Задача об ограниченных решениях и операторные пучки с полиномиально ограниченной резольвентой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Печкуров, Андрей Викторович

• Печкуров, Андрей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Печкуров, Андрей Викторович

Введение

1 Пучки умеренного роста

1.1 Функциональное исчисление, порожденное пучком.

1.2 Пространство обобщенных вектор-функций Шварца

§'

1.3 Задача об ограниченных решениях в

§'.

2 Бисекториальные пучки

2.1 Определение бисекториального пучка.

2.2 Функция Грина.

2.3 Двусторонняя последовательность пространств Сп.

2.4 Задача об ограниченных решениях.

3 У1-бисекториальные и Х-1-бисекториальные пучки

3.1 (—1)-бисекториальный пучок.

3.2 Уг1-бисекториальный пучок.

3.3 Х1-бисекториальный пучок.

3.4 Примеры

4 Биограниченные пучки

4.1 Построение разложения единицы.

4.2 Полная функция Грина.

4.3 Задача об ограниченных решениях.

5 Функция Грина, имеющая конечномерный образ

5.1 Полугруппа с конечномерным образом и нулевым спектром

5.2 Полугруппа с конечномерным образом.

5.3 Функция Грина, имеющая конечномерный образ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача об ограниченных решениях и операторные пучки с полиномиально ограниченной резольвентой»

Задача об ограниченных решениях состоит в нахождении ограниченного на действительной прямой К решения линейного дифференциального уравнения при условии ограниченности свободного члена- С одной стороны, ее можно рассматривать как разновидность краевых задач, а с другой — как обобщение задачи об асимптотической (экспоненциальной) устойчивости, включающее в себя помимо задачи об устойчивости специальный случай неустойчивости — экспоненциальную дихотомию.

История активного изучения этой задачи берет начало от статьи Перрона [84]. Впрочем, Ю.Л. Далецкий и М.Г. Крейн [22] отмечают, что многие основополагающие результаты в этом направлении были получены на 20-30 лет раньше П. Болем, но они остались незамеченными. В настоящее время результат Перрона является классикой теории обыкновенных дифференциальных уравнений и описан во многих монографиях [22, 23, 26, 33, 42, 67]. Его простейший вариант утверждает, что существование и единственность ограниченного на М решения неоднородного уравнения и' — Аи = / при любой ограниченной правой части / равносильно тому, что спектр коэффициента А не пересекает мнимую ось. В классическом варианте коэффициент А является матрицей, либо линейным ограниченным оператором, действующим в банаховом пространстве.

Настоящая диссертация посвящена уравнению вида

Ей' -<?« = /, (1) не разрешенному относительно производной. Здесь ^и С - линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство У. За счет того, что область определения X и множество значений У операторов Р и не обязаны совпадать, рассматриваемое уравнение охватывает случай дифференциальных операторов ^иС, которые обычно интерпретируют как неограниченные операторы, действующие из пространства в себя.

Не разрешенное относительно производной дифференциальное уравнение (1) является не только формально более общим, чем уравнение и' — Аи = /. Оно охватывает более широкий класс приложений. Такие дифференциальные уравнения возникают в механике [32, 71, 72, 85], в теории линейных электрических цепей [И, 21, 24, 40, 54, 57] и в теории возмущений [2, 4]. Если оператор Р не имеет обратного, уравнение (1), как мы увидим, обладает несколько иными свойствами, чем уравнение и' - Аи = /.

Дифференциальным уравнениям (1), не разрешенными относительно старшей производной, посвящена обширная литература, см., например, [6, 9, 27, 28, 29, 55, 56, 74, 77, 79, 82]. В основном изучалась начальная задача.

Ограниченность решения и и свободного члена / в разных главах диссертации интерпретируется по-разному. В самом общем виде (глава 1) под ограниченностью понимается принадлежность пространству обобщенных функций Шварца 8'. Более узкая трактовка понятия ограниченности — принадлежность пространству С непрерывных и ограниченных на К функций или пространству Сп непрерывных и ограниченных на М вместе с производными до п-го порядка функций. Также рассматриваются (§ 2.3) пространства Сп с отрицательным п; говоря не совсем точно, они состоят из обобщенных функций, которые после п интегрирований становятся непрерывными. Обсуждается вопрос о связи гладкости решения и и свободного члена /.

