Неравенства наблюдаемости для одномерного волнового уравнения и их применение к задачам управления с квадратичным ограничением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Дряженков Андрей Александрович

• Дряженков Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Дряженков Андрей Александрович

Оглавление

Введение

Глава 1. Неравенства наблюдаемости для случая сильных обобщённых

решений сопряжённой задачи

§1.1. Вспомогательные сведения

§ 1.2. Вывод неравенства наблюдаемости

§ 1.3. Результаты численных экспериментов

Глава 2. Неравенства наблюдаемости для случая слабых обобщённых решений сопряжённой задачи

§2.1. Вспомогательные сведения

§2.2. Случай сверхкритического интервала времени

§ 2.3. Случай критического интервала времени

§ 2.4. Результаты численных экспериментов

Глава 3. Алгоритм численного решения задачи квадратичной минимизации на эллипсоиде и его применение к задачам управления с ограничениями

§3.1. Описание алгоритма

§3.2. Доказательство сходимости первого этапа алгоритма

§3.3. Доказательство сходимости второго этапа алгоритма

§3.4. Результаты численных экспериментов

Заключение

Список литературы

Список иллюстративного материала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неравенства наблюдаемости для одномерного волнового уравнения и их применение к задачам управления с квадратичным ограничением»

Введение

Данная работа посвящена задачам граничного управления системами, описываемыми следующим пространственно одномерным волновым уравнением с переменными коэффициентами:

р(х)уи(1,х) = (к(х)ух(1,х))х - д(х)у(1,х), (1,х) Е Q = (0,Т) х (0,1), (1)

где у = у(Ь,х) —функция двух вещественных аргументов, описывающая поведение системы, а р(х), к(х), д(х) —некоторые функции действительного аргумента, характеризующие физические свойства системы. Предполагается, что числа Т > 0, I > 0, определяющие область, в которой рассматривается уравнение (1), известны, коэффициенты р(х), к(х), д(х) заданы на отрезке х Е [0,/], а функция у(Ь,х) в области Q подлежит определению.

Уравнение (1) возникает при описании малых поперечных колебаний натянутой струны, малых продольных колебаний стержня и других видов колебаний, встречающихся в различных областях физики [13; 78]. Дальнейшее изложение данной работы будет ориентироваться на первую из приведенных интерпретаций; так, например, аргумент Ь для простоты будет называться временем, число Т — конечным временем, I —длиной струны, будет предполагаться, что значение аргумента х = 0 соответствует левому краю струны, а х = I — правому, и так далее.

Дополним уравнение (1) следующими граничными и начальными условиями:

-рокух + &оу\х=о = ио(Ь), Ргкух + (Г\у\х=1 = щ^), Ь Е (0,Т), (2)

у\г=о = ^(х), Уг\г=о = Ф(х), х Е (0,1), (3)

где — известные числа, а и0(1),иг(1),^(х),гф(х) —некоторые функции. В случае, когда эти функции известны и требуется найти функцию у(Ь, х) в области Q = (0, Т) х (0,1), задача (1) - (3) называется краевой, смешанной или начально-краевой задачей для уравнения (1). В случае же, когда функции (р(х),ф(х) в (3) заданы, а и0(1),иг(1) подлежат определению вместе с у(Ь,х) при наличии некоторых дополнительных ограничений на у(Ь,х), будем, следуя [10; 51], называть задачу поиска граничных неоднородностей и0(Ь),иг(1) задачей граничного управления системой (1)-(3). Если неизвестны обе функции и0(Ь),и\(Ь), то задача называется задачей двустороннего граничного управления, а если одна из этих функций задана, то задачей одностороннего граничного управления. При этом функцию и0(Ь) или щ(1), являющейся неизвестной, будем называть управлением.

Начально-краевые задачи вида (1)-(3) являются классическими задачами математической физики, хорошо изучены и обсуждены в множестве учебных пособий [13; 54; 72; 73; 78] и научных работ [14; 21; 27; 28; 33; 43; 44; 48; 52; 79; 95; 96; 97; 98]. До конца 30-х годов XX века решение задачи (1) - (3) понималось только в классическом смысле, то есть рассматривались функции у = у(Ь,х), имеющие непрерывные частные производные до второго порядка включительно в Q и удовлетворяющие уравнению (1) в каждой точке этой области. Класси-

ческая теория, использующая такие предположения гладкости, имела ряд недостатков, в том числе не допускала рассмотрение задач с начальными условиями (3), в которых положение или скорость моделировались бы разрывными функциями, а также характеризовалась существенной технической сложностью доказательства ее основных положений. Впервые понятие обобщенного решения, отличное от классического, было введено в работе [106] С. Л. Соболева, а позже было развито в работах [33; 52; 55; 95; 96; 97; 98; 102] и изложено в учебных пособиях [15; 57]. Для случая постоянных коэффициентов р(х) = к(х) = 1, д(х) = 0 свойства обобщенного решения были подробно изучены В. А. Ильиным в [34; 35]. В данной диссертации будут рассматриваться именно обобщенные решения задачи (1)-(3) со следами из гильбертовых пространств.

Рассмотрим задачу одностороннего граничного управления системой (1)-(3) при некоторых дополнительных ограничениях на функцию у(Ь,х). Не ограничивая общности, будем предполагать, что неизвестной является функция и0(Ь), а и1(Ь) задана. Предположим, что при подстановке известных данных (р(х),ф(х) и щ^) = 0 в (2), (3) начально-краевая задача (1) - (3) будет иметь решение. Тогда с использованием линейности системы (1) - (3) задача управления сведется к поиску функций и(Ь) = и0(Ь) и у(Ь,х) (для удобства обозначение для новой функции двух аргументов оставим прежним), в обобщенном смысле удовлетворяющих уравнению (1), краевым и начальным условиям

а также некоторым дополнительным ограничениям, вид которых будет уточнен ниже. В дальнейшем в данной работе будут рассматриваться только задачи одностороннего граничного управления системой (1), (4), (5). Основные утверждения, полученные для этого случая, несложно перенести и на случай двустороннего управления.

