Задачи высокой информационной сложности и численные методы их решения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, доктор физико-математических наук Попов, Николай Михайлович

• Попов, Николай Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Попов, Николай Михайлович

Введение

Список обозначений

Глава 1. Оптимизационное задачи высокой информационной сложности и минимаксный подход к их исследованию

§ 1. Об исследуемых постановках задач оптимизации

1. Многокритериальные задачи в теории принятия решений

2. О выборе модели критерия эффективности

3. Особенности постановок исследуемых задач

§ 2. Оптимизационные задачи проектирования — примеры задач высокой информационной сложности

1. Задачи формирования облика в автоматизированном проектировании сложных технических объектов

2. О формировании облика летательных аппаратов .,.

3. Характерные черты задач проектирования и развиваемые численные методы

§ 3. Основные понятия и некоторые результаты теории оптимальных алгоритмов и информационной сложности

1. Модели вычислительных алгоритмов

2. Понятия оптимальных алгоритмов и информационной сложности задач

3. Некоторые известные результаты теории оптимальных алгоритмов и информационной сложности

4. Об информационной и комбинаторной сложности алгоритмов и задач

Глава 2. Информационная сложность задач оптимизации

§ 1. Понятия аппроксимации множества парето-оптимальных точек. Информационная сложность аппроксимации множества парето-оптимальных точек по функционалу

1. Основные определения

2. Информационная сложность построения ^-аппроксимации множества парето-оптимальных точек по функционалу

§ 2. Информационная сложность аппроксимации множества парето-оптимальных точек в пространстве стратегий

1. Трехпараметрическое семейство сеток

2. Информационная сложность построения (8,fi) -аппроксимации множества парето-оптимальных точек в классе пассивных алгоритмов

3. Асимптотическое оценивание информационной сложности построения (8,Р) -аппроксимации множества парето-оптимальных точек в классе последовательных алгоритмов

4. Обсуждение результатов. Сравнение информационной сложности разных постановок задачи аппроксимации множества парето-оптимальных точек

§ 3. Об информационной сложности глобальной оптимизации и глобального решения уравнений

1. Постановка вопросов

2. Оценивание и сравнение информационной сложности глобальной оптимизации и глобального решения уравнений

Глава 3. Алгоритмы многокритериальной оптимизации

§1. Обзор методов многокритериальной оптимизации

1. Предварительные сведения

2. Методы решения многокритериальных задач, основанные на скаляризации векторного критерия

3. Методы решения многокритериальных задач, не использующие скаляризацию векторного критерия

§ 2. Алгоритмы покрытий в многокритериальной оптимизации

1. Постановки задач и предварительные рассуждения

2. Алгоритмы построения (s,a) -аппроксимации множества парето-оптимальных точек по функционалу

3. Алгоритмы построения (5,(5, а) -аппроксимации множества парето-оптимальных точек в пространстве стратегий

§ 3. Вопросы устойчивости и регуляризации в многокритериальных задачах

1. Некоторые общие сведения о проблемах устойчивости и регуляризации. Различные трактовки устойчивости в многокритериальных задачах

2. Утверждения об устойчивости и регуляризации многокритериальных задач

Глава 4. Декомпозиционные методы оптимизации

§ 1. Общие аспекты развиваемого декомпозиционного подхода

1. О терминах "декомпозиция", "декомпозиционные методы"

2. Предпосылки и принципы создания декомпозиционных численных методов

§ 2. Двухуровневые схемы глобальной и многокритериальной оптимизации

1. Двухуровневая схема поиска глобального максимума скалярной функции

2. Двухуровневая схема построения множества парето-оптимальных точек в многокритериальных задачах с ограничениями

§ 3. Многоуровневые декомпозиционные методы оптимизации

1. Модельная декомпозиция в многокритериальной оптимизации.

2. О применении декомпозиционных методов оптимизации

Глава 5. Квадратурные формулы интегрирования с двумя моделями вычисления подынтегральной функции

§ 1. Двухмодельные квадратурные формулы

1. Построение двухмодельных квадратурных формул

2. Погрешность двухмодельных квадратур на классах функций с ограниченной г-ой производной .,.

3. О применении двухмодельных квадратурных формул

§ 2. Задачи об оптимальных двухмодельных квадратурных формулах на классе липшицевых функций

1. Постановка задач об оптимальных двухмодельных квадратурах

2. Вспомогательные рассуждения

3. Оптимальные коэффициенты двухмодельных квадратурных формул

4. Оптимальные двухмодельные квадратурные формулы с единственным основным узлом

5. Оптимальный выбор вспомогательных узлов в двухмодельной квадратуре с двумя основными узлами, совпадающими с концами отрезка интегрирования

6. Оптимальные двухмодельные квадратуры с произвольным количеством основных и вспомогательных узлов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи высокой информационной сложности и численные методы их решения»

Анализ сложности многообразных задач вычислительной математики и создание рациональных, эффективных численных методов является важной и актуальной проблематикой. В современной литературе имеются различные трактовки сложности — информационная сложность и комбинаторная (вычислительная) сложность. Поясним эти термины, не давая пока формализованных определений. С позиций минимаксной концепции [136, 214, 227] информационная сложность задачи — это минимальное количество информационных вычислений, обеспечивающее гарантированное решение данной задачи с требуемой точностью. Например, для экстремальных задач информационными обычно считаются вычисления значений целевой функции, ее производных, каких-нибудь других ее характеристик. Комбинаторной сложностью задачи называют минимальное число элементарных операций, необходимое для отыскания ее решения по располагаемой и добываемой информации о данной задаче. Понятия информационной и комбинаторной сложности отражают разные стороны общей проблемы сложности задач — проблемы, называемой авторами [227] одной из центральных в вычислительной математике (см. [227], стр. 10).

Нередко встречаются задачи, при решении которых на ЭВМ подавляющая доля машинного времени затрачивается на информационные вычисления. Трудоемкость решения подобных задач характеризуют их информационной сложностью, и именно такие задачи изучаются в этой диссертации. Говоря конкретнее, диссертация посвящена задачам и численным методам оптимизации и интегрирования со сложными информационными вычислениями. Яркими примерами прикладных задач указанного типа служат задачи из области проектирования технических объектов. Далее во введении, говоря о сложности задач, всюду будем иметь ввиду их информационную сложность.

Как правило, сложность задач оценивают по отношению к тем или иным классам алгоритмов их решения. Существует неразрывная связь между понятиями сложности задач и оптимальности алгоритмов. Выражаясь здесь не вполне строго, сложность задачи можно определить как трудоемкость "оптимального по сложности" алгоритма из некоторого фиксированного класса методов, решающих эту задачу с требуемой точностью. (Строгие формулировки понятий сложности задач и оптимальности алгоритмов, основанные на минимаксной концепции [136, 214, 227], даются во вводно-обзорной главе 1.) К настоящему времени теория информационной сложности и оптимальных алгоритмов сформировалась как перспективное, интенсивно развивающееся направление в проблематике оптимизации вычислительных процессов. Ряд основных результатов диссертации примыкает непосредственно к этой теории.

Важная особенность исследований, описываемых в диссертации, заключается в том, что они были инициированы и проводились в русле работ по созданию системы автоматизированного проектирования (САПР) сложных технических объектов. Таким образом, материал диссертации довольно тесно связан с тематикой САПР, хотя и существенно выходит за ее рамки. Развиваемые в данной работе численные методы оптимизации и интегрирования ориентированы, в первую очередь, на прикладные задачи проектирования технических объектов. Более того, в сфере проектирования лежат истоки и предпосылки возникновения некоторых из предлагаемых методов. Дело в том, что применение традиционных вычислительных процедур и алгоритмов в проектировании зачастую сталкивается с определенными трудностями и не всегда оказывается эффективным. Поэтому, возникла интересная идея построения таких численных методов, которые, обладая математической строгостью, учитывали бы в той или иной степени технологию проведения расчетов характеристик создаваемых технических объектов, используемую конструкторами в своей деятельности. Разработка и изучение подобных "нетрадиционных" численных методов является одной из главных целей данной диссертации.

Бо'лыная часть диссертации отведена задачам и численным методам оптимизации. Обычно при построении методов оптимизации делаются те или иные априорные предположения о критерии эффективности (целевой функции) и области его задания. Желательно, чтобы такие предположения были по возможности адекватны реальным задачам, для решения которых предназначаются конструируемые методы. Часто критерий эффективности относят к какому-либо функциональному классу, и этот класс служит идеализированной моделью реальных целевых функций. Характерными аспектами интересующих нас задач оптимизации являются многокритериальность, невыпуклость, многоэкстре-мальность, отсутствие явного аналитического вида критерия эффективности, высокая трудоемкость расчета значений критерия и невозможность вычисления его производных с приемлемой точностью. Отмеченные черты свойственны, в частности, оптимизационным задачам проектирования сложных технических объектов. В качестве модели целевых функций, достаточно адекватной указанным задачам и, вместе с тем, удобной для теоретических исследований и рационального построения алгоритмов, в диссертации принимается класс функций, удовлетворяющих условию Липшица на компактном множестве. Подробнее вопрос о выборе модели критерия эффективности обсуждается в главе 1.

