'^-квТ1п(р/ра), а уравнение (1.2) преобразуется в уравнение Томсона для термодинамически равновесной системы

(1.3)

где р/рм - отношение давления пара р на изогнутую поверхность к давлению на плоскую поверхность рх, квТ - произведение постоянной Больцмана на абсолютную температуру. Уравнение, подобное уравнению (1.3), может быть записано также для отношения концентраций частиц (мономеров) с/с«,, где с - равновесная концентрация частиц у сферической поверхности капли, а с» - концентрация насыщенного раствора на плоской поверхности.

Неустойчивость равновесия между пересыщенным паром и каплей выражается в том, что термодинамический потенциал такой системы имеет не минимальное значение как при устойчивом термодинамическом равновесии, когда 1Хл<Цв, а наоборот, максимальное (при \ía>\Lb ):

^G=\iAxA+\iBxB+yl-nA(xA+xB) . (1.4)

Учитывая уравнение (1.2) для критического радиуса R* уравнение (1.4) может быть

преобразовано следующим образом:

ЛС = 4лу(д2-!^) . (1.5)

•Í К I

Важно отметить, что поскольку зарождение новой фазы затруднено и устойчивый рост вторичных частиц невозможен, то зарождение протекает лишь за счет локальных флуктуаций концентрации подкритических скоплений.

Знание R* позволило Гиббсу рассчитать высоту активационного барьера AGmax и, следовательно, работу, которую необходимо затратить, чтобы сформировать кластер критического размера из пересыщенного раствора молекул. Подставляя i?* в уравнение (1.5) получаем

= , (1.6)

где 2* - площадь поверхности критического кластера. Дж. Гиббс указал также, что эта энергия служит мерой стабильности пересыщенного пара, поскольку работа для насыщенного пара стремится к бесконечности и быстро уменьшается с увеличением пересыщения. М. Фольмер и А. Вебер указали, что в соответствии с теорией ге-терофазных флуктуаций вероятность образования критического кластера пропорциональна exp[-AG(i?*)A#7] и, таким образом, выяснили, что скорость зарождения пропорциональна ехр(-у£*/3квТ) [4]. Это выражение рассматривалось в качестве

главного в теории гомогенного зарождения и присутствовало во всех исследованиях того времени. Все, связанные с развитием теории, позднейшие исследования касались вычисления неопределенного М. Фольмером и А. Вебером предэкспоненци-ального множителя.

Кинетическая модель зарождения не обсуждалась до 1927 года, когда Л. Фаркаш впервые применил кинетический подход для определения стационарной скорости зарождения и разработал количественную кинетическую теорию зарождения [5]. Рассуждения были следующими. Пусть капля характеризуется количеством молекул х, и претерпевает изменение размера х во времени. Число х меняется на единицу случайным образом посредством прихода х+1 и ухода молекул х-1. Такая миграция кластеров в пространстве размеров х является аналогом блуждания броуновской частицы в координатном пространстве. Таким образом, рост капли можно рассматривать как случайные блуждания в поле силы 7% приводящей к изменению ее размера. Потенциалом силы Т7 является стандартная свободная энергия Гиббса АС, изменяющая кластер от мономера до заданного размера х:

где Щх) - равновесная концентрация х-мера, которая имеет вид:

А С{хУ

М{х)=Ы (х0)ехр

квТ

(1.8)

где Щх0) - концентрация мономера. Наименьшая концентрация Щх) соответствует наибольшему значению АС при л:=л;*, которое определяет высоту барьера свободной энергии зарождения. Очевидно, что кластер, совершая блуждания в поле силы с размером, меньшим критического х*, может достигнуть максимума потенциального барьера, однако вероятность такого события невелика. Фаркашу удалось получить выражение для стационарной скорости зарождения которая оказалась пропорциональной Щх*) [5]. Однако полученное выражение содержало неопределенную константу интегрирования, что стало отправной точкой для дальнейших исследований.

1.2. Общая кинетическая теория гомогенного зарождения

Среди исследований первой половины XX века времени, посвященных обсуждению кинетической теории, наиболее значительными стали работы Р. Беккера и В. Дёринга [6], М. Фольмера [7, 8], Я. Б. Зельдовича [9] и Я. И. Френкеля [10]. Работа Зельдовича была посвящена исследованию явления кавитации в жидкостях, однако полученное им выражение для скорости зарождения применимо и к задаче конденсации водяных паров. Предложенный кинетический подход позволил устранить неопределенность в выражении стационарной скорости зарождения и придать теории Фаркаша современный математический вид [9].

