Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряжения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Фадеева, Оксана Владиславовна

• Фадеева, Оксана Владиславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фадеева, Оксана Владиславовна

Введение

Глава 1. Краевые задачи для уравнения гиперболического типа с условием сопряжения на характеристике

§ 1.1. Вспомогательные утверждения.

§ 1.2. Краевая задача с граничными условиями второго рода.

§ 1.3. Краевая задача с граничными условиями первого рода.

§ 1.4. Краевая задача со смешанными граничными условиями.

Глава 2. Краевые задачи со смешанными граничными условиями для уравнения смешанного типа

§ 2.1. Постановка задачи Единственность решения.

§ 2.2. Существование решения задачи

§ 2.3. Постановка задачи У2. Вспомогательные утверждения.

§ 2.4. Единственность решения задачи У2.

§ 2.5. Существование решения задачи У

Глава 3. Задача со смешанными краевыми условиями на всей границе области для уравнения смешанного типа

§ 3.1. Постановка задачи /Ж. Вспомогательные утверждения.

§ 3.2. Единственность решения задачи БЫ.

§3.3. Существование решения задачи /Ж.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряжения»

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических уравнений, а так же уравнений смешанного типа. Интерес к этому классу уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой и гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в различных разделах механики сплошных сред и других областях знаний.

Основы этой теории заложены в известных работах Ф. Трикоми [69, 70], С. Геллерстедта [83], К.И. Бабенко [2,3], Ф.И. Франкля [79,80], М.А. Лаврентьева [39], A.B. Бицадзе [8,9]. Уравнения смешанного типа систематически стали изучаться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики. И.Н. Векуа указал приложения в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей безмоментной теории оболочек.

Теоретические основополагающие результаты принадлежат Ф. Трикоми, который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения и С. Геллерстедту, который провел исследования для уравнения

X + и* = »etf.

М.А. Лаврентьев, с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа, предложил новую модель уравнений

Uxx + S§n У

Исследования задачи Трикоми и ее обобщений для этого уравнения принадлежат A.B. Бицадзе. Теперь оно называется уравнением Лаврентьева-Бицадзе. A.B. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для различных уравнений смешанного типа [58].

Одно из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными - постановка новых задач, как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века появляются новые работы, среди которых можно отметить работы A.B. Бицадзе, A.A. Самарского [61], М.М. Смирнова [65,66], Ю.М. Крикунова [36], В.Ф. Волкода-вова [11], С.П. Пулькина [51,52], Е.И. Моисеева [41,42], К.Б. Сабитова [5760], А.И. Кожанова [33], В.И. Жегалова [27,28], A.M. Нахушева [43,44], P.C. Хайруллина [81,82], A.M. Ежова [26], O.A. Репина [54], J1.C. Пулькиной [53] и других.

В последних работах В.Ф. Волкодавова впервые исследуются краевые задачи для уравнений эллиптико-гиперболического типа, отличающихся от ранее рассматриваемых тем, что линия изменения типа является его характеристикой. В постановках задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в этом направлении опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова и О.Ю. Наумова [18], где рассматривается краевая задача для уравнения

0К + и„. У>Ь

Ы,, У<0

Уравнения такого типа встречаются в работах его учеников - O.K. Бы-стровой [14], И.А. Кузнецовой [37], И.Н. Родионовой, С.В. Бушкова [55] и других. Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.А. Плотниковой [47] для частных случаев уравнения гиперболического типа иv + а(х, у)их + Ъ{х, у)иу + с(х, у)и = О и уравнения смешанного типа

0 = и +и -Ли, v>0, X = const,

XX УУ 7 * 7 7 и +Яи, у < 0.

H.A. Куликовой [38] изучены краевые задачи, условия сопряжения которых содержат производные дробного порядка, для уравнения ос

Lu = urv +-и= 0, aeR,a^0. Х + .У

В работах В.Ф. Волкодавова, Е.А. Баровой [4,13] доказаны существование и единственность решений краевых задач для уравнения где так же на линии у = 0 сопрягаются производная по нормали с дробной производной.

