Аналитические и вычислительные модели некоторых управляемых процессов с неопределенностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Гусейнов, Халик Гаракиши оглы

• Гусейнов, Халик Гаракиши оглы
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Гусейнов, Халик Гаракиши оглы

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

Введение

ГЛАВА 1. Математические модели задач удержания траекторий управляемых систем с неопределенностью и их применения.

§ 1.1. Аппроксимации многозначных отображений

§ 1.2. Задача слабого удержания пучка траекторий управляемых систем с неопределенностью (слабая инвариантность)

§ 1.3. Задача сильного удержания пучка траекторий управляемых систем с неопределенностью (сильная инвариантность)

§ 1.4. Функция оптимального результата в задаче управления многозначным дифференциальным уравнением (дифференциальным включением)

§ 1.5. Дифференциальные свойства интегральной воронки дифференциального включения

§ 1.6. Об одной обратной задаче теории дифференциальных

включений

§ 1.7. Периодические решения дифференциального включения

с фазовыми ограничениями

§ 1.8. Управление по принципу обратной связи (позиционные стратегии) для систем с неопределенностью. Использование задач программного управления для синтеза стратегий в задаче гарантированного сближения

ГЛАВА 2. Теоретические обоснования и вычислительные алгоритмы приближенного построения множеств достижимости управляемых систем.

§ 2.1. Приближенное конструирование множеств достижимости управляемых систем с геометрическими ограничениями на управления

§ 2.2. Моделирование вычислений множеств достижимости в задачах управления с геометрическими ограничениями.

Примеры

§ 2.3. Приближенное конструирование множеств достижимости управляемых систем с интегральными

ограничениями на управления

§ 2.4. Алгоритм вычисления множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями на управления. Примеры

ГЛАВА 3. Конструирование левосторонних решений уравнения Гамильтона-Якоби.

§ 3.1. Определение левосторонних решений

§ 3.2. Свойства левосторонних решений

§ 3.3. Построение множеств уровня левосторонних решений

ГЛАВА 4. Моделирование в управляемых системах при наличии помех.

§ 4.1. Некоторые свойства управляемых систем с помехой

§ 4.2. Модели движений системы

§ 4.3. Задача слабого удержания траекторий управляемых

систем с помехой

§ 4.4. Задача (M, N) - сближения для управляемых систем

с помехой

§ 4.5. Конфликтно-управляемые системы, заданные дифференциальными включениями

ГЛАВА 5. Задачи удержания пучков траекторий обобщенных динамических систем.

§ 5.1. Задача слабого удержания траекторий обобщенных

динамических систем (слабая инвариантность)

§ 5.2. Задача сильного удержания траекторий обобщенных

динамических систем (сильная инвариантность)

§ 5.3. Движение обобщенной динамической системы

с помехой

§ 5.4. Задача слабого удержания траекторий обобщенных динамических систем с помехой

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические и вычислительные модели некоторых управляемых процессов с неопределенностью»

ВВЕДЕНИЕ

В диссертационной работе рассматриваются теоретические и вычислительные аспекты теории управляемых систем с неопределенностью. Такие системы возникают в разных задачах механики, физики, в математических моделях экономики, биологии и других областях науки. Потребность изучать управляемые системы с неопределенностью возникает в связи с тем что, при моделировании динамических систем некоторые ее параметры измеряются неточно или же вообще не учитываются. Источником неопределенности могут быть также воздействия на динамическую систему некоторых помех, у которых известна лишь область изменения.

В становлении теории управляемых процессов в условиях неопределенности важное место занимает теория позиционных дифференциальных игр, созданная Н.Н.Красовским и его сотрудниками (см., например [72 - 82, 215, 216] и библиографию в них). В теории позиционных дифференциальных игр концепция управления основывается на принципе обратной связи, где требуется построить позиционную стратегию, гарантирующую определенное качество управляемого процесса при любых заранее неизвестных воздействиях на систему, у которых известна лищь область изменения. К настоящему времени развиты различные методы получения оптимальных стратегий игроков, гарантирующих требуемое качество управляемого процесса. В частности, в рамках теории позиционных дифференциальных игр удалось формализовать многие прикладные задачи: задачу преследования одного объекта другим; задачу сближения - уклонения с целевым множеством; задачу удержания параметров управляемого процесса в заданных пределах и другие.

Одним из основных элементов конструкции теории позиционных дифференциальных игр является функция гарантированного результата, которая как правило является недифференцируемой функцией. В точках дифференцируемости эта функция удовлетворяет уравнению Беллмана - Айзекса. Функция гарантированного результата обладает свойствами и и -и - стабильности, позволяющими определить оптимальную гарантированную стратегию. Свойство и - стабильности (г? - стабильности) озна-

чает слабую инвариантность надграфика (подграфика) функции относительно некоторого семейства дифференциальных включений. Эти свойства можно выразить в форме дифференциальных неравенств, в основе которых лежат производные по направлениям. Такие неравенства были введены в работах [140, 145] А.И.Субботиным для определения обобщенных (минимаксных) решений уравнения Беллмана - Айзекса. Они были, по - видимому, первыми среди различных по форме определений (включая определение вязкого решения) негладких решений уравнения Гамильтона - Якоби. В основе определения минимаксного решения лежит подход, в котором уравнение Гамильтона - Якоби заменяется парой дифференциальных неравенств. В дальнейшем теория минимаксных решений была распространена на исследование краевых задач для различных типов уравнений в частных производных первого порядка (см., например [141, 248] и библиографию в них).

Отметим, что в работе [198] М.Дж.Крэндаллом и П.Л.Лионсом было предложено определение вязких решений уравнения Гамильтона - Якоби. Определение вязкого решения по форме отличается от определения минимаксных решений. Однако, впоследствии в работах [147, 250] была доказана эквивалентность определения вязких и минимаксных решений. Доказательство эквивалентности этих определений опирается на возможность овыпукления контингентных конусов и производных по направлениям (см., [142, 207]), используемых в определениях минимаксных решений. Возможность овыпукления контингентных конусов в определениях минимаксных решений явилась источником исследований в негладком анализе (см., например [194, 228] и библиографию в них) по применению конструкций проксимальных градиентов.

Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка методами идемпотентного анализа исследовались в работах В.П.Масловаи его сотрудников (см., [99, 100] и библиографию в них).

Широкий круг задач математической теории управляемых процессов в условиях неопределенности был исследован А.Б.Куржанским и его сотрудниками в рамках теории гарантированного оценивания состояний системы по результатам наблюдений (см., например [32, 88, 90, 91, 220] и библиографию в них).

В диссертации рассматриваются динамические системы, математиче-

екая модель которых задается соотношением

х G F(t,x), t G [0, в], х G Rn.

(0.1)

которое называется дифференциальным включением или дифференциальным уравнением с многозначной правой частью. Дифференциальное включение (0.1) можно рассматривать как обобщение управляемой системы

где и - вектор управляющего воздействия. В таком случае F(t, х) = {/(£, х,и) : и G P(t, ж)}, и задача об оптимальном управлении сводится к задаче об оптимальной траектории дифференциального включения (0.1).

Дифференциальные включения возникают также при исследовании задач, математические модели которых задаются дифференциальным уравнением в неявном виде

По видимому, дифференциальные включения впервые рассматривались в работах [229, 266] как дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Широкое развитие теория дифференциальных включений получила в начале 60-ых годов. В этот период в работах [14, 21, 164, 199, 222, 233, 261] были установлены важные результаты, относящиеся к качественной теории дифференциальных включений, в том числе теоремы существования решений задачи Коши, изучены разные топологические свойства множеств достижимости и интегральных воронок, зависимость пучка траекторий от параметров. Заметим, что в этот же период дифференциальные включения применялись для исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (см., [2, 10, 101, 164 - 166]).

Как правило при математическом моделировании управляемых процессов требуется учитывать различного рода сингулярности. Например,

х = f(t,x,u), и G P(t,x),

(0.2)

g{t,x{t),i(t))<0,

оптимальный результат как функция начального положения (функция Беллмана) может быть недифференцируемой, а границы множеств достижимости системы (0.1) или (0.2) не обладают свойствами гладкости. Поэтому в исследованиях математических моделей таких задач методы классического анализа дополняются конструкциями негладкого анализа, который опирается на такие понятия, как су б дифференциал, конус касательных или возможных направлений, производная многозначных отображений и т.д. ( см., [25, 52, 53, 61, 93, 106, 111, 127, 135, 142, 178, 180, 184, 193, 194, 207, 255, 258]). Как известно, в классическом анализе график дифференцируемой функции аппроксимируется гиперплоскостью, в негладком анализе для аппроксимации используются конусы. Этот подход, по видимому, впервые был предложен в работе [184] и, дальше, в работах [229, 266] был применен для определения траекторий системы (0.1). Отметим, что обобщение принципа максимума Л.С.Понтрягина на системы вида (0.1), которое было получено Кларком, опирается на введенное им понятие касательного конуса (см.,[ 193 ]).

Понятие производной многозначного отображения базируется на понятии множества касательных направлений и, определяется как многозначное отображение, графиком которого являются касательный конус к графику исходного многозначного отображения. В зависимости от специфики задачи, в негладком анализе рассматриваются/различные типы касательных конусов, и производных многозначных отображений (см., например [127, 178, 207, 255 ]).

Начиная с работы [ 231 ], касательные конусы и производные многозначных отображений находят широкое применение в теории дифференциальных включений (см., например [26, 39 - 50, 61, 102, 108, 111, 113, 127, 130, 143, 177, 193, 200 - 212, 217 - 219, 223 - 225, 228, 236, 241]). Новый импульс развитию теории дифференциальных включений придала теория оптимального управления. Изучение управляемых процессов, математическая модель которых задается системой (0.1), начались в работах [4, 14, 21, 22, 132, 164 ], где были получены необходимые условия для оптимальности траекторий управляемой системы (0.1) в виде принципа максимума Л.С.Понтрягина. Эти исследования были продолжены в работах [ 103, 136, 150, 188, 194, 204, 257].

