Задачи быстродействия для волнового уравнения с граничными управлениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Иванов, Денис Александрович

• Иванов, Денис Александрович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Иванов, Денис Александрович

Оглавление

Оглавление

Введение

Глава 1. Задачи двустороннего граничного управления на временных промежутках фиксированной докритической длины

§ 1.1. Постановка задачи. Оператор управления. Вспомогательные сведения

сильных обобщённых решений

§ 1.3. Непрерывная обратимость оператора управления в классах слабых обобщённых решений

§1.4. Применение оценок непрерывной обратимости для вычисления приближённых решений задач граничного управления

§1.5. Вычислительные иллюстрации

Глава 2. Задача быстродействия в классах сильных обобщённых решений

§2.1. Алгоритм поиска времени быстродействия

§ 2.2. Априорная оценка порога распознавания достижимости

§2.3. Конструкция оптимальных по быстродействию граничных управлений

§2.4. Численные эксперименты

Глава 3. Задача быстродействия в классах слабых обобщённых решений

§3.1. Процедура сглаживания: мотивация и обоснование

§ 3.2. Оценки, необходимые для практического распознавания достижимости и

определения времени быстродействия

§ 3.3. Конструкция оптимальных по быстродействию управлений

§ 3.4. Вычислительные тесты

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи быстродействия для волнового уравнения с граничными управлениями»

Введение

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи управления и быстродействия для одномерного волнового уравнения вида

Уи = Ухх - 0(х)у, (Ь,х) Е Я = (0,Т) х (0,1), (1)

где у = у(Ь,х) —функция двух вещественных аргументов, описывающая поведение системы, а в(х) — некоторая заданная функция действительного аргумента. Отметим, что с помощью известных замен пространственной переменной х и неизвестной функции у к виду (1) приводятся дифференциальные уравнения более общего вида

Р(х) Уи = (к(х) ух)х - д(х) y,

с переменными коэффициентами р(х) > 0, к(х) > 0, д(х) ^ 0, характеризующими физические свойства системы. Уравнением (1) описываются механические колебания струны и стержня, колебания электромагнитного поля, распространение акустических волн и многие другие процессы.

Дополним уравнение (1) следующими граничными и начальными условиями:

-роУх + &оУ\х=о = щ^), Ух + °\у\х=1 = щ^), Ь Е (0,Т), (2)

у\=о = 0, уг\г=о = 0, ж Е (0,1). (3)

Предполагается, что числа Т > 0, I > 0, определяющие область, в которой рассматривается уравнение (1), известны, коэффициент в(х) задан на отрезке х Е [0,/], ¡30, а0, а\ — известные числа, а и0(Ь) ,и\(Ь) —некоторые заданные функции, которые мы будем интерпретировать как управления.

Задача (1)-(3), в которой требуется найти функцию у(Ь,х) в области = (0,Т) х (0,1), называется краевой, смешанной или начально-краевой задачей для уравнения (1). Начально-краевые задачи вида (1) - (3) являются классическими задачами математической физики, вклад в изучение классических решений данных задач внесли многие известные математики. После появления основополагающей работы С. Л. Соболева [114] появился интерес к изучению обобщённых решений начально-краевых задач. Фундаментальные результаты были получены в работах В. С. Владимирова [18], С. К. Годунова [20], В. А. Ильина [38], О. А. Ладыженской [49] и других авторов. В данной работе решения у(Ь,х) задач (1)-(3) будут пониматься в обобщённом смысле.

В задаче двустороннего граничного управления временной промежуток Т фиксирован и требуется найти пару управлений и = (и0(1),и\(1)), которая либо переводит систему (1)-(3)

в заданное целевое состояние / = (f°(х), f 1(ж)):

У\г=т = !°(х), уг|г=т = /\х) 0 <х<1,

либо в положение, наиболее близкое к /:

Ь \ ¿=т - /°(0\\2 + \\Уг \ г=т - /1(-)\\2 ^ т£.

(5)

В случае, если такое управление не единственно, будем искать нормальное управление и*(Ь), имеющее минимальную норму среди всех управлений, решающих задачу управления (1) - (4) или (1) - (3), (5). Рассматриваемая задача относится к классу задач управления и наблюдения для описываемых дифференциальными уравнениями процессов, теории и методам решения которых посвящены работы [5, 7, 10, 12, 13, 21, 43, 46-48, 51, 56, 57, 73] и многие другие.

Характерной особенностью волнового уравнения является наличие критического (порогового) момента управляемости Т* > 0. Известно, что при согласованном выборе пространств управлений и целевых состояний на докритических промежутках Т < Т* задача управления (1) - (4) разрешима не для произвольных целей, но управления, приводящие систему в достижимые целевые состояния обязательно единственны, а на сверхкритических интервалах Т > Т* выполняется свойство полной управляемости, причём существует бесконечно много управлений, приводящих в произвольно заданное целевое состояние. В критический момент Т = Т* факт достижимости произвольных целей существенным образом зависит от рассматриваемых функциональных пространств. Так, в классах сильных обобщённых решений критическое время имеет свойства докритических промежутков, а в классах слабых обобщённых решений критическое время имеет свойства сверхкритических промежутков. Отметим, что для задач (1) - (4) с двусторонними граничными управлениями критический момент равен [4, 11, 92, 99, 112]