В настоящей работе оптимизационные задачи чаще рассматриваются в многокритериальной постановке. Под точным решением в них понимается множество оптимальных по Парето (иногда — оптимальных по Слейтеру) стратегий. При этом все результаты, полученные для многокритериальных задач, как частные случаи автоматически распространяются на скалярные задачи глобальной оптимизации. Углубленное внимание обращается на разные трактовки аппроксимации множества парето-оптимальных стратегий — аппроксимации "по функционалу" (по значениям векторного критерия) и аппроксимации "по аргументу" (в метрике пространства стратегий). Второе из названных понятий сильнее первого в том смысле, что при стандартных предположениях (компактность множества стратегий, непрерывность критерия) аппроксимация множества паретовских стратегий "по аргументу" обеспечивает аппроксимацию того же множества и "по функционалу", но не верно обратное утверждение. Для скалярных оптимизационных задач указанные два вида аппроксимации решений означают соответственно отыскание произвольной допустимой точки, в которой значение целевой функции близко к глобальному экстремальному, и приближенное нахождение всего множества точек глобального экстремума. Известные до сих пор результаты по оцениванию сложности задач оптимизации (и скалярных, и многокритериальных) были получены, главным образом, в ситуациях, когда искомое решение аппроксимировалось "по функционалу". Вопросы же аппроксимации "по аргументу" всего множества точных решений в оптимизационных задачах долгое время оставались недостаточно исследованными. В диссертации с точки зрения сложности анализируются оба упомянутых типа аппроксимации множества парето-оптимальных стратегий, причем гораздо бо'лыпие усилия сосредоточены на трактовке аппроксимации "по аргументу" ввиду ее меньшей изученности. Оказывается (см. главу 2), что при естественных допущениях и корректных условиях сравнения сложность аппроксимации множества паретовских стратегий "по аргументу" существенно превышает сложность аппроксимации этого множества "по функционалу". Получена соответствующая количественная оценка. По сложности сравниваются также задачи скалярной глобальной оптимизации и глобального поиска корней нелинейных уравнений.

Трактовки аппроксимации решений "по функционалу" и "по аргументу" находятся в центре внимания и при построении в главе 3 алгоритмов многокритериальной оптимизации, относящихся к классу методов покрытий. В большинстве ранее известных методов такого рода точность решений оценивалась "по функционалу". Однако, технику методов покрытий удается приспособить и для аппроксимации множества паретовских стратегий "по аргументу", и в частности, для приближенного отыскания множества точек глобального экстремума скалярной целевой функции.

Разработка численных методов многокритериальной и глобальной оптимизации ведется в диссертации по двум направлениям. Во-первых, — это конструирование алгоритмов путем изыскания каких-либо новых или не полностью исчерпанных возможностей в русле традиционных идей и подходов, таких как минимаксная концепция оптимальности, техника методов покрытий для решения многоэкстремальных задач с липшицевыми функциями. Алгоритмы подобного рода предлагаются в главе 3. Второе направление заключается в развитии так называемого декомпозиционного подхода к решению оптимизационных задач, основанного на предположении о наличии двух или более вычислительных моделей критерия эффективности. Данное направление освещается в главе 4. Скажем здесь немного об истоках его возникновения, лежащих в области проектирования сложных технических объектов.

Отправными посылками для разработки декомпозиционных численных методов послужили следующие соображения. Как известно, на роль критерия эффективности в оптимизационных задачах проектирования технических объектов чаще всего выбираются характеристики реального функционирования этих объектов, отражающие цели их создания. Для расчета каждой такой характеристики в распоряжении конструктора обычно имеется не один, а целый ряд способов (и соответствующих вычислительных процедур), называемых в данной диссертации вычислительными (расчетными) моделями. На практике использование той или другой модели бывает продиктовано многообразными факторами. Иногда одну и ту же характеристику проектируемого объекта конструктор специально определяет с помощью разных моделей, сопоставляя получаемые результаты. Такое координированное применение вычислительных моделей является неотъемлемой частью конструкторской технологии, и данное обстоятельство должно учитываться разработчиками САПР технических объектов. Модели расчета одной и той же характеристики могут сильно различаться по точности и сложности, причем, как правило, чем точнее модель, тем выше оказывается ее сложность.

Итак, гипотеза о наличии нескольких вычислительных моделей критерия эффективности представляется вполне естественной, по крайней мере, для задач в сфере проектирования. Нередко встречается следующая ситуация. Исходное множество альтернативных вариантов нового технического объекта выбрано настолько обширным, что за отведенное время не удается решить задачу "оптимального проектирования", используя только точную, но сложную вычислительную модель критерия из-за ограниченного быстродействия ЭВМ. С другой стороны, решение той же задачи, относительно легко находимое с привлечением лишь какой-нибудь простой, но грубой модели критерия, имеет неприемлемую погрешность. В подобной ситуации желательно комбинировать разные расчетные модели так, чтобы получить удовлетворительный по точности результат, затрачивая как можно меньше времени.

Принцип сочетания и координированного применения нескольких различающихся по точности и сложности вычислительных моделей критерия эффективности воплощается в декомпозиционных методах глобальной и многокритериальной оптимизации, построенных в главе 4. При этом требуется определенная согласованность точной и грубых моделей критерия. В идейном плане развиваемым декомпозиционным методам оптимизации предшествует теория иерархических схем проектирования [29 — 32, 99 — 101, 103]. Отметим также, что предлагаемые в главе 4 методы являются нетрадиционными по типу выполняемых в них информационных вычислений.

С позиций объявленного декомпозиционного подхода, при его соответствующей корректировке, можно разрабатывать и методы численного решения задач совершенно других типов (а не только задач оптимизации). Эта идея реализуется в заключительной главе 5, где рассматривается задача численного интегрирования, и вводится класс квадратурных формул, базирующихся на двух различающихся по точности и сложности расчетных моделях подынтегральной функции. Такие квадратурные формулы названы двухмодельными или декомпозиционными. Они ориентированы, в первую очередь, на вычисление интегралов в задачах проектирования технических объектов.

Подчеркнем, что в современной литературе понятия "декомпозиционный подход", "декомпозиционный метод" допускают очень широкое толкование. В настоящей работе за ними закрепляется вполне конкретный смысл, и их не следует отождествлять с аналогичными терминами, употребляемыми во многих статьях и монографиях.

С точки зрения создания САПР как системы, основанной на знаниях и технологических принципах работы конструкторов, построенные в главах 4, 5 декомпозиционные методы представляют интерес не только как собственно численные методы, но и потому, что в них отражены некоторые элементы конструкторской технологии, а именно — сочетание и координированное использование разных моделей расчета функциональных характеристик проектируемых объектов.

Охарактеризовав в самых общих чертах направления исследований, проводимых в диссертации, коротко опишем ее содержание по главам. Каждая из пяти глав диссертации разбита на параграфы, которые, в свою очередь, состоят из более мелких разделов — пунктов.

Главу 1 в целом следует рассматривать как развернутое введение к остальным главам. Ее параграфы весьма разноплановы по излагаемому в них материалу. В §1 обсуждаются основные черты и специфика (высокая информационная сложность, многокритериальность и т.д.) задач оптимизации, изучаемых в настоящей работе. Приводятся необходимые в дальнейшем сведения о многокритериальных задачах. Дается аргументация в пользу условия Липшица как достаточно адекватного и, вместе с тем, "удобного" (хотя и не лишенного недостатков) ограничения на целевые функции во многих реальных задачах. Упоминается ряд известных подходов к решению экстремальных задач с лип-шицевыми функциями. Следующий §2 посвящен одному из классов прикладных задач высокой информационной сложности — оптимизационным задачам проектирования сложных технических объектов и, конкретно, летательных аппаратов. Показывается многокритериальная сущность таких задач. Наибольшее внимание концентрируется на тех их аспектах, которые послужили предпосылками для разработки новых, в том числе декомпозиционных численных методов. Наглядно продемонстрировано, что для расчета летных и других характеристик летательных аппаратов в практике проектирования широко используются различающиеся по точности и сложности вычислительные модели. Заключительный §3 главы 1 как бы предваряет главу 2. В нем вводятся терминология и понятия из теории оптимальных (минимаксных) алгоритмов и информационной сложности, а затем предлагается обзор известных результатов этой теории. В обзоре, во-первых, прослеживаются общие (с точки зрения данной теории) закономерности, свойственные сразу нескольким типам задач вычислительной математики, таким как оптимизация, интегрирование, приближение функций. А во-вторых, в том же обзоре отражены исследования широкого спектра оптимизационных задач: от традиционных скалярных — унимодальных, выпуклых, липшицевых, гладких — до сравнительно новых — многокритериальных задач с различными принципами оптимальности решений, задач оптимизации по бинарным отношениям и функциям выбора. Все собранные в указанном обзоре результаты образуют общую картину, на фоне которой излагается материал главы 2.

