Применение методов теории банаховых алгебр к исследованию операторных пучков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Курбатова, Ирина Витальевна

• Курбатова, Ирина Витальевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Курбатова, Ирина Витальевна

Введение

1 Линейные пучки

1.1 Норма на X, порожденная линейным пучком.

1.2 ©-умножение.

1.3 Функциональное исчисление для линейного пучка.

1.4 Экспоненциальные функции линейного пучка

1.5 Представление решения уравнения 1-го порядка.

2 Квадратичные пучки

2.1 Ш-умножение.

2.2 Функциональное исчисление для квадратичного пучка

2.3 Экспоненциальные функции квадратичного пучка.

2.4 Представление решения уравнения 2-го порядка.

2.5 Квадратичный пучок с ^ = 0 . . . . ;.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение методов теории банаховых алгебр к исследованию операторных пучков»

Поиск экспоненциальных решений (т. е. решений вида t еХ1) линейных дифференциальных уравнений первого

П^) - Сх(1) = /(г)

1) и второго порядка

Ех{г) + Пф + Нх{г) = /(г)

2) с постоянными операторными коэффициентами, а также (что в значительной мере представляет собой равносильный подход) попытка их решения с помощью преобразования Лапласа приводят к появлению операторных пучков [14, 16, 15, 26, 28, 36, 46, 51, 86, 87], соответственно, линейных

В терминах поведения пучков в окрестностях особых точек, называемых точками спектра, удается в значительной мере описать решения рассматриваемых дифференциальных уравнений. Такой подход называют спектральной теорией. Некоторым задачам спектральной теории посвящена настоящая диссертация.

Рассматриваемые дифференциальные уравнения (1) и (2) являются не разрешенными относительно старшей производной. Такие дифференциальные уравнения возникают в механике [30, 75, 77, 90] и в теории линейных электрических цепей [5, 17, 18, 47, 53, 55, 61]. Формально не разрешенным относительно производной является также каноническое уравнение [50, 78] Ль — Ни, где 3 — блочная матрица ($ V) • Дифференциальным уравнениям, не разрешенными относительно старшей производной, посвящена обширная литература, см., например, [3, 4, 19, 23, 24, 56, 59, 80, 82, 84, 89].

Предполагается, что в уравнениях (1) и (2) С и Я - линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство У. Отметим, что случай неограниченных коэффициентов обычно удается свести в случаю ограниченных, см. по этому поводу § 1.1. Отметим также, что нетривиальным является не только случай бесконечномерных пространств X и У, но и пространств X и У большой размерности [26, 27, 81, 92].

Л Л^ - <3, Лес, и квадратичных

Л Х2Е + Л^ + Н, лес.

Если старшие коэффициенты .Р и Е являются обратимыми операторами, уравнения можно умножить на обратные к ним и тем самым привести к нормальному виду. Мы сознательно не обсуждаем этот подход (приводящий к хорошо разработанной теории) по следующим двум причинам. Во-первых, это не всегда удобно, поскольку операторы ^ и Е могут иметь особый физический смысл (например, в теории линейных электрических цепей [5, 17, 18, 47, 61] они могут описывать соответственно сопротивления, емкости конденсаторов или индуктивности катушек, входящих в цепь) и иметь особую структуру (например, быть самосопряженными [15, 33, 46] или задаваться разреженными матрицами [25, 26, 92]). Во-вторых, мы хотим охватить случай, когда операторы ^ и Е не являются обратимыми.

В случае обратимого оператора Е решение уравнения (1) можно (теорема 1.4.4) представить в виде х(г) = [ <р(ехРг8)/(5) йв, Jo где

Кехр,) = -^¡1 еАг(А^ - ОУ1 ¿А.

Уже этот простой пример показывает, что разумно рассмотреть более общую конструкцию в)'1 где / — произвольная аналитическая функция, являющуюся аналогом классической функции от оператора, подробнее см. § А.З. К сожалению, отображение <р не обладает свойством <р(/д) = <р(/)1р(д) сохранения операции умножения. Основной идеей диссертации является рассмотрение вместо обычного умножения операторов так называемого ^-умножения

А®В = АРВ.

Для ^-умножения равенство <£>(/#) — ¥>{/) © Ч>{9) Уже имеет место.