Большое место в исследовании динамических систем с неопределен-

ностью занимает задача удержания траекторий на заданном замкнутом множестве W С [0, в] х Ка. Рассматриваются два типа задач удержания: задача слабого удержания траекторий и задача сильного удержания траекторий.

Для системы (0.1) задача слабого удержания траекторий состоит в том, что для начальной позиции (fo,^o) £ W существует хотя бы одна траектория системы (0.1), удовлетворяющая включению x{t) Е W при всех t Е [¿о, 0]. В задаче сильного удержания требуется, чтобы для начальной позиции (¿о, xq) Е W все траектории, выходящие из начальной позиции (ifb^o) Е W, удовлетворяли включению (t,x(t)) Е W при всех te[t о,0].

Задачи слабого и сильного удержания, исследовались многими авторами. Задача слабого удержания (ее синоним - задача существования выживающих траекторий ) рассматривалась в работах [89, 91, 113, 177, 178, 208, 212, 217 - 219, 231, 235].

В работах [41, 46 - 48, 108, 141, 143, 179, 194, 206] изучены свойства слабой и сильной инвариантности замкнутого множества W С [0, в] х Rn относительно системы (0.1). В случае, когда множество W является слабо (сильно) инвариантным относительно системы (0.1), задача слабого (сильного) удержания траекторий системы (0.1) на множестве W разрешима для любой начальной позиции (¿о, £о) ^ W.

По видимому, первой работой, посвященной изучению свойства слабой инвариантности, следует считать работу [ 231 ]. В этой работе получен критерий слабой инвариантности множеств вида W = [0,0] х Y для систем обыкновенных дифференциальных уравнений х = f(x) (в отлчие от (0.1) /(х) является однозначной функцией). В работах [182, 187, 197, 242, 264, 265] также рассмотрен случай, когда правая часть системы (0.1) является однозначной. Критерий слабой инвариантности для системы (0.1) с многозначной липшицевой правой частью получен в работе [ 193 ]. В работе [179 ] приведено условие слабой инвариантности в случае, когда правая часть системы (0.1) непрерывна по совокупности аргументов. Критерии слабой инвариантности, полученные в работах [179, 193 ], сформулированы с помощью касательного конуса Кларка. Отметим, что эта тематика получила новый размах в начале 80- ых годов в связи с дальнейшим развитием теории дифференциальных включений и не-

гладкого анализа (см., [8, 17, 24, 30, 42, 44, 53, 61, 65, 92, 106, 124, 129, 133, 136, 143, 147, 156, 166, 180, 194, 207, 210, 221, 255]). В работе [208 ] приведен критерий слабой инвариантности множеств, который имеет инфинитезимальную форму и связывает правую часть системы (0.1) с касательным конусом Булигана, который содержит касательный конус Кларка. В работе [178 ] этот результат сформулирован в терминах производных многозначного отображения. Свойство слабой инвариантности множеств в бесконечномерных пространствах рассмотрено в работах [30, 176, 190, 200, 212, 235, 236, 253, 254]. Слабая инвариантность для систем с последействием изучена в [224, 246].

В работе [207] на базе конструкций теории позиционных дифференциальных игр, получен критерий и - стабильности множеств относительно конфликтно - управляемых систем, в котором применяется локальное овыпукление производной многозначного отображения. Понятие и - стабильности множеств (см., [82]) близко к понятию слабой инвариантности множеств относительно дифференциального включения. Оно означает слабую инвариантность множества относительно некоторого семейства дифференциальных включений, которые определяются правой частью конфликтно - управляемой системы. В работе [46] аналогичные критерии получены для слабой и сильной инвариантности множеств относительно системы (0.1).

Сильно инвариантные множества относительно системы (0.1) рассмотрены в работах [39, 41, 46, 48, 108, 177, 178, 187, 193, 194].

Остановимся на кратком изложении содержания диссертационной работы, которая состоит из пяти глав.

В первой главе рассматриваются задачи слабого и сильного удержания траекторий системы (0.1) на заданном замкнутом множестве W С [0,6] х Rn и применение свойств слабой и сильной инвариантности в задачах управления.

В параграфе 1.1 рассматривается аппроксимация многозначных отображений. Формулируются определения верхних и нижних производных многозначного отображения (см.,[127,178, 207]), которые тесно связаны с понятиями верхних и нижних касательных конусов Булигана (см., [184, 255]). Изучаются некоторые свойства производных множеств, которые используются в дальнейшем.

В параграфе 1.2 изучается задача слабого удержания траекторий системы (0.1) на заданном замкнутом множестве W С [0,0] х Rn. Рассматривается критерий слабой инвариантности в инфинитезимальной форме [207], который связывает правую часть системы (0.1) с выпуклой оболочкой производной многозначного отображения t —>■ W(t)1 где W{t) = {х Е Rn : (í, х) G W}. Этот результат является значительным обобщением критериев слабой инвариантности, приведенных в работах [177, 178, 194, 208]. В конце этого параграфа расмотрена слабая инвариантность множеств с кусочно - гладкой границей.

В параграфе 1.3 рассматривается задача сильного удержания траекторий системы (0.1) на заданном замкнутом множестве W С [0,0] х Rn. Свойство сильной инвариантности в случае W(t) и F(t, х) не зависящих от t, исследовались в работах [178, 193]. В работе [108] с помощью касательного конуса Кларка получено условие сильной инвариантности в случае, когда многозначное отображение (t,x) —> F(t,x) локально лип-шицево по (t,x), а многозначное отображение t —>■ W(t) удовлетворяет некоторым требованиям (например t —» W(t) липшицево по t, функция r(¿, х) = dist (х, W(t)) имеет производную по t для любого х £ Rn. и т.д.). В этом параграфе рассмотрен случай, когда многозначное отображение (í, х) —> F{t, х) непрерывно по (t, х), локально липшицево по х, а множество W С [0,0] х Rn замкнуто (т.е. многозначное отображение t —W(t) полунепрерывно сверху). Получен критерий сильной инвариантности, который связывает правую часть системы (0.1) с выпуклой оболочкой производной многозначного отображения t —► Заметим, что про-

изводная многозначного отображения, фигурирующая в формулировке критерия для сильной инвариантности, определяется на основе верхнего касательного конуса Булигана к множеству W.

Далее свойство сильной инвариантности изучено в случае, когда правая часть системы (0.1) непрерывна, и в случае, когда правая часть системы (0.1) полунепрерывна сверху по (t,x). В обоих случаях сформулированы достаточные условия для сильной инвариантности замкнутого множества W относительно системы (0.1). Также исследована сильная инвариантность множеств с кусочно - гладкими границами.

Параграфы 1.4-1.8 посвящены применению полученных в параграфах 1.2 и 1.3 критериев слабой и сильной инвариантности в задачах управле-

ния.

В параграфе 1.4 исследуются свойства функции оптимального результата в задаче управления, в которой поведение управляемой системы описывается диференциальным включением (0.1). Исследованию этой функции посвящены работы [48, 150, 188, 194, 204, 257]. Полученные в этом параграфе дифференциальные неравенства, характеризующие функцию оптимального результата, усиливают соотношения, которые были получены в работах [204, 257] и близки к дифференциальным неравенствам, которые характеризуют функцию цены дифференциальной игры (см., [147]).

Параграф 1.5 посвящен исследованию интегральной воронки системы (0.1). Доказывается, что заданное замкнутое множество W С [0, в] х Rn является интегральной воронкой системы (0.1) тогда и только тогда, когда оно положительно сильно, отрицательно слабо инвариантно относительно системы (0.1). Исходя из этого утверждения, приводятся инфи-нитезимальные соотношения, характеризующую интегральную воронку системы (0.1).

В параграфе 1.6 рассматривается одна обратная задача теории дифференциальных включений. Для заданного замкнутого множества W С [0, в] х Rn требуется определить систему вида (0.1) так, чтобы интегральная воронка искомой системы, выпущенная в нулевой момент времени из начального множества W(0), совпадала с заданным множеством W. Подобные задачи изучались прежде в работах [11, 183].

При некоторых дополнительных условиях относительно множества W, определены системы вида (0.1), разрешающие рассматриваемую обратную задачу. В конструировании этих систем важное место занимают слабо и сильно инвариантные множества относительно дифференциального включения. Заметим, также, что в диссертационной работе искомые системы определяются конструктивным способом и правая часть этих систем удовлетворяют традиционным условиям, гарантирующим существование и продолжимость решений.

В параграфе 1.7 рассматривается существование периодических траекторий системы (0.1), удовлетворяющих фазовому ограничению x(t) £ W(t), t > 0. Периодические решения в отсутствии фазовых ограничений рассмотрены в работах [58,126, 213, 225, 262 ]. Когда множество фазовых

ограничений описывается гладкой функцией, условия существования периодический решений получены в работах [126, 166]. В работах [235, 239, 260] приведены условия существования периодических решений системы (0.1) в случае, когда множество W(t), описывающее фазовое ограничения не зависит от t.

Полученное в этом параграфе условие существования периодических решений, имеет инфинитезимальную форму и базируется на свойстве сильной инвариантности множества W относительно системы (0.1).

В параграфе 1.8 рассматриваются две задачи из теории дифференциальных игр. Первая задача - задача об устойчивости позиционных стратегий относительно неточных измерениий фазового состояния системы. В работе [54] исследована устойчивость гарантированного результата в задаче позиционного управления. Предполагается, что в процессе движения, позиционная стратегия реализуется на основе неточной информации о состоянии конфликтно - управляемой системы. Доказывается, что пучок движений системы, формирующийся при неточных измерениях фазового состояния совпадает множеством решений некоторого дифференциального включения, которое определяется по правой частьи конфликтно - управляемой системы. В параграфе 1.8 этот результат используется при обосновании достаточных условий устойчивости позиционных стратегий, разрешающих задачу (М, N) - сближения.