ЕслиДп, /) - концентрация скоплений молекул размера п в момент времени тогда основное кинетическое уравнение (ОКУ) имеет вид:

В этом уравнении предполагается, что все скопления дискретно распределены по размерам, по узлам на оси п, отстоящим друг от друга на расстоянии 1. Изменение числа скоплений в узле п зависит от вероятностей перехода скопления в соседние узлы п-1 ий+1 и перехода из них в узел п. Таким образом, правая часть уравнения (1.9) описывает скорость роста числа вторичных частиц (скоплений) до размера п на единицу объема в единицу времени. Здесь Р(п) и ()(п) - скорости реакций прихода и ухода (испарения) молекул, соответственно. Используя условие детального равновесия:

В уравнении (1.11) легко осуществить переход от конечных разностей к производным и представить его в дифференциальной форме для непрерывного пространства размеров частиц х. Предполагая, что Д«)=АДх); У(«+1)=ЯДх+А,) и т.д. и используя разложение в ряд Тейлора по А. и сохраняя члены разложения до второго порядка получаем основное уравнение:

Р{п)Н{п)=£>{п+1)М(п+1) , уравнение (1.9) можно преобразовать к следующему виду:

(1.10)

■в- . . (i.i4)

. (1.12)

dt с/ x ö x

Зельдович, развивая кинетический подход Фаркаша, впервые получил это уравнение из анализа кинетики в дискретном пространстве размеров исходя из основного кинетического уравнения, т.е. уравнения (1.9). Уравнение (1.12) является уравнением непрерывности, где поток кластеров в пространстве размеров имеет вид

j(x,t)=-P(x)N(X)d(f(x)JN(x)) . (1.13)

ОХ

В предшествующих работе Зельдовича исследованиях этот поток записывался сразу в дифференциальном виде непосредственно из уравнения диффузии. Скорость Р(х) - непрерывная функция и здесь играет роль коэффициента диффузии В. Заметим, что в частном случае, когда равновесная функция N(x) и параметр D не зависят от размера скоплений, уравнение (1.12) преобразуется в известный закон Фика:

äf{x,t)=nd2f{x,t) dt дх2

Таким образом, уравнение (1.14) справедливо, если только все точки пространства х эквивалентны и поле силы -дАG/dx не влияет на движение частиц, что, очевидно, не соответствует кинетике зарождения вторичных частиц.

Чтобы вычислить стационарную скорость зарождения необходимо проинтегрировать уравнение (1.12) с учетом стационарных условий, когда пересыщение неизменно. Таким образом, если df/dt=0, тогда

P(x)N(x)a^x)JNM = -J= const , (1.15)

дх

где g(x) - стационарная функция, Js - стационарная скорость зарождения, когда число растущих кластеров из размера х в размер x+dx. в единицу времени не зависит от х. Интегрирование уравнения (1.15) с использованием граничных условий:

(1.16)

лг-м N[x) *-*оо N[x) поскольку N(x)—>оо при х-—>со, тогда как g(x) всегда конечна, позволяет вычислить

стационарную скорость зарождения:

"с cbc

Это выражение впервые было получено X. Крамерсом в работе, посвященной исследованию броуновской миграции частиц в поле силы и построению диффузионной модели химических реакций [11]. Уравнение (1.17) позволяет рассчитать точное значение стационарной скорости зарождения Js. Заметим, что Js определяется равновесной функцией N(x) (1.8).

Уравнение (1.17) содержит интеграл, который вычисляется численным способом, однако, его можно рассчитать с хорошей точностью в рамках следующих предположений. Из уравнения (1.8) следует, что функция N(x) имеет хорошо выраженный минимум, а \/N(x) резкий максимум при х=х*, поэтому основной вклад в величину интеграла вносят концентрации кластеров из окрестности х*. Если считать, что в этой окрестности скорость Р(х) ~ х1/3 (либо Р(х) ~ х273), которая меняется медленно, тогда этой зависимостью от х можно пренебречь и, обозначая коэффициент Р(х*) параметром D*, вынесем его за знак интеграла. При этом N(x) можно представить следующим выражением, разложив показатель экспоненты в ряд Тейлора до второй производной. Тогда имеем:

N{x)=N{x*)exр

2квТ> - 2 '

(1.18)

Уравнение (1.18) описывает поведение функции распределения N(x) в окрестности критического размера. Интегрирование соотношения (1.17) с учетом формулы (1.18) позволяет получить выражение для стационарной скорости зарождения:

11/2

J=N{х *) D*

21 д^ AG

л а 2 ох

1

хЛвт

(1.19)

Уравнение (1.19) эквивалентно тому, которое получено Зельдовичем в работе [9] и ранее Фаркашем [5] для стационарной скорости зарождения частиц вторичной фазы. Видно, что эта скорость является произведением равновесной концентрации критических кластеров, скорости захвата мономеров критическими кластерами, и так называемого «неравновесного фактора Зельдовича», учитывающего флуктуаци-онный характер зарождения в окрестности критического размера х*.