В главе 2 изучается сложность (информационная) липшицевых задач приближенного построения множества парето-оптимальных точек (стратегий).

Показано, как существенно она зависит от постановки задач, от того, каким образом в них определяется понятие аппроксимирующего решения. В §1 вводятся трактовки аппроксимации множества паретовских стратегий "по функционалу" и "по аргументу". Каждая из данных трактовок предписывает свой способ измерения погрешности приближенного решения в многокритериальных задачах. Кроме того в §1 легко устанавливается сложность задачи аппроксимации "по функционалу" множества паретовских стратегий. Найден оптимальный (по сложности) пассивный алгоритм такой аппроксимации, являющийся оптимальным и в более широком классе последовательных алгоритмов. Отметим, что этот факт близок к ранее полученному результату в [213], представленному также в [214]. Значительно бо'лыпих усилий потребовал анализ сложности задачи аппроксимации множества парето-оптимальных стратегий "по аргументу", проводимый в §2. Сначала построен оптимальный пассивный алгоритм решения этой задачи. Затем доказывается асимптотическая оптимальность семейства таких алгоритмов при стремлении к нулю параметров аппроксимации. Тем самым, для сложности задачи аппроксимации множества паретовских стратегий "по аргументу" обосновывается асимптотическая оценка. Конструктивно реализовать указанные оптимальные алгоритмы и явно подсчитать информационную сложность рассматриваемых задач легко удается, когда множество допустимых стратегий — координатный параллелепипед в пространстве с кубической (чебышевской) метрикой. В этом случае при корректных условиях сравнения сложность аппроксимации "по аргументу" множества паретовских стратегий выше сложности аппроксимации "по функционалу" того же множества "примерно" в 2 м раз, где N — размерность пространства стратегий. Наконец, в §3 по сложности сравниваются лшшшцевы задачи приближенного отыскания множества точек глобального экстремума скалярной функции и множества корней нелинейного уравнения. Если решения обеих этих задач ищутся на А-мерном параллелепипеде в пространстве с кубической метрикой, то (опять-таки при некоторых корректных условиях) первая из них "сложнее" второй "примерно" в 2м раз. Основные результаты главы 2 могут рассматриваться в русле выдвигаемой в [227] общей проблемы построения иерархии сложности разнообразных задач вычислительной математики.

Глава 3 посвящена алгоритмам многокритериальной оптимизации. В §1 делается обзор известных численных методов приближенного нахождения множеств паретовских и слейтеровских стратегий. Коротко упоминаются некоторые подходы, развиваемые в линейной многокритериальной оптимизации. Обсуждаемые более подробно методы решения нелинейных задач разделены на две группы. Первая из них объединяет методы, в которых осуществляется какая-либо скаляризация векторного критерия, и таким образом, многокритериальная задача сводится к совокупности скалярных экстремальных задач. Вторая группа включает методы, оперирующие с векторным критерием непосредственно, без его скаляризации. В §2 предлагаются и обосновываются последовательные алгоритмы приближенного решения липшицевых многокритериальных задач с функциональными ограничениями, относящиеся к классу методов покрытий. Причем сконструированы как алгоритмы, позволяющие аппроксимировать множество парето-оптимальных стратегий "по функционалу", так и алгоритмы, обеспечивающие аппроксимацию того же множества "по аргументу". Последние заслуживают повышенного внимания в связи с тем, что в ранее известных методах покрытий (и скалярных, и многокритериальных) погрешность решений всегда (или почти всегда) оценивалась "по функционалу". На классе задач без функциональных ограничений указанные алгоритмы (точнее говоря, упрощенные модификации указанных алгоритмов) обладают свойствами оптимальности. Специальные методы построены для решения овражных многокритериальных задач. Обсуждаются некоторые аспекты программной реализации и практического использования предлагаемых алгоритмов. Рассматриваются соответствующие примеры. Однокритериальные версии всех алгоритмов из §2 представляют самостоятельный интерес как методы скалярной глобальной оптимизации. В §3 освещаются вопросы устойчивости многокритериальных задач относительно погрешностей вычислений. Обосновываются схемы регуляризации для решения неустойчивых многокритериальных задач.

В главе 4 разрабатываются декомпозиционные методы глобальной и многокритериальной оптимизации. В §1 излагаются (более развернуто, чем в настоящем введении) предпосылки возникновения и принципиальные особенности развиваемого декомпозиционного подхода. Исходным предположением служит гипотеза о наличии двух или нескольких вычислительных моделей критерия эффективности в оптимизационной задаче. Считается, что наиболее сложная модель является точной, а остальные — приближенные (грубые) модели согласованы с ней. Описанию и обоснованию декомпозиционных методов оптимизации посвящены §§ 2, 3. Условия согласования вычислительных моделей критерия задаются в форме неравенств Липшица для погрешностей (расхождений) грубых моделей относительно точной сложной модели. (Указанные погрешности рассматриваются как функции на множестве допустимых точек.) В содержательном плане такая согласованность расчетных моделей означает, что расхождение между ними от точки к точке не может изменяться "слишком резко". За счет координированного использования согласованных моделей критерия эффективности в декомпозиционных методах удается рационально организовать процесс решения трудоемких оптимизационных задач. Предлагаемые методы позволяют вести отбраковку неоптимальных точек с помощью простых грубых моделей критерия и, по возможности, реже прибегать к вычислениям на его точной сложной модели. Обсуждаются вопросы практического применения декомпозиционных методов оптимизации, и их работа иллюстрируется на примерах. Эффективность этих методов существенно зависит от того, насколько "хорошо" согласованы используемые в них расчетные модели.

В завершающей главе 5 общие идеи декомпозиционного подхода к задачам оптимизации переносятся на другую область — численное интегрирование. В §1 описывается класс так называемых двухмодельных квадратурных формул для приближенного нахождения определенных интегралов от функций одной переменной. Особенность указанных формул (объясняющая их название) состоит в том, что они базируются на двух согласованных вычислительных моделях подынтегральной функции, одна из которых — точная, но сложная, а другая — простая, но грубая. Целью построения двухмодельных квадратур является повышение точности интегрирования при ограниченном количестве вычислений значений подынтегральной функции на ее сложной модели. Такое повышение точности достигается благодаря координированному использованию обеих моделей подынтегральной функции. Получена оценка погрешности двухмодельных квадратурных формул на классах функций с ограниченной г-ой производной. Рассматривается одна из конкретных формул такого рода — двухмодельная квадратура Симпсона, и обсуждается возможная область их приложения. Как известно, в теории численного интегрирования много внимания уделяется задачам об оптимальных (наилучших) квадратурах на различных функциональных классах. В §2 подобные задачи формулируются применительно к двухмодельным квадратурным формулам. Исследование этих задач, довольно большое по объему, проводится для класса лшшшцевых подынтегральных функций. Оно позволяет глубже проанализировать эффективность развиваемого подхода к вычислению интегралов, полнее продемонстрировать важную роль согласованности расчетных моделей подынтегральной функции, а также оценить потенциальный выигрыш в точности интегрирования, который двухмодельные квадратурные формулы могут обеспечить по сравнению с традиционными (одномодельными) квадратурами. В ряде ситуаций оптимальные узлы и коэффициенты двухмодельных формул удается найти в явном виде. Построение оптимальной двухмодельной квадратуры в наиболее общем случае сводится к целочисленной оптимизационной задаче специального вида, для решения которой указывается подходящий алгоритм.

По-видимому, результаты глав 4, 5, полученные в рамках декомпозиционного подхода к задачам оптимизации и интегрирования, могут служить косвенным теоретическим подтверждением правомерности и эффективности таких технологических приемов работы конструкторов, как сочетание и координированное применение разных моделей и способов расчета характеристик проектируемых сложных технических объектов.