Вторая задача - задача об и - стабильности множества программного поглощения в линейной задаче (М, N) - сближения. В случае, когда сечения множества программного поглощения имеют непустую внутренность, установлен критерий стабильности множества программного поглощения. В отличие от известных ранее условий регулярности (см., например [153, 154]), для проверки полученного критерия требуется рассматривать лишь точки, лежащие на границе множества программного поглощения.

Во второй главе рассматриваются численные методы построения множеств достижимости управляемых систем. В теории дифференциальных включений большое количество работ посвящено исследованию эволюции множеств достижимости и методам их приближенного построения. В работах [65, 90, 120, 155, 219 ] приведены эволюционные уравнения множеств достижимости. Дифференциальные соотношения, характери-

зующие границу интегральной воронки получены в [24, 28, 40, 49, 205, 251]. В [31, 49, 68 ] дано описание интегральной воронки при помощи скалярной функции, которая при некоторых предположениях является решением уравнения Беллмана. Экспоненциальная формула для определения множеств достижимости приведена в работе [263].

В многочисленных исследованиях, относящихся к численным методам построения множеств достижимости системы (0.1), представлены различные подходы. Группа исследований, проведенных в [63, 114, 115, 173 -175, 220, 221 ], посвящена оценке множеств достижимости эллипсоидами или же наборами эллипсоидов. Оценки множеств достижимости системы (0.1) были получены в работах [109,110]. В работе [162 ] изучается вопрос о приближенном вычислении множеств достижимости в виде многогранников. Отметим также работу [96 ] по численным методам построения множеств достижимости линейных управляемых систем. Более поздние исследования, проведенные в работах [64, 66 ], посвящены приближен-нему вычислению множеств достижимости автономных дифференциальных включений.

В параграфе 2.1 приведен способ построения множеств достижимости системы (0.1), функционирующей на конечном отрезке времени [to, в]. Предлагаемый здесь метод приближенного вычисления множеств достижимости, основан на введении некоторого конечного разбиения отрезка [¿о, #] с шагом А и подмене фазового пространства Rn некоторой е - решеткой. На базе этой аппроксимационной схемы получена оценка точности приближенного вычисления множеств достижимости, зависящая от £ и А. Из этой оценки следует, что если е имеет порядок малости относительно А больший, чем первый, то при А 0 приближенно построенные множества сходятся к множеству достижимости системы (0.1). Приведенный в этом параграфе метод аппроксимации множеств достжимости близок к методам из работ [19, 27, 104, 163], которые основаны на введении в пространстве позиций (t,x) прямоугольной решетки и аппроксимации множеств достижимости множествами, состоящими из узлов решетки.

В параграфе 2.2 на основе предложенной аппроксимационной схемы проведено вычисление множеств достижимости некоторых нелинейных управляемых систем в пространстве R2. В том числе построены множе-

ства достижимости системы, описывающей движение плоского маятника в вязкой среде и множества достижимости системы, которая описывает эволюцию биологического сообщества, состоящего из двух видов, хишни-ка и жертвы.

В параграфе 2.3 рассматривается приближенное конструирование множеств достижимости управляемых систем с квадратичными интегральными ограничениями. Такие системы часто встречаются в задачах управления летательными аппаратами. Отметим, что управляемые системы с интегральными ограничениями на ресурсы управления, рассматривались в работах [11, 138, 139, 157, 159, 161, 171].

Предполагается, что управляемая система нелинейна относительно фазовой переменной, линейна по переменной, описывающей управляющее воздействие.

Аппроксимация множеств достижимости управляемой системы осуществляется в несколько этапов. Вводится класс управлений IIн, который представляет собой совокупность управлений, удовлетворяющих интегральному ограничению и еще геометрическому ограничению вида || и(Ь) || < Н. Показано, что при достаточно большом выборе числа Н, множество достижимости системы с смешанными ограничениями достаточно хорошо аппроксимирует множества достижимости системы с интегральными ограничениями. Далее класс {/# сузим до некоторого класса кусочно - постоянных управлений £/#; класс ¿/# заменяем с классом IIн кусочно - постоянных управлений, нормы значений которых лежат в определенной равномерной сетке; класс IIн сужаем до конечного класса £/#, управлений, у которых не только нормы значений, но и сами значения в локальном смысле располагаются равномерно. Класс управлений IIн порождает конечное число траекторий системы. На последнем этапе траектории системы заменяются подходящими ломаными Эйлера. Получена оценка точности хаусдорфова расстояния между множеством достижимости и приближенно построенным множеством.

В параграфе 2.4 дан алгоритм для вычисления множеств достижимости управляемых систем с интегральными квадратичными ограничениями. Этот алгоритм разработан на основе исследований, проведенных в предыдущем параграфе. Вычислены множества достижимости в пространстве В2 нелинейных систем.

В третьей главе рассматриваются левосторонние решения (ЛР) уравнения Гамильтона - Якоби, т.е. дифференциального уравнения с частными производными первого порядка

—^ + {(<,= («,*)€ МХЯ-, (0.3)

удовлетворяюшие начальному условию

с(0,ж) = сг(х) при всех х £ К1. (0.4)

Напомним, что в теории мимнимаксных решений (см., например [140, 141, 248] решение должно удовлетворять терминальному условию с(6,х) — а(х), т.е. условию на правом конце промежутка времени. При этом свойства, определяющие минимаксные решения, являются правосторонними, т.е. здесь используются правосторонние варианты слабой инвариантности, производные по направлению, правосторонние относительно времени, и т.д. Понятно, что решение задачи Коиш с начальным условием на левом конце, определенное на основе левосторонних вариантов слабой инвариантности отличается от обычного минимаксного решения простой заменой времени на противоположное.

Отличительной особенностью ЛР, рассматриваемых в третьей главе, является то что начальное условие задано на левом конце, а основные свойства, которым должны удовлетворять ЛР должны быть правосторонними.

Отметим, что в диссертационной работе ЛР изучаются в случае, когда гамильтониан уравнения (0.4) (¿, х, в) —х, в) вогнут по импульсному переменному, т.е. по переменному 5, при любых фиксированных (¿,ж) £ [0,6>] х Я".

В параграфе 3.1 вводится понятие ЛР и приводится пример, иллюстрирующий возникновение ЛР. ЛР рассматриваются в классе полунепрерывных снизу функций и определяются с помощью конструкций негладкого анализа, которые применяются для определения минимаксных решений (см., например [141]).

На примерах показывается, что в рамках предположений, гарантирующих существование, единственность и непрерывность минимаксных решений, ЛР могут не существовать, либо могут оказаться не единствен-

ными. Это показывает, что JIP качественно отличаются от минимаксных решений.

В параграфе 3.2 исследуются свойства JTP. Доказана, что замкнутая нижняя огибающая J1P задачи (0.4) (0.5) также является JIP этой же задачи. Сформулировано достаточное условие существования JIP и дано его описание в терминах производных по направлениям.

Параграф 3.3 посвящен построению систем множеств, аппроксимирующих множества уровня JIP. Предлагаемый метод построения аппроксимирующей системы, является попятной процедурой. Такая процедура применялась в работах [3, 152, 160, 161] при построении стабильных мостов в задаче сближения. Доказана сходимость аппроксимирующей системы множеств к множеству уровня ЛР.

Глава 4 посвящена исследованию задач удержания движений управляемых систем с помехой, математическая модель которых задана в виде

х е F(t,x,u), t е [0,0], xeRn, и е р. (0.5)

К системам вида (0.5) могут быть приведены, например, управляемые системы, описываемые системой дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями (см., [2, 10, 66]).

Управляемые системы вида (0.5) исследовались в работах [67, 95, 118, 123 - 125, 232]. Свойствам можества достижимости и пучков траекторий системы (0.5) посвящены работы [95, 123 -125]. Управляемость системы (0.5) рассмотрена в работах [23 ]. Необходимые условия для оптимальности траекторий рассмотрены в работе [67, 118].

В параграфе 4.1 изучены некоторые свойства системы (0.5), которые используются в следующих параграфах.

В параграфе 4.2 рассматриваются способы управления и модели движений системы (0.5). Управление системой (0.5) осуществляется по принципу обратной связи. В качестве управляющих функций используются позиционные стратегии, широко применяемые в теории позиционных дифференциальных игр (см., например [82, 149, 215, 216]). Предлагаются два способа управления системой (0.5). Первый - это в реализовавшейся позиции шаг приращения времени при назначении управляющего воздействия, не зависит от Второй - это в реа-

лизовавщейся позиции шаг приращения времени при назначении

управляющего воздействия, зависит от (£*,£*). Приводится определение движений системы (0.5) для обоих способов управления.

В параграфе 4.3 рассматривается задача слабого удержания движений системы (0.5) на заданном замкнутом множестве ТУ С [0,0] х Яп. Вводится понятие позиционно слабой инвариантности множества ТУ относительно системы (0.5). Суть позиционно слабой инвариантности множества ТУ С [0,0] X Вп относительно системы (0.5) заключается в том, что для любой начальной позиции, принадлежащей множеству ТУ, можно определить стратегию управления так, что движение управляемой системы (0.5), порожденное этой стратегией, оставалось на этом же множестве ТУ вплоть до заранее заданного момента времени 0. Понятие позиционно слабой инвариантности близко к понятию и - стабильного моста из теории позиционных дифференциальных игр и является в некотором смысле обобщением понятий слабой и сильной инвариантности множеств (см., например [46, 82, 194, 215 ]).

Приведены достаточные условия для позиционно слабой инвариантности множества ТУ С [0,0] х Яп относительно системы (0.5). Эти условия выражены в инфинитезимальной форме и связывают правую часть системы (0ю5) с производным множеством многозначного отображения I —► На базе этих достаточных условий, установлена процедура

определения стратегии, удерживающей движения системы (0.5) на зада-ном множестве.

