Задача Геллерстедта для одного класса систем уравнений смешанного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Идрисов, Ринат Галимович

• Идрисов, Ринат Галимович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Идрисов, Ринат Галимович

Введение

Глава 1. Задача Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа

§1.1. Постановка задачи

§1.2. Экстремальные свойства модуля решений в области эллиптичности

§1.3. Экстремальные свойства модуля решений в области гиперболичности

§1.4. Экстремальные свойства модуля решений в смешанной области

§1.5. Примеры

§1.6. Условная разрешимость задачи Геллерстедта.

Глава 2. Существование решения задачи Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Интегральное представление решения задачи Коши - Гурса

§2.3. Интегральное представление решения задачи Хольмгрена

§2.4. Сведение задачи Геллерстедта к системе сингулярных интегральных уравнений.

Глава 3. Разностный метод решения задачи Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа

§3.1. Аппроксимация дифференциальной системы уравнений разностной. Постановка разностной задачи Gh.

§3.2. Принцип максимума в области эллиптичности.

§3.3. Принцип максимума в области гиперболичности.

§3.4. Принцип максимума в смешанной области и его применения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача Геллерстедта для одного класса систем уравнений смешанного типа»

В 20 - х годах прошлого века первыми исследованиями в теории уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа явились работы Ф. Трикоми. Результаты итальянского ученого были обобщены в трудах С. Геллерстедта. Изучаемые ими задачи стали классическими и теперь известны в литературе как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта».

Обнаруженные в конце 40-х годов многочисленные приложения уравнений смешанного типа в газовой динамике, в безмоментной теории оболо-^ чек, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, аэродинамике дали новый толчок исследованиям в этой области. Фундаментальными работами стали труды М.А. Лаврентьева, Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко. В этих работах наряду с классическими в теории уравнений смешанного типа были поставлены и решены новые задачи.

В дальнейшем краевые задачи для уравнений смешанного типа изучались в работах многих отечественных и зарубежных ученых. Обзор основных результатов можно найти в монографиях А.В. Бицадзе, Т.Д. Джураева, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, Е.И. Моисеева. v# Классической задачей в теории уравнений смешанного типа является задача Геллерстедта, возникающая в теории сопел Лаваля при нахождении потока сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками в случае несимметричного сопла.

Начало исследованиям этой задачи в своих трудах положил в 1937 г. S. Gellerstedt [58]. Это было первым обобщением классического результата F. Tricomi [52]. Для уравнения утихх + иуу = 0, (0.1) где m - натуральное нечетное число, в области D = D+ U D\ U D2 U A\A2, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > О с концами в точках yli(ai,0) и ^2(02,0), а при у < 0 - характеристиками А\Си CiE, ЕС2, С2А2 уравнения (0.1), где Е(е, 0), а\ < е < а2, D+ = D Г) {у > 0}, Di = D П {у < 0 Г) х < е} и Д> = D П {у < 0 П х > е}, он исследовал краевые задачи с данными на Г U А\С\ U А2С2 (задача G\) и с данными на Г U С\Е U ЕС2 (задача G2). Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает с «нормальной» кривой Го : х2 + (т+2уУт+2 = 1? У ^ 0.

В работе С.S. Morawetz [59] единственность решения задачи G2 для уравнения Чаплыгина

К(у)ихх + иуу = 0, где уК{у) >0 при у > 0, К( 0) = 0, К'(у) > 0, К (у) - достаточно гладкая функция, доказывается методом вспомогательных функций и «аЬс» при некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек А\, Е и А2, и звездной относительно точки Е кривой Г.

Некоторое обобщение результатов С. Геллерстедта получено в [21], где рассматривается задача G2 для уравнения Чаплыгина, когда уа при у > 0, К{у)={ 0 при у = 0, а,{3 > 0. -(-у)0 при у < 0,

Для более общего уравнения sgn у • |у\тихх + иуу + а(х, у)их + Ъ(х, у)иу + с(х, у)и = d(x, у), (0.2) в [45] изучены аналоги задач Gi, G2, в классе обобщенных решений К.И. Бабенко, когда на эллиптической границе Г задано третье граничное условие. При этом существенными оказываются условия малости коэффициентов уравнения вблизи линии у — 0. Относительно Г предполагаются выполненными известные условия К.И. Бабенко [49, с. 131].

В совместной работе А.Н. Кучкаровой [44] для одного уравнения смешанного типа вида (0.2) установлены принципы максимума решения задач G\ и Gi из которых следует единственность решений без каких-либо ограничений геометрического характера на эллиптическую границу области. На основании экстремальных свойств доказана обобщенная разрешимость поставленных задач при произвольном подходе эллиптической границы области к оси Ох. Доказательство существования обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения (0.2) было предложено в [42].

При всей полноте исследований краевые задачи для систем уравнений смешанного типа изучены сравнительно мало, при этом традиционно рассматривается задача Трикоми.

В работе [26] были получены экстремальные свойства модуля

U(x,y) | =

1=1 решений задачи Трикоми для системы п

УЩхх Щуу "f" к=1 cik(x,y)), г, к = ТЯ п ^ 2 - отрицательно-определенная матрица, компоненты которой в области эллиптичности удовлетворяют условиям: п - 1) {cik{x, у) + сы(х, у)) < 2 (сц(х, у)скк(х, у))1/2 а в гиперболической области достаточно малы, на основании которых следует единственность решения. Если граничные функции достаточно гладкие и кривая Г оканчивается ортогонально к оси Ох или сколь угодно малыми дугами «нормальной» кривой, то на основе теоремы единственности методом интегральных уравнений получена теорема существования решения задачи Трикоми.