Актуальность темы исследования следует из необходимости разработки новых методов и улучшения уже существующих для решения возникающих в различных областях науки и техники задач управления колебательными системами, простым примером которых служат рассматриваемые в данной работе задачи определения неизвестного управления и(Ь) системы (1), (4), (5).

Уточним вид дополнительных ограничений, исходя из которых должно выбираться управление. В данной работе рассматриваются два вида этих ограничений и два типа задач граничного управления, им соответствующие.

В задаче точного наведения на цель требуется найти управление и(Ь), переводящее систему (1), (4), (5) в конечный момент времени в заданное целевое состояние / = (/0(х),/1 (х)):

А кух + аоу\х=о = и(£), @1кух + <71у\х=г = 0, у\ь=о = 0, у^=о = 0,

г е (0,Т), X е (0,1),

(4)

(5)

У\г=т = ¡0(х), уг\г=т = /V), ж е (0,1),

(6)

то есть управление и(Ь), при подстановке которого в граничное условие (4) решение у(Ь, х) получившейся начально-краевой задачи (1), (4), (5) удовлетворяло бы ограничению (6). В слу-

чае, когда такое управление не единственно, требуется найти нормальное управление u*(t), то есть управление, имеющее минимальную норму среди всех управлений, решающих задачу перевода системы в состояние (6). Рассматриваемая задача относится к классу задач управления и наблюдения для описываемых дифференциальными уравнениями процессов, теории и методам решения которых посвящены работы [2; 5; 7; 8; 16; 18; 37; 41; 42; 46; 58] и многие другие.

Задачи управления для волнового уравнения вида (1), (4)-(6) и сходных видов были рассмотрены во множестве работ, например [1; 4; 12; 29; 51; 80; 82; 83; 86; 90; 92; 93; 99; 103; 104; 105; 107]. Для (1), (5), (6) также широко рассматривались— например, в [12; 40; 53; 62; 84; 87; 88; 94]—близкие к рассматриваемой постановке задачи зонного управления и наблюдения. В работах [34; 35; 36] В. А. Ильина и Е. И. Моисеева для случая постоянных коэффициентов (р = к = 1, q = 0) и граничных условий (4) первого (ßk = 0) и второго (ак = 0) родов, а также их комбинаций рассматриваемая задача была решена аналитически. В работе [56] А. А. Никитина задача была решена аналитически и для случая краевого условия третьего рода на неуправляемом краю (ß\ = 1, а\ = 0). В работах [9] Ф. П. Васильева и [100] J.-L. Lions к рассматриваемой задаче управления была применена теория двойственных задач. Вопрос о разрешимости задачи управления для различных целевых состояний f был исследован в работах [104] D. L. Russell и [6] А. В. Боровских, где в том числе было показано, что рассматриваемая задача управления (1), (4)-(6) при Т > Т*, где

имеет решение для любых целевых состояний / из некоторого гильбертова пространства, которое будет описано ниже, а при Т < Т* существуют для которых данная задача не имеет решения. Величина Т* называется критическим моментом управляемости - наблюдаемости или просто критическим моментом (см. также [12; 81; 91; 100]). В данной работе будет рассмотрен случай Т ^ Т*.

Численному решению рассматриваемой задачи граничного управления посвящена многочисленная литература, например [12; 85; 107], а также разработано множество численных методов. В качестве одного из таких методов, применимых для численного решения и других задач, допускающих запись в форме линейного операторного уравнения в гильбертовом пространстве, в данной работе рассматривается вариационный метод М. М. Потапова, предложенный в работе [59]. Применимость этого метода к задачам управления вида (1), (4) - (6) при д(х) = 0 показана в [12; 60], но лишь для достаточно больших конечных времен: Т > Т0 ^ Т*, причем последнее неравенство в случае общего положения для исходных данных р(х),к(х), Рг,Ог, г = 1, 2 не обращается в равенство. В данной работе путем оптимизации константы в специальном неравенстве, называемом неравенством наблюдаемости [107], показана применимость вариационного метода М. М. Потапова к рассматриваемой задаче для всех Т > Т*.

Задача наилучшего приближения к цели при наличии квадратичного ограничения состо-

(7)

ит в отыскании управления u(t), доставляющего минимум функционалу в задаче условной оптимизации вида (см. также (9), (10))

\\у(Т, •) - f ||F ^ min, \\yt(T, •) - g\\G ^ R, (8)

где гильбертовы пространства F и G функций аргумента х выбираются исходя из свойств обобщенного решения рассматриваемой задачи и будут описаны ниже. При этом так же, как и для задач точного управления, в случае неединственности управления u(t), решающего задачу условной минимизации (1), (4), (5), (8), ищется нормальное управление u*(t). Предлагаемый в данной работе метод применим не только к задаче (8), но и к различным ее модификациям, например к задаче

ЫТ, •) - f \\G ^ min, \\у(Т, •) - д\\р ^ R (9)

или к более общей задаче

al\\y(T, •) - f \\f(aim) + ßl\ЫT, •) - g\\2G[ci4l) + ъ\Ы2н ^ min (10)

^2\\у(Т, •) - f \\2 (tt2м + ß2\\yt(T, •) - g\\2G(C2,d2) + ъ\\и\\2н ^ R2,

где ак ^ 0, ßk ^ 0, 7к ^ 0, ак < Ък, ск < dk, к = 1, 2 заданы, (ак,Ък), (ск,dk) С [0,/], к = = 1, 2, (а1 ,Ь1) П (а2 ,Ь2) = 0, (c1 ,d1) П (с2 ,d2) = 0 а F(ак ,Ък), G(ck ,dk) —гильбертовы пространства функций, определенных на интервалах (ак , Ьк) и (ск , dk).

Рассматриваемая задача (1), (4), (5), (8) входит в класс задач квадратичной минимизации на эллипсоидальном множестве вида

\ \ Ли - f \\ F ^ min, \\Ви - д \\G ^ R (11)

с линейными ограниченными операторами Л и В, действующими в гильбертовых пространствах. В случае д = 0 в работах М. М. Потапова, M. Jacimovic и I. Krnic [45; 89] были получены необходимые и достаточные условия существования для любого f Е F решения задачи (11).