В случаях сверхкритических и критических времён Т ^ Т* задачи граничного управления (1)-(4), в том числе и пространственно-многомерные, рассматривались в работах многих авторов, например [3, 8, 17, 25, 26, 53, 76, 78, 84, 91, 93, 98, 107, 112, 113], а в [17, 45, 54, 62, 81, 87, 88, 97] исследовались близкие к рассматриваемой постановке задачи зонного управления и наблюдения. Аналитические решения задач граничного управления для одномерного волнового уравнения с в(х) = 0 в классах сильных обобщённых решений приведены, например, в работах В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [41], А. А. Никитина [55] для произвольного момента времени Т ^ /.В классах слабых обобщённых решений для критического момента Т = I аналитические выражения для граничных управлений были получены Л. Н. Знаменской [27, 28], а для Т > I —в работе [85]. Разрешимость задач управления для более общего волнового уравнения с переменным коэффициентом 9(Ь,х), зависящим также и от времени, на критическом промежутке времени Т = I была исследована М. Ф. Абдукаримо-вым и Л. В. Крицковым [1, 2]. В работах [4, 11, 92, 99, 112] для уравнений как вида (1), так и

п = I.

более общего вида, исследовались проблемы управляемости и наблюдаемости. Также разрабатывались и численные методы решения таких задач [59, 77, 80, 83, 102, 104, 108-110, 116], в частности, в [22, 23, 58, 60, 61, 63, 64] было показано, что к ним применим вариационный метод М. М. Потапова [59].

В случае докритических времён Т < Т* работ, посвящённых данным задачам, значительно меньше, причём в них рассматривалось только простейшее уравнение с в(х) = 0. В классах сильных обобщённых решений для такого уравнения в работах В. А. Ильина [39, 40] были сформулированы необходимые и достаточные условия разрешимости задачи управления (1) - (4) и получен аналитический вид её единственного решения, а в работах Г. Д. Чаба-каури [74, 75] аналитически решена задача (1) - (3), (5) о наилучшем приближении к заданной цели. В данной работе для управляемых процессов вида (1)-(3) с произвольным непрерывным коэффициентом в(х) на временных промежутках фиксированной докритической длины Т < I впервые получены конструктивные оценки в классах сильных и слабых обобщённых решений, позволяющие с помощью вариационного метода М. М. Потапова находить устойчивые приближённые решения задач (1)-(4) и (1)-(3), (5).

В задаче быстродействия для каждого фиксированного целевого состояния f = (f0(х), f 1(ж)) ищется пара граничных управлений и* = (и*0(t),u*1(t)), обеспечивающих точное попадание в заданную цель f за наименьшее время Т*:

Т* = T*(f) = inf Т, у | t=T = f0 (х), yt | t=T = f 1(x), 0 <x<l. (6)

В силу того, что при Т > Т* в системе (1)-(3) все наперед заданные цели (6) являются достижимыми, искомое время быстродействия принимает заведомо докритические значения Т* ^ Т* = I. Таким образом, задачи быстродействия являются естественным направлением исследований проблем граничного управления на докритических промежутках.

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений по проблемам быстродействия имеется огромная библиография. Было показано, что оптимальное управление удовлетворяет принципу максимума Л. С. Понтрягина [57], является bang-bang управлением и единственно см., например, [5, 51], также были получены достаточные условия второго порядка [103]. Из работ, в которых развиваются численные методы решения данных задач, отметим работы [6, 9, 24, 42, 67, 72, 79, 89, 90].

Для параболических систем с зонным управлением был получен аналог принципа максимума Л. С. Понтрягина, было показано, что оптимальное управление является bang-bang управлением и что задача быстродействия эквивалентна задаче на фиксированном промежутке времени [96, 106, 111, 115]. Часть подобных результатов была получена и для задач с граничными управлениями [105]. Метод решения задачи быстродействия с граничными управлениями для параболических систем был предложен в работе Ф. П. Васильева [14].

В работе [100] для абстрактного уравнения типа Шрёдингера с зонным управлением установлен аналог принципа максимума Л. С. Понтрягина и приведены достаточные условия, при которых оптимальное управление является bang-bang управлением.

В работах [82, 86, 94] для волнового уравнения с зонным управлением установлены раз-

личные формы принципа максимума Л. С. Понтрягина и показано, что оптимальное управление не является Ьа^-Ьа^ управлением в отличие от систем ОДУ, параболических систем и уравнения Шрёдингера. Данное отличие обусловлено наличием у волнового уравнения ненулевого критического момента Т*, начиная с которого все цели являются достижимыми. В работе [95] предложен численный метод решения данных задач. Результатов по задачам быстродействия для волнового уравнения с граничными управлениями значительно меньше. Для простейшего уравнения (1) с в(х) = 0 аналитические решения этих задач нетрудно получить из результатов работ В. А. Ильина [39, 40] и Л. Н. Знаменской [27, 28], сами авторы которых постановки задач в форме задач быстродействия не рассматривали. Для общего случая в(х) = 0 теоретическое исследование задач быстродействия начато в недавней работе [101], в которой отмечается актуальность разработки соответствующих эффективных численных методов.

Отметим, что Ф. П. Васильевым и Р. П. Ивановым в [15] был предложен общий метод приближённого решения задач быстродействия для весьма широкого класса линейных управляемых процессов в банаховых пространствах, содержащего, в частности, и рассматриваемую нами систему (1)-(3).