Настоящая диссертационная работа, состоящая из трех глав, посвящена исследованию ряда краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в постановке которых условие сопряжения содержит производные по нормали, интегралы и производные дробного порядка от искомой функции. Приведем краткое содержание каждой главы.

Первая глава посвящена решению краевых задач для уравнения

Lu = < х

--^-(их+иу) = 0, у <0,

0)

0 <«,/?< 1/2, 0<a+ß <1, рассматриваемого на множестве G = G\JG+, ' где G = <-x<y<h},G+ = {(х,.у)|0<x<y<h}.

В §1.1 для уравнения (1) в областях (? и С/+ в явном виде построены решения задач Коши-Гурса и Дарбу.

§1.2 содержит решение краевой задачи с граничными условиями второго рода для уравнения (1) в следующей постановке.

Задача N. Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1) еС(С);

2) и(х,у) - классическое решение уравнения (1) в областях б. и

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям Нт о(и, + и у\у + х)а+/1 = у (х), х е (- /г,0) ? иу\у- хТ*Р = (*)» хе (0, к), (2) где у (х), у+ (х) - заданные достаточно гладкие функции;

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения у) = ЬН+{у), у е (0,/г), (3) щеЬеЛ, Ьф О, у

-X м,(х,у)- решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области с данными: щ{0,у)=<р{у), уе[0,к], Уто(у + х)а+р(ии+и1}/)=0, хе(-И,0), и2(х,у) - решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области с данными: и2(0,у)=0, у<=[0,Ь], \т (у + х)а+13(и2х+и2у)=у(х),хе(-И,0), у+х-нО У дг—>0+0

У , ,,

И+(у)= 11т [ [у2-/2) [М.М+ИЗЫ]^'2)' 0<Я<1, (4) у)- решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области с данными: у)=<р{у\уь[О»А], \ш^(у-х)а+13{ии -и,„)=0, хе(0,/г), а и2(х,у)~ решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области с данными: уе[0,И\ Пто(у-х)а'р{и2х-и2у)=у+(х), хе(0,к).

Задача N исследована следующим образом. Используя решения вспомогательных задач Коши-Гурса в областях 0 и найдены выражения для функций Ь(у) и к+(у) . Принимая во внимание условие сопряжения (3), получаем:

1) в случае р = Я выражение для (р{у) в явном виде;

2) в случае рФ Я вопрос существования решения сводится к вопросу разрешимости уравнения Вольтерра второго рода относительно функции ц/{х): X у/(х) - к0 \у/{8)К{х, = Р(х) 5 где у/{х) = х2р р\х) +—(р{х) х

Теорема 1. Функция К(х,я) непрерывна на множестве 0 < ^ < д: < Ъ), кроме линии б = х, где для нее справедлива оценка =>0•

Теорема 2. Если функции у(х)еС\-к,0), кДх)еС'(0,/*) и абсолютно ь н сходятся интегралы ¡у'(-г)(к-г)'в'^г, ¡у'+(г)(к-гуа~Дс1г, то о о

Р(х) е С[0,Щ.

Единственность решения задачи N следует из однозначного характера построения решения в каждом из случаев. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Если функции удовлетворяют условиям теоремы 2, то существует единственное решение задачи N.

В §§ 1.3 - 1.4 для уравнения (1) решаются краевые задачи с граничными условиями первого рода и со смешанными граничными условиями в следующих постановках.

Задача й . Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1) и(х,у)е

2) и(х,у) - классическое решение уравнения (1) в областях и С+;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям и(х,-х) = т(х), хе[-/г,0], (5) и(х,х) = т+(х), хе[0,/г], где т{х),т+{х) - заданные достаточно гладкие функции, г(0) = г+(0);

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения (3), где у

К(у)=ш\ [у1 0</7<1, (6)

-X их(х,у) - решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области С с данными:

Щ (О, У) = (р{у), У е [О, И], щ (х,-х) = 0,ХЕ [—/2,0], а и2(х,у)~ решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области о с данными: и2 (°> У) = У е Щ, и2 (х-х) = г (х), х е [—/2,0]; щ(х>У)~ решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области (?+ с данными:

Щ У) = <Р(У), У е [0, И\, их О, х) = 0, х е [0, И\, а и2{х,у)~ решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области с данными: Щ (0^) = У е [0, А], Щ (х,х) = т+ (х), х е [0, А].