Скажем несколько слов о нумерации утверждений и формул в диссертации. Теоремы, леммы, а также озаглавленные определения и примеры нумеруются в пределах каждой главы. При ссылках на них в той же главе, где они находятся, указываются их номера. В ссылках же на теоремы, леммы, определения из других глав кроме соответствующих номеров обязательно называются разделы (пункты, параграфы, главы), в которых эти теоремы, леммы, определения содержатся. Формулы, ввиду их большого количества, нумеруются заново в пределах каждого параграфа. При ссылках на формулы в том же параграфе, где они введены, используются только их номера. Для упоминания формул из других параграфов в той же главе применяется двойная нумерация: первое число означает номер параграфа, а второе — номер формулы в этом параграфе. В ссылках на формулы других глав к названным двум номерам добавляется номер главы. Так, формула (10) внутри §1 главы 2 именуется просто формулой (10), в других параграфах главы 2 — формулой (1.10), а вне главы 2 — формулой (1.10) гл. 2.

Результаты диссертации опубликованы в [168 — 170, 172 — 191, 280], а также в [39, 53 — 59].

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Здесь перечисляются лишь некоторые из обозначений, употребляемых в данной работе. Не приводятся стандартные общепринятые символы. Все прочие обозначения в тексте используются только после того, как они введены, и в необходимых местах сопровождаются пояснениями. — равно по определению;

Я" — /2-мерное координатное пространство ;

1п - {/, 2 , . , п) — множество индексов ;

К = {а = (а1,.,а„)\ щ >0, ¿е/й}; К = {а = (а1,.,ап) \ а{>0 , /€/„}; г — метрика в координатном пространстве ;

Л(Х, ¥)= вир т/ г(х, у) — отклонение множества X от множества 7; х&Х

ЩХ, У) = тах{Л(X, У), Л(У, X)} — расстояние по Хаусдорфу между множествами X и 7 (метрика Хаусдорфа); — бинарное отношение Парето ;

--бинарное отношение Слейтера;

М\ —число элементов конечного множества М; (X) — множество значений функции (вектор-функции, отображения) /, заданной на множестве X;

А^тах / (х)—множество точек максимума скалярной функции / на хеХ множестве Х \

Р-Р^(Х) — множество оптимальных по Парето точек (стратегий) по векторному критерию / = (/],-■■,/„) на множестве X ;

Б-8у(Х) — множество оптимальных по Слейтеру точек (стратегий) по векторному критерию / = (/],.,/„) на множестве X;

20

Р) — множество оптимальных по Парето точек (оценок) на множестве /(X) в пространстве значений векторного критерия / = (/¡,.,/„) ; (Б) — множество оптимальных по Слейтеру точек (оценок) на множестве /(X) в пространстве значений векторного критерия / = (/1>.-,/„) ;

Ь) — класс функций (вектор-функций), удовлетворяющих условию Липшица с константой Ь ; — символ окончаний доказательств, озаглавленных определений, примеров, замечаний, описаний алгоритмов и численных методов.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Попов, Николай Михайлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подытожим основные результаты диссертации.

1. Исследована и оценена количественно информационная сложность липшице-вых многокритериальных задач построения множества парето-оптимальных точек (и в частности, липшицевых скалярных задач глобальной оптимизации). Теоретически показано, как существенно информационная сложность этих задач зависит от их постановки, от того, каким образом в них вводится понятие аппроксимирующего решения. Изучен также вопрос о соотношении между информационными сложностями липшицевых задач глобальной оптимизации и поиска корней нелинейных уравнений.

2. Построены и обоснованы новые алгоритмы многокритериальной (и в частности, скалярной глобальной) оптимизации, относящиеся к классу методов покрытий. Причем сконструированы не только алгоритмы, позволяющие множество парето-оптимальных точек аппроксимировать по значениям векторного критерия (как в ряде известных работ), но и алгоритмы приближения паретовского множества в пространстве аргументов. Рассмотрены вопросы устойчивости и регуляризации в многокритериальных задачах.

3. Предложен и разработан декомпозиционный подход к решению задач глобальной и многокритериальной оптимизации. В его основе лежит идея о координированном применении двух или более различающихся по точности и сложности, но согласованных вычислительных моделей критерия эффективности.

4. Общие идеи декомпозиционного подхода к задачам оптимизации перенесены на другую область — численное интегрирование. Введен класс квадратурных формул, базирующихся на двух различающихся по точности и сложности согласованных вычислительных моделях подынтегральной функции. Найдена гарантированная точность таких двухмодельных формул на классах функций

378 с ограниченной г-ой производной. Исследованы задачи об оптимальных двухмодельных квадратурах на классе липпшцевых функций. 5. Разработанные в диссертации алгоритмы использованы в системе автоматизированного проектирования летательных аппаратов (ЛА).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Попов, Николай Михайлович, 1999 год

1. Абрамова М.В. Аппроксимация множества Парето с помощью двухпарамет-рического семейства сверток // Программное обеспечение вычислительных комплексов. М.:МГУ. 1985. С. 155 —160.

2. Абрамова М.В. Способ сокращения вычислительных затрат при аппроксимации множества Парето // Программное обеспечение и модели системного анализа. М.-.МГУ. 1991. С. 186 —190.

3. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов. М.: Наука. 1990.

4. Анциферов Е.Г., Булатов В.П. Алгоритм симплексных погружений в выпуклом программировании // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 3. С. 377 — 384.

5. Афанасьев А.Ю. О поиске минимума функции с ограниченной второй производной//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1974. Т. 14. № 4. С. 1018 — 1021.

6. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир. 1979.

7. Бабий А.Н. Алгоритм нахождения значения глобального экстремума функции нескольких переменных с заданной точностью // Кибернетика. 1978. №5. С. 52 —56.

8. Бабушка И., Соболев C.JI. Оптимизация численных методов // Api. Mat. 1965. Т. 10. №2. С. 96 — 130.

9. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1989.

10. Баничук Н.В., Бирюк В.И., Сейранян А.П. и др. Методы оптимизации авиационных конструкций. М.: Машиностроение. 1989.

11. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестник Моск. ун-та. Матем., механ., астрон., физ., хим. 1959. № 4. С. 3 —18.

12. Бахвалов Н.С. Об оптимальных способах задания информации при решении дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2. №4. С. 569 —592.

13. Бахвалов Н.С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. И. №4. С. 1014 — 1018.

14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука. 1987.

15. БеллманР. Динамическое программирование. М.:ИЛ. 1960.

16. Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. М.: Наука. 1981.

17. Васильев Н.С. К отысканию глобального минимума квазивогнутой функции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1983. Т. 23. №2. С. 307 — 313.

18. Васильев Н.С. О новом подходе к численному решению нелинейных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т. 30. № 11. С. 1638 — 1645.

19. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981.

20. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1988.

21. Вен В.Л., Крысов Ю.А. Агрегирование в задачах оптимизации. М.: Наука. 1991.

22. Верпшк А.М., Спорышев П.В. Асимптотическая оценка среднего числа шагов параметрического симплекс-метода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26. №6. С. 813 —826.

23. Витушкин А.Г. Оценка сложности задач табулирования. М.: Физматгиз. 1959.

24. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука. 1980.

25. Волков Е.А. О поиске максимума функции и приближенном глобальном решении системы нелинейных уравнений // Труды МИАН СССР. 1974. Т. 131. С. 64 —80.

26. Вопросы анализа и процедуры принятия решений. Сборник переводов / Под ред. И.Ф. Шахнова. М.:Мир. 1976.

27. Вопросы кибернетики. Модели и методы глобальной оптимизации / Под ред. В.В. Федорова. М.: Науч. совет АН СССР по компл. пробл. " Кибернетика". 1985.

28. Вязгин В.А. О некоторых схемах последовательного анализа вариантов в проектировании технических систем // Известия АН СССР. Технич. киберн. 1984. №6. С. 63 —68.

29. Вязгин В.А. Иерархическая схема проектирования динамических систем // Известия АН СССР. Технич. киберн. 1987. №4. С. 37 —42.

30. Вязгин В.А., Федоров В.В. О задаче оптимизации параметров динамических систем//Известия АН СССР. Технич. киберн. 1984. №1. С. 99 — 105.

31. Вязгин В.А., Федоров В.В. Математические методы автоматизированного проектирования. М.: Высш. школа. 1989.

32. Ганшин Г.С. Оптимизация алгоритмов на классах сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т. 19. №4. С. 811—821.

33. Ганшин Г.С. Вычисление наибольшего значения функций нескольких переменных // Кибернетика. 1983. №2. С. 61—63.

34. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука. 1971.

35. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука. 1976.

36. Глинкин И.А. Об одновременном поиске экстремумов нескольких функций // Математические методы в исследовании операций. М.: МГУ. 1981. С. 46 — 54.