В данной диссертации предлагаются новые численные методы решения задач быстродействия вида (1) - (3), (6), отвечающие основным требованиям, сформулированным в [101]. Эти методы, уступающие [15] по широте области применимости, благодаря использованию специфических свойств решения пространственно-одномерного волнового уравнения (1), имеют на данном классе задач заметные преимущества перед общим подходом [15] по конструктивности, экономичности и устойчивости и вырабатывают приближённые управления, которые, в отличие от [15], обладают свойством сильной сходимости.

Целью данной работы является определение новых свойств процесса (1)-(3) таких, которые гарантировали бы возможность применения вариационного метода М. М. Потапова для приближённого решения задач управления или наилучшего приближения на докритиче-ских промежутках, а также разработка методов численного решения соответствующих задач быстродействия. Для этого в диссертации ставятся и решаются следующие две конкретные задачи:

1. Для задач управления вида (1)-(4) и (1)-(3), (5) на временных промежутках фиксированной докритической длины вывод новых конструктивных оценок для граничных управлений через достижимые целевые функции, позволяющих применять для устойчивого численного решения таких задач вариационный метод М. М. Потапова.

2. Разработка новых эффективных методов решения задач быстродействия (1)-(3), (6) в классах сильных и слабых обобщённых решений с приложением соответствующих теоретических обоснований.

Научная новизна диссертационной работы определяется тем, что оба этих направления исследований другими авторами практически не разрабатывались.

Теоретическая значимость результатов диссертации заключается в конструктивном определении новых качественных и количественных свойств обобщённых решений волнового

уравнения, существенно расширяющих информационную базу для развития эффективных численных методов решения задач граничного управления. Практическая значимость этих результатов состоит в возможности их применения к решению задач управления и быстродействия для различных процессов колебаний по предложенным в диссертации схемам.

Основные методы исследования. В работе используются элементы теории обобщённых решений дифференциальных уравнений с частными производными и соответствующие методы исследования их свойств, методы функционального анализа в гильбертовых пространствах, методы аппроксимации и вычислительной математики.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Для задач двустороннего граничного управления волновым уравнением на докритиче-ских временных промежутках впервые получены конструктивные неравенства ограниченной обратимости оператора управления. Показано, как при наличии полученных оценок с помощью вариационного метода М. М. Потапова находятся устойчивые численные приближения к управлениям, решающим задачу о наилучшем приближении к заданному терминальному состоянию.

2. Для заданного целевого состояния получены новые конструктивные оценки порога распознавания достижимости в классах сильных и слабых обобщённых решений, позволяющие находить устойчивые и не завышенные приближения к моменту быстродействия.

3. Предложены алгоритмы решения задач быстродействия для волнового уравнения с двусторонними граничными управлениями в классах сильных и слабых обобщённых решений. Доказана сходимость вырабатываемых приближений как по времени быстродействия, так и по управлению, при асимптотическом уточнении параметров конечномерной аппроксимации и уменьшении уровня погрешности в задании целевых функций.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается строгими доказательствами соответствующих утверждений и теорем, их публикациями в научных журналах и в тезисах конференций. Работоспособность предложенных в работе алгоритмов подтверждается результатами соответствующих тестовых расчётов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

- IV Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвя-щённая 90-летию со дня рождения Л. Д. Кудрявцева (Москва, РУДН, 2013 год);

- Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ, 2014 год);

- Международный научный семинар по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, МГУ, 2015 год);

- XIII Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого) (Москва, ИПУ РАН, 2016 год);

- Международная конференция «Динамические системы: обратные задачи, устойчивость и процессы управления», посвящённая 80-летию со дня рождения Ю. С. Осипова (Москва, МИАН, 2016 год);

- Семинар кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ «Методы оптимизации» (Москва, 2016 год);

- Научно-исследовательский семинар кафедр общей математики и функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ (Москва, 2016 год);

- Научно-исследовательский семинар кафедры математической физики факультета ВМК МГУ (Москва, 2016 год);

- Научно-исследовательский семинар кафедры математического моделирования национального исследовательского университета «МЭИ» (Москва, 2016 год);

- Научно-исследовательский семинар кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ (Москва, 2016 год);

- Семинар кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ «Обратные задачи анализа, математической физики и естествознания» (Москва, 2016 год);

- Научно-исследовательский семинар кафедры высшей математики государственного университета «МФТИ» (г. Долгопрудный, 2016 год);

- Семинар кафедры системного анализа факультета ВМК МГУ «Прикладные задачи системного анализа» (Москва, 2016 год).

Публикации автора по теме диссертации включают 10 работ, 5 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК [30-33, 65], а остальные — в докладах на конференциях [34-37, 66].

Личный вклад автора в данную диссертационную работу состоит в самостоятельном получении всех основных её теоретических результатов, а также в проведении численных экспериментов. Участие научного руководителя М. М. Потапова ограничивается постановкой задач, составлением планов исследований, проверкой достоверности их результатов, а также редактированием текстов основных публикаций.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Объём диссертации составляет 99 страниц, на которых помещены 7 таблиц и 12 рисунков. Список цитированной литературы включает 116 работ.

Кратко изложим содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена решению задач двустороннего граничного управления в классах сильных и слабых обобщённых решений на промежутках фиксированной докритической длины Т ^ I. В § 1.1 приводятся вспомогательные сведения об обобщённых решениях рассматриваемых смешанных задач и о вариационном методе М. М. Потапова [59].