Выражение для стационарной скорости зарождения (1.19) содержит коэффициент диффузии, который можно оценить из уравнения кинетики, описывающего изменение среднего размера зародыша:

^=г(х,т)=^1кЛх<]х, (1.20)

где Подстановка уравнения (1.12) в уравнение (1.20) и интегрирование

позволяет найти выражение для Д которое имеет вид

к* ТУ

— . (1.21) -дАв/дх 7

Уравнение (1.21) является аналогом известного соотношения Эйнштейна-Смолу-ховского [12, 13] для диффузии растворенного вещества в жидкости, обобщенного применительно к случаю кинетики зарождения вторичных частиц, и связывает скорость изменения размера зародыша V, происходящего под действием силы -дАО/дх в пространстве размеров х, с коэффициентом диффузии £> и температурой Г. Поскольку знак V всегда противоположен дАадх, то коэффициент Б всегда положителен. Таким образом, в области х<х* скорость V отрицательна, поэтому плавный рост вторичных частиц невозможен и зарождение имеет диффузионную (флуктуа-ционную) природу. Заметим, что уравнение (1.21) имеет неопределенность в точке х=х* типа деления ноль на ноль, однако из уравнения (1.19) следует, что О*- ненулевая положительная величина, которую можно оценить, например, в окрестности х*.

Общая кинетическая теория гомогенного зарождения позволяет вычислить стационарную скорость зарождения, однако не дает полную картину сложного процесса эволюции вторичных частиц. Подробное количественное описание их зарождения, роста и коалесценции связано с нахождением функции распределения и интегральных характеристик процесса путем решения ОКУ. К сожалению, его аналитическое решение в дискретном пространстве размеров кластеров представляет существенную сложность.

1.3. Модель Катца-Видерзиха

Этот кинетический подход, развитый для решения задачи конденсации пересыщенного пара, был применен Дж. Кацем и X. Видерзихом [14] для построения теории гомогенного зарождения скоплений точечных дефектов (ТД) в металлах под облучением. ОКУ было обобщено для решения задачи кластеризации в пере-

сыщенном растворе надравновесных вакансий и собственных междоузельных атомов (СМА).

Предположение теории Катца-Видерзиха [14] состоит в том, что при постоянном пересыщении и постоянной концентрации мономеров функция распределения кластеров по размерам/[я, t) в дискретном пространстве размеров п, начиная с дельта-функции Дирака Со5(и-1) приобретает форму стационарной функции g(n). Здесь Со — равновесная концентрация вакансий, позволяющая определить начальное распределение частиц, а дельта-функция понимается аналогично физическим понятиям точечной массы или точечного заряда. Иными словами, решение j[n,t) приближается к стационарной g(n) в некотором диапазоне размеров кластеров, который увеличивается с течением времени. Нахождение стационарной функции g(n) связано со стационарной скоростью зарождения Js, вычисление которой требует знания равновесной функции N(n).

Действительно, в предположении, что пересыщение постоянно и не меняется со временем, уравнение (1.9) имеет два стационарных решения N(n) и g(n). Решение N(n) соответствует случаю, когда поток во всех узлах на оси п равен нулю, J(n)=0. Тогда, воспользовавшись уравнением детального баланса (1.10), применяя индукцию, можно получить выражение для равновесной функции:

N(n)=N(x4<Bk • (i-22)

Из уравнения (1.11) поток кластеров в дискретном пространстве размеров, записанный с учетом равновесной функции N(ri), имеет вид:

В отличие от N{ri), решение g(ri) соответствует случаю постоянного потока во всех узлах на оси п, когда J(n,t)=Js, и может быть найдено из уравнения (1.23):

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Овчаренко, Алексей Михайлович, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Gibbs J. On the equilibrium of heterogeneous substances. - In Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences, 3rd Ser., vol. XVI, no. 96, p. 343-524. (Collected Works of J.W. Gibbs. N.Y.: Longmans, Green and Co., 1928.)

2. Thomson W. On the equilibrium of vapour at a curved surface of liquid. - Proc. R. Soc. Edinb., 1870, v. 7, p. 63-68.

3. Helmholtz R. Recherches sur les vapeurs et la production du brouillard, en particulier dans le cas des dissolutions - Wiedemann's Annalen, 1886, v. 27, p. 508-543.