В работе [И] для системы

LU = G{y)Uxx - Uyy + (К(у) + \)U = Н(х,у), где U = (щ,и2,. ,un), G(y), К (у) - заданные квадратные симметричные матрицы, Л = const ^ 0 устанавливается существование и единственность сильного решения из W\ задач с данными на одной из характеристик и на границе эллиптической части области при ортогональном подходе кривой Г к оси Ох.

М.М. Овезова [35] для системы

LU = sgnz/ • Uxx + иуу - С(х, y)U - F(x: у),

U = С(х,у) = F = (/!,.,/„) доказала единственность решения задачи Трикоми методом вспомогательных функций при ограничении на рост модуля градиента решения вблизи концов линии вырождения. В предположении, что эллиптическая граница области оканчивается отрезками перпендикулярных прямых, методом интегральных уравнений доказано существование решения.

Для системы вида sgnу • Uxx + Uyy + А(х, y)Ux + В(х, y)Uy + С(х, y)U = О, где А(х,у), В(х,у), Ах(х,у), Ву(х,у), С(х,у) - ограниченные матрицы в областях эллиптичности и гиперболичности при условии, что в эллиптической области lirai В(х, у) ^ О, 0+ п

- > ^о » 1, (0.3) i,3=1 доказана единственность решения задачи Трикоми [37].

В [13], [14] в области с двумя линиями изменения типа рассматривается система

LU = sgnу • \y\lUxx + xmUyy + А(х, y)Ux + В{х, y)Uy + С(х, y)U = 0, где U = (ui,.,wn), А(х,у), В(х,у), С(х,у) - квадратные матрицы размерности п. В случае, когда матрицы Ах(х,у), Ву(х,у) являются неположительно определенными, а С(х,у) отрицательно определенной, доказана единственность решения аналога задачи Трикоми. При условии малости на коэффициенты системы в классе обобщенных решений К.И. Бабенко доказана однозначная разрешимость поставленной задачи, когда эллиптическая граница совпадает с «нормальной» кривой.

Задача Геллерстедта для общих линейных систем уравнений смешанного типа рассматривалась лишь в работе [38]. В ней рассматривается система вида

LU = K(y)Uxx + Uyy + А(х, y)Ux + В(х, y)Uy + С(х, y)U = 0, (OA) где U = К., О, уК{у) > 0 при уф 0, К( 0) = 0, К'(у) < 0, А(х,у) = §dij(x, ?/)||i, В(х,у) = С{х,у) = \\сц(х, a{j = aju fyj ~ bji, для всех г, У = 1,., n, n ^ 2. Методом «аЬс» при некоторых ограничениях на коэффициенты системы (0.4) и границу эллиптической части области доказана единственность решения и(х,у) однородной задачи Gi

В работе К.Б. Сабитова [40] устанавливаются экстремальные свойства модуля (*) решения задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа

0.4), когда А(х,у), В(х,у) - числовые функции, С(х,у) - квадратная матрица порядка п, на основании которых следует единственность решения поставленной задачи без каких-либо ограничений на эллиптическую границу области и при более слабых условиях на коэффициенты системы, которые присутствуют в перечисленных выше работах. В данной диссертации идея, предложенная для доказательства принципа максимума модуля решения задачи Трикоми для систем переносится на случай задачи Геллерстедта.

Задача Геллерстедта для систем первого порядка изучалась в работах Танеева P.M. [7], [8].

Теория разностных методов решения краевых задач для уравнений смешанного типа начала свое развитие в работах [54], [19], [24], [5].В работах [54], [19] при условии существования точного решения предложен метод конечных разностей для определения приближенного решения щ задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе в смешанной области. Приближенное решение щ задачи Трикоми сводится к решению алгебраической системы с количеством неизвестных равным количеству узлов сетки внутри всей области D.

В [24], [5] задача Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе сводится к эллиптической задаче, которая решается методом конечных разностей. В работе [53] изучена разностная задача для уравнения Трикоми, методом конечных разностей во всей смешанной области D. В [60] и [22] показано, что метод, изложенный в [53] применим и для более общего уравнения типа (0.2). В [20] впервые применен метод сеток для доказательства существования решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. В [15] — [17] рассмотрены разностные аналоги задач Трикоми и Геллерстедта для модельных уравнений смешанного типа с одной и двумя перпендикулярными линиями изменения типа. Решение краевых задач для систем уравнений смешанного типа разностными методами не проводилось.

Как видно из анализа, первые исследования в теории уравнений смешанного типа проводились для модельных уравнений Лаврентьева-Бицадзе, Трикоми и обобщенного уравнения Трикоми. Изучение этих задач имело важное прикладное значение. В последствии, различные обобщения стали носить чисто теоретический характер. Такие обобщения шли в следующих направлениях: во-первых, усложнение уравнений за счет добавления новых слагаемых, повышения порядка вырождения, образования нелинейности, во-вторых, увеличение количества рассматриваемых уравнений (изучение систем), в-третьих, изменение геометрии области, в-четвертых, замена классических краевых условий новыми, в частности, нелокальными, в-пятых, изучение спектральных задач и т.д. Однако, до сих пор, несмотря на большое количество работ в этой области, остаются нерешенными в полной мере классические задачи. И особенно ценным в таких условиях является результат, где получены известные факты, но при существенно более слабых ограничениях на коэффициенты, геометрию области, граничные функции.

Практически во всех указанных работах авторы не избавляются от ограничений геометрического характера на область, в которой исследуется задача: ортогональность подхода эллиптической границы области к оси Ох; малость длины линии вырождения. При доказательстве теорем единственности и существования в определенном смысле решения задачи Геллерстедта накладываются жесткие ограничения относительно коэффициентов системы: существенная знакоопределенность; малость по норме L2. Задача Геллерстедта изучалась в пространстве обобщенных решений И^1 С.Л. Соболева или классе Hi К.И. Бабенко, а существование регулярного решения задачи Геллерстедта доказано не было.