Результаты диссертации опубликованы в [43, 44, 48, 49, 50, 51, 52], и докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [45], 2010 [46], 2012 [52], на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010 [47], на конференции БРОЕ 2011 [83], на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ. Работы [49, 50, 51] опубликованы в изданиях, включенных в список ВАК.

Перейдем к описанию содержания диссертации. Изложение ведется путем перехода от более общих случаев к более конкретным.

Пусть X и У — комплексные банаховы пространства. Обозначим символом В(Х, У) множество всех линейных ограниченных операторов, действующих из X в У.

Диссертация посвящена задаче об ограниченных решениях для дифференциального уравнения

IV)(*)-(<2«)(*) = /(*), ¿ем, (2) где .Р, С? 6 В(Х, У).

Линейным) пучком, соответствующим уравнению (2), называют [19, 20, 30, 41] функцию

Л н^ ЛF - С, ЛеС. (3) $

Резольвентным множеством пучка (3) называют [9, с. 30] множество p(F, G), состоящее из всех Л € С, при которых оператор XF—G обратим, а резольвентой — функцию (семейство)

Rx = (XF-G)~1.

Дополнение a(F,G) к резольвентному множеству называют спектром пучка.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Печкуров, Андрей Викторович, 2012 год

1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций / А.Г. Баскаков // Математ. сборник. — 1984. — Т. 124(166), № 1(5). - С. 68-95.

2. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А.Г. Баскаков. — Воронеж: ВГУ, 1987. — 165 с.

3. Баскаков А. Г. Спектральные свойства дифференциального оператора ^ — Ао с неограниченным оператором Ао / А.Г. Баскаков// Дифферент уравнения. 1991. - Т.27, №12. - С. 2162-2164.

4. Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитиче-ских и спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. - Т. 58, № 4. - С. 3-32.

5. Баскаков А.Г. Лекции по алгебре / А.Г. Баскаков. — Воронеж: ВГУ, 2004. 306 с.

6. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов / А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. 2004. - Т. 9. - С. 3-151.

7. Баскаков А.Г. Линейные отношения как генераторы полугрупп операторов / А.Г. Баскаков // Матем. заметки. — 2008. — Т. 84, №2-С. 175-192.

8. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. 2009. - Т.73, №. - С. 3-68.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышев // Математ. сборник. 2002. - Т. 193, № И. - С. 3-42.

10. Баскаков А. Г. О полугруппах распределений с сингулярностью в нуле и ограниченных решениях линейных дифференциальных включений / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем. заметки. — 2006. — Т.79, т. С. 19-33.

11. Баскаков С.И. Лекции по теории цепей / С.И. Баскаков. — М.: Ко-мКнига, 2005. — 280 с.

12. Бичегкуев М.С. К теории бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов / М.С. Бичекгуев // Алгебра и анализ. — 2010. — Т. 22, № 2. С. 1-13.

13. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства / Н. Бурбаки. — М.: ИЛ, 1959. 410 с.

14. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах / Н. Бурбаки. — М.: Мир, 1977. — 600 с.

15. Бурбаки Н. Спектральная теория / Н. Бурбаки. — М.: Мир, 1972. — 183 с.

16. Брычков Ю. А. Интегральные преобразования обобщенных функций / Ю. А. Брычков, А. П. Прудников. — М.: Наука, 1977. — 288 с.

17. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров. — М.: Наука, 1976. — 528 с.

18. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров. — М.: Наука, 1979. — 280 с.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1988. 552 с.

20. Глазман И.М. Конечномерный линейный анализ / И.М. Глазман, Ю.И. Любич. М.: Наука, 1969. - 476 с.

21. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы / И.С. Гоноров-ский. — М.: Дрофа, 2006. 719 с.

22. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. — М.: Наука, 1970. — 536 с.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. — М.: Наука, 1967. — 472 с.

24. Дезоер Ч.А. Основы теории цепей / Ч.А. Дезоер, Э.С. Ку. — М.: Связь, 1976. — 286 с.

25. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве / Н. Данфорд, Дж. Шварц. М.: Мир, 1966. - 1064 с.

26. Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / В.В. Жиков, Б.М. Левитан. — М.: МГУ, 1978. — 205 с.