2) и{х,у) - классическое решение уравнения (1) в областях и

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (2) и (5); мул ой (6), а (у)- формулой (4).

Исследования задач И и DN проводятся аналогично решению задачи N, но в случае задачи В используются решения вспомогательных задач Дарбу в областях ав случае задачи /Ж - решение задачи Дарбу в области С и решение задачи Коши-Гурса в области С+.

Для обеих поставленных краевых задач доказаны теоремы существования и единственности решения. Приведем, например, теорему существования и единственности решения задачи £>.

Теорема 4. Если г+(х)е С[0,/г]пС'(0,/г), г(0) = г+(0) = 0 и сходятся абсолютно |г'(-г)(/2 -г)1"^1^, г' (г)(И - с1г, то существует единственное решение задачи Б.

Во второй главе рассматриваются две краевые задачи для уравнения смешанного типа

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения (3), где к(у) задана форихх+иуу+'их+—=°> .У>0>

2 р

Ьи = • У

7)

0<2р<1, 0<2#<1, на множестве D = D U D+, D = {(x, у) | -1 < -x < у < О}, D+ - область, ограниченная гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти, с концами в точках Л(1,0) и 5(0,l), и отрезками О А и OB, 0(0,0).

В § 2.1 приводятся постановка задачи Vx и доказательство единственности ее решения.

Задача Vv Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую следующим условиям:

1) и(х, у) е С(р) П С1 (D) п С2 (Д.), uxy е С(D);

2) u{x,y) - классическое решение уравнения (7) в областях D и D+;

3) u{x,y) удовлетворяет граничным условиям: и|г = (p{s),se[ü,i], (8) t - длина кривой Г, s - длина дуги кривой Г, отсчитываемая отточки А,

Й^Ч^оМ* ^е(ОД), (9) u(x,-x) = w(x), X £ [0,1], p{s), w(x), v0 (у) - заданные достаточно гладкие функции,

4) и{х,у) подчиняется условию сопряжения v+(x)=^(x),xe(0,l), (10) где у+(х)=Ыу24 иу, (11)

V(x)=-^] (х2 -i2)"^,(i,0)42)+ )(х2-t2)-\(x-t)d{t2), 0<Я<1, ах о о и\ (^.у) ~ решение задачи Дарбу для уравнения (7) в области D с данными и, (х,0) = г(х), х е [0,1], (х,-х) = 0, х е [0,1], и2{х,у) - решение задачи Дарбу для уравнения (7) в области D с данными и2 (х,0) = 0, х е [0,1], и2 (х,—х) = w(x), х е [0,1].

Установлен характеристический принцип локального экстремума для уравнения (7) в области Д. в следующей постановке.

Лемма 1. Пусть функция и(х,у)е С(/)) и является решением уравнения (7) в области £); и{х-х) = 0. Тогда, если и(х,0) = т(х)на сегменте [0,1] достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке (х0,0), 0 < х0 < 1, то

К(х0)>0(<0).

Теорема 5. Если существует решение задачи Ух, то оно единственно.

Справедливость данного утверждения устанавливается с помощью рассмотренного принципа локального экстремума и леммы Бабенко.

В § 2.2 доказывается существование решения поставленной задачи в случае, когда А,. ограничена кривой Го: х2 + у2 = 1 и р = д .В области А,, используется решение краевой задачи с данными (8), (9) и (11), полученное в работе [11]. С учетом условия сопряжения (10), вопрос существования решения задачи У1 эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода 1 т'(х) = |г'ОЖО, ¿)ск + <2(х\ 0 < X < 1. (12) о

Теорема 6. Если Я + 2р <\, то функция К(х, я) является непрерывной в квадрате [0,1; 0,1], кроме линий б = х,х = 1, где для нее справедлива оценка:

С, С

1-*)2'(1-»)4 где С-здесь и в дальнейшем положительные постоянные.