Объектом изучения диссертационной работы является система п

LiU = K(y)uixx + uiyy + Ai(x, y)uix + Bi{x, y)uiy + ^ Cik{x, y)uk = 0, (0.5) k=1 i = l,n, n ^ 2, yK{y) > 0 при у ф 0у U = (iti, 112,., ип), рассматриваемая в области D, ограниченной простой кривой Жордана Г и лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках Ai(ai, 0) и А2(оь2,0), а\ < 02, характеристиками A\Ci, С\Е, ЕС2, С2А2 системы (0.5) при у < 0, где Е(е, 0), «1 < е < а2, Ci(^,yCl), и С2(^,уС2). Пусть х = ®(s), у - y(s) - параметрические уравнения кривой Г, s - длина дуги кривой, отсчитываемой от А2 к Ai, 0 ^ s ^ I, Z-длина кривой Г. D+ = Df\{y > 0}, D\ = Dn{y < ОПя < e} и D2 = D П {у < 0 П x > e}.

В областях D\ и D^ перейдем в характеристические координаты у у f = ® + j' у/-К(t)dt, г] = х- j\/-K{t)dt. о о

Тогда система (0.5) примет вид п

L0iU = + rfiuit + ri)uiri + CffcKi r})uk = 0, (0.6) k=1 где

OiK, v) = (A + BiV^K - к'/2у/=к) /4К, rj) = Cik/4K, bitt,»7) = (Л - 2W=3?+*V2V=tf) /4К

Область Pi отобразится в область Дх = {(£,??) | ai < £ < rj < е}, а область

D2 в А2 = {{£,v)\e < Z < V < ъ}-Для системы (0.5) в области D поставлена задача Геллерстедта (задача G).

Задача G. Найти функцию U(x,y), удовлетворяющую условиям:

U(x,y)eCCD)nC1(D)', (0.7)

U(x, у) е C2(D+), LiU{x, у) = 0, i = (х, у) GD+-, (0.8)

Uto&Ti) е с(Ai U Д2), = 0, i = й (£,77) <Е Д1 и Д2; (0.9) и(х,у) = Ф{з), O^s^l; (0.10)

С (*, 2/) Ф1(®), (0.11)

А1С1 2 Щх), (0.12) а2С2 z где Ф = ((fihcp2,.,(pn) иУр = (^.,г/>!Р), р = 1,2, - заданные достаточно гладкие вектор - функции, <fi(l) = i), у?г(0) =

Целью данной работы является:

1) исследование экстремальных свойств решений задачи G в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области D в классе регулярных и обобщенных решений системы (0.5);

2) доказательство существования и единственности регулярного решения задачи G для системы (0.5) при ортогональном подходе эллиптической границы области к линии вырождения;

3) доказательство существования обобщенного решения задачи G для системы (0.5) произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.

4) разработка численного метода решения задачи G для системы (0.5).

Следуя идее, предложенной в [40], вводится максимум модуля \U(x,y)\ —

Гп

EtxJ(®,y) решения системы (0.5). В главе 1 установлен принцип максиг=1 мума модуля регулярного и обобщенного решения задачи Геллерстедта для системы уравнений (0.5), из которого следует единственность решения поставленной задачи без каких-либо ограничений геометрического характера на эллиптическую границу Г области. На основании принципа максимума альтернирующим методом типа Шварца доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи Геллерстедта для системы при произвольном подходе эллиптической границы к оси Ох за исключением случаев касания.

В §1.1 приведена постановка задачи Геллерстедта. В §1.2 в эллиптической области доказаны утверждения о знаке производной модуля решения по нормали в точке и вблизи точки изолированного максимума модуля решения системы (0.5) на линии вырождения.

Лемма 0.1. Пусть: 1) в D+ коэффициенты системы (0.5) ограничены и С{х,у) - неположительно определенная матрица; 2) U(x,y) G C(D*~) П Cl(D+ U AiE U ЕА2) П C2(D+); 3) max\U(x,y)\ = \U{Q)\ > 0,-4) \U(x,y)\ имеет изолированный положительный максимум \U(Q)\ в точке Е; 5) в малой окрестности точки Е: а) функция K(y)U% + Uy суммируема; б) Ах и Ву непрерывны вплоть до границы; в) 2(е, Le) — Ах — Ву ^ 0, В(х, 0) ^ 0, о е = U/\U\. Тогда в любой выколотой окрестности U С А\А2 точки Е о найдется точка Qi = (xi, 0) 6 Ы такая, что

Вша'У <0. у-* 0+0 оу

В данной лемме ограничение (0.3) значительно ослабляется.

В §1.3 для системы (0.5) в областях гиперболичности исследованы экстремальные свойства модуля решения.

Пусть <ц = а, Ь( = b, i = 1,п, а = а/3, (3 = exp(fbd£),a* = b(3*, (3* = exp(f adrj), Ы = + ab - сц, Щ = Ьп -f ab - сц. Функции rj), а^, 77), b(£, г}), г)) непрерывны в Дь кроме, быть может, отрезка

А\Е и удовлетворяют условию

4 J dt > 0, аг < £ < г) ^ e. (A) i,k=1

Функции &(£, 77), brj(£, 77), а(£, 77), С{к(€, v) непрерывны в А2, кроме, быть может, отрезка ЕА2 и удовлетворяют условию а2 / J- \ а

X) СЬ ] dt < 0, е < £ < 7] < 02. (Л2) *,fc=i /

Определение 0.1. Регулярным в Ai(A2) решением системы (0.6) назовем функцию U(£,r)), удовлетворяющую условию U(£,7]) Е С(К{) П Cx(Ai), {U(£,rj) е С(А2) ПС1(А2)), (0.9) и, кроме того, производная \]ц (Щ) непрерывна на множестве ДДЛхЕ1 (А2\Л2.Е).