Для численного решения являющейся, вообще говоря, некорректной задачи (11) в случае, когда оператор В известен вычислителю точно, а вместо оператора Л известно близкое к Л по операторной норме приближение А, можно использовать классические методы регуляризации, такие как метод регуляризации А. Н. Тихонова [74; 75], метод квазирешений В. К. Иванова [30; 31], обобщенный принцип невязки [17] и другие [3; 20; 32; 76; 77]. Однако практическому применению этих методов для решения задач вида (1), (4), (5), (8) препятствует невозможность точного вычисления значений оператора В, а также некомпактность операторов Л и В [12; 107], влекущая принципиальную невозможность их приближения конечномерными операторами в равномерной операторной норме. Применению метода квазирешений также мешает отсутствие единого для всех функций f компактного множества корректности, которому априорно бы принадлежало искомое управление u*(t).

Численные методы решения задачи (11), допускающие применение к задаче (1), (4), (5),

(8), автору данной работы не встречались. В связи с этим в диссертации предлагается метод решения задачи (11), основанный на вариационном методе М. М. Потапова [12; 59] и допускающий применение к задачам граничного управления вида (1), (4), (5), (8).

Целью работы является исследование свойств процесса (1), (4), (5), гарантирующих возможность применения численных методов для решения задачи точного наведения, а также обеспечение возможности численного решения задачи наилучшего приближения для этого процесса при наличии квадратичного ограничения. Для этого в диссертации ставятся и решаются следующие две конкретные задачи:

1. Получение априорной информации об управляемой системе (1), (4), (5), обеспечивающей возможность применения к задаче управления (1), (4)-(6) вариационного метода М. М. Потапова для всех сверхкритических значений конечных времен Т > Т*.

2. Разработка численного метода решения задачи квадратичной минимизации общего вида (11), допускающего применение к задачам вида (1), (4), (5), (8).

Научная новизна работы заключается в получении улучшенной априорной информации для задач точного наведения и в расширении области применимости схемы регуляризации вариационного метода М. М. Потапова, использующей слабо компактные множества корректности, на задачи с квадратичными ограничениями.

Работа является теоретически значимой: методы, предложенные в ней для исследования задач точного наведения на цель, могут быть также применены и с целью получения похожей априорной информации для ряда других задач управления системами, описываемыми уравнением (1), а схема использования слабо компактных множеств корректности, использованная при построении численного метода решения задачи с квадратичным ограничением, может быть использована для построения алгоритмов решения и отличных от (11) задач условной квадратичной минимизации, в том числе и в рефлексивных банаховых пространствах. Практическая значимость полученных в работе результатов определяется возможностью их применения к различным задачам управления реальными процессами колебаний.

Методами исследования данной работы являются методы теории дифференциальных уравнений и функционального анализа в гильбертовых пространствах.

Следующие положения, выносимые на защиту, соответствуют пункту 12 паспорта специальности 01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление:

1. Для задач точного управления пространственно одномерным волновым уравнением в классе сильных обобщенных решений сопряженных задач получены новые конструктивные неравенства наблюдаемости. Их новизна состоит, во-первых, в оптимальности порогового момента, а во-вторых, в том, что при приближении к пороговому моменту оценочная константа не вырождается.

2. Для тех же задач управления в классе слабых обобщенных решений сопряженных задач получены новые конструктивные оценки двух типов: неравенства наблюдаемости

на сверхкритических промежутках, оптимальные по значению порогового момента, а также оценки на множестве достижимых целевых состояний для промежутка критической длины.

3. Предложен алгоритм численного решения задачи квадратичной минимизации на эллипсоиде в гильбертовом пространстве, устойчивый к неравномерным возмущениям операторов. Доказана его сходимость при выполнении усиленных условий истокопред-ставимости нормального решения. Обоснована применимость метода к задачам граничного управления для волнового уравнения с квадратичным ограничением.

Достоверность результатов данной работы теоретически обусловлена математической строгостью рассуждений и практически подтверждена результатами произведенных тестовых расчетов. Апробация работы произведена на конференциях «Ломоносовские чтения» (Москва, 2011, 2012, 2014 годы), «Тихоновские чтения» (Москва, 2012 год), «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление», посвященной 90-летию со дня рождения акад. Е. Ф. Мищенко (Москва, 2012 год), XII Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)» (Москва, 2012 год), IV Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященной 90-летию со дня рождения Л. Д. Кудрявцева (Москва, 2013 год), международной конференции «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященной памяти акад. А. А. Самарского в связи с 95-летием со дня его рождения (Москва, 2014 год) и международной конференции «Динамика систем и процессы управления», посвященной 90-летию со дня рождения акад. Н. Н. Красовского (Екатеринбург, 2014 год). Результаты диссертации докладывались на спецсеминаре «Методы оптимизации в функциональных пространствах» кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова (Москва, 2015 год), спецсеминаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 2016 год), семинаре по дифференциальным уравнениям кафедры математического моделирования Института автоматики и вычислительной техники Национального исследовательского университета «МЭИ» (Москва, 2016 год) и научно-исследовательских семинарах кафедр оптимального управления (Москва, 2016 год) и математической физики (Москва, 2016 год) факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова.

Публикации автора по теме диссертации включают 12 работ [22; 23; 24; 25; 26; 63; 64; 65; 66; 67; 68; 69], из которых 4 работы опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК [22; 24; 26; 64].

Личный вклад автора в данную работу состоит в самостоятельном получении ее теоретических результатов, а также проведении численных экспериментов. Участие научного руководителя М. М. Потапова ограничивается постановкой задач, составлением планов исследований, проверкой достоверности их результатов, а также редактированием текстов основных публикаций [24; 26; 64].

Текст диссертации состоит из введения, 3 глав и заключения. Объем диссертации

составляет 88 страниц, на которых помещены 12 рисунков. Список цитированной литературы включает 107 работ.

Кратко изложим содержание диссертации. Первая глава посвящена получению априорных оценок для задачи точного наведения в случае принадлежности решения у = у(Ь,х) задачи управления классу Ь2((^).