Рассмотрена позиционно слабая инвариантность множеств вида ТУ = {(£,#) Е [0,0] х Яп : с(£, х) < 0}. Приведены достаточные условия, позволяющие оценить сверху функцию гарантированного результата в задаче управления с терминальной платой, когда динамика управляемой системы задается в виде (0.5).

В параграфе 4.4 рассматривается задача (М, А7") - сближения для управляемой системы (0.6), и, в частности, для управляемых систем, описываемых дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями. Постановка задачи (М, N) - сближения формулируется согласно подходу, предложенному в теории позиционных дифференциальных игр (см., [82, 148, 215, 216]). Важным элементом при определении стратегии, разрешающую задачу (М, N) - сближения, является позиционно

слабо инвариантное множество \¥ С [0,0] х Д71, удовлетворяющее соотношениям IV С N ж С М. Приведена процедура, определяющая аппроксимирующую систему множеств позиционно слабо инвариантного множества в задаче (М, А7") - сближения для системы (0.5).

Параграф 4.5 посвящен к исследованию конфликтно - управляемой системы вида

х е ^(г, х,и,у), £ е [о, в], х е К1, иеР, V е Я. (о.б)

Рассмотрена задача сближения - уклонения для системы (0.6). Установлена процедура, определяющая стратегию игрока и, разрешающую задачу (М, ЛГ) - сближения, а также стратегию игрока V, разрешающую задачу (М, - уклонения. Отметим, что при исследовании задачи сближения - уклонения для системы (0.6) используются конструкции из теории дифференциальных игр и результаты параграфов 4.1 - 4.4. Дальше рассмотрены верхняя цена и нижняя цена дифференциальной игры для системы (0.6) с терминальной платой. Получены дифференциальные неравенства, характеризующие верхнюю и нижнюю цены игры. Эти неравенства являются аналогами дифференциальных неравенств, которые характеризуют и иг? - стабильность функции цены дифференциальной игры (см., например [140, 145, 148]) и минимаксные решения уравнения Гамильтона - Якоби (см., например [141, 144, 248]).

В пятой главе рассматриваются задачи слабого и сильного удержания траекторий обобщенных динамических систем (о.д.с.), эволюция которых задается непосредственно множеством достижимости. Понятие о.д.с. было сформулировано в работах [13, 57, 243] в рамках аксиоматического подхода к исследованию эволюционных систем. Оно определяется как многозначное отображение

Г(-) : [0,0] х [0,0] хД"^ 2лп, (0.7)

удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Символ ¿о? ^ > ¿(Ь означает множества достижимости системы в момент времени £ из начальной позиции О.д.с. (0.7) изучалась также в

работе [12].

Основная часть пятой главы посвящена задачам слабого и сильного удержания траекторий о.д.с. (0.7) на заданном замкнутом множестве

]¥ С [0, в] х Яп. В работе [243] были введены понятия слабой и сильной инвариантности замкнутого множества \¥ С [0, в] х Яп относительно о.д.с. (0.7). Если множество Ж слабо (сильно) инвариантно относительно о.д.с. (0.7), задача слабого (сильного) удержания траекторий о.д.с. (0.7) на этом же множестве разрешима при любых (¿о>яо) Е И^. В данной диссертационной работе свойства слабой и сильной инвариантности замкнутого множества У/ С [0, в] хЯ11 относительно о.д.с. (0.7) исследуются с применением инфинитезимальных конструкций негладкого анализа.

В параграфе 5.1 приведено ранее известное (см., [13, 243]) определение траекторий о.д.с. (0.7). Дается определение производной о.д.с. (0.7), основанное на понятии производной многозначного отображения, и рассматриваются некоторые свойства этой производной. Дальше исследуется слабая инвариантность замкнутого множества С [0,0] х Яп относительно о.д.с. (0.7). Формулируются необходимые, а также близкие к ним достаточные условия слабой инвариантности замкнутого множества С [0,6] х Яп относительно о.д.с. (0.7). Эти условия выражены в ин-финитезимальной форме и требуют непустоты пересечения производной системы и производной многозначного отображения £ —»■ Ил(£).

В параграфе 5.2 рассматривается задача сильного удержания траекторий о.д.с. (0.7) на заданном замкнутом множестве ]¥ С [0,0] х Кп. Другими словами, рассматривается сильная инварантность множества \¥ относительно о.д.с. (0.7). Получены необходимые, а также достаточные условия для сильной инвариантности множества Ш относительно о.д.с. (0.7), связывающие производные о.д.с. (0.7) и многогозначного отображения £ —>

В этом же параграфе изучена задача сушествования дифференциального включения, интегральная воронка которого совпадает с графиком многозначного отображения t —>• ¿о, ^о)- Исследована функция оптимального результата в задаче управления с терминальной платой, где управляемая система задается в виде (0.7).

В параграфе 5.3 рассматривается о.д.с. с помехой, задаваемая как многозначное отображение

: [0,0] х [0,6»] х Я" х Р —► 2й". (0.8)

Символ ¿о, ^о?и)-, ^ > ¿0? означает множества достижимости систе-

мы в момент времени t из начальной позиции ПРИ воздействии

на систему на отрезке [¿о, постоянного управления и £ Р. В качестве управляющих функций для системы (0.8) выбираются позиционные стратегии. Сформулировано определение движения системы (0.8), порожденного позиционной стратегией.

В параграфе 5.4 рассмотрена задача слабого удержания движений системы (0.8) на заданном замкнутом множестве Ш С [0,0] х Нп. Введено понятие позиционно слабой инварантности множества Ж относительно о.д.с. (0.8). Приведены достаточные условия для позиционно слабой инварантности множества \¥ относительно о.д.с. (0.8). На основе этих условий установлена стратегия управления, которая удерживает движения о.д.с. (0.8) на множестве И7 вплоть до заданного момента времени 0.

Рассмотрена позиционно слабая инварантность множеств вида И7 = € [0,0 х Е1 : ф,х) < 0}.

Исследована функция гарантированного результата в задаче управления с терминальной платой, когда динамика управляемой системы задается как о.д.с. вида (0.8).

Формулы, теоремы, утверждения имеют в работе тройную нумерацию (кроме настоящего введения, где принята двойная нумерация) - глава, параграф, номер внутри параграфа.

Результаты диссертации докладывались на 5-ой и 7-ой Всесоюзных конференциях по управлению в механических системах (Казань, 1985; Свердловск, 1990), 2-ой Всесоюзной конференции по функционально -дифференциальным уравнениям и их приложениям (Челябинск, 1987), мини - семестре по дифференциальным включениям и их приложениям в Международном математическом центре им. С.Банаха (Варшава, 1989), 11-ом Всемирном конгрессе Международной Федерации по Автоматическими Управлению (Таллинн, 1990), Всесоюзной конференции по негладкому анализу и его приложениям в экономических системах (Баку, 1991), семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН, кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Основной материал диссертации опубликован в работах [34 - 50, 206, 207]. Из работ [45 - 50, 207], выполненных совместно А.И.Субботиным

и В.Н.Ушаковым, в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору диссертации.

Автор выражает глубокую призна-

тельность академику РАН А.И.Субботину и профессору В.Н.Ушакову за ценные советы и постоянное внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гусейнов, Халик Гаракиши оглы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена аналитическим и вычислительным аспектам управляемых систем с неопределенностью, математическая модель которых задается дифференциальными включениями. При этом получены следующие основные результаты:

1. Получены критерии для задач слабого и сильного удержания на заданном замкнутом множестве траекторий управляемой системы с неопределенностью, задаваемой дифференциальным включением. Другими словами, получены критерии слабой и сильной инвариантности замкнутых множеств относительно дифференциального включения в терминах производных многозначного отображения. Особенность этих критериев состоит в том, что в их формулировке присутствуют выпуклые оболочки производных многозначных отображений.

2. С применением этих критериев исследованы некоторые задачи управления.

- сформулированы необходимые и достаточные условия для функции оптимального результата в задаче управления, в которой динамика задается дифференциальным включением;

- даны дифференциальные соотношения, характеризующие интегральную воронку дифференциального включения;

- рассмотрена одна обратная задача теории дифференциальных включений: для заданного множества определено дифференциальное включение, интегральная воронка которого совпадает с заданным множеством;

- доказаны теоремы существования периодических решений дифференциального включения с фазовым ограничением, зависящим от времени;

- приведено достаточное условие для устойчивости (относительно неточных измерений фазового состояния) позиционной стратегии, разрешающей задачу сближения для конфликтно управляемых систем;

- найден критерий стабильности множества программного поглощения в линейной задаче сближения.

3. Разработаны алгоритм и вычислительная процедура приближенного построения множеств достижимости дифференциального включения. Дано теоретическое обоснование алгоритма приближенного построения множеств достижимости и получена оценка точности. Вычислены множества достижимости конкретно заданных систем на плоскости.

4. Дана аппроксимационная схема для построения множеств достижимости управляемых систем с квадратичными интегральными ограничениями на управления. Доказана сходимость аппроксимирующей системы множеств к множеству достижимости и найдена оценка точности приближенных вычислений множеств достижимости. Приведено описание алгоритма для приближенного вычисления множеств достижимости. Проведено вычисление множеств достижимости некоторых конкретных систем на плоскости.

5. Введено понятие левостороннего решения уравнения Гамильтона -Якоби и на примерах показано его качественное отличие от минимаксного решения. Приведено достаточное условие существования левостороннего решения и изучены некоторые его свойства. Дано описание левосторонних решений в терминах производных по направлениям. Предложена аппроксимационная схема для построения множеств уровня левосторонних решений.

6. Изучена задача удержания траекторий управляемых систем при наличии помех, задаваемых дифференциальным включением с управляющим вектором. Введено понятие позиционно слабо инвариантного множества относительно таких управляемых систем. Получены достаточные условия для позиционно слабой инвариантности. На основе этих условий установлена процедура определения стратегий, удерживающих движения системы на позиционно слабо инвариантном множестве. Приведены процедуры определения стратегий, разрешающих задачу сближения и уклонения для конфликтно управляемых систем, математическая модель которых задается дифференциальным включением. Также получены дифференциальные неравенства, характеризующие верхнюю и нижнюю цены дифференциальной игры.