Лемма 0.2. Пусть: 1) коэффициенты системы (0.6) в области Aj, г = 1,2, обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условию (Д); 2) U(£,r)) -регулярное в Аг- решение системы (0.6), равное нулю на характеристике A{Ci \ 3) max|С/(^,77)| = \U(Q)\ > 0. Тогда максимум \U(Q)\

Д.достигается только на отрезке A(E\Ai.

В §1.4 установлены экстремальные свойства модуля решений системы (0.5) в классе регулярных и обобщенных решений в смешанной области.

Определение 0.2. Регулярным решением системы (0.5) в области D назовем функцию удовлетворяющую условиям (0.7) - (0.9) и, кроме того, производные Uq, непрерывны на множествах А\\А\Е, А2\А2Е, соответственно.

Теорема 0.1. Пусть: 1) С(х,у) - неположительно определенная матрица в D+, 2) выполнено условие 5) леммы 0.1; 3) коэффициенты системы (0.6) в областях Ai и А2 удовлетворяют, соответственно, условиям (-Ai) и (А2); 4) U(x,y) - регулярное в D решение системы (0.5), равное нулю на характеристиках А\С\ и А2С2; 5) mjpi\U(x,y)\ = \U(Q)\ > 0. Тогда максиd мум \U(Q)\ достигается только на кривой Г.

Определение 0.3. Обобщенным в области D решением системы (0.5) назовем функцию U(x,y), если существует последовательность регулярных в области D решений {Up(x,y)} системы (0.5) равномерно сходящаяся к U(x,y) в замкнутой области D.

Утверждение о принципе максимума переносится в класс обобщенных решений системы (0.5), из которого следует единственность обобщенного решения задачи G без каких-либо ограничений геометрического характера на Г.

В §1.5 на примерах показано применение теории, изложенной в главе 1.

В §1.6 доказано существование обобщенного решения задачи G при произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.

Пусть К (у) = sgn у • \у\т,т = const ^ 0, А(х,у), В{х,у) G СП С2 (A), Gik(x, у) € С (В* U Di), г = 1,2, и удовлетворяют условиям теоремы 1 о принципе максимума; Г - кривая из класса Ляпунова, Го - «нормальная» кривая системы (0.5), заданная уравнением (х — (а2 + ai)/2)2 + 4ут+2/(т + 2)2 = (а2 — ai)2/4; Do - область, ограниченная кривыми Г0, AiC\, С\Е, ЕС2, С2А2.

Определение 0.4. Регулярное решение системы (0.5), удовлетворяющее граничным условиям (0.10) - (0.12), назовем регулярным решением задачи G для системы (0.5).

Определение 0.5. Равномерный в D предел последовательности регулярных решений задачи G назовем обобщенным решением задачи G.

Теорема 0.2. Пусть в области D при условии, когда кривая Г оканчивается в точках А\ и А2 сколь угодно малыми дугами «нормальной» кривой и при гладких краевых функциях Ф(s) G Cl[0,1] и-Ф^гс) Е C2[ai, (ai + е)/2], £ G2[(a2 + е)/2,а2], существует регулярное решение задачи G для системы (0.5). Тогда если Ф(в) 6 C[0,Z] и Фг(х) в C2[ah (<ц + е)/2], Ф2(ж) € С2[(а2 + е)/2,а2], Ф^) = Ф2(а2) = Ф(0) = Ф(0 = 0, то существует единственное обобщенное решение U(x,y) задачи G с граничными данными U = Ф на Г и U = Ф1 на A\Ci, J7 = Ф2 на А2С2 при произвольном подходе кривой Г к оси у = 0, за исключением случая, когда в достаточно малых окрестностях концов кривой Г производная dy/ds = О.

Доказательство этого утверждения проводится на основании принципа максимума альтернирующим методом типа Шварца. Ранее этот метод был предложен для одного общего уравнения смешанного типа [42].

Глава 2 посвящена доказательству существования и единственности регулярного в D решения задачи Геллерстедта для системы (0.5) при К (у) = sgn у • \у\т, т = const ^ 0. Единственность регулярного решения задачи G следует из доказанного в главе 1 принципа максимума модуля решения системы (0.5).

Для доказательства разрешимости задачи G для системы (0.5) рассмотрены вспомогательные задачи Хольмгрена в области D+ и Коши-Гурса в D\ и Дг> считая известными функции щ(х) = ? г = 1, п. Далее, склеивая решения на отрезках А\Е, ЕА2 этих задач по функции и по производной по нормали, доказательство существования сводится к системе сингулярных интегральных уравнений относительно Vi{x). Проводя регуляризацию, несколько модифицировав метод Карлемана-Векуа, получается система интегральных уравнений Фредгольма 2 рода, разрешимость которой следует из единственности решения задачи G.

В §2.1 доказаны теоремы существования регулярного решения задачи Коши-Гурса в областях D\ и D2 при сц = — 1,е = 0, аг = 1

Задача Коши-Гурса. Найти регулярное в Ai решение = щ, U2,.-., ип), удовлетворяющую условиям: щ{-1,1]) =фц{г}),-l^il^Q] (0.13)

Urn

77—Л 4 - 02а Ы - uiri) = -1 < е < 0, (0.14) тп где фи(г]) - заданные достаточно гладкие функции, а = 2^+4

Теорема 0.3. Если 1) е Hq[-1,0), q > а и при £ 0 могут иметь особенность порядка меньше, чем 1 — 2а; 2) фц{1) € С2[—1,0], М-1) = 0/3) Л-(е,Т7) = Д-^т?) = fa-*)2^,?),

Cikforj) = (77 - f^40"^^), где р = 0 при m < 2 и р = 1 при m > 2, А°{, В?, C?k е С(Аi), л?, 5? G С3(Аг), С?к е C2(Ai); mo существует единственное решение задачи Коши-Гурса для системы (0.6) в Ai и оно определяется формулой

Со Vo

-1 -1 г " У п

0.15) где i>\i(t) = </>!<» + <ч(-1, Т = 2 Ш*" Г(1—а)Г(2а)'

Задача Коши-Гурса. Найти регулярное в Д2 решение = щ, щ,. •, wn), удовлетворяющее условию (0.14) при 0 < £ < 1 и

-(£ 1) = 0 < £ < 1, где Vi{£), ф2^) ~ заданные достаточно гладкие функции.