Задачи управления (1)-(4) и (1)-(3), (5) ставятся в форме минимизации невязки:

J(и) = \\Ли - f \\2F ^ Ы, и е Н. (7)

Здесь Н и F — пара пространств, определяемая классами обобщённых решений, а Л — оператор управления вида

Ли = (y(T,x),yt (Т,х)), (8)

где у = y(t,x) — решение дифференциальной задачи (1)-(3), соответствующее граничному управлению и.

Заканчивается § 1.1 описаниями вариационного метода и условий его применимости. На сверхкритических промежутках Т > Т* одним из основных таких условий обычно являются конструктивные оценки вида [17, 58]

\\A*v\\2H* ^ ц,\\v\\2f*, Уь е F* (р = const > 0), (9)

для сопряжённого к (8) оператора наблюдения Л*. Неравенства вида (9) принято называть неравенствами наблюдаемости, [92, 99, 116], а значения оценочной константы ^ > 0 при использовании вариационного метода М. М. Потапова должны быть известны. В данной работе рассматриваются докритические промежутки Т < Т*, на которых неравенства наблюдаемости (9) выполняться не могут, зато оказывается возможным установить двойственные по отношению к ним конструктивные оценки непрерывной обратимости оператора управления (8):

\\Au\\2F > и\\и\\2н, Уи е Н, (10)

с известными значениями постоянной v > 0, которые будут явно выражены через параметры задачи. Эти значения могут быть использованы для устойчивых вычислений приближённых решений задач управления (7) с помощью вариационного метода М. М. Потапова подобно тому, как значения постоянной ^ из неравенств наблюдаемости (9) использовались в [17, 58, 60, 61] для приближённого решения задач управления Ли = f на сверхкритических промежутках Т > Т*.

В § 1.2 представлен вывод оценки (10) для случая сильных обобщённых решений. В этом случае константа v не вырождается при приближении Т к пороговому моменту Т*, что даёт возможность применять вариационный метод М. М. Потапова для решения задачи (7) в классах сильных обобщённых решений при любых Т ^ Т*.

В § 1.3 выводится оценка (10) для случая слабых обобщённых решений. Установлено, что в классах слабых обобщённых решений при Т < Т* оценочная константа v = v (Т), зависящая

от Т, имеет вид

и = (Т* - Т)/М, Я = const > 0, (11)

и что порядок вырождения v(Т) при Т ^ Т* в (11) является точным.

В § 1.4 предложен и исследован альтернативный метод вычисления граничных управлений в классах слабых обобщённых решений для достижимой за время Т < Т* цели, не использующий вырождающиеся значения константы из (10). Вместо этого производится предварительное сглаживание фазовых траекторий, после чего применяется вариационный метод М. М. Потапова в классах сильных обобщённых решений с использованием неравенства обратимости (10) с невырожденным значением v и, наконец, выполняется финальное дифференцирование найденных сглаженных управлений. Доказано, что управления, построенные таким образом, обладают сильной сходимость в пространстве Н.

В § 1.5 приведены вычислительные иллюстрации, демонстрирующие практические возможности полученных в данной главе теоретических результатов.

Результаты первой главы опубликованы в [30, 32, 34, 65, 66].

Во второй главе ставится задача быстродействия (1)-(3), (6) в классах сильных обобщённых решений и разрабатывается метод её численного решения.

В § 2.1 предложен численный алгоритм поиска времени быстродействия и сформулированы информационные и аппроксимационные условия, достаточные для его сходимости. Алгоритм представляет собой конечношаговую итерационную процедуру, пригодную для работы с неточными данными и основанную на конструктивной проверке необходимого и достаточного условия достижимости целевого состояния f для одномерного волнового уравнения (1). Установлена сходимость вырабатываемых алгоритмом приближений Т* к оптимальному времени быстродействия Т* при стремлении к нулю уровня погрешностей и шагов сетки.

В §2.2 содержится вывод априорной конструктивной оценки, которая необходима для обоснованного применения численного алгоритма нахождения времени быстродействия. Дело в том, что при практической проверке достижимости точные условия приходится заменять приближёнными, поэтому возникают необходимость в конструктивном оценивании через уровни погрешностей и шаги сетки некоторого важного параметра £t (S, т, f) — порога распознавания достижимости.

В § 2.3 предложен численный алгоритм нахождения оптимальных по времени управлений и сформулированы условия его сходимости. Этот алгоритм конструирует приближения Т* к оптимальному по быстродействию управлению и* из приближений Т* к единственному управлению и* в критический момент Т* = I с учётом уже найденного приближённого момента быстродействия Т*.

В § 2.4 приведены результаты численных экспериментов, показывающие практические возможности полученных в данной главе теоретических результатов.

Результаты второй главы опубликованы в [31, 35-37].

В третьей главе решается задача быстродействия (1)-(3), (6) в классах слабых обобщённых решений.

В § 3.1 с помощью процедуры сглаживания из § 1.4 производится переход к постановке в

классах сильных обобщённых решений. Это сделано прежде всего для того, чтобы при выводе оценки порога распознавания достижимости в слабых классах полнее использовать аналогичные оценки, уже полученные в главе 2 для сильных обобщённых решений. Доказано, что при этом значение ) момента быстродействия не изменяется и даётся его конструктивное описание в терминах сглаженной задачи.

В §3.2 предложен алгоритм поиска времени быстродействия, основанный на конструктивной оценке порога распознавания достижимости, вывод которой по сравнению с оценкой из § 2.2 оказался существенно сложнее.