7. Получены критерии для задач слабого и сильного удержания траекторий обощенных динамических систем на заданном замкнутом множестве. Найдены достаточные условия для удержания траекторий обобщенных динамических систем с помехой на заданном замкнутом множестве и определены стратегии, удерживающие движения системы на позиционно слабо инвариантном множестве.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Гусейнов, Халик Гаракиши оглы, 1997 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Азамов A.A. Об альтернативе для игр преследования - убегания на бесконечном интервале времени // Прикл. матем. и механ. 1986. Вып.4. С.561 - 566.

2. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем // Автомат, и телемех. 1974. N 7. С.ЗЗ -47.

3. Алгоритмы и прогаммы решений линейных дифференциальных игр. Под редак. А.И.Субботина и В.С.Пацко. Свердловск. ИММ УрО АН СССР. 1984.

4. Алимов Ю.И. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с неоднозначными правыми частями // Автом. и телемех. 1961. Т.22. N 7. С.817-830.

5. Альбрехт Э.Г. Примеры информационных множеств нелинейных систем. В сб.: Оценивание в условиях неопределенности. Свердловск, УНЦ АН СССР. 1982. С. 5 - 9.

6. Альбрехт Э.Г. Об экстремальных стратегиях в нелинейных дифференциальных играх // Прикл. матем. и механика. 1986. Т. 50. Вып.З. С. 339 - 345.

7. Альбрехт Э.Г., Ермоленко Е.А. Приближенное вычисление оптимальных процессов в квазилинейных системах // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. N 3. С. 5 - 12.

8. Асеев С.М. Гладкие аппроксимации дифференциальных включений и задача быстродействия // Тр. мат. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова. 1991. Т. 200. С. 27 - 34.

9. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 1989

10. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление с разрывными системами. М.: Наука. 1987.

11. Бабалиев Т.Х. Построение решений в задачах управления с помехой. Дис... канд-та физ.-мат. наук. Екатеринбург. 1996.

12. Байдосов В.А. О подходе к определению динамических игр на языке обобщенных динамических систем. В сб.: Оптимальное управление системами с неопределенной информацией. Свердловск. УНЦ АН СССР. 1980. С.З - И.

13. Барбашин Е.А. К теории обобщенных динамических систем. // Уч. зап. Моск. унив. 1949. N 135. С.110 - 135.

14. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1962. N 1. С.З - 13.

15. Батухтин В.Д. Об одной игровой задаче наведения с неполной информацией. // Прикл. математика и механика. 1980. Т. 44. Вып.4. С.595 - 601.

16. Батухтин В.Д. К задаче на экстремум разрывных отображений // Успехи Матем. наук. 1985. Т.40. Вып.4. С.141 - 142.

ч

17. Батухтин В.Д., Майборода JI.A. Оптимизация разрывных функций. М.: Наука, 1984.

18. Батухтин В.Д., Ченцов А.Г. Об одной программной конструкции в позиционной дифференциальной игре // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1975. Т.39. N 4. С.926 - 936.

19. Бердышев Ю.И. К вопросу о построении областей достижимости в ньютоновском поле // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. N 5. С.З - 7.

20. Благодатских В.И. О выпуклости сфер достижимости // Диффе-ренц. уравнения. 1972. Т.8. N 8.

21. Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений. Summer school on ordinary differential equations. -Brno, 1975.

22. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. 4.1. М.: Изд-во Моск. унив-та. 1978.

23. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. мат. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова. 1985. Т. 169. С. 194 - 252.

24. Богатырев A.B. Поглощаемые и непоглощаемые точки множеств достижимости дифференциальных включений и обобщенные решения уравнения Гамильтона - Якоби // Изв. АН СССР. 1992. Сер. матем. Т.56. N 1. С.215 - 228.

25. Болтянский В.Г. Метод шатров в теории экстремальных задач // Успехи матем. наук. 1975. Т.ЗО. N 3. С.З - 55.

26. Боткин Н.Д. Асимптотическое поведение решений дифференциальных игр. Множества выживаемости дифференциальных включений

// Докл. РАН. 1992. Т.325. N 1. С.16 - 19.

27. Будак., Беркович Е.М., Соловьева E.H. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управления / / Журн. выч. матем. и матем. физ. 1969. Т.9. N 3. С.522 - 547.

28. Бутковский А.Г. Метод интегральных воронок дифференциальных включений для исследования управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1986. Т.21. N8. С.1304- 1313.

29. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977.

30. Гончаров В.В. О существовании решений одного класса дифференциальных включений на компактном множестве // Сиб. матем. журн., 1990. Т.31. N 5. С.24 - 30.

31. Гурман В.И., Константинов Г.И. Описание и оценка множества достижимости управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. N 3. С.416 - 423.

32. Гусев М.И. Об оптимизации измерений в задаче оценивания состояния динамической системы при геометрических ограничениях на помехи // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. N 11. С.1862 - 1870.

33. Гусятников П.Б. К вопросу об информированности игроков в дифференциальной игре // Прикл. матем. и механика. 1972. Т. 36. Вып. 5. С. 917 - 924.

34. Гусейнов Х.Г. Свойства стабильных мостов в линейной задаче сближения. Веб.: Исследование задач минимаксного управления. Свердловск. УНЦ АН СССР. 1985. С.15 - 20.

35. Гусейнов Х.Г. О разбиении стабильных мостов. В сб.: Синтез оптимального управления в игровых системах. Свердловск. УНЦ АН СССР. 1986. С. 32 - 35.

36. Гусейнов Х.Г. Производные слабо и сильно инвариантных множеств и их применение к задачам управления // Ин-т кибернетики АН Аз.ССР. - Баку, 1986. - Деп. в ВИНИТИ 01.12.1986. N 8155 - В 86. 24 с.

37. Гусейнов Х.Г. Об управляемых системах с разрывными правыми частями // Тезисы докладов VII Всесоюзн. конф. "Управление в механических системах." Свердловск. 1990. С.33.

38. Гусейнов Х.Г. Об одном определении функции цены дифференциальной игры с помощью неравенств. В сб.: Управление в динамических

системах. Свердловск. УрО АН СССР. 1990. С.47-51.

39. Гусейнов Х.Г. Сильно инвариантные множества и периодические решения дифференциального включения // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. N 10. С.1690 - 1699.

40. Гусейнов Х.Г. О свойствах интегральных воронок дифференциального включения // Тезисы докладов Всесоюзн. конф. "Негладкий анализ и его приложения в математической экономике." Баку. 1991. С. 16.

41. Гусейнов Х.Г. Сильно инвариантные множества относительно дифференциального включения и задача сближения для разрывных систем управления // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28. N 9. С.1490 -1498.

42. Гусейнов Х.Г. О свойствах стабильных мостов в задаче сближения // Автоматика и телемеханика. 1993. N 5. С.27 - 35.

43. Гусейнов Х.Г. Об управляемых системах, описываемых дифференциальными включениями 41 // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. N 8. С.1285 - 1293.

44. Гусейнов Х.Г. Об управляемых системах, описываемых дифференциальными включениями 42. // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 9. С. 1449 - 1456.

45. Гусейнов Х.Г., Субботин А.И., Ушаков В.Н. Стабильные мосты в дифференциальной игре сближения и их производные // Тезисы докладов V Всесоюзн. конф. "Управление в механических системах." Казань. 1985. С.38.

46. Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения // Докл. АН СССР. 1988. Т.ЗОЗ. N 4. С.794 - 797.

47. Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Инфинитезимальные свойства интегральных воронок и стабильных мостов // Ин-т кибернетики АН Аз.ССР. - Баку, 1988. - Деп. в ВИНИТИ 06.05.1988. N 3571 - В 88. 32 с.

48. Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения, их производные и применение к задачам управления. // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. N 11. С.1888-1894.

49. Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Дифференциальные свойства интегральных воронок и стабильных мостов. // Прикл. математика и меха-

ника. 1991. Т. 55. Вып.1. С.72 - 78.

50. Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Инфинитезимальные конструкции в теории обобщенных динамических систем // Ин-т математики и механики УрО РАН. - Екатеринбург, 1997. - Деп. в ВИНИТИ 05.06.1997. N 1819 - В 97. 40 с.

51. Данскин Дж.М. Теория максимина и ее приложения к задачам распределения вооружения. М.: Сов. радио, 1970.

52. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.

53. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука. 1990.

54. Джафаров В.Я. Об устойчивости гарантированного результата в задаче позиционного управления // Докл. АН СССР. 1985. Т.285. N 1. С.27- 31.

55. Дубовицский А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журн. выч. матем. и матем. физики. 1965. Т. 5. N 3. С. 395 - 403.

56. Завалищин С.Т., Ушаков В.Н. Задача о приведнии при ограничениях на полные импульсы управляющих сил // Прикл. матем. и механика. 1975. Т. 39. Вып. 2 С. 216 - 224.

57. Зубов В.И. Метод Ляпунова и его применение. Изд-во Ленингр. унив-та., 1957.

58. Ирисов А.Е., Тонкова B.C., Тонков Е.Л. Периодические решения дифференциального включения. В кн.: Нелинейные колебания и теория управления. Ижевск. Удмурт, гос. унив., 1978. Вып.2. С.З - 15.

59. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1981.

60. Кирилюк B.C. Математическая теория живучести // Ин - т кибернетики АН УССР. -Киев, 1989. Препринт N 89 - 54. 23 с.

61. Кларк Ф. Негладкий анализ и оптимизация. М.: Наука. 1991

62. Клейменов А.Ф. Неантогонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург.: Наука, 1993.

63. Клепфищ Б.Р. Численное построение эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. N 4.

64. Комаров В.А. Оценки множества достижимости дифференциаль-

ных включений // Матем. заметки. 1985. Т.87. N 6. С.916 - 925.