37. Голиков А.И., Коткин Г.Г. Характеристика множества оптимальных оценок задачи многокритериальной оптимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. № 10. С. 1461 —1474.

38. Головкин Н.М., Попов Н.М. Оптимальное планирование эксперимента в АСНИ // Автоматизация научных исследований. Тезисы докладов XXI Всесоюзной школы. Фрунзе: Илим. 1987. С. 55.

39. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: МГУ. 1983.

40. Гурвиц Л. Программирование в линейных топологических пространствах // Исследования по линейному и нелинейному программированию. М.: ИЛ. 1962. С. 65 —155.

41. Гуткин Л.С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокупности показателей качества. М.: Сов. радио. 1975.

42. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир. 1982.

43. Давидсон М.Р. Липшиц-непрерывность парето-оптимальных крайних точек // Вестник Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1996. № 4. С. 41 — 45.

44. Данилин Ю.М. Оценка эффективности одного алгоритма отыскания абсолютного минимума // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. № 4. С. 1026 —1031.

45. Данилин Ю.М., Пиявский С.А. Об одном алгоритме отыскания абсолютного минимума // Теория оптимальных решений. Вып. 2. Киев: ИК АН УССР. 1967. С. 25 —37.

46. Данскин Дж. Теория максимина. М.: Сов. радио. 1970.

47. Даффин Р, Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. М.: Мир. 1972.

48. Декомпозиция и координация в сложных системах. Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции. Ч. I, П, Ш. Челябинск: ЧПИ. 1986.

49. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука. 1981.

50. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука. 1972.

51. Дмитровский А.Е. О структурно-параметрическом синтезе сложных агре-гативных систем // Математические методы в теории САПР, роботов и систем. Калинин: КГУ. 1988. С. 159 — 169.

52. Дмитровский А.Е., Попов Н.М. Вопросы устойчивости в процессе проектирования сложных технических систем // Известия АН СССР. Технич. ки-берн. 1981. №4. С. 50 —57.

53. Дмитровский А.Е., Попов Н.М. Принципы построения гибридной интеллектуальной системы формирования облика сложных технических объектов // ЭВМ новых поколений и перспективы их использования в народном хозяйстве. М.: МДНТП. 1989. С. 153 —159.

54. Дмитровский А.Е., Попов Н.М. Гибридная интеллектуальная система формирования облика технических объектов // Гибридные интеллектуальные системы. Тезисы докладов Всесоюзной научно-практической конференции. 4.2. Ростов на Дону-Терскол. 1991. С. 44.

55. Дмитровский А.Е., Попов Н.М. Развитие системы формирования облика сложных технических объектов // Системное программирование и модели исследования операций. М.: МГУ. 1993. С. 195—204.

56. Дубов Ю.А. Устойчивость оптимальных по Парето векторных оценок и ^-равномерные решения // Автоматика и телемеханика. 1981. № 6. С. 139 — 146.

57. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука. 1986.

58. Дымков М.П. Исследование задач многокритериального линейного программирования. Минск: Наука и техника. 1981. С. 25 — 42.

59. Евтушенко Ю.Г. Численный метод поиска глобального экстремума функций (перебор по неравномерной сетке) // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. №6. С. 1390 — 1403.

60. Евтушенко Ю.Г. Методы поиска глобального экстремума // Исследование операций (модели, системы, решения). М.: ВЦ АН СССР 1974. С. 39 — 68.

61. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в диалоговых системах оптимизации. М.: Наука. 1982.

62. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Об одном подходе к систематизации численных методов нелинейного программирования // Известия АН СССР. Тех-нич. киберн. 1983. №1. С. 47 —59.

63. Евтушенко Ю.Г., Потапов М.А. Методы численного решения многокритериальных задач//Докл. АН СССР. 1986. Т. 291. №1. С. 25 —29.

64. Евтушенко Ю.Г., Потапов М.А. Численные методы решения многокритериальных задач // Кибернетика и вычислительная техника. Вып. 3. М.: Наука. 1987. С. 209 —218.

65. Евтушенко Ю.Г., Ратькин В.А. Метод половинных делений для глобальной оптимизации функций многих переменных // Известия АН СССР. Технич. киберн. 1987. №1. С. 119 —127.

66. Егер С.М., Лисейцев Н.К., Самойлович О. С. Основы автоматизированного проектирования самолетов. М.: Машиностроение. 1986.

67. Ерешко Ф.И., Злобин A.C. Алгоритм централизованного распределения ресурса между активными подсистемами // Экономика и матем. методы. 1977. Т. 13. Вып. 4. С. 703—713.

68. Ерёмин И.И. Метод штрафных функций в задачах векторной оптимизации // Труды института математики и механики УНЦ АН СССР. Свердловск. 1973. Вып. 5. С. 63 —73.

69. Ерёмин И.И., Мазуров В.Д. Нестационарные процессы математического программирования. М.: Наука. 1979.

70. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука. 1975.

71. Жадан В.Г. Метод параметризации целевых функций в условной многокритериальной оптимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26. №2. С. 177 — 189.

72. Жадан В.Г. Методы штрафных функций в задачах условной многокритериальной оптимизации // Кибернетика и вычислительная техника. Вып. 3. М.: Наука. 1987. С. 219 —229.

73. Жиглявский A.A. Математическая теория глобального случайного поиска. Л.: ЛГУ. 1985.

74. Жиглявский A.A., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. М.: Наука. 1991.

75. Жилинскас А.Г. Глобальная оптимизация. Аксиоматика статистических моделей, алгоритмы, применения. Вильнюс: Мокслас. 1986.

76. Завриев С.К. Об одном численном алгоритме аппроксимации множества эффективных по Парето решений // П Всесоюзная школа-семинар по оптимизации и ее приложениям в экономике. Тезисы докладов. Ашхабад. 1984. С. 119 — 120.

77. Завриев С.К. Конечный ¿--субградиентный алгоритм приближенного решения задачи параметрического программирования // Вычислительные комплексы и моделирование сложных систем. М.: МГУ. 1989. С. 111 —116.

78. Завриев С.К. Помехоустойчивость методов нелинейной оптимизации. Дисс. на соиск. уч. степ, доктора физ.-матем. наук. Москва. 1992.

79. Задачи и методы автоматизированного проектирования в авиастроении / Под ред. Ю.А. Флёрова. М.:ВЦ АН СССР 1991.

80. Зализняк Н.Ф., Лигун А.А. Об оптимальных стратегиях поиска глобального максимума функции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. Т. 18. № 2. С. 314 —321.

81. Звонкин А.К., Левин Л.А. Сложность конечных объектов и обоснование понятий информации и случайности с помощью теории алгоритмов // Успехи матем. наук. 1970. Т. 25. Вып. 6(156). С. 85 —127.

82. Иванов В.В. Об оптимальных алгоритмах минимизации функций некоторых классов //Кибернетика. 1972. № 4. С. 81 —94.

83. Иванов В.В. Об оптимальных по точности алгоритмах приближения функций некоторых классов // Теория приближения функций. М.: Наука. 1975. С. 195 — 200.

84. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука. 1978.

85. Ириков В.А., Ларин В.Я., Самущенко Л.М. Алгоритмы и программы решения прикладных многокритериальных задач // Известия АН СССР. Технич. киберн. 1986. №1. С. 5 —16.

86. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир. 1964.

87. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука. 1986.

88. Кини Р., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь. 1981.

89. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука. 1988.

90. Клепикова М.Г. Регуляризация одного метода построения множества эффективных решений в линейной многокритериальной задаче // Известия АН СССР. Технич. киберн. 1985. №6. С. 9 —14.

91. Колмогоров А.Н. О некоторых асимптотических характеристиках вполне ограниченных метрических пространств // Докл. АН СССР. 1956. Т. 108. №3. С. 385 —388.

92. Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. ¿¿-энтропия и ¿-емкость множеств в функциональных пространствах // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14. Вып. 2(86). С. 3 — 86.

93. Компьютер и задачи выбора / Под ред. Ю.И. Журавлева. М.: Наука 1989.

94. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука 1984.

95. Краснощеков П.С. Математические модели в исследовании операций. М.: Знание. 1984 (Математика, кибернетика № 7).

96. Краснощекое П.С., Морозов В.В., Федоров В.В. Декомпозиция в задачах проектирования//Известия АН СССР. Технич. киберн. 1979. №2. С. 7 — 17.

97. Краснощекое П.С., Морозов В.В., Федоров В.В. Последовательное агрегирование в задачах внутреннего проектирования технических систем // Известия АН СССР. Технич. киберн. 1979. № 5. С. 5 —12.

98. Краснощекое П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: МГУ. 1983.