Результаты, связанные с линейным пучком, в значительно мере переносятся на квадратичные пучки. Аккуратное выписывание возникающих на этом пути формул (глава 2) может оказаться полезным для дальнейших приложений (например, для численных методов).

В настоящее время в спектральной теории (линейных) операторных пучков используется несколько подходов. Первый подход основан на разложении пространств X и У в прямые суммы X = ХоФ-Х-! и У = УоФУ1, так, чтобы Р Хг С Уг и С Уг-, г = 0,1, причем в одной паре подпространств Р был обратим, а в другой — .Р был нильпотентным или квазинильпотентным. В конечномерном случае такое разложение было известно еще Вейерштрассу [98] и Кронекеру [88], см. также изложение в [14, 72]. Со спектральной точки зрения его возможность связана с тем, что расширенный спектр пучка (состоящий в конечномерном случае из конечного числа точек) можно разбить на две части — бесконечно удаленную точку и оставшуюся компактную часть спектра. В случае наличия такого разбиения, расщепление пучка в прямую сумму двух других пучков имеет место и в бесконечномерном случае. Для банаховых пространств подобное утверждение впервые было доказано в [96]. Впоследствии оно повторялось многими авторами [3, 4, 20, 21, 55, 59, 86]. В настоящее время этот подход развивается в работах [58, 59, 69]. Второй подход [62, 63, 64, 66, 67, 68] основан на использовании языка (5-функций в фундаментальном решении. Третий подход [48] основан на использовании п-интегрированных полугрупп. Четвертый подход [3, 4, 83, 84], основанный на использовании линейных отношений (многозначных линейных операторов), заключается в умножении уравнения (1) на многозначный оператор Р-1 и последующем построении спектральной теории линейных отношений. Отличие подхода, используемого в настоящей диссертации, основано на использовании в формулах для представления решений дифференциальных уравнений (и ряде других формул) ©умножения и И-умножения.

Результаты диссертации опубликованы в [38, 40, 42, 43] и докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [39] и 2010 [41], на конференциях КРОМШ-2008, КРОМШ-2009 и КРОМШ-2010 [44], на семинарах А.Г. Баскакова и Б.Н. Садовского, а также на научных сессиях ВГУ. Работы [38, 40] опубликованы в изданиях, включенных в список ВАК.

Основными результатами диссертации являются следующие. ч? Определены специальные алгебраические операции (© и □), порождаемые линейным и квадратичным пучками. Выделены банаховы алгебры, в которых эти операции играют роль операций умножения.

Построены функциональные исчисления (<р и Т), которые произведение функций переводят в рассматриваемые произведения (0 и □) операторов.

У Получены разложения резольвент пучков в степенные ряды и в сумму элементарных дробей, основанные на введенных операциях умножения.

Ф Выведены представления для операторов сдвига и импульсных характеристик дифференциальных уравнений, основанные на полученных разложениях резольвент. Получены формулы, выражающие решения дифференциальных уравнений через операторы сдвига и импульсные характеристики в случае, когда бесконечность является полюсом резольвенты пучка.

Перейдем к более подробному и аккуратному изложению содержания диссертации.

Предварительные сведения о банаховых алгебрах, псевдорезольвентах и функциональном исчислении, а также стандартные обозначения вынесены в приложение А.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Курбатова, Ирина Витальевна, 2010 год

1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций / А.Г. Баскаков // Математ. сборник. — 1984. - Т. 124(166), - № 1(5). - С. 68-95.

2. Баскаков А.Г. Лекции по алгебре / А.Г. Баскаков — Воронеж: ВГУ, 2004. 306 с.

3. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов / А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. - Т. 9. - 2004. - С. 3-151.

4. Баскаков А.Г. Спектральная теория линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Математ. сборник. 2002. - Т. 193, - № 11. - С. 3-42.

5. Баскаков С.И. Лекции по теории цепей / С.И. Баскаков — М.: Ко-мКнига, 2005. — 280 с.

6. Бейкер Дж. Аппроксимации Паде / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис — М.: Мир, 1986. 502 с.

7. Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций / Ю. А. Брычков, А. П. Прудников — М.: Наука, 1977. 288 с.

8. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства / Н. Бурбаки — М.: ИЛ, 1959. 410 с.

9. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах / Н. Бурбаки — М.: Мир, 1977. — 600 с.

10. Бурбаки Н. Спектральная теория / Н. Бурбаки — М.: Мир, 1972. — 183 с.