4. Volmer M., Weber A. Keimbildung in übersättigten Gebilden. - Z. Phys. Chem., 1926, Bd. 119, p. 227-301.

5. Farkas L. Keimbildungsgeschwindigkeit in übersättigten dämpfen. - Z. Phys. Chem., 1927, Bd. A125, p. 236-242.

6. Becker R., Döring W. Kinetische behandlung der keimbildung in übersättigten Dämpfern. - Ann. Physik., 1935, Bd. 24, p. 719-752.

7. Volmer M. Über Keimbildung und Keimwirkung als Spezialfälle der heterogenen Katalyse. -Z. Phys. Chem., 1929, Bd. 35, p. 555-561.

8. Volmer M. Kinetik der Phasenbildung. Drezden und Leipzig: Verlag von Theodor Steinkopff, 1939.

9. Зельдович Я.Б. К теории образования новой фазы, кавитация. - ЖЭТФ, 1942, т. 12, с. 525-538.

10. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. - М.: Изд. АН СССР, 1946.

11. Kramers Н. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions - Physica, 1940, v. 7, issue 4, p. 284-304.

12. Einstein A. Über die von der molekularkinetischen theorie der wärme geforderte bewegung von in ruhenden flussigkeiten suspendierten teilschen. - Annalen der Physik, 1905, Bd. 17, p. 549-560.

13. Smoluchowsky M. Zur kinetischen theorie der brownschen molekularbewegung und der suspensionen. - Annalen der Physik, 1906, Bd. 21, p. 756-780.

14. Katz J., Wiedersich H. Nucleation of voids in materials. Supersaturated with vacancies and interstitials. - J. Chem. Phys. 1971, v. 55(3), p. 1414- 1434.

15. Лифшиц И.М., Слезов В.В. О кинетике диффузионного распада пересыщенных твердых растворов. - ЖЭТФ, 1958, т. 35, вып. 2(8), с. 479^92.

16. Wagner С. Theorie der alterung von niederschlagen durch umlosen (ostwald-reifung). - Z. Elektrochem., 1961, Bd. 65, p. 581-611.

17. Ostwald W. Studien uber die bildung und umwandlung fester korper. - Z. Phys. Chem.,1897, Bd. 22, p. 289-330.

18. Greenwood G., Speight M. An analysis of the diffusion of fission gas bubbles and its effect on the behavior of reactor fuels. - J. Nucl. Mater., 1963, v. 10, p. 140-144.

19. Семенов Л.П. Теория коалесценции газовых пор в условиях распухания. -Атомная энергия, 1963, т. 15, вып. 5, с. 404-408.

20. Markworth A. On the coarsening of gas-filled pores in solids. - Metallurgical Transactions, 1973, v. 4, p. 2651-2656.

21. Courtney W. Kinetics of condensation of water vapor. - J. Chem. Phys., 1962, v. 36(8), p. 2018-2025.

22. Abraham F. Multistate kinetics in nonsteady-state nucleation: a numerical solution. -J. Chem. Phys., 1969, v. 51(4), p. 1632-1638.

23. Wiedersich H., Hall B. Effect of mobile helium on void nucleation - J. Nucl. Mater., 1977, v. 66, p. 187-192.

24. Goodrich F. Nucleation rates and the kinetics of particle growth. II. The birth and death process. - Proc. R. Soc. Lond., 1964, A277 p. 167-182.

25. Goodrich F. Nucleation rates and the kinetics of particle growth. I. The pure birth process. - Proc. R. Soc. Lond., 1964, v. A277, p. 155-166.

26. Clement C.,Wood M. Equations for the growth of a distribution of small physical objects. - Proc. R. Soc. Lond., 1979, v. A368, p. 521-546.

27. Clement C., Wood M. Moment and fokker-planck equations for the growth and decay of small objects. - Proc. R. Soc. Lond., 1980, v. A371, p. 553-567.

28. Sprague J., Russel K., Choi Y. Evolution of time-dependent void nucleation theory under ion bombardment conditions - Proc.Conf. on Fundamental Aspects of Radiation Damage in Metals, 1975, p. 1181-1187.

29. Bondarenko A.I., Konobeev Yu.V. Void growth kinetics in metals - phys. Stat. Sol. A, 1976, v.34, p. 195-215.

30. Печенкин В.А., Конобеев Ю.В., Щербак В.И. Кинетика отжига радиационных пор в облученной нейтронами нержавеющей стали 0Х18Н9Т. - Атомная энергия, 1976, т.41, вып. 3, с. 174-179.

31. Печенкин В. А., Конобеев Ю.В. Теоретическое исследование отжига радиационных пор в пересыщенном инертным газом металле. - ВАНТ, Серия: ФРП и РМ, ХФТИ, Харьков, 1978, вып. 1(6), с. 8-13.