65. Комаров В.А. Уравнение множеств достижимости дифференциальных включений в задаче с фазовыми ограничениями // Тр. мат. инта АН СССР им. В.А.Стеклова. 1988. Т. 185. С. 116 - 125.

66. Комаров В.А., Певчих К.Э. Об одном методе построения множеств достижимости для дифференциальных включений // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1991. Т.31. N 1. С.153 - 157.

67. Константинов Г.Н. Достаточные условия оптимальности для минимаксной задачи управления ансамблем траекторий // Докл. АН СССР. 1987. Т.297. N 2. С.287 - 290.

68. Константинов Г.Н., Хромовских Ю.Ю. Неклассические решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана и их связь с множеством достижимости управляемых систем // Иркутский ун-т. -Иркутск, 1988. - Деп. в ВИНИТИ 12.07.1988. N 3573 - В 88. 12 с.

69. Коробов В.И. О сходимости одного варианта метода динамического программирования для задач оптимального управления // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1968. Т.8. N 2. С.429 - 435.

70. Красовский А.Н. Дифференциальная игра для позиционного функционала // Докл. АН СССР. 1980. Т. 253. N 6. С. 1303 - 1307.

71. Красовский А.Н. Синтез смешаных стратегий управления. Свердловск. Изд-во Урал, унив-та. 1988.

72. Красовский А.Н., Красовский H.H., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционой дифференциальной игры // Прикл. матем. и механика. 1981. Т.45. Вып. 4. С. 579 - 586.

73. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

74. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука. 1970.

75. Красовский H.H. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т.225. N 6. С.1260 - 1263.

76. Красовский H.H. Об управлении при неполной информации // Прикл. матем. и механика. 1976. Т.40. Вып. 2. С. 197 - 206.

77. Красовский H.H. Дифференциальные игры. Аппроксимационные и формальные модели // Матем. сб. 1978. Т.107. N 4. С.795 -822.

78. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука,

79. Красовский H.H., Батухтин В.Д. О нелинейной дифференциальной игре сближения - уклонения // Докл. АН СССР. 1973. Т.212. N 1. С.1260 - 1263.

80. Красовский H.H., Лукоянов Н.Ю. Задача конфликтного управления с наследственной информацией // Прикл. матем. и механика. 1996. Т.60. Вып. 6. С.885 - 900.

81. Красовский H.H., Осипов Ю.С. Задача управления с неполной информацией // Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1973. N 4. С. 5 -14.

82. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

83. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

84. Кружков С.Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона - Яко-би типа эйконала I // Матем. сб. 1975. Т.98. N 3. С.450 - 493.

85. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. О моделировании управления в линейной динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1983. N 2. С. 51 -60.

86. Кумков С.И., Пацко B.C. Оптимальные стратегии в задаче преследования с неполной информацией // Прикл. матем. и механика. 1995. Т. 59. Вып. 1. С. 82 - 95.

87. Куржанский A.B. Информационные множества управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. N 1.

88. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука. 1977.

89. Куржанский А.Б. Об аналитическом описании множества выживающих траекторий дифференциальной системы // Успехи матем. наук.

1985. Т.40. N 4. С.183 - 194.

90. Куржанский A.B., Никонов О.И. Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления // Докл. РАН. 1993. Т.ЗЗЗ. N 5. С.578 - 581.

91. Куржанский A.B., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения // Докл. АН СССР.

1986. Т.289. N 1. С.38 - 41.

92. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траекторий управляемой системы // Дифференц. уравнения.

1987. Т.23. N 8. С.1303 - 1315.

93. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Субдифференциальное исчисление. Новосибирск.: Наука, 1987.

94. Ледяев Ю.С., Мищенко Е.Ф. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр // Тр. мат. ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова.

1988. Т. 185. С. 147 - 170.

95. Ловцкий К.Э. Условие полунепрерывной зависимости от управлений множества решения управляемого дифференциального включения // Урал. унив. - Свердловск, 1988. - Деп. в ВИНИТИ 12.07.88. N 5584 -В 88. 42 с.

96. Лотов A.B. Численный метод построения множеств достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1975. Т.15. N 1. С.67 - 78.

97. Максимов В.И. Некоторые задачи позиционного моделирования и управления эволюционными системами. В сб.: Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск. УрО АН СССР. 1991. С. 122 - 139.

98. Максимов В.И. О динамическом оценивании управлений в условиях неопределенности // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. N 3. С. 127 - 133.

99. Маслов В.П., Колокольцев В.Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит. 1994.

100. Маслов В.П., Самборский С.Н. Существование и единственность решений стационарных уравнений Гамильтона - Якоби и Беллмана. Новый подход // Докл. АН СССР. 1992. Т.324. N 6. С. 1143 - 1148.

101. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями // Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. N 3. С.395 - 409.

102. Минченко Л.И. О необходимых условиях оптимальности траекторий дифференциальных включений // Автомат, и телемех. 1990. N 10. С.64 - 70.

103. Минченко Л.И. Производные многозначных отображений и принцип максимума // Дифференц. уравнения. 1991. Т.27. N 8. С. 1363 -1370.

104. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. 1971.

105. Моисеев H.H. Численные методы теории оптимального управления, использующие вариации в пространстве состояний // Кибернетика. 1966. Т.5. N 3. С.1-23.

106. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1988.

107. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974.

108. Нгуен Чан. Инвариантные и устойчивые семейства множеств относительно дифференциального включения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. N 8. С.1357 - 1366.

109. Никольский М.С. Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения // Вестн. МГУ. Серия выч. матем. и кибернетики. 1987. N 4. С.31 - 35.

110. Никольский М.С. Об аппроксимации множества достижимости для управляемого процесса // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1988. Т.28. N 8. С.1252 - 1254.

111. Никольский М.С. Контингентная производная по направлению в негладком анализе // Вестн. МГУ. Серия выч. матем. и кибернетики. 1988. N 3. С.50 - 54.

112. Никонов О.И. К теории эволюционных уравнений с многозначными решениями //Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. N3. С. 144 -151.

113. Обэн Ж. П., Эк ланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир. 1988.

114. Овсеевич А.И. Экстремальные свойства эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости // Пробл. управ, и теории информ. 1983. Т. 12. N 1. С.43 - 54.

115. Овсеевич А.И., Черноусько Ф.Л. Двусторонние оценки областей достижимости упрваляемых систем // Прикл. матем. и механика. 1982. Т.46. Вып.5. С.737 -744.

116. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр с распределенными параметрами // Докл. АН СССР. 1975. Т.223. N 6. С. 1314 -1317.

117. Осипов Ю.С. Позиционное управление в параболических системах // Прикл. матем. и механика. 1977. Т.41. Вып. 2. С. 195 - 201.

118. Отакулов С. К условиям оптимальности в минимаксной задаче управления для дифференциальных включений // Изв. АН Уз. ССР. Сер. физ-мат. наук. 1990. N 2. С.36-42.

119. Панасюк А.И. Уравнения динамики множеств достижимости в задачах оптимизации и управления в условиях неопределенности // Прикл. матем. и механика. 1986. Т.50. Вып.4. С.531 -543.

120. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Об одном уравнении, порождаемом дифференциальным включением // Матем. заметки. 1980. Т.27. N 3. С.429 - 437.

121. Пашков А.Г. Об оценке гарантированного реезультата в нелинейной дифференциальной игре // Прикладная матем. и механ. 1990. Вып.5. С. 760 - 766.

122. Пацко B.C. Модельный пример игровой задачи преследования с неполной информацией // Дифференц. уравнения. 1972. Т.8. N 8. С.1423 - 1434.

123. Плотников A.B. Линейные системы управления с многозначными траекториями // Кибернетика. 1987. N 4. С.130-131.

124. Плотников A.B. Компактность множества достижимости нелинейного дифференциального включения, содержащего управление // Кибернетика. 1990. N 6. С. 116-118.

125. Плотников A.B. Одно свойство множества достижимости управляемого дифференциального включения // Изв. вузов. Мат. 1993. N 11. С.35 - 39.

126. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. О периодических решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та им. Герцена. 1972. Вып.541. С. 145 - 154.

127. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений. М.: Изд-во МФТИ. 1983.

128. Половинкин Е.С. Об интегрировании многозначных отображений // Докл. АН СССР. 1983. Т.271. N 5. С.1069 -1074.

129. Половинкин Е.С. О выпуклых и сильно выпуклых аппроксимациях множеств // Докл. РАН. 1996. Т.350. N 1. С.865 -872.

130. Половинкин Е.С., Смирнов Г.В. Об одном подходе к дифференци-

рованию многозначных отображений и необходимые условия оптимальности решений дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. N 6. С.944 -954.

131. Понтрягин JI.C. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальная игра // Тр. мат. ин-та АН СССР им. В. А.Стеклова. 1985. Т. 169. С. 119 - 157.

132. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.

133. Пшеничный Б.H. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука. 1980.

134. Розыев И., Субботин А.И. Полунепрерывные решения уравнений Гамильтона - Якоби // Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52. Вып.2. С.179 - 185.

135. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

136. Силин Д.Б. О полунепрерывности сверху многозначных отображений // Докл. АН СССР. 1987. Т.294. N 4. С.792 - 795.

137. Силин Д.Б. О приближении обобщенного альтернированного интеграла // Вестн. моек, ун-та. Сер. 15. Выч. матем. и кибернетика. 1994. N 1. С.35 -43.

138. Соколов Б.Н. Об одной дифференциальной игре преследования с запаздыванием информации при наличии интегральных ограничений // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. N 10. С1797 - 1804.

139. Соломатин A.M. Игровая задача сближения - уклонения для линейной системы с интегральными ограничениями на управление игроков // Прикл. матем. и механика. 1984. Т.48. Вып. 4. С. 568 - 573.

140. Субботин А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254. N 2. С.293 -297.

141. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона - Якоби. М.: Наука. 1991.

142. Субботин А.И. Об одном свойстве субдифференциала // Матем. сб. 1991. Т. 182. N 9. С. 1315 - 1330.

143. Субботин А.И. Монотонные относительно предпорядка траектории дифференциальных включений // Труды Ин-та матем. и механики УрО РАН. 1992. Т.1. С.138- 146.

144. Субботин А.И. Минимаксные решения уравнений с частными

производными первого порядка // Успехи матем. наук. 1996. Т.51. Вып.2. С.105 - 138.

145. Субботин А.И., Субботина H.H. Свойства потенциала дифференциальной игры. // Прикл. матем. и механика. 1982, т.46, вып.2, с.204-211.

146. Субботин А.И., Субботина H.H. Негладкие и разрывные решения уравнения с частными производными первого порядка // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. N 3. С. 163 - 172.

147. Субботин А.И., Тарасьев A.M. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1985. Т.283. N 3. С.559 - 564.

148. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

149. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Итерационная процедура построения минимаксных и вязкостных решений уравнения Гамильтона - Якоби / / Докл. РАН. 1996. Т.348. N 6. С. 736 - 739.

150. Субботина H.H. Принцип максимума и супердифференциал функции цены // Пробл. управ, и теории информ. 1989. Т. 18. N 3. С. Р.1-Р.10.

151. Субботина H.H. Асимптотические свойства минимаксных решений уравнений Айзекса - Беллмана в дифференциальных играх с быстрыми и медленными движениями // Прикл. матем. и механика. 1996. Т.51. Вып.6. С.901 - 910.

152. Тарасьев A.M., Ушаков В.Н. Алгоритмы построения стабильного моста в линейной задаче сближения с выпуклой целью. В сб.: Исследование задач минимаксного управления. Свердловск. УНЦ АН СССР. 1985. С.82 - 90.

153. Тарлинский С.И. Об одной линейной дифференциальной игре сближения. //Прикл. математика и механика. 1973. Т.37. Вып.1. С.14 - 32.

154. Тарлинский С.И. Об одном регулярном классе дифференциальных игр // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. N 6. С.49 - 55.

155. Толстоногов A.A. Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения // Мат. заметки. 1982. Т.32. N 6. С.841 -852.

156. Толстоногов A.A. Дифференциальные включения в банаховом

пространстве. Новосибирск.: Наука. 1986.

157. Ухоботов В.И. Об одном классе дифференциальных игр с интегральными ограничениями // Прикл. матем. и механика. 1977. Т.41. Вып. 5. С.819 -824.

158. Ухоботов В.И. Дифференциальная игра удержания // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1984. N 2. С.70 - 76.

159. Ухоботов В.И. Однотипная линйная игра со смешанными ограничениями на управления // Прикл. матем. и механика. 1987. Т.51. Вып. 2. С.179 -185.

160. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения - уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. N 4. С.29 -36.

161. Ушаков В.Н. Процедуры построения стабильных мостов в дифференциальных играх. Дис... д-ра физ. - мат. наук. Свердловск. 1991.

162. Ушаков В.Н., Хрипунов А.Г. О приближенном построении интегральных воронок дифференциальных включений // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1994. Т.34. N 7. С.965 - 977.

163. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М;: Наука. 1978.

164. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Матем. сборник. 1960. Т.51. N 1. С.99-128.

165. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. 1967. N 3. С. 16 -26.

166. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985.

167. Филиппова Т.Ф. Управление в условиях неопределенности системой с негладкой правой частью // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. N 10. С. 968 - 977.

168. Финогенко И. А. Функционально - дифференциальные включения на замкнутых подмножествах. Докл. АН СССР. 1990. Т.314. N 1. С.147-150.

169. Ченцов А.Г. К игровой задаче наведения // Докл. АН СССР. 1976. Т.226. N 1. С.73 - 76.

170. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент

времени // Матем. сборник. 1976. Т. 99. Вып.З. С. 394 - 420.

171. Ченцов А.Г. Асимптотическая достижимость при возмущении интегральных ограничений // Киберн. и сист. анализ. 1995. N 1. С.87-99.

172. Ченцов А.Г. Задача о построении множеств асимптотической достижимости и ее регуляризация // Изв. вузов. Математика 1995. N 10. С.61-75.

173. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемых систем.// Прикл. матем. и механика. 1981. Т.45. Вып.1. С. 11 - 19.

174. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука. 1988.

175. Черноусько Ф.Л., Янгин А.А. Аппроксимация множеств достижимости при помощи пересечений и объединений эллипсоидов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1987. N 4. С.145 - 152.

176. Ahmed N.U. Optimal control on infinite dimensional systems governed by functional - differential inclusions // Discussiones Mathematicae - Differential inclusions. 1995. Vol.15 P.75 - 94.

177. Aubin J.P. A survey of viability theory // SIAM J. on Control and Optimiz., 1990. V. 28. no. 4. P. 749 - 788.

178. Aubin J.P., Cellina A. Differential inclusions. Set valued maps and viability theory. Berlin. Springer-Verlag. 1984. 342 p.

179. Aubin J.P., Clarke F. Monotone invariant solutions to differential inclusions // J. London Math. Soc. 1977. Vol. 16, N 2. P.357-366.

180. Aubin J.P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston. Birkhauser. 1990.

181. Aubin J.P., Sigmund K. Permanence and viability //J. Comput. and Appl. Math. 1988. Vol.22, no.2-3. P.203-209.

182. Bony J.M. Principe du maximum, inegalite de Harnack et unicitedu probleme de cauchy pour les operateurs elliptiques degeneres // Ann. Inst. Fourier. 1969. Vol.19. P.277-304.

183. Boudaoud M., Rzezuchowski T. On differential inclusions with prescribed solutions // Cas. Pestov. mat. 1989. Vol.114, no.3. P.289-293.

184. Bouligand G. Sur l'existence des dimi - tangents a une courbe de Jordan // Fund. Math. 1930. Vol.15. P.215 - 218.

185. Bressan A. Solutions of lower semicontinuous differential inclusions // Rend. Semin. mat. Padova. 1983. Vol.69. P.99-107.

186. Bressan A. On the qualitative theory of lower semicontinuous differential inclusions // J. Different. Equat. 1989. Vol.77, no.2. P.379-391.

187. Brezis H. On a caracterization of flow invariant sets // Comm. Pure Appl. Math. 1970. Vol.23. P.261-263.

188. Cannarsa P., Francowska H. Some caracterizations of optimal trajectories in control theory // SIAM J. on Contr. and Optimiz. 1991. Vol.29, no.6. P. 1322 - 1347.

189. Cardaliaquet P. Regularity of semi - permeable surfaces in control theory and applications of resultz // C.R. Acad. Sci. Paris. 1996. T.322. Serie 1. P.117- 122.

190. Castaing C., Moussaoui M., Syam A. Multivalued differential equations on closed convex sets in Banach spaces // Set-Valued Analysis. 1993. Vol.1, no.4. P.329-353.

191. Chentsov A.G. Finitely additive measures and relaxations of extremal problems. New York. Consult. Bureau. 1996.

192. Chernousko F.L. State Estimation of Dynamic Systems. SRC Press, Boca Raton, Florida, USA. 1994.

193. Clarke F.H. Generalized gradients and applications // Trans. Amer, Math. Soc. 1975. Vol.205. P.247 -262.

194. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Qualitative properties of differetial inclusions: a survey. // J. of Dynamical and Control Systems. 1995, vol.1, p.1-48.

195. Colombo G. Approximate and relaxed solutions of differential inclusions // Rend. Semin. mat. Univ. Padova. 1989. Vol.81. P.229-238.

196. Cominetti R., Correa R. A generalized second - order derivative in nonsmooth optimization // SIAM J. on Contr. Optimiz. 1990. Vol.28, no.4. P.789 - 809.

197. Crandall M. A generalization of Peano's existence theorem and flow invariance // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. Vol.36. P.151-155.

198. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton - Jacobi equations. // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V.277. P. 1-22.

199. Davy J.L. Properties of the solution set of a generalized differential equations // Buii. Austr. Math. Soc. 1972. Vol.6, no.3. P.379 - 398.

200. Deimling K. Multivalued differential equations on closed sets // Diff. and Integ. Equat. 1988. Vol.1, no.l. P.23 - 30.

201. Deimling K. Multivalued differential equations. D.Gruyter, Berlin. 1992.

202. Falcone M., Giorgi T., Loreti P. Level sets of viscosity solutions: some applications to fronts and rendez - vous problems // SI AM J. Appl. Math. 1994. Vol.54, no.5. P.1335 - 1354.

203. Falcone M., Saint-Pierre P. Slow and quasi-slow solutions of differential inclusions // Nonlinear Anal., Theory, Meth. and Appl. 1987. Vol.11, no.3. P.367-377.

204. Frankowska H. Optimal trajectories associated to a solution of contingent Hamilton-Jacobi equation // Proc. 26th IEEE Conf. Decis. and Contr., Los Angeles, Dec. 9-11, 1987. New York, 1987. Vol.1. P.727-732.

205. Frankowska H. Contingent cones and Reachable sets of Control Systems // SIAM J. on Contr. Optimiz. 1989. Vol.27, no.l. P.170 - 198.

206. Guseinov Kh.G. Strong invariant sets and stability of positional strategies in (M, iV) game encounter problem // Autom. Contr.: Proc. IIth Trienn. World Congr. Int. Fed. Autom. Contr., Tallinn, 13 - 17 Aug. 1990. Vol. 3. - Oxford etc., 1991. P. 323 - 325.

207. Guseinov Kh.G., Subbotin A.I., Ushakov V.N. // Derivatives for multivalued mappings with applications to game theoretical problems of control. // Probl. Control Inform. Theory. 1985. Vol. 14. P. 155-167.

208. Haddad G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional differential inclusion with memory // Israel J. of Math. 1981. Vol.39, no.l. P.83 - 100.