11. Бурбаки H. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов / Н. Бурбаки М.: Мир, 1975. — 408 с.

12. Васильев В.В. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и линейные дифференциальные уравнения / В. В. Васильев, С. Г. Крейн, С. И. Пискарев // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. М.: ВИНИТИ. Т. 28. - 1990. - С. 87-202.

13. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров — М.: Наука, 1976. — 528 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер — М.: Наука, 1988. — 552 с.

15. Глазман И.М. Конечномерный линейный анализ / И.М. Глазман, Ю.И. Любич М.: Наука, 1969. - 476 с.

16. Голуб Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун — М.: Мир, 1999. — 548 с.

17. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы / И.С. Гоноров-ский М.: Дрофа, 2006. - 719 с.

18. Дезоер Ч.А. Основы теории цепей / Ч.А. Дезоер, Э.С. Ку — М,: Связь, 1976. 286 с.

19. Демиденко Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей призводной / Г.В. Демиденко, C.B. Успенский // Новосибирск: Научная книга, 1998. — 438 с.

20. Диткин В.В. Некоторые спектральные свойства пучка линейных операторов / В.В. Диткин // Математ. заметки. — Т. 22, — № 6. — 1977. — С. 847-857.

21. Диткин В.В. О некоторых спектральных свойствах пучка линейных операторов / В.В. Диткин // Математ. заметки. — Т. 31, — № 1. — 1982. С. 75-79.

22. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций / А.Г. Земанян М.: Наука, 1974. - 400 с.

23. Зубова С.П. Исследование решения задачи Коши для одного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения / С.П. Зубова // Изв. вузов. Матем. — 2000. № 8. - С. 76-80.

24. Иванов В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков — М.: Наука, Физматлит, 1995. — 175 с.

25. Икрамов Х.Д. Разреженные матрицы / X. Д. Икрамов // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. М.: ВИНИТИ. Т. 20. - 1982. - С. 179260.

26. Икрамов X. Д. Матричные пучки — теория, приложения, численные методы / X. Д. Икрамов // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. М.: ВИНИТИ. Т. 29. - 1991. - С. 3-106.

27. Икрамов X. Д. Несимметричная проблема собственных значений / X. Д. Икрамов — М.: Наука, 1991 240 с.

28. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов / М.В. Келдыш // Успехи матем. наук. Т. 26. — вып. 4. - 1971. — С. 15-41.

29. Копачевский Н.Д. О свойствах базисности системы собственных и присоединенных векторов самосопряженного операторного пучка I — А А — А ~1В / Н.Д. Копачевский / / Функциональный анализ и его приложения 1981. - Т.15. - № 2. — С. 77-78.

30. Копачевский Н.Д. Оператоные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи / Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан. М.: Наука, 1989. — 416 с.

31. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн — М.: Наука, 1970 — 720 с.

32. Костин В.А. Об аналитических полугруппах и сильно непрерывных косинус-функциях // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 307, - №4.-С. 796-799.

33. Костюченко А.Г. Самосопряженные квадратичные пучки операторов и эллиптические задачи / А.Г. Костюченко, A.A. Шкаликов // Функциональный анализ и его приложения. — 1983. — Т. 17. — № 2. — С. 38-61.

34. Крейн М.Г. О некоторых математических принципах линейной теории демпфированных колебаний континуумов / М.Г. Крейн, Г.К. Лангер // Труды межд. симп. по прим. теории функций комплексн. перем. в механике сплошной среды. — М.: Наука, 1965. — С. 283-322.

35. Крейн С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышов //IX Международная конф. по нелиненым колебаниям. Т. 1. Киев: Наукова думка, 1984. С. 193-197.

36. Кублановская В.Н. Спектральные задачи для пучков матриц. Методы и алгоритмы. 1-Ш / В.Н. Кублановская, В.Б. Хазанов, В.А. Белый // Ленинград: ЛОМИ АН СССР. Препринты. 1988. - № Р-2. - С.3-55; - № Р-3 - С. 1-33; - № Р-4 - С. 3-52.

37. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев — М.: Наука, 1989. — 735 с.

38. Курбатова И.В. Об обобщенной импульсной характеристике / И.В. Курбатова // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Физ.-мат. науки. — 2007. — № 1. С. 148-152.