В первом параграфе главы 1 приводятся вспомогательные сведения об обобщенном решении задачи управления и о вариационном методе М. М. Потапова. Рассматриваемый здесь оператор

Ли = (у\=т, уг\=т) , А : Н ^ Р, (12)

где у = у(Ь,х) — решение дифференциальной задачи (1), (4), (5) при заданном и, является непрерывным для следующей пары пространств Н и Р [12; 95]:

Н = Ь2(0,Т) при = 0, Н = (Н1(0,Т ))* при [30 = 0, (13)

где через Ь2(0,Т) обозначено пространство Лебега измеримых функций, заданных на отрезке (0,Т) и интегрируемых с квадратом [38], а через (Н 1(0,Т))* —пространство, сопряженное к пространству Соболева функций, имеющих первую обобщенную производную из Ь2(0,Т). Пространство Р при этом будет иметь вид

^ = Ь2(0,1) х {Щ(0,1)) *, Щ(0,1) = Що(0,1) П Щ1(0,1), (14)

Щ0(0,1) = Н\0,1) при Ао = 0, Щ0(0,1) = Н 1(0,1) при До = 0, (15)

Ни0,1) = Н 1(0,1) при р1 = 0, Н}п(0,1) = Н 1(0,1) при р1 = 0, (16)

где через Н 1(0,1) и Н 1(0,1) обозначены пространства функций из Н 1(0,1), обращающихся в нуль на левой и правой границах отрезка [0,1] соответственно. Заканчивается первый параграф описаниями вариационного метода и требуемой им априорной информации. В частности, как отмечено в [12], для применения вариационного метода достаточно знать или уметь вычислять константу ц > 0 в следующем неравенстве, называемом неравенством наблюдаемости [107]:

И*«III* , (17)

где Л* : Р* ^ Н* — сопряженный к Л оператор. Получение оценки (17) для рассматриваемой системы (1), (4), (5), (12) является главной задачей первой главы.

Во втором параграфе главы 1 представлен вывод оценки (17) для случая = 0 и а1 = 0. В этом случае константа ц при Т ^ Т* имеет следующий вид:

ц = т.ах(Мо,М1(Т - Т*)), (18)

где величины М0 и М1 от Т не зависят. Константа вида (18), не вырождающаяся при прибли-

жении Т к пороговому моменту Т* , обеспечивает применимость неравенства (17) в качестве априорной информации для вариационного метода при любых Т ^ Т*.

В третьем параграфе главы 1 приведены результаты численных экспериментов для задачи точного управления, проведенных с помощью вариационного метода, в качестве априорной информации которому подавалась константа ^, полученная во втором параграфе. Для удобства контроля за правильностью расчетов было выбрано уравнение (1) с постоянными коэффициентами р(х) = к(х) = 1, д(х) = 0, для которого искомое управление и*(Ь) может быть получено в аналитическом виде.

Полученные в первой главе результаты опубликованы в [63; 64; 65; 69].

Во второй главе получены априорные оценки вида (17) для задачи точного управления в случае непрерывного на Q решения у = у(Ъ,х), принадлежащего классу Соболева Н^^^

В первом параграфе главы 2 приведены вспомогательные сведения об обобщенном решении, аналогичные приведенным в параграфе 1 первой главы. Основное отличие состоит в замене пространства управлений Н пространством более гладких функций, обеспечивающим непрерывность решения у = у(^,х) начально-краевой задачи (1), (4), (5):

Н = Н\0 ,Т) при /Зо = 0, Н = Ь2(0,Т) при /Зо = 0. (19)

Соответствующее пространство целевых функций Р будет иметь вид [12; 95]

^ = Н}31(0,1) х Ь2(0,1), (20)

где Н11(0,I) определено в (16). Аналогично первой главе основная цель второй главы состоит в получении неравенства (17) с конструктивным значением константы ^ > 0 для системы (1), (4), (5), (12) в случае определенных в (19), (20) пространств управлений и целей.

Второй параграф главы 2 содержит вывод оценки (17) для случая = 0 и = 0. Константа ^ для Т > Т* в данном случае, в отличие от случая первой главы (18), вырождается при Т ^ Т* :

/л = М2(Т - Т*).

Приведен пример, показывающий, что в данном случае вырождение константы обусловлено не используемой техникой получения неравенства (17), а неизбежно и связано с заменой пространств Н и Р из (13)-(16) пространствами более гладких функций (19), (20). Вырожденность константы при Т ^ Т* влечет невозможность ее использования в качестве априорной информации для вариационного метода М. М. Потапова для Т = Т*. Поэтому представляется интересным исследовать этот случай отдельно.

В третьем параграфе главы 2 исследуется случай Т = Т* для = 0 и о\ = 0. Вместо неравенства (17), которое в данном случае не может иметь места с положительной константой, в качестве источника априорной информации для вариационного метода получено следующее неравенство:

\\Л*ь\\2н* > , Уь Я(Л), (21)

где через Зр* : Р ^ Р* обозначен оператор Рисса, а через К(Л) — образ оператора Л. Если известно значение константы ^ > 0 в (21), то его можно использовать в качестве априорной информации для вариационного метода. Неравенство (21) в данном случае не совпадает с (17) в силу того, что образ оператора Л при Т = Т* не покрывает все пространство Р, как в случае Т > Т*.

В четвёртом параграфе главы 2 приведены результаты численных экспериментов для рассматриваемой задачи, полученные с помощью вариационного метода, в случае постоянных коэффициентов р(х) = к(х) = 1, д(х) = 0.

Результаты второй главы, посвященные случаю Т > Т*, опубликованы в [23; 24]. Результаты для Т = Т* опубликованы в [22; 66].

Третья глава посвящена алгоритму численного решения задачи квадратичной минимизации общего вида (11), к которой сводятся задачи наилучшего приближения к цели при наличии квадратичного ограничения.