32. Печенкин В.А., Щербак В.И., Конобеев Ю.В. Кинетика отжига радиационных пор и дислокаций в нержавеющих сталях 0Х18Н9Т и 0X18Н9. Реакторное материаловедение, Москва, 1978, том 2, с. 63-88.

33. Ghoniem N., Sharafat S. A numerical solution to the fokker-planck equation describing the evolution of the interstitial loop microstructure during irradiation. - J. Nucl. Mater., 1980, v. 92 p. 121-135.

34. Kiritani M. Analysis of the clustering process of supersaturated lattice vacancies. -J. Phys. Soc. Japan, 1973, v. 35, p. 95-107.

35. Koiwa M. On the validity of the grouping method - comments on "Analysis of the clustering process of supersaturated lattice vacancies". - J. Phys. Soc. Japan, 1974, v. 37, p. 1532-1573.

36. Hayns M. On the group method for the approximate solution of a hierarchy of rate equations describing nucleation and growth kinetics - J. Nucl. Mater., 1976, v. 59, p. 175-182.

37. Golubov S.I., Ovcharenko A.M., Barashev A.V., Singh B. Grouping method for the approximate solution of a kinetic equation describing the evolution of point-defect clusters. -Philos. Mag., A, 2001, v. 81(3), p. 643-658.

38. Wehner M., Wolfer W. Numerical evaluation of path-integral solutions to Fokker-Planck equations. II. Restricted stochastic processes. - Phys. Rev. A, 1983, v.28(5), p. 3003-3011.

39. Wehner M., Wolfer W. Vacancy cluster evolution in metals under irradiation -Philos. Mag. A, 1985, v.52, p. 189-205.

40. Dekker H. Time-local gaussian processes, path integrals and nonequilibrium nonlinear diffusion. - Physica, 1976, 85A, p. 363-373.

41. Surh M.,Sturgeon J., Wolfer W. Master equation and Fokker-Planck methods for void nucleation and growth in irradiation swelling. - J. Nucl. Mater., 2004, v.325, p. 44-52.

42. Surh M., Sturgeon J., Wolfer W. Erratum to: Master equation and Fokker-Planck methods for void nucleation and growth in irradiation swelling [J. Nucl. Mater. 325 (2004) 44], Vacancy cluster evolution and swelling in irradiated 316 stainless steel [J. Nucl. Mater. 328 (2004) 107] and Radiation swelling behavior and its dependence on temperature, dose rate and dislocation structure evolution [J. Nucl. Mater. 336 (2004) 217]. - J. Nucl. Mater., 2005, v.341, p. 235-236.

43. Sigmund P. Theory of sputtering. I. Sputtering yield of amorphous and polycrystalline targets. - Phys. Rev., 1969, v. 184, p. 383-416.

44. Ghoniem N. Stochastic theory of diffusional planar-atomic clustering and its application to dislocation loops. - Phys. Rev. B, 1989, v.39(16), p. 11810-11819.

45. Smoluchowski M. Uber brownsche molekularbewegurig unter einwirkung ausserer krafte und deren zusammenhang mit der verallgemeinerten diffusionsgleichung. - Ann. Phys., 1915, Bd. 48, p.l 103-1112.

46. Smoluchowsky M. Drei vortage uber diffusion, brounische bewegung und koagulation von kolloidteilchen. - Phys. Zeits., 1916, Bd. 17, p. 557-585.

47. Chandrasekhar S. Stochastic problems in physics and astronomy - rev. Mod. Phys., 1943, v. 15, No. 1, p. 1-89.

48. Golubov S.I., Stoller R., Zinkle S., Ovcharenko A.M. Kinetics of coarsening of helium bubbles during implantation and post-implantation annealing. - J. Nucl. Mater., 2007, v. 361, p. 149-159.

49. Montroll E. Energetics in metallurgical phenomena. N.Y.:Gordon and Breach, 1967, v.3, p. 123.

50. Norgett M., Robinson M., Torrens I. A proposed method of calculating displacement dose rates. - Nucl. Engn. And Design, 1975, v.33, pp.50-54.

51. Ахиезер И.А., Давыдов JI.H. Введение в теоретическую радиационную физику металлов и сплавов, Киев: Наукова думка, 1985.

52. Mansur L. Theory and experimental background on dimensional changes in irradiated alloys. - J. Nucl. Mater., 1994, v.216, p. 97-123.

53. Singh В., Zinkle S. Defect accumulation in pure fee metals in the transient regime: a review. - J. Nucl. Mater., 1993, v. 206, p. 212-229.

54. Singh B. Atomic displacements and defect accumulation during irradiation with energetic particles: An autobiographical review. - Rad. Eff., 1999, v. 148, p. 383-446.