Теорема 0.4. Пусть выполнены: 1) € Hq(0,1 ], q > а и при £ —> О могут иметь особенность порядка меньше, чем 1 — 2а; 2) ^2г-(£) £ С2 [0,1],

02i( 1) = 0; 3) условие 3) теоремы 0.3 на коэффициенты системы (0.5) в области Д2, то существует единственное решение задачи Коши-Гурса для системы (0.6) в Д2 и оно определяется формулой

1 1

Ко, = 71 - tora(t - m)~adt

1 „ \ п п г

J2 Vk{t)K2ik(fa 770, t)dt - / ^feW Щ, t)dt, (0.16) o I k AW - bi(t, l)ifoi(t), KjikiZo, r)o, t), Ljik(€o, m, t), j = 1,2 - известные функции, выражающиеся явным образом через коэффициенты системы (0.6) и функцию 77; £0> ч]о) Римана-Адамара [49].

В §2.2 доказано существование единственного решения задачи Хольмгрена в случае, когда относительно кривой Г выполняются условия (В): а) функции a;(s), y(s) имеют непрерывные производные x'(s), y'(s) на отрезке [0,f], не обращающиеся одновременно в нуль; производные х"(s), y"{s) удовлетворяют условию Гельдера на [0, /]; б) в окрестности точек А\ и А2 на кривой Г выполняется условие X G2ym+1(s), С = const.

Задача Н. Найти функцию U(x, у) = (щ, и2,., ип), удовлетворяющую условиям (0.7), (0.8), (0.10) и ду где щ{х) - заданные достаточно гладкие функции.

Теорема 0.5. Пусть: 1) Ai{x,y), В((х,у), Cik(x,y) G Cl(D+), (Cik{x,y))

- неположительно-определенная матрица в D+; 2) Ai(x,y) = 0(упри у —0; 3) Ai(xyy) = Bi(x,y) = 0(у~а^) вблизи точек (—1,0),

0,0), (1,0), 1 < 5 < 4) относительно кривой Г выполнены условия

В); 5) ц(х) G С{—1,0) U (0,1) и абсолютно интегрируемы с показателем

6 на [-1,1]; 6) <pi(s) в С[0,1], то функция

1 i у) = - J Vi{t)Gi(t, 0; х, y)dt - J (pi(s)pi(s, x, y)ds (0.17)

-1 0 является решением задачи H для (0.5) и оно единственно.

Gi(t,Q]x,y), pi(s,x,y) явным образом выражаются через коэффициенты системы (0.5) и функцию Грина задачи Н для уравнения утихх + иуу = 0

В §2.3 доказана теорема существования регулярного решения задачи Гел-лерстедта для системы (0.5). Положив в (0.15) и (0.16) £0 = щ = х, а в (0.17) у = 0, вопрос существования решения задачи G сводится к разрешимости системы интегральных уравнений 1

J 0)dt + 7 J Vi(t){x — t)~2adt + J ^T Vk{t)Kuk(x,t)dt =

-l -l -i k=1 l X X -J<pi(s)pi(s,x,0)ds.- Ji)li(t)R(-l,t-,x,x)dt - J^~$lk(t)Llik(x,t)dt о -1 -1 k=1

1 n vk{t)K2ik(x,t)dt =

-1 XX ^=1

I 1 1 „ ~J<pi{s)pi(s,x,0)ds + Ji>2i(t)R(t, 1 ;x,x)dt + J ^i)2k(t)L2ik(x,t)dt.

Ox x k=1

Применив формулу обращения интегрального уравнения Абеля к последним системам, и проводя регуляризацию, придем к системам п

Ф) + / ^1Clik(x,t)vk{t)dt = Gu(x), (0.18)

J и—л

1 Ь=1 п

- / "}Z^2ik{x,t)vk(t)dt = G2i{x). (0.19)

J ii 1 где Gu(x) G Ha+5°[ 1,0), G2i(x) G Ha+S°(0,1], \Gji(x)\ < Cx\x|-2аЛ > 0, Gji(x) G Lr[-l,l]j r l(t+l)£(l-t)£K:jik(x,t)l < C2\x\-2a~5\ 0 <

Si < 1 — 2a, j = 1,2. Каждая из систем (0.18), (0.19) является системой интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Разрешимость следует из доказанной теоремы единственности задачи Геллерстедта.

Теорема 0.6. Пусть выполнены: 1) условия на коэффициенты системы (0.5) теоремы 0.1; 2) А{{х,у) = \у\т+1АЧ{х,у), В{(х,у) = \у\?+1 В?(х, у),

Cik(x,y) = \у\р^С?к(х,у), p = 0 при т ^ 2 и р = 1 при т > 2, А\(х,у), В?(х,у) Е Cf^nCH^flC^DiU^), CJlfoy) Е C(^D)nC1(D+)nC2(DiU В2); 3) условия (В) относительно кривой Г; 4) выполнены условия 2) теорем 0.3, 0.4; 5) функции cpi(s) Е Hq(0,l), q > 0, </?i(s) = + </?ii(s), y>i(s) = v?i(0) + V2i(s), bii(s)| < C2(l - s)1+2a, |<^2i(s)| < C3s, то в D существует единственное решение задачи G для (0.5).

Из теорем 0.2 и 0.6 следует, что существует единственное обобщенное решение задачи Геллерстедта для системы (0.5) без каких-либо ограничений геометрического характера на эллиптическую границу области D.