В § 3.3 предложен способ построения приближений к оптимальным по быстродействию управлениям в классах слабых обобщённых решений. Обратим внимание на то, что их конструкция заметно отличается от предложенной в § 2.3 для случая сильных обобщённых решений.

В § 3.4 приведены вычислительные иллюстрации, подтверждающие работоспособность предложенного в диссертации метода решения задачи быстродействия (1) - (3), (6) в классах слабых обобщённых решений.

Результаты третьей главы опубликованы в [33, 36, 37].

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору М. М. Потапову за постановку задач и внимание к работе. Автор благодарит профессора Ф. П. Васильева и профессора А. В. Разгулина за внимание, поддержку и полезные советы.

Глава 1. Задачи двустороннего граничного управления на временных промежутках фиксированной докритической длины

Данная глава посвящена решению задач двустороннего граничного управления волновым уравнением на временных промежутках докритической длины. В классах сильных и слабых обобщённых решений получены конструктивные неравенства ограниченной обратимости оператора управления (10). Показано, как при наличии полученных оценок с помощью вариационного метода М. М. Потапова находятся устойчивые численные решения задачи о наилучшем приближении к заданному терминальному состоянию, а в случае слабых обобщённых решений предложен также и новый метод, использующий процедуру предварительного сглаживания фазовых траекторий. Результаты главы 1 опубликованы в [30, 32, 34, 65, 66], в том числе в статьях [30, 32, 65] из журналов, рекомендованных ВАК.

§1.1. Постановка задачи. Оператор управления. Вспомогательные

сведения

Рассматривается динамический процесс

Уы = Ухх - в(х) у, 0 <КТ, 0 <х<1, (1.1)

-роУх + °0У |я=0 = ио(г), Ргух + (Г\у | х=г = щ^), 0 <КТ, (1.2)

У | г=0 = 0, Уг 11=0 = 0, 0 <х<1. (1.3)

Временной промежуток докритической длины Т ^ Т* = I фиксирован и требуется найти пару управлений и = (и0(1),и1(¿)), которая переводит систему (1.1) — (1.3) в положение, наиболее близкое к заданному целевому состоянию / = (/0(х),/ 1(ж)):

\\У I г=т - /0(-)\\2 + \\Уг | г=т - П)\\2 ^ П. (1.4)

Предполагаются выполненными следующие условия на исходные данные задачи (1.1)-(1.3):

в(х) е С[0,/], А е {0,1}, & + > 0 г = 0,1. (1.5)

Управления и(Ь) = (и0(Ь) ,и1(Ь)) выбираются из гильбертовых пространств Н, вид которых будет описан ниже. Им соответствуют выходы

Ли = (у(Т,х),у1 (T,x)),

(1.6)

оператора управления Л, которые принадлежат гильбертовым пространствам Р, вид которых будет зависеть от Н.

При выборе управлений и(Ь) = (и0(Ь),и\(I)) из пространства Н решение задачи (1.1)-(1.3) понимается в обобщённом смысле, как предел классических решений в соответствующих нормах [49].

Замечание 1. В диссертации мы будем иметь дело с двумя классами обобщённых решений задачи (1.1) — (1.3): более регулярных и менее регулярных. Для краткости за ними будут закреплены условные названия классов сильных и слабых обобщённых решений соответственно.

В § 1.2 будут исследоваться задачи управления в классах сильных обобщённых решений, в которых

Н = Н0 х Нъ Щ = Н 1(0, Т) при ^ = 0, Щ = Ь2(0, Т) при ^ =1,

0,1,

:1.7)

где Ь2(0,Т) — пространство Лебега, а Н:(0,Т) = {/(г) е Н1(0,Т) | f (0) Соболева, наделённые скалярными произведениями

0} — пространство

а, д)

т(о,т)

т

{¡,д)ь2(о,т) = /^)д(1) ¿1,

т

:1.в)

Для описания необходимых нам свойств сильных обобщённых решений дифференциальной задачи (1.1) —(1.3) нам понадобятся пространства Лебега Ь2(0,1) и Соболева Нг(0,1) со следующими скалярными произведениями:

{¡',д)ь2 (0,1) = ! (х)д(х) dx,

а, д)н 1(0,1) = Г (х) д'(х) Ах + /(0) д(0) + /(I) д(1).

1.9)

Данные свойства содержит

Теорема 1 [38, 49]. Пусть выполнены условия (1.5). Тогда для любых фиксированных управлений и = (и0(1), щ^)) из пространства Н, определённого в (1.7), задача (1.1) -(1.3) имеет единственное сильное обобщённое решение у = у(Ь,х) = у(Ь,х; и) е НЭто

решение обладает дополнительными свойствами:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванов, Денис Александрович, 2017 год

Список литературы

1. Абдукаримов М. Ф., Крицков Л. В. Задача граничного управления для одномерного уравнения Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом. Случай управления смещениями на одном конце при закреплённом втором // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. №6. С. 759-771.

2. Абдукаримов М. Ф., Крицков Л. В. Задача граничного управления для одномерного уравнения Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом. Случай управления смещениями на двух концах // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. №8. С. 1036-1046.

3. Авдонин С. А., Белишев М. И., Иванов С. А. Управляемость в захваченной области для многомерного волнового уравнения с сингулярным граничным управлением // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 1994. Т. 210. С. 7-21.