55. Singh В., Bilde-Sorensen J., Leffers T. Cavity formation of alluminium irradiated with a pulsating beam of225 mev electrons. - J. Nucl. Mater., 1988, v. 154, p. 542-546.

56. Stiegler J., Bloom E. Void formation in irradiated nickel 270. - Rad. Eff., 1971, v. 8, p. 33-41.

57. Stoller R., Odette G. The effects of helium implantation on microstructural evolution in an austenitic alloy. - J. Nucl. Mater., 1988, v. 154, p. 286-304.

58. Singh В., Leffers T. Some observations on nucleations and growth of voids and dislocation loops in low dose newtrons irradiated copper. - Вопросы атомной науки и техники, Сер: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение, 1981, вып. 15, с. 3-18.

59. Singh В., Leffers Т., Horsewell A. Dislocation and void segregation in copper during neutron irradiation. - Philos. Mag. A, 1986, v. 53, p. 233-242.

60. English C., Eyre В., Muncie W. Low-dose neutron irradiation damage in copper. -Phlos. Mag. A, 1987, v. 56, p. 453-484.

61. Cawthorne C. In: Proc. UK/US Fast reactor exchange meeting on cladding and duct materials, CONF-7910113, HEDL, Richland, Oct. 30 - Nov. 2, 1979, p.155-161.

62. Singh B. Void volume swelling dependent on grain size in an austenitic stainless steel. - Nature, 1973, v. 224, p. 142-144.

63. Singh B. Effect of grain size on void formation during high-energy electron irradiation of austenitic stainless steel. - Philos. Mag., 1974, v. 29, p. 25-42.

64. Hudson J., Mazey D., Nelson R. Void formation in nickel during 20 MeV C++ irradiation at 525 oC. - J. Nucl. Mater., 1971, v. 41, p. 241-256.

65. Noms D. The use of high voltage microscope to simulate fast neutron-induced void swelling in metals. - J. Nucl. Mater., 1971, v. 40, p. 66-76.

66. Farrell K., Houston J., Wolfenden A., King R., Jostons A. Effects of structural imperfections on void in alluminium. - Radiation-induced Voids in Metals,

CONF-710601, edited by J. W. Corbett and L. C. Ianiello (Springfield, Virginia: National Technical Information Service), 1972, p. 376-385.

67. Zinkle S., Farrell K. Void swelling and defect cluster formation in reactor-irradiated copper. - J. Nucl. Mater., 1989, v. 168, p. 262-267.

68. Foreman A. A mechanism for the formation of a regular void array in an irradiated metal - Harwell Report AERE-R 7135, 1972.

69. Hohner P., Frank W. Self-organization of defect structure under high-temperature irradiation - a theory of void lattices - Sol. State Phenom. B, 1992, v. 23-24, p. 203-219.

70. Evans J. Observations of regular void array in high purity molybdenum irradiated with ions. - Nature, 1971, v. 229, p. 403-405.

71. Cawthorne C., Fulton E. Consultants symposium on the nature of small defect clusters, Harwell Report AERE-R5269, 1966, v. 2, p. 446.

72. Kulchinski G., Brimhall J., Kissinger H. Production of voids in nikel with high energy selenium ions. - J. Nucl. Mater., 1971, v. 40, p. 166-174.

73. Wiffen F. The effect of alloying and purity on the formation and ordering of voids in bcc metals. - Radiation-induced Voids in Metals, CONF-71061, edited by J. W. Corbett and L. C. Ianiello, Albany, 1972, p. 386-396.

74. Mazey D., Francis S., Hudson A. Observation of a partially-ordered void lattice in alluminium irradiated with 400 keV A1+ Ions. - J. Nucl. Mater., 1973, v. 47, p. 137-142.

75. Risbet A., Levy V. Ordre de cavités dans le magnesium et l'aluminium irradies aux neutrons rapides. - J. Nucl. Mater., 1974, v. 50, p. 116-118.

76. Loomis B., Gerber S., Taylor A. Void ordering in ion-irradiated Nb and Nb-l%Zr. -J. Nucl. Mater., 1977, v. 68, p. 19-31.

77. Garner A., Stubbins J. Saturation of swelling in neutron-irradiated molybdenum and its dependence on irradiation temperature and starting microstructural state. - J. Nucl. Mater., 1994, v. 212, p. 1298-1302.

78. Horsewell A., Singh B. Void hyperlattices in high-purity alluminium irradiated with fast neutrons. - Rad. Eff., 1987, v. 102, p. 1-5.

79. Sass S., Eyre B. Diffraction from void and bubble arrays in irradiated molybdenum. -Phylos. Mag., 1973, v. 27, N 6, p. 1447-1453.