В главе 3 построен разностный аналог Gh задачи G для системы (0.5) при К (у) — sgny - \у\Р, (3 — const ^ 0, |ai| = \а2\ = а, е = 0. Доказано существование и единственность решения разностной задачи Gh.

Для задачи (0.7) - (0.12) вводится сеточная область. Разделим отрезок А\А2 на N = 2iVl+1 равных частей длины h. Построим сетку при у < 0. Для этого через точки деления проведем характеристики £ = х — щ= mh - a, 77 = х + у)^+2^2 = mh — о, т = 1,2,., N системы (0.5). При у < 0 сетка состоит из точек пересечения этих линий. Пусть Н(х) = )3+2

F х ) + ' тогДа уравнение характеристики А\С\ можно представить в виде у = -Н(х + a), а А2С2 в виде у = —Н(а — х). В области D\ через (к, т) -обозначим узел (Xkmi —Ут)» Xkm — kh -f- tti/i/2 — a, ym — H(jnh/2>), а в D2 (xifcm, -Ут)\ X]km = a-kh-mh/2, ym = H{mh/2), к, m = 0,1,., h - шаг сетки по x; lm - шаг сетки по у, 1т = ут — ут~\. При у ^ 0 сетка прямоугольная. Здесь под (к, га) будем понимать узел (kh, ут) (к = 0, ±1,.), (т = 0,1,.). Через ~Dh> ^ih и D2k обозначим множество всех узлов принадлежащих D, D+, D\ и D2 соответственно.

Доказано, что система дифференциальных уравнений (0.5) в узле xkm, —Ут) £ Dlh аппроксимируется системой разностных уравнений R?V(k,m) = 1) + , 'U™ щ(к - 1,т + 1)

I'mnn+l I. I'm, ~г ^m+1 1>т "Г %i+1

A'(k Tfl)

-щ(к- 1,тп) - щ{к,т)} + —^—- [щ(к,т) - щ(к - 1,т)]+ (0.20)

ВЛк т) п + , г )-т - 1) - щ{к - 1, т + 1)] + Су (к, m)uj(k, т) = 0.

I'm, "г 1>т+1 . ^

3=1

Для каждого узла (&, га) € Дгл

R®U(k,т) = —5— ( 2'm+1 «,(*,т - 1) + . щ(к - 1,т + 1)

А"(к тп)

-щ(к - 1 ,тп) - щ(к, т)} 4—^—- [щ(к - 1, т) - т)] 4- (0.21) ^ Вг(к, гп) ^^ т ij т ij] + ^ m)uj(k, m) = 0. т 4" 'т+1 • п

Аналогично, для каждого узла (&, га) G ^

RiU(k,m) = —+ 1,т) - т) 4- ^(/г - 1,т)] +

2 2 -«i(A;,m — 1) — —

ImQm 4" 4n+l) ^т^т+1

2 «,-(*, га 4-1) 4- М* 4-1, га) - «,■(* - 1, тДО.22) /т+1) ,v ' ' 2h + Bi(k, m) т + i) т 1)] + ^ т) = 0. т 4" 'т+1 ^^

Из условия (0.7) следует непрерывность функции U(x,y) вместе с производной Uy(x,y) на отрезке А\Е и Каждому узлу (ж, 0) (Е А\Е U ЕА2 сопоставим систему

Rf]U ее [щ(х, у2) - 2щ{х, 0) 4- щ(х, -у2)]/у2 = 0, (0.23) а узлу (е,0): щ(Е) = ЫЕг) + Щ(Е2))/2, (0.24) 21

Е\ = (e — h, 0), E2 = (e + h,Q).

Для разностного оператора R, действующего по закону, указанному в равенствах (0.20) - (0.24), получаем разностную задачу.

Задача Gh- Найти решение U(kfm) системы уравнений

RU(k, т) = 0, (к, т) G Dh, (0.25) удовлетворяющее граничными условиями:

U = Фп на ГЛ, U = Ч?1 на АХСЪ U = Ф2 на А2С2. (0.26)

В областях Ai и Д2 вводится сетка. Ячейки сетки D\h U D2h становятся квадратными со стороной hy/2. Множество узлов, принадлежащих Ai (Д2) обозначим A\h (Д2л). Пронумеруем узлы Aj^r сначала узлы лежащие на А\С\ в порядке возрастания 77: (0,0), (0,1), (0,2),., (О, N/2); затем узлы лежащие на £ = h — а в том же порядке: (1,0), (1,1), (1,2), (l,iV/2 — 1) и так далее, а узлы А2н следующим образом: сначала узлы лежащие на А2С% в порядке убывания £: (0,0), (0,1), (0,2), (0,iV/2); затем узлы лежащие на г] = а — h в том же порядке: (1,0), (1,1), (1,2), ., (1, N/2 — 1) и так далее. Под значением какой-либо функции в узле (к,т) области Д^ будем понимать ее значение в точке с координатами (kh — а,(т + k)h — а), а в узле (к, т) области A2h ~ значение в точке (а — kh, а — (m + k)h). Ha введенной сеточной области (0.6) аппроксимируется системой

К{ри{к, т) = [(1 + dih + bih)ui(k, т) - (1 + dih)ui(k - 1, т + 1)

0.27)

-(1 + bih)ui(ky т - 1) + щ(к - 1, т)] /h2 + XI т) = 0, з=1

Rf ]U(k, т) = [(1 - aih - bih)ui(k, m) - (1 - Ь{Н)щ(к -1,т + 1)п (0.28)

-(1 - aih)ui(k, т - 1) + щ(к - 1, т)] /h2 + X) <4jUj(k, т) = О, з=1 где щ, bi, Cij - значения соответствующих коэффициентов системы уравнений

0.6) в узле (к,т).