Теорема 7. Если м{дг)бС[0,1]пС'(0,1), х2Нч>'(х)е ЦОД, у0(у)еС[0,1)п![0,1] и имеет представление У0{у) = уг>Уо{у), где

Уо (у) е С[0,1) п ф,1], г]>\ + 2р; ср{х) е С[0,1] и (р{х) имеет представление р(х) = (l-х)'2 %(х), где <р0(х)е С[ОД], г2> 1/2/ Л + 2р < 1, то Q(x) g С[0Д) п ЦОД].

В силу теоремы единственности решения задачи V] и альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (12) разрешимо в классе функций С[0Д) п ЦОД] и притом единственным образом. Доказана следующая теорема существования и единственности решения задачи V^.

Теорема 8. Если Г = Г0 :у = V 1-х2,хg[ОД], p = q, Х + 2р<\, функции w(x), vQ{y), (р0{х) удовлетворяют условиям теоремы 7, то существует единственное решение задачи У\.

В §§ 2.3 - 2.5 аналогичным образом исследуется задача V2 в следующей постановке.

Задача V2. Найти функцию и{х,у) со следующими свойствами:

1) и(х,у) е С(5)П С" (Д.) п C2(D+), иху е C(D);

2) м(х,.у) - классическое решение уравнения (7) в областях D и D+;

3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям (8), (9) и где ^(s), f(y), и0(у) - заданные достаточно гладкие функции, <р(0) = /(0);

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения (10), где функция v+(x) задана формулой (11), а у(х) =—} 0)fifr + J (t-x)'xu2(x,-t)dt, 0<Я<1, dx* * и,(х,.у) - решение задачи Гурса для уравнения (7) в области d с данными и,(х,0) = г(х), х е [ОД], щ(1,у) = 0,уе[-1,0], а и2 {х,у)~ решение задачи Гурса для уравнения (7) в области d с данными и2(х,0) = 0, х е[ОД], иг{\,у) = Ду),уе[-1,0].

Единственность решения задачи V2 доказывается с применением принципа локального экстремума.

Доказательство существования проводится при следующих условиях: f[y) = 0, Г=Г0: х2 + у2 = 1, х,у> 0 и р = q. Вопрос существования решения задачи эквивалентно редуцируется к вопросу однозначной разрешимости интегрального уравнения вида (12) с интегрируемым ядром и непрерывным свободным членом. Разрешимость полученного уравнения следует из теоремы единственности поставленной задачи. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 9. Если Г = Г0:у = у1\-х2, хе[о,\], p = q, f(y)= О, vo(y)eC[0,l)nZ,[0,l] и v0(j) имеет представление у0(у)=уг'уо(у), где Vo (у) е С[0,1) nl[o,l], г, > 1 + 2р; ср(х) е С[0,1] и (р{х) имеет представление (р{х) = (l-х)'2(рй(х), где ср0(х)еС[0,1], r2 > 1 /2; Л + 2р<\, то существует единственное решение задачи V2.

Отметим, что интересные результаты по исследованию задач для уравнения (7) при p = q = 0 были получены в работах В.Ф. Волкодавова, O.K. Бы-стровой [14], Е.И. Томиной [68], JI.A. Игнаткиной [29].

Третья глава посвящена решению краевой задачи для уравнения смешанного типа

Lu =

2я uxx+u+—ux+~u=ü, у> О, х у иху+-и =0,у<0, X

13)

0<2р<\, 0<2q<\, на множестве D = D и D+, где D = D~ u D¡, Df - область, ограниченная прямыми x + >> = 0,j> = 0,JC = l/2; - область, ограниченная прямыми х-у = 1, у = 0, х = 1/2; Д. - область, введенная выше.