99. Краснощеков П.С., Петров A.A., Федоров В.В. Информатика и проектирование. М.: Знание. 1986 (Математика, кибернетика № 10).

100. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука. 1973.

101. Кузовкин А.И., Тихомиров В.М. О количестве вычислений для нахождения минимума выпуклых функций // Экономика и матем. методы. 1967. Т. 3. Вып. 1. С. 95 —103.

102. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980.

103. Ларичев О.И., Никифоров А.Д. Аналитический обзор процедур решения многокритериальных задач математического программирования // Экономика и матем. методы. 1986. Т. 22. Вып. 3. С. 508 — 523.

104. Лбов Г.С. Алгоритмы поиска приближенного значения глобального экстремума функции // Проблемы случайного поиска. Вып. 8. Рига: Зинатне. 1980. С. 92 —115.

105. Левин А.Ю. Об одном алгоритме минимизации выпуклых функций // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160. №6. С. 1244 — 1247.

106. Левин Г.М., Танаев B.C. Декомпозиционные методы оптимизации проектных решений. Минск: Наука и техника. 1978.

107. Леонов В.В. Метод покрытий для отыскания глобального максимума функций от многих переменных // Исследования по кибернетике. М.: Сов. радио. 1970. С. 41—52.

108. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника. 1981.

109. Лотов A.B. Введение в экономико-математическое моделирование. М.: Наука. 1984.

110. Лэсдон Л.С. Оптимизация больших систем. М.: Наука. 1975.

111. Макаров И.М., Виноградская Т.М., Рубчинский A.A., Соколов В.Б. Теория выбора и принятия решений. М.: Наука. 1982.

112. Малашенко Ю.Е., Новикова Н.М. Многокритериальный и максиминный анализ многопродуктовых сетей. М.:ВЦ АН СССР. 1988.

113. Меркурьев В.В., Молдавский М.А. Семейство сверток векторного критерия для нахождения точек множества Парето // Автоматика и телемеханика. 1979. №1. С. 110 — 121.

114. Месарович M., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.:Мир. 1973.

115. МиелеА. Механика полета. Т. 1. М.: Наука. 1965.

116. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение. I, П.//Кибернетика. 1965. №1. С. 45 —56; №2. С. 85 —88.

117. Михалевич B.C., Волкович В.Л. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. М.: Наука. 1982.

118. Михалевич B.C., Гупал A.M., Норкин В.И. Методы невыпуклой оптимизации. М.: Наука. 1987.

119. Многокритериальные задачи принятия решений / Под ред. Д.М. Гвишиа-ни, C.B. Емельянова. М.: Машиностроение. 1978.

120. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. 1971.

121. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука. 1981.

122. Молдавский М.А. О выделении множества недоминируемых решений в непрерывных задачах векторной оптимизации // Автоматика. 1981. № 5. С. 48 — 55.

123. Молодцов Д.А. Регуляризация множества точек Парето // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. 1978. Т. 18. №3. С. 597 —602.

124. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности. М.: Наука. 1987.

125. Молодцов Д.А., Федоров В.В. Устойчивость принципов оптимальности // Современное состояние теории исследования операций. М.: Наука. 1979. С. 236 — 262.

126. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: МГУ. 1987.

127. Морозов В.В. Об аппроксимации множества Парето с заданной точностью в многокритериальных задачах // Системы: математические методы описания, САПР и управления. Калинин: ЮГУ. 1989. С. 4 —9.

128. Морозов В.В. Оценка числа сравнений для алгоритмов поиска оптимальных решений // Программное оборудование и вопросы принятия решений. М.: МГУ. 1990. С. 117 —126.

129. Морозов В.В., Федоров В.В. О линейных задачах в проектировании систем // Вестник Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1981. № 2. С. 35 — 39.

130. Моцкус Й.Б. Многоэкстремальные задачи в проектировании. М.: Наука. 1967.

131. Немировский A.C. Об одном алгоритме типа Кармаркара // Известия АН СССР. Технич. киберн. 1987. №1. С. 105 —118.

132. Немировский A.C., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М.: Наука. 1979.

133. Нестеров Ю.Е. Полиномиальные итеративные методы линейного и квадратичного программирования // Вопросы кибернетики. Вычислительные вопросы анализа больших систем. М.: Науч. совет АН СССР по компл. пробл. "Кибернетика". 1989. С. 102 —125.

134. Нефёдов В.Н. Методы регуляризации многокритериальных задач оптимизации. М.: МАИ. 1984.

135. Нефёдов В.Н. Об аппроксимации множества Парето // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24. №7. С. 993 —1007.

136. Нефёдов В.Н. Об аппроксимации множества оптимальных по Парето решений//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26. № 2. С. 163 —176.

137. Нефёдов В.Н. Отыскание глобального максимума функции нескольких переменных на множестве, заданном ограничениями типа неравенств // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 1. С. 35 — 51.

138. Нефёдов В.Н. Полиномиальные задачи оптимизации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. №5. С. 661—675.

139. Нефёдов В.Н. Аппроксимация множества оптимальных альтернативных решений // Новые задачи оптимизации авиационных систем. М.: МАИ. 1989. С. 92 — 101.

140. Нефёдов В.Н. Некоторые вопросы решения липшицевых задач глобальной оптимизации с использованием метода ветвей и границ // Ж. вычисл. матем. иматем. физ. 1992. Т. 32. №4. С. 512 —529.

141. Нефёдов В.Н., Попов Н.М. Использование принципа согласованности при регуляризации задачи внутреннего проектирования технических систем // Вестник Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1983. №4. С. 38 — 43.

142. Никольский С.М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами//Успехи матем. наук. 1950. Т. 5. Вып. 2 (36). С. 165 —177.

143. Никольский С.М. Квадратурные формулы. С добавлением Н.П. Корнейчука. М.: Наука. 1988.

144. Новикова Н.М. Дискретные и непрерывные задачи оптимизации. М.: ВЦ РАН. 1996.

145. Норкин В.И. О методе Пиявского для решения общей задачи глобальной оптимизации//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. №7. С. 992 — 1006.

146. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир. 1975.

147. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. М.: Машиностроение. 1969.

148. Павловский Ю.Н. Теория факторизации и декомпозиции управляемых динамических систем и ее приложения // Известия АН СССР. Технич. киберн. 1984. №6. С. 45 —57.

149. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. М.:Мир. 1985.

150. Первозванский А.А., Гайцгори В.Н. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука. 1979.

151. Перевозчиков А.Г. Об одном способе регуляризации множества полуэффективных точек на выпуклом компакте // Вестник Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1983. №2. С. 38 — 44.

152. Перевозчиков А.Г. О полунепрерывности паретовских принципов оптимальности // Вестник Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1983. № 3. С. 48 — 50.

153. Перевозчиков А.Г. О сложности вычисления глобального экстремума в одном классе многоэкстремальных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т. 30. №3. С. 379 —387.

154. Пиявский С.А. Алгоритм отыскания абсолютного минимума функций // Теория оптимальных решений. Вып. 2. Киев: ИК АН УССР. 1967. С. 13 — 24.

155. Пиявский С.А. Один алгоритм отыскания абсолютного экстремума функции//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12. № 4. С. 888 — 896.

156. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М.: Сов. радио. 1975.

157. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука. 1982.

158. Подобедов В.Е. Оптимальный алгоритм поиска экстремума липшицевых функций при произвольной линейной информации // Системное программирование и вопросы оптимизации. М.: МГУ. 1987. С. 180 — 187.

159. Подобедов В.Е., Сухарев А.Г. Алгоритм поиска глобального максимума функции нескольких переменных // Вычислительные комплексы и моделирование сложных систем. М.:МГУ. 1989. С. 124 —134.

160. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир. 1974.

161. Полшцук Л.И. Анализ многокритериальных экономико-математических моделей. М.: Наука. 1989.

162. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука. 1983.

163. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1983.

164. Попов Н.М. Аппроксимация множества полуэффективных точек при декомпозиции задач проектирования // Вестник Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1980. №4. С. 43 —48.

165. Попов Н.М. Регуляризация задач проектирования // Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ. М.:МГУ. 1981. С. 82 — 84.

166. Попов Н.М. Об аппроксимации множества Парето методом сверток // Вестник Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1982. № 2. С. 35 — 41.

167. Попов Н.М. Аппроксимация многокритериальных задач в проектировании. Дисс. насоиск. уч. степ. канд. физ.-матем. наук. Москва. 1983.

168. Попов Н.М. Численный метод решения многокритериальных задач с функциональными ограничениями // Методы и средства обработки сложной графической информации. Тезисы докладов II Всесоюзной конференции. Горький: ГГУ. 1985. С. 262 —263.