4. Авдонин С. А., Иванов С. А. Управляемость систем с распределёнными параметрами и семейства экспонент. — Киев: УМК ВО. 1989. — 244 с.

5. Аграчёв А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2005. —392 с.

6. Александров В. М. Численный метод решения задачи линейного быстродействия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. №6. С. 918-931.

7. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. — 430 с.

8. Белишев М. И. О граничной управляемости динамической системы, описываемой волновым уравнением на одном классе графов (деревьях) // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2004. Т. 308. С. 23-47.

9. Белолипецкий А. А. Линейная задача оптимального быстродействия с малым параметром // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1974. Т. 14. №5. С. 1131-1137.

10. Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление. Линейная теория : учеб. для студентов высш. учеб. заведений. — М.: Высш. шк., 2001. — 239 с.

11. Боровских А. В. : 1) Формулы граничного управления неоднородной струной: I // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 1. С. 64-89 ; 2) Формулы граничного управления неоднородной струной: II // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. №5. С. 640-649.

12. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределёнными параметрами. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. — 477 с.

13. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями.— М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. — 624 с.

14. Васильев Ф. П. Об итерационных методах решения задач быстродействия, связанных с параболическими уравнениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. Т. 10. №4. С. 942-957.

15. Васильев Ф.П., Иванов Р. П. О приближённом решении задачи быстродействия в банаховых пространствах при наличии ограничений на фазовые координаты // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. №2. С. 328-347.

16. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 824 с.

17. Приближённое решение двойственных задач управления и наблюдения / Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, М. М. Потапов, А. В. Разгулин. — М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2010. — 384 с.

18. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. —512 с.

19. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. —М.: Мир, 1978. — 336 с.

20. Годунов С. К. Уравнения математической физики. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. —392 с.

21. Григоренко Н. Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. — 199 с.

22. Дряженков А. А., Потапов М. М. Конструктивные неравенства наблюдаемости для слабых обобщённых решений волнового уравнения с условием упругого закрепления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. №6. С. 928-941.

23. Дряженков А. А. Неравенство наблюдаемости для волнового уравнения с условием упругого закрепления в случае критического интервала времени // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2014. №3. С. 18-22.

24. Дубовицкий А. Я., Рубцов В. А. Линейные быстродействия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. №5. С. 937-949.

25. Егоров А. И. Основы теории управления. — М.: Физматлит, 2004. — 504 с.

26. Егоров А. И., Знаменская Л. Н. Об управляемости колебаний сети из связанных объектов с распределёнными и сосредоточенными параметрами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. №5. С. 815-825.

27. Знаменская Л. Н. Управление колебаниями струны в классе обобщённых решений из Ь2 // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. №5. С. 666-672.

28. Знаменская Л. Н. Управление упругими колебаниями. — М.: Физматлит, 2004. — 176 с.

29. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. — М.: Наука, 1978. — 206 с.

30. Иванов Д. А., Потапов М. М. Непрерывная обратимость оператора граничного управления для волнового уравнения на докритических промежутках в классах слабых обобщённых решений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2014. №4. С. 5-12.

31. Иванов Д. А., Потапов М. М. Приближённое решение задачи быстродействия для волнового уравнения с граничными управлениями // Тр. Матем. ин-та РАН. 2015. Т. 291. С. 112-127.

32. Иванов Д. А. Повышение регулярности обобщённых решений волнового уравнения для вычисления оптимальных граничных управлений // Вычислительные методы и программирование 2016. Т. 17. №3 С. 299-308.

33. Иванов Д. А., Потапов М. М. Приближения к оптимальным по времени граничным управлениям для слабых обобщённых решений волнового уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2017. Т. 57. №4. С. 605-624.

34. Иванов Д. А., Потапов М. М. Неравенства обратимости для волнового уравнения на докритических промежутках в классах слабых обобщённых решений // Ломоносовские чтения: тез. докл. науч. конф., Москва, 14-23 апр. 2014 г. — М.: Макс Пресс, 2014. С. 22-23.

35. Иванов Д. А., Потапов М. М. Оптимальные по быстродействию граничные управления для волнового уравнения в классе сильных обобщённых решений // Тез. докл. Международн. научного семинара по обратным и некорректно поставленным задачам, Москва, 19-21 ноября 2015 г. —М.: РУДН, 2015. С. 79-80.

36. Иванов Д. А., Потапов М. М. Оптимальные по быстродействию граничные управления для волнового уравнения // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: тез. докл. XIII Международн. конф. (конф. Пятницкого), Москва, 1-3 июня 2016 г. —М.: ИПУ РАН, 2016. С. 166-168.

37. Иванов Д. А. Задача быстродействия для волнового уравнения с граничными управлениями // Динамические системы: обратные задачи, устойчивость и процессы управления: тез. докл. Международн. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения Ю. С. Осипова, Москва, 22-23 сентября 2016 г. — М.: МИ РАН, 2016. С. 53-55.

38. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15. вып. 2. С. 97- 154.

39. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщённого решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №11. С. 1513-1528.

40. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закреплённом втором конце в терминах обобщённого решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №12. С. 1670-1686.

41. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60. вып. 6. С. 89- 114.

42. Киселёв Ю. Н., Орлов М. В. Численные алгоритмы линейных быстродействий // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. №12. С. 1763-1771.

43. Киселёв Ю. Н., Аввакумов С. Н., Орлов М. В. Оптимальное управление. Линейная теория и приложения. — М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2007. — 272 с.

44. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.— М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 542 с.

45. Короткий А. И. Реконструкция распределённых управлений в гиперболических системах динамическим методом // Вестн. ЮУрГУ. Сер. «Матем. моделирование и программирование». 2013. Т. 6. №3. С. 67-78.

46. Короткий А. И., Стародубцева Ю. В. Моделирование прямых и обратных граничных задач для стационарных моделей тепломассопереноса. — Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2015.— 168 с.

47. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. — М.:

Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. — 456 с.

48. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределённости. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.— 392 с.

49. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. —М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1953. — 280 с.

50. Латтес Р., Лионс Ж!.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. — М.: Мир, 1970. —336 с.

51. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972. — 576 с.

52. Лионс Ж!.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.— М.: Мир, 1971. —372 с.

53. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. —414 с.

54. Максимов В. И. О динамическом восстановлении правой части гиперболического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. №6. С. 1008-1019.

55. Никитин А. А. Оптимальное граничное управление колебаниями струны, производимое силой при упругом закреплении // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. №12. С. 1773-1782.

56. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Методы динамического восстановления входов управляемых систем. — Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2011.— 291 с.

57. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко.—М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. — 392 с.

58. Потапов М. М. О сильной сходимости разностных аппроксимаций для задач граничного управления и наблюдения для волнового уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. №3. С. 387-397.

59. Потапов М. М. Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущённым оператором // Докл. Акад. наук. 1999. Т. 365. № 5. С. 596-598.

60. Потапов М. М. Приближённое решение задач Дирихле-управления для волнового уравнения в классах Соболева и двойственных к ним задач наблюдения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. №12. С. 2191-2208.

61. Потапов М. М. Разностная аппроксимация задач Дирихле-наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. №8. С. 1323-1339.

62. Потапов М. М. Оценки нормальных решений задач с зонными управлениями из Ь2 для волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. №7. С. 931-941.

63. Потапов М. М., Дряженков А. А. Оптимизация порогового момента в неравенстве наблюдаемости для волнового уравнения с краевым условием упругого закрепления // Тр. Матем. ин-та РАН. 2012. Т. 277. С. 215-229.

64. Потапов М. М., Иванов Д. А. Неравенства наблюдаемости в пространствах Соболева для волнового уравнения с переменными коэффициентами // Докл. Акад. наук. 2012. Т. 447. №5. С. 493-498.

65. Потапов М. М., Иванов Д. А. Задачи двустороннего граничного управления для волнового уравнения на докритических промежутках в классах сильных обобщённых решений // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. 2013. Т. 19. №4. С. 192-202.

66. Потапов М. М., Иванов Д. А. Задачи граничного управления для волнового уравнения на докритических промежутках // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тез. докл. Четвёртой Международ. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения Л. Д. Кудрявцева, Москва, 25-29 марта 2013 г. —М.: РУДН, 2013. С. 452-453.

67. Пшеничный Б. Н. Численный метод расчета оптимального по быстродействию управления для линейных систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т. 4. № 1. C. 52-60.

68. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Мир, 1979. — 588 с.

69. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980.— 512 с.

70. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.— 288 с.

71. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.: Наука, Физматлит, 1995. — 312 с.

72. Тятюшкин А. И. Численные методы расчета оптимального по быстродействию управления // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Матем. 2014. Т. 8. C. 164-177.

73. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения.— Новосибирск: Научная книга, 1999. — 352 с.

74. Чабакаури Г. Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закреплённом втором конце // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 12. C. 1655-1663.

75. Чабакаури Г. Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при закреплённом втором конце в случае ограниченной энергии // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. №2. C. 277-284.

76. Эмануилов О. Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями // Сиб. матем. журн. 2000. Т. 41. №4. С. 944-959.

77. Cindea N., Micu S., Tucsnak M. An approximation method for exact controls of vibrating systems // SIAM J. Control Optim. 2011. Vol.49. N3. P. 1283-1305.

78. Dager R., Zuazua E. Controllability of tree-shaped networks of vibrating strings // C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I. —Math. 2001. Vol.332. N12. P. 1087-1092.

79. Eaton J. H. An iterative solution to time-optimal control // J. of Math. Anal. and Appl. 1962. Vol.5. N2. P. 329-344.

80. Ervedoza S., Zuazua E. Numerical approximation of exact controls for waves. — New York, NY.: Springer, 2013. —122 p.

81. Fattorini H. O. Optimal control problems with state constraints for semilinear distributed-parameter systems // J. of Optim. Theory and Appl. 1996. Vol.88. N1. P. 25-59.

82. Fattorini H. O. Infinite dimensional optimization and control theory // Encyclopedia Math. Appl. 1999. Vol. 62. Cambridge University Press, Cambridge.

83. Glowinski R., Li C.-H., Lions J.-L. A numerical approach to the exact boundary controllability of the wave equation (I) Dirichlet controls: Description of the numerical methods // Japan J. of Industr. a. Appl. Math. 1990. Vol. 7. N1. P. 1-76.

84. Guesmia A. Exact controllability for the wave equation with variable coefficients // Israel J. of Mathematics. 2001. Vol. 125. N 1. P. 83-92.

85. Gugat M., Leugering G., Sklyar G. Lp - optimal boundary control for the wave equation // SIAM J. Control Optim. 2005. Vol.44. N1. P. 49-74.