Задача БЫ. Найти функцию и{х,у) со следующими свойствами:

1) и{х,у)£Сф)ПСхф)слС2(В+),иху еС(0У,

2) и(х,у) - классическое решение уравнения (13) на £);

3) и{х,у) удовлетворяет краевым условиям (8), (9) и хе [0,1/2], (14) м(х,х-1) = я(^), хе[1/2,1], (15) где и{х), g(x) - заданные достаточно гладкие функции, к(1/2)=я(1/2), 8(\)=т;

4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения хе(1/2,1), где функция 1/+(х) задана формулой (11), а

У;(х) = ) (х-()~ли(х,ч)Ж, 0 < Я < 1, о

V;(х) = - х)~х и(х, I - , X и(х,у) - решения задач Дарбу для уравнения (13) в областях Ц" ий2" с данными (14), н(х,0)= г,(х), хе[0,1/2] и (15), и(х,0) = т2(х), хе[1/2,1] соответственно.

Исходя из представлений функций У^ (х)^ (х) доказаны следующие принципы локального экстремума.

Лемма 2. Пусть функция и{х,у)е.с[р\ ) и является решением уравнения (13) в области и(х,-х) = 0. Тогда, если ¿¿(х,0) = г, (х) на [0/1/2] достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке (х0,О), 0 < х0 < 1/2, то

КГ(х0)> 0(<0).

Лемма 3. Пусть функция м(х,^)ес(1)2") и является решением уравнения (13) в области £>2~; и(х,л:-1)=0. Тогда, если и(х,0) = т2(х) на [1/2,1] достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке (я:0,0), \/2<х0<\, то

У2-(х0)>0(<0).

На основании лемм 2 и 3 установлен принцип экстремума для уравнения (13) в области Д.

Лемма 4. Пусть и(х, у) е С(Д ) п С2 (Д), Ьи = 0 в £)+, и(х,х-\) = и(х,-х) = 0. Тогда, если тзхи(х,у) = и(О)>0 (тти(х,у) = и((?)<()), то максимум (минимум) достигается на кривой Г.

Теорема 10. Если существует решение задачи йЫ, то оно единственно.

Существование решения задачи /Ж рассматривается в случае, когда Г = Г0: х2 + у2 = 1, х > 0,.у > 0, (р{й) = 0, и оно эквивалентно сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода

1/2 г,(*)=/г,($)£(*,*)Ж+ б(*), 0<х<1/2. (16) о

Теорема 11. Если А + 2р<1, Д + 2д<1, р + д<1/2, то функция непрерывна в квадрате [0,1/2; 0,1/2], кроме линий 5 = х и х = 1/2, где для нее справедлива оценка

I К(х, 5)1 <-&--+.

1 ^ {\l2-xfi\l2-sY Ьс-/?

Теорема 12. Если уоО;)еС(0,1), у-1рУй{у)еЬ[0,1], С(0,1/2),

Мх)(\12-хУгч еЦОД/2], я(х)еС(1/2,1), я(х)(х-1/2)-2? е ¿[1/2,1],

1/2 1/2 Л + < 1, то еС[0,1/2]. о о

В силу теоремы единственности решения задачи /Ж и альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (16) разрешимо и притом единственным образом в классе функций С[0,1/2].

Теорема 13. Если Г = Г0: х2 + у2 = 1, х > 0,у > 0, = 0, функции у0(у), g(x), м>(х), удовлетворяют условиям теоремы 12, А + 2р < 1, Л. + < 1, р + д< 1/2, то существует единственное решение задачи ОЫ.

Таким образом, автором на защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Доказательство характеристических принципов локального экстремума для уравнений гиперболического типа.

2. Доказательство теоремы существования и единственности решения краевых задач для гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами с граничными условиями I, II рода, а так же со смешанными граничными условиями.

3. Доказательство теорем существования и единственности решения краевых задач для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом и характеристической линией изменения типа.