169. Попов Н.М. Декомпозиция задач структурно-параметрического синтеза сложных систем // Декомпозиция и координация в сложных системах. Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции. Ч. I. Челябинск: ЧПИ. 1986. С. 31—32.

170. Попов Н.М. Приближенное решение многокритериальных задач с функциональными ограничениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26. №10. С. 1468 — 1481.

171. Попов Н.М. Численные алгоритмы многокритериальной оптимизации // Системное программирование и вопросы оптимизации. М.: МГУ. 1987. С. 155 — 168.

172. Попов Н.М. Структурно-параметрический синтез сложных объектов управления // Комплексирование систем управления движением. Тезисы докладов Второго Всесоюзного совещания. Тбилиси. 1988. С. 16 —17.

173. Попов Н.М. Об одном алгоритме многокритериальной оптимизации в системе автоматизированного проектирования // Математические методы в теории САПР, роботов и систем. Калинин: КГУ. 1988. С. 37 — 45.

174. Попов Н.М. Об оценке вычислительной сложности многокритериальной оптимизации // Вычислительные комплексы и моделирование сложных систем. М.: МГУ. 1989. С. 142 —152.

175. Попов Н.М. Двухуровневые схемы глобального и многокритериального поиска // Ж. вычисл. матем. и матем. фш. 1991. Т. 31. № 10. С. 1461 — 1475.

176. Попов Н.М. Об асимптотической оптимальности некоторых алгоритмов многокритериальной оптимизации // Программное обеспечение и модели системного анализа. М. МГУ. 1991. С. 150 —161.

177. Попов Н.М. О декомпозиционном методе решения задач проектирования управляемых динамических систем // Известия РАН. Технич. киберн. 1992. №4. С. 49 —54.

178. Попов Н.М. К оцениванию информационной сложности глобальной оптимизации и глобального решения уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. №12. С. 1853 —1868.

179. Попов Н.М. Декомпозиционные методы оптимизации // Программно-аппаратные средства и математическое обеспечение вычислительных систем. М.: МГУ. 1994. С. 148 —155.

180. Попов Н.М. Декомпозиционные квадратурные формулы // Вестник Моск. ун-та. Вычисл. матем. икиберн. 1996. № 2. С. 41 —47.

181. Попов Н.М. Оптимальные коэффициенты декомпозиционных квадратур на классе липшицевых функций // Вестник Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1996. №4. С. 35 —41.

182. Попов Н.М. Методы приближенного построения множества парето-опти-мальных решений в непрерывных многокритериальных задачах // Сборник трудов 1-ой Московской международной конференции по исследованию операций. М.: ВЦ РАН. 1996. С. 86 —87, 158 — 159.

183. Попов Н.М. Модельная декомпозиция в численном интегрировании // Нелинейное моделирование сложных структур. М.: ВЦ РАН. 1997. С. 11 — 20.

184. Попов Н.М. Декомпозиционные квадратурные формулы для вычисления интегралов высокой информационной сложности // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. №1. С. ИЗ —123.

185. Попов Н.М. О некоторых аспектах задач автоматизированного проектирования сложных технических объектов // Вычислительные машины с нетрадиционной архитектурой. Супер ВМ. Вып. 7. М.: ИВВС РАН. 1998. С. 88 — 107.

186. Попов Н.М. О некоторых принципах оптимальности в многокритериальных задачах//Проблемы математической физики. М.: Диалог-МГУ. 1998. С. 217 —224.

187. Поспелов Г.С., Ириков В.А. Программно-целевое планирование и управление. М.: Сов. радио. 1976.

188. Проектирование самолетов / Под ред. С.М. Егера. М.: Машиностроение. 1983.

189. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука. 1975.

190. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими объектами на принципе декомпозиции. I, П // Автоматика и телемеханика. 1989. № 1. С. 87 — 99 ; № 2. С. 36 — 44.

191. Растригин JI.A. Системы экстремального управления. М.: Наука. 1974.

192. Роджерс К. Укладки и покрытия. М.: Мир. 1968.

193. Рышков С.С., Барановский Е.П. С-типы «-мерных решеток и пятимерные примитивные параллелоэдры (с приложением к теории покрытий) // Труды МИАН СССР. 1976. Т. 137.

194. Саати Т. Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы. М.: Мир. 1973.

195. Сингх М., Тигли А. Системы: декомпозиция, оптимизация и управление. М. : Машиностроение. 1986.

196. Смирнов М.М. О логической свертке вектора критериев в задаче аппроксимации множества Парето // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. №5. С. 62 —74.

197. Смирнов М.М. Методы аппроксимации граней множества Парето в линейной многокритериальной задаче // Вестник Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1996. №3. С. 37 —43.

198. Соболев С.JI. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука. 1974.

199. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука. 1969.

200. Соболь И.М. О функциях, удовлетворяющих условию Липшица в многомерных задачах вычислительной математики // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293. №6. С. 1314 — 1319.

201. Соболь И.М. О поиске экстремальных значений функции от нескольких переменных, удовлетворяющей общему условию Липшица // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. №4. с. 483 —491.

202. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука. 1981.

203. Современное состояние теории исследования операций / Под ред. Н.Н.Моисеева. М.: Наука. 1979.

204. Стригуль О.И. Поиск глобального экстремума в некотором подклассе функций с условием Липшица // Кибернетика. 1985. № 6. С. 72 — 76.

205. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах (информационно-статистические алгоритмы). М.: Наука. 1978.

206. Сухарев А.Г. Наилучшие стратегии последовательного поиска экстремума //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12. №1. С. 35 — 50.

207. Сухарев А.Г. Глобальный экстремум и методы его отыскания // Математические методы в исследовании операций. М.: МГУ. 1981. С. 4 — 37.

208. Сухарев А.Г. Об оптимальных методах решения многокритериальных задач//Известия АН СССР. Технич. киберн. 1982. №3. С. 67 —73.

209. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. М.: Наука. 1989.

210. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука. 1986.

211. Сухарев А.Г., Федоров В.В. Об оптимальном отыскании максимума функции минимума при связанных переменных // Вестник Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 1981. №1. С. 45 — 50.

212. Сухарев А.Г., Федоров В.В. Оптимальные алгоритмы глобального поиска в минимаксных задачах // Вопросы кибернетики. Модели и методы глобальной оптимизации. М.: Науч. совет АН СССР по компл. пробл. "Кибернетика". 1985. С. 70 —79.

213. Танаев B.C. Декомпозиция и агрегирование в задачах математического программирования. Минск: Наука и техника. 1987.

214. Тарасов С.П., Хачиян Л.Г., Эрлих И.И. Метод вписанных эллипсоидов // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298. №5. С. 1081 —1085.

215. Тимонов Л.Н. Алгоритм поиска глобального экстремума // Известия АН СССР. Технич. киберн. 1977. №3. С. 53 —60.

216. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ. 1976.

217. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39. №5. С. 195 — 198.

218. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153. №1. С. 49 —52.

219. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.

220. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука. Физматлит. 1995.

221. Тот Л.Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. М.: Физматгиз. 1958.

222. Трауб Дж., Вожьняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов. М.: Мир. 1983.

223. Уздемир А.П. Динамические целочисленные задачи оптимизации в экономике. М.: Физ.-мат. лит. 1995.

224. Ульм С.Ю. Методы декомпозиции для решения задач оптимизации. Таллин: Валгус. 1979.

225. Устюжанинов В.Г. Возможности случайного поиска в решении дискретных экстремальных задач//Кибернетика. 1983. №2. С. 64 — 71,77.

226. Устюжанинов В.Г. Случайный поиск в непрерывных задачах глобальной оптимизации // Вопросы кибернетики. Модели и методы глобальной оптимизации. М.: Науч. совет АН СССР по компл. пробл. "Кибернетика". 1985. С. 37 — 45.

227. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука. 1978.

228. Фёдоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука. 1979.

229. Фёдоров В.В. Об устойчивости процесса проектирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20. №2. С. 306 —315.

230. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной оптимизации. М.:Мир. 1972.

231. Хачиян Л.Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20. № 1. С. 51 — 69.

232. Цвиркун А.Д. Основы синтеза структуры сложных систем. М.: Наука. 1982.

233. Цвиркун А.Д., Акинфиев В.К., Соловьев М.М. Моделирование развития крупномасштабных систем. М.: Экономика. 1983.

234. Цурков В.И. Декомпозиция в задачах большой размерности. М.: Наука. 1981.

235. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М.: Наука. 1988.

236. Цурков В.И., Литвинчев И.С. Декомпозиция в динамических задачах с перекрестными связями. Ч. I, П. М.: Физ.-мат. лит. 1994.