27. Зубова С.П. Исследование решения задачи Коши для одного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения / С.П. Зубова // Изв. вузов. Матем. 2000. - № 8. — С. 76-80.

28. Зубова С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фредголь-мовым оператором при производной /С.П. Зубова, К.И. Чернышов // Дифференц. уравнения и их применения. — 1976. — № 14. — С. 21-39.

29. Иванов В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков. — М.: Наука, Физматлит, 1995. — 175 с.

30. Икрамов X. Д. Матричные пучки — теория, приложения, численные методы / X. Д. Икрамов // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. М.: ВИНИТИ. 1991. - Т. 29. - С. 3-106.

31. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967. — 616 с.

32. Копачевский Н.Д. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи / Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан. М.: Наука, 1989. — 416 с.

33. Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов. — М.: Наука, 1970 — 352 с.

34. Крейн С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышов //IX Международная конф. по нелиненым колебаниям.Киев: Наукова думка. — 1984. Т. 1. - С. 193-197.

35. Кудрявцев JI. Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. — М.: Наука, 1989. — 736 с.

36. Курбатова И.В. Об обобщенной импульсной характеристике / И.В. Курбатова // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Физ.-мат. науки. — 2007. — № 1. С. 148-152.

37. Курбатова И.В. Банахова алгебра, связанная с линейным операторным пучком / И.В. Курбатова // Математические заметки. — 2009. — Т. 86, № 3. С. 394-401.

38. Курбатова И.В. Псевдорезольвенты, функциональное исчисление и операторные пучки / И.В. Курбатова. — Воронеж: Научно-исследовательский институт математики ВГУ, 2010. — 55 с.

39. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. — М.: Наука, 1965. — 716 с.

40. Максимович Н.Г. Методы топологического анализа электрических цепей / Н.Г. Максимович. — Львов: Львовский ун-т, 1970. — 256 с.

41. Маркус A.C. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков / A.C. Маркус. — Кишинев: Штиинца, 1986. — 260 с.

42. Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер. — М.: Мир, 1970. 458 с.

43. Печкуров A.B. Комплексификация упорядоченных пар линейных операторов / A.B. Печкуров // Вестник ВГУ. Физика. Математика. — 2007. № 2. - с. 143-147.

44. Печкуров A.B. Об упорядоченный парах линейных операторов / A.B. Печкуров // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна. 2008. - С. 225-231.

45. Печкуров A.B. Комплексификация упорядоченной пары линейных операторов /A.B. Печкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. 2008. - С. 111-112.

46. Печкуров A.B. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерный образ/ A.B. Печкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. — 2010. — С. 116-117.

47. Печкуров А.В. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерные образы / А.В. Печкуров // Международная конференция КРОМШ. Сборник тезисов. 2010. - С. 38.

48. Печкуров А.В. Об обратимости в пространстве Шварца оператора, порожденного пучком умеренного роста / А.В. Печкуров // Вестник ВГУ. Физика. Математика. 2011. — № 2. — С. 116-122.

49. Печкуров А.В. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерные образы / А.В. Печкуров // Матем. заметки. — 2012. — Т. 91, № 2. С. 240-252.

50. Печкуров А.В. Бисекториальные операторные пучки и задача об ограниченных решениях / А.В. Печкуров // Известия вузов. Математика. 2012. - № 3. - С. 31-41.

51. Печкуров А.В. О функции Грина операторного пучка, имеющей конечномерные образы / А.В. Печкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Материалы межд. конф. — 2012. — С. 180-182.

52. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. — М.: Мир, 1975. — 444 с.

53. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = f(t) / А.Г. Руткас // Дифференц. уравнения. 1975. — Т.11, № 11. - С. 19962010.

54. Самойленко А.М. ЛшШш системи диференщальних р1внянь з вирод-женнями: Навч. noci6. для студ. / А.М. Самойленко, M.I. Шюль, В.П. Яковець. — Киев: Вища шк., 2000. — 294 с. — укр.

55. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свири-дюк // Успехи матем. наук. — 1994. — Т. 49, вып. 4. — С. 47-74.

56. Сешу С. Линейные графы и электрические цепи / С. Сешу, М.Б. Рид. — М.: Высшая школа, 1971. — 448 с.

57. Сидоров H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / H.A. Сидоров // Матем. заметки. — 1984. Т. 35. - № 4. - С. 569-578.