39. Курбатова И.В. Об обобщенной импульсной характеристике / И.В. Курбатова // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна 2008. С. 101-102.

40. Курбатова И.В. Банахова алгебра, связанная с линейным операторным пучком / И.В. Курбатова // Математические заметки. — Т. 86. — № 3. 2009. - С. 394-401.

41. Курбатова И.В. Некоторые свойства операторных пучков порядка п / И.В. Курбатова // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна 2010. — С. 94-95.

42. Курбатова И.В. О квадратичном пучке с нулевым средним слагаемым / И.В. Курбатова // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна 2010. С. 133-141. '

43. Курбатова И.В. Псевдорезольвенты, функциональное исчисление и операторные пучки / И.В. Курбатова — Воронеж: Научно-исследовательский институт математики ВГУ, 2010. — 55 с.

44. Курбатова И. В. Банахова алгебра, порожденная операторным пучком / И.В. Курбатова // Международная конференция Кромш-2010. Сборник тезисов. — Симферополь, 2010. — С. 26-27.

45. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат — М.: Наука, 1965. — 716 с.

46. Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков / А.С. Маркус — Кишинев: Штиинца, 1986. — 260 с.

47. Максимович Н.Г. Методы топологического анализа электрических цепей / Н.Г. Максимович — Львов: Львовский ун-т, 1970. — 256 с.

48. Мельникова И. В. Семейство М, N оператор-функций и уравнения второго порядка в банаховом пространстве/ Изв. вузов. Математика. 1985. - № 2. - С. 45-52.

49. Наймарк М.А. Нормированные кольца / М.А. Наймарк — М.: Наука, 1968. 664 с.

50. Перов А.И. Каноническая система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе /А.И. Перов // Сибирский математический журнал — 2010. — Т. 51. — № 2. — С. 301-312.

51. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы / Б. Парлетт // М.: Мир, 1983. — 384 с.

52. Рагимов М.Б. Спектральная теория упорядоченных пар линейных операторов / М.Б. Рагимов — Баку: изд-во Бакинского госуниверситета. 1993. — 51 с.

53. Радбель Н.И. О линейных операторных пучках и неканонических системах / Н.И. Радбель, А.Г. Руткас // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. — 1973. — № 17. — С. 3-14.

54. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин — М.: Мир, 1975. — 443 с.

55. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = f(t) / А.Г. Руткас // Дифференц. уравнения. — 1975. — Т.Н. — № 11. — С. 1996-2010.

56. Самойленко A.M. Лшшш системи диференщальних р1внянь з вирод-женнями: Навч. nociö. для студ. / A.M. Самойленко, M.I. Шюль, В.П. Яковець — Киев: Вища шк., 2000. — 294 с. — укр.

57. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейных уравнений типа Соболева высокого порядка / Г.А. Свиридюк, О.В. Вакарина // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33. - № 10. - С. 1410-1418.

58. Свиридюк Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26. - № 9. — С. 250-258.

59. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи матем. наук. — 1994. — Т. 49. — вып. 4. — С. 47-74.

60. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения соболевского типа: Учебное пособие для мат. направлений и специальностей ун-тов / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров — Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. — 179 с.

61. Сешу С. Линейные графы и электрические цепи / С. Сешу, М.Б. Рид — М.: Высшая школа, 1971. — 448 с.

62. Сидоров H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / H.A. Сидоров // Матем. заметки. — 1984. Т. 35. - № 4. - С. 569-578.

63. Сидоров H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров, O.A. Романова // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19. № 9. -С. 1516-1526.

64. Сидоров H.A. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / H.A. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23. № 4. -С. 726-728.

65. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский // М.: Наука, 1972. 736 с.

66. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. 2000. - Т. 41. - № 5. - С. 1167-1182.

67. Фалалеев М.В. Теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространства. Автореферат дисс. докт. физ.-мат. наук. Иркутск: Иркутский госуниверситет, 2008. — 35 с.

68. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12. — вып. 3. С. 173-200.

69. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. 7 изд. / Г.М. Фихтенгольц — М.: Наука, 1969. — 607 с.

70. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер // М.: Мир,1990. 512 с.

71. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер М.: Мир, 1999. - 685 с.

72. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс М.: ИЛ, 1962. - 829 с.

73. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат // М.: Наука, 1969. 576 с.