В первом параграфе главы 3 описаны требования к исходным данным задачи (11), обеспечивающие применимость алгоритма к задаче управления (1), (4), (5), (8), а также приведено описание предлагаемого алгоритма. Алгоритм представляет собой двухэтапную процедуру, основывающуюся на разложении гильбертова пространства Н в прямую сумму Н = N (Л) + Зн Я(Л*) [12], где N (Л) —ядро оператора Л, К(Л*) —замыкание образа сопряженного к нему оператора, а 3н : Н* ^ Н — оператор Рисса. При этом искомое нормальное решение и* единственным образом раскладывается в сумму и* = ит + и^, где ит Е Зн ЩА*), а и^ Е N (Л). На первом этапе алгоритма происходит поиск компоненты ит, минимизирующей значение функционала в (11), а на втором этапе — поиск составляющей и^ таким образом, чтобы сумма ит + и^ реализовала наименьший по норме элемент и* из допустимого эллипсоидального множества. На каждом этапе алгоритма применяется регуляризация с использованием слабо компактных множеств корректности в пространствах источников, а также вариационный метод М. М. Потапова.

Во втором параграфе главы 3 приводится доказательство сходимости первого этапа алгоритма, в третьем параграфе — второго этапа. В четвёртом параграфе приведены результаты численных экспериментов для задачи (1), (4), (5), (8) в случае постоянных коэффициентов р(х) = к(х) = 1, д(х) = 0.

Результаты третьей главы опубликованы в [25; 26; 67; 68].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Михаилу Михайловичу Потапову за постановку задачи и постоянное внимание к работе на всех ее этапах, а также профессору Федору Павловичу Васильеву за поддержку и полезные советы.

Глава 1. Неравенства наблюдаемости для случая сильных обобщённых решений сопряжённой задачи

Данная глава посвящена получению неравенств наблюдаемости (17) с оператором Л, определенным в (12) и действующим в пространствах (13) - (16). Приведены результаты применения вариационного метода к решению уравнения Ли = в котором в качестве априорной информации выступает значение константы ц из (17). Полученные во втором параграфе этой главы результаты опубликованы в [63; 64; 65; 69], в том числе в статье [64] из журнала, рекомендованного ВАК.

§ 1.1. Вспомогательные сведения

Для удобства в этом параграфе приводятся используемые в диссертации вспомогательные обозначения, сведения о непрерывности определенного в пространствах (13)-(16) оператора Л, о сопряженном операторе Л*, о вариационном методе М. М. Потапова, а также о ранее полученных оценках вида (17), с которыми будут сравниваться оценки, полученные в данной главе.

Везде в данной работе обозначение (д)н используется для обозначения скалярного произведения элементов £ и д в гильбертовом пространстве Н. Если £ Е Н, д Е Н*, то через ( , ) обозначается результат применения линейного непрерывного функционала к элементу f. При рассмотрении линейного непрерывного оператора Л : Н ^ Р условимся обозначать его образ через Я(Л), а ядро —через N (Л).

Скалярное произведение в пространстве Лебега Ь2(0,1) выберем с весом р(х) из (1): (/, д)ь2(0,1) = /0 р(х)Кх)д(х) ^х, пространство Ь2(0,Т) наделим скалярным произведением с единичным весом: (¡, д)ь2(0,т) =

Оператор Рисса [15, с. 27; 38, с. 187- 188; 70, с. 72], действующий в гильбертово пространство Н из сопряженного к нему Н*, будем обозначать через Зн, 3н : Н* ^ Н. В данной работе используется общепринятое [12, с. 309, 327; 13, с. 95] отождествление пространств Лебега Ь2(0,1),Ь2(0,Т) с сопряженными к ним (Ь2(0,I))* , (Ь2(0,Т))* и соответствующее ему отождествление операторов Рисса Зц2 с единичными операторами. В силу вложения пространства Соболева 1) = Н 1(0,1) в пространство Лебега Ь2(0,1) принятое отождествление влечет следующую цепочку вложений [12, с. 326; 15, с. 29]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дряженков Андрей Александрович, 2016 год

Список литературы

1. Авдонин С. А., Белишев М. И., Иванов С. А. Управляемость в захваченной области для многомерного волнового уравнения с сингулярным граничным управлением // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 1994. Т. 210. С. 7-21.

2. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление : учеб. пособие для студентов мат. специальностей высш. учеб. заведений. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. — 430 с.

3. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика». — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1989. — 199 с. — ISBN 5-211-00332-2.

4. Белишев М. И. О граничной управляемости динамической системы, описываемой волновым уравнением на одном классе графов (деревьях) // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2004. Т. 308. С. 23-47.

5. Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление. Линейная теория : учеб. для студентов высш. учеб. заведений. — М. : Высш. шк., 2001. — 239 с. — ISBN 5-06-003983-8.

6. Боровских А. В. : 1) Формулы граничного управления неоднородной струной: I // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 1. С. 64-89 ; 2) Формулы граничного управления неоднородной струной: II // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, №5. С. 640-649.

7. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. — 477 с. — (Теоретические основы технической кибернетики).

8. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями / пер. с англ. В. И. Благодатских под ред. Р. В. Гамкрелидзе. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. — 624 с.

9. Васильев Ф. П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №11. С. 1893-1900.

10. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 824 с. — ISBN 5-88688-056-9.

11. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. З., Потапов М. М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1989. — 144 с. — ISBN 5-211-00339-Х.

12. Приближённое решение двойственных задач управления и наблюдения : учеб.-метод. пособие / Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, фак. вычисл. математики и кибернетики ; Ф. П. Васильев, М. А. Куржанский, М. М. Потапов, А. В. Разгулин. — М. : МАКС Пресс, 2010. — 384 с. — ISBN 978-5-89407-418-4. — ISBN 978-5-317-03217-3.

13. Владимиров В. С. Уравнения математической физики : учеб. для студентов физ. и мех.-мат. специальностей высш. учеб. заведений. — Изд. 4-е, испр. и доп. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. — 512 с.

14. Востриков И. В., Дарьин А. Н., Куржанский А. Б. Успокоение многозвенной колебательной системы в условиях неопределенных возмущений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, №11. С. 1452-1463.

15. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / пер. с нем. В. Г. Задорожнего и А. И. Перова под ред. В. И. Соболева. — М. : Мир, 1978. — 336 с.

16. Оптимальное управление / Э. М. Галеев, М. И. Зеликин, С. В. Конягин, Г. Г. Магарил-Ильяев, Н. П. Осмоловский, В. Ю. Протасов, В. М. Тихомиров, А. В. Фурсиков ; под ред. Н. П. Осмоловского и В. М. Тихомирова. — М. : Изд-во МЦНМО, 2008. — 320 с. — ISBN 978-5-94057-367-8.

17. Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. Обобщенный принцип невязки // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1973. Т. 13, №2. С. 294-302.

18. Григоренко Н. Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика». — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1990. — 199 с. — ISBN 5-211-00954-1.

19. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория / при участии У. Бей-да и Р. Бартла ; пер. с англ. Л. И. Головиной и Б. С. Митягина под ред. А. Г. Костючен-ко. — М. : Изд-во иностр. лит., 1962. — 896 с.

20. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач : учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика» и специальности «Прикладная математика». — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1994. — 208 с. — ISBN 5-211-03079-6.

21. Денисов А. М. Асимптотика решений обратных задач для гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2013. Т. 53, №5. С. 744-752.

22. Дряженков А. А. Неравенство наблюдаемости для волнового уравнения с условием упругого закрепления в случае критического интервала времени // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика. 2014. №3. С. 18-22.

23. Дряженков А. А., Потапов М. М. О численном решении задач одностороннего граничного управления в классе сильных обобщенных решений волнового уравнения // Тихоновские чтения : тез. докл. науч. конф., 29-31 окт. 2012 г. / Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, фак. вычисл. математики и кибернетики. М., 2012. С. 32.

24. Дряженков А. А., Потапов М. М. Конструктивные неравенства наблюдаемости для слабых обобщенных решений волнового уравнения с условием упругого закрепления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2014. Т. 54, №6. С. 928-941.

25. Дряженков А. А., Потапов М. М. Численное решение задачи квадратичной минимизации с эллипсоидальным ограничением и слабо компактным множеством корректности // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики = Contemporary problems of computational mathematics and mathematical physics : тез. докл. Международ. конф. памяти акад. А. А. Самарского к 95-летию со дня рождения, Москва, 16-17 июня 2014 г. / Фак. вычисл. математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова ; Ин-т приклад. математики им. М. В. Келдыша Рос. акад. наук. М., 2014. С. 44-45.

26. Дряженков А. А., Потапов М. М. Численный метод для задачи квадратичной минимизации с эллипсоидальным ограничением при наличии априорной оценки нормы решения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2016. Т. 56, №2. С. 208-223.

27. Егоров А. И., Знаменская Л. Н. Управляемость упругих колебаний систем с распределенными и сосредоточенными параметрами по двум границам // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, №11. С. 2032-2044.

28. Егоров А. И., Знаменская Л. Н. Граничная наблюдаемость упругих колебаний системы последовательно соединенных струн // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2012. Т. 52, №9. С. 1614-1620.

29. Знаменская Л. Н. Управление упругими колебаниями. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 176 с. — ISBN 5-9221-0473-Х.

30. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах // Докл. Акад. наук СССР. 1962. Т. 145, №2. С. 270-272.

31. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Мат. сб. 1963. Т. 103, №2. С.211-223.

32. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / Акад. наук СССР, Урал. науч. центр, Ин-т математики и механики. — М. : Наука, 1978. — 206 с.

33. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, вып. 2. С. 97- 154.

34. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №11. C. 1513-1528.

35. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №12. C. 1670-1686.

36. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи мат. наук. 2005. Т. 60, вып. 6. С. 89-114.

37. Киселев Ю. Н., Аввакумов С. Н., Орлов М. В. Оптимальное управление. Линейная теория и приложения : учеб. пособие / Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, фак. вычисл. математики и кибернетики. — М. : МАКС Пресс, 2007. — 272 с. — ISBN 978-5317-02038-5.

38. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа : учеб. для студентов мат. специальностей ун-тов. — Изд. 4-е, перераб. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 542 с.

39. Корнев В. В., Хромов А. П. Резольвентный подход к методу Фурье в одной смешанной задаче для волнового уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2015. Т. 55, №4. С. 621-630.

40. Короткий А. И. Реконструкция распределенных управлений в гиперболических системах динамическим методом // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. «Мат. моделирование и программирование». 2013. Т. 6, №3. С. 67-78.

41. Короткий А. И., Стародубцева Ю. В. Моделирование прямых и обратных граничных задач для стационарных моделей тепломассопереноса / Федер. агентство науч. орг., Урал. отд-ние Рос. акад. наук, Ин-т математики и механики им. Н. Н. Красовского ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, Ин-т математики и компьютер. наук. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2015. — 168 с. — ISBN 978-5-7996-1606-9.

42. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. — 456 с.

43. Крицков Л. В. О задачах граничного управления для уравнения Клейна - Гордона -Фока с суммируемым коэффициентом // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, №5. C. 688-696.

44. Крицков Л. В., Абдукаримов М. Ф. Граничное управление смещением на одном конце при свободном втором для процесса, описываемого телеграфным уравнением с переменным коэффициентом // Докл. Акад. наук. 2013. Т. 450, №6. С. 640-643.

45. Крнич И., Потапов М. М. Об условиях корректности задач минимизации квадратичного функционала на эллипсоиде и полупространстве // Mathematica Montisnigri. 1995. Vol. 4. P. 27-41.

46. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. — 392 с.

47. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения / с предисл. акад. В. И. Смирнова. — М. : Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1953. — 280 с.

48. Ладыженская О. А. О разрешимости основных краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов // Докл. Акад. наук СССР. 1954. Т. 97, №3. С. 395-398.

49. Латтес Р., Лионс ^К.-Л. Метод квазиобращения и его приложения / пер. с фр.

B. О. Сергеева и В. А. Цецохо под ред. М. М. Лаврентьева. — М. : Мир, 1970. — 336 с.

50. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма - Лиувилля и Дирака. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с.

51. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / пер. с фр. Н.Х. Розова под ред. Р. В. Гамкрелидзе. — М. : Мир, 1972. — 414 с.

52. Лионс ^К.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения / пер. с фр. Л. С. Франка под ред. В. В. Грушина. — М. : Мир, 1971. — 372 с.

53. Максимов В. И. О динамическом восстановлении правой части гиперболического уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2015. Т. 55, №6. С. 1008-1019.

54. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных : учеб. пособие для мех.-мат. и физ. специальностей высш. учеб. заведений. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 394 с.

55. Моисеев Е. И., Юрчук Н. И. Классические и обобщенные решения задач для телеграфных уравнений с потенциалом Дирака // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 10.

C. 1338-1344.

56. Никитин А. А. Оптимальное граничное управление колебаниями струны, производимое силой при упругом закреплении // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, №12. С. 1773-1782.

57. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации : учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по специальности «Прикладная математика». — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1999. — 237 с. — ISBN 5-211-04085-6.

58. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — Изд. 4-е, стер. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. — 392 с.

59. Потапов М. М. Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущенным оператором // Докл. Акад. наук. 1999. Т. 365, №5. С. 596-598.

60. Потапов М. М. Наблюдаемость нерегулярных решений третьей краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами // Докл. Акад. наук. 2007. Т. 414, №6. С. 738-742.

61. Потапов М. М. Разностная аппроксимация задач дирихле-наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями III рода // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, №8. С. 1323-1339.

62. Потапов М. М. Оценки нормальных решений задач с зонными управлениями из L2 для волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, №7. С. 931-941.

63. Потапов М. М., Дряженков А. А. Неравенство наблюдаемости с оптимальным пороговым моментом для волнового уравнения с однородным граничным условием третьего рода // Ломоносовские чтения : тез. докл. науч. конф., 14-23 нояб. 2011 г. / Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, фак. вычисл. математики и кибернетики. М., 2011. С. 89-90.

64. Потапов М. М., Дряженков А. А. Оптимизация порогового момента в неравенстве наблюдаемости для волнового уравнения с краевым условием упругого закрепления // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 2012. Т. 277. С. 215-229.

65. Потапов М. М., Дряженков А. А. Конструктивные неравенства наблюдаемости для волнового уравнения с оптимальным пороговым моментом // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления = Stability and oscillations of nonlinear control systems : тез. докл. XII Международ. конф. (конф. Пятницкого), 5-8 июня 2012 г., Москва, Россия / Рос. акад. наук, отд-ние энергетики, механики, машиностроения и процессов упр., науч. совет РАН по теории упр. процессов и автоматизации, Федер. гос. бюджет. учреждение науки «Ин-т проблем упр. им. В. А. Трапезникова РАН». М., 2012. С. 273-274.

66. Потапов М. М., Дряженков А. А. Неравенство наблюдаемости для волнового уравнения на критическом интервале времени // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования : тез. докл. Четвертой Международ. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения чл.-кор. РАН, акад. Европ. акад. наук Л. Д. Кудрявцева, Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 г. М., 2013. С. 450-451.

67. Потапов М. М., Дряженков А. А. Задачи граничного управления для волнового уравнения с терминальным эллипсоидальным множеством // Ломоносовские чтения :

тез. докл. науч. конф., 14-23 апр. 2014 г. / Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова, фак. вычисл. математики и кибернетики. М., 2014. С. 24-25.

68. Потапов М. М., Дряженков А. А. Задачи граничного управления для волнового уравнения с терминальными условиями, порождающими целевой функционал и ограничение // Динамика систем и процессы управления : тез. докл. Международ. конф., по-свящ. 90-летию со дня рождения акад. Н. Н. Красовского, Екатеринбург, Россия, 15-20 сент. 2014 г. / Рос. акад. наук, Урал. отд-ние, Ин-т математики и механики им. Н. Н. Красовского ; М-во образования и науки РФ, Урал. федер. ун-т им. первого Президента России Б. Н. Ельцина. Екатеринбург, 2014. С. 153-154.

69. Потапов М. М., Дряженков А. А., Иванов Д. А. Приближенное решение задач управления и наблюдения для волнового уравнения с привлечением неравенств наблюдаемости // Дифференциальные уравнения и оптимальное управление : тез. докл. конф., посвящ. 90-летию со дня рождения акад. Евгения Фроловича Мищенко, Москва, 16-17 апр. 2012 г. / Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН. М., 2012. С. 106-107.

70. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу / пер. с фр. Д. А. Василькова под ред. С. В. Фомина ; ред. С. А. Теляковский. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М. : Мир, 1979. — 588 с.

71. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика». — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 432 с. — ISBN 5-02-013996-3.

72. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4, ч. 2 : учеб. пособие для студентов мех.-мат. и физ.-мат. фак. ун-тов. — Изд. 6-е, перераб. и доп. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. — 551 с.

73. Соболев С. Л. Уравнения математической физики : учеб. для студентов мех.-мат. и физ.-мат. фак. гос. ун-тов. — Изд. 4-е. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. — 444 с.

74. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. Акад. наук СССР. 1963. Т. 151, №3. С. 501-504.

75. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. Акад. наук СССР. 1963. Т. 153, №1. С. 49-52.

76. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика». — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. — 288 с.

77. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. — М. : Наука, Физматлит, 1995. — 312 с. — ISBN 5-02-014582-3.

78. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики : учеб. пособие для высш. учеб. заведений. — Изд. 5-е, стер. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. — 736 с.

79. Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1991. — 112 с. — ISBN 5-211-01579-7.

80. Эмануилов О. Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, №4. С. 944-959.

81. Bardos C., Lebeau G., Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation, control, and stabilization of waves from the boundary // SIAM J. on Control a. Optimization / Soc. for Industr. a. Appl. Mathematics. 1992. Vol.30, N5. P. 1024-1065.

82. Dager R., Zuazua E. Controllability of star-shaped networks of strings // Comptes Rendus de l'Acad. des Sciences — Ser. I — Mathematics. 2001. Vol.332, N7. P. 621-626.