80. Fisher S., Williams K. 75. Void spatial regularity in an electron-irradiated stainless steel. - Rad. Eff., 1977, v. 32(1-2), p. 123-124.

81. Калин Б.А., Чернов И.И. Упорядоченные структуры пор и пузырьков в облученных металлах и сплавах. - Атомн. техн. за рубежом, 1986, №10, с. 3-9.

82. Jäger W., Trinkaus Н. Defect ordering in metals under irradiation. - J. Nucl. Mater., 1993, v. 205, p. 394-410.

83. Ахиезер И.А., Давыдов Jl.H. К теории решеток пор. - Вопросы атомной науки и техники, Сер: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение, 1977, вып. 1(4)/2(5), с. 3-7.

84. Evans J. Void and bubble lattice formation in molybdenum: A mechanism based on two-dimensional self-interstitial diffusion. - J. Nucl. Mater. 1983, v. 119(2-3), p. 180-188.

85. Evans J., Foreman A. Some implications of anisotropic self-interstitial diffusion on void swelling in metals. - J. Nucl. Mater., 1985, v. 137(1), p. 1-6.

86. Garner F. Evolution of microstructure in face-centered cubic metals during irradiation. - J. Nucl. Mater., 1993, v. 205, p. 98-117.

87. Garner F., Toloczko M., Sencer B. Comparison of swelling and irradiation creep of fcc-austenitic and bcc-ferritic / martensitic alloys at high neutron exposure. - J. Nucl. Mater., 2000, v. 276, p. 123-142.

88. Singh В., Horsewell A., Gelles D., Garner F. Void swelling in copper alloys irradiated with fission neutrons. - J. Nucl. Mater., 1984, v. 191-194, p. 1172-1176.

89. Matsui H., Gelles D., Kohno Y. Large swelling observed in a V-5at%Fe alloy after irradiation in FFTF. In: Effects of Radiation on Materials: 15th International Symposium, ASTM STP 1125, Stoller R., Kumar A., and Gelles D., Eds., American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1992, p. 928-941.

90. Woo C., Singh B. The concept of production bias and its possible role in defect accumulation under cascade damage conditions. - Phys. Stat. Sol. B, 1990, v. 159, p. 609-616.

91. Woo C., Singh B. Production bias due to clustering of point defects in irradiation-induced cascades. - Phylos. Mag. A, 1992, v. 65, p. 889-912.

92. Singh B., Foreman A. Production bias and void swelling in the transient regime under cascade damage conditions. - Philos. Mag. A, 1992, v. 66, p. 975-990.

93. English C., Jenkins M. Molecular ion irradiations of molibdenum. - Philos. Mag., 2010, v. 90, p. 956-959.

94. Arakawa K., Ono K., Isshiki M., Mimura K., Uchikoshi M., Mori H. Observation of the one-dimensional diffusion of nanometer-sized dislocation loops. - Science, 2007, v. 318, p. 956-959.

95. Satoh Y., Matsui H. Obstacles for one-dimensional migration of interstitial clusters in iron. Philos. Mag., 2009, v. 89, p. 1489-1504.

96. Jenkins M., Yao Z., Hernandes-Mayoral M., Kirk M. Dynamic observations of heavy-ion damage in Fe and Fe-Cr alloys. - J. Nucl. Mater., 2009, v. 389, p. 197-202.

97. Osetsky Yu.N., Bacon D., Serra A., Singh B., Golubov S.I. One-dimensional atomic transport by clusters of self-interstitial atoms in iron and copper. - Philos. Mag., 2003, v. 83, p. 61-91.

98. Osetsky Yu.N., Bacon D., Serra A. Thermally-activated glide of small dislocation loops in metals. - Philos. Mag. Lett., 1999, v. 79, p. 273-282.

99. Barashev A.V., Golubov S.I. On the onset of void ordering in metals under neutron or heavy-ion irradiation. - Phylos. Mag., 2010, v. 90, N 13, p. 1787-1797.

100. Evans J.H. Comments on 'On the onset of void ordering in metals under neutron or heavy-ion irradiation'. - Phylos. Mag., 2011, v. 91, N 2, p. 201-203.

101. Golubov S.I., Singh B., Trinkaus H. On recoil-energy-dependent defect accumulation in pure copper. Part II. Theoretical treatment. - Philos. Mag. A, 2001, v. 81, p. 2533-2552.

102. Yoshida N., Xu Q., Watanabe H., Muroga T., Kiritani M. Low dose fission neutron irradiation on P- and Ti-modified austenitic alloys with improved temperature control -J.Nucl. Mater., 1992, v. 191-194,p. 1114-1118.