4. Доказательство теоремы существования и единственности решения краевой задачи для уравнения смешанного типа с характеристической линией изменения типа и со смешанными краевыми условиями на всей границе области.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22],[23], [71] - [77]. В работах [22], [23] соавтору Волкодавову В.Ф. принадлежат постановки задач.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались:

1) на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора Волкодавова В.Ф. (г. Самара, СамГПУ, 2001 - 2005гг.);

2) на 56-ой, 57-ой научных конференциях СамГПУ (г. Самара, 2002, 2003 гг.);

3) на международной научной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы» (г. Стерлитамак, 24 - 28 июня 2003г);

4) на международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами» (г. Душанбе, 25 -28 октября 2003 г.);

5) на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 1 - 3 июня 2005г);

6) на научно-технической конференции сотрудников СамГАСУ но итогам НИР (г. Самара, 2006,2007 гг.);

7) на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители: д.ф.-м.н., профессор К.Б. Сабитов и д.ф.-м.н., профессор И.А. Калиев, март 2007г.) и кафедры теоретической физики (научный руководитель: д.т.н., профессор А.И. Филиппов, апрель 2007г.) Стерлитамакской государственной педагогической академии;

8) на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета (научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Я.Т. Султанаев, апрель 2007г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фадеева, Оксана Владиславовна, 2007 год

1. Андреев, A.A. О двух краевых задачах для одного гиперболического уравнения / A.A. Андреев, В.Ф. Волкодавов // Волжский математический сборник. - 1973. - Вып. 23. - С. 102 - 111.

2. Бабенко, К.И. К теории уравнений смешанного типа / К.И. Бабенко // Успехи математических наук. 1953. - Т. 8. - № 2. - С. 160.

3. Бабенко, К.И. О принципе максимума для уравнения Эйлера Дарбу / К.И. Бабенко // Докл. АН СССР. - 1985. - Т. 285. - № 4. - С. 777 - 782.

4. Барова, Е.А. Задача V. для уравнения смешанного типа, вырождающегося в области гиперболичности в одной точке / Е.А. Барова // Вестник СГТУ. Серия "Физико-математические науки". Самара, 2003. - Вып. 22.-С. 223-224.

5. Барова, Е.А. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряжения. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Е.А. Барова. -Казань: КГУ, 2007. 16 с.

6. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1965.-296 с.

7. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. / JI. Берс. -М.: ИЛ, 1961. 208 с.

8. Бицадзе, A.B. К проблеме уравнений смешанного типа. Дисс. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.В.Бицадзе. М., 1951. - 204 с.

9. Бицадзе, A.B. Уравнения смешанного типа. / A.B. Бицадзе. -М.: Изд-во АН СССР, 1959.-164 с.

10. Волкодавов, В.Ф. Метод Римана-Адамара для уравнения Эйлера Дарбу и его применение. / В.Ф. Волкодавов, В.Е. Жуков. - Самара: СГПУ, 2002.-32 с.

11. Волкодавов, В.Ф. Таблицы функций Римана и Римана-Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерных евклидовых пространствах. / В.Ф. Волкодавов, В.Н. Захаров. Самара: СГПУ, 1994. -32 с.

12. Волкодавов, В.Ф. Единственность решения задачи Т для одного уравнения смешанного типа / В.Ф. Волкодавов, Ю.А. Илюшина // Труды международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара: Изд-во СГАСА, 2002. - С. 152 - 155.

13. Волкодавов, В.Ф. Для уравнения смешанного типа единственность решения задачи Т с сопряжением производной по нормали с дробнойпроизводной / В.Ф. Волкодавов, Ю.А. Илюшина // Известия вузов. Математика. 2003. - № 9. - С. 6 - 9.

14. Волкодавов, В.Ф. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида / В.Ф. Волкодавов, О.Ю. Наумов // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 2002. - С. 41 - 49.

15. Волкодавов, В.Ф. Краевые задачи для уравнения Эйлера Пуассона -Дарбу. / В.Ф. Волкодавов, Н.Я. Николаев. - Куйбышев: КГПИ, 1984. -80 с.