58. Сидоров H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров, O.A. Романова // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19. — № 9. — С. 1516-1526.

59. Сидоров H.A. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / H.A. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23. — № 4. — С. 726728.

60. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. — 2000. — Т. 41, № 5. С. 1167-1182.

61. Фалалеев М.В. Теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространства / М.В. Фалалеев // Автореферат дисс. докт. физ.-мат. наук. — Иркутск: Иркутский госуниверситет. — 2008. — 35 с.

62. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев, О.В. Коробова // Сиб. мат. журн. — 2008. — Т. 49, № 4. — С. 916-927.

63. Федоров В. Е. Об ограниченных на прямой решениях линейных уравнений соболевского типа с относительно секториальными операторами / В. Е. Федоров, М. А. Сагадеева // Изв. вузов. Матем. — 2005. — № 4. С. 81-84

64. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. 7 изд./ Г.М. Фихтенгольц. — М.: Наука, 1969. — 616 с.

65. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. — М.: Мир, 1970. — 720 с.

66. Хенри J1. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / JI. Хенри. — М.: Мир, 1985. — 376 с.

67. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс — М.: ИЛ, 1962. — 829 с.

68. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат — М.: Наука, 1969. — 577 с.

69. Шкаликов A.A. Задача об установившихся колебаниях трансверсаль-но изотропного полуцилиндра со свободной границей / А. А. Шкаликов // Функциональный анализ и его приложения. — Т. 25, № 2. — 1991. С. 86-89.

70. Шкаликов A.A. Задача об установившихся колебаниях трансверсаль-но-изотропного полуцилиндра / А. А. Шкаликов, А. В. Шкред // Математический сборник. Т. 182, № 8. - 1991. — С. 1222-1246.

71. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2 / Р. Эдварде. М.: ИЛ, 1985. - 400 с.

72. Arendt W. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems / W. Arendt, С. Batty, M. Hieber, F. Neubrander // Monographs in Mathematics. — Basel: Birkhäuser Verlag — 2001. — 523 p.

73. Bart H. Wiener-Hopf factorization, inverse Fourier transforms and exponentially dichotomous operators / H. Bart, I. Gohberg, M.A. Kaashoek // J. Funct. Anal. 1986. - Vol. 68, № 1. - P. 1-42.

74. Carracedo C.M. The theory of fractional powers of operators / C.M. Carracedo, M.S. Alix // North-Holland Publishing Co., Amsterdam. — 2001. — 365 p.

75. Carroll R. W. Singular and Degenerate Cauchy Problems / R. W. Carroll, R. E. Showalter — New York: Academic Press, 1976. — 333 p.

76. Cross R. Multivalued linear operators / R. Cross — New York: M. Dekker, 1998. 335 p.

77. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi // Pure and Applied Mathematics. A Series of Monographs and Textbooks. — New York: M. Dekker. — 1999. — 313 p.

78. Kurbatov V.G. Functional Differential Operators and Equations. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers. — 1999. — 454 p.

79. Mee C. V. M. van der, Exponentially dichotomous operators and applications / C. V. M. van der Mee. — Birkhäuser: Basel-BostonBerlin. — 2008. — xv+224 p.

80. Neumann J. Von, Uber adjungierte Funktional-operatoren / J. Von Neumann // Ann. Math. 1932, - Vol. 33, - P. 294-310.

81. Perron O. Die Stabilitätsfrage bie Differentialgleichungen. / O. Perron // Math. Z. 1930. - Bd. 32, № 5. - S. 703-728.

82. Preumont A. Vibration control of active sturctures / A. Preumont. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers — 2002, 2nd ed. — 385 p.

83. Schatten H.H. A theory of cross-spaces / H.H. Schatten. — New York: Princeton Univ. Press, 1950. — 162 p.

84. Schwartz L. Distributions ä valeurs vectorielles / L. Schwartz // Ann. Inst. Fourier. 1957. - Vol. 7 - P. 1-141; II. - 1957. - Vol. 8. - P. 1209.

85. Schwartz L. Theorie des distributions. Vol. I, II / L. Schwartz. — Paris: Hermann. 1950, 1951. — 150 p., 172 p.

86. Treves F. Topological vector spaces, distributions and kernels / F. Treves. — London: Academic Press, 1967. — vi+565 p.