86. Gugat M., Leugering G. L^ - norm minimal control of the wave equation: on the weakness of the bang-bang principle // ESAIM: Control Optim. Calc. Var. 2008. Vol. 14. N2. P. 254283.

87. Haraux A. A generalized internal control for the wave equation in a rectangle // J. of Math. Analysis and Appl. 1990. Vol. 153. N1. P. 190-216.

88. Ho L. F. Exact controllability of the one-dimensional wave equation with locally distributed control // SIAM J. Control Optim. 1990. Vol.28. N3. P. 733-748.

89. Ito K., Kunisch K. Semismooth Newton methods for time-optimal control for a class of ODEs // SIAM J. Control Optim. 2010. Vol.48. N6. P. 3997-4013.

90. Kaya C.Y., Noakes J.L. Computational method for time-optimal switching control // J. of Optim. Theory and Appl. 2003. Vol. 117. N 1. P. 69-92.

91. Komornik V. Exact controllability in short time for the wave equation // Annales de l'Inst. Henri Poincare. 1989. Vol.6. N2. P. 153-164.

92. Komornik V. Exact controllability and stabilization. The multiplier method. Chichester: John Wiley and Sons; Paris: Masson, 1994. — 156 p.

93. Krabs W. On boundary controllability of one-dimensional vibrating systems // Math. Methods in the Appl. Sciences. 1979. Vol. 1. N3. P. 322-345.

94. Krabs W. On time-minimal distributed control of vibrations // Appl. Math. and Optim. 1989. Vol. 19. N1. P. 65-73.

95. Kunisch K., Wachsmuth D. On time optimal control of the wave equation and its numerical realization as parametric optimization problem // SIAM J. Control Optim. 2013. Vol.51. N2. P. 1232-1262.

96. Kunisch K., Wang L. Time optimal control of the heat equation with pointwise control constraints // ESAIM: Control Optim. Calc. Var. 2013. Vol. 19. N2. P. 460-485.

97. Lagnese J. Control of wave processes with distributed controls supported on a subregion // SIAM J. Control Optim. 1983. Vol.21. N1. P. 68-85.

98. Lasiecka I., Triggiani R., Yao P. F. Exact controllability for second-order hyperbolic equations with variable coefficient-principal part and first-order terms // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1997. Vol.30. N1. P. 111-122.

99. Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. 1988. Vol.30. N1. P. 1-68.

100. Loheac J., Tucsnak M. Maximum principle and bang-bang property of time optimal controls for Schrodinger-type systems // SIAM J. Control Optim. 2013. Vol. 51. N 5. P. 40164038.

101. Loheac J., Zuazua E. Norm saturating property of time optimal controls for wave-type equations // IFAC-PapersOnLine. 2016. Vol.49. N8. P. 37-42.

102. Marica A., Zuazua E. On the quadratic finite element approximation of one-dimensional waves: propagation, observation, and control // SIAM J. Numer. Anal. 2012. Vol.50. N5. P. 2744-2777.

103. Maurer H., Osmolovskii N. P. Second order sufficient conditions for time-optimal bangbang control // SIAM J. Control Optim. 2004. Vol.42. N6. P. 2239-2263.

104. Micu S. Uniform boundary controllability of a semi-discrete 1 — d wave equation // Numerische Mathematik. 2002. Vol.91. N4. P. 723-768.

105. Micu S., Roventa I., Tucsnak M. Time optimal boundary controls for the heat equation // J. of Func. Anal. 2012. Vol. 263. N 1. P. 25-49.

106. Mizel V. J., Seidman T. I. An abstract bang-bang principle and time-optimal boundary control of the heat equation // SIAM J. Control Optim. 1997. Vol. 35. N4. P. 1204-1216.

107. Munos Rivera J. E. Exact controllability: coefficient depending on the time // SIAM J. Control Optim. 1990. Vol.28. N2. P. 498-501.

108. Negreanu M., Zuazua E. Convergence of a multigrid method for the controllability of a 1 - d wave equation // C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I. — Math. 2004. Vol. 338. N5. P. 413-418.

109. Negreanu M., Matache A. M., Schwab C. Wavelet filtering for exact controllability of the wave equation // SIAM J. Sci. Comput. 2006. Vol.28. N5. P. 1851-1885.

110. Negreanu M. Convergence of a semidiscrete two-grid algorithm for the controllability of the 1 - d wave equation // SIAM J. Numer. Anal. 2008. Vol.46. N6. P. 3233-3263.

111. Raymond J. P., Zidani H. Pontryagin's principle for time-optimal problems // J. of Optim. Theory and Appl. 1999. Vol. 101. N2. P. 375-402.

112. Russell D. L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent progress and open questions // SIAM Rev. 1978. Vol.20. N4. P. 639-739.

113. Smyshlyaev A., Cerpa E., Krstic M. Boundary stabilization of a 1 — d wave equation with in-domain antidamping // SIAM J. Control Optim. 2010. Vol.48. N6. P. 4014-4031.

114. Sobolev S. L. Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales // MaTeM. c6. 1936. T. 43. №1. C. 39-72.

115. Wang G., Zuazua E. On the equivalence of minimal time and minimal norm controls for internally controlled heat equations // SIAM J. Control Optim. 2012. Vol.50. N5. P. 29382958.

116. Zuazua E. Propagation, observation, and control of waves approximated by finite difference methods // SIAM Rev. 2005. Vol.47. N2. P. 197-243.