103. Rice P, Zinkle S. Temperature dependence of the radiation damage microstructure in V-4Cr-4Ti neutron irradiated to low dose - J. Nucl. Mater., 1998, v. 258-263 , p. 1414-1419.

104. Singh B., Golubov S.I., Trinkaus H., Serra A., Osetsky Yu.N., Barashev A.V. Aspects of microstracture evolution under cascade damage conditions. - J. Nucl. Mater., 1997, v. 251, p. 107-122.

105. Barashev A.V., Golubov S.I., Trinkaus H. Reaction kinetics of glissile interstitial clusters in a crystal containing voids and dislocations. - Phylos. Mag. A, 2001, v. 81, p. 2515-2532.

106. Barashev A.V., Golubov S.I. Unlimited damage accumulation in metallic materials under cascade-damage conditions - Phylos. Mag. A, 2009, v. 89, p. 2833-2860.

107. Mansur L., Brailsford A., Coghlan W. A cascade diffusion theory of sink capture fluctuations during irradiation of a solid. - Acta. Metal., 1985, v. 33, p. 1407.

108. Semenov A., Woo C. Fluctuations of point-defect fluxes to sinks under cascade damage irradiation. - J. Nucl. Mater., 1996, v. 233-237, p. 1045-1050.

109. Semenov A., Woo C.H. Applicability of the conventional master equation for the description of microstracture evolution under cascade-producing irradiation. - Appl. Phys. A, 1999, v. 69, p. 445-451.

110. Ovcharenko A.M., Woo C., Semenov A.A. Master-equation for cascade damage modeling - J. Nucl. Mater., 2005, v. 341, p. 201-208.

111. Balluffi R. Vacancy defect mobilities and binding energies obtained from annealing studies. - J. Nucl. Mater., 1978 , v. 69-70, p. 240-263.

112. Schober H., Zeller R. Structure and dynamics of multiple interstitials in FCC metals. -J. Nucl. Mater., 1978 , v. 69-70, p. 341-349.

113. Stubbins J., Moteff J., Taylor A. Void swelling behavior of vanadium ion irradiated molybdenum. - J. Nucl. Mater., 1981, v.101, p. 64-77.

114. Sikka V., Moteff J. Damage in neutron-irradiated molybdenum (I), characterization of as-irradiated microstracture. - J. Nucl. Mater., 1974, v. 54, p. 325-345.

115. Eyre B., Bartlett A. The damage structure formed in molybdenum by irradiation in fast reactor at 650°C. - J. Nucl. Mater., 1973, v. 47, p. 143-154.

116. Stoller R., Odette G. The effects of helium on microstructural evolution in an ion-irradiated low-swelling stainless steel. - J. Nucl. Mater., 1988, v. 154, p. 286-304.

117. Ovcharenko A.M., Golubov S.I., Woo C.H., Hanchen H. GMIC++: Grouping method in С++: an efficient method to solve large number of master equations. - Сотр. Phys. Comm., 2003, v. 152, p. 208-226.

118. Mikhlin E.Ya., Chkuaseli V.F. Kinetics of the early-stage gas porosity development caused by bubble coalescence - Phys. Stat. Sol. (a), 1975, v. 29, p. 331-337.

119. Nichols F. Kinetics of diffusional motion of pores in solids - J. Nucl. Mater.,1969, v. 30, p. 143-165.

120. Manzke R., Jager W., Trinkaus H., Crecelius G., Zeller R. Quantitative determination of the pressure of he in bubbles in al and ni. - Solid State Commun., 1982, v. 44(4), p. 481-484.

121. Chkuaseli V.F. Modelling of inert gas bubble behaviour during annealing of irradiated molybdenum. - J. Nucl. Mater., 1992 , v. 188, p. 258-261.

122. Smidt F., Pieper A. Properties of reactor structural alloys after neutron or particle irradiation, ASTM STP 570, American Society for testing and Materials, 1975, p. 352.

123. Конобеев Ю.В., Голубов С.И., Печенкин B.A. Распухание и газы в металлах под облучением. - Вопросы атомной науки и техники, Сер: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение, 1981, вып. 3(17), с. 44-55

124. Sciani V., Jung P. Diffusion of helium in fee metals - rad.Eff., 1983, v. 78, p. 87-99.

125. Chu-Chun Fu, Willaime F. Ab initio study of helium in a-Fe: Dissolution, migration, and clustering with vacancies - Phys.Rev.B, 2005, v 72, p. 064117

126. Russel K. The theory of void nucleation in metals. - Acta Metal., 1978, v.26, p. 1615-1630.

127. Черемской П.Г., Слезов B.B., Бетехтин В.И. Поры в твердом теле, М.: Энерго-атомиздат, 1990.