209. Jourani A. Tangency conditions for multivalued mappings // Set -Valued Anal. 1996, no.4. P.157 -172.

210. Ioffe A.D. Calculus of Dini sub differentials of functions and contingent derivatives of set valued maps // Nonlin. Anal. 1984. Vol.8, no.2. P.517 -539.

211. Kandilakis D.A., Papageorgiou N.S. On the properties of the Aumann integral with applications to differential inclusions and control systems // Czechosl. Math. J. 1989. Vol.39, no.l. P.l-15.

212. Kannai Z., Tallos P. Viable trajectories of nonconvex differential inclusions // Nonl. Anal. Theory Meth. and Appl. 1992. Vol.18, no.3.

P.295 - 306.

213. Kelly W. Periodic solutions of generalized differential equations // SIAM J. Appl. Math., 1976. Vol.30, no.l. P.70 - 74.

214. Kisielewich M., Motul J. Existence of solutions of boundary value problems of differential inclusions// Appl. Math, and Comput. Sci. 1991. Vol.1, no.l. P.117-126.

215. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information. Boston. Birkhauser. 1995.

216. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game - theoretical control problems. Springer. New York. 1988.

217. Krivan V. Aplicace teorie viability v biologii. Jihoceske biologicke centrum. CSAV /Kandidatska disertacni prace, Ceske Budejovice. 1988. 96 P-

218. Kurzhanski A.B., Filippova T.F. Dynamics of the set of viable trajectories to a differential inclusion: the evolution equation // Problems Contr. Inform. Theory. 1988. Vol.17. P.137 - 144.

219. Kurzhanski A.B., Filippova T.F. On the set valued calculus in problems of viability and control for dynamic processes: the evolution equation // Ann. Inst. H.Poincare. Ann.nonlineare. 1989. Vol.6. Suppl. P.339-363.

220. Kurzhanski A.B., Valyi L. Ellipsoidal Calculus for Esimation and Control. Birkhauser, 1996.

221. Kurzhanski A.B., Veliov V.M., eds., Set valued Analysis and Differential Inclusions. Ser. PSCT 18. Birkhauser, Boston. 1994.

222. Kurzweil J. Generalized ordinary differential equations // Czechosi. Math. J. 1958. Vol.8, no.3. P.360-388.

223. Ledyayev Yu.S. Criteria for viability of trajectories of nonautonomous differential inclusion and their applications // Preprint CMR - 1583. Centre de Recherches Math., Univ. de Montreal. 1988. P.l - 22.

224. Leela S., Moauro V. Existence of solutions in a closed set for delay differential equations in Banach spaces //J. Nonlinear Analysis Theory Math. Appl. 1978. Vol.2. P.391-423.

225. Li Y., Lin Z. Periodic solutions of differential inclusions // Nonl. Anal. Theory, Meth. and Appl. 1995. Vol.24, no.5. P.631 - 641.

226. Lions P.L. Generalized solutions of Hamilton - Jacobi equations.

Pitman, Boston. 1982.

227. Lions P.L., Souganidis P.E. Differntial games, Optimal control and directional derivatives of viscosity solutions of Bellmans and Isaacs equations // SIAM J. on Control and Optimiz. 1985. Vol.23, no.4. P.566 - 583.

228. Luc D.T. A strong mean value theorem and applications // Nonlinear Anal. Theory, Meth. Appl. 1996. Vol.26, no.5. P.915 - 925.

229. Marchaud A. Sur les champs des demi-cones et les equations différentielles du premier ordre // Bull. Soc. Math. France. 1934. Vol.62. no.l. P. 1-38.

230. Myjak J. A remark on Scorza-Dragoni theorem for differential inclusions // Cas. Pestov. mat. 1989. Vol.114, no.3. P.294-298.

231. Nagumo M. Uber die Lage der Integralkurven gewonlicher Differentialgleichungen // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1942. Vol.24. P.551 - 559.

232. Naselli R.O. On the contollability of a class a differential inclusions depended on a parameter // J. Optim. Theory and Appl. 1990. Vol.65. no.2. P.281-288.

233. Olech C. Approximation of set-valued functions by continuous functions // Colloq. Math. 1968. Vol.19. P. 285 - 293.

234. Ornelas A. Parametrization of Caratheodory multifunctions // Rend. Semin. mat. Univ. Padova. 1990. Vol.83. P.33-44.

235. Papageorgiou N.S. Viable and periodic solutions for differential inclusions in Banach spaces // Kobe J. Math. 1988. Vol.5, no.l. P.29 -42.

236. Papageorgiou N.S. Viability theorems for nonautonomous differential inclusions with nonconvex domain // Math. Jap. 1994. Vol.40, no.l. P.67 -77.

237. Pappalardo M. Tangent Cones and Dini Derivatives //J. Optimiz. Theory Appl. 1991. Vol.70, no.l. P.97 - 107.

238. Phuong T.D., Sach P.H., Yen N.D. Strict lower semicontinunity of the level sets and invexity of a locally Lipschitz function //J. Optimiz. Theory Appl. 1995. Vol.87, no.3. P.579 - 594.

239. Plaskacz S. Periodic solutions of differential inclusions on compact subsets of Rn // J. Math. Anal, and Appl. 1990. Vol. 148, no.l. P.202 - 212.

240. Pshenitchny B.N. e - Strategies in diferential games // Topics in

Differential Games. New-York - London - Amsterdam. 1973. P.45-99.

241. Quincampoix M. Enveloppes d'invariance pourdes inclusions differentialles lipschitziennes. Applications aux problems de cibles // C.r. Acad. sci. Ser.l. 1992. Vol.314, no.5. P.343-347.

242. Redheffer R.M. The theorems of Bony and Brezis on flow invariant sets // Amer. Math. Monthly. 1972. Vol.79. P.790-797.

243. Roxin E. Stability in General Control Systems. // J. Different. Equat., 1965. V.l. P. 115 - 150.

244. Sach P.H. Differentiability of set valued maps in Banach spaces // Math. Nachr. 1988. Vol. 138. P.215-235.

245. Saint - Pierre P. Approximation of the viability kernel // Appl. Math, and Optimiz. 1994. Vol.29, no.2. P.187 - 207.

246. Seifert G. Positively invariant closed sets for systems of delay differential equations //J. Different. Equat. 1976. Vol.22. P.292-304.

247. Shi Shuzhong. Viability theorems for a class of differential operator inclusions // J. Different. Equat. 1989. Vol.79, no.2. P.232-257.

248. Subbotin A.I. Generalized solutions of first order partial differential equations. The dynamical optimization perspective. Birkhauser, 1995.

249. Subbotin A.I. Discontinuous solutions of a Dirichlet - type boundary value problem for the first - order partial differential equation // J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1993. Vol.8, no.2. P.145 - 164.

250. Subbotin A.I., Tarasyev A.M. Stability properties of the value function of a differential game and viscosity solutions of Hamilton - Jacobi equations // Problems Contr. Inform. Theory. 1985. Vol.14, no.l. P.451 - 463.

251. Tallos P. On the attainable sets of differential inclusions // Dep. Math. K.Marx Univ. Econ. Budapest. 1985, no.2. P.189-197.

252. Tallos P. Viability Problems for Nonautonomous Differential Inclusions // SIAM J. on Contr. Optimiz. 1991. Vol.29, no.2. P.253 -263.

253. Tchou N.A. Existence of slow monotone solutions to a differential inclusions //J. Math. Anal, and Appl. 1989. Vol.140, no.l. P.26-31.

254. Truong X.D. Existence of viable solutons for nonconvex valued differential inclusions in Banach spaces // Port. Math. 1995. Vol.52, no.2. P. 241-250.

255. Ursesku C. Tangent set's calculus and necessary conditions for

extremality // SIAM J. on Contr. Optimiz. 1982. Vol.20. P.563 - 574.

256. Vinter R.B. Is the costate variable the state derivative of the value function? // Proc. 25th IEEE Conf. Decis. and Contr., Athens, Dec. 10-12, 1986. New York, 1986. Vol.3. P.1988-1989.

257. Vinter R.B., Wolenski P. Hamilton-Jacobi theory for optimal control problems with data measurable in time // SIAM J. on Contr. Optimiz. 1990. Vol.28, no.6. P. 1404 - 1419.

258. Ward D. The quantification tangent cones // Can J. Math. 1988. Vol.40, no.3. P.666-694.

259. Wang Y. A Characterization of paratingent cone and P-subderivative with applications in nonsmooth analysis // Acta Math. Sin. New Ser. 1991. Vol.7, no.2. P.181-192.

260. Wang Z., Zhu J. On periodic viable solutions of differential inclusions // Dongbei Shuxue = Northeast Math. J. 1996. Vol.12, no.2. P. 183 - 188.

261. Wazewski T. Sur une generalisation de la notion des solutions d'une equation au contingent // Bull. Polon. Acad. Sci., ser. math. astr. phys. 1962. Vol.12. N 1. P.ll-15.

262. Wei - Hwa Shaw. Boundary value problems and periodic solutions for contingent differential equations //J. Math. Anal, and Appl. 1977. Vol.57, no.3. P.610 - 624.

263. Wolenski P. The exponential formula for the reachable set of Lipschitz differential inclusion // SIAM J. on Contr. Optimiz. 1990. Vol.28, no.5. P. 1148 - 1161.

264. Yorke J.A. Invariance for ordinary differential equations // Math. Systems Theory. 1967. Vol.1. P.353-372.

265. Yorke J.A. Differential inequalities and non-Lippschitz scalar functions // Math. Systems Theory. 1970. Vol.4. P.140-153.

266. Zaremba S.C. Sur les equations au paratingent // Bull, des Scienc. Math. 1936. 2 Ser., 60. N 5. P.139-160.

267. Zhou X.Y. Maximum prinsiple, dynamic programming and their connection in deterministic control // J. Optim. Theory and Appl. 1990. Vol.65, no.2. P.363-373.