74. Шкаликов A.A. Задача об установившихся колебаниях трансверсаль-но изотропного полуцилиндра со свободной границей / А. А. Шкаликов // Функциональный анализ и его приложения. — Т. 25. — № 2 —1991. С. 86-89.

75. Шкаликов A.A. Компактные возмущения сильно демпфированных пучков операторов / A.A. Шкаликов, В.Т. Плиев // Математические заметки. Т. 45. - № 2. - 1989. - С. 118-128.

76. Шкаликов A.A. Задача об установившихся колебаниях трансверсаль-но-изотропного полуцилиндра / А. А. Шкаликов, А. В. Шкред // Математический сборник. Т. 182. - № 8. — 1991. — С. 1222-1246.

77. Якубович В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / A.B. Якубович, В.М. Старжинский — М.: Наука, 1972. — 720 с.

78. Arendt W. Approximation of degenerate semigroups / W. Arendt // Taiwanese J. Math. Vol. 5. - No. 2. - 2001. - P. 279-295.

79. Arendt W. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems / W. Arendt, С. Batty, M. Hieber, F. Neubrander // Monographs in Mathematics. — Basel: Birkhäuser Verlag — 2001. — 523 p.

80. Benner P. Dimension reduction of large-scale systems //P. Benner, V. Mehrmann, D.C. Sorensen // Lecture Notes in Computational Science and Engineering. — Vol. 45. — Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. — 2005. 395 p.

81. Carroll R. W. Singular and Degenerate Cauchy Problems / R. W. Carroll, R. E. Showalter New York: Academic Press, 1976. - 333 p.

82. Cross R. Multivalued linear operators / R. Cross — New York: M. Dekker, 1998. 335 p.

83. Favini A. Degenerate evolution equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi // Pure and Applied Mathematics. A Series of Monographs and Textbooks. New York: M. Dekker, 1998. - 313 p.

84. Gallivan К. Model reduction of MIMO systems via tangential interpolation / K. Gallivan, E.J. Grimme, P. van Dooren. // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. — Vol. 26. — no. 2. — 2004. P. 328-349.

85. Gohberg I. Classes of linear operators. Vol. 1 / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek — Birkhäuser Verlag: Basel-Boston-Berlin, 1990. — 468 p.

86. Gohberg I. Matrix polynomials / I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman — New York, London: Academic Press, 1982. — 409 p.

87. Kroneker L. Algebraische Reduction der Schaaren bilinearer Formen / L. Kroneker // Akad. der Wiss. Berlin 27. — Nov. 1890. — Werke vol. III. — P. 141-155.

88. Neumann J. Von, Uber adjungierte Funktional-operatoren / J. Von Neumann // Ann. Math. 1932, — Vol. 33, — P. 294-310.

89. Preumont A. Vibration control of active sturctures / A. Preumont — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers — 2002, 2nd ed. — 385 p.

90. Rubinstein M.F. Structural systems-statics, dynamics and stability / M.F. Rubinstein — New Jersey: Prentice-Hall, 1970. — 305 p.

91. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems / Y. Saad — Boston: PWS, 1996. 460 p.

92. Schwartz L. Transformation de Laplace des Distributions, Seminaire Mathématique de l'Université de Lund. Tome Supplémentaire dédié â M. Riesz / L. Schwartz // l'Université de Lund — 1952. P. 196-206.

93. Schwartz L. Distributions â valeurs vectorielles / L. Schwartz // Ann. Inst. Fourier. 1957. - Vol. 7 - P. 1-141; II. - 1957. - Vol. 8. -P. 1-209.

94. Schwartz L. Théorie des Distributions Vol. I, II / L. Schwartz — Paris: Hermann. 1950, 1951. - 150 p., 172 p.

95. Stummel F. Diskrete konvergenz linearer Operatoren, II / F. Stummel // Math. Zeitschr. 1971. - Vol. 120. - P. 231-264.

96. Vasil'ev V.V. Differential equations in Banach spaces II. Theory of cosine operator functions / V.V. Vasil'ev, S.I. Piskarev // Journal of Mathematical Sciences 2004. - Vol. 122. — no. 2. - P. 3055-3174.

97. Weierstrass K. Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen / K. Weierstrass // Akad. der Wiss. Berlin 18. — May 1868. — Werke vol. II. P. 19-44.