Теорема 0.7. Пусть 1) коэффициенты системы (0.22) в области удоп влетворяют условиям \А{\h < 2К, \Bi\ lm < 2, Сц ^ 0 при i Ф j, J2 Qj ^ 0; j=i

2) в областях Aih, Д2/1 коэффициенты систем (0.27), (0.28) удовлетворяют п условиям: Cij(k,m) ^ 0, г ф j, Cij(k,m) ^ 0; 3) существует ho > 0, что з=1 для всех 0 < h < в Дхл выполняются неравенства:

1 + ai(k, m)h ^ 0; 1 -f Ь{(к, m)h ^ 0; (1 + щ{к +1, m — l)/i)(l + b((k, m)h) ^ n 1 + a,i(k, m)h + bi(k, m)h + h2 J2 Cij(k, m) > 0,

3=1 а в области Дгл-'

1 — a,i(k, m)h ^ 0; 1 — bi(k, m)h ^ 0; {1 - bi(k + l,m - l)h)(l - ai(k,m)h) ^

Tl 1 — ai(k,m)h — bi(k,m)h + h2 2 Cij(k,m) > 0; j=1

4) U(k,m) - решение системы (0.25), равное нулю на характеристиках А\С\, А2С2, RU ^ 0 е Z)/!. ТЬгда если max max щ > 0, то этот максимум i dh достигается на Гд.

Из этого утверждения следует единственность решения разностной задачи Gh- Показано, что решение задачи Gh равномерно сходится к решению задачи (0.7) - (0.12) и решение задачи (0.25) - (0.26) может быть получено итерационным процессом Зейделя.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [61] -[72]. В [61], [64], [67], [71] постановка задач и идея доказательства принадлежат научному руководителю К.Б. Сабитову.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Идрисов, Ринат Галимович, 2004 год

1. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа. Дисс. .д-ра физ.-мат. наук. М. МИАН. 1952.

2. Берс Л., Джон Р., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: 1966. 351 с.

3. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука. 1981. 448 с.

4. Волкодавов В.Ф. К вопросу задачи Т для общего линейного уравнения типа Трикоми. Дисс. .канд. физ.-мат. наук. Куйбышев. 1962.

5. Волков Е.А. К численному решению задачи Лаврентьева Бицадзе // Докл. АН СССР. 1955. Т. 103. №5. С. 755 - 758.

6. Врагов В.Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений //Дифференц. уравнения. 1972. Т.7. №1. С. 7 16.

7. Танеев P.M. Задача типа Геллерстедта для системы уравнений смешанного типа / Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та. 1975. вып. 13. С. 70 79.

8. Танеев P.M. Задача Трикоми для систем уравнений смешанного типа / Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та. 1977. вып. 13. С. 42 51.

9. Диденко В.П. О некоторых системах дифференциальных уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1962. Т.144. т. С. 709 712.

10. Диденко В.П. О некоторых системах дифференциальных уравнений смешанного и смешанно-составного типов // Дифференц. уравнения. 1966. Т.2. №1. С. 33 -39.

11. Диденко В.П. Об обобщенной разрешимости граничных задач для систем дифференциальных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т.8. №1. С. 24 29.

12. Жегалов В. И. Об одной системе смешанного типа высшего порядка j j Изв. вузов. Матем. 1975. №6. С. 25 35.

13. ЗаикинаТ.Б. Краевые задачи для системы уравнений смешанного типа с негладкой линией вырождения. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Киев. 1984.

14. Заикина Т.Б. Об одной краевой задаче для системы уравнений смешанного типа с различным порядком вырождения / Труды Всероссийской научной конференции «Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики». Владивосток. 1992. С. 71 73.

15. Ивлева А.И., Хе Кан Чер. Численное решение задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе / Сборник научных трудов НИИ КТ по математике. Вып.2. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та. 1997. С. 58 -64.

16. Ивлева А.И., Хе Кан Чер. Численное решение задачи для модельного уравнения с двумя перпендикулярными линиями изменения типа j/ Уравнения неклассического типа. Новосибирск: НГУ. 1997. С. 54 63.

17. Ивлева А.И. Об одном приближенном методе решения задачи Геллерстедта // Владивосток: Дальнаука. 1999. (Препринт №36 / ВЦ ДВО РАН). 44 с.

18. Исломов Б. Задача Коши-Гурса для общего линейного уравнения гиперболического типа, вырождающегося на границе области // Изв. АН Уз-ССР. Серия физ.-мат. наук. 1985. №1. С. 23 29.

19. Карманов В.Г. Об одной граничной задаче для уравнения смешанного типа // Докл. АН СССР. 1954. Т.95. №3. С. 439 442.

20. Карманов В.Г. О существовании решений некоторых краевых задач для уравнения смешанного типа // Изв. АН СССР. сер. матем. 1958. Т.22. Ш. С. 117 134.

21. Кетра Немман Махул. Задачи Геллерстедта для обобщенного уравнения Трикоми // Изв. АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. 1986. №4, С. 27 33.

22. Коваленко ЯМ. Разностный метод и единственность обобщенного решения для задачи Трикоми // Докл. АН СССР. 1965. Т.162. №4. С. 751 -754.

23. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т.Т. 1, 2. Го-стехиздат. 1951.

24. Ладыженская О.А. Об одном способе приближенного решения задачи Лаврентьева Бицадзе // Успехи мат. наук. 1954. Т.9. вып. 4 (62). С. 187 - 189.

25. Майоров И.В. К вопросу о принципах максимума и его следствиях для уравнений смешанного типа / Волжский математический сборник. Куйбышев. 1968. Вып. 1. С. 145 155.

26. Майоров И.В. Об одной нелинейной системе уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1968. Т.18 3. №. С. 280 283.

27. Майоров И.В. Об одной задаче для вырождающейся нелинейной системы уравнений эллиптического типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т.8. т. С. 671 677.