237. Черноусько Ф.Л. Об оптимальном поиске минимума выпуклых функций // Ж. вычисл. матем. иматем. физ. 1970. Т. 10. № 6. С. 1355 — 1366.

238. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и синтез управления в динамических системах//Известия АН СССР. Технич. киберн. 1990. №6. С. 64 —82.

239. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука. 1973.

240. Шоломов Л.А. Логические структуры исследования дискретных моделей выбора. М.: Наука. 1989.

241. Шор Н.З. Метод отсечений с растяжением пространства для решения задач выпуклого программирования // Кибернетика. 1977. № 1. С. 94 — 95.

242. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наукова думка. 1979.

243. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. М.: Радио и связь. 1992.

244. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений. М.: Наука. 1989.

245. Юдин Д.Б., Немировский А.С. Информационная сложность и эффективные методы решения выпуклых экстремальных задач // Экономика и матем. методы. 1976. Т. 12. Вып. 2. С. 357 —369.

246. Archetty F., Schoen F. A survey of the global optimization problem: general theory and computational approaches // Annals of Operations Research. 1984. V. 1. № 5. P. 87 — 110.

247. Bank В., Guddat J., Klatte D., Kummer B.,Tummer K. Non-linear parametric optimization. Berlin: Academie-Verlag. 1982.

248. Basso P. Iterative methods for the localization of the global maximum // SLAM J. Numer. Anal. 1982. V. 19. №4. P. 781—792.

249. Brent R.P. Algorithms for minimization without derivatives. New Jersey: Prentice-Hall. 1973.

250. De Carlo R.A., Saeks R. Interconnected dynamical systems. N.Y.: Marcel Dekker. 1984.

251. Devroye L. Progressive global random search of continuous functions // Math. Programming. 1978. V. 15. №3. P. 330 —342.

252. Ecker J.G., Hegner N.S., Kouada I.A. Generating all maximal efficient faces for multiple objective linear programs // J. Optimiz. Theory and Appl. 1980. V. 30. №3. P. 353 —381.

253. Ecker J.G., Kouada I.A. Finding all efficient extreme points for multiple objective linear programs//Math. Programming. 1978. V. 14. №2. P. 249 — 261.

254. Gal S. Multidimensional minimax search for a maximum // SIAM J. Appl. Math. 1972. V. 23. №4. P. 513 —526.

255. Gal S., Micchelly C.A. Optimal sequential and non-sequential procedures for evaluating a functional//Applicable Analysis. 1980. V. 10. №2. P. 105 —120.

256. Gal T., Leberling H. Relaxation analysis in linear vector-valued maximization // Europ. J. Oper. Res. 1981. V. 8. № 3. P. 274 — 282.

257. Galperin E.A. Precision, complexity and computational schemes of the cubic algorithm//J. Optimiz. Theory and Appl. 1988. V. 57. №2. P. 223—238.

258. Gearhart W.B. Compromise solutions and estimation of the noninferior set // J. Optimiz. Theory and Appl. 1979. V. 28. №1. P. 29 —47.

259. Geoffrion A.M. Proper efficiency and the theory of vector maximization // J. Math. Anal, and Appl. 1968. V. 22. № 3. P. 618 — 630.

260. Hannan E.L. Using duality theory for identification of primal efficient points and for sensitivity analysis in multiple objective linear programming // J. Oper. Res. Soc. 1978. V. 29. №7. P. 643 —649.

261. Horst R., Tuy H. On the convergence of global methods in multiextremal optimization // J. Optimiz. Theory and Appl. 1987. V. 54. №2. P. 253 —271.

262. Jamshidi M. Large-scale systems. Modelling and control. Amsterdam: North Holland. 1983.

263. Karmarkar N. A new polynomial-time algorithm for linear programming // Combinatories 1984. V. 4. №4. P. 373 —395.

264. Kiefer J. Sequential minimax search for a maximum // Proc. Amer. Math. Soc. 1953. V. 4. № 3. P. 502 — 506.

265. Kiefer J. Optimum sequential search and approximation methods under minimum regularity assumptions // J. Soc. Indus! Appl. Math. 1957. V. 5. № 3. P. 105 — 136.

266. Kornbluth J.S.H. Duality, indifference and sensitivity analysis in multiple objective linear programming // Oper. Res. Quart. 1974. V. 25. № 4. P. 599 — 614.

267. Krolak P., Cooper L. An extension of Fibonaccian search to several variables // Comm. Assoc. Comput. Mach. 1963. V. 6. № 10. P. 639 — 641.

268. Rung H.T., Luccio F., Preparata F.P. On finding the maxima of set of vectors // J. Assoc. Comput Mach. 1975. V. 22. №4. P. 469 —476.

269. Mahmoud M.S., Hassan M.F., Darwish M.G. Large-scale control systems. Theories and techniques. N.Y.: Marcel Dekker. 1984.

270. Mockus J. Bayesian approach to global optimization. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 1989.

271. Naccache P. Stability in multicriteria optimization // J. Math. Anal, and Appl. 1979. V. 68. №2. P. 441—453.

272. Newman D.J. Location of the maximum on unimodal surfaces // J. Assoc. Comput.Mach. 1965. V. 12. №3. P. 395 —398.

273. Novak E., Ritter K. A stohastic analog to Chebyshev centers and optimal average case algorithms//J. Complexity. 1989. V. 5. №1. P. 60 — 79.

274. Pinter J. Globally convergent methods for «-dimensional multiextremal optimization // Optimization. 1986. V. 17. №2. P. 187 — 202.

275. Popov N.M. On decomposition way to creation of numerical methods in global and multicriterial optimization // Abstracts The 2-nd Moscow International Conference On Operations Research. M.: BU, PAH. 1998. C. 29.

276. Pourciau B.H. Analysis and optimization of Lipschitz continuous mappings // J. Optimiz. Theory and Appl. 1977. V. 22. №3. P. 311—351.

277. Ratschek N., Rokne J. New computer methods for global optimization. London: Elis Horwood. 1989.

278. Renegar J. A polynomial-time algorithm, based on Newton's method, for linear programming // Berkeley, Calif.: Mathematical Sciences Research Institute. 1986.

279. Sard A. Best approximate integration formulas; best approximation formulas // Amer. J. Math. 1949. V. 71. № 1. P. 80 —91.

280. Shubert B.O. A sequential method seeking the global maximum of a function // SIAM J. Numer. Anal. 1972. V. 9. №3. P. 379 —388.

281. Sikorski K. Optimal solution of nonlinear equations satisfying a Lipschitz condition//Numer. Math. 1984. V. 43. №2. P. 225 —240.

282. Siljak D.D. Large-scale dynamic systems. Stability and structure. Amsterdam: North Holland. 1978.

283. Smale S. On the average number of steps of the simplex method of linear programming//Math. Programming. 1983. V. 27. №3. P. 241—262.

284. Tanino T., Savaragi Y. Stability of nondominated solution in multicriteria decision-making//J. Optimiz. Theory and Appl. 1980. V. 30. №2. P. 229 —253.

285. Torn A., Zilinskas A. Global optimization. Berlin: Springer. 1989.

286. Towards global optimization, I / Eds. L.C.W. Dixon, G.P. Szego. Amsterdam: North Holland. 1975.

287. Towards global optimization, II / Eds. L.C.W. Dixon, G.P. Szego. Amsterdam: North Holland. 1978.

288. Traub J.F., Wasilkowski G.W., Wozniakowski H. Average case optimality for linear problems // Theoret. Comp. Sci. 1984. V. 29. №1. P. 1—25.

289. Ueda T. The continuty of a critical points set with applications to some decision problems//SIAM J. Appl. Math. 1971. V. 21. № 1. P. 145 —154.

290. Wasilkowski G.W. Average case optimality // J. Complexity. 1985. V. 1. №1. P. 107 — 117.

291. Wasilkowski G.W., Wozniakowski H. Can adaptation help on the average ? // Numer. Math. 1984. V. 44. №2. P. 169 —190.396

292. Wierzbicki A.P. A mathematical basis for satisfising decision making // Math. Modelling. 1982. V. 3. № 5. P. 391 —405.

293. WitzgaJl C. Fibonacci search with arbitrary first evaluation // Fibonacci Quart. 1972. V. 10. №2. P. 113 — 134.

294. Yu P.L., Zeleny M. The set of all nondominated solutions in linear cases and a multicriteria simplex method // J. Math. Anal, and Appl. 1975. V. 49. № 2. P. 430 — 468.

295. Zavriev S.K. On the global optimization properties of finite-difference local descent algorithms // J. of Global Optimization. 1993. V. 3. P. 67 — 78.