16. Гордеев, A.M. Некоторые краевые задачи для обобщенного уравнения Эйлера Пуассона - Дарбу / A.M. Гордеев // Волжский математический сборник. - 1968. - Вып. 6. - С. 56 - 61.

17. Жегалов, В.И. О случаях разрешимости гиперболических уравнений в квадратурах / В.И. Жегалов // Известия вузов. Математика. 2004. -№ 7. - С. 47-52.

18. Игнаткина, JI.A. Единственность решения задачи Т для уравнения смешанного типа / JI.A. Игнаткина // Труды международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара: Изд-во СГАСА, 2002. - С. 271 - 274.

19. Кожанов, А.И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени / А.И. Кожанов // Журнал вычислительнойматематики и математической физики. 2005. - Т. 45. - № 12 - С. 2168 -2184.

20. Кошляков, Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики. / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М.: ГИФ-МЛ, 1962.-768 с.

21. Краснов, M.JI. Интегральные уравнения. / M.J1. Краснов. М.: Наука. -1975.-304с.

22. Крикунов, Ю.М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. / Ю.М. Крикунов. Казань: Издательство Казанского государственного университета, 1968. - 148 с.

23. Кузнецова, H.A. Постановка задачи К2 и единственность ее решения / И.А. Кузнецова // Труды 2-й всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи».- Самара: Изд-во СГТУ, 2005.-С. 146-148.

24. Куликова, H.A. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук:01.01.02 / H.A. Куликова. Стерлитамак: СГПА, 2006. - 14 с.

25. Лаврентьев, М.А. К проблеме уравнений смешанного типа / М.А. Лаврентьев, A.B. Бицадзе // ДАН СССР. 1950. - Т. 70. - № з. с. 373 -376.

26. Петровский, КГ. Лекции об уравнениях с частными производными. / И.Г. Петровский. М.: Физматгиз, 1961. - 400 с.

27. Плотникова, Ю.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук:01.01.02 /Ю.А. Плотникова. Стерлита-мак: СГПА, 2005.-14 с.

28. Полянин, А.Д. Справочник по интегральным уравнениям. / А.Д. Полянин, A.B. Манжиров. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 608 с.

29. Привалов, И.И. Интегральные уравнения. / И.И. Привалов. М.: Гос-техиздат, 1937. - 248 с.

30. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции. / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. -М.: Наука, 1983. 752 с.

31. Родионова, И.Н. Задача Дирихле для обобщенного уравнения Трикоми / И.Н.Родионова, C.B. Бушков // Труды 2-й всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». -Самара: Изд-во СГТУ, 2005. С.195 - 198.

32. Сабитов, К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа / К.Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. -1988. Т. 24. - № 11. -С. 1967-1976.

33. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения / К.Б. Сабитов, A.A. Карамова, Г.Г. Шарафутдинова // Известия вузов. Математика. 1999. - № 11. - С. 70 - 80.

34. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. / В.И. Смирнов. М-Л.:ГИТТЛ, 1950. - Т. IV. - 312 с.

35. Смирное, М.М. Уравнения смешанного типа. / М.М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

36. Смирное, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1970. - 295 с.

37. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа. /Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1947. - 192 с.

38. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. / Ф.Трикоми. М.: ИЛ, 1957. - 192 с.

39. А.Фадеева, О.В. Для уравнения гиперболического типа задача Е с сопряжением интегралов дробного порядка / О.В. Фадеева // Вестник СГТУ. Серия "Физико-математические науки". Самара, 2003. - Выпуск 22.- С. 225-227.

40. Фихтенголъц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. / Г.М. Фихтенгольц. В 3-х т. - 8-е изд. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001.

41. Хайруллин Р. С. Задача Трикоми в классе функций, неограниченных на характеристике / P.C. Хайруллин, Г.Н. Аглямзянова // Известия вузов. Математика. 2004. - № 4. - С. 3 - 7.

42. Gellersiedt, S. Sur un problème aux limites pour une équation lineare aux derivees partielles du second order de type mixte. These pour le doktorat. / S. Gellerstedt.- Uppsala, 1935. 92 p.