28. Майоров И.В. Некоторые задачи для одной вырождающейся гиперболической системы // Дифференц. уравнения. 1977. Т.13. №2. С. 369 372.

29. Мередов М. О задаче Дарбу для вырождающейся гиперболической системы // Дифференц. уравнения. 1972. Т.8. К°-1. С. 97 106.

30. Мередов М. О задаче Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических систем // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9. №7. С. 1326 1333.

31. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром М.: Изд-во МГУ. 1988. 150 с.

32. Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа j j Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. W7. С. 1160 1172.

33. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1971. Т.7. №1. С. 49 56.

34. Наджафов Х.М. Решение задачи Т для общего линейного уравнения Трикоми с сингулярными коэффициентами на линии вырождения. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Баку. 1968.

35. Овезова М.М. Об однозначной разрешимости задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа // Изв. АН Туркм. Серия физ.-мат, техн., хим. и геол. наук. 1992. №3. С. 3 10.

36. Овезова М.М. О разрешимости задач Дарбу для одной гиперболической системы // ДАН СССР. 1992. Т.325. т. С. 24 27.

37. Овезова М.М. О единственности регулярного решения задачи Трикоми для системы уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа // Докл. АН СССР. 1993. Т.328. №5. С. 547 549.

38. Овезова М.М. О единственности решения задачи Геллерстедта для общей системы уравнений Чаплыгина // Докл. АН СССР. 1996. Т.348. №1. С. 25 26.

39. Пономарев С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева Бицадзе. Дисс. д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ. 1981.

40. Сабитов К.Б. Экстремальные свойства модуля решений одного класса систем уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1990. Т.310. №1. С. 33 36.

41. Сабитов К.Б. Принцип максимума для систем уравнений смешанного типа второго порядка // Докл. АН СССР. 1989. Т.305. №4. С. 783 786.

42. Сабитов К.Б. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28. №12. С. 2092 2101.

43. Сабитов К.Б., Шарафутдинова Г.Г. Задачи Коши-Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения // Изв. ВУЗов. Математика. 2003. т. С. 21-29.

44. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. О единственности решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа / «Неклассические уравнения математической физики». Новосибирск. Изд-во ИМ СО РАН им. C.JI. Соболева. 2002. С. 206 220.

45. Салахитдинов М.С., Исломов Б. Краевые задачи типа задачи Геллерстедта для общего линейного уравнения смешанного типа // Изв. АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. 1986. №2. С. 39 43.

46. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983. 616 с.

47. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука. 1966. 292 с.

48. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука. 1970. 296 с.

49. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа. 1985. 304 с.

50. Солдатов А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. М. С. 143 152.

51. Теут О.М. Одна краевая задача для системы уравнений смешанного типа / Краевые задачи теории функций комплексного переменного. Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1962. С. 40 58.

52. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. Гостехиздат, 1947. 192 с.

53. Филиппов А.Ф. О разностном методе решения задачи Трикоми // Изв. АН СССР. сер. матем. 1957. Т.21. №1. С. 73 88.

54. Халилов З.И. Решение краевой задачи для уравнения смешанного типа методом сеток // Докл. АН Аз. ССР. 1953. Т.9. №4. С. 189 190.

55. Цымбал Т.Б. Решение задачи N для вырождающейся системы уравнений эллиптического типа с двумя линиями вырождения // Вычисл. прикл. мат. Киев. 1982. вып. 48. С. 10 15.

56. Чекмарев Т.В. Задачи с граничными условиями для некоторых систем уравнений различных типов. Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. Казань. 1973.

57. Gellerstedt S. Sur ипе equation lineaire aux derivees partielles de type mixte // Arkiv. Mat., Astr. och Fysik. 29. 1937. B.25A.

58. Gellerstedt S, Quelques problemes mixtes pour I'equation ymzxx + zyy = 0 // Arkiv Mat., Astr. och Fysik. 3. 1938. B.26A. P. 1-32.

59. Morawetz C.S. Note on maximum principle and a uniqueness theorem for an elliptic-hyperbolic equation // Proc. Roy. Soc. 1956. V. 236. №1024. P. 141 -144.

60. Ogawa H. On Difference Methods for the Solution of a Tricomi Problem j/ Trans. Am. Math. Soc., 1961. V.100. №3. P. 404 424.

61. Сабитов К.Б., Идрисов Р.Г. Принцип максимума модуля решений одного класса систем уравнений смешанного типа и его применения / Сборник научных трудов СФ АН РБ «Дифференциальные уравнения и их приложения в физике». Стерлитамак. 1999. С. 58 68.

62. Идрисов Р.Г. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта для систем уравнений смешанного типа / Сборник трудов конференции «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках». Воронеж. ВГУ. 2000. С. 194 195.

63. Сабитов К.Б., Идрисов Р.Г. Задача Геллерстедта для систем уравнений смешанного типа // Известия ВУЗов. Математика. 2001. №11. С. 22 34.

64. Идрисов Р.Г. О существовании решения задачи Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа / Сборник трудов Воронежской математической школы «Современные методы в теории краевых задач». Воронеж. ВГУ. 2001. С. 96.

65. Сабитов К.Б., Идрисов Р.Г. Разностный метод решения задачи Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа / Сборник трудов международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара. СамГАСА. 2002. С. 316 320.

66. Идрисов Р.Г. Разностный аналог задачи Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа / Труды международного российско-узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик. 2003. С. 77.

67. Сабитов К.В., Идрисов Р.Г. Принцип максимума для одной сеточной системы уравнений смешанного типа и его применения // Докл. РАН. Т.394. т. С. 166 170.

68. Идрисов Р.Г. Существование решения задачи Геллерстедта для одной системы уравнений смешанного типа / Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики». Стерлитамак. Уфа: Гилем. 2004. Т.1. С. 143 154.