83. Dager R., Zuazua E. Controllability of tree-shaped networks of vibrating strings // Comptes Rendus de l'Acad. des Sciences — Ser. I — Mathematics. 2001. Vol.332, N12. P. 1087-1092.

84. Fattorini H. O. Optimal control problems with state constraints for semilinear distributed-parameter systems // J. of Optimization Theory a. Applications. 1996. Vol. 88, N 1. P. 25-59.

85. Glowinski R., Li C.-H., Lions J.-L. A numerical approach to the exact boundary controllability of the wave equation (I) Dirichlet controls: Description of the numerical methods // Japan J. of Industr. a. Appl. Mathematics. 1990. Vol.7, N1. P. 1-76.

86. Guesmia A. Exact controllability for the wave equation with variable coefficients // Israel J. of Mathematics. 2001. Vol. 125, N 1. P. 83-92.

87. Haraux A. A generalized internal control for the wave equation in a rectangle // J. of Math. Analysis a. Applications. 1990. Vol. 153, N1. P. 190-216.

88. Ho L. F. Exact controllability of the one-dimensional wave equation with locally distributed control // SIAM J. on Control a. Optimization / Soc. for Industr. a. Appl. Mathematics. 1990. Vol. 28, N3. P. 733-748.

89. Jacimovic M., Krnic I., Potapov M. M. On well-posedness of quadratic minimization problem on ellipsoid and polyhedron // Publ. de l'Inst. Math. 1997. Vol. 76. P. 105-112.

90. Komornik V. Exact controllability in short time for the wave equation // Annales de l'Inst. Henri Poincare. 1989. Vol.6, N2. P. 153-164.

91. Komornik V. Exact controllability and stabilization. The multiplier method / Univ. Louis Pasteur. — Chichester [etc.] : John Wiley & Sons ; Paris [etc.] : Masson, 1994. — viii, 156 p. —

(Research in applied mathematics / ser. ed.: P. G. Ciarlet a. J.-L. Lions, ISSN 0298-3168). — ISBN 0-471-95367-9 (Wiley). — ISBN 2-225-84612-X (Masson).

92. Krabs W. On boundary controllability of one-dimensional vibrating systems // Math. Methods in the Appl. Sciences. 1979. Vol. 1, N3. P. 322-345.

93. Output-feedback stabilization of an unstable wave equation / Miroslav Krstic, Bao-Zhu Guo, Andras Balogh, Andrey Smyshlyaev // Automatica. 2008. Vol.44, N1. P. 63-74.

94. Lagnese J. Control of wave processes with distributed controls supported on a subregion // SIAM J. on Control a. Optimization / Soc. for Industr. a. Appl. Mathematics. 1983. Vol. 21, N1. P. 68-85.

95. Lasiecka I., Lions J.-L., Triggiani R. Non-homogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators // J. de Math. Pures et Appliques. 1986. Vol. 65. P. 149-192.

96. Lasiecka I., Triggiani R. A cosine operator approach to modeling L2(0,T; L2(r))-Boundary input hyperbolic equations // Appl. Mathematics a. Optimization. 1981. Vol. 7, N 1. P. 35 -93.

97. Lasiecka I., Triggiani R. Regularity of hyperbolic equations under L2(0,T; L2(r))-Dirichlet boundary terms // Appl. Mathematics a. Optimization. 1983. Vol.10, N1. P. 275-286.

98. Lasiecka I., Triggiani R. Sharp regularity theory for second order hyperbolic equations of Neumann type // Annali di Matematica Pura ed Applicata. 1990. Vol. 157, N1. P. 285-367.

99. Lasiecka I., Triggiani R., Yao P. F. Exact controllability for second-order hyperbolic equations with variable coefficient-principal part and first-order terms // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1997. Vol.30, N1. P. 111-122.

100. Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. / Soc. for Industr. a. Appl. Mathematics. 1988. Vol.30, N1. P. 1-68.

101. Marica A., Zuazua E. Boundary stabilization of numerical approximations of the 1-D variable coefficients wave equation: a numerical viscosity approach // Optimization with PDE Constraints / ed. Ronald Hoppe. Cham [etc.], 2014. (Lecture Notes in Computational Science and Engineering ; vol. 101). P. 285-324.

102. Miyatake S. Mixed problem for hyperbolic equation of second order // J. of Mathematics of Kyoto Univ. 1973. Vol. 13, N3. P. 435-487.

103. Munos Rivera J. E. Exact controllability: coefficient depending on the time // SIAM J. on Control a. Optimization / Soc. for Industr. a. Appl. Mathematics. 1990. Vol.28, N2. P. 498-501.

104. Russell D. L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent progress and open questions // SIAM Rev. / Soc. for Industr. a. Appl. Mathematics. 1978. Vol.20, N4. P. 639-739.

105. Smyshlyaev A., Cerpa E., Krstic M. Boundary stabilization of a 1-D wave equation with in-domain antidamping // SIAM J. on Control a. Optimization / Soc. for Industr. a. Appl. Mathematics. 2010. Vol.48, N6. P. 4014-4031.

106. Sobolev S. L. Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales // MaT. c6. 1936. T. 43, №1. C. 39-72.

107. Zuazua E. Propagation, observation, and control of waves approximated by finite difference methods // SIAM Rev. / Soc. for Industr. a. Appl. Mathematics. 2005. Vol.47, N2. P. 197-243.

Список иллюстративного материала

1. Рисунок 1..................................................................................................................................28

2. Рисунок 2..................................................................................................................................28

3. Рисунок 3..................................................................................................................................29

4. Рисунок 4..................................................................................................................................30

5. Рисунок 5..................................................................................................................................49

6. Рисунок 6..................................................................................................................................50

7. Рисунок 7..................................................................................................................................50

8. Рисунок 8..................................................................................................................................72

9. Рисунок 9..................................................................................................................................73

10. Рисунок 10 ..............................................................................................................................73

11. Рисунок 11..............................................................................................................................74

12. Рисунок 12 ..............